CN103939575A - 基于共轭曲线的点接触齿轮、啮合副及其加工刀具 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种基于共轭曲线的点接触齿轮、啮合副以及加工刀具，包括相互一点或多点接触啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮，凸齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线和凹齿齿轮上由啮合点构成的接触曲线为共轭曲线，本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，啮合副的啮合方式为凸齿齿轮齿面与凹齿齿轮齿面同时一点或者多点接触，接触点在各齿面的接触轨迹均为光滑的空间曲线。该传动继承了共轭曲线的啮合特点，并且点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、滑动率大幅降低、磨损小，同时，可根据使用需求不同，运用不同的接触曲线实现齿轮啮合时同时具有一点、两点或者多点接触，解决了现有采用齿廓曲面均为球心沿圆心曲线运动的球族管状包络面的点接触齿轮在啮合时只具有一点接触的限制。

Description

基于共轭曲线的点接触齿轮、啮合副及其加工刀具

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，具体的为一种基于共轭曲线的点接触齿轮、啮合副及其加工刀具。

背景技术

齿轮作为一种典型的机械基础件，在很大程度上决定着装备的性能，因而针对高性能齿轮传动元件的设计也具有十分重要的意义和工程实用价值。传统齿轮传动如螺旋齿轮传动、蜗杆蜗轮传动，锥齿轮副、准双曲线副等，齿面均为共轭曲面，啮合齿廓均为凸齿廓，在啮合过程中，通常为线接触，因此齿面的承载能力低，齿面间滑动率大，齿面磨损严重。

生产和科技的发展对高速、重载、大功率的齿轮传动装置提出了更高的要求，因此圆弧齿轮取得了巨大的发展。圆弧齿轮是一种点接触传动形式，其突出的特点是啮合齿廓为凸圆弧齿廓与凹圆弧齿廓的点接触啮合，并且其啮合近似纯滚动。圆弧齿轮跑和之后，接触点扩展成接触面，接触强度大幅增加。目前，公开号为102853054A与103075493A的两个专利均公开了一种基于共轭曲线的齿轮及其啮合副，以上两专利中的齿轮的齿廓曲面均为球心沿圆心曲线运动的球族管状包络面，其齿廓曲面均为圆弧，由该齿轮组成的啮合副在相互啮合时，其啮合点只有一个，这种齿轮啮合副在初始制造时具有点接触特性，若要获得比较好的接触特性，这种齿轮必须经过跑和，为了增加跑和性能，这种齿轮的齿面一般采用软齿面或中硬齿面。跑和将增加企业的制造成本，并且在实际应用之中，硬齿面相对于软齿面和中硬齿面具有更高的接触强度和承载能力，因此当前需要一种根据使用需求，在初始制造时能具有1点、2点或者多点接触特性，使得点接触的齿轮传动也可设计为硬齿面并可应用于高强度要求的工业场合，同时大大缩短现有点接触齿轮的跑合时间甚至无需跑合既能达到使用要求，有效降低企业的生产制造成本。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的是克服现有技术的缺陷，提供一种可根据使用需求，具有1点、2点或者多点接触特性的基于共轭曲线的点接触齿轮、啮合副及其加工刀具。

本发明首先提出了一种基于共轭曲线的点接触齿轮,该齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_i\left(u\right)\\ y_1=y_i\left(u\right)\\ z_1=z_i\left(u\right)\end{array}\right.,u_{\min }\≤u\≤u_{\max }(i=\mathrm{1,3,5},...,2n+1)$

式中，u为曲线的自变量参数；u_min、u_max为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数到啮出点处对应的曲线参数；下标i对应不同的接触曲线；

所述接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{xi}}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{yi}}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.$

式中，ρ_i为接触曲线与等距曲线之间的距离；n_xi、n_yi、n_zi为啮合点处公法线法线的单位矢量在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

所述齿轮的齿廓曲线在接触曲线法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为曲线的自变量参数；

进一步，所述齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线沿等距曲线运动得到的，其方程为：

r=r(u,v₁)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₁为齿廓曲线的自变量参数。

本发明还公开了一种基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，包括相互点啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮，所述凸齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ_i的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_i\left(u\right)\\ y_1=y_i\left(u\right)\\ z_1=z_i\left(u\right)\end{array}\right.,u_{\min }\≤u\≤u_{\max }(i=\mathrm{1,3,5},...,2n+1)$

其中，u为曲线的自变量参数；u_min、u_max为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数到啮出点处对应的曲线参数；下标i对应不同的接触曲线；

由共轭曲线原理，所述凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ_i+1的曲线方程为：

式中分别为凸齿齿轮、凹齿齿轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为齿轮传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处公法线方向的法线矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量；

所述凸齿齿轮的接触曲线Γ_i对应的等距曲线Γ₁'的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{xi}}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{yi}}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.$

式中，ρ_i为接触曲线Γ_i与等距曲线Γ₁'之间的距离；n_xi、n、_yi、n_zi为啮合点处给定法线的单位矢量在凸齿齿轮坐标系下沿各坐标轴的分量；

所述凹齿齿轮的接触曲线Γ_i+1对应的等距曲线Γ'₂的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{xi}+1}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{yi}+1}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_{I+1}\·n_{\mathrm{zi}+1}\end{array}\right.$

式中，ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ'₂的距离;n_xi+1、n_yi+1、n_zi+1为啮合点处给定法线的单位矢量在凹齿齿轮坐标系下沿各坐标轴的分量；

所述凸齿齿轮的齿廓曲线C₁(v₁)为接触曲线Γ_i的法面内的曲线，当i=1时，啮合齿面只有一条接触曲线，即齿廓曲线上有一个点为接触点；当i=3时，啮合齿面有两条接触曲线，即齿廓曲线上有两个点为接触点；当i=2n+1(n≥2)时，啮合齿面有n+1条接触曲线，齿廓曲线上有n+1个点为接触点；

所述凸齿齿轮齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}=x_{n2}\left(v_2\right)\\ y_{n2}=y_{n2}\left(v_2\right)\\ z_{n2}=z_{n2}\left(v_2\right)\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线C₂(v2)的自变量参数；

所述凸齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ'₁运动得到的，其方程为：

Σ₁    r=r(u,v₁)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述凹齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ'₂运动得到的，其方程为：

Σ₂    r=r(u,v₂)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₂为齿廓曲线C₂(v₂)的自变量参数；进一步，所述凸齿齿轮的齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}={\mathrm{\ρ}}_a\sin v_1\\ y_{n1}=-{\mathrm{\ρ}}_a\cos v_1\\ z_{n1}=0\end{array}\right.$

式中，ρ_a为齿廓曲线的半径；v₁为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n1的夹角；l_a为齿廓曲线的圆心在坐标轴y_n1的坐标；

进一步，所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}={\mathrm{\ρ}}_2\sin v_2+e\\ y_{n2}=-{\mathrm{\ρ}}_2\cos v_2+l_f\\ z_{n2}=0\end{array}\right.$

式中，ρ₂为齿廓曲线的半径；v₂为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n的夹角；e为齿廓圆心在坐标轴x_n中的坐标；l_f为齿廓曲线的圆心在坐标轴y_n的坐标；进一步，所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中v₂为抛物线的自变量参数；α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ为抛物线接触点与顶点之间的夹角，ρ_a为凸齿齿廓曲线C₁(v₁)的半径；

进一步，所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\\ y_{2n}=a_0+a_1{v}_2+a_2{v_2}^2+...+a_m{v_2}^m\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线的自变量参数；a₀,a₁,...,a_m为齿廓曲线方程中的系数。进一步，所述凸齿齿轮的接触曲线Γ_i的曲线方程为圆柱螺旋线，其曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R_i\cos u\\ y_1=R_i\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为圆柱螺旋线的自变量参数，R_i为圆柱螺旋线所在圆柱面的半径，P_i为圆柱螺旋线的螺旋参数；

由共轭曲线原理，所述凹齿齿轮接触曲线Γ_i+1的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=R_{i+1}\cos u\\ y_2=R_{i+1}\sin u\\ z_2=p_{i+1}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，R_i+1为圆柱半径，p_i+1为螺旋参数；

所述接触曲线Γ_i对应的等距曲线Γ'₁的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_1\cos u\\ y_1=r_1\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i为等距距离，α_i为接触点的法面压力角，p_i=r₁cotβ，β为螺旋角；

所述接触曲线Γ_i+1对应的等距曲线Γ'₂的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_2\cos u\\ y_1=r_2\sin u\\ z_1=p_{2}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ₂之间的等距距离，α_i+1为法面压力角，且r₂=i₂₁×r₁；p₂为螺旋参数，p₂=r₂cosβ；

所述凸齿齿轮齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为齿廓曲线C₁的自变量参数；

所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}=x_{n2}\left(v_2\right)\\ y_{n2}=y_{n2}\left(v_2\right)\\ z_{n2}=z_{n2}\left(v_2\right)\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线C₂的自变量参数；

所述凸齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ'₁运动得到的，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(x_{1n}+r_1)\cos {\mathrm{\φ}}_1+y_{1n}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ y_1=(x_{1n}+r_1)\sin {\mathrm{\φ}}_1+y_{1n}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_1\\ z_1=r_1\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_1-y_{1n}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，r₁为凸齿齿轮的节圆半径，是凸齿齿轮转过的角度，β为齿轮的螺旋角；

所述的凹齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ₂'运动得到的，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=(x_{2n}+r_2)\cos {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=(x_{2n}+r_2)\sin {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=r_2\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_2-y_{2n}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，r₂为凹齿齿轮的节圆半径；φ₂是凹齿齿轮转过的角度，且φ₂=i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮的传动比；β为齿轮的螺旋角。

本发明还公开了一种基于共轭曲线的点接触齿轮加工刀具，包括刀轴，所述刀轴上沿其周向固定设有多个切削齿；所述切削齿的法面齿廓线包括工作段和过渡段；所述过渡段为直线或圆弧；所述工作段的曲线方程为：

$C_i\left\{\begin{array}{c}{x}_n=x_n\left(v_i\right)\\ y_n=y_n\left(v_i\right)\\ z_n=z_n\left(v_i\right)\end{array}\right.$

式中，v_i为工作段曲线的自变量参数，i=1表示凸齿齿轮的齿廓曲线方程，i=2表示凹齿齿轮的齿廓曲线方程。

本发明的有益效果是：本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮及其啮合副，啮合副的啮合方式为凸齿齿轮齿面与凹齿齿轮齿面同时一点或者多点接触，接触点在各齿面的接触轨迹均为光滑的空间曲线。该传动继承了共轭曲线的啮合特点，并且点接触的齿廓接触强度高、承载能力大、传动效率高、润滑油温升低、滑动率大幅降低、磨损小，同时，可根据使用需求不同，运用不同的接触曲线实现齿轮啮合时同时具有一点、两点或者多点接触，解决了现有采用齿廓曲面均为球心沿圆心曲线运动的球族管状包络面的点接触齿轮在啮合时只具有一点接触的限制，因此，基于共轭曲线的点接触齿轮传动是一种应用前景广阔的高性能齿轮传动，同时，本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮加工刀具，能利用现有齿轮加工设备，方便、快捷的加工出本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮从而降低齿轮的加工成本，使本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮更易于推广与使用。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：

图1为本发明基于共轭曲线的点接触齿轮的单齿啮合示意图；

图2为本实施例所选圆柱螺旋线示意图；

图3为本发明基于共轭曲线的点接触齿轮的齿廓曲线示意图；

图4为本发明基于共轭曲线的点接触齿轮的啮合齿面形成示意图；

图5为本实施例的曲线共轭坐标系示意图；

图6为本实施例的一点接触的共轭曲线齿轮单齿示意图；

图7为本实施例的两点接触的共轭曲线齿轮单齿示意图；

图8为本实施例的三点接触的共轭曲线齿轮单齿示意图；

图9为本发明的基于共轭曲线的点接触凸齿齿轮加工刀具的结构示意图；

图10为本发明的基于共轭曲线的点接触凹齿齿轮加工刀具的结构示意图；

图11为本发明的基于共轭曲线的点接触凸齿齿轮加工刀具的法面齿形图；

图12为本发明的基于共轭曲线的点接触凹齿齿轮加工刀具的法面齿形图。

具体实施方式

图1为本发明基于共轭曲线的点接触齿轮的单齿啮合示意图。如图所示，基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，啮合齿面为凸齿齿轮1、凹齿齿轮2的啮合齿面同时一点或多点接触,凸齿齿轮1、凹齿齿轮2的啮合齿面分别为凸齿齿轮1、凹齿齿轮2的齿廓曲线沿曲线Γ'₁、Γ'₂运动形成的曲面,凸齿齿轮1、凹齿齿轮2的齿廓曲线分别为公法面内的凸齿齿轮1廓曲线C₁和凹齿齿轮2廓曲线C₂。所述曲线Γ'₁、Γ'₂分别为曲线Γ₁、Γ₂或曲线Γ₃、Γ₄或曲线Γ_i、Γ_i+1（i=1,3,5,...,2n+1）沿啮合点处公法线方向负向等距的光滑曲线。所述曲线Γ₁、Γ₂或曲线Γ₃、Γ₄或曲线Γ_i、Γ_i+1分别为齿轮啮合副中凸、凹齿齿轮面上的一条光滑曲线，且曲线Γ_i+1是给定曲线Γ_i在一定运动条件下得到的与之共轭的曲线，二者形成曲线共轭啮合。所诉曲线Γ₁、Γ₃、Γ_i为光滑曲线，并且曲线两两之间相互平行。

选定的光滑接触曲线Γ_i的方程为

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_i\left(u\right)\\ y_1=y_i\left(u\right)\\ z_1=z_i\left(u\right)\end{array}\right.,u_{\min }\≤u\≤u_{\max }(i=\mathrm{1,3,5},...,2n+1)$

式中u为曲线参数；u_min、u_max为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数到啮出点处对应的曲线参数；下标i对应不同的接触曲线。

接触曲线Γ_i+1的方程可根据共轭曲线原理求得，即

式中分别为齿轮1、齿轮2转过的角度，且i₂₁为传动比；a为齿轮传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处沿给定接触角方向的法线矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量。

所述等距曲线的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{xi}}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{yi}}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.$

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{xi}+1}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{yi}+1}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_{I+1}\·n_{\mathrm{zi}+1}\end{array}\right.$

式中，ρ_i为接触曲线Γ_i与等距曲线Γ'₁之间的距离；n_xi、n_yi、n_zi为啮合点处公法线的单位矢量在齿轮1坐标系下沿各坐标轴的分量；ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ'₂的距离；n_xi+1、n_yi+1、n_zi+1为啮合点处给定法线的单位矢量在齿轮2坐标系下沿各坐标轴的分量。

所述齿廓曲线为曲线Γ_i的法面内的曲线，当i=1时，啮合齿面只有一条接触曲线，即齿廓曲线有一个点为接触点；当i=3时，啮合齿面有两条接触曲线，即齿廓曲线有两个点为接触点；当i=2n+1时，啮合齿面有n+1条接触曲线，齿廓曲线上有n+1个点为接触点。

所述凸齿齿轮1齿廓曲线C₁(v₁)在曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}={\mathrm{\ρ}}_a\sin v_1\\ y_{n1}=-{\mathrm{\ρ}}_a\cos v_1\\ z_{n1}=0\end{array}\right.$

式中，v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述凹齿齿轮2齿廓曲线C₂(v₂)在曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}=x_{n2}\left(v_2\right)\\ y_{n2}=y_{n2}\left(v_2\right)\\ z_{n2}=z_{n2}\left(v_2\right)\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线C₂(v2)的自变量参数；

所述凸齿齿轮1啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ₁'运动得到的，其方程为：

Σ₁    r=r(u,v₁)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述的凹齿齿轮2啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ₂'运动得到的，其方程为：

Σ₂    r=r(u,v₂)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₂为齿廓曲线C₂(v₂)的自变量参数。

当参数u固定时，u=u₀，而让参数v_j(j=1,2)变化，则可得曲面上的曲线r(u₀,v_j)，这条曲线即为法面齿廓曲线；当参数v_j固定时，v=v_j0，而让参数u₀变化，则可得到曲面上的曲线r(u,v₀)，若v_j0为啮合点，则曲线r(u,v_j0)为接触曲线，若v_j0不为啮合点，则曲线r(u,v_j0)不参与啮合。

本实施例中，所述齿廓曲线为曲线Γ_i的法面内的曲线，当i=1时，啮合齿面只有一条接触曲线，即齿廓曲线有一个点为接触点；当i=3时，啮合齿面有两条接触曲线，即齿廓曲线有两个点为接触点；当i=2n+1时，啮合齿面有n+1条接触曲线，齿廓曲线上有n+1个点为接触点。

所述凸齿齿轮1的齿廓曲线C₁(v₁)在曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}={\mathrm{\ρ}}_a\sin v_1\\ y_{n1}=-{\mathrm{\ρ}}_a\cos v_1\\ z_{n1}=0\end{array}\right.$

式中，ρ_a为齿廓曲线的半径；v₁为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n1的夹角。

本实施例中，当i=1时，齿廓曲线有一个点为接触点，所述凹齿齿轮2的齿廓曲线C₂(v₂)在曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}={\mathrm{\ρ}}_2\sin v_2+e\\ y_{n2}=-{\mathrm{\ρ}}_2\cos v_2+l\\ z_{n2}=0\end{array}\right.$

式中，ρ₂为齿廓曲线的半径；v₂为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n的夹角；e为齿廓圆心在坐标轴x_n中的坐标；l_a为齿廓曲线的圆心在坐标轴y_n的坐标。

本实施例中，当i=3时，齿廓曲线有两个点为接触点，所述凹齿齿轮2的齿廓曲线C₂(v₂)在曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中v₂为抛物线参数；α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ为抛物线接触点与顶点之间的夹角。

本实施例中，当i=2n+1(n≥2)时，有两种方法可以构建凹齿齿轮2的齿廓曲线：（1）设凹齿齿轮2的接触曲线上的接触点的坐标为(x₀,y₀)，(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，…，(x_n-1,y_n-1)，用最小二乘法做齿廓曲线的最小二乘法拟合，其方程为：

$\left[\begin{array}{ccccc}n+1& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^m\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^3& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^3& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^4& ...& \underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+2}\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^m& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^{m+2}& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^{2m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_j\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2{y}_j\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^m{y}_j\end{array}\right]$

式中n+1表示接触点的个数，(x_j,y_j)表示接触点的坐标。

将接触点的坐标代入上式，可求得齿廓曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\\ y_{2n}=a_0+a_1{v}_2+a_2{v_2}^2+...+a_m{v_2}^m\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线的自变量参数；a₀,a₁,...,a_m为齿廓曲线方程中的系数。

（2）本实施例中，设每两个接触点之间的夹角为2θ_j，两个接触点之间的齿廓曲线方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中，v₂为抛物线的自变量参数，α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ_j为抛物线接触点与顶点之间的夹角。将所有的齿廓曲线方程连接，即得齿廓曲线C₂(v₂)的方程。

所述凸齿齿轮1的啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ'₁运动得到的，其方程为：

Σ₁    r=r(u,v₁)

所述的凹齿齿轮2的啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ₂'运动得到的，其方程为：

Σ₂    r=r(u,v₂)

当参数u固定时，u=u₀，而让参数v_j(j=1,2)变化，则可得曲面上的曲线r(u₀,v_j)，这条曲线即为法面齿廓曲线；当参数v_j固定时，v=v_j0，而让参数u₀变化，则可得到曲面上的曲线r(u,v₀)，若v_j0为啮合点，则曲线r(u,v_j0)为接触曲线，若v_j0不为啮合点，则曲线r(u,v_j0)不参与啮合。

本实施例中，所选实施例选定的光滑曲线为圆柱螺旋线Γ_i，其曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R_i\cos u\\ y_1=R_i\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为圆柱螺旋线的自变量参数，R_i为圆柱螺旋线所在圆柱面的半径，P_i为圆柱螺旋线的螺旋参数。

图2为参数R_i变化时所产生的不同的圆柱螺旋线，如图1所示，在曲线Γ_i的法线有无数条，为了使得到的齿轮副具有定传动比，我们选取任意接触点的法线均通过节点。

进一步，将圆柱螺旋线Γ_i沿给定法线方向移动，即可得到节圆柱螺旋线的等距曲线，其方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_1\cos u\\ y_1=r_1\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i为等距距离，u为接触点的法面压力角，p_i=r₁cotβ，β为螺旋角。

所述凸齿齿轮1的法面齿廓曲线C₁为圆心在节点上的圆，在法面坐标系下的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_n={\mathrm{\ρ}}_a\sin v_1\\ y_n=-{\mathrm{\ρ}}_a\cos v_1\\ z_n=0\end{array}\right.$

式中，ρ_i为圆的半径，v₁为接触点的法线与y_n轴的夹角。

图3为法面坐标系S_n(O_n-x_ny_nz_n)内的齿廓曲线示意图。

图4为啮合齿面的形成示意图。坐标系S_n(O_n-x_ny_nz_n)为法面坐标系，坐标轴x_n通过齿轮圆弧径向线和节圆柱的交点O_n，z_n轴沿螺旋线的切线方向，x_nO_ny_n平面为齿轮的法面。S_s(O_s-x_sy_sz_s)为端面坐标系，x_s轴通过O_n点，z_s轴与齿轮轴线重合，y_s轴通过齿轮轴线，在高度方向上与y_n轴相差齿轮节圆半径r₁，x_sO_sy_s平面与齿轮端面平行。x_nO_ny_n与x_sO_sy_s两平面的夹角为螺旋角β。坐标系S₁(O₁-x₁y₁z₁)与齿轮固连，z₁轴与齿轮轴线重合，x₁O₁y₁平面和齿轮端面重合，x₁轴通过齿廓径向线和节圆柱的交点，和轮齿对称线不重合。坐标系S_s在坐标系S₁中作螺旋运动，即旋转φ₁角，同时向前移动r₁cotβ·φ₁。

啮合齿面是通过齿廓曲线沿着节圆柱螺旋线作运动形成的，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=({\mathrm{\ρ}}_i\sin \mathrm{\α}+r_1)\cos {\mathrm{\φ}}_1+{\mathrm{\ρ}}_i\cos \mathrm{\α\β}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ y_1=({\mathrm{\ρ}}_i\sin \mathrm{\α}+r_1)\sin {\mathrm{\φ}}_1-{\mathrm{\ρ}}_i\cos \mathrm{\α\β}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_1\\ z_1=r_1\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_1+{\mathrm{\ρ}}_i\cos \mathrm{\α}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

图5为曲线共轭坐标系示意图。坐标系S(O-x,y,z)，S_P(O_P-x_P,y_P,z_P)是两个在空间固定的坐标系，z轴与齿轮1的回转轴线重合，z_P轴与齿轮2的回转轴线重合，两轴线平行。x轴与x_P轴重合，它们的方向就是两轴的最短距离方向，OO_P等于最短距离，也就是中心距a。坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与齿轮1固连，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与齿轮2固连，在起始位置时，它们分别与S,S_P重合。齿轮1以匀角速度ω₁绕z轴转动，齿轮2以匀角速度ω₂绕z_P轴转动。规定ω₁与z轴负向相同，ω₂与z_P轴负向相反。从起始位置经过一段时间后，S₁及S₂运动到图中位置，齿轮1绕z轴转过角，齿轮2绕z_P轴转过角。

设曲线Γ_i为齿轮1上的接触曲线，根据共轭曲线原理可得，齿轮2上与之相共轭的曲线Γ_i+1在坐标系S₂中的方程为：

由共轭曲线原理可知，圆柱螺旋线Γ_i的共轭曲线Γ_i+1仍然为圆柱螺旋线，则上式可化为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=R_{i+1}\cos u\\ y_2=R_{i+1}\sin u\\ z_2=p_{i+1}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，R_i+1为圆柱半径，p_i+1为螺旋参数。

所述接触曲线Γ_i+1对应的等距曲线Γ'₂的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_2\cos u\\ y_1=r_2\sin u\\ z_1=p_{2}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ₂之间的等距距离，α_i+1为法面压力角，且r₂=i₂₁×r₁；_p2为螺旋参数，p₂=r₂cosβ。

图6为当i=¹时，法面上的齿廓曲线上有一点为接触点，选取圆作为凹齿齿轮2的法面齿廓曲线的共轭曲线齿轮示意图；图7为当i=3时，法面上的齿廓曲线有两点为接触点，选取抛物线作为凹齿齿轮2的法面齿廓曲线的共轭曲线齿轮示意图；图8为当i≥5时，法面上的齿廓曲线有三点以上为接触点，选取样条曲线为凹齿齿轮2法面齿廓曲线的共轭曲线齿轮示意图。

当i=1时，凹齿齿轮2的齿廓曲线在法面坐标系中可表示为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}={\mathrm{\ρ}}_2\sin v_2+e\\ y_{2n}=-{\mathrm{\ρ}}_2\cos v_2+l\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中，v₂为圆的自变量参数，ρ₂为圆的半径，(e,l)为圆心坐标。

当i=3时，凹齿齿轮2的齿廓曲线在法面坐标系中可表示为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中，v₂为抛物线参数；α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ为抛物线接触点与顶点之间的夹角，ρ_a为凸齿齿轮齿廓曲线C₁(v₁)的半径。

当i=2n+1(n≥2)时，有两种方法可以构建凹齿齿轮2的齿廓曲线：

(1)设凹齿齿轮2接触曲线上的接触点的坐标为(x₀,y₀)，(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，…，(x_n-1,y_n-1)，用最小二乘法做齿廓曲线的最小二乘法拟合，其方程为：

$\left[\begin{array}{ccccc}n+1& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^m\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^3& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^2& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^3& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^4& ...& \underset{i=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+2}\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ .& .& .& & .\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^m& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i^{m+1}& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^{m+2}& ...& \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^{2m}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{a}_0\\ a_1\\ a_2\\ .\\ .\\ .\\ a_m\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{y}_j\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_i{y}_i\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^2{y}_j\\ \underset{j=0}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}{x}_j^m{y}_j\end{array}\right]$

式中n+1表示接触点的个数，(x_j,y_j)表示接触点的坐标。

将接触点的坐标代入上式，可求得齿廓曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\\ y_{2n}=a_0+a_1{v}_2+a_2{v_2}^2+...+a_m{v_2}^m\end{array}\right.$

(2)设每两个接触点之间的夹角为2θ_j，两个接触点之间的齿廓曲线方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中，v₂为抛物线参数，α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ_j为抛物线接触点与顶点之间的夹角。将所有的齿廓曲线方程连接，即得齿廓曲线C₂(v₂)的方程。

凹齿齿轮2的啮合齿面可以通过齿廓曲线验证过节圆柱上O_n做螺旋线运动得到，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=(x_{2n}+r_2)\cos {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=(x_{2n}+r_2)\sin {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=r_2\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_2-y_{2n}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

下面对本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮加工刀具的具体实施方式进行详细说明，图9为本发明的基于共轭曲线的点接触凸齿齿轮加工刀具的结构示意图；图10为本发明的基于共轭曲线的点接触凹齿齿轮加工刀具的结构示意图；图11为本发明的基于共轭曲线的点接触凸齿齿轮加工刀具的法面齿形图；图12为本发明的基于共轭曲线的点接触凹齿齿轮加工刀具的法面齿形图，如图所示，本实施例的基于共轭曲线的点接触齿轮加工刀具，包括刀轴4，所述刀轴4上沿其周向固定设有多个切削齿3；所述切削齿3的法面齿廓线包括工作段6和过渡段5；所述过渡段5为直线或圆弧，其中凸齿齿轮1加工刀具切削齿3的法面齿廓线齿顶过渡段5为圆弧，凹齿齿轮2加工刀具切削齿3的法面齿廓线齿顶过渡段6为圆弧，齿底过渡段6为直线；所述工作段6的曲线方程为：

$C_i\left\{\begin{array}{c}{x}_n=x_n\left(v_i\right)\\ y_n=y_n\left(v_i\right)\\ z_n=z_n\left(v_i\right)\end{array}\right.$

式中，v_i为该曲线的自变量参数，i=1表示凸齿齿轮的齿廓曲线方程，i=2表示凹齿齿轮的齿廓曲线方程。本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮加工刀具，能利用现有齿轮加工设备，方便、快捷的加工出本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮从而降低齿轮的加工成本，使本发明的基于共轭曲线的点接触齿轮更易于推广与使用。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (9)

1.一种基于共轭曲线的点接触齿轮，其特征在于：该齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_i\left(u\right)\\ y_1=y_i\left(u\right)\\ z_1=z_i\left(u\right)\end{array}\right.,u_{\min }\≤u\≤u_{\max }(i=\mathrm{1,3,5},...,2n+1)$

式中，u为曲线的自变量参数；u_min、u_max为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数到啮出点处对应的曲线参数；下标i对应不同的接触曲线；

所述接触曲线沿齿廓曲面公法线方向的等距曲线的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{xi}}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{yi}}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.$

式中，ρ_i为接触曲线与等距曲线之间的距离；n_xi、n_yi、n_zi为啮合点处公法线的单位矢量在齿轮坐标系下沿坐标轴线方向的分解法向量；

所述齿轮的齿廓曲线在接触曲线法面坐标系下的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为曲线的自变量参数。

2.根据权利要求1所述的基于共轭曲线的点接触齿轮，其特征在于：所述齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线沿等距曲线运动得到的，其方程为：

r=r(u,v₁)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₁为齿廓曲线的自变量参数。

3.一种基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于：包括相互点啮合的凸齿齿轮和凹齿齿轮，所述凸齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ_i的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=x_i\left(u\right)\\ y_1=y_i\left(u\right)\\ z_1=z_i\left(u\right)\end{array}\right.,u_{\min }\≤u\≤u_{\max }(i=\mathrm{1,3,5},...,2n+1)$

其中，u为曲线的自变量参数；u_min、u_max为接触线取值范围，即齿廓啮入点处对应的曲线参数到啮出点处对应的曲线参数；下标i对应不同的接触曲线；

由共轭曲线原理，所述凹齿齿轮的齿廓曲面上由啮合点构成的接触曲线Γ_i+1的曲线方程为：

式中分别为凸齿齿轮、凹齿齿轮转过的角度，且i₂₁为传动比；a为齿轮传动的标准中心距；n为共轭曲线在啮合点处公法线方向的法线矢量；υ⁽¹²⁾为啮合点处啮合副的相对运动速度矢量；

所述凸齿齿轮的接触曲线Γ_i对应的等距曲线Γ₁'的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{1\mathrm{\ρ}}=x_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{xi}}\\ y_{1\mathrm{\ρ}}=y_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{yi}}\\ z_{1\mathrm{\ρ}}=z_1+{\mathrm{\ρ}}_i\·n_{\mathrm{zi}}\end{array}\right.$

式中，ρ_i为接触曲线Γ_i与等距曲线Γ₁'之间的距离；n_xi、n_yi、n_zi为啮合点处给定法线的单位矢量在凸齿齿轮坐标系下沿各坐标轴的分量；

所述凹齿齿轮的接触曲线Γ_i+1对应的等距曲线Γ'₂的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2\mathrm{\ρ}}=x_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{xi}+1}\\ y_{2\mathrm{\ρ}}=y_2+{\mathrm{\ρ}}_{i+1}\·n_{\mathrm{yi}+1}\\ z_{2\mathrm{\ρ}}=z_2+{\mathrm{\ρ}}_{I+1}\·n_{\mathrm{zi}+1}\end{array}\right.$

式中，ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ'₂的距离;n_xi+1、n_yi+1、n_zi+1为啮合点处给定法线的单位矢量在凹齿齿轮坐标系下沿各坐标轴的分量；

所述凸齿齿轮的齿廓曲线C₁(v₁)为接触曲线Γ_i的法面内的曲线，当i=1时，啮合齿面只有一条接触曲线，即齿廓曲线上有一个点为接触点；当i=3时，啮合齿面有两条接触曲线，即齿廓曲线上有两个点为接触点；当i=2n+1(n≥2)时，啮合齿面有n+1条接触曲线，齿廓曲线上有n+1个点为接触点；

所述凸齿齿轮齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1:\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2:\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}=x_{n2}\left(v_2\right)\\ y_{n2}=y_{n2}\left(v_2\right)\\ z_{n2}=z_{n2}\left(v_2\right)\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线C₂(v₂)的自变量参数；

所述凸齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ₁'运动得到的，其方程为：

Σ₁    r=r(u,v₁)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₁为齿廓曲线C₁(v₁)的自变量参数；

所述凹齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ₂'运动得到的，其方程为：

Σ₂    r=r(u,v₂)

式中，u为接触曲线的自变量参数；v₂为齿廓曲线C₂(v₂)的自变量参数。

4.根据权利要求3所述的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于:所述凸齿齿轮的齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}={\mathrm{\ρ}}_a\sin v_1\\ y_{n1}=-{\mathrm{\ρ}}_a\cos v_1\\ z_{n1}=0\end{array}\right.$

式中，ρ_a为齿廓曲线的半径；v₁为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n1的夹角。

5.根据权利要求4所述的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于:所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}={\mathrm{\ρ}}_2\sin v_2+e\\ y_{n2}=-{\mathrm{\ρ}}_2\cos v_2+l_f\\ z_{n2}=0\end{array}\right.$

式中，ρ₂为齿廓曲线的半径；v₂为齿廓曲线上任意点的法线与坐标轴x_n的夹角；e为齿廓圆心在坐标轴x_n中的坐标；l_f为齿廓曲线的圆心在坐标轴y_n的坐标。

6.根据权利要求4所述的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于：所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\cos \mathrm{\α}-\frac{{v_2}^2}{2p}\sin \mathrm{\α}+l\sin \mathrm{\α}\\ y_{2n}=v_2\sin \mathrm{\α}+\frac{{v_2}^2}{2p}\cos \mathrm{\α}-l\cos \mathrm{\α}\\ z_{2n}=0\end{array}\right.$

式中，v₂为抛物线的自变量参数；α为抛物线顶点与y_2n轴的夹角；l为抛物线顶点到法面坐标系原点的距离，θ_j为抛物线接触点与顶点之间的夹角，ρ_a为凸齿齿廓曲线C₁(v₁)的半径。

7.根据权利要求4所述的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于：所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_{2n}=v_2\\ y_{2n}=a_0+a_1{v}_2+a_2{v_2}^2+...+a_m{v_2}^m\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线的自变量参数；a₀,a₁,...,a_m为齿廓曲线方程中的系数。

8.根据权利要求3所述的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副，其特征在于：所述凸齿齿轮的接触曲线Γ_i的曲线方程为圆柱螺旋线，其曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=R_i\cos u\\ y_1=R_i\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为圆柱螺旋线的自变量参数，R_i为圆柱螺旋线所在圆柱面的半径，P_i为圆柱螺旋线的螺旋参数；

由共轭曲线原理，所述凹齿齿轮接触曲线Γ_i+1的曲线方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=R_{i+1}\cos u\\ y_2=R_{i+1}\sin u\\ z_2=p_{i+1}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，R_i+1为圆柱半径，p_i+1为螺旋参数；

所述接触曲线Γ_i对应的等距曲线Γ'₁的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_1\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_1\cos u\\ y_1=r_1\sin u\\ z_1=p_{i}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i为等距距离，α_i为接触点的法面压力角，p_i=r₁cotβ，β为螺旋角；

所述接触曲线Γ_i+1对应的等距曲线Γ'₂的方程为：

${{\mathrm{\Γ}}^{\′}}_2\left\{\begin{array}{c}{x}_1=r_2\cos u\\ y_1=r_2\sin u\\ z_1=p_{2}u\end{array}\right.$

式中，u为曲线的自变量参数，其中ρ_i+1为接触曲线Γ_i+1与等距曲线Γ₂之间的等距距离，α_i+1为法面压力角，且r₂=i₂₁×r₁；p₂为螺旋参数，p₂=r₂cosβ；

所述凸齿齿轮齿廓曲线C₁(v₁)在接触曲线Γ_i法面坐标系下的方程为：

$C_1\left\{\begin{array}{c}{x}_{n1}=x_{n1}\left(v_1\right)\\ y_{n1}=y_{n1}\left(v_1\right)\\ z_{n1}=z_{n1}\left(v_1\right)\end{array}\right.$

式中，v₁为齿廓曲线C₁的自变量参数；

所述凹齿齿轮的齿廓曲线C₂(v₂)在接触曲线Γ_i+1法面坐标系下的方程为：

$C_2\left\{\begin{array}{c}{x}_{n2}=x_{n2}\left(v_2\right)\\ y_{n2}=y_{n2}\left(v_2\right)\\ z_{n2}=z_{n2}\left(v_2\right)\end{array}\right.$

式中，v₂为齿廓曲线C₂的自变量参数；

所述凸齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₁(v₁)沿等距曲线Γ₁'运动得到的，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_1=(x_{1n}+r_1)\cos {\mathrm{\φ}}_1+y_{1n}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_1\\ y_1=(x_{1n}+r_1)\sin {\mathrm{\φ}}_1+y_{1n}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_1\\ z_1=r_1\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_1-y_{1n}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，r₁为凸齿齿轮的节圆半径，φ₁是凸齿齿轮转过的角度，β为齿轮的螺旋角；

所述的凹齿齿轮的啮合齿面是通过齿廓曲线C₂(v₂)沿等距曲线Γ'₂运动得到的，其方程为：

$\left\{\begin{array}{c}{x}_2=(x_{2n}+r_2)\cos {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\sin {\mathrm{\φ}}_2\\ y_2=(x_{2n}+r_2)\sin {\mathrm{\φ}}_2+y_{2n}\cos \mathrm{\β}\cos {\mathrm{\φ}}_2\\ z_2=r_2\cot \mathrm{\β}\·{\mathrm{\φ}}_2-y_{2n}\sin \mathrm{\β}\end{array}\right.$

式中，r₂为凹齿齿轮的节圆半径；φ₂是凹齿齿轮转过的角度，且φ₂=i₂₁φ₁，i₂₁为齿轮的传动比；β为齿轮的螺旋角。

9.一种用于加工权利要求3-8任意项中的基于共轭曲线的点接触齿轮啮合副的加工刀具，其特征在于：包括刀轴，所述刀轴上沿其周向固定设有多个切削齿；所述切削齿的法面齿廓线包括工作段和过渡段；所述过渡段为直线或圆弧；所述工作段的曲线方程为：

$C_i\left\{\begin{array}{c}{x}_n=x_n\left(v_i\right)\\ y_n=y_n\left(v_i\right)\\ z_n=z_n\left(v_i\right)\end{array}\right.$

式中，v_i为该曲线的自变量参数，i=1表示凸齿齿轮的齿廓曲线方程，i=2表示凹齿齿轮的齿廓曲线方程。