CN105223814A - 渐开线齿轮成形砂轮计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种能够基于预定的二阶传动误差计算出成形砂轮的造型方程从而快速确定齿轮的修形量的渐开线齿轮成形砂轮计算方法。本发明的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，用于根据预先设定的主动轮和从动轮之间的二阶传动误差，计算出用于对主动轮和从动轮的齿形进行磨削的成形砂轮的造型方程，具有这样的特征，包括：步骤一、分析二阶传动误差曲线抛物线函数，建立二阶传动误差的数学模型，并计算出被动轮的转角；步骤二、基于展成齿条法，得到具有二阶传动误差的假想展成齿面方程；步骤三、计算出假想主动轮展成齿面；步骤四、计算出具有二阶传动误差的假想被动轮展成齿面；以及步骤五、计算出具有二阶传动误差的成形砂轮的造型方程。

Description

渐开线齿轮成形砂轮计算方法

技术领域

本发明涉及一种能够基于预定的二阶传动误差计算出成形砂轮的造型方程从而快速确定齿轮的修形量的渐开线齿轮成形砂轮计算方法。

背景技术

成形磨齿法是一种利用成形砂轮来磨削齿轮齿形的方法，通过控制成形砂轮廓形，实现对齿轮修形参数的调整，从而提高齿轮啮合性能，因此，对成型成形砂轮廓形的计算一直是成形磨齿工艺过程中的核心问题。

传动误差是反映齿轮副振动噪音的重要指标。理论上，针对振动噪音具有较高要求的高档渐开线齿轮而言，降低齿轮副的振动噪声，提升啮合质量，机械设计手册已给出相应的渐开线齿轮副齿面修形量计算公式。

然而实际上，由于成形磨齿法是直接通过输入齿廓修形量来完成成形磨削得到渐开线齿轮副的，是一种“被动”的设计过程，因此，导致传动误差的幅值等形状位置参数不易控制，往往需要反复多次试磨、调整才能达到设计要求，试磨、调整过程复杂，往往会使加工周期过长；而且对设计者经验的依赖性很大，试磨、调整过程中主观因素较大，修形参数调整方向不明确。另外，由于齿廓的修形量较小，在成形砂轮修整及磨削加工过程中对机床的精度和加工工艺要求较高，加工困难。

发明内容

本发明是为了解决上述问题而进行的，目的在于提供一种能够基于预定的二阶传动误差计算出成形砂轮的造型方程从而快速确定齿轮的修形量的渐开线齿轮成形砂轮计算方法。

本发明提供了一种渐开线齿轮成形砂轮计算方法，用于根据预先设定的主动轮和从动轮之间的二阶传动误差，计算出用于对主动轮和从动轮的齿形进行磨削的成形砂轮的造型方程，具有这样的特征，包括：步骤一、分析二阶传动误差曲线抛物线函数，建立二阶传动误差的数学模型，并计算出被动轮的转角；步骤二、基于展成齿条法，得到具有二阶传动误差的假想展成齿面方程；步骤三、计算出假想主动轮展成齿面；步骤四、计算出具有二阶传动误差的假想被动轮展成齿面；以及步骤五、计算出具有二阶传动误差的成形砂轮的造型方程。

在本发明提供的渐开线齿轮成形砂轮计算方法中，还可以具有这样的特征：其中，步骤一的计算过程为：基于二阶传动误差的定义得到：这里，为二阶传动误差；表示啮合时主动轮和被动轮的转角；z₁、z₂分别是主动轮和被动轮的齿数；为被动轮的初始转角，进一步，通过分析二阶传动误差的函数曲线，得到：这里，T为二阶传动误差的啮合周期，T＝2π/z₁；X＝[b₀b₁b₂]；令AX＝B，则 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& (-\mathrm{\δ}+T/2)& {(-\mathrm{\δ}+T/2)}^2\\ 1& (-\mathrm{\δ}-T/2)& {(-\mathrm{\δ}-T/2)}^2\\ 1& -\mathrm{\δ}& {\mathrm{\δ}}^2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\ϵ}\\ -\mathrm{\ϵ}\\ 0\end{array}\right],$ 这里，δ是二阶传动误差函数的形位参数；ε为二阶传动误差函数的幅值，由X＝A^-1B，可计算得到二阶传动误差，即、基于与计算得到被动轮的转角，即、

在本发明提供的渐开线齿轮成形砂轮计算方法中，还可以具有这样的特征：其中，步骤二的计算过程为：将齿廓切线方向x_a，齿廓法线方向y_a作为齿廓坐标系S_a；将齿向方向x_b，齿向法线方向y_b，齿条工作平面法线方向z_b作为辅助坐标系S_b；将齿条工作平面法线方向x_c，齿条进给方向y_c，齿条工作平面内进给速度法线方向z_c作为齿条动坐标系S_c，齿条齿面位置矢量和法向矢量表示为：

$r_c(u_c,l_c)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\α}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{sin\α}}_n-d_p{\mathrm{cos\α}}_n\\ (u_c{\mathrm{sin\α}}_n-a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\α}}_n+a_m-d_p{\mathrm{sin\α}}_n)cos\mathrm{\β}+l_{c}sin\mathrm{\β}\\ (-u_c{\mathrm{sin\α}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\α}}_n-a_m+d_p{\mathrm{sin\α}}_n)sin\mathrm{\β}+l_{c}cos\mathrm{\β}\end{array}\right],$ $n_c\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}sin{\mathrm{\α}}_n-2a_c{u}_{c}cos{\mathrm{\α}}_n\\ -({\mathrm{cos\α}}_n+2a_c{u}_c{\mathrm{sin\α}}_n)cos\mathrm{\β}\\ (cos{\mathrm{\α}}_n+2a_c{u}_c\sin {\mathrm{\α}}_n)sin\mathrm{\β}\end{array}\right],$ 这里，u_c，l_c为齿面沿齿廓和齿长的参数；β为螺旋角；α_n为齿条压力角；α_m为半齿宽；d_p为抛物线极点位置；a_c为刀具齿廓抛物线修形系数。

在本发明提供的渐开线齿轮成形砂轮计算方法中，还可以具有这样的特征：其中，步骤三的计算过程为：将与齿条接触工作平面法线方向x_m，与齿条接触工作平面切线方向y_m，主动轮轴线方向z_m作为主动轮固定坐标系S_m；将主动轮轴线方向z_p作为轴线将坐标系S_m中x_m，y_m旋转φ₁得到x_p，y_p作为主动轮动坐标系S_p，当假想主动轮齿面转过φ₁时，产形齿条坐标系S_c移动r₁φ₁，其中r₁为假想主动轮节圆半径。由啮合原理，在展成齿条齿面和被展成主动轮齿面接触点上，法向矢量必须经过瞬轴Ι-Ι，啮合条件为：这里，X_c、Y_c、Z_c为瞬轴Ι-Ι在齿条坐标系S_c中的坐标；x_c、y_c、z_c为两齿面瞬时接触点坐标；n_cx、n_cy、n_cz为瞬时接触点的法向矢量，令X_c＝0，可得假想主动轮的加工转角为：假想主动轮齿面的位置矢量和法向矢量为：r_p(u_c,l_c)＝M_pc(φ₁)r_c(u_c,l_c)，n_p(u_c,l_c)＝L_pc(φ₁)n_c(u_c,l_c)，这里，M_pc为位置矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵；L_pc为法向矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵。

在本发明提供的渐开线齿轮成形砂轮计算方法中，还可以具有这样的特征：其中，步骤四的计算过程为：将主动轮与被动轮中心线方向x_n，与被动轮接触工作平面切线方向y_n，被动轮轴线方向z_n作为假想被动轮固定坐标系S_n；将被动轮轴线方向z_g将坐标系S_n中x_n，y_n旋转φ₂得到x_g，y_g作为假想被动轮动坐标系S_g，定义另一个假想标准齿廓主动轮，且该假想标准齿廓主动轮不含修形量，坐标系为_Sp ^′，其位置矢量和法向矢量为：

$r_{c2}\left(u_c,l_c\right)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\α}}_n\\ \left(u_c{\mathrm{sin\α}}_n+a_m\right)\cos \mathrm{\β}+l_c\sin \mathrm{\β}\\ \left(-u_c{\mathrm{sin\α}}_n-a_m\right)\sin \mathrm{\β}+l_c\sin \mathrm{\β}\end{array}\right],n_{c2}\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{sin\α}}_n\\ -{\mathrm{cos\α}}_n\cos \mathrm{\β}\\ {\mathrm{cos\α}}_n\sin \mathrm{\β}\end{array}\right],$

令假想标准齿廓主动轮加工转角为φ₁′，产形齿条移动D_c＝r₁φ₁′，此时假想被动轮加工转角为：在S_c坐标系下，假想被动轮加工移动速度为：v_c ⁽²⁾＝ω_g×(r_c2-r_t)，这里，r_t＝(-r₂r₁φ₁′0)^T；ω_g为假想被动轮的加工角速度，ω_g＝dφ₂/dt，φ₂为假想被动轮加工转角，则啮合方程为：f(u_c,l_c,φ₁′)＝n_c2v_c ⁽²⁾，由啮合方程可求得l_c表达式，经坐标变换可得具有二阶传动误差的被动轮假想展成齿面的位置矢量和法向矢量为：r_g(u_c,φ₁′)＝M_gc(φ₁′)r_c2(u_c)， $n_g(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})=\frac{\∂r_s(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})}{\∂u_c}\×\frac{\∂r_s(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})}{\∂{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′}}.$

在本发明提供的渐开线齿轮成形砂轮计算方法中，还可以具有这样的特征：其中，步骤五的计算过程为：建立S、S₁、S₂、S₂′四个坐标系，且S₂与齿轮固连，Y₂为齿轮的旋转轴；S₂′为S₂绕Y₂轴旋转θ角度；S₁为辅助坐标系，它的三个坐标轴与S₂的三个坐标轴相平行，但它的原点在O₁；S与成形砂轮相固连，坐标原点O位于齿轮轴线与成形砂轮轴线最短轴间距a上，X与X₂轴重合但方向相反，Z轴总是成形砂轮的回转轴，它与Z₁轴正向的夹角为因此S、S₂的相对位置可由a、θ表示，将空间任意点A在S、S₁、S₂、S₂′坐标系下的矢量分别用r、r_g、r_w、r_δ表示，则从坐标系S₂′到S的坐标转换关系为：

这里，

因为成形砂轮回转面与工件螺旋面任一瞬间都是沿接触线相切接触的，故其接触线上任一点处的结构特征参数n(法向矢量)与运动特征参数v₁₂(相对造型运动速度)应满足：n·v₁₂＝0，这里，

坐标系S₁中，成形砂轮造型运动角速度ω在三个坐标轴上的投影下：从而得到，在S₁坐标系中，成形砂轮加工螺旋面的造型方程为：这里，a为成形砂轮与齿轮中心距；p为螺旋参数；为成形砂轮坐标系S与辅助坐标系S₁之间夹角。

发明的作用与效果

根据本发明所涉及的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，第一步、分析二阶传动误差曲线抛物线函数，建立二阶传动误差的数学模型，并计算出被动轮的转角，第二步、基于展成齿条法，得到具有二阶传动误差的假想展成齿面方程，第三步、计算出假想主动轮展成齿面，第四步、计算出具有二阶传动误差的假想被动轮展成齿面，第五步、计算出具有二阶传动误差的成形砂轮的造型方程，所以，本发明的渐开线齿轮成形砂轮计算方法能够根据预先设定的二阶传动误差计算出成形砂轮的造型方程，从而快速确定主动轮和从动轮的修形量，解决了现有技术中为了控制传动误差而反复进行试磨、调整的问题。

附图说明

图1是本发明的实施例中渐开线齿轮成形砂轮计算方法的动作流程图；

图2是本发明的实施例中二阶传动误差曲线示意图；

图3(a)是本发明的实施例中展成齿条齿廓坐标系示意图，图3(b)是本发明的实施例中展成齿条齿向坐标系示意图；

图4是本发明的实施例中主动轮展成坐标系示意图；

图5是本发明的实施例中被动轮展成坐标系示意图；

图6是本发明的实施例中成形砂轮磨削坐标系示意图；

图7是本发明的实施例中成形砂轮的廓形示意图；以及

图8是本发明的实施例中二阶传动误差仿真结果曲线示意图。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白了解，以下实施例结合附图对本发明的渐开线齿轮成形砂轮计算方法作具体阐述。

在本实施例中，渐开线齿轮成形砂轮计算方法100用于根据图中未显示的主动轮和从动轮之间预先设定的二阶传动误差，计算出用于对主动轮和从动轮的齿形进行磨削的成形砂轮的造型方程。

图1是本发明的实施例中渐开线齿轮成形砂轮计算方法的动作流程图。

如图1所示，渐开线齿轮成形砂轮计算方法包括以下步骤：

步骤S1，分析二阶传动误差的曲线的抛物线函数，建立二阶传动误差数学模型。

传动误差反映的是被动齿轮相对于主动齿轮滞后的转角，其定义为：

式(1)

其中，为二阶传动误差；表示啮合时主动轮和被动轮的转角；z₁、z₂分别是主动轮和被动轮的齿数；为被动轮的初始转角。

图2是本发明的实施例中二阶传动误差曲线示意图。

如图2所示，二阶传动误差的函数为一个周期函数，T为啮合周期，T＝2π/z₁；δ是二阶传动误差函数的形位参数，ε为二阶传动误差函数的幅值。通过分析二阶传动误差的函数曲线，得到：

式(2)

其中，X＝[b₀b₁b₂]，

令AX＝B，则 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& (-\mathrm{\δ}+T/2)& {(-\mathrm{\δ}+T/2)}^2\\ 1& (-\mathrm{\δ}-T/2)& {(-\mathrm{\δ}-T/2)}^2\\ 1& -\mathrm{\δ}& {\mathrm{\δ}}^2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\ϵ}\\ -\mathrm{\ϵ}\\ 0\end{array}\right].$

由X＝A^-1B，可计算得到二阶传动误差即、

式(3)

通过式(1)与式(3)，可计算得到被动轮的转角即、

式(4)

在加工被动轮时，以主动轮作为刀具，加工时的两齿轮转角由数控机床严格按照式(4)的函数关系进行。

然后进入步骤S2。

步骤S2，借助展成齿条方法，推导具有二阶传动误差的假想展成齿面方程，该方法根据渐开线圆柱齿轮啮合传动原理由渐开线齿廓的齿轮刀具与被加工面齿轮齿坯之间做展成运动实现。如下：

图3(a)是本发明的实施例中展成齿条齿廓坐标系示意图，图3(b)是本发明的实施例中展成齿条齿向坐标系示意图。

如图3(a)和3(b)所示，将齿廓切线方向x_a，齿廓法线方向y_a作为齿廓坐标系S_a；将齿向方向x_b，齿向法线方向y_b，齿条工作平面法线方向z_b作为辅助坐标系S_b；将齿条工作平面法线方向x_c，齿条进给方向y_c，齿条工作平面内进给速度法线方向z_c作为齿条动坐标系S_c，齿条齿面位置矢量和法向矢量表示为：

$r_c(u_c,l_c)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\α}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{sin\α}}_n-d_p{\mathrm{cos\α}}_n\\ (u_c{\mathrm{sin\α}}_n-a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\α}}_n+a_m-d_p{\mathrm{sin\α}}_n)cos\mathrm{\β}+l_{c}sin\mathrm{\β}\\ (-u_c{\mathrm{sin\α}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\α}}_n-a_m+d_p{\mathrm{sin\α}}_n)sin\mathrm{\β}+l_{c}cos\mathrm{\β}\end{array}\right],$ 式(5)

$n_c\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}sin{\mathrm{\α}}_n-2a_c{u}_{c}cos{\mathrm{\α}}_n\\ -({\mathrm{cos\α}}_n+2a_c{u}_c{\mathrm{sin\α}}_n)cos\mathrm{\β}\\ (cos{\mathrm{\α}}_n+2a_c{u}_c\sin {\mathrm{\α}}_n)sin\mathrm{\β}\end{array}\right],$ 式(6)

其中，u_c，l_c为齿面沿齿廓和齿长的参数；β为螺旋角；α_n为齿条压力角；α_m为半齿宽；d_p为抛物线极点位置；a_c为刀具齿廓抛物线修形系数。

然后进入步骤S3。

步骤S3，计算出假想主动轮展成齿面，如下：

图4是本发明的实施例中主动轮展成坐标系示意图。

如图4所示，将与齿条接触工作平面法线方向x_m，与齿条接触工作平面切线方向y_m，主动轮轴线方向z_m作为主动轮固定坐标系S_m；将主动轮轴线方向z_p作为轴线将坐标系S_m中x_m，y_m旋转φ₁得到x_p，y_p作为主动轮动坐标系S_p。当假想主动轮齿面转过φ₁时，产形齿条坐标系S_c移动r₁φ₁，其中r₁为假想主动轮节圆半径。由啮合原理，在展成齿条齿面和被展成主动轮齿面接触点上，法向矢量必须经过瞬轴Ι-Ι，啮合条件为：

$\frac{X_c-x_c}{n_{cx}}=\frac{Y_c-y_c}{n_{cy}}=\frac{Z_c-z_c}{n_{cz}},$ 式(7)

其中，X_c、Y_c、Z_c为瞬轴Ι-Ι在齿条坐标系S_c中的坐标；x_c、y_c、z_c为两齿面瞬时接触点坐标；n_cx、n_cy、n_cz为瞬时接触点的法向矢量。

令X_c＝0，可得假想主动轮的加工转角为：

${\mathrm{\φ}}_1=\frac{(y_c{n}_{cx}-x_c{n}_{cy})}{r_1{n}_{cx}},$ 式(8)

进一步，假想主动轮齿面的位置矢量和法向矢量为：

r_p(u_c,l_c)＝M_pc(φ₁)r_c(u_c,l_c)，式(9)

n_p(u_c,l_c)＝L_pc(φ₁)n_c(u_c,l_c)，式(10)

其中，M_pc为位置矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵；L_pc为法向矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵。

然后进入步骤S4。

步骤S4，计算出具有二阶传动误差的被动轮展成齿面，如下：

图5是本发明的实施例中被动轮展成坐标系示意图。

如图5所示，将主动轮与被动轮中心线方向x_n，与被动轮接触工作平面切线方向y_n，被动轮轴线方向z_n作为假想被动轮固定坐标系S_n；将被动轮轴线方向z_g将坐标系S_n中x_n，y_n旋转φ₂得到x_g，y_g作为假想被动轮动坐标系S_g。

在计算具有二阶传动误差的被动轮假想展成齿面之前，需要定义另一个假想标准齿廓主动轮，该假想标准齿廓主动轮不含修形量，坐标系为S_p′，其位置矢量和法向矢量为：

$r_{c2}\left(u_c,l_c\right)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\α}}_n\\ \left(u_c{\mathrm{sin\α}}_n+a_m\right)\cos \mathrm{\β}+l_c\sin \mathrm{\β}\\ \left(-u_c{\mathrm{sin\α}}_n-a_m\right)\sin \mathrm{\β}+l_c\sin \mathrm{\β}\end{array}\right],$ 式(11)

$n_{c2}\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{sin\α}}_n\\ -{\mathrm{cos\α}}_n\cos \mathrm{\β}\\ {\mathrm{cos\α}}_n\sin \mathrm{\β}\end{array}\right],$ 式(12)

令假想标准齿廓主动轮加工转角为φ₁′，产形齿条移动D_c＝r₁φ₁′，此时假想被动轮加工转角为：

${\mathrm{\φ}}_2=\frac{z_1}{z_2}{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′}+A^{-1}{\mathrm{BY}}^T,$ 式(13)

在S_c坐标系下，假想被动轮加工移动速度为：

${v_c}^{\left(2\right)}={\mathrm{\ω}}_g\×(r_{c2}-r_t),$ 式(14)

其中，r_t＝(-r₂r₁φ₁′0)^T；ω_g为假想被动轮的加工角速度，ω_g＝dφ₂/dt，φ₂为假想被动轮加工转角。

则啮合方程为：

f(u_c,l_c,φ₁′)＝n_c2v_c ⁽²⁾，式(15)

由啮合方程可计算出l_c表达式，经坐标变换则能够得到具有二阶传动误差的被动轮假想展成齿面的位置矢量和法向矢量为：

r_g(u_c,φ₁′)＝M_gc(φ₁′)r_c2(u_c)，式(16)

$n_g(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})=\frac{\∂r_s(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})}{\∂u_c}\×\frac{\∂r_s(u_c,{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′})}{\∂{{\mathrm{\φ}}_1}^{\′}}.$ 式(17)

然后进入步骤S5。

步骤S5，根据具有二阶传动误差的假想展成齿面方程，求解带有二阶传动误差的成形砂轮造型方程，如下：

图6是本发明的实施例中成形砂轮磨削坐标系示意图。

如图6所示，建立S、S₁、S₂、S₂′四个坐标系，其中,S₂与齿轮固连，Y₂为齿轮的旋转轴；S₂′为S₂绕Y₂轴旋转θ角度；S₁为辅助坐标系，它的三个坐标轴与S₂的三个坐标轴相平行，但它的原点在O₁；S与成形砂轮相固连，坐标原点O位于齿轮轴线与成形砂轮轴线最短轴间距(中心距a)上，X与X₂轴重合但方向相反，Z轴总是成形砂轮的回转轴，它与Z₁轴正向的夹角为因此S、S₂的相对位置可由a、θ表示。

将空间任意点A在S、S₁、S₂、S₂′坐标系下的矢量分别用r、r_g、r_w、r_δ表示，则从坐标系S₂′到S的坐标转换关系为：

式(18)

其中，

因为成形砂轮回转面与工件螺旋面任一瞬间都是沿接触线相切接触的，故其接触线上任一点处的结构特征参数n(法向矢量)与运动特征参数v₁₂(相对造型运动速度)应满足：

n·v₁₂＝0，式(19)

其中，

坐标系S₁中，成形砂轮造型运动角速度ω在三个坐标轴上的投影下：

式(20)

由式(16)(17)(18)(19)(20)可得在S₁坐标系中，成形砂轮加工螺旋面的造型方程为：

式(21)

其中，a为成形砂轮与齿轮中心距；p为螺旋参数；为成形砂轮坐标系S与辅助坐标系S₁之间夹角。

然后进入结束状态。

下面对本实施例的渐开线齿轮成形砂轮计算方法进行验证：

以单级渐开线斜齿轮减速器为例，已知功率为20kW，转速为1000r/min，输出单向旋转，传动比为3，5级精度，小齿轮和大齿轮材料为16MnCr5<渗碳>，载荷稳定而平稳，预期使用寿命为10年，每年300工作日，三班制。

其设计参数为：主动轮齿数z₁为27；被动轮齿数z₂为81；模数m_n/(mm)为3；法面压力角α_n/(°)为20；螺旋角β/(°)为15。

而且，其二阶传动误差幅值ε为2.476″，啮合周期T为0.203rad，形位参数δ为0。

主动轮齿廓修形系数a_c1＝0.002，被动轮齿廓修形系数为a_c2＝-0.001。

图7是本发明的实施例中成形砂轮的廓形示意图。

如图7所示，根据成形砂轮廓形算法得到成形砂轮精确廓形，从而完成实例齿轮副的成形法磨削加工过程。

根据上述步骤S1、S2、S3、S4以及S5，编写了计算机仿真程序，基于单级渐开线斜齿轮减速器的具体参数值，得到仿真结果。

图8是本发明的实施例中二阶传动误差仿真结果曲线示意图。

在图8中，设计传动误差表示预先设定的二阶传动误差，测量传动误差表示实际传动误差。那么，由图8可以看出：测量传动误差曲线与设计传动误差曲线之间最大误差分别为1.19″，说明本实施例的渐开线齿轮成形砂轮计算方法基于预先设定的二阶传动误差计算出成形砂轮造型方程是可行的，而且计算结果准确性高，计算精度能够满足工程设计的需求。进一步地，通过对设计传动误差进行调整，可实现对含有复杂修形要求的渐开线齿轮设计，同时实现对其动态性能的预控。

实施例的作用与效果

根据本实施例所涉及的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，第一步、分析二阶传动误差曲线抛物线函数，建立二阶传动误差的数学模型，并计算出被动轮的转角，第二步、基于展成齿条法，得到具有二阶传动误差的假想展成齿面方程，第三步、计算出假想主动轮展成齿面，第四步、计算出具有二阶传动误差的假想被动轮展成齿面，第五步、计算出具有二阶传动误差的成形砂轮的造型方程，所以，本发明的渐开线齿轮成形砂轮计算方法能够根据预先设定的二阶传动误差计算出成形砂轮的造型方程，从而快速确定主动轮和从动轮的修形量，解决了现有技术中为了控制传动误差而反复进行试磨、调整的问题。

上述实施方式为本发明的优选案例，并不用来限制本发明的保护范围。

Claims (6)

1.一种渐开线齿轮成形砂轮计算方法，用于根据预先设定的主动轮和从动轮之间的二阶传动误差，计算出用于对所述主动轮和所述从动轮的齿形进行磨削的成形砂轮的造型方程，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、分析二阶传动误差曲线抛物线函数，建立所述二阶传动误差的数学模型，并计算出被动轮的转角；

步骤二、基于展成齿条法，得到具有所述二阶传动误差的假想展成齿面方程；

步骤三、计算出假想主动轮展成齿面；

步骤四、计算出具有所述二阶传动误差的假想被动轮展成齿面；以及

步骤五、计算出具有所述二阶传动误差的所述成形砂轮的所述造型方程。

2.根据权利要求1所述的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，其特征在于：

其中，所述步骤一的计算过程为：

基于所述二阶传动误差的定义得到：

这里，为所述二阶传动误差；表示啮合时所述主动轮和所述被动轮的转角；z₁、z₂分别是所述主动轮和所述被动轮的齿数；为所述被动轮的初始转角，

进一步，通过分析所述二阶传动误差的函数曲线，得到：

这里，T为所述二阶传动误差的啮合周期，T＝2π/z₁；X＝[b₀b₁b₂]；

令AX＝B，则 $A=\left[\begin{array}{ccc}1& (-\mathrm{\&delta;}+T/2)& {(-\mathrm{\&delta;}+T/2)}^2\\ 1& (-\mathrm{\&delta;}-T/2)& {(-\mathrm{\&delta;}-T/2)}^2\\ 1& -\mathrm{\&delta;}& {\mathrm{\&delta;}}^2\end{array}\right],$ $B=\left[\begin{array}{c}-\mathrm{\&epsiv;}\\ -\mathrm{\&epsiv;}\\ 0\end{array}\right],$

这里，δ是所述二阶传动误差函数的形位参数；ε为所述二阶传动误差函数的幅值，

由X＝A^-1B，可计算得到所述二阶传动误差，即、

基于所述与所述计算得到所述被动轮的转角，即、

3.根据权利要求2所述的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，其特征在于：

其中，所述步骤二的计算过程为：

将齿廓切线方向x_a，齿廓法线方向y_a作为齿廓坐标系S_a；将齿向方向x_b，齿向法线方向y_b，齿条工作平面法线方向z_b作为辅助坐标系S_b；将齿条工作平面法线方向x_c，齿条进给方向y_c，齿条工作平面内进给速度法线方向z_c作为齿条动坐标系S_c，齿条齿面位置矢量和法向矢量表示为：

$r_c(u_c,l_c)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\&alpha;}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{sin\&alpha;}}_n-d_p{\mathrm{cos\&alpha;}}_n\\ (u_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n-a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\&alpha;}}_n+a_m-d_p{\mathrm{sin\&alpha;}}_n)cos\mathrm{\&beta;}+l_{c}sin\mathrm{\&beta;}\\ (-u_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n+a_c{u_c}^2{\mathrm{cos\&alpha;}}_n-a_m+d_p{\mathrm{sin\&alpha;}}_n)sin\mathrm{\&beta;}+l_{c}cos\mathrm{\&beta;}\end{array}\right],$

$n_c\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_n-2a_c{u}_c{\mathrm{cos\&alpha;}}_n\\ -({\mathrm{cos\&alpha;}}_n+2a_c{u}_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n)cos\mathrm{\&beta;}\\ ({\mathrm{cos\&alpha;}}_n+2a_c{u}_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n)sin\mathrm{\&beta;}\end{array}\right],$

这里，u_c，l_c为齿面沿齿廓和齿长的参数；β为螺旋角；α_n为齿条压力角；α_m为半齿宽；d_p为抛物线极点位置；a_c为刀具齿廓抛物线修形系数。

4.根据权利要求3所述的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，其特征在于：

其中，所述步骤三的计算过程为：

将与齿条接触工作平面法线方向x_m，与齿条接触工作平面切线方向y_m，主动轮轴线方向z_m作为主动轮固定坐标系S_m；将主动轮轴线方向z_p作为轴线将坐标系S_m中x_m，y_m旋转φ₁得到x_p，y_p作为主动轮动坐标系S_p，当假想主动轮齿面转过φ₁时，产形齿条坐标系S_c移动r₁φ₁，其中r₁为假想主动轮节圆半径。由啮合原理，在展成齿条齿面和被展成主动轮齿面接触点上，法向矢量必须经过瞬轴Ι-Ι，啮合条件为：

$\frac{X_c-x_c}{n_{cx}}=\frac{Y_c-y_c}{n_{cy}}=\frac{Z_c-z_c}{n_{cz}}$

这里，X_c、Y_c、Z_c为瞬轴Ι-Ι在齿条坐标系S_c中的坐标；x_c、y_c、z_c为两齿面瞬时接触点坐标；n_cx、n_cy、n_cz为瞬时接触点的法向矢量，

令X_c＝0，可得假想所述主动轮的加工转角为：

${\mathrm{\&phi;}}_1=\frac{(y_c{n}_{cx}-x_c{n}_{cy})}{r_1{n}_{cx}},$

假想主动轮齿面的位置矢量和法向矢量为：

r_p(u_c,l_c)＝M_pc(φ₁)r_c(u_c,l_c)，

n_p(u_c,l_c)＝L_pc(φ₁)n_c(u_c,l_c)，

这里，M_pc为位置矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵；L_pc为法向矢量从坐标系S_c到S_p的变换矩阵。

5.根据权利要求4所述的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，其特征在于：

其中，所述步骤四的计算过程为：

将主动轮与被动轮中心线方向x_n，与被动轮接触工作平面切线方向y_n，被动轮轴线方向z_n作为假想被动轮固定坐标系S_n；将被动轮轴线方向z_g将坐标系S_n中x_n，y_n旋转φ₂得到x_g，y_g作为假想被动轮动坐标系S_g，

定义另一个假想标准齿廓主动轮，且该假想标准齿廓主动轮不含修形量，坐标系为S_p′，其位置矢量和法向矢量为：

$r_{c2}(u_c,l_c)=\left[\begin{array}{c}{u}_c{\mathrm{cos\&alpha;}}_n\\ (u_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n+a_m)cos\mathrm{\&beta;}+l_{c}sin\mathrm{\&beta;}\\ (-u_c{\mathrm{sin\&alpha;}}_n-a_m)sin\mathrm{\&beta;}+l_{c}cos\mathrm{\&beta;}\end{array}\right],$

$n_{c2}\left(u_c\right)=\left[\begin{array}{c}{\mathrm{sin\&alpha;}}_n\\ -{\mathrm{cos\&alpha;}}_{n}cos\mathrm{\&beta;}\\ {\mathrm{cos\&alpha;}}_{n}sin\mathrm{\&beta;}\end{array}\right],$

令假想标准齿廓主动轮加工转角为φ₁′，产形齿条移动D_c＝r₁φ₁′，此时假想被动轮加工转角为：

${\mathrm{\&phi;}}_2=\frac{z_1}{z_2}{{\mathrm{\&phi;}}_1}^{\&prime;}+A^{-1}{\mathrm{BY}}^T,$

在S_c坐标系下，假想被动轮加工移动速度为：

v_c ⁽²⁾＝ω_g×(r_c2-r_t)，

这里，r_t＝(-r₂r₁φ₁′0)^T；ω_g为假想被动轮的加工角速度，ω_g＝dφ₂/dt，φ₂为假想被动轮加工转角，

则啮合方程为：

f(u_c,l_c,φ₁′)＝n_c2v_c ⁽²⁾，

由啮合方程可求得l_c表达式，经坐标变换可得具有二阶传动误差的被动轮假想展成齿面的位置矢量和法向矢量为：

r_g(u_c,φ₁′)＝M_gc(φ₁′)r_c2(u_c)，

$n_g(u_c,{{\mathrm{\&phi;}}_1}^{\&prime;})=\frac{\&part;r_s(u_c,{{\mathrm{\&phi;}}_1}^{\&prime;})}{\&part;u_c}\&times;\frac{\&part;r_s(u_c,{{\mathrm{\&phi;}}_1}^{\&prime;})}{\&part;{{\mathrm{\&phi;}}_1}^{\&prime;}}.$

6.根据权利要求5所述的渐开线齿轮成形砂轮计算方法，其特征在于：

其中，所述步骤五的计算过程为：

建立S、S₁、S₂、S₂′四个坐标系，且S₂与齿轮固连，Y₂为齿轮的旋转轴；S₂′为S₂绕Y₂轴旋转θ角度；S₁为辅助坐标系，它的三个坐标轴与S₂的三个坐标轴相平行，但它的原点在O₁；S与成形砂轮相固连，坐标原点O位于齿轮轴线与成形砂轮轴线最短轴间距a上，X与X₂轴重合但方向相反，Z轴总是成形砂轮的回转轴，它与Z₁轴正向的夹角为因此S、S₂的相对位置可由a、θ表示，

将空间任意点A在S、S₁、S₂、S₂′坐标系下的矢量分别用r、r_g、r_w、r_δ表示，则从坐标系S₂′到S的坐标转换关系为：

这里，

因为成形砂轮回转面与工件螺旋面任一瞬间都是沿接触线相切接触的，故其接触线上任一点处的结构特征参数n与运动特征参数v₁₂应满足：

n·v₁₂＝0，

这里，n＝(n_xn_yn_z)^T，

$\left\{\begin{array}{c}{n}_x=p\&CenterDot;\&lsqb;x^{\&prime;}\left(u_c\right)\&CenterDot;sin\mathrm{\&theta;}+y^{\&prime;}\left(u_c\right)\&CenterDot;cos\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\\ n_y=-p\&CenterDot;\&lsqb;x^{\&prime;}\left(u_c\right)\&CenterDot;cos\mathrm{\&theta;}-y^{\&prime;}\left(u_c\right)\&CenterDot;sin\mathrm{\&theta;}\&rsqb;\\ n_z=\&lsqb;n_x\&CenterDot;y_s\left(u_c\right)-n_y\&CenterDot;x_s\left(u_c\right)\&rsqb;/p\\ r^{\&prime;}=x^{\&prime;}\left(u_c\right)i_2+y^{\&prime;}\left(u_c\right)j_2+z^{\&prime;}\left(u_c\right)k_2\end{array}\right.;$

坐标系S₁中，成形砂轮造型运动角速度ω在三个坐标轴上的投影下：

从而得到，在S₁坐标系中，成形砂轮加工螺旋面的所述造型方程为：

这里，a为成形砂轮与齿轮中心距；p为螺旋参数；为成形砂轮坐标系S与辅助坐标系S₁之间夹角。