CN114091210B - 考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法 - Google Patents

Abstract

一种考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法，包括以下步骤：(1)建立磨齿加工坐标系；(2)建立齿面方程；(3)推导齿廓修形的交错轴齿轮传动啮合迹；(4)建立齿廓、齿向修形曲线方程；(5)计算考虑齿坯表面粗糙度的扭曲；(6)计算考虑齿坯、砂轮相对位置误差的扭曲；(7)齿面扭曲求解。本发明考虑齿廓修形、齿向修形、磨齿加工粗糙度、砂轮齿坯相对位置误差，推导出了带有齿廓修形的齿轮啮合迹方程，并考虑了蜗杆砂轮磨齿粗糙度、机床与工件综合位置误差对齿面扭曲的影响，可用于简化齿面扭曲的检测流程，提高检测效率，经实验验证具有较高的精度。

Description

考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法

技术领域

本发明涉及一种用于齿面扭曲预测的数学模型构建方法，属于齿面扭曲预测误差分析技术领域。

背景技术

齿轮的齿向修形能够提升齿轮的承载能力、降低啮合噪声，在设备中应用广泛。但采用蜗杆砂轮展成法加工带有齿向鼓形的斜齿轮时，存在齿面扭曲现象，引起啮合冲击、传动精度降低等一系列问题。受制于技术短板，扭曲检测的准确度一直不高。因此，研究一种齿面扭曲预报方法迫在眉睫。

现有技术中对斜齿轮齿面扭曲的产生和消除理论进行了研究：《复杂齿面连续展成磨削的运动几何学建模》([D].重庆大学,2016)中建立了复杂齿面连续展成磨削的运动几何学模型；《蜗杆砂轮磨削异形螺旋曲面中的齿面扭曲补偿方法研究》([D].重庆大学,2015)中提出一种蜗杆砂轮磨削齿面扭曲计算及补偿方法；《考虑连续展成磨齿工艺的拓扑修形齿轮设计方法研究》([D].重庆大学,2017)中提出优化齿向修形曲线减小齿面扭曲的方法；《展成磨齿扭曲计算方法研究及应用》([J].工具技术,2021,55(08):77-81)中提出一种齿面扭曲的误差预报模型。

但上述方法均没有考虑齿廓修形、蜗杆砂轮磨削过程中的磨粒形状导致的表面粗糙度、机床综合误差对齿面扭曲的影响。

同时，现有方法按照渐开线螺旋齿轮的理论进行齿面扭曲的分析，而修形齿轮不再是渐开线齿轮，不能沿用以往渐开线齿轮的理论进行齿廓误差的分析。

因此推导出交错轴修形齿轮的啮合规律、齿面扭曲理论非常重要。

发明内容

本发明针对现有技术存在的不足，提供一种考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法，该方法考虑齿廓修形、齿向修形、磨齿加工粗糙度、砂轮齿坯相对位置误差，可用于简化齿面扭曲的检测流程，提高检测效率。

本发明考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法，包括以下步骤：

(1)建立磨齿加工坐标系；

包括坐标系S(O-x,y,z)、S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)、S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)和S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)。

S(O-x,y,z)及S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个在空间固定的坐标系，z轴与蜗杆砂轮的回转轴线重合，z_p轴与齿坯的回转轴线重合，两轴线之间的夹角为∑。x轴与x_p轴重合，它们的方向就是蜗杆砂轮、齿坯轴线的最短距离方向，OO_p等于最短距离a。

坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与蜗杆砂轮固联，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与齿坯固联，在起始位置时，它们分别与S及S_p重合。蜗杆砂轮以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，并以速度v₀ ⁽¹⁾沿z轴匀速移动；齿坯以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，并以速度v₀ ⁽²⁾沿z_p轴匀速移动。规定ω⁽¹⁾、v₀ ⁽¹⁾及ω⁽²⁾、v₀ ⁽²⁾的正向分别与z及z_p的正向相同。从起始位置经过一段时间后，砂轮绕z轴转过角度齿坯绕z_p轴转过/>角，坐标系S₁(O₁-x₁，y₁，z₁)沿z轴平移距离L₁，坐标系S₂(O₂-x₂，y₂，z₂)沿z_p轴平移距离L₂；

(2)建立齿面方程；

根据磨齿加工坐标系建立以下齿面方程：

坐标系S₁中齿轮端面方程：

x_1端面＝r_bcosu+[r_bu+H(u)]sinu，

y_1端面＝r_bsinu-[r_bu+H(u)]cosu，

坐标系S₁中齿面方程：

x₁＝r_bcos(u+θ)+[r_bu+H(u)]sin(u+θ)，

y₁＝r_bsin(u+θ)-[r_bu+H(u)]cos(u+θ)，

z₁＝pθ，

坐标系S₁中齿面法向量：

n_x＝p[r_bu+H(u)]sin(u+θ)-pH′(u)cos(u+θ)，

n_y＝-p[r_bu+H(u)]cos(u+θ)-pH′(u)sin(u+θ)，

n_z＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]，

坐标系S中齿面方程：

z₀＝pθ，

坐标系S中齿面法向量方程：

n_z0＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]。

(3)推导齿廓修形的交错轴齿轮传动啮合迹；

当蜗杆砂轮、齿坯不沿轴线移动只作转动，可看作是交错轴齿轮传动。设M₁和M₂分别为齿面∑₁和∑₂上的任一对接触点，n₁和n₂分别表示砂轮齿面法向量、齿轮齿面法向量，r₁和r₂分别表示M₁和M₂初始位置时在静坐标系S和S_p中的径矢，当接触点M₁、M₂在M点接触时，要使两齿轮能够正确的啮合传动，需满足以下三个接触条件：

条件1：r₂＝r₁+ai，

条件2：n₁+n₂＝0，

条件3：啮合函数：n·V⁽¹²⁾＝0，

当两交错轴齿轮传动时，啮合方程式成为：

令ε＝u+θ+φ₁，

联立以上三式得到：

即ε＝ε(u)，

将ε＝ε(u)代入啮合方程式得到：

将上式代入齿面方程得啮合迹方程：

x₂＝r_b2 cosε+r_b2usinε，

y₂＝r_b2sinε-r_b2ucosε，

z₂＝pθ(u)，

对上式求导得到啮合迹的切线矢量：

(4)建立齿廓和齿向修形曲线方程；

在直角坐标系xoy中，建立齿廓修形曲线方程，以渐开线展开长度为横坐标，齿廓修形量为纵坐标，计算渐开线上任一点所对应的修形量。l₂表示鼓形段齿廓的展开长度，h₂表示鼓形齿的齿廓最大修形量。根据几何关系，建立齿廓修形曲线函数表达式如下。

令得到齿廓修形量H(y)与u的关系如下：

H(u)′＝λr_bu(r_bu²-l₂)。

其中

在直角坐标系zoy中，建立齿向修形曲线方程，横坐标z为齿向方向，纵坐标y为该条齿线的法向方向。修形曲线为抛物线，长度为齿宽b，最大修形量为g₂，其距离抛物线起始点为l₄，抛物线的终点高度为g₂。根据几何关系，建立齿向修形曲线的函数表达式。

(5)计算考虑齿坯表面粗糙度的扭曲；

蜗杆砂轮磨齿的齿面表面粗糙度能够很大程度上改变齿面的形状，蜗杆砂轮的倾角计算公式如下：

其中r_b1为齿轮基圆半径，r₁为齿轮节圆半径。

砂粒间距L、砂轮线速度v、相邻砂粒间时间间隔Δt、相邻砂粒间转角差Δθ计算公式如下所示：

上式单位为mm。

v＝r₁ω₁，

其中S为组织号，M为砂轮粒度。

三角形砂粒的高度符合正态分布N(u，σ²)。

u＝68M^-1.4μm，

渐开线齿轮弧长计算公式如下：

单颗砂粒所占平面面积计算公式如下：

得到的齿面粗糙度如下式所示。

上式能够很好的反应出齿面粗糙度的变化。

加工后的齿廓修形曲线如下所示：

H(u)′＝H(u)-R_a。

(6)计算考虑齿坯、砂轮相对位置误差的扭曲；

忽略机床的具体结构，只分析砂轮与工件之间的相对位置误差与齿面误差，即机床直线运动轴X、Y、Z轴的位置误差Δx、Δy、Δz对齿面齿形、齿向误差的关系，建立位置误差与齿面误差之间的关系模型，这样既可以为机床设计、制造、装配和系统控制提供参考，又可以为后续的误差补偿提供理论支持。

①齿坯相对刀具产生Z方向的位移时，对齿面的影响

齿坯产生Z方向的位移，相当于齿向修形曲线进行了平移，可将平移量累加到砂轮、齿坯几何中心高度差Sv上，如下式所示。

Sv’＝Sv±ΔzΔz沿Z轴正方向为正。当为右齿面时Δz取负，当为左齿面时Δz取正。

②齿坯相对刀具产生Y方向的位移时，对齿面的影响

由于蜗杆砂轮在Y方向具有一定长度，Y方向偏差对加工精度不产生影响。

③齿坯相对刀具产生X方向的位移时，对齿面的影响

扭曲函数出现附加值，具体计算方法如下：

G(z)’＝G(z)+ΔG

ΔG＝Δx·sinα

式中α为齿轮分度圆上的法面压力角。

(7)齿面扭曲求解；

将齿面展开得到齿面模型。齿面接触迹展成线分为两段，齿顶到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向的投影为长度为LL₁，齿根到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向上的投影为长度为LL₂，根据matlab算法得到LL₁和LL₂；

齿向修形后齿顶处任意一点的修形量为：

y₁＝f(x-ll₁)

齿向修形后齿根处任意一点的修形量为：

y₂＝f(x+ll₂)，

则任意端截面B₂P₂B₅的齿形误差为：

G＝y₁-y₂，齿面扭曲量是上下端面最大齿形误差的差值，则可以表示为：

本发明通过对交错轴螺旋齿轮理论的研究，考虑齿廓修形、齿向修形、磨齿加工粗糙度、砂轮齿坯相对位置误差，推导出了带有齿廓修形的齿轮啮合迹方程，并考虑了蜗杆砂轮磨齿粗糙度、机床与工件综合位置误差对齿面扭曲的影响，可用于简化齿面扭曲的检测流程，提高检测效率，经实验验证具有较高的精度。

附图说明

图1是磨齿过程的坐标系图。

图2是齿廓修形曲线图。

图3是齿向修形曲线图。

图4是展成磨齿表面粗糙度模型图；图4(a)是齿轮端截面上单颗砂粒造成的齿面凹坑示意图；图4(b)是齿轮端截面上相邻两颗颗砂粒造成的齿面凹坑示意图；图4(c)是展成磨几何关系示意图。

图5是啮合迹与齿向修形曲线示意图。

图6是啮合迹示意图。

图7是啮合迹与齿向修形曲线示意图。

具体实施方式

结合附图，以下对本发明考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法的具体过程详细说明。

1.磨齿加工坐标系的建立

磨齿加工坐标系的建立如图1所示。其中S(O-x,y,z)及S_p(O_p-x_p,y_p,z_p)是两个在空间固定的坐标系，z轴与蜗杆砂轮的回转轴线重合，z_p轴与齿坯的回转轴线重合，两轴线之间的夹角为∑。x轴与x_p轴重合，它们的方向就是蜗杆砂轮、齿坯轴线的最短距离方向，OO_p等于最短距离a。

坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)与蜗杆砂轮固联，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)与齿坯固联，在起始位置时，它们分别与S及S_p重合。蜗杆砂轮以匀角速度ω⁽¹⁾绕z轴转动，并以速度v₀ ⁽¹⁾沿z轴匀速移动；齿坯以匀角速度ω⁽²⁾绕z_p轴转动，并以速度v₀ ⁽²⁾沿z_p轴匀速移动。规定ω⁽¹⁾、v₀ ⁽¹⁾及ω⁽²⁾、v₀ ⁽²⁾的正向分别与z及z_p的正向相同。从起始位置经过一段时间后，滚刀1绕z轴转过角度齿坯2绕z_p轴转过/>角，坐标系S₂(O₂-x₂,y₂,z₂)沿z_p轴平移距离L₂，坐标系S₁(O₁-x₁,y₁,z₁)沿z轴平移距离L₁。

2.齿面方程的建立

坐标系S₁中齿轮端面方程如以下公式所示。

x_1端面＝r_bcosu+[r_bu+H(u)]sinu，

y_1端面＝r_bsinu-[r_bu+H(u)]cosu，

坐标系S₁中齿面方程如以下公式所示：

x₁＝r_bcos(u+θ)+[r_bu+H(u)]sin(u+θ)，

y₁＝r_bsin(u+θ)-[r_bu+H(u)]cos(u+θ)，

z₁＝pθ

坐标系S₁中齿面法向量方程如以下公式所示：

n_x＝p[r_bu+H(u)]sin(u+θ)-pH′(u)cos(u+θ)，

n_y＝-p[r_bu+H(u)]cos(u+θ)-pH′(u)sin(u+θ)，

n_z＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]，

坐标系S中齿面方程如以下公式所示：

z₀＝pθ，

坐标系S中齿面法向量方程如以下公式所示：

n_z0＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]，

3.齿廓修形的交错轴齿轮传动啮合迹的推导

当蜗杆砂轮、齿坯不沿轴线移动只作转动，可看作是交错轴齿轮传动。设M₁和M₂分别为齿面∑₁和∑₂上的任一对接触点，n₁和n₂分别表示砂轮齿面法向量、齿轮齿面法向量，r₁和r₂分别表示M₁、M₂初始位置时在静坐标系S和S_p中的径矢，当接触点M₁、M₂在M点接触时，要使两齿轮能够正确的啮合传动，需满足以下三个接触条件：

条件1：r₂＝r₁+ai，

条件2：n₁+n₂＝0，

条件3：啮合函数：n·V⁽¹²⁾＝0，

当两交错轴齿轮传动时，啮合方程式成为：

令ε＝u+θ+φ₁，

联立以上三式得到：

即ε＝ε(u)，

将ε＝ε(u)代入啮合方程式得到：

将上式代入齿面方程得啮合迹方程：

x₂＝r_b2 cosε+r_b2usinε，

y₂＝r_b2 sinε-r_b2ucosε，

z₂＝pθ(u)，

对上式求导得到啮合迹的切线矢量：

4.齿廓、齿向修形曲线方程的建立

在直角坐标系xoy中，建立齿廓修形曲线方程，如图2所示，图中以渐开线展开长度为横坐标，齿廓修形量为纵坐标，从图中计算渐开线上任一点所对应的修形量。l₂表示鼓形段齿廓的展开长度，h₂表示鼓形齿的齿廓最大修形量。根据几何关系，建立齿廓修形曲线函数表达式如下。

令得到齿廓修形量H(y)与u的关系如下：

H(u)′＝λr_bu(r_bu²-l₂)。

其中

在直角坐标系zoy中，建立齿向修形曲线方程，如图3。横坐标z为齿向方向，纵坐标y为该条齿线的法向方向。修形曲线为抛物线，长度为齿宽b，最大修形量为g₂，其距离抛物线起始点为l₄，抛物线的终点高度为g₂。根据几何关系，建立齿向修形曲线的函数表达式。

5.考虑齿坯表面粗糙度的扭曲计算

蜗杆砂轮磨齿的齿面表面粗糙度能够很大程度上改变齿面的形状。根据文献[5]，蜗杆砂轮在齿轮端面上的砂粒磨痕如图4所示。

根据《齿轮啮合原理》([M].西安:机械工业出版社，2009)，蜗杆砂轮的倾角计算公式如下：

其中r_b1为齿轮基圆半径，r₁为齿轮节圆半径。

根据文献《Modeling and predicting of surface roughness for generatinggrinding gear》([J].Journal of Materials Processing Technology,2013,213(5):717-721)，砂粒间距L、砂轮线速度v、相邻砂粒间时间间隔Δt、相邻砂粒间转角差Δθ计算公式如下所示：

上式单位为mm。

v＝r₁ω₁

其中S为组织号，M为砂轮粒度。

三角形砂粒的高度符合正态分布N(u,σ²)。

u＝68M^-1.4μm，

渐开线齿轮弧长计算公式如下：

单颗砂粒所占平面面积计算公式如下：

得到的齿面粗糙度如下式所示。

上式能够很好的反应出齿面粗糙度的变化。

加工后的齿廓修形曲线如下所示：

H(u)′＝H(u)-R_a

6.考虑齿坯、砂轮相对位置误差的扭曲计算

在展成磨齿过程中，大型数控展成磨齿机外形尺寸庞大、结构复杂、运动部件众多，涉及到直线轴和回转轴的定位误差、直线度误差与转角误差以及运动轴线之间的相对位姿误差等众多运动误差项，虽然理论上可以将所有的误差项加入到齿面误差模型之中，但这样一来，会极大增加计算过程的工作量和模型的复杂性，以及误差补偿的难度。考虑到由机床几何误差会通过误差传递作用而集中反映到砂轮与工件端，使砂轮-工件产生相对位置误差，成为影响展成磨齿加工精度的主要因素。因此，在研究成形磨齿的齿面加工误差时，可以忽略机床的具体结构，只需分析砂轮与工件之间的相对位置误差与齿面误差，即机床直线运动轴X、Y、Z轴的位置误差Δx、Δy、Δz对齿面齿形、齿向误差的关系，建立位置误差与齿面误差之间的关系模型，这样既可以为机床设计、制造、装配和系统控制提供参考，又可以为后续的误差补偿提供理论支持。

①齿坯相对刀具产生Z方向的位移时，对齿面的影响

齿坯产生Z方向的位移，相当于齿向修形曲线进行了平移，可将平移量累加到砂轮、齿坯几何中心高度差Sv上，如下式所示。

Sv’＝Sv±Δz

Δz沿Z轴正方向为正。当为右齿面时Δz取负，当为左齿面时Δz取正。

②齿坯相对刀具产生Y方向的位移时，对齿面的影响

由于蜗杆砂轮在Y方向具有一定长度，Y方向偏差对加工精度不产生影响。

③齿坯相对刀具产生X方向的位移时，对齿面的影响

扭曲函数出现附加值，具体计算方法如下：

G(z)’＝G(z)+ΔG

ΔG＝Δx·sinα

式中α为齿轮分度圆上的法面压力角。

7.齿面扭曲求解

将齿面展开得到图5所示的齿面模型。齿面接触迹展成线分为两段，齿顶到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向的投影为长度为LL₁，齿根到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向上的投影为长度为LL₂。根据matlab算法得到LL₁和LL₂，根据matlab算法得到LL₁和LL₂。

由前面分析可知，齿向修形后齿顶处任意一点的修形量为：

y₁＝f(x-ll₁)

齿向修形后齿根处任意一点的修形量为：

y₂＝f(x+ll₂)

则端截面B₂P₂B₅(任意端截面)的齿形误差为：

G＝y₁-y₂

齿面扭曲量是上下端面最大齿形误差的差值，则可以表示为：

以下给出具体实施例。

加工过程的工艺参数如下表所示：

齿轮工艺参数	数值
		砂轮粒度M	60
组织号S	5
		砂轮倾角αj	19.8330°
法向模数mn	4.25mm
		齿数z	21
砂轮直径系数q	9
		中心距a	63.75mm
螺旋角β	17.81°
		砂轮角速度ω1	35rad/s
渐开线展开线长度L2	6.8148mm
		法向压力角αn	20°
传动比i21	21
		砂粒高度h	0.22μm
最大齿廓修形量h2	6μm
		最大齿向修形量g2	16μm
齿宽B	46mm

根据上表生成的齿轮展开图如图6所示。横坐标为齿轮转角，纵坐标为啮合迹。可以看出，啮合迹有明显的倾斜，与渐开线齿轮的直线形啮合迹有较明显的区别。

展成磨削斜齿轮时，当砂轮中心在齿宽中部时刻，接触轨迹同分度圆的交点与齿宽中点有一个高度差Sv，如图7所示。

Sv计算公式如下：

由matlab计算出LL₁＝1.2mm，LL₂＝4.9mm。

通过matlab计算得到上齿面齿廓误差9.5μm，下齿面齿廓误差7.4μm，扭曲量＝17μm。

Claims (2)

1.一种考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法，其特征是，包括以下步骤：

(1)建立磨齿加工坐标系；

(2)建立齿面方程；

(3)推导齿廓修形的交错轴齿轮传动啮合迹；

(4)建立齿廓、齿向修形曲线方程；

(5)计算考虑齿坯表面粗糙度的扭曲；

(6)计算考虑齿坯、砂轮相对位置误差的扭曲；

(7)齿面扭曲求解；

所述步骤(1)建立的磨齿加工坐标系包括S(O-x，y，z)、S_p(O_p-x_p，y_p，z_p)、S₁(O₁-x₁，y₁，z₁)、S₂(O₂-x₂，y₂，z₂)四个坐标系；

S(O-x，y，z)及S_p(O_p-x_p，y_p，z_p)是两个在空间固定的坐标系，z轴与蜗杆砂轮的回转轴线重合，z_p轴与齿坯的回转轴线重合，两轴线之间的夹角为∑；x轴与x_p轴重合，它们的方向就是蜗杆砂轮和齿坯的回转轴线的最短距离方向，OO_p等于最短距离a；

坐标系S₁(O₁-x₁，y₁，z₁)与蜗杆砂轮固联，坐标系S₂(O₂-x₂，y₂，z₂)与齿坯固联，在起始位置时，它们分别与S及S_p重合；OO₁＝L₁，O_pO₂＝L₂；

所述步骤(2)建立的齿面方程根据步骤(1)建立的磨齿加工坐标系包括：

坐标系S₁中齿轮端面方程：

x_1端面＝r_bcosu+[r_bu+H(u)]sinu，

y_1端面＝r_bsinu-[r_bu+H(u)]cosu，

坐标系S₁中齿面方程：

x₁＝r_bcos(u+θ)+[r_bu+H(u)]sin(u+θ)，

y₁＝r_bsin(u+θ)-[r_bu+H(u)]cos(u+θ)，

z₁＝pθ，

坐标系S₁中齿面法向量方程：

n_x＝p[r_bu+H(u)]sin(u+θ)-pH′(u)cos(u+θ)，

n_y＝-p[r_bu+H(u)]cos(u+θ)-pH′(u)sin(u+θ)，

n_z＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]，

坐标系S中齿面方程：

z₀＝pθ，

坐标系S中齿面法向量方程：

n_z0＝[r_bu+H(u)][r_b+H′(u)]；

所述步骤(3)推导齿廓修形的交错轴齿轮传动啮合迹的过程是：

当蜗杆砂轮和齿坯不沿轴线移动只作转动时看作是交错轴齿轮传动，设M₁和M₂分别为齿面∑₁和∑₂上的任一对接触点，n₁和n₂分别表示砂轮齿面法向量和齿轮齿面法向量，r₁和r₂分别表示M₁和M₂初始位置时在静坐标系S和S_p中的径矢，当接触点M₁和M₂在M点接触时，要使两齿轮能够正确的啮合传动，需满足以下三个接触条件：

条件1：r₂＝r₁+ai，

条件2：n₁+n₂＝0，

条件3：啮合函数：n·V⁽¹²⁾＝0，

当两交错轴齿轮传动时，啮合方程式成为：

令ε＝u+θ+Φ₁，

联立以上三式得到：

即ε＝ε(u)，

将ε＝ε(u)代入啮合方程式得到：

将上式代入齿面方程得啮合迹方程：

x₂＝r_b2 cosε+r_b2usinε，

y₂＝r_b2 sinε-r_b2ucosε，

z₂＝pθ(u)，

对上式求导得到啮合迹的切线矢量：

所述步骤(4)建立齿廓和齿向修形曲线方程的过程是：

在直角坐标系xoy中，建立齿廓修形曲线方程，以渐开线展开长度为横坐标，齿廓修形量为纵坐标，计算渐开线上任一点所对应的修形量；l₂表示鼓形段齿廓的展开长度，h₂表示鼓形齿的齿廓最大修形量，根据几何关系，建立齿廓修形曲线函数表达式如下：

令得到齿廓修形量H(y)与u的关系如下：

H(u)′＝λr_bu(r_bu²-l₂)，

其中

在直角坐标系zoy中，建立齿向修形曲线方程，横坐标z为齿向方向，纵坐标y为该条齿线的法向方向，修形曲线为抛物线，长度为齿宽b，最大修形量为g₂，其距离抛物线起始点为l₄，抛物线的终点高度为g₂，根据几何关系，建立齿向修形曲线的函数表达式：

所述步骤(5)计算考虑齿坯表面粗糙度的扭曲的过程是：

蜗杆砂轮的倾角计算公式如下：

其中r_b1为齿轮基圆半径，r₁为齿轮节圆半径；

砂粒间距L、砂轮线速度v、相邻砂粒间时间间隔Δt、相邻砂粒间转角差Δθ计算公式如下所示：

上式单位为mm；

v＝r₁ω₁，

其中S为组织号，M为砂轮粒度；

三角形砂粒的高度符合正态分布N(u，σ²)；

渐开线齿轮弧长计算公式如下：

单颗砂粒所占平面面积计算公式如下：

得到的齿面粗糙度如下式：

加工后的齿廓修形曲线如下所示：

H(u)′＝H(u)-R_a；

所述步骤(6)计算考虑齿坯和砂轮相对位置误差的扭曲的过程是：

忽略机床的具体结构，只分析砂轮与工件之间的相对位置误差与齿面误差，即机床直线运动轴X、Y、Z轴的位置误差Δx、Δy、Δz对齿面齿形、齿向误差的关系，建立位置误差与齿面误差之间的关系模型；

①齿坯相对刀具产生Z方向的位移时，对齿面的影响：

齿坯产生Z方向的位移，相当于齿向修形曲线进行了平移，将平移量累加到砂轮、齿坯几何中心高度差Sv上，如下式所示：

Sv’＝Sv±Δz，

Δz沿Z轴正方向为正，当为右齿面时Δz取负，当为左齿面时Δz取正；

②齿坯相对刀具产生Y方向的位移时，对齿面的影响：

由于蜗杆砂轮在Y方向具有一定长度，Y方向偏差对加工精度不产生影响；

③齿坯相对刀具产生X方向的位移时，对齿面的影响：

扭曲函数出现附加值，具体计算方法如下：

G(z)’＝G(z)+ΔG，

ΔG＝Δx·sinα，

式中α为齿轮分度圆上的法面压力角。

2.根据权利要求1所述的考虑齿廓修形的展成磨齿齿面扭曲预测模型构建方法，其特征是，所述步骤(7)齿面扭曲求解的过程是：

将齿面展开得到齿面模型，齿面接触迹展成线分为两段，齿顶到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向的投影为长度为LL₁，齿根到分度圆的接触迹展成线在齿宽方向上的投影为长度为LL₂，根据matlab算法得到LL₁和LL₂；

齿向修形后齿顶处任意一点的修形量为：

y₁＝f(x-ll₁)，

齿向修形后齿根处任意一点的修形量为：

y₂＝f(x+ll₂)，

则任意端截面B₂P₂B₅的齿形误差为：

G＝y₁-y₂，

齿面扭曲量是上下端面最大齿形误差的差值，表示为：