CN110802280B - 一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，其齿线和齿廓均为渐开线。由螺旋锥齿轮副的节锥参数，计算出基锥螺旋角；在发生面上，根据渐开线特性和基锥中点螺旋角的几何关系，确定渐开线方程，并将其作为发生线；借助坐标变换和相位差关系，推导出由渐开线发生线所形成的工作齿面方程，进一步确定左右两侧齿面的相对位置；过渡齿面采用Hermite插值，从而获得连续光滑的过渡齿面，完成完整的齿面设计。该方法提高齿面的承载能力，降低啮合性能对安装误差的敏感性，而过渡曲面则是采用Hermite插值方法，通过权系数控制，能够获得不同齿根形状，提高轮齿的弯曲强度。

Description

一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，特别涉及一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法。

背景技术

螺旋锥齿轮是用于空间相交轴或交错轴中传递动力和运动单元，在航空、汽车和机床中有广泛的应用。随着技术的发展，对其转速、载荷的要求亦愈来愈高，高速、重载和低重量是其发展的方向。而现有螺旋锥齿轮主要有格里森齿制(Gleason)和奥利康(Oerlikon)齿制，对应的齿线分别为圆弧和延伸外摆线，这是由于机床和刀具的限制，设计者仅能在这两种齿线中进行选择，因此也就限制了高性能螺旋锥齿轮的齿面设计与加工。随着现代数控加工中心的发展及高精度数控模锻计算的进步，为更高性能的螺旋锥齿轮加工提供了可能，因此有必要抛开传统螺旋锥齿轮设计的禁锢，完成高性能齿面的设计与制造过程。

发明内容

为了实现高性能螺旋锥齿轮的数字化设计与制造，将齿廓和齿线设计为渐开线，使其充分发挥渐开线曲线的传动优势；本发明提供了一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，工作齿面设计为空间球面渐开线，满足完全共轭原理，提高齿面的承载能力，降低啮合性能对安装误差的敏感性，而过渡曲面则是采用Hermite插值方法，通过权系数控制，能够获得不同齿根形状，提高轮齿的弯曲强度。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：

一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，包括以下步骤：

S100，由螺旋锥齿轮副的节锥压力角和节锥中点螺旋角，计算出基锥角和基锥中点螺旋角，再结合渐开线特性，列出几何关系，确定发生面上的渐开线方程，并将其作为发生线；

S200，根据空间球面渐开线的展成原理，借助坐标变换和相位差关系，推导出由渐开线发生线绕基锥滚动所形成的工作齿面方程；从节圆齿厚的定义，确定左右两侧齿面的相对位置；

S300，计算出分界线和根锥线的位矢和背锥切矢，对空间曲线之间的齿面采用Hermite插值，并根据锥距对权值进行线性处理，从而获得光滑连续的过渡齿面，最终确定完整轮齿的齿面模型。

作为本发明的进一步改进，S100中，由节锥中点的法向压力角和螺旋角，计算出基锥的中点螺旋角，再确定发生面上的渐开线方程。

作为本发明的进一步改进，S100中，坐标系S₀在发生面内，坐标轴z₀通过点P，坐标轴y₀垂直于发生面；坐标系S₃是固定在基锥面上，坐标轴z₃与基锥面的轴线重合，坐标轴y₃是圆弧

在通过发生面原点O₀且垂直于坐标轴z₃的平面上的投影；坐标系S₁和S₂是用于确定发生面滚动角

和基锥滚动角Ψ的辅助坐标系；经过从坐标系S₀到坐标系S₃的坐标变换可以获得球面渐开线。

作为本发明的进一步改进，空间渐开线是发生面绕着基锥面作纯滚动时，发生面内任意点形成的轨迹。

作为本发明的进一步改进，工作齿面和过渡曲面的交线为分界线，过渡曲面和根锥面的交线为根锥线；球面渐开线的基锥线是工作齿面和过渡曲面的交界线，是在基锥面的空间曲线。

与现有技术相比，本发明具有以下技术效果：

本发明的一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，其齿线和齿廓均为渐开线。由螺旋锥齿轮副的节锥参数，计算出基锥螺旋角；在发生面上，根据渐开线特性和基锥中点螺旋角的几何关系，确定渐开线方程，并将其作为发生线；借助坐标变换和相位差关系，推导出由渐开线发生线所形成的工作齿面方程，进一步确定左右两侧齿面的相对位置；过渡齿面采用Hermite插值，从而获得连续光滑的过渡齿面，完成完整的齿面设计。由于渐开线螺旋锥齿轮的齿廓和齿线都是渐开线，具有啮合角不变、中心可分性和低误差敏感性等特性。根据齿面的加工原理可知，该齿轮副为完全共轭齿轮，能够提高齿轮的承载性能。建立了球面渐开线的统一数学模型，仅需更改齿线方程，即可获得不同类型齿线的螺旋锥齿轮副，为高性能螺旋锥齿轮齿面设计提供方便。本发明是从数字化齿面设计与制造出发，根据齿面数学模型提供的齿面坐标，借助数控加工中心或高精度数控模锻技术，实现高性能螺旋锥齿轮的制造。渐开线螺旋锥齿轮的齿线和工作齿廓都是渐开线，而采用Hermite插值方法的过渡曲面能够保证与工作齿面和根锥面的连续光滑。

附图说明

图1渐开线螺旋锥齿轮齿面设计流程；

图2是本发明的发生面上渐开线；

图3是本发明的球面渐开线形成原理；

图4是本发明的节圆弧齿厚；

图5是本发明的过渡曲面形成原理；

图6是本发明的渐开线螺旋锥齿轮副。

具体实施方式

为使本发明的特征和优点能够更加明显易懂，下面结合附图和具体实施方式对本发明作进一步详细的说明。

一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，包括以下步骤：

(1)由螺旋锥齿轮副的节锥压力角和节锥中点螺旋角，计算出基锥角和基锥中点螺旋角，结合渐开线特性，列出几何关系，确定发生面上的渐开线方程；

(2)根据空间球面渐开线的展成原理，借助坐标变换和相位差关系，推导出由渐开线发生线绕基锥滚动所形成的工作齿面方程；从节圆齿厚的定义，确定左右两侧齿面的相对位置；

(3)计算出分界线和根锥线的位矢和背锥切矢，这两条空间曲线之间的齿面采用Hermite插值，根据锥距对权值进行线性处理，从而获得光滑连续的过渡齿面，最终确定完整轮齿的齿面模型。

具体地，结合具体实施例和附图对本发明进行详细说明：

(1)由节锥中点的几何参数：法向压力角α_n和螺旋角β_m，计算出基锥的中点螺旋角β_b，再确定发生面上的渐开线方程。通过三角函数关系推导出基锥螺旋角与节锥螺旋角的关系为

β_b＝tan^-1(cosαtanβ_m)

其中，α为齿轮副啮合角，且法向压力角α_n与啮合角α满足如下关系

α_n＝sin^-1(sinαtanβ_b)

联立上述两式得到啮合角的计算公式为

将啮合角公式代入到基锥螺旋角与节锥螺旋角的关系中，得出基锥螺旋角β_b的表达式。大、小轮的节锥角分别为

式中：轴交角Σ＝γ₁+γ₂，

N₁为小轮齿数，N₂为大轮齿数。下文中以γ_p代替齿轮的节锥角。基锥角为

γ_b＝arcsin(cosα_nsinγ_p)

图2为渐开线在发生面上的示意图，坐标系S₀中z₀轴从内锥指向外锥，P′为渐开线的起始点，M₀为基锥中点，θ为渐开线的展角，φ为渐开线的压力角，ψ＝θ+φ为展角和压力角之和，A₀为中点锥距。根据渐开线的定义θ＝tanφ-φ，建立渐开线参数和基锥螺旋角β_b的几何关系，列出如下方程

联立上式，求解出通过基锥中点M₀且螺旋角等于β_m的渐开线参数r_b和φ₀，从而确定出S₀坐标系下的渐开线方程

其中，渐开线坐标中心(X_I,Z_I)的表达式分别为

其中，基锥中点的展角和压力角之和为ψ₀＝φ₀+θ₀，渐开线展角θ₀＝tanφ₀-φ₀。

(2)图3为空间渐开线形成示意图。空间渐开线是发生面绕着基锥面作纯滚动时，发生面内任意点P形成的轨迹。坐标系S₀在发生面内，坐标轴z₀通过点P，坐标轴y₀垂直于发生面；坐标系S₃是固定在基锥面上，坐标轴z₃与基锥面的轴线重合，坐标轴y₃是圆弧

在通过发生面原点O₀且垂直于坐标轴z₃的平面上的投影。坐标系S₁和S₂是用于确定发生面滚动角

和基锥滚动角Ψ的辅助坐标系。经过从坐标系S₀到坐标系S₃的坐标变换可以获得球面渐开线。具体如下：

点P在S₀坐标系下表示为

其中，r₀为球面半径。坐标系S₃中，球面渐开线

可以通过坐标变换获得，

式中，

发生面Π的滚动角

与基锥滚动角Ψ的关系为

由球面渐开线的形成原理可知，若将坐标轴z₀作为发生线，则形成直齿锥齿轮，而现在发生线为渐开线M₀P′，显然P′和P具有相同球面半径r₀，因此P′和P所形成的球面渐开线是相同的，但存在相位差Ψ′。在S₀坐标系中，P′的半径

与轴线z₀的夹角

两者的相位差为

因此，P′点所形成的球面渐开线为

其中，

球面渐开线的位矢分别表示为

式中，

L_PP'，L₃₂，L₂₁，L₁₀分别为M_PP'，M₃₂，M₂₁，M₁₀的旋转矩阵，即去掉最后一行和最后一列。

(3)当发生面Π向左滚动(从坐标轴z₃正方向看是逆时针)时，形成轮齿的左面；当发生面Π向右滚动(从坐标轴z₃正方向看是顺时针)时，形成轮齿的右面，此时轮齿两侧的齿面的交线即为发生线本身，显然不能形成有效的轮齿。如图4所示，根据轮齿齿厚的定义，在节圆锥上左右两侧齿面的夹角为

式中，N为齿轮齿数。节圆锥上，空间球面渐开线的极角

其中，方位角

γ_b为基锥角，γ_p为节锥角。将左右两侧齿面分别旋转齿距角ξ_p＝t_p/2+θ_p，即可获得完整轮齿，齿面的位置矢量、法向矢量和切向矢量为

其中，

符号

的上标表示左侧对应的变换矩阵，下标表示右侧对应的变换矩阵。

(4)工作齿面和过渡曲面的交线为分界线，过渡曲面和根锥面的交线根锥线。球面渐开线的基锥线是工作齿面和过渡曲面的交界线，是在基锥面的空间曲线。由上述计算出基锥线上左右两侧齿面的位矢和法矢，分别用r_l、r_r和切矢t_l、t_r表示。过垂直于旋转轴z₄的截面与左右两条基锥线分别交于M_c1和M_c2，且这两点的中点为M_c0(x_m，y_m，z_m)，其坐标分量表示为，

式中：x_c1、y_c1和x_c2、y_c2分别为位置矢量M_c1和M _c2的坐标分量，中点M_c0与坐标轴y₄的夹角为

θ_m＝tan^-1(x_m/y_m)

M_f1和M_f2为根锥面和过渡曲面的交点，两者的中点为M_f0，M_f0和M_c0的在平面x₄y₄的投影点M′_c0和M′_f0，与y₄具有相同的夹角θ_m。根锥面的齿面方程和切矢矢量分别为

式中：齿面参数r_f定义为根锥母线的长度，θ_f为根锥母线的旋转角，则满足如下的方程

式中：h_l为过渡曲面和工作齿面的交线在旋转投影面上，沿节锥上的位置参数，为已知参数。符号

的上标表示左侧齿面，下标表示右侧齿面。通过求解上述方程组，确定过渡曲面和根锥面的交线。

(5)为了使工作齿面和根锥面光滑连接，需要计算出点M_c1和点M_f1沿着背锥方向的切矢。假设点M_c1的法矢、位矢和切矢分别为

和

将点M_c1的切矢

绕法矢

旋转θ_c1后，得到切矢

为

过点M_c1的切矢

取一单位长度为

设

的三个坐标分量分别为x_4c,y_4c,z_4c,位矢

指向背锥的几何条件为

通过求解上式的非线性方程组计算出旋转角θ_c1，最后确定出该点沿着背锥的切矢

用同样的方法，求出点M_c1上沿着背锥的旋转角θ_f1和切矢

已知分界线和齿根线上的位矢和切矢，借助空间Herimit插值，获得过渡曲面坐标。分界线上点的位矢

和切矢

根锥线上的位矢

和切矢

空间两点之间的Hermite曲线插值公式为

式中：权值t₀和t₁可根据设计要求指定。当该值越大时，表示该点对曲线拉得越紧；越小表示拉得较松，m_n为齿轮副的法向模数。由于锥齿轮的锥距是从内锥到外锥是逐渐变化的。为了保证插曲面的光滑性，可对权值做如下变换

式中，t′₀，t′₁分别为大端分界点和根锥点的权值，s为锥距，A₀为外锥距。

实施例

模数5.0mm，小轮齿数25，大轮齿数36，压力角25°，螺旋角25°，轴交角90°，齿宽30mm，齿顶高系数0.9，齿根高系数1.1，小轮左旋，大轮右旋；小轮节锥角34.778°，小轮面锥角37.13°，小轮根锥角31.904°；大轮节锥角55.222°，大轮面锥角57.574°，大轮根锥角52.349°；t′₀＝1.0，t′₁＝1.0；图6为渐开线螺旋锥齿轮副的三维实体模型。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明所提交的权利要求书确定的专利保护范围。

Claims (2)

1.一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

S100，由螺旋锥齿轮副的节锥压力角和节锥中点螺旋角，计算出基锥角和基锥中点螺旋角，再结合渐开线特性，列出几何关系，确定发生面上的渐开线方程，并将其作为发生线；

S200，根据空间球面渐开线的展成原理，借助坐标变换和相位差关系，推导出由渐开线发生线绕基锥滚动所形成的工作齿面方程；从节圆齿厚的定义，确定左右两侧齿面的相对位置；

S300，计算出分界线和根锥线的位矢和背锥切矢，对空间曲线之间的齿面采用Hermite插值，并根据锥距对权值进行线性处理，从而获得光滑连续的过渡齿面，最终确定完整轮齿的齿面模型；

S100中，由节锥中点的法向压力角和螺旋角，计算出基锥的中点螺旋角，再确定发生面上的渐开线方程；

S100中，坐标系S₀在发生面内，坐标轴z₀通过点P，坐标轴y₀垂直于发生面；坐标系S₃是固定在基锥面上，坐标轴z₃与基锥面的轴线重合，坐标轴y₃是圆弧

在通过发生面原点O₀且垂直于坐标轴z₃的平面上的投影；坐标系S₁和S₂是用于确定发生面滚动角

和基锥滚动角Ψ的辅助坐标系；经过从坐标系S₀到坐标系S₃的坐标变换可以获得球面渐开线；

工作齿面和过渡曲面的交线为分界线，过渡曲面和根锥面的交线为根锥线；

其中，圆弧OQ是指球面圆弧曲线，其中Q为基圆上的空间渐开线的起点，O为基锥中心线与球面的交点；

空间渐开线是发生面绕着基锥面作纯滚动时，发生面内任意点P形成的轨迹。

2.如权利要求1所述的一种渐开线螺旋锥齿轮齿面设计方法，其特征在于，球面渐开线的基锥线是工作齿面和过渡曲面的交界线，是在基锥面的空间曲线。

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