CN110826158B - 一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease‑off修形设计方法，该方法根据啮合原理，推导与大轮完全共轭的小轮齿面，根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理进行自由Ease‑off曲面设计，并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面。建立考虑轮齿受载变形的螺旋锥齿轮啮入冲击模型，基于轮齿TCA、LTCA技术，准确计算啮合轮齿的实际啮入点位置及刚度，其中实际啮入点表示为被动轮理论啮入点位矢在啮合坐标系下旋转微小角度后获得，理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点所确定。以最大啮入冲击力最小、齿面最大载荷最小为优化目标，获得最优目标修形齿面。本发明在较小的适配量下提高强度的同时减小啮合冲击力，为后续螺旋锥齿轮动力学分析提供理论基础。

Description

一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计 方法

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，具体涉及一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法。

背景技术

准双曲面齿轮广泛应用于车辆主减速器，随着减速器齿轮向高速、重载方向的发展，强度和振动噪声已成为影响产品质量的瓶颈。齿轮啮合时，轮齿变形和误差使接触齿对产生“基节误差”，导致轮齿在啮入点与啮出点偏离理论啮合线，转速突变并引起线外啮合冲击。线外啮合冲击是重要振动和噪声激励源。目前，主要是针对渐开线圆柱齿轮通过解析法和有限元法进行冲击研究。解析法将轮齿误差与变形等效于啮合线，通过反转作图法确定啮入冲击位置与冲击参量间的关系，以冲击时的能量转换关系获得啮入冲击力。有限元法借助有限元分析软件ANSYS/LS-DYNA对齿轮啮入冲击过程进行了数值仿真，与解析法获得结果一致，可用于复杂齿轮齿面啮合冲击计算，但对齿面节点、网格划分的精度及装配精度要求较高，计算效率较低，不适合工程应用。解析法可将啮合冲击力表示为冲击刚度、冲击速度的非线性函数，而冲击刚度、冲击速度与冲击位置有很大关系。螺旋锥齿轮齿面复杂，初始啮入点的位置难以确定，冲击速度的计算较为困难，目前相关的研究很少。轮齿修形是在齿轮的共轭齿面上去除部分材料，以减小啮合冲击、啮合刚度波动等，是降低齿轮传动系统的振动和噪声的有效途径。传统的螺旋锥齿面设计方法集中于修正摇台型机床运动参数的抛物线传动误差齿面，有效地解决了齿面边缘应力集中问题，但造成了齿轮副失配量过大，不能从根本上改善齿轮副动态啮合特性。为了合理控制齿面失配量，一种新颖的Ease-off齿面拓扑修正技术已成为螺旋锥齿轮齿面设计与加工的研究热点。目前，Ease-off修形齿面主要应用于轻载工况下的接触区域匹配验证，还无法实现自由Ease-off修形齿面的设计，因此，需要提出一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮Ease-off修形齿面设计方法以便更精确的分析传动系统的动态性能。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述现有技术存在的不足，提供了一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法，该方法以期待啮合冲击力的有效快速计算，并在较小的适配量下提高强度的同时更好的减小啮合冲击力，为后续螺旋锥齿轮动力学分析提供更合理科学的理论基础。

本发明采用如下技术方案来实现的：

一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法，该方法首先根据啮合原理，将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系中，获得与大轮完全共轭的小轮齿面位矢、法矢；其次根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理，通过预置传动误差与法向多段抛物线修形曲面进行自由Ease-off曲面设计，并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面；建立考虑轮齿受载变形的螺旋锥齿轮啮入冲击数学模型，基于轮齿TCA、LTCA技术，准确计算啮合轮齿的实际啮入点位置，其中实际啮入点表示为被动轮理论啮入点位矢在啮合坐标系下旋转微小角度后获得，而理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点所确定位置，啮入冲击的刮行过程属于非正常啮合过程，该过程中也发生了弹性变形，因此该微小角度表示为被动轮沿小轮齿面刮形时间内转过的角度与大轮的承载变形角之和；根据实际啮入点的位矢、法矢及齿轮副安装关系推导啮入点的冲击速度；根据LTCA得到的轮齿承载变形及载荷分配系数，准确获得啮入点处的刚度；基于冲击时的能量转换关系获得啮入冲击力，以最大啮入冲击力最小、齿面最大载荷最小为优化目标，获得最优目标修形齿面；并分析负载和输入转速对啮入冲击力的影响。

本发明进一步的改进在于，该方法具体包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达

小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数；将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀分别为：

r₁₀(u,β,θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮原始齿面位矢、法矢；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵；

步骤2：小轮法向修形曲面表达

修形改变共轭齿面的接触间隙，其中齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙；通过预置传动误差及多段抛物线修形参数，对小轮齿面进行修形，进而改变共轭齿面的初始接触间隙；几何传动误差采用如下4次抛物多项式表达：

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄为曲线参数；仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形曲面表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数；为了方便表达，通过下式(7)齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，θ_a为旋转变换角，ζ为齿廓修形量其表达式为：

其中e₀、e₁、d₁、d₂为抛物线修形曲线参数；

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达

在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，得到确定的小轮解析齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达

Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型

根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，Ease-off修形齿面的表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角；化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，得到确定解；

步骤6：承载传动误差计算

通过TCA、LTCA方法得到一个啮合周期轮齿法向位移，将法向位移转化为啮合线转角即被动轮承载传动误差表示为：

ψ_e＝Z(R_g×e_g·n_g) (14)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量，下标g代表被动轮，Z法向承载变形；

步骤7：啮入冲击位置的确定

轮齿在实际啮合过程中，靠近被动轮的齿顶与靠近主动轮齿根提前接触进入啮合，在进一步的转动过程中被动轮的齿顶接触线沿小齿轮齿面向其齿根刮行到达啮合冲击结束位置，即理论啮入位置；理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点，随载荷的不断增加，啮入冲击结束点不断变化，载荷减小时，逐渐向啮合转换点靠近；此时即将进入啮合的被动轮的位置，看作是其在理论啮合位置的基础上退回了一个微小角度，该微小角度表示为：

式中z₂为大轮齿数，因此啮合坐标系下，啮入冲击点位矢、法矢表示为：

式中R_h为啮合坐标系下接触点的位矢；M_s2为大轮动坐标系到啮合坐标坐标变换矩阵，L_s2为对应的3×3子矩阵；

步骤8：啮入冲击刚度的确定

考虑到啮入冲击时间很短，此过程中其他正常啮合齿对的变形受冲击齿对的影响可忽略，因此，啮入冲击刚度应为冲击点的单齿啮合刚度：

式中：F_p为法向静态啮合力；L_s为理论啮入点载荷分配系数；Z为法向承载变形量；K_s为啮入位置单齿啮合刚度；K_n为轮齿综合啮合刚度；

步骤9：啮入冲击速度的确定

冲击速度表示为正常啮合时冲击位置点沿啮合法矢方向相对速度，啮入点的冲击速度v_s与冲击点的位矢、法矢相关，表达式如下：

式中：v₁、v₂为啮合坐标系下小、大轮接触点绝对速度矢量；e₁、e₂为小、大轮轴线方向单位矢量，E为参考坐标系原点至e₂作用线任一点的位置矢量即偏置距矢量；w₁为小轮角速度数值，z₁为小轮齿数，m′传动误差1阶导数；

步骤10：啮入冲击力的确定

根据冲击力学理论，冲击动能、齿面法向变形和啮入冲击力的关系得到初始啮入点的啮入冲击力表示为：

式中：J₁、J₂为主、被动轮转动惯量；r′_b1,r′_b2为主、被动轮瞬时基圆半径；

步骤11：最优Ease-off修形曲面的确定

优化齿面的最大载荷最小和一个啮合周期的啮入冲击力最小，分别确定齿间接触间隙参数和齿面法向接触间隙参数；这里通过粒子群算法进行优化，目标函数为：

式中y为优化变量；Q_min、Q_max为变量范围；w为权系数G₁₀、G₂₀和G₁、G₂分别为修形前、后最大啮入冲击力和最大载荷。

本发明至少具有如下有益的技术效果：

本发明根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理进行自由Ease-off曲面设计，并与螺旋锥齿轮共轭齿面叠加表示修形齿面，推导修形齿面的法矢，通过解析方法准确的表达了螺旋锥齿轮修形齿面，使得修形齿面没有脱离理论齿面，但更为灵活且齿轮副失配量较小，有利于提高强度改善动态啮合特性。基于轮齿TCA、LTCA技术，准确计算啮合轮齿的实际啮入点位置，推导啮入点冲击速度及刚度。优化最大啮入冲击力及最大齿面载荷最小确定最优Ease-off曲面，通过与传统修形齿面、共轭齿面的冲击力的对比，可以保证齿轮副有合理的适配量即保证强度的同时降低了轮齿啮入冲力；随载荷的增加，修形齿面的理论啮入点总是从大轮远离大端和齿顶的位置逐渐向靠接大端和齿顶的方向移动，当齿间间隙消除完毕后，啮入点的位置不再变化；最优Ease-off齿面的啮入点刚度及啮入冲击速度的下降，导致啮入冲击力降低，而当啮入冲击位置不再变化时，随载荷的增加啮入冲击力逐渐增加，随转速增加啮合冲击力基本线性增加。该数值计算方法为进一步的高性能齿面动力学分析提供了更科学的理论依据方法。

附图说明

图1为本发明展成准双曲面齿轮啮合坐标系；

图2a为本发明四阶传动误差曲线；

图2b为本发明接触线修形曲面示意；

图2c为本发明齿廓修形曲线示意；

图3a为本发明啮入冲击开始位置示意；

图3b为本发明不同载荷啮入冲击结束位置示意；

图3c为本发明啮入冲击速度原理图；

图4a为本发明理论齿面对应的Ease-off曲面；

图4b为本发明最优Ease-off曲面；

图5a为本发明理论齿面多载荷承载传动误差及理论啮入点示意；

图5b为本发明最优Ease-off齿面多载荷承载传动误差及理论啮入点示意；

图6a为本发明理论齿面大轮的接触印痕及大轮啮入冲击位置点示意；

图6b为本发明最优Ease-off齿面的大轮的接触印痕及大轮啮入冲击位置点示意；

图7a为本发明共轭齿面、理论齿面及最优Ease-off齿面的单齿啮合刚度对比；

图7b为本发明共轭齿面、理论齿面及最优Ease-off齿面的额定工况最大啮入冲击力对比；

图7c为本发明共轭齿面、理论齿面及最优Ease-off齿面的多载荷最大冲击速度对比；

图7d为本发明共轭齿面、理论齿面及最优Ease-off齿面的多载荷最大啮入冲击力对比；

图7e为本发明共轭齿面、理论齿面及最优Ease-off齿面的多转速最大啮入冲击力对比；

图8为本发明设计流程图。

具体实施方式

下面以HFT法加工的准双曲面齿轮为例，结合附图对本发明进一步说明。

如图8所示，本发明提供的一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法，包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达。小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数。大轮与小轮啮合坐标系如图1所示，坐标系S_s、S_r和S_q为参考坐标系，S₂为大轮动坐标系；V为偏置距，H₁、H₂分别为小、大轮节锥顶点到交叉点的距离，Σ为轴交角；将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系S₁中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀通过下式确定：

r₁₀(u,β,θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮原始齿面位矢、法矢；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵。

步骤2：小轮法向修形曲面表达。修形改变共轭齿面的接触间隙(齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙)。几何传动误差反映了初始齿间间隙大小，其不改变的接触线长度和接触路径，改变不同啮合位置间的齿面载荷分配及承载变形，其对振动影响较大。齿面法向间隙可改变接触线的长度和接触路径，避免一定的边缘应力集中；二者均对安装误差敏感性有影响。

仅包含齿间间隙修形设计时，需要考虑啮入、啮出端有足够的传动误差以减小啮合冲击，且啮合周期内同时接触齿对的齿间间隙应相差不大以减小承载变形幅值，因此需要考虑抛物线传动误差或中部可能形成内凹形状的传动误差齿间间隙设计曲线如图2a所示，可用如下4次抛物多项式表达：

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄可通过图2a中p₀～p₄点的数据求解，λ₁、λ₂、ε₁～ε₄为齿间接触间隙待定参数；仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式可参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形设计需要考虑齿根、齿顶有一定的齿廓修形以避免边缘应力集中，且接触迹线也应避免齿顶及两齿侧的边缘接触，因此啮入、啮出端修形量应有一定的扭曲如图2b所示；该修形曲面可表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数。为了方便表达，可通过图2c的齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，θ_a为旋转变换角，ζ为齿廓修形量其表达式为：

其中e₀、e₁、d₁、d₂为抛物线修形曲线参数。

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达。在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，可得到确定的小轮解析修形齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达。Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型。可根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，该方法同数字化齿面的TCA分析原理基本相同。本发明专利中Ease-off修形齿面有确定的解析表达式，这里仍采用传统的TCA方法，表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角。化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，可得到确定解。

步骤6：承载传动误差计算。通过TCA、LTCA方法得到一个啮合周期轮齿法向位移，将法向位移转化为啮合线转角即被动轮承载传动误差表示为：

ψ_e＝Z(R_g×e_g·n_g) (14)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量，下标“g”代表被动轮，“p”代表主动轮；Z法向承载变形。

步骤7：啮入冲击位置的确定。轮齿在实际啮合过程中，靠近被动轮的齿顶A点与靠近主动轮齿根的A′处提前接触进入啮合，在进一步的转动过程中被动轮的齿顶A处的接触线沿小齿轮齿面向其齿根刮行到达A处，再从A点沿理论啮合线方向正常啮合直至退出，如图3a所示，其中A点为啮合冲击结束位置(理论啮入接触位置)。理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点如图3b所示，在载荷1、载荷2工况下啮入点分别为A、B，当载荷大于载荷2时，随载荷的不断增加，啮入冲击点不在变化，载荷减小时，逐渐向啮合转换点C靠近。此时即将进入啮合的被动轮的位置，可看作是其在理论啮合位置的基础上退回了一个微小角度，需要说明的是啮入冲击的刮形过程属于非正常啮合过程，大量时间和理论研究表明刮形时间占啮合周期的5％～20％，这里取10％，因此该角度如图3c所示可表示为：

式中z₂为大轮齿数，因此啮合坐标系下，啮入冲击点位矢、法矢表示为：

式中R_h为啮合坐标系下接触点的位矢；M_s2为大轮动坐标系到啮合坐标坐标变换矩阵，L_s2为对应的3×3子矩阵。

步骤8：啮入冲击刚度的确定。考虑到啮入冲击时间很短，此过程中其他正常啮合齿对的变形受冲击齿对的影响可忽略，因此，啮入冲击刚度应为冲击点的单齿啮合刚度：

式中：F_p为法向静态啮合力；L_s为理论啮入点载荷分配系数；Z为法向承载变形量；K_s为啮入位置单齿啮合刚度；K_n为轮齿综合啮合刚度。

步骤9：啮入冲击速度的确定。冲击速度简单表示为正常啮合时冲击位置点沿啮合法矢方向相对速度，按照该方法标准渐开线齿面的啮入冲击速度必定为零，显然该计算方法有待商榷，对于修形齿轮，在啮入点不共轭，所以计算的冲击速度不为零，但显然是偏小的。将螺旋锥齿轮等效成齿理论啮入点处锥齿轮的当量圆柱齿轮，借鉴圆柱齿轮的图解法将啮入冲击速度表示为理论啮合点的大轮半径、大轮啮入初始点承载变形、主动轮转速的非线性函数，但螺旋锥齿轮在齿长方向节圆半径的变化的，导致其计算的冲击速度误差就比较大。啮入点的冲击速度v_s计算如下：

式中：v₁、v₂为啮合坐标系下小、大轮接触点绝对速度矢量；e₁、e₂为小、大轮轴线方向单位矢量，E为参考坐标系原点至e₂作用线任一点的位置矢量(偏置距矢量)；w₁为小轮角速度数值，z₁为小轮齿数，m′传动误差1阶导数。

步骤10：啮入冲击力的确定。根据冲击力学理论，冲击动能、齿面法向变形和啮入冲击力的关系得到初始啮入点的啮入冲击力表示为：

式中：J₁、J₂为主、被动轮转动惯量；r′_b1,r′_b2为主、被动轮瞬时基圆半径。

步骤11：最优Ease-off修形曲面的确定。优化齿面的最大载荷最小和一个啮合周期的啮入冲击力最小，可确定齿间接触间隙参数和齿面法向接触间隙参数。优化过程即通过改变齿面初始间隙求解TCA、LTCA方法的一个非线性迭代过程，且存在多个局部解，因此需要寻找一种高效的优化方法，粒子群算法具有全局收敛性，可以求解具有多个局部极值的非线性优化问题，这里通过该方法进行优化，目标函数为：

式中y为优化变量；Q_min、Q_max为变量范围；w为权系数G₁₀、G₂₀和G₁、G₂分别为修形前、后最大啮入冲击力和最大载荷。

为验证本发明的啮入冲击修形优化效果，以表1所示的准双曲面齿轮副几何参数及表2所示的原始理论齿面加工参数进行实例计算。大轮额定扭矩为1000N.m工况下，表3为最优Ease-off曲面参数。

表1准双曲面齿轮副几何参数

表2准双曲面齿轮加工参数

表3最优Ease-off曲面参数

理论齿面对应的Ease-off曲面(见图4a)与最优Ease-off曲面(见图4b)，分别与接触区域匹配一致，理论齿面(见图5a)与最优Ease-off齿面(见图5b)接触印痕均为内对角接触，在啮合转换点有一定的幅值，可以降低安装误差的敏感性(见图6a,6b)。由于螺旋锥齿轮局部共轭，啮入点位置不会发生在大轮齿顶，啮入冲击点位置随载荷发生变化，随载荷的增加，理论啮入点总是从远离大端和齿顶的位置逐渐向靠近大端和齿顶的方向移动；当齿间间隙消除完毕后，啮入点的位置不再变化，总是在靠近大端齿顶处。

在负载1000N.m时，理论齿面齿间间隙消除完毕，啮入接触点在大轮齿顶；最优Ease-off齿面啮入接触点离大端齿顶有一定离，载荷大于1800N.m时齿间间隙彻底消除，因此最优Ease-off齿面在啮入点承担的载荷最少，显然共轭齿面承担的载荷多，导致单齿啮合刚度最大(见图7a)；随载荷的增加，承载变形逐渐增大，共轭齿面啮入点的冲击速度逐渐增加，修形后啮入冲击点位置发生变化导致冲击速度变化，齿间间隙消除完毕后即啮入冲击位置不再变化时，冲击速度随载荷增加而缓慢增加(见图7b)；额定载荷下最优Ease-off齿面的啮入冲击力最小，下降到共轭齿面的6％，主要是因为啮入点刚度及冲击速度降低导致(见图7c)。

额定转速下，随载荷增加共轭齿面啮入点位置不变，单齿刚度逐及啮入冲击速度的增加导致啮入冲击力逐渐增大；随载荷增加修形齿面啮入点位置发生改变，单齿刚度及啮入冲击速度的下降，导致啮入冲击力降低，而当啮入冲击位置不再变化时，啮入冲击力逐渐增加(见图7d)；额定载荷下，随转速增加啮入冲击力线性增加(见图7)。

Claims (1)

1.一种基于啮入冲击最小的螺旋锥齿轮齿面Ease-off修形设计方法，其特征在于，该方法首先根据啮合原理，将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系中，获得与大轮完全共轭的小轮齿面位矢、法矢；其次根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理，通过预置传动误差与法向多段抛物线修形曲面进行自由Ease-off曲面设计，并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面；建立考虑轮齿受载变形的螺旋锥齿轮啮入冲击数学模型，基于轮齿TCA、LTCA技术，准确计算啮合轮齿的实际啮入点位置，其中实际啮入点表示为被动轮理论啮入点位矢在啮合坐标系下旋转微小角度后获得，而理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点所确定位置，啮入冲击的刮行过程属于非正常啮合过程，该过程中也发生了弹性变形，因此该微小角度表示为被动轮沿小轮齿面刮形时间内转过的角度与大轮的承载变形角之和；根据实际啮入点的位矢、法矢及齿轮副安装关系推导啮入点的冲击速度；根据LTCA得到的轮齿承载变形及载荷分配系数，准确获得啮入点处的刚度；基于冲击时的能量转换关系获得啮入冲击力，以最大啮入冲击力最小、齿面最大载荷最小为优化目标，获得最优目标修形齿面；并分析负载和输入转速对啮入冲击力的影响；

该方法具体包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达

小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数；将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀分别为：

r₁₀(u,β，θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ2₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮原始齿面位矢、法矢；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵；

步骤2：小轮法向修形曲面表达

修形改变共轭齿面的接触间隙，其中齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙；通过预置传动误差及多段抛物线修形参数，对小轮齿面进行修形，进而改变共轭齿面的初始接触间隙；几何传动误差采用如下4次抛物多项式表达：

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄为曲线参数；仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形曲面表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数；为了方便表达，通过下式(7)齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，θ_a为旋转变换角，ζ为齿廓修形量其表达式为：

其中e₀、e₁、d₁、d₂为抛物线修形曲线参数；

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达

在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，得到确定的小轮解析齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达

Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型

根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，Ease-off修形齿面的表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角；化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，得到确定解；

步骤6：承载传动误差计算

通过TCA、LTCA方法得到一个啮合周期轮齿法向位移，将法向位移转化为啮合线转角即被动轮承载传动误差表示为：

ψ_e＝Z(R_g×e_g·n_g) (14)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量，下标g代表被动轮，Z法向承载变形；

步骤7：啮入冲击位置的确定

轮齿在实际啮合过程中，靠近被动轮的齿顶与靠近主动轮齿根提前接触进入啮合，在进一步的转动过程中被动轮的齿顶接触线沿小齿轮齿面向其齿根刮行到达啮合冲击结束位置，即理论啮入位置；理论啮入位置为几何传动误差与承载传动误差曲线的交点，随载荷的不断增加，啮入冲击结束点不断变化，载荷减小时，逐渐向啮合转换点靠近；此时即将进入啮合的被动轮的位置，看作是其在理论啮合位置的基础上退回了一个微小角度，该微小角度表示为：

式中z₂为大轮齿数，因此啮合坐标系下，啮入冲击点位矢、法矢表示为：

式中R_h为啮合坐标系下接触点的位矢；M_s2为大轮动坐标系到啮合坐标坐标变换矩阵，L_s2为对应的3×3子矩阵；

步骤8：啮入冲击刚度的确定

考虑到啮入冲击时间很短，此过程中其他正常啮合齿对的变形受冲击齿对的影响可忽略，因此，啮入冲击刚度应为冲击点的单齿啮合刚度：

式中：F_p为法向静态啮合力；L_s为理论啮入点载荷分配系数；Z为法向承载变形量；K_s为啮入位置单齿啮合刚度；K_n为轮齿综合啮合刚度；

步骤9：啮入冲击速度的确定

冲击速度表示为正常啮合时冲击位置点沿啮合法矢方向相对速度，啮入点的冲击速度v_s与冲击点的位矢、法矢相关，表达式如下：

式中：v₁、v₂为啮合坐标系下小、大轮接触点绝对速度矢量；e₁、e₂为小、大轮轴线方向单位矢量，E为参考坐标系原点至e₂作用线任一点的位置矢量即偏置距矢量；w₁为小轮角速度数值，z₁为小轮齿数，m′传动误差1阶导数；

步骤10：啮入冲击力的确定

根据冲击力学理论，冲击动能、齿面法向变形和啮入冲击力的关系得到初始啮入点的啮入冲击力表示为：

式中：J₁、J₂为主、被动轮转动惯量；r′_b1,r′_b2为主、被动轮瞬时基圆半径；

步骤11：最优Ease-off修形曲面的确定

优化齿面的最大载荷最小和一个啮合周期的啮入冲击力最小，分别确定齿间接触间隙参数和齿面法向接触间隙参数；这里通过粒子群算法进行优化，目标函数为：

式中y为优化变量；Q_min、Q_max为变量范围；w为权系数G₁₀、G₂₀和G₁、G₂分别为修形前、后最大啮入冲击力和最大载荷。