CN108628254A - 力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供的一种力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，其步骤如下：由公式(1)可得工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值Δa，然后将Δa带入公式(4)得到h，滚刀转过角，可由公式(3)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(2)式得出齿面参数u值，从而得到滚刀蜗杆齿侧面I齿面参数u和θ，同理可得滚刀蜗杆齿侧面II齿面参数u和θ，对不同的角可得出滚刀齿侧面I和II方程的所有啮合点，由(u,θ)得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征，通过获取在滚削力的作用下得到工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值，根据误差值以及切削力获取滚刀齿面参数，由获得的齿面参数得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征，从而为精加工齿轮的加工方法选择提供理论依据。

Description

力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法

技术领域

本发明涉及机械零件加工领域，尤其涉及一种力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法。

背景技术

滚齿加工是用滚刀来加工齿轮，类似于一对交错螺旋轮啮合。这对啮合齿轮传动副中，齿轮滚刀螺旋线法向剖面各刀齿面也一根齿条，当滚刀连续转动时就相于一根无限长齿条沿刀具轴向连续移动。齿轮滚刀按给定切削速度作旋转运动时，工件则按齿轮齿条啮合关系传动(即当滚刀转一圈，相当于齿条移动一个或几个齿距，齿轮坏也相应转过一个或几个齿距)，齿坏上切出齿槽，形成渐开线齿面。当滚刀与工件连续转动时，便工件整个圆周上依次切出所有齿槽。

由以上原理可以看出，在滚齿加工中，滚齿机机床的动静态特性对齿轮的加工质量有很大影响，滚齿产生的时变切削力是迫使工件主轴和滚刀主轴变形的重要因素。这些变形会影响齿轮的最终加工的形位误差，如不充分考虑，最终产品的精度会有不利影响。而现有技术中并没有对由于切削力导致的部件变形对产品精度影响进行精准的分析，导致最终产品精度不达标，影响最终的使用领域及范围。

因此，这就有必要建立由于切削力导致的部件变形对最终产品质量的影响的分析体系，从而为精加工齿轮的加工方法选择提供理论依据

发明内容

有鉴于此，本发明提供一种力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，利用切削力导致的部件变形数据，分析对最终产品质量的影响，根据切削力的数值范围以及部件变形数据获取滚刀齿面参数从而能够预测产品的齿面特征，为精加工齿轮的加工方法选择提供理论依据。

本发明提供的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，包括下列步骤：

a.获取在滚削力的作用下得到工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值：

其中：m_n—为滚刀法向模数(mm)；z—为工件齿数；K₁、K₂、K₃为工件材料修正系数、工件硬度修正系数、工件螺旋角修正系数；f—为滚刀耐用度；n_h—为滚刀主轴转速(r/min)；H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)； E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)；X_1max和X_2max分别为工件主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量；

b.获取滚刀齿面参数u和θ；

(1)滚刀蜗杆齿侧面I齿面参数u和θ

滚刀蜗杆齿侧面I的啮合方程为：

其中：

c₁＝r_b1 sinλ_b1 (7)

i₂₁＝N₁/N₂ (9)

i_2v＝2sinβ_p2/m_nN₂ (10)

N₁—滚刀头数；N₂—工件齿数；m_n—滚刀法向模数；β_p2—齿轮分度圆螺旋角；α_t1—渐开线端面齿形角；r_b1—滚刀基圆半径；λ_b1—滚刀基圆导程角；a—工件主轴、滚刀主轴之间的中心距；

滚刀转过角，可由公式(3)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(2)式得出齿面参数u值；

(2)滚刀蜗杆齿侧面II齿面参数u和θ

蜗杆齿侧面II的啮合方程为：

其中：

c'₁＝-r_b1 sinλ_b1 (17)

滚刀转过角，可由公式(13)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(12)式得出齿面参数u值；

c.对不同的角可得出滚刀齿侧面I和II方程的所有啮合点，由(u,θ)得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征。

进一步，步骤a中，所述滚削力的获取包括下列步骤：

Ⅰ、建立工件坐标系O₁X₁Y₁Z₁，将工件坐标系绕轴旋转角形成滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂，所述角为滚刀安装角：

其中，β_p2—工件螺旋角；λ_p1—滚刀螺旋升角；

在坐标系中：

F_t—滚刀切削分力；F_r—滚刀径向分力；—滚刀水平分力；—滚刀轴向分力；

Ⅱ、将力F_r、F_t、坐标系绕Y₂轴顺时针旋转ψ角，ψ为F_t与X轴方向的夹角，即可得在滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂下滚削分力

获取工件坐标系中

将(21)式带入(23)式可得：

Ⅲ、获取滚刀切削分力：

进一步，步骤a中，工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值根据下列方法获得：

由工件主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量△X_1max、△X_2max；

将公式(20)(25)整理入公式(26)，得

其中，H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)；E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)。

进一步，步骤b中，获取滚刀齿面参数u和θ包括下列步骤：

Ⅰ、设定滚刀安装坐标系o_hx_hy_hz_h和工件安装坐标系o_px_py_pz_p，坐标系 o₁x₁y₁z₁加工过程中随滚刀绕z_h轴连续回转，坐标系o₂x₂y₂z₂加工过程中随工件绕z_p轴连续回转；

坐标系o_px_py_pz_p至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o_hx_hy_hz_h至坐标系o_px_py_pz_p的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o_hx_hy_hz_h的齐次坐标变换矩阵为

则坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

M₂₁＝M_2p M_ph M_h1 (31)

Σ—z_h轴和z_p轴之间的夹角；a+Δa—误差下中心距为；ω₁—坐标系 o₁x₁y₁z₁旋转角速度；ω₂—o₂x₂y₂z₂旋转角速度为，o₂x₂y₂z₂并以速度v沿z_p轴正向匀速移动；滚刀绕z_h轴转至角，工件绕z_p轴转至角，工件沿z_p轴正向移动l；

Ⅱ、滚刀基本蜗杆为渐开线蜗杆，右旋蜗杆的齿侧面I、II方程分别为：

其中，p₁——滚刀螺旋参数；

Ⅲ、蜗杆齿侧面I的单位法向矢量

设滚刀上任意啮合点齐次坐标P₁＝[x₁ y₁ z₁ 1]^T，其单位法向矢量可表示成n₁＝[n_x1 n_y1 n_z1 0]^T，滚刀与工件在接触点处的啮合方程式：

其中，

n₂＝M₂₁·n₁ (37)

P₂＝M₂₁·P₁ (38)

则联立(28)至(32)、(9)、(10)、(37)、(38)式带入(36)式化简可得：

将渐开线蜗杆方程(33)式、其单位法向量(35)式带入(39)式得啮合方程：

将(7)、(8)式带入(40)式得所述式(3)；

蜗杆齿侧面II的单位法向矢量

n'₁＝[-sinλ_b1 sin(θ+μ) -sinλ_b1 cos(θ+μ) cosλ_b1] (41)

将渐开线蜗杆方程(34)式、其单位法向量(41)式带入(39)式得啮合方程：

将(17)、(18)式带入(42)式解得(13)式。

本发明的有益效果：本发明的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，获取在滚削力的作用下得到工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值，根据误差值以及切削力获取滚刀齿面参数，由获得的齿面参数得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征，从而为精加工齿轮的加工方法选择提供理论依据。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述：

图1为滚削加工受力分析示意图；

图2为滚刀主轴受力弯曲变形示意图；

图3为工件主轴受力弯曲变形示意图；

图4为滚齿加工空间啮合坐标系；

图5为滚刀包络生成齿轮齿面；

图6为滚刀包络生成齿轮齿廓；

图7为理论与实际齿廓对比分析图。

具体实施方式

本发明的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，包括下列步骤：

a.获取在滚削力的作用下得到工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值：

其中：m_n—为滚刀法向模数(mm)；z—为工件齿数；K₁、K₂、K₃为工件材料修正系数、工件硬度修正系数、工件螺旋角修正系数；f—为滚刀耐用度；n_h—为滚刀主轴转速(r/min)；H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)； E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)；X_1max和X_2max分别为工件主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量；

b.获取滚刀齿面参数u和θ；

(1)滚刀蜗杆齿侧面I齿面参数u和θ

滚刀蜗杆齿侧面I的啮合方程为：

其中：

c₁＝r_b1 sinλ_b1 (7)

i₂₁＝N₁/N₂ (9)

i_2v＝2sinβ_p2/m_nN₂ (10)

N₁—滚刀头数；N₂—工件齿数；m_n—滚刀法向模数；β_p2—齿轮分度圆螺旋角；α_t1—渐开线端面齿形角；r_b1—滚刀基圆半径；λ_b1—滚刀基圆导程角；a—工件主轴、滚刀主轴之间的中心距；

滚刀转过角，可由公式(3)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(2)式得出齿面参数u值；

(2)滚刀蜗杆齿侧面II齿面参数u和θ

蜗杆齿侧面II的啮合方程为：

其中：

c'₁＝-r_b1 sinλ_b1 (17)

滚刀转过角，可由公式(13)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(12)式得出齿面参数u值；

c.对不同的角可得出滚刀齿侧面I和II方程的所有啮合点，由(u,θ)得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征。

本实施例中，步骤a中，所述滚削力的获取包括下列步骤：

Ⅰ、在滚齿加工过程中，其实质是一个复杂的空间啮合过程，为更好的分析切削力需建立工件坐标系O₁X₁Y₁Z₁。同时为了保证齿轮滚切过程符合齿轮啮合原理以获得正确的齿形，必须使滚刀的螺旋方向与齿轮齿槽的螺旋方向保持一致，因此，将工件坐标系绕轴旋转角形成滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂，所述角为滚刀安装角：

其中，β_p2—工件螺旋角；λ_p1—滚刀螺旋升角；

在滚齿加工过程中各切削分力之间的关系如图1示，获取滚刀主轴扭矩，进一步得到滚削分力的大小关系，建立了滚削时(逆铣)滚刀各切削分力的公式，即在坐标系中：

F_t—滚刀切削分力；F_r—滚刀径向分力；—滚刀水平分力；—滚刀轴向分力；

Ⅱ、将力F_r、F_t、坐标系绕Y₂轴顺时针旋转ψ角，ψ为F_t与X轴方向的夹角，即可得在滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂下滚削分力

根据图1，可得：

获取工件坐标系中

将(21)式带入(23)式可得：

Ⅲ、获取滚刀切削分力：

本实施例中，在齿轮滚削加工中，刀杆主轴、工件主轴在滚削力的作用下会产生弯曲变形，导致滚刀与工件的中心距发生变化，从而影响齿轮的加工精度，因此，获取滚刀主轴、工件主轴的变形是齿轮加工误差的主要影响因素，为获取最终滚削力致变形误差与齿轮精度的映射规律提供了理论依据；根据滚刀、工件的安装方式将滚刀主轴、工件主轴简化为简支梁(如图2 所示)和悬臂梁(如图3所示)，并分析滚刀主轴、工件主轴受到X、Y、Z 三个方向时的变形量，再根据滚刀加工齿轮过程的数学模型获取力致变形误差对齿轮加工精度。

步骤a中，工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值根据下列方法获得：

由于方向对齿轮滚轮加工误差的影响最大，所以以方向来分析滚削力作用下滚刀主轴和工作台主轴的弯曲变形，可分别得到工作台主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量△X_1max、△X_2max；

将公式(20)(25)整理入公式(26)，得

其中，H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)；E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)。

进一步，步骤b中，获取滚刀齿面参数u和θ包括下列步骤：

Ⅰ、通常在齿轮啮合运动中，两齿轮只按固定传动比作单纯的滚动，而在滚齿加工过程中，滚刀绕自身轴线转动的同时沿工件轴线做进给运动，且两个运动相互独立，因此对滚齿加工过程进行以下双自由度啮合理论分析。

如图4所示，为滚齿加工空间啮合坐标系，已知滚刀安装坐标系o_hx_hy_hz_h和工件安装坐标系o_px_py_pz_p，且两z轴之间的夹角为Σ，中心距为a，误差下中心距为a+Δa；坐标系o₁x₁y₁z₁与滚刀固联，加工过程中随滚刀绕z_h轴连续回转，且旋转角速度为ω₁；坐标系o₂x₂y₂z₂与工件固联，加工过程中随工件绕 z_p轴连续回转，且旋转角速度为ω₂，并以速度v沿z_p轴正向匀速移动(与滚刀以速度v沿z_p轴负向做进给运动的结果是一致的)。当工件运动到图示位置时，滚刀绕z_h轴转至角，工件绕z_p轴转至角，工件沿z_p轴正向移动l；

坐标系o_px_py_pz_p至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o_hx_hy_hz_h至坐标系o_px_py_pz_p的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o_hx_hy_hz_h的齐次坐标变换矩阵为

则坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

M₂₁＝M_2p M_ph M_h1 (31)

Σ—z_h轴和z_p轴之间的夹角；a+Δa—误差下中心距为；ω₁—坐标系 o₁x₁y₁z₁旋转角速度；ω₂—o₂x₂y₂z₂旋转角速度为，o₂x₂y₂z₂并以速度v沿z_p轴正向匀速移动；滚刀绕z_h轴转至角，工件绕z_p轴转至角，工件沿z_p轴正向移动l；

Ⅱ、滚刀基本蜗杆为渐开线蜗杆，右旋蜗杆的齿侧面I、II方程分别为：

其中，p₁——滚刀螺旋参数；

Ⅲ、蜗杆齿侧面I的单位法向矢量

n₁＝[-sinλ_b1 sin(θ+μ) sinλ_b1 cos(θ+μ) -cosλ_b1] (35)

设滚刀上任意啮合点齐次坐标P₁＝[x₁ y₁ z₁ 1]^T，其单位法向矢量可表示成n₁＝[n_x1 n_y1 n_z1 0]^T，滚刀与工件在接触点处的啮合方程式：

其中，

n₂＝M₂₁·n₁ (37)

P₂＝M₂₁·P₁ (38)

则联立(28)至(32)、(9)、(10)、(37)、(38)式带入(36)式化简可得：

将渐开线蜗杆方程(33)式、其单位法向量(35)式带入(39)式得啮合方程：

将(7)、(8)式带入(40)式得所述式(3)；

蜗杆齿侧面II的单位法向矢量

n'₁＝[-sinλ_b1 sin(θ+μ) -sinλ_b1 cos(θ+μ) cosλ_b1] (41)

将渐开线蜗杆方程(34)式、其单位法向量(41)式带入(39)式得啮合方程：

将(17)、(18)式带入(42)式解得(13)式。

具体实施例：

按上述方法针对某机床厂提供的参数进行计算；滚刀耐用度的推存值按表一所示选择，工件材料、硬度及螺旋角修正系数分别按表二、表三、表四进行选取。

表一、滚刀耐用度推荐值

表二、工件材料修正系数

表三、工件材料硬度修正系数

表四、工件螺旋角修正系数

根据滚齿机加工参数，结合表一、表二、表三、表四可得滚削力所需的滚刀和工件主轴的参数值，如下表所示：

表五、滚齿切削工艺参数表

将各参数值带入公式(1)、(17)计算可得：

运用MATLAB按上述方法进行数值计算，得到理想情况下滚刀包络生成的齿轮理论齿面，如图5所示，滚刀包络生成的齿轮理论齿廓，如图6所示。理论与实际齿廓对比如图7所示。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而非限制，尽管参照较佳实施例对本发明进行了详细说明，本领域的普通技术人员应当理解，可以对本发明的技术方案进行修改或者等同替换，而不脱离本发明技术方案的宗旨和范围，其均应涵盖在本发明的权利要求范围当中。

Claims (4)

1.一种力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，其特征在于：包括下列步骤：

a.获取在滚削力的作用下得到工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值：

其中：m_n—为滚刀法向模数(mm)；z—为工件齿数；K₁、K₂、K₃为工件材料修正系数、工件硬度修正系数、工件螺旋角修正系数；f—为滚刀耐用度；n_h—为滚刀主轴转速(r/min)；H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)；E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)；X_1max和X_2max分别为工件主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量；

b.获取滚刀齿面参数u和θ；

(1)滚刀蜗杆齿侧面I齿面参数u和θ

滚刀蜗杆齿侧面I的啮合方程为：

其中：

c₁＝r_b1sinλ_b1 (7)

i₂₁＝N₁/N₂ (9)

i_2v＝2sinβ_p2/m_nN₂ (10)

N₁—滚刀头数；N₂—工件齿数；m_n—滚刀法向模数；β_p2—齿轮分度圆螺旋角；α_t1—渐开线端面齿形角；r_b1—滚刀基圆半径；λ_b1—滚刀基圆导程角；a—工件主轴、滚刀主轴之间的中心距；

滚刀转过角，可由公式(3)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(2)式得出齿面参数u值；

(2)滚刀蜗杆齿侧面II齿面参数u和θ

蜗杆齿侧面II的啮合方程为：

其中：

c'₁＝-r_b1sinλ_b1 (17)

滚刀转过角，可由公式(13)得出齿面参数θ值，再将θ值带入公式(12)式得出齿面参数u值；

c.对不同的角可得出滚刀齿侧面I和II方程的所有啮合点，由(u,θ)得到啮合点的集合在工件坐标系下的表示即为被加工工件齿面特征。

2.根据权利要求1所述的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，其特征在于：

步骤a中，所述滚削力的获取包括下列步骤：

Ⅰ、建立工件坐标系O₁X₁Y₁Z₁，将工件坐标系绕轴旋转角形成滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂，所述角为滚刀安装角：

其中，β_p2—工件螺旋角；λ_p1—滚刀螺旋升角；

在坐标系中：

F_t—滚刀切削分力；F_r—滚刀径向分力；—滚刀水平分力；—滚刀轴向分力；

Ⅱ、将力F_r、F_t、坐标系绕Y₂轴顺时针旋转ψ角，ψ为F_t与X轴方向的夹角，即可得在滚刀坐标系O₂X₂Y₂Z₂下滚削分力

获取工件坐标系中

将(21)式带入(23)式可得：

Ⅲ、获取滚刀切削分力：

3.根据权利要求2所述的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，其特征在于：

步骤a中，工件主轴、滚刀主轴最短距离的误差值根据下列方法获得：

由工件主轴、滚刀主轴在滚削力的作用下最大弯曲变形量△X_1max、△X_2max；

将公式(20)(25)整理入公式(26)，得

其中，H—为工件主轴离床身上表面的高度(mm)；E₁—工件主轴材料弹性模量(MPa)；R₁—工件主轴半径(mm)；L—滚刀主轴长度(mm)；E₂—滚刀主轴材料弹性模量(MPa)；R₂—滚刀主轴半径(mm)。

4.根据权利要求1所述的力致误差下滚齿加工齿面参数获取方法，其特征在于：步骤b中，获取滚刀齿面参数u和θ包括下列步骤：

Ⅰ、设定滚刀安装坐标系o_hx_hy_hz_h和工件安装坐标系o_px_py_pz_p，坐标系o₁x₁y₁z₁加工过程中随滚刀绕z_h轴连续回转，坐标系o₂x₂y₂z₂加工过程中随工件绕z_p轴连续回转；

坐标系o_px_py_pz_p至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o_hx_hy_hz_h至坐标系o_px_py_pz_p的齐次坐标变换矩阵为

坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o_hx_hy_hz_h的齐次坐标变换矩阵为

则坐标系o₁x₁y₁z₁至坐标系o₂x₂y₂z₂的齐次坐标变换矩阵为

M₂₁＝M_2pM_phM_h1 (31)

Σ—z_h轴和z_p轴之间的夹角；a+Δa—误差下中心距为；ω₁—坐标系o₁x₁y₁z₁旋转角速度；ω₂—o₂x₂y₂z₂旋转角速度为，o₂x₂y₂z₂并以速度v沿z_p轴正向匀速移动；滚刀绕z_h轴转至角，工件绕z_p轴转至角，工件沿z_p轴正向移动l；

Ⅱ、滚刀基本蜗杆为渐开线蜗杆，右旋蜗杆的齿侧面I、II方程分别为：

其中，p₁——滚刀螺旋参数；

Ⅲ、蜗杆齿侧面I的单位法向矢量

n₁＝[-sinλ_b1sin(θ+μ) sinλ_b1cos(θ+μ) -cosλ_b1] (35)

设滚刀上任意啮合点齐次坐标P₁＝[x₁ y₁ z₁ 1]^T，其单位法向矢量可表示成n₁＝[n_x1n_y1 n_z1 0]^T，滚刀与工件在接触点处的啮合方程式：

其中，

n₂＝M₂₁·n₁ (37)

P₂＝M₂₁·P₁ (38)

则联立(28)至(32)、(9)、(10)、(37)、(38)式带入(36)式化简可得：

将渐开线蜗杆方程(33)式、其单位法向量(35)式带入(39)式得啮合方程：

将(7)、(8)式带入(40)式得所述式(3)；

蜗杆齿侧面II的单位法向矢量

n'₁＝[-sinλ_b1sin(θ+μ) -sinλ_b1cos(θ+μ) cosλ_b1] (41)

将渐开线蜗杆方程(34)式、其单位法向量(41)式带入(39)式得啮合方程：

将(17)、(18)式带入(42)式解得(13)式。