CN109710969B - 一种剃齿齿形误差预测方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种剃齿齿形误差预测方法，在剃齿运动坐标系上引入剃齿安装误差，构造了新的坐标转换，推导计算了由剃齿安装误差引起的补偿位移量，该补偿位移量在接触点的法向分矢量的模为剃齿安装误差导致的齿形切深。基于接触力学给出剃齿齿面接触的弹塑性压切变形量，对比材料的极限强度计算剃齿实际压切变形量。综合考虑剃齿安装误差齿形切深和剃齿实际压切变形量建立剃齿齿形误差的预测模型。通过该方法能较为准确地实现对剃后工件齿轮齿形误差的预测，可有效地提高齿面精度和加工效率，并提供针对性的工艺指导。

Description

一种剃齿齿形误差预测方法

技术领域

本发明属于齿轮加工领域的方法，更具体的说，涉及一种剃齿齿形误差预测方法。

背景技术

剃齿加工是齿轮精加工生产中的高效工艺，是保证齿面表面精度、纠正齿轮误差的重要环节。剃齿工艺广泛应用于机床、汽车、船舶、航空航天等产业的齿轮生产，具有效率高、成本低、适应性强和调整方便等优点。然而，剃齿齿形误差问题却是齿轮制造中长期存在的一个技术难题，它是齿轮传动产生振动、噪音的主要因素之一，不但严重影响工件齿轮齿面精度和啮合传动状态，而且限制了剃齿加工在高精密场合的生产应用。

为减小剃齿齿形误差，会根据剃后工件齿轮齿形对剃齿刀进行相应地修形，其基本步骤是：

①在标准渐开线剃齿刀的基础上在相应齿廓处进行刃磨；

②对工件齿轮进行试剃；

③对剃后工件进行精度检测，如果符合要求则认为此时的剃齿刀齿形已符合加工要求可投入使用；

④若试剃结果不满足生产要求，则对比剃后齿轮齿形进行针对性地刃磨修正，反复以上①②③的过程直至满足加工精度要求。

由此可见剃齿刀修形是一个凭借工程经验反复修正与试剃的过程。实际加工中产品工艺的变化及新产品的投产会使得这一过程相当复杂，过分依赖刃磨技术人员的经验，也降低了剃齿工艺的效率。若能直接获取的齿形误差曲线，就能有针对性地进行剃齿刀设计与修形。因此，本领域亟需寻找更为准确的剃齿齿形误差预测方法，以满足剃齿加工中对高质量、高效率的要求。

发明内容

针对现有技术存在的缺陷或不足，本发明的目的在于，提供了一种剃齿齿形误差预测方法。

为实现上述任务，本发明通过以下的技术解决方案予以实现：

一种剃齿齿形误差预测方法，其特征在于，按照下列步骤进行：

S1：含剃齿安装误差的坐标变换

根据空间几何可得含安装误差的坐标系间的转换关系，此处仅列举下述推导步骤需要的坐标转换。坐标系S₂与S的变换关系为：

式中：

为工件齿轮转角，

为转角偏差；a^*＝a+Δa，a为中心距，Δa为中心距误差；∑^*＝∑+Δ∑，∑为轴交角，Δ∑为轴交角误差；l₂表示工件齿轮沿自身轴线的位移；坐标系S₂与S₁的变换关系为：

式中：

为剃齿刀转角。

S2：推导含剃齿安装误差的补偿位移量

假定剃齿刀与工件齿轮两齿面的瞬时空间接触点为M_i点，n为齿面在M_i点的法线，ΔW_i为安装导致的原始误差，矢量ΔW_i可分解为沿法线n方向的分量和垂直于法线n方向的分量。由于安装误差ΔW_i使得剃齿刀与工件齿轮在M_i点形成了法向间隙，为了消除这个间隙，需要一个补偿位移ΔS。ΔS也可以分解为平行于法线n方向和垂直于法线n方向。ΔS在法线n方向的投影与矢量ΔW_i在法线n方向的投影大小相等方向相反，矢量M_id和cM_i在过M_i点的两齿面的公切面上。则有：

|ΔW_i|cos α_i+|ΔS|cos β_i＝0 (25)

(ΔW_i+ΔS)n＝0 (26)

式中：α_i为矢量ΔW_i与法线n之间的夹角，β_i为矢量ΔS与法线n之间的夹角。如果在安装过程中存在k个安装误差，则有：

剃齿安装误差引起理论啮合点的位置变化，造成剃齿加工传动比的实际值与理论值不同，引起传动误差。轴交角误差引起的原始误差矢量为：

ΔW_i＝Δ∑×r＝zΔ∑j-yΔ∑k (28)

式中：Δ∑方向确定：从该矢量的矢端看去，轴交角的增量方向为逆时针；单位矢量为r＝xi+yj+zk。中心距误差的原始误差矢量为：

ΔW₂＝-Δai (29)

中心距增大的方向为正。位移空隙是通过工件齿轮绕自身轴向旋转一定的角度来补偿的，把矢量

转化为绝对坐标系的远点，并引进相应的矢量矩，即得补偿位移矢量表达式：

式中：r′(-a，0，0)为矢量

的作用点O_p的矢径。其中：

将式(11)代入式(10)：

则有：

因此，式(7)可以写成：

(ΔW_1x+ΔW_2x+ΔS_x)n_x+(ΔW_1y+ΔW_2y+ΔS_y)n_y+(ΔW_1z+ΔW_2z+ΔS_z)n_z＝0 (34)

将式(8)、(9)及(10)代入式(14)，可得安装误差的转角补偿量为：

S3：基于剃齿安装误差补偿位移量的齿形切深

安装误差引起的位移误差在接触点法向上有一分矢量，对于工件齿轮，ΔS与法线矢量n之间的夹角λ_i实际上为各瞬时啮合点在齿面上的法向压力角α_i，故补偿位移ΔS在n上投影向量的模为剃齿过程中的剃齿齿形切深误差。

S_M＝ΔS·n＝ΔS cos α_i (36)

则：

S4：剃齿实际压切变形量

在接触力学中，任意两弹性体相接触，在公法线方向上施加一定的压力，在两弹性体接触位置呈现椭圆形接触区域。剃齿齿面间接触比两个弹性体接触更为复杂，因为在剃齿中一般有多对接触，且随着剃齿加工的进行，其接触对数及正压力是不断变化的。应用接触力学公式，可得剃齿齿面接触的弹塑性压切变形量δ为：

式中：e一般取值容屑槽的槽距与槽宽之比；F为接触位置的法向作用力；λ＝λ₁+λ₂，剃齿刀材料参数

工件齿轮材料参数

其中μ₁、μ₂分别为剃齿刀和工件齿轮泊松比，E₁、E₂为剃齿刀和工件齿轮的弹性模量；

为该点接触的法曲率之差；C＝AM²＝BN²，A和B的值取决于两接触曲面的主曲率大小及主曲率平面所形成的夹角，M和N是和A和B有关的系数。在式(18)中所计算的压切变形量包含弹性变形和塑性变形，实际加工中弹性变形会随着压力的消失而恢复，故剃齿实际压切变形量为：

式中：ε_s为屈服极限σ_s所对应的弹性变形量，与材料本身相关。其中δ‘只有在大于零值的时候有意义，当δ‘为负值时，表明此时剃齿接触点处发生完全弹性变形，并不会在工件齿轮齿面产生不可逆误差。

S5：剃齿齿形误差预测

剃齿齿形误差可表示为剃齿齿形切深和剃齿实际压切变形量的线性叠加与剃前工件齿轮单侧齿面余量之差：

ΔE＝(S_M+|δ‘|)-Δ_s (40)

式中：Δ_s为剃前工件齿轮单侧齿面余量；由式(20)可知，剃后工件齿轮齿形误差为绝对误差，其负值表示欠切，正值表示过切。

本发明的剃齿齿形误差预测方法，带来的有益效果在于：

1、通过在原有剃齿加工坐标系上引入剃齿安装误差，构造了新的几何坐标转换，在此基础上推导计算了由剃齿安装误差引起的补偿位移量。通过这些推导，按补偿位移量调整剃齿机床就能合理地控制或抵消安装误差引起的齿形误差。

2、基于接触力学给出剃齿齿面接触的弹塑性压切变形量，对比材料的极限强度计算剃齿实际压切变形量。综合考虑剃齿安装误差齿形切深和剃齿实际压切变形量建立剃齿齿形误差的预测模型。剃齿齿形误差可表示为剃齿齿形切深和剃齿实际压切变形量的线性叠加与剃前工件齿轮单侧齿面余量之差。准确地实现对剃后工件齿轮齿形误差的预测，有效地提高齿面精度和加工效率，并提供针对性的工艺指导。

附图说明

图1是含安装误差的剃齿加工坐标系；

图2是剃齿安装误差矢量图；

图3是三种剃齿啮合接触状态，其中，图3(a)为两点接触状态；图3(b)为三点接触状态；图3(c)为四点接触状态；

图4是工件齿轮齿形误差预测曲线；

图5是剃齿试验剃后工件齿轮齿形图；

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图和实施例对本发明作进一步的详细说明。

具体实施方式

需要说明的是，以下所描述的具体实施例仅仅用以解释本发明，并不用于限定本发明，本发明不限于该实施例。

本实施例给出一种剃齿齿形误差预测方法，主要包括以下两个步骤：

步骤一，剃齿齿形误差预测模型：

S1：含剃齿安装误差的坐标变换

为便于后续推导，建立含有安装误差的剃齿加工坐标系，剃齿安装误差如图1所示。其中，S(o-xyz)及S_p(o_p-x_py_pz_p)是两个空间固定的坐标系，S₁(o₁-x₁y₁z₁)和S₂(o₂-x₂y₂z₂)分别是剃齿刀和工件齿轮固连的动坐标系。根据空间几何可得含安装误差的坐标系间的转换关系，此处仅列举下述推导步骤需要的坐标转换，坐标系S₂与S的变换关系为：

式中：

为工件齿轮转角，

为转角偏差；a^*＝a+Δa，a为中心距，Δa为中心距误差；∑^*＝∑+Δ∑，∑为轴交角，Δ∑为轴交角误差；l₂表示工件齿轮沿自身轴线的位移；坐标系S₂与S₁的变换关系为：

式中：

为剃齿刀转角。

S2：推导含剃齿安装误差的补偿位移量

假定剃齿刀与工件齿轮两齿面的瞬时空间接触点为M_i点，n为齿面在M_i点的法线，ΔW_i为安装导致的原始误差，矢量ΔW_i可分解为沿法线n方向的分量和垂直于法线n方向的分量，其误差矢量如图2所示。由于安装误差ΔW_i使得剃齿刀与工件齿轮在Mi点形成了法向间隙，为消除这个间隙，需要一个补偿位移ΔS。ΔS也可以分解为平行于法线n方向和垂直于法线n方向。ΔS在法线n方向的投影与矢量ΔW_i在法线n方向的投影大小相等方向相反，矢量M_id和cM_i在过M_i点的两齿面的公切面上。则有：

|ΔW_i|cos α_i+|ΔS|cos β_i＝0 (45)

(ΔW_i+ΔS)n＝0 (46)

式中：α_i为矢量ΔW_i与法线n之间的夹角，β_i为矢量ΔS与法线n之间的夹角。如果在安装过程中存在k个安装误差，则有：

剃齿安装误差引起理论啮合点的位置变化，造成剃齿加工传动比的实际值与理论值不同，引起传动误差。轴交角误差引起的原始误差矢量为：

ΔW_i＝Δ∑×r＝zΔ∑j-yΔ∑k (48)

式中：Δ∑方向确定：从该矢量的矢端看去，轴交角的增量方向为逆时针；单位矢量为r＝xi+yj+zk。中心距误差的原始误差矢量为：

ΔW₂＝-Δai (49)

中心距增大的方向为正。位移空隙是通过工件齿轮绕自身轴向旋转一定的角度来补偿的，把矢量

转化为绝对坐标系的远点，并引进相应的矢量矩，即得补偿位移矢量表达式：

式中：r′(-a，0，0)为矢量

的作用点O_p的矢径。其中：

将式(11)代入式(10)：

则有：

因此，式(7)可以写成：

(ΔW_1x+ΔW_2x+ΔS_x)n_x+(ΔW_1y+ΔW_2y+ΔS_y)n_y+(ΔW_1z+ΔW_2z+ΔS_z)n_z＝0 (54)

将式(8)、(9)及(10)代入式(14)，可得安装误差的转角补偿量为：

其中，根据齿轮啮合原理可得剃齿啮合面方程，通过S1构造的坐标系变换可得工件齿轮齿面方程，再得到式(15)中绝对坐标系下的啮合点坐标为：

式中：r_b1为剃齿刀基圆半径；剃齿刀螺旋参数p₁＝r_b1 cotβ_b1，其中β_b1为剃齿刀基圆螺旋角；i₂₁和i‘’是ω₂与ω₁、v₀₂的传动比；u₁＝tan α_k；

式(15)中法矢量在绝对坐标系下的分量为：

式中：λ₁为剃齿刀螺旋转角参数。

S3：基于剃齿安装误差补偿位移量的齿形切深

安装误差引起的位移误差在接触点法向上有一分矢量，对于工件齿轮，ΔS与法线矢量n之间的夹角λ_i实际上为各瞬时啮合点在齿面上的法向压力角α_i，故补偿位移ΔS在n上投影向量的模为剃齿过程中的剃齿齿形切深误差。

S_M＝ΔS·n＝ΔS cos α_i (18)

则有：

S4：剃齿实际压切变形量

在接触力学中，任意两弹性体相接触，在公法线方向上施加一定的压力，在两弹性体接触位置呈现椭圆形接触区域。剃齿齿面间接触比两个弹性体接触更为复杂，因为在剃齿中一般有多对接触，且随着剃齿加工的进行，其接触对数及正压力是不断变化的。应用接触力学公式，可得剃齿齿面接触的弹塑性压切变形量δ为：

式中：e一般取值容屑槽的槽距与槽宽之比；F为接触位置的法向作用力；λ为剃齿刀和工件材料参数之和，即

其中μ₁、μ₂分别为剃齿刀和工件齿轮泊松比，E₁、E₂为剃齿刀和工件齿轮的弹性模量；

为该点接触的法曲率之差；C＝AM²＝BN²，A和B的值取决于两接触曲面的主曲率大小及主曲率平面所形成的夹角，M和N是和A和B有关的系数。在式(20)中所计算的压切变形量包含弹性变形和塑性变形，实际加工中弹性变形会随着压力的消失而恢复，故剃齿实际压切变形量为：

式中：ε_s为屈服极限σ_s所对应的弹性变形量，与材料本身相关。其中δ‘只有在大于零值的时候有意义，当δ‘为负值时，表明此时剃齿接触点处发生完全弹性变形，并不会在工件齿轮齿面产生不可逆误差。

在求解式(21)时，首先需求解接触位置的法向作用力F：

针对具体的剃齿刀和工件齿轮参数，当剃齿重合度小于2时，整个剃齿过程中会有三种啮合状态，其啮合线上的接触点数分别为两点接触、三点接触和四点接触，如图3所示。图中：L₁、L₂、L₃和L₄为各接触点到动坐标系S₂轴y₂的距离，K₁、K₂、K₃和K₄为有效啮合线的各极限接触点，F₁、F₂、F₃和F₄为各法向作用力，F_r为径向力(与径向进给速度有关)。求解啮合过程中的接触变形，需要针对不同的啮合状态进行静力学分析。一个啮合周期里，同一个轮齿左右两侧齿廓具有相同的接触性质和受力状态求解法向作用力，以工件齿轮右齿廓为例，求解法向作用力。

根据静力学方程建立下列方程组求解其力的大小，对于图3(a)的两点接触而言，平衡状态时只有F₁和F₂未知，需建立两个方程来求解。

式中：α为啮合线与齿轮节点处的速度方向的夹角。

如图3(b)所示，系统保持平衡状态F₁、F₂和F₃未知，需建立三个方程求解。

如图3(c)所示，通过力和力矩平衡只能建立三个方程，不足以求解四点接触区域的法向作用力。

因此，引入协调方程：

式中：b_i为各接触点接触椭圆的长轴长。协调方程的含义为任意瞬间两条啮合线上的接触变形之和相等。

S5：剃齿齿形误差预测

剃齿齿形误差可表示为剃齿齿形切深和剃齿实际压切变形量的线性叠加与剃前工件齿轮单侧齿面余量之差：

ΔE＝Δ_s-(S_M+|δ‘|) (25)

式中：Δ_s为剃前工件齿轮单侧齿面余量。由式(25)可知，剃后工件齿轮齿形误差为绝对误差，其正值表示欠切，负值表示过切。

步骤二，剃齿齿形误差预测模型的实验验证：

1、按照上述所描述的构建理论预测模型，对有关算法编写规范化计算程序，获取工件齿轮齿形误差曲线，如图4所示。

2、选取与理论计算一致的剃齿参数，对工件齿轮进行试剃，剃后工件齿轮齿形图如图5所示。

对比图4和图5，在该剃齿参数与工艺参数下，工件齿轮齿形误差预测曲线与实际剃后齿形图呈现大致相同的规律。图4中工件齿轮齿形误差预测曲线的平均偏差为39.20μm，最大值为68.09μm。其与实际剃后齿形图的齿形总偏差和形状偏差的平均值误差大小分别为5.10％和4.34％，其齿形总偏差和形状偏差的最大值误差大小分别为9.69％和12.92％，满足工程应用。

同时，根据本实施例推导的剃齿安装误差补偿位移量来调整剃齿机床能合理地控制安装误差所引起的剃齿齿形误差。

综上分析：本实施例给出的剃齿齿形误差预测方法，能准确地预测剃后工件齿轮的齿形误差，评价剃齿安装误差对工件齿轮齿面质量的影响，为提高剃齿齿形质量提供了理论基础。

需要说明的是，上述实施例仅用以本领域的普通技术人员更加理解本发明的技术方案，本发明不限于上述实施例，本领域普通技术人员对本发明的技术方案所做的简单修改或者等同替换，只要不脱离本发明技术方案的精神和范围，均应视为本发明保护范围。

Claims (1)

1.一种剃齿齿形误差预测方法，其特征在于，该方法包括：

S1：含剃齿安装误差的坐标变换

根据空间几何可得含安装误差的坐标系间的转换关系，此处仅列举下述推导步骤需要的坐标转换，坐标系S₂与S的变换关系为：

式中：

为工件齿轮转角，

为转角偏差；a^*＝a+Δa，a为中心距，Δa为中心距误差；Σ^*＝Σ+ΔΣ，Σ为轴交角，ΔΣ为轴交角误差；l₂表示工件齿轮沿自身轴线的位移；坐标系S₂与S₁的变换关系为：

式中：

为剃齿刀转角；

S2：推导含剃齿安装误差的补偿位移量

假定剃齿刀与工件齿轮两齿面的瞬时空间接触点为M_i点，n为齿面在M_i点的法线，ΔW_i为安装导致的原始误差，矢量ΔW_i可分解为沿法线n方向的分量和垂直于法线n方向的分量，由于安装误差ΔW_i使得剃齿刀与工件齿轮在M_i点形成了法向间隙，为了消除这个间隙，需要一个补偿位移ΔS，ΔS也可以分解为平行于法线n方向和垂直于法线n方向，ΔS在法线n方向的投影与矢量ΔW_i在法线n方向的投影大小相等方向相反，矢量M_id和cM_i在过M_i点的两齿面的公切面上，则有：

|ΔW_i|cosα_i+|ΔS|cosβ_i＝0 (5)

(ΔW_i+ΔS)n＝0 (6)

式中：α_i为矢量ΔW_i与法线n之间的夹角，β_i为矢量ΔS与法线n之间的夹角；如果在安装过程中存在k个安装误差，则有：

剃齿安装误差引起理论啮合点的位置变化，造成剃齿加工传动比的实际值与理论值不同，引起传动误差；轴交角误差引起的原始误差矢量为：

ΔW_i＝Δ∑×r＝zΔΣj-yΔΣk (8)

式中：Δ∑方向确定：从该矢量的矢端看去，轴交角的增量方向为逆时针；单位矢量为r＝xi+yj+zk；中心距误差的原始误差矢量为：

ΔW₂＝-Δai (9)

中心距增大的方向为正；位移空隙是通过工件齿轮绕自身轴向旋转一定的角度来补偿的，把矢量

转化为绝对坐标系的远点，并引进相应的矢量矩，即得补偿位移矢量表达式：

式中：r′(-a,0,0)为矢量

的作用点O_p的矢径；其中：

将式(11)代入式(10)：

则有：

因此式(7)可以写成：

(ΔW_1x+ΔW_2x+ΔS_x)n_x+(ΔW_1y+ΔW_2y+ΔS_y)n_y+(ΔW_1z+ΔW_2z+ΔS_z)n_z＝0 (14)

将式(8)、(9)及(10)代入式(14)，可得安装误差的转角补偿量为：

S3：基于剃齿安装误差补偿位移量的齿形切深

安装误差引起的位移误差在接触点法向上有一分矢量，对于工件齿轮，ΔS与法线矢量n之间的夹角λ_i实际上为各瞬时啮合点在齿面上的法向压力角α_i，故补偿位移ΔS在n上投影向量的模为剃齿过程中的剃齿齿形切深误差；

S_M＝ΔS·n＝ΔS cosα_i (16)

则有：

S4：剃齿实际压切变形量

在接触力学中，任意两弹性体相接触，在公法线方向上施加一定的压力，在两弹性体接触位置呈现椭圆形接触区域；剃齿齿面间接触比两个弹性体接触更为复杂，因为在剃齿中有多对接触，且随着剃齿加工的进行，其接触对数及正压力是不断变化的；应用接触力学公式，可得剃齿齿面接触的弹塑性压切变形量δ为：

式中：e取值容屑槽的槽距与槽宽之比；F为接触位置的法向作用力；λ＝λ₁+λ₂，剃齿刀材料参数

工件齿轮材料参数

其中μ₁、μ₂分别为剃齿刀和工件齿轮泊松比，E₁、E₂为剃齿刀和工件齿轮的弹性模量；

为该点接触的法曲率之差；C＝AM²＝BN²，A和B的值取决于两接触曲面的主曲率大小及主曲率平面所形成的夹角，M和N是和A和B有关的系数；在式(18)中所计算的压切变形量包含弹性变形和塑性变形，实际加工中弹性变形会随着压力的消失而恢复，故剃齿实际压切变形量为：

式中：ε_s为屈服极限σ_s所对应的弹性变形量，与材料本身相关；其中δ‘只有在大于零值的时候有意义，当δ‘为负值时，表明此时剃齿接触点处发生完全弹性变形，并不会在工件齿轮齿面产生不可逆误差；

S5：剃齿齿形误差预测

剃齿齿形误差可表示为剃齿齿形切深和剃齿实际压切变形量的线性叠加与剃前工件齿轮单侧齿面余量之差：

ΔE＝(S_M+|δ‘|)-Δ_s (20)

式中：Δ_s为剃前工件齿轮单侧齿面余量；由式(20)可知，剃后工件齿轮齿形误差为绝对误差，其负值表示欠切，正值表示过切。

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