JPH0953702A - 歯車設計方法，歯車および歯車測定方法 - Google Patents

Abstract

(57)【要約】 【課題】インボリュート平歯車を除くインボリュート歯
車において、回転騒音を低減させる。 【解決手段】インボリュート平歯車を除くインボリュー
ト歯車の軸受荷重の変動が０となるときのその歯車の接
触点軌跡を、その歯面と作用面との交線に直角な直線で
あって、軸直角平面（図において一点鎖線で示す）に対
して傾斜した直線として求め、歯車対の各歯面のうち歯
面上の接触点軌跡に沿って延びる中央領域においては、
基準となるインボリュートヘリコイドを歯面としてその
まま残す一方、その両側領域においては、インボリュー
トヘリコイドを修整し、この領域を非歯当たり領域とす
る。

Description

【発明の詳細な説明】

【０００１】

【発明の属する技術分野】本発明は、インボリュート歯
車に関するものであり、特に、その歯面に関するもので
ある。

【０００２】

【従来の技術】歯車の回転騒音を低減させるには、歯車
の運動とその運動に伴ってその歯車に生じる荷重変動
（動荷重）とをそれぞれ解析したり、その解析結果に基
づいて歯車を設計することが有効である。それら解析お
よび設計のための理論として、歯形論、すなわち、幾何
学的に共役な歯面対とその接触状況とをそれぞれ記述す
るための理論と、動荷重論、すなわち、歯車対の運動と
その歯車対に作用する動荷重とをそれぞれ記述するため
の理論とがある。

【０００３】そして、従来の歯形論は、各歯車と共に回
転しない静止座標系と各歯車と共に回転する回転座標系
とをそれぞれ定義し、各歯車について与えられた角速度
から、静止座標系上において、歯車対の各接触点毎に、
歯車対の接触の条件式を満足する共通法線を求め、回転
座標系上において、それら接触点の軌跡と共通法線とか
ら各歯車の歯形曲線を記述する。この従来の歯車論は、
歯面同士の接触点とその共通法線とをそれぞれピッチ回
転体（ピッチ円筒またはピッチ円錐）を介して記述す
る。

【０００４】また、従来の動荷重論は、歯車対の運動は
歯面誤差による周期的強制変位を受ける質量−ばね系の
振動に等価的に置換できると仮定し、しかも、歯車対に
おける荷重の作用線が常に各歯車の設計基礎円同士の共
通接線上にあると仮定して、例えば円筒歯車対について
は図３１に示す基本モデルによって歯車対の運動および
動荷重を記述する。

【０００５】一方、歯車騒音の低減対策の一従来例が特
開平３−２８５６５号公報に記載されている。これは、
歯車対の噛み合い回転時における同時接触線の長さの全
歯面での総和の時間的変動を低減させ、振動，騒音の原
因であると考えられる歯車対のばね剛性の時間的変動を
低減させることによって歯車騒音を低減させようという
ものであり、同時接触線の長さの総和の時間的変動が低
減されるように歯車の各歯面に面取り部を設ける技術で
ある。

【０００６】また、歯車騒音の解析や歯形修整，騒音低
減対策等に先立ち、各歯車の実際の歯面形状（無負荷
時）を測定することが行われている。そして、従来、そ
の歯車測定は、図３２に示すように、各歯面と軸直角平
面との交線に沿った誤差を歯形誤差として測定し、ま
た、各歯面とそれの回転軸線と同心の円筒面との交線に
沿った誤差を歯すじ誤差を測定することが行われてい
た。

【０００７】

【発明が解決しようとする課題】しかし、従来の歯形論
は、前述のように、歯面同士の接触点とその共通法線と
をそれぞれピッチ回転体を介して記述するため、円筒歯
車からハイポイドギヤまでのすべての歯車対の接触の問
題を角速度が変化する場合を含めて統一的に記述するこ
とができなかった。

【０００８】また、従来の動荷重論は、歯車対における
荷重の作用線が常に各歯車の設計基礎円同士の共通接線
上にあると仮定して動荷重を記述するものであるが、歯
面が誤差とたわみとを持つときには、作用線がその共通
接線から外れてしまうと考えるのが妥当であるため、こ
の従来理論では、歯車対の実際の運動および動荷重を十
分には正確に記述することができなかった。しかも、こ
の従来理論は、上述の従来の歯形論と同様に、いずれ
も、インボリュート円筒歯車をのみ適用対象としてお
り、それ以外のインボリュート歯車、例えば、ハイポイ
ドギヤ，かさ歯車については適用できなかった。

【０００９】かかる従来技術を背景とし、請求項１ない
し５に係る第１ないし第５発明は、歯車対の幾何学的な
歯形形状を、インボリュート円筒歯車のみならずそれ以
外のインボリュート歯車について統一的に記述し、それ
に基づいて歯車対を設計する方法を提供することを課題
としてなされたものである。特に、第２発明は、第１発
明において、回転騒音が低減された歯車対を設計するこ
とを課題としてなされたものである。また、第３発明
は、その第２発明の望ましい一実施形態を提供すること
を課題としてなされたものである。また、第４発明は、
第１ないし第３発明により取得された歯形形状を実現す
る歯車を高品質でかつ効率よく設計する方法を提供する
ことを課題としてなされたものである。また、第５発明
は、媒介座標系から静止座標系を経ることなく、直接
に、回転座標系において歯形曲線を取得することを課題
としてなされたものである。請求項６に係る第６発明
は、第１ないし第５発明をそれぞれ実施するための歯車
設計プログラム記録媒体を提供することを課題としてな
されたものである。請求項７に係る第７発明は、インボ
リュート平歯車を除くインボリュート歯車において、接
触点軌跡と軸受荷重変動との関係を考慮し、回転騒音を
低減させることを課題としてなされたものである。請求
項８に係る第８発明は、ハイポイドギヤやかさ歯車等、
噛み合わされるべき相手歯車の回転軸と非平行である回
転軸を有する歯車において、回転騒音を低減させること
を課題としてなされたものである。請求項９および１０
に係る第９および第１０発明は、インボリュート平歯車
を除くインボリュート歯車につき、歯車対の動荷重の解
析に適したデータを直接にかつ簡単に測定可能な歯車測
定方法を提供することを課題としてなされたものであ
る。

【００１０】

【第１発明の課題解決手段，作用および効果】第１発明
は、その課題を解決するために、インボリュートヘリコ
イドを歯面とする歯車を設計する方法であって、前記歯
車に対して、(a) 互いに直交する３座標軸のうちの１つ
がその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１
つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべ
き相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系
と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静
止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致する
ものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯
車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であ
るときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸
にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止座標系
を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の
前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平
行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想
定し、前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、そ
の歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の
接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点にお
ける法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯
車の回転角を助変数とする第１関数によって記述し、前
記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座標
系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記
接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角
を助変数とする第２関数によって記述し、これにより、
静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角とをそ
れぞれ取得し、前記回転座標系において、前記第２関数
と、その回転座標系と前記静止座標系との相対位置関係
とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれ
ぞれ、前記回転角を助変数とする第３関数によって記述
し、これにより、前記歯車の歯形曲線を取得することを
特徴とする。

【００１１】後に詳述するが、各歯車に対して歯車対の
２軸とそれら２軸の共通垂線とをそれぞれ基準にして固
定的に想定された静止座標系と、各歯車に対して想定さ
れた各歯車と共に回転する回転座標系との他に、その静
止座標系をそれの一座標軸が歯車対の作用面に平行にな
るように回転変換した別の座標系であって、回転座標系
との間に一定の相対位置関係が成立するものを設け、そ
の別の座標系を媒介座標系として用いれば、従来の歯形
論におけるように、各歯車の歯形曲線をピッチ回転体を
介在させることなく、直接にもとの静止座標系において
回転角の関数として記述することも、直接に回転座標系
において回転角の関数として記述することも可能とな
る。かかる知見に基づき、この第１発明はなされたもの
である。

【００１２】したがって、この第１発明によれば、歯車
の歯面形状が直接、各基本座標系上において記述される
から、円筒歯車からハイポイドギヤまでのすべての歯車
対の接触の問題を統一的に記述することができ、歯車の
設計の簡単化が図られるという効果が得られる。さら
に、この第１発明によれば、歯車の歯面形状を、歯面の
誤差やたわみによって歯車対の角速度比が変化する場合
でも正確に記述可能となり、インボリュート歯車の設計
精度の向上を容易に図り得るという効果も得られる。

【００１３】以下、この第１発明を補足説明する。 (1) この第１発明において「インボリュートヘリコイ
ド」とは、歯車の回転軸に沿って一定速度で進むにつれ
てインボリュート曲線を０または一定速度で回転させる
ことによって描かれる曲線をいう。 (2) この第１発明において「歯車」とは、歯車対ではな
く歯車単体を意味する。 (3) この第１発明における「歯車」と噛み合わされるべ
き相手歯車は、歯面がインボリュートヘリコイドであっ
てもそれ以外の曲面でもよく、要するに、「歯車」の歯
面と共役な歯面であればよい。 (4) この第１発明における「歯形曲線」は、実際の接触
点軌跡を反映した曲線を意味している。したがって、
「歯車」が平歯車である場合には、実際の接触点軌跡が
その歯車の軸直角平面上にあるから、「歯形曲線」はそ
の歯車の歯の軸直角断面の外形線に一致するが、それ以
外の歯車である場合には、実際の接触点軌跡がその歯車
の軸直角平面上にはないから、「歯形曲線」はその歯車
の歯の軸直角断面の外形線に一致しない。 (5) この第１発明を実施するに際し、前記回転座標系に
おいて、前記第１関数と、その回転座標系と前記媒介座
標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点軌跡と共
通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角を助変数とする
関数によって記述することによっても前記歯車の歯形曲
線を取得することが可能である。静止座標系と媒介座標
系との間にも一定の相対位置関係が成立するからであ
り、この場合、その関数は前記第３関数と実質的に同じ
ものとなる。

【００１４】(6) この第１発明における「歯車」が、そ
れの歯面と共役である歯面を有する歯車Ｉ（この第１発
明における「歯車」を歯車IIという。）と歯車対を構成
する場合には、この第１発明の一実施形態として例えば
次のものを採用することができる。すなわち、歯車Ｉに
対して、前記静止座標系Ｃ₂ ，媒介座標系Ｃ_q2および回
転座標系Ｃ_r2とそれぞれ種類が同じ静止座標系Ｃ₁ ，媒
介座標系Ｃ_q1および回転座標系Ｃ_r1をそれぞれ想定し、
前記歯車対が歯面接触の運動条件を満たして回転する際
の各歯車Ｉ，IIの角速度比ｉを求め、前記歯車Ｉの回転
角θ₁ を、その角速度比ｉと前記歯車IIの回転角θ₂ と
に基づいて記述し、前記媒介座標系Ｃ_q1において、前記
接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記歯車Ｉ
の回転角θ ₁ を助変数とする第４関数によって記述し、
前記静止座標系Ｃ₁ において、前記第４関数と、前記静
止座標系Ｃ₁ と媒介座標系Ｃ_q1との相対位置関係とに基
づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、
前記回転角θ₁ を助変数とする第５関数によって記述
し、これにより、静止座標系Ｃ₁ における歯車Ｉの接触
点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ取得し、前記回転
座標系Ｃ_r1において、前記第４関数と、前記回転座標系
と媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記接触点
軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角θ₁ を
助変数とする第６関数によって記述し、これにより、前
記歯車Ｉの歯形曲線を取得することを特徴とする歯車設
計方法を採用することができるのである。そして、この
実施形態によれば、歯車の歯面形状が、歯面の誤差やた
わみによって歯車対の角速度比が変化する場合でも、正
確に記述され、インボリュート歯車の設計精度の向上が
図られるという効果が得られる。

【００１５】

【第２発明の課題解決手段，作用および効果】第２発明
は、第１発明に係る歯車設計方法であって、さらに、前
記歯車に対して、その歯車の回転軸をその歯車の両側に
おいてそれぞれ回転可能に支持する一対の軸受を想定
し、前記歯車の前記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそ
れぞれ、その歯車の回転に伴って前記一対の軸受に作用
する荷重の変動が実質的に０になるように取得する接触
状態取得工程を含むことを特徴とする。

【００１６】後に詳述するが、本発明者は、歯車対から
励起される荷重変動は、静荷重Ｆ_{q2 0} （＝−Ｔ₂ ／Ｒ
_b20 ）の静止空間における作用点，傾き角の変化による
トルクまたは荷重変動（下記の(1) 〜(4) ）と、回転変
動に起因するトルク変動（下記の(5) ）とを含むことに
気がついた。 (1) 作用面の傾き角χ₂ （θ₂ ）（図１５のχ₂₀参照）
の変動（Δχ₂ ）によるｖ_q2c 軸方向の荷重変動（Ｆ
_q20 Δχ₂ ） (2) 接触点における共通法線の作用面Ｇ₂ 上の傾き角ψ
_b2（θ₂ ）（図１５のψ_b20 参照）の変動（Δψ_b2）に
よるｚ_2C軸方向の荷重変動（Ｆ_q20 Δψ_b2） (3) 接触点における共通法線が接する基礎円筒の半径Ｒ
_b2（θ₂ ）（図１５のＲ_b20 参照）の変動（ΔＲ_b2）に
よるｚ_2c軸周りのトルク変動（Ｆ_q20 ΔＲ_b2） (4) 接触点の軌跡（図１５参照）の作用面Ｇ₂ 上の傾き
角の変動（歯当たりの不適切）によって生じるｖ_q2c 軸
周りのトルク変動｛Ｆ_q20 Δｑ_2c（tan η_b2−tan ψ
_b20 ）｝ (5) 歯車対の回転変動によって生じる、前記ｚ_2c軸周り
のトルク変動 実際の歯形曲線の、角速度比（＝入出力トルク比）一定
の運動を伝達する理想的な歯形曲線からの偏差（誤差お
よびたわみ）による不等速運動の結果生じる。

【００１７】しかし、従来の動荷重論における動荷重増
分は上記の(5) 項のみを対象としていたが、実際には上
記のように静荷重の変動に起因する動荷重増分も考慮す
る必要がある。一方、歯車対を設計するに際し、歯車対
自体の運動のみならず、その歯車対を回転可能に支持す
る軸受に作用する荷重をも考慮すれば、歯車運動系全体
について荷重変動を正確に記述することができる。ま
た、その軸受荷重の変動が実質的に０になるようにすれ
ば、歯車対の回転騒音が低減される。

【００１８】かかる知見に基づき、この第２発明はなさ
れたものであり、したがって、この第２発明によれば、
回転騒音が低減されたインボリュート歯車を簡単に設計
し得るという効果が得られる。

【００１９】

【第３発明の課題解決手段，作用および効果】第３発明
は、その課題を解決するために、第２発明に係る歯車設
計方法であって、前記接触状態取得工程が、前記接触点
軌跡を、前記静止座標系において、前記歯車が回転する
にもかかわらず固定され、かつ、前記各接触点において
前記共通法線と一致する直線として取得する工程である
ことを特徴とする。

【００２０】後に詳述するが、インボリュート歯車につ
いては、それの軸受荷重の変動が実質的に０となるため
に、接触点軌跡が、歯車が回転するにもかかわらず静止
座標系上で固定され、かつ、その接触点軌跡における各
接触点において前記共通法線と一致する直線となること
が必要である。かかる知見に基づき、この第３発明はな
されたものである。したがって、この第３発明によれ
ば、第２発明の望ましい一実施形態が提供されるという
効果が得られる。

【００２１】なお、前記歯車がインボリュート平歯車で
ある場合には、接触点軌跡が当該歯車の軸直角平面に平
行な直線として取得され、それ以外の歯車である場合に
は、その軸直角平面に対して傾斜した直線として取得さ
れる。

【００２２】

【第４発明の課題解決手段，作用および効果】第４発明
は、その課題を解決するために、第１ないし第３発明の
いずれかに係る歯車設計方法であって、さらに、前記取
得された歯形曲線を含むとともに前記相手歯車の歯面と
干渉しない曲面を前記歯車の歯面に決定する歯面決定工
程を含むことを特徴とする。

【００２３】歯車の設計においては、例えば、まず、接
触点軌跡と共通法線傾き角とがそれぞれ決定され、次
に、それらに基づき、歯形曲線が決定される。一方、前
述のように、３種類の基本座標系を使用すれば、歯車を
直接に各基本座標系において記述することが可能とな
る。また、歯車の歯面の形状を設計するに際し、最も重
要であるのが歯当たり面に形成されるべき歯形曲線であ
り、各歯面のうちそれ以外の部分はそれほど重要ではな
い。かかる知見に基づき、この第４発明はなされたもの
である。

【００２４】したがって、この第４発明によれば、歯面
のうち歯車対の回転に重要な部分が正確に設計され、設
計品質が向上するという効果が得られる。さらに、この
第４発明によれば、接触点軌跡が決定されればそれを忠
実に再現する歯面を簡単に設計可能となるという効果も
得られる。さらにまた、この第４発明によれば、歯面の
うち歯車対の回転にそれほど重要でない部分について無
駄な設計が省略可能となるから、インボリュート歯車の
設計効率が向上するという効果も得られる。

【００２５】

【第５発明の課題解決手段，作用および効果】第５発明
は、その課題を解決するために、インボリュートヘリコ
イドを歯面とする歯車を設計する方法であって、前記歯
車に対して、(a) 互いに直交する３座標軸のうちの１つ
がその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のうちの１
つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わされるべ
き相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止座標系
と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが前記静
止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一致する
ものに一致し、その一致する座標軸を中心にしてその歯
車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が０であ
るときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２座標軸
にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止座標系
を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座標系の
前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用面と平
行になるように回転変換した媒介座標系とをそれぞれ想
定し、前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、そ
の歯車と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の
接触点が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点にお
ける法線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯
車の回転角を助変数とする第１関数によって記述し、前
記回転座標系において、前記第１関数と、その回転座標
系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前記
接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転角
を助変数とする第２関数によって記述し、これにより、
前記歯車の歯形曲線を取得することを特徴とする。

【００２６】前記第１ないし第４発明を実施する場合に
は、媒介座標系から静止座標系を経て回転座標系におい
て歯形曲線が取得されることになるが、静止座標系と回
転座標系との間に一定の相対位置関係が成立することか
ら、静止座標系を経ることなく直接に回転座標系におい
て歯形曲線を取得することが可能となる。したがって、
歯形曲線の取得は必要であるが、静止座標系における接
触点軌跡および共通法線傾き角の取得は不要である場合
には、媒介座標系から直接に歯形曲線を取得すれば、歯
形曲線を比較的簡単に取得可能となる。

【００２７】かかる知見に基づき、この第５発明に係る
歯車設計方法においては、歯車に対して、前記静止座標
系と回転座標系と媒介座標系とがそれぞれ想定され、前
記媒介座標系において、接触点軌跡と共通法線傾き角と
がそれぞれ、前記歯車の回転角を助変数とする第１関数
によって記述され、前記回転座標系において、前記第１
関数と、その回転座標系と前記媒介座標系との相対位置
関係とに基づき、前記接触点軌跡と共通法線傾き角とが
それぞれ、前記回転角を助変数とする第２関数によって
記述され、これにより、前記歯車の歯形曲線が取得され
る。したがって、この第５発明によれば、歯形曲線を比
較的簡単に取得可能となるという効果が得られる。

【００２８】

【第６発明の課題解決手段，作用および効果】第６発明
は、その課題を解決するために、第１ないし第５発明の
いずれかに係る歯車設計方法を実行するためにコンピュ
ータにより実行されるべきプログラムが予め記録されて
いることを特徴とする歯車設計プログラム記録媒体に関
するものである。

【００２９】したがって、この第６発明によれば、第１
ないし第５発明をそれぞれ実施するためのコンピュータ
プログラムが提供され、このコンピュータプログラムを
コンピュータにより実行すれば第１ないし第５発明のそ
れぞれの効果が享受でき、前述のように、歯車設計の簡
単化および歯車設計の高精度化が図られるという効果が
得られる。なお、ここにおける「記録媒体」には例え
ば、フロッピーディスク，磁気テープ，磁気ディスク，
磁気ドラム，磁気カード，光ディスク，光磁気ディス
ク，ＲＯＭ，ＣＤ−ＲＯＭ，ＩＣカード，穿孔テープ等
がある。

【００３０】

【第７発明の課題解決手段，作用および効果】第７発明
は、その課題を解決するために、インボリュート平歯車
を除き、インボリュートヘリコイドを歯面とする歯車に
おいて、それの歯面のうち、その歯面と前記歯車の作用
面との交線にほぼ直角な一対の平面で挟まれる領域を歯
当たり領域としたことを特徴とする。

【００３１】各歯車の歯形曲線は、歯車対が回転する
際、各歯面において歯面同士の接触点が移動する軌跡を
意味しており、すなわち、歯当たりを意味している。ま
た、前述のように、インボリュートヘリコイドを歯面と
する歯車については、その歯面上の前記接触点軌跡に対
応する曲線になっている。また、従来の動荷重論では、
歯当たりの選択（前記の(4) 項）は、歯車対の組付け誤
差，たわみを補正して回転変動の軽減（前記の(5) 項）
を実現する補助的な手段であると考えられていたが、接
触点の軌跡と共通法線との関係を特定する条件であっ
て、静荷重変動低減のためにも重要な手段であることに
気がついた。また、インボリュートヘリコイドを歯面と
する歯車については、歯車対の回転騒音を低減させるた
めには、軸受荷重の変動を低減させることが必要であ
り、その変動低減のためには、歯面においてそれの歯形
曲線に沿って歯当たりをつけることが有効である。かか
る知見に基づき、この第７発明はなされたものであり、
したがって、この第７発明によれば、軸受荷重の変動が
低減され、回転騒音が低減されたインボリュート歯車が
提供されるという効果が得られる。

【００３２】なお、この第７発明において「インボリュ
ート平歯車を除き、インボリュートヘリコイドを歯面と
する歯車」を例示列挙すれば、歯車対の２回転軸が互い
に平行である円筒歯車に属するものとして、はすば歯車
があり、歯車対の２回転軸が非平行である歯車に属する
ものとして、かさ歯車，ハイポイドギヤ，ウォームギ
ヤ，ねじ歯車がある。なお、それらかさ歯車，ハイポイ
ドギヤ，ウォームギヤ，ねじ歯車は、歯車対の２回転軸
が交わる歯車に属するかさ歯車と、歯車対の２回転軸が
オフセットする歯車に属するハイポイドギヤ，ウォーム
ギヤおよびねじ歯車とに分類することができる。

【００３３】

【第８発明の課題解決手段，作用および効果】第８発明
は、その課題を解決するために、第７発明に係る歯車で
あって、それの回転軸が、その歯車と噛み合わされるべ
き相手歯車の回転軸と非平行であることを特徴とする。

【００３４】前述のように、歯車の回転騒音を低減させ
るためには、軸受荷重の変動を低減させることが必要で
あり、そのためには、回転変動によるトルク変動のみな
らず、静荷重の作用点，傾き角の変化によるトルクまた
は荷重の変動をも軽減することが必要である。一方、か
さ歯車やハイポイドギヤ等、噛み合わされるべき相手歯
車の回転軸と非平行である回転軸を有する歯車において
も、歯面をインボリュートヘリコイドとすることによ
り、共通法線の作用面上の傾き角変動，基礎円筒の半径
変動および作用面の角度変動を低減させることができる
ため、回転騒音低減のため、歯面をインボリュートヘリ
コイドとすることが重要である。かかる知見に基づき、
この第８発明はなされたものであり、したがって、この
第８発明によれば、回転騒音が低減されたハイポイドギ
ヤやかさ歯車が得られるという効果が得られる。

【００３５】

【第９発明の課題解決手段，作用および効果】第９発明
は、その課題を解決するために、インボリュート平歯車
を除き、インボリュートヘリコイドを歯面とする歯車を
測定するであって、測定すべき歯車と測定子とを、その
測定子が前記歯面に沿って、かつ、その歯面と前記歯車
の作用面との交線にほぼ直角な方向に移動するように相
対変位させている状態で、前記歯面のうち前記交線にほ
ぼ直角な方向における形状誤差を測定することを特徴と
する。

【００３６】まず、従来の歯車測定方法を図３２に基づ
いて具体的に説明する。インボリュートヘリコイドであ
る歯面と作用面Ｇ₂₀との交線ｗ₀ は、歯車の回転と共
に、その作用面Ｇ₂₀上を移動する。なお、交線ｗは、歯
車対の軸角Σが０またはπである場合には、歯車対の接
触線に完全に一致するが、そうでない場合には、図３３
に示すように、歯車対の接触線に完全には一致しないが
ほぼ一致するものとなる。ここで、図３２において交線
ｗ₀ 上の一点を点Ｐ₀ とし、かつ、角度θ₂ の回転後に
は交線ｗ₀ が図において交線ｗに移動しているものと仮
定すれば、軸直角平面Ｚ₂ 上では、点Ｐ₀ は点Ｐ_q に移
動しているから、点Ｐ_q のｑ_2C方向（作用面Ｇ₂₀に平行
な方向）の誤差を測定して歯形誤差としている。また、
点Ｐ₀ は軸方向には点Ｐ_z に移動しているから、点Ｐ_z
のｑ_2c方向誤差を測定して歯すじ誤差としている。しか
し、このような従来の歯車測定方法は、歯面の幾何学的
形状誤差を主眼として行われるものであり、また、イン
ボリュート平歯車については有用であるが、それ以外の
インボリュート歯車につき、歯車対の運動および動荷重
の解析を行うためには、同図に示すように、接触点の軌
跡ｇ₀ 近傍の歯面情報が重要でかつ直接に必要な情報で
あり、それ以外の情報はそれほど重要な情報ではない。
そこで、この第９発明は、幾何学的形状の測定という観
点からではなく、動荷重の解析という観点から新たな歯
車測定法を提供することを課題としてなされたものであ
り、したがって、この第９発明によれば、測定子を歯面
と作用面との交線にほぼ直角な方向（歯形曲線）に作用
面上を移動させることは、測定子を接触点軌跡に沿って
移動させることを意味するから、実際歯面のうち接触点
軌跡近傍の形状誤差が直接に測定され、動荷重の解析に
適した歯車測定が可能になるという効果が得られる。

【００３７】

【第１０発明の課題解決手段，作用および効果】第１０
発明は、その課題を解決するために、第９発明に係る歯
車測定方法であって、前記誤差としての第１誤差の他
に、前記測定すべき歯車と前記測定子とを、その測定子
が前記歯面に沿って、かつ、前記交線にほぼ平行な方向
に移動するように相対変位させている状態で、前記歯面
のうち前記交線にほぼ直角な方向における形状誤差を第
２誤差として測定することを特徴とする。

【００３８】前記第９発明を実施し、測定子を歯面と作
用面との交線にほぼ直角な方向（歯形曲線）に移動させ
ることによって測定された誤差が許容範囲内であったと
しても、その歯面におけるその交線に平行な方向におけ
る形状の誤差が許容範囲外であり、例えば、その形状が
歯すじ端に向かうにつれて基準となるインボリュートヘ
リコイドから適正量で減少しない場合（歯すじ方向にお
けるクラウニングが適切でない場合）には、その歯面で
は理想接触点軌跡が実現されない。すなわち、実際歯面
によって理想接触点軌跡が実現され、回転騒音が低減さ
れた歯面が形成されているか否かを判定するためには、
歯面において前記交線に直角な方向におけるのみならず
その交線にほぼ平行な方向においても形状誤差を測定
し、歯面全体について形状誤差を測定することが有効な
のである。かかる知見に基づき、この第１０発明はなさ
れたものであり、したがって、この第１０発明によれ
ば、実際歯面における接触点軌跡の誤差を３次元的に測
定可能となり、理想接触点軌跡が実現されているか否
か、すなわち、作用面ねじれ角ψ_b20 が実現されている
か否かを正しく判定可能となるという効果が得られる。
なお、前述のように、歯車対の軸角Σが０またはπであ
る場合には、歯車対の接触線が歯面と作用面との交線に
完全に一致するのに対し、そうでない場合には、完全に
は一致しないが、ほぼ一致する。

【００３９】

【発明の補足説明】まず、第１発明の作用を詳細に説明
する。 １．新歯形論における歯形曲線 図１０は、ある瞬間に角速度ω_1i，ω_2i（図示方向が正
のベクトル）で回転し、一定の入出力トルクＴ₁ ，Ｔ₂
（それぞれω_1iとω_2iと同方向が正のベクトル）を伝達
する歯面Ｉ，IIが点Ｐ_i で接触し、歯面IIに集中荷重の
法線力Ｆ_N2i 、歯面Ｉ上にその反作用としてＦ_N1i （＝
−Ｆ_N2i ）を受けている状態を示している。接触点Ｐ_i
における歯面Ｉ，IIの共通法線を単位ベクトルｎ_i で表
わすものとすれば、ｎ_i は集中荷重の法線力の作用線
（有向）をも同時に表わしている。

【００４０】歯車対がある任意の角度だけ回転したと
き、接触点はＰ_j に移り、角速度はω _1j，ω_2jに、集中
荷重の法線力はＦ_N1j ，Ｆ_N2j に変化したと仮定すれ
ば、Ｐ_iＰ_j は各接触点において共通法線がそれぞれｎ
_i ，ｎ_j となる接触点の軌跡を描くことになる。この接
触点の軌跡Ｐ_i Ｐ_j と共通法線ｎ_i ，ｎ_j とを各歯車と
共に回転する空間に変換すれば、歯形曲線Ｉ，IIが歯面
Ｉ，IIと全く同じ運動を伝達する空間曲線として定義さ
れ、歯面上の集中荷重の移動軌跡（歯当り）を表わすこ
とになる。この歯形曲線Ｉ，IIが新歯形論における歯形
曲線であり、各点で法線（または面素）をもつ空間曲線
になっている。

【００４１】したがって、歯面Ｉ，IIの接触点近傍の接
触状態とこの歯車対の力学的な運動を考える場合には、
歯面Ｉ，IIの替わりに歯形曲線Ｉ，IIを考えれば十分で
ある。また、歯形曲線Ｉ，IIが与えられれば、全く同じ
力学的運動を伝達する歯面Ｉ，IIは歯形曲線Ｉ，IIを含
むとともに互いに干渉しない一対の曲面であればよく、
互いに共役な歯面対はその一つであるに過ぎない。

【００４２】ここで集中荷重とその作用点とは任意の歯
面対の分布荷重（接触楕円を形成している）の合力とそ
の作用点を意味している。したがって、接触点は同時に
集中荷重の作用点であり、集中荷重に応じたたわみを含
んでいる。また、各歯面対は１ピッチの位相差をもつ同
一曲面であるから、負荷状態に応じて静止空間に同一の
接触点の軌跡（たわみを含む）を描くことになり、複数
かみあいの場合には、任意の回転角における隣接する歯
面対の分担する集中荷重がピッチ分だけ位相をずらして
上記接触点の軌跡上に並んでいる。

【００４３】２．基本座標系 図１１は、接触点の軌跡Ｐ_i Ｐ_j 上の任意点をＰとし、
点Ｐおよび点Ｐにおける集中荷重の法線力Ｆ_N2，Ｆ_N1、
共通法線ｎ（集中荷重の作用線）を座標系Ｃ₁，Ｃ₂ 、
座標系Ｃ_q1，Ｃ_q2を用いて示したものである。

【００４４】２軸Ｉ，IIの軸角Σ、オフセットＥ（≧
０，点Ｃ₁ と点Ｃ₂ との距離）およびその角速度ω₁ ，
ω₂ の方向が与えられている。２軸の共通垂線にω₂ ×
ω₁ の方向を正とする方向をもたせ、有向共通垂線ｖ_c
とするとき、２軸Ｉ，IIと共通垂線ｖ_c との交点をＣ
₁ ，Ｃ₂ とし、ｖ_c 軸に関してＣ₂ がＣ₁ の上にある場
合を扱うものとする。ただし、Ｃ₂ がＣ₁ の下にある場
合も全く同様である。

【００４５】集中荷重の法線力Ｆ_N2（共通法線ｎ）を含
み、各歯車軸Ｉ，IIに平行な平面を作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ と
定義する。したがって、Ｆ_N2（共通法線ｎ）は作用面Ｇ
₁ ，Ｇ₂ の交線上にある。作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ に接し、各
歯車軸を軸とする円筒を基礎円筒と定義し、その半径を
Ｒ_b1，Ｒ_b2とする。

【００４６】歯車IIの座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2を次のように定
義する。座標系Ｃ₂ （ｕ_2c ,ｖ_2c ,ｚ_2c）はＣ₂ を原点
とし、II軸上ω₂ の方向にｚ_2c軸をとり、共通垂線上に
ｖ_c と同方向にｖ_2c軸、両軸に垂直にｕ_2c軸を右手系と
なるようにとる。座標系Ｃ_q2（ｑ₂,ｖ_q2，ｚ_2c）は、原
点Ｃ₂ およびｚ_2c軸を共有し、ｚ_2c軸を回転軸として平
面ｖ_2c＝０が作用面Ｇ₂ に平行になるように座標系Ｃ₂
をχ₂ （図示方向が正）だけ回転させた座標系であり、
ｕ_2c軸はｑ_2c軸に、ｖ_2c軸はｖ_{q2 c} 軸になっている。

【００４７】作用面Ｇ₂ は座標系Ｃ_q2を用いれば、ｖ
_q2c ＝−Ｒ_b2で表わされ、座標系Ｃ₂に対しては、平面
ｖ_2c＝０に対する傾き角がχ₂ であり、かつ、基礎円筒
（半径Ｒ_b2）に接する平面となっている。

【００４８】座標系Ｃ₂ とＣ_q2との関係は、ｚ_2c軸は共
通であるから、 ｕ_2c＝ｑ_2ccos χ₂ −ｖ_q2c sin χ₂ ｖ_2c＝ｑ_2csin χ₂ ＋ｖ_q2c cos χ₂ 作用面Ｇ₂ はｖ_q2c ＝−Ｒ_b2であるから、基礎円半径Ｒ
_b2を用いて表わせば、次式（１）、すなわち、 ｕ_2c＝ｑ_2c cosχ₂ ＋Ｒ_b2sin χ₂ ｖ_2c＝ｑ_2c sinχ₂ −Ｒ_b2cos χ₂ （１） ｚ_2C＝ｚ_2C なる諸式が成立する。

【００４９】共通法線ｎは作用面Ｇ₂ 上にあり、そのｑ
_2c軸成分が正となる方向を向くものと定義すれば、その
ｑ_2c軸からの傾き角をψ_b2（図示方向が正）で表わすこ
とができる。そこで、共通法線ｎの座標系Ｃ₂ における
傾き角は、有効共通垂線ｖ_cに対する作用面Ｇ₂ の傾き
角φ₂ （χ₂ の余角）とψ_b2によってｎ_2c（φ₂,ψ_b2）
の形で表わすものと定義する。

【００５０】集中荷重の法線力Ｆ_N2の方向は共通法線は
ｎの方向を正とし、Ｆ_N2のｑ_2c軸方向成分、ｚ_2c軸方向
の成分をそれぞれ、Ｆ_q2，Ｆ_z2とする。

【００５１】歯車Ｉについても全く同様にして座標系Ｃ
₁ （ｕ_1C，ｖ_1c，ｚ_1c）、Ｃ_q1（ｑ _1C，ｖ_q1c ，
ｚ_1C）、作用面Ｇ₁ 、基礎円半径Ｒ_b1、共通法線ｎの傾
き角ｎ_1c（φ₁ ，ψ_b1）を定義することができる。座標
系Ｃ₁ とＣ_q1との関係も、ｚ_1c軸は共通であるから全く
同様にして、次式（２）、すなわち、

【００５２】 ｕ_1c＝ｑ_1ccos χ₁ ＋Ｒ_b1sin χ₁ ｖ_1c＝ｑ_1csin χ₁ −Ｒ_b1cos χ₁ （２） ｚ_1C＝ｚ_1C なる諸式で表される。

【００５３】座標系Ｃ₁ とＣ₂ との関係は、次式
（３）、すなわち、 ｕ_1c＝−ｕ_2ccos Σ−ｚ_2csin Σ ｖ_1c＝ｖ_2c＋Ｅ （３） ｚ_1c＝ｕ_2csin Σ−ｚ_2ccos Σ なる諸式で表される。

【００５４】ここで定義された座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ 、座標
系Ｃ_q1，Ｃ_q2が本発明者が新しく提案する新歯形論の基
本座標系である。この基本座標系によって応用範囲を円
筒歯車のみならず、ハイポイドギヤ，かさ歯車まで含め
て考えることを可能としているのである。

【００５５】共通法線ｎの傾き角ｎ（φ₁ ，φ_b1）とｎ
（φ₂ ，φ_b2）との関係は、ｎが作用面Ｇ₁ ，Ｇ₂ の交
線上にあることから次のように求められる。ｎの座標系
Ｃ₂ の各軸方向成分は次のように表すことができる。た
だし、共通法線ｎの絶対値は１である。

【００５６】Ｌ_u2C ＝cos ψ_b2sin φ₂ （Ｌ_u2C ：ｎの
ｕ_2C軸方向成分） Ｌ_v2C ＝cos ψ_b2cos φ₂ （Ｌ_v2C ：ｎのｖ_2C軸方向成
分） Ｌ_z2C ＝sin ψ_b2 （Ｌ_z2C ：ｎのｚ_2C軸方向成
分）

【００５７】座標系Ｃ₁ の各軸方向成分を座標系Ｃ₂ の
各軸方向成分で表せば、前記式（３）を用いて、

【００５８】Ｌ_u1C ＝−Ｌ_u2C cos Σ−Ｌ_z2C sin Σ
（Ｌ_u1C ：ｎのｕ_1C軸方向成分） Ｌ_v1C ＝Ｌ_v2C （Ｌ_v1C ：ｎのｖ_1C軸方向成
分） Ｌ_z1C ＝Ｌ_u2C sin Σ−Ｌ_z2C cos Σ（Ｌ_z1C ：ｎのｚ
_1C軸方向成分）

【００５９】したがって、次式（４）、すなわち、

【００６０】 tan φ₁ ＝Ｌ_u1C ／Ｌ_v1C ＝−tan φ₂ cos Σ−tan ψ_b2sin Σ／cos φ₂ （４） なる式と、次式（５）、すなわち、 sin ψ_b1＝Ｌ_z1C ＝cos ψ_b2sin φ₂ sin Σ−sin ψ_b2cos Σ （５） なる式とが得られる。ここで、 φ₁ ＝π／２−χ₁ φ₂ ＝π／２−χ₂ なる式が成立する。

【００６１】３．接触点の軌跡とその共通法線 図１２は、接触点の軌跡上の点Ｐと共通法線ｎ、接平面
Ｗ（作用面Ｇ₂ との交線ｗで示されている）および微小
角△θ₂ だけ回転した後の接触点Ｐ_d と共通法線ｎ_d 、
接平面Ｗ_d との関係を座標系Ｃ₂ Ｃ_q2上に示したもので
ある。任意の接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾き角を
歯車IIの回転角θ₂ を助変数として、座標系Ｃ₂ によっ
て次のように表わすものとする。ただし、回転角θ₂は
図の方向が正である。

【００６２】 Ｐ｛ｕ_2c (θ₂)，ｖ_2c（θ₂)，ｚ_2c（θ₂)｝ ｎ｛φ₂ （θ₂), ψ_b2（θ₂)｝ ここで、 φ₂(θ₂) ＝π／２−χ₂(θ₂) なる式が成立する。

【００６３】点Ｐを前記式（１）により座標系Ｃ_q2を用
いて表わせば、 Ｐ｛ｑ_2c (θ₂), −Ｒ_b2（θ₂)，ｚ_2c（θ₂)｝ となり、また、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ₂ 上の傾
き角をη_b2（θ₂)とすれば、次式（６）、すなわち、 (ｄｚ_2c/dθ₂)/(ｄｑ_2c/dθ₂)＝tan η_b2（θ₂) （６） なる式が成立する。

【００６４】歯車IIが微小角△θ₂ だけ回転し、接触点
ＰはＰ_d に、共通法線ｎはｎ_d に変化したと仮定すれ
ば、Ｐ_d ，ｎ_d はそれぞれ次のように表わすことができ
る。

【００６５】Ｐ_d ｛ｑ_2c (θ₂)＋△ｑ_2c，−Ｒ_b2（θ₂)
＋△Ｒ_b2，ｚ_2c（θ₂)＋△ｚ_2c｝ ｎ_d ｛π/2−χ₂(θ₂)−△χ₂ ，ψ_b2（θ₂)＋△ψ_b2｝

【００６６】点Ｐ_d を通る作用面をＧ_2dとし、Ｇ_2dが作
用面Ｇ₂ に平行になるように歯車(2) をΔχ₂ だけ回転
させたとき、作用面Ｇ_2dはＧ_2de に、点Ｐ_d はＰ_deに移
動したと仮定する。さらに、点Ｐ_deの作用面Ｇ₂ への正
射影をＰ_dfとする。作用面Ｇ _2dと点Ｐ_d における接平面
Ｗ_d との交線がｗ_d で表され、ｗ_d は上記の移動により
作用面Ｇ₂ 上に投影されて点Ｐ_dfを通るｗ_d ′で表わさ
れ、また、ｎ_d はｎ_d′で表されている。ｗ_d ′と点Ｐ
を通る軸直角平面との交点がＰ_dgである。Δθ ₂ の回転
により、ｗ_d ′はｗに対して作用面Ｇ₂ 上で△θ₂ −△
χ₂ だけ回転した位置にあり、また、ｗ_d ′は点Ｐ_dfに
おいてｗに対してΔψ_b2だけ傾いているから、ｗ_d ′の
ｗに対するｑ_2C軸方向の移動量ＰＰ_dgは次のように表す
ことができる。

【００６７】ＰＰ_dg＝｛Ｒ_b2（θ₂)−△Ｒ_b2/2｝( △θ
₂ −△χ₂)＋Δｚ_2CΔψ_b2／cos ²ψ_b2（θ₂ ）＝Ｒ_b2
（θ₂)（△θ₂ −△χ₂)

【００６８】したがって、微小角△θ₂ による作用面Ｇ
₂ 上の微小変位△ｚ_2cは次のようになる。 △ｚ_2c〔tan ｛ψ_b2（θ₂)＋△ψ_b2｝＋1/tan ｛η
_b2（θ₂)＋Δη_b2｝〕＝Ｒ _b2（θ₂)( △θ₂ −△χ₂) ２次の微小量を省略して、 △ｚ_2c＝Ｒ_b2（θ₂)（△θ₂ −△χ₂)／｛tan ψ_b2（θ
₂)＋1/tan η_b2（θ₂)｝ 前記式（６）を用いれば、△ｑ_2cは次のようになる。

【００６９】△ｑ_2c＝Ｒ_b2（θ₂)( △θ₂ −△χ₂)／
｛tan ψ_b2（θ₂)tan η_b2（θ₂)＋1｝ △Ｒ_b2，△χ₂ ，△ψ_b2，△η_b2はθ₂ の関数であるか
ら、△θ₂ によって形式的に次のように表わすことがで
きる。

【００７０】△Ｒ_b2＝ (ｄＲ_b2/dθ₂)△θ₂ △η_b2＝ (ｄη_b2/dθ₂)△θ₂ △χ₂ ＝ (ｄχ₂/ｄθ₂)△θ₂ △ψ_b2＝ (ｄψ_b2/dθ₂)△θ₂

【００７１】それらを０からθ₂ まで積分すれば、次式
（７）、すなわち、 ｑ_2c（θ₂)＝∫〔Ｒ_b2（θ₂)(1−ｄχ₂/ｄθ₂) ／｛tan ψ_b2（θ₂)tan η_b2（θ₂)＋1 ｝〕ｄθ₂ ＋ｑ_2c (0) Ｒ_b2( θ₂)＝∫(dＲ_b2/dθ₂)ｄθ₂ ＋Ｒ_b2(0) ｚ_2c( θ₂)＝∫〔Ｒ_b2（θ₂)(1−ｄχ₂/ｄθ₂) ／｛tan ψ_b2（θ₂)＋1/tan η_b2（θ₂)｝〕ｄθ₂ ＋ｚ_2c (0) （７） η_b2（θ₂)＝∫(dη_b2/dθ₂)ｄθ₂ ＋η_b2(0) χ₂(θ₂) ＝∫(dχ₂/ｄθ₂)ｄθ₂ ＋χ₂(0)＝π/2−φ₂(θ₂) ψ_b2( θ₂)＝∫(dψ_b2/dθ₂)ｄθ₂ ＋ψ_b2(0) なる諸式が得られる。

【００７２】積分定数はθ₂ ＝０のときの接触点Ｐ₀ の
座標とその共通法線ｎ₀ の傾き角および接触点の軌跡の
接線の作用面上の傾き角を示している。この式（７）が
接触点の軌跡とその共通法線を座標系Ｃ_q2によって表わ
す、θ ₂ を助変数とする方程式である。この式（７）を
決定するには、設計基準点Ｐ₀（θ₂ ＝０）における諸
元、すなわち、

【００７３】 Ｐ₀ ｛ｑ_2c (0)，−Ｒ_b2(0) ，ｚ_2c (0)｝ η_b2(0) ｎ₀ ｛π／２−χ₂(0), ψ_b2(0) ｝ dＲ_b2/dθ₂ ｄη_b2/dθ₂ ｄχ₂/ｄθ₂ ｄψ_b2/dθ₂ という合計１０個の変数を与えることができればよい。
この式（７）が新歯形論の歯形曲線を記述するための基
礎式である。また、この式（７）が第１発明における第
１関数であり、また、第５発明における第１関数でもあ
る。

【００７４】点Ｐを座標系Ｃ₂ （ｕ_2c，ｖ_2c，ｚ_2c）に
変換すれば、ｚ_2cが共通であるから、前記式（１）を用
いて、次式（８）、すなわち、

【００７５】 ｕ_2c (θ₂)＝ｑ_2C（θ₂)cos χ₂(θ₂)＋Ｒ_b2（θ₂)sin χ₂(θ₂) ｖ_2c (θ₂)＝ｑ_2C (θ₂)sin χ₂(θ₂)−Ｒ_b2（θ₂)cos χ₂(θ₂) （８） ｚ_2C (θ₂)＝ｚ_2C (θ₂) なる諸式が成立する。この式（８）が第１発明における
第２関数である。前記式（２），（３），（４）および
（５）を用いれば、接触点Ｐおよびその共通法線ｎの傾
き角を座標系Ｃ₁ とＣ_q1とにより、θ₂ を助変数とし
て、次式（９）、すなわち、

【００７６】 Ｐ｛ｕ_1c (θ₂)，ｖ_1c（θ₂)，ｚ_1c（θ₂)｝ ｎ｛φ₁(θ₂), ψ_b1（θ₂)｝ （９） Ｐ｛ｑ_1C (θ₂), −Ｒ_b1（θ₂)，ｚ_1c（θ₂)｝ なる式で表すことができる。

【００７７】４．接触の条件式と歯車Ｉの回転角θ₁ 接触点Ｐの共通法線ｎは平面Ｇ₁ ，Ｇ₂ の交線上にある
から、接触の条件式は、次式（１０）、すなわち、

【００７８】 Ｒ_b1（θ₂)（ｄθ₁/ｄｔ)cosψ_b1（θ₂)＝Ｒ_b2（θ₂)（ｄθ₂/ｄｔ) cos ψ_b2 （θ₂) （１０） なる式で表される。したがって、角速度比ｉ（θ₂ ）お
よび歯車Ｉの回転角θ₁ は、次式（１１）、すなわち、

【００７９】 ｉ（θ₂ ）＝（ｄθ₁/ｄｔ) ／（ｄθ₂/ｄｔ) ＝Ｒ_b2（θ₂)cos ψ_b2（θ₂)／ ｛Ｒ_b1（θ₂)cos ψ_b1（θ₂)｝ （１１） θ₁ ＝∫ｉ( θ₂)d θ₂ （ただし、０からθ₂ まで積分） なる式で表される。ただし、θ₂ ＝０のとき、θ₁ ＝０
とする。

【００８０】５．歯形曲線の方程式 (1) 歯形曲線IIの方程式 図１３は、点Ｐを歯車IIと共に回転する座標系Ｃ_r2（ｕ
_r2c ，ｖ_r2c ，ｚ_r2c) で示したものである。座標系Ｃ
_r2は座標系Ｃ₂ に対して、原点Ｃ₂ とｚ_2c軸とを共有
し、ｚ_2c軸の周りにθ₂ で回転する座標系であり、θ₂
＝０のときｕ_r2c軸はｕ_2c軸と一致しているものとす
る。接触点の軌跡およびその共通法線は前記式（７）に
よって与えられるから、座標系Ｃ_r2で表した点Ｐ（ｕ
_r2c ，ｖ_r2c ，ｚ_r2c ) およびその法線ｎ（φ_r2，
ψ_b2）は、次式（１２）、すなわち、

【００８１】 χ_r2 ＝χ₂(θ₂)−θ₂ ＝π/2−φ₂(θ₂)−θ₂ φ_r2 ＝φ₂(θ₂)＋θ₂ ｕ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂)cos χ_r2＋Ｒ_b2（θ₂)sin χ_r2 （１２） ｖ_r2c ＝ｑ_2c (θ₂)sin χ_r2−Ｒ_b2（θ₂)cos χ_r2 ｚ_r2c ＝ｚ_2c (θ₂) なる式で表される。この式（１２）が、第１発明におけ
る第３関数であり、また、第５発明における第２関数で
もある。

【００８２】(2) 歯形曲線Ｉの方程式 全く同様にして座標系Ｃ₁ に対して、θ₁ で回転する座
標系Ｃ_r1（ｕ_r1c ，ｖ _r1c ，ｚ_r1c ) を定めれば、点Ｐ
（ｕ_r1c ，ｖ_r1c ，ｚ_r1c ) およびその法線ｎ（φ_r1，
ψ_b1）は前記式（９），（１１）を用いて、次式（１
３）、すなわち、

【００８３】 χ_r1 ＝χ₁(θ₂)−θ₁ ＝π/2−φ₁(θ₂)−θ₁ φ_r1 ＝φ₁(θ₂)＋θ₁ ｕ_r1c ＝ｑ_1c（θ₂)cos χ_r1＋Ｒ_b1（θ₂)sin χ_r1 （１３） ｖ_r1c ＝ｑ_1c（θ₂)sin χ_r1−Ｒ_b1（θ₂)cos χ_r1 ｚ_r1c ＝ｚ_1c（θ₂) なる諸式で表される。ただし、座標系Ｃ_r1と座標系Ｃ₁
とは、θ₁ ＝０のとき一致しているものとする。

【００８４】上記式（１２），（１３）は一般には角速
度比が変化する歯形曲線を表している。

【００８５】以上説明した３次元歯形論は、歯車対の基
本諸元（接触点の軌跡）をピッチ回転体（ピッチ円筒あ
るいはピッチ円錐）を介さずに直接、歯車対の２回転軸
と角速度とによって決まる静止空間に定義するものであ
る。したがって、この歯形論によれば、歯面がインボリ
ュートヘリコイドまたはその近似曲面である円筒歯車か
らハイポイドギヤまでの全ての歯車対の歯面とその接触
の問題を、この静止空間に定義された統一概念（例えば
作用平面、歯直角平面、圧力角、ねじれ角等）を用い、
共通の比較的簡単な式によって扱うことが可能となる。

【００８６】次に、第２ないし第４発明の作用を詳細に
説明する。 １．歯車対の運動と軸受荷重 １．１．歯車IIとＩの運動方程式と軸受荷重 図１４は、図２の接触点Ｐにおける歯車IIの集中荷重の
法線力Ｆ_N2および軸受荷重Ｂ_z2，Ｂ_vq2f，Ｂ_vq2r，Ｂ
_q2f ，Ｂ_q2r の関係を、座標系Ｃ_q2を用いて示したもの
である。歯面の潤滑は十分であり、集中荷重の摩擦力成
分は無視できるものとする。また、歯車IIは軸受ｂ_2a，
ｂ_2f，ｂ_2rによって軸方向にも、半径方向にも剛に支え
られていて、軸の剛性も十分大きいものとする。なお、
図中、「′」および「”」はそれぞれ、点またはベクト
ルの対象平面への正射影であることを示すために付され
ている。

【００８７】歯車IIは入（出）力トルクＴ₂ および歯車
Ｉから集中荷重の法線力Ｆ_N2を受けて固定軸IIの周りに
回転運動をしているから、歯車IIの運動方程式および軸
受荷重の式は、座標系Ｃ_q2の各軸に関するトルクと力の
釣り合いから、次式（１５）、すなわち、

【００８８】 Ｊ₂ （d²θ₂/dt² ）＝Ｆ_q2Ｒ_b2（θ₂ ）＋Ｔ₂ Ｂ_z2＝−Ｆ_z2＝−Ｆ_q2tan ψ_b2（θ₂ ） Ｂ_vq2rｂ₂₀＝Ｆ_z2Ｒ_b2（θ₂ ） Ｂ_q2f ＋Ｂ_q2r ＝−Ｆ_q2 （１５） Ｂ_q2f ｂ₂₀＝−Ｆ_q2｛ｚ_2c（θ₂ ）−ｚ_2Cr ｝＋Ｆ_q2ｑ_2c（θ₂ ） tanψ_b2（ θ₂ ） Ｂ_vq2f＋Ｂ_vq2r＝０ なる諸式が成立する。

【００８９】ここに、 Ｊ₂ ：歯車IIの慣性モーメント θ₂ ：歯車IIの回転角 Ｔ₂ ：歯車IIの入（出）力トルク（一定） Ｆ_q2，Ｆ_z2：Ｆ_2Nのｑ_2C，ｚ_2C軸方向成分 Ｂ_z2：軸受ｂ_2aのｚ_2c軸方向荷重 Ｂ_q2f ，Ｂ_q2r ：軸受ｂ_2f，ｂ_2rのq_2c 軸方向荷重 Ｂ_vq2f，Ｂ_vq2r：軸受ｂ_2f，ｂ_2rのｖ_q2C 軸方向荷重 ｚ_2cf ，ｚ_2cr ：軸受ｂ_2f，ｂ_2rの荷重作用点のｚ_2c座
標 ｂ₂₀: 軸受ｂ_2f，ｂ_2rの間隔（ｚ_2Cf −ｚ_2Cr ＞０） ただし、荷重方向は座標系Ｃ_q2の各軸方向に正である。
歯車Ｉについても全く同様である。

【００９０】１．２．歯車対の運動方程式 歯車ＩとIIの運動方程式と前記接触の条件式（１０）と
を連立させれば、歯車対の運動方程式は次式（１６）、
すなわち、 Ｊ₁ （d²θ₁/dt² ）＝Ｆ_q1Ｒ_b1（θ₂ ）＋Ｔ₁ Ｊ₂ （d²θ₂/dt² ）＝Ｆ_q2Ｒ_b2（θ₂ ）＋Ｔ₂ −Ｆ_q1/cosψ_b1（θ₂ ）＝Ｆ_q2/cosψ_b2（θ₂ ） （１６） Ｒ_b1（θ₂ ）（ｄθ₁/dt）cos ψ_b1（θ₂ ）＝Ｒ_b2（θ₂ ）（ｄθ₂/dt）cos ψ_b2（θ₂ ） なる諸式となる。

【００９１】接触点とその共通法線は前記式（７）によ
って与えられているから、前記式（１６）は未知数
θ₁ ，θ₂ ，Ｆ_q1，Ｆ_q2の連立方程式になっていて、歯
形曲線が与えられた歯車対の運動を記述するための基礎
式である。ただし、前記式（１６）は接触点の軌跡が連
続かつ微分可能な領域でのみ成立する。したがって、接
触点の軌跡が微分不可能な点（例えば、噛み合い歯数が
変化する点）を含む場合には、その点近傍の運動は別に
求める必要があり、前記式（１６）だけで歯車対の定常
運動を表すことは一般的にはできない。

【００９２】２．軸受荷重の変動を０とするための条件 歯車対の回転によって歯車IIに生じる荷重変動は、軸受
ｂ_2a，ｂ_2f，ｂ_2rの荷重の静止座標系Ｃ₂ に対する変動
としてとらえることができる。そこで、座標系Ｃ_q2で表
された各軸受荷重を座標系Ｃ₂ の各軸方向成分に変換す
れば、次式（１７）で表される。 Ｂ_z2c ＝Ｂ_z2 （軸受ｂ_2aのｚ_2c軸方向荷重） Ｂ_u2cf＝Ｂ_q2f cos χ₂ −Ｂ_vq2f sinχ₂ （軸受ｂ_2fのｕ_2c軸方向荷重） Ｂ_v2cf＝Ｂ_q2f sin χ₂ ＋Ｂ_vq2f cosχ₂ （軸受ｂ_2fのｖ_2c軸方向荷重） （１７） Ｂ_u2cr＝Ｂ_q2r cos χ₂ −Ｂ_vq2r sinχ₂ （軸受ｂ_2rのｕ_2c軸方向荷重） Ｂ_v2cr＝Ｂ_q2r sin χ₂ ＋Ｂ_vq2r cosχ₂ （軸受ｂ_2rのｖ_2c軸方向荷重）

【００９３】軸受荷重の変動分は上記式（１７）の微分
を用いて次のように表すことができる。 （ａ）軸受ｂ_2aのｚ_2C軸方向荷重の変動分 △Ｂ_z2c ＝△Ｂ_z2＝−ΔＦ_z2 △Ｆ_z2 ＝△Ｆ_q2tan ψ_b2＋Ｆ_q2Δψ_b2／cos ² ψ_b2 △Ｆ_q2 ＝｛△（Ｊ₂ （d²θ₂/dt² ）−Ｆ_q2△Ｒ_b2｝／
Ｒ_b2

【００９４】（ｂ）軸受ｂ_2fのｕ_2c，ｖ_2C軸方向荷重の
変動分 △Ｂ_u2cf＝△Ｂ_q2f cos χ₂ −Ｂ_q2f sin χ₂ △χ₂ −
△Ｂ_vq2f sinχ₂ −Ｂ_vq2f cosχ₂ △χ₂ △Ｂ_v2cf＝△Ｂ_q2f sin χ₂ ＋Ｂ_q2f cos χ₂ △χ₂ ＋
△Ｂ_vq2f cosχ₂ −Ｂ_vq2f sinχ₂ △χ₂ △Ｂ_q2f ＝−〔△Ｆ_q2(z_2c−ｚ_2Cr −ｑ_2c tanψ_b2) ＋
Ｆ_q2｛△ｚ_2c−△ｑ _2Ctan ψ_b2−ｑ_2cΔψ_b2／cos ² ψ
_b2｝〕／ｂ₂₀ △Ｂ_vq2f＝−( △Ｆ_z2Ｒ_b2＋Ｆ_z2△Ｒ_b2) ／ｂ₂₀

【００９５】（ｃ）軸受ｂ_2rのｕ_2c，ｖ_2C軸方向荷重の
変動分 △Ｂ_u2cr＝△Ｂ_q2r cos χ₂ −Ｂ_q2r sin χ₂ △χ₂ −
△Ｂ_vq2r sinχ₂ −Ｂ_vq2r cosχ₂ △χ₂ △Ｂ_v2cr＝△Ｂ_q2r sin χ₂ ＋Ｂ_q2r cos χ₂ △χ₂ ＋
△Ｂ_vq2r cosχ₂ −Ｂ_vq2r sinχ₂ △χ₂ △Ｂ_q2r ＝−△Ｆ_q2−△Ｂ_q2f △Ｂ_vq2r＝−△Ｂ_vq2f

【００９６】任意の回転角θ₂ における歯車IIの軸受荷
重の変動分は、 Δｑ_2C ΔＲ_b2 Δｚ_2C Δχ₂ Δψ_b2 Δ（d²θ₂/dt² ） という６個の変数の変動分で表すことができる。

【００９７】入（出）力トルク一定の条件下で歯車IIが
回転するとき、回転位置によらず歯車IIの軸受荷重の変
動が常に０となるためには、少なくともその変動分が０
でなければならないから、次の関係が成立する。 ΔＢ_z2C ＝ΔＢ_u2cf＝ΔＢ_v2cf＝ΔＢ_u2cr＝ΔＢ_v2cr＝
０ したがって、歯車IIの軸受荷重の変動が０となる条件
は、次式（１８）により、次の５項目に整理される。た
だし、ここにｔは時間を表している。 (1) △χ₂ ＝０ (2) △ψ_b2＝０ (3) △Ｒ_b2（θ₂ ）＝０ （１８） (4) △ｚ_2c（θ₂ ）＝△ｑ_2C（θ₂ ）tan ψ_b2（θ₂ ） (5) △（d²θ₂/dt² ) ＝０

【００９８】上記（１）〜（５）の各項目について順次
説明する。 (1) △χ₂ （θ₂ ）＝０の条件 作用面Ｇ₂ の傾き角χ₂ （θ₂ ）は一定（χ₂₀とする）
である。 χ₂(θ₂)＝χ₂(0) ＝χ₂₀＝π/2−φ₂₀ (2) △ψ_b2（θ₂ ）＝０の条件 接触点における共通法線の作用面Ｇ₂ 上の傾き角ψ
_b2（θ₂ ）は一定（ψ_b20）である。 ψ_b2（θ₂) ＝ψ_b2(0) ＝ψ_b20 (3) △Ｒ_b2（θ₂ ）＝０の条件 接触点における共通法線の接する基礎円筒半径Ｒ_b2（θ
₂ ）は一定（Ｒ_b20 とする）である。 Ｒ_b2（θ₂)＝Ｒ_b2(0) ＝Ｒ_b20 (4) △ｚ_2c（θ₂ ）＝△ｑ_2C（θ₂ ）tan ψ
_b2（θ₂ ）の条件 ψ_b2（θ₂)＝ψ_b20 および前記式（７）を用いれば、 △ｚ_2c＝△ｑ_2c（θ₂ ）tan ψ_b20 η_b2（θ₂)＝ψ_b20 ＝η_b2(0) すなわち、接触点の軌跡の接線の作用面Ｇ₂ （ｑ_2c−ｚ
_2c平面）上の傾き角は共通法線のそれに一致しなければ
ならないのである。

【００９９】条件(1) 〜(4) の結果を前記式（７）に代
入し、座標系Ｃ₂ を用いて表せば、接触点の軌跡および
その共通法線の傾き角は、次式（１９）で表される。

【０１００】 ｑ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2c (0) ｕ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ （１９） ｚ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ_2c (0) ｎ（φ₂₀＝π/2−χ₂₀，ψ_b20) この式（１９）は、接触点の軌跡が座標系Ｃ_q2上で点Ｐ
₀ ｛ｑ_2c(0) ，−Ｒ_{b2 0} ，ｚ_2c(0) ｝を通り、座標系Ｃ
₂ に対する傾き角ｎ（φ₂₀＝π/2−χ₂₀，ψ_{b2 0})の共通
法線に一致する直線であることを表している。また、こ
の式（１９）は、Ｒ_b20 ，ψ_b20 ，ｑ_2c (0)，χ₂₀およ
びｚ_2c (0)という５個の変数を特定することによって、
接触点軌跡を特定可能となる。

【０１０１】この式（１９）を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1に変換
すれば、前記式（９）を用いて点Ｐ ₀ ｛ｑ_1c(0) ，−Ｒ
_b10 ，ｚ_1c(0) ｝を通り、座標系Ｃ₁ に対する傾き角ｎ
（φ ₁₀＝π/2−χ₁₀，ψ_b10)の直線として表すことがで
きる。したがって、角速度比および歯車Ｉの回転角は前
記式（１１）を用いて次式（２０）で表すことができ
る。

【０１０２】 ｉ（θ₂ ）＝(dθ₁/dt) ／(dθ₂ /dt)＝Ｒ_b20 cos ψ_b20 ／（Ｒ_b10 cos ψ_{b1 0} ）＝ｉ₀ （２０） θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ 角速度比は一定（ｉ₀ とする）である。

【０１０３】(5) △（d²θ₂/dt² ）＝０の条件 （d²θ₂/dt² ）は一定、すなわち、等加速度運動を意味
している。ここで対象としている歯車対は入出力一定の
定常運動を仮定しているから、（d²θ₂/dt² ）＝０、す
なわち、等速運動を意味している。さらに、前記式（２
０）を用いれば、（ｄθ₁ /dt)も一定となるから、歯車
Ｉについても、（d²θ₁/dt² ）＝０が成立する。したが
って、前記式（１６）により、 Ｆ_q2Ｒ_b20 ＝−Ｔ₂ Ｆ_q1Ｒ_b10 ＝−Ｔ₁ 前記式（２０）と作用反作用の式を用いれば、 ｉ₀ ＝Ｆ_q2Ｒ_b2/(−Ｆ_q1Ｒ_b10 ) ＝−Ｔ₂ ／Ｔ₁ すなわち、歯車対の角速度比ｉ₀ は、与えられたトルク
比（この場合には入出力についての仮定から一定）でな
ければならない。

【０１０４】歯車Ｉに生じる荷重変動についても全く同
様にして前記式（１８）の条件によって軸受荷重変動０
が実現している。したがって、入出力一定で定常運動す
る歯車対から発生する軸受荷重変動を０にするために
は、接触点の軌跡とその共通法線は次の条件を満たさな
ければならない。 (a) 接触点が静止空間（座標系Ｃ₂ 上）に任意に与え
られたとき、接触点の軌跡はその接触点の共通法線に一
致する直線で、しかも、静止空間に固定された直線でな
ければならない。 (b) しかも、その接触点における角速度比ｉ₀ は一定
であり、与えられたトルル比に一致しなければならな
い。

【０１０５】図１５に、軸受荷重変動が０となる作用平
面Ｇ₂₀、基礎円筒（半径Ｒ_b20 ）、接触点の軌跡（共通
法線ｎ）、集中荷重の法線力Ｆ_N2の関係を、座標系Ｃ
₂ ，Ｃ _q2によって示している。接触点の軌跡がすべての
接触領域（複数噛み合い領域を含めて）で同一直線であ
れば、それは全領域で連続かつ微分可能となるから、軸
受荷重変動０の定常運動を実現できることになる。

【０１０６】３．軸受荷重の変動が０となる歯形曲線 ３．１．歯形曲線II 座標系Ｃ₂ に対して原点Ｃ₂ とｚ_2C軸を共有し、ｚ_2c軸
の周りにθ₂ で回転する座標系を座標系Ｃ_r2（ｕ_r2c ，
ｖ_r2c ，ｚ_r2c ）とすれば、前記式（１９）を座標系Ｃ
_r2に変換して、軸受荷重の変動が０となる歯形曲線IIは
次式（２１）で求められる。ただし、θ₂ ＝０のとき、
ｕ_r2c 軸がｕ_2c軸に一致すると仮定する。

【０１０７】 χ_r2 ＝χ₂₀−θ₂ ＝π/2−φ₂₀−θ₂ ｕ_r2c ＝ｑ_2c（θ₂)cos χ_r2＋Ｒ_b20sinχ_r2 （２１） ｖ_r2c ＝ｑ_2c（θ₂)sin χ_r2−Ｒ_b20cosχ_r2 ｚ_r2c ＝ｚ_2c（θ₂ ） ｎ（φ₂₀＋θ₂ ，ψ_b20)

【０１０８】３．２．歯形曲線Ｉ 全く同様にして座標系Ｃ₁ に対して、ｚ_1c軸の周りにθ
₁ で回転する座標系を座標系Ｃ_r1（ｕ_r1c ，ｖ_r1c ，ｚ
_r1c ）とする。前記式（１９）を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1に変
換すれば、点Ｐ₀ ｛ｑ_1c(0) ，−Ｒ_b10 ，ｚ_1c(0) ｝を
通り、座標系Ｃ ₁ に対する傾き角ｎ（φ₁₀＝π/2−
χ₁₀，ψ_b10)の直線となり、この直線上の任意の点は前
記式（９）によって与えられているから、この直線を座
標系Ｃ_r1に変換すれば、軸受荷重の変動が０となる歯形
曲線Ｉは、次式（２２）で求められる。ただし、θ₁ ＝
０のとき、ｕ_r1c 軸がｕ_1c軸に一致すると仮定する。

【０１０９】 χ_r1 ＝χ₁₀−θ₁ ＝π/2−φ₁₀−θ₁ ｕ_r1c ＝ｑ_1c（θ₂)cos χ_r1＋Ｒ_b10sinχ_r1 （２２） ｖ_r1c ＝ｑ_1c（θ₂)sin χ_r1−Ｒ_b10cosχ_r1 ｚ_r1c ＝ｚ_1c（θ₂ ） ｎ（φ₁₀＋θ₁ ，ψ_b10)

【０１１０】ここで、θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ であることを用
い、改めてθ₁ を助変数として、ｑ_1c（θ₂ ）とｚ
_1c（θ₂ ）をｑ_1c（θ₁ ）とｚ_1c（θ₁ ）とで置換し直
せば、次式（２３）が得られる。

【０１１１】 ｑ_1c（θ₁ ）＝Ｒ_b10 θ₁ cos ² ψ_b10 ＋ｑ_1c（０） ｚ_1c（θ₁ ）＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10 ＋ｚ_1c（０） χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π／２−φ₁₀−θ₁ （２３） ｕ_r1c ＝ｑ_1c（θ₁ ）cos χ_r1＋Ｒ_b10 sin χ_r1 ｖ_r1c ＝ｑ_1c（θ₁ ）sin χ_r1−Ｒ_b10 cos χ_r1 ｚ_r1c ＝ｚ_1c（θ₁ ） ｎ（φ₁₀＋θ₁ ，ψ_b10 ）

【０１１２】実用上はこの式（２３）の方が前記式（２
２）よりも使い易い。前記式（２１），（２３）は、歯
形曲線Ｉ，IIがインボリュートヘリコイド上の前記接触
点の軌跡に対応する曲線になっていることを示してい
る。歯面としてはこの歯形曲線Ｉ，IIを含む任意の互い
に干渉しない曲面が使用可能であるが、インボリュート
ヘリコイドまたはその修整歯面以外の曲面は、実際上上
記のような接触点の軌跡とその共通法線を実現すること
は難しいから、動力伝達用歯車としては不向きである。

【発明の実施の形態】以下、本発明のいくつかの実施の
形態を図面に基づいて説明する。 １．第１の実施形態 本実施形態は、第１ないし第５発明に係る歯車設計方法
を実施する際の一形態であり、インボリュートヘリコイ
ドを歯面とする歯車IIとその歯面と共役な歯面を有する
歯車Ｉとであって、各歯車についての２回転軸が共通垂
線を有する歯車対を設計する方法である。この歯車設計
方法は、３種類の基本座標系により、歯車対の接触点軌
跡，共通法線および歯形曲線をそれぞれ記述して各歯車
Ｉ，IIを設計する方法であり、図１に示すように、設計
情報取得工程ＳＳ１と、接触状態取得工程ＳＳ２と、歯
形曲線取得工程ＳＳ３と、歯面決定工程ＳＳ４とを含ん
でいる。３種類の基本座標系とは、歯車IIについては、
それぞれ図１１に示す静止座標系としての座標系Ｃ₂ お
よび媒介座標系としての座標系Ｃ_q2と、図１３に示す回
転座標系としての座標系Ｃ_r2とである。また、歯車Ｉに
ついても同様に、それぞれ図１１に示す静止座標系とし
ての座標系Ｃ₁ および媒介座標系としての座標系Ｃ
_q1と、図１３に示す回転座標系としての座標系Ｃ_r1とで
ある。設計情報取得工程ＳＳ１は、接触状態取得と歯形
曲線取得とにそれぞれ必要な情報を取得する工程であ
る。設計情報の具体的内容は後述する。接触状態取得工
程ＳＳ２は、軸受荷重の変動が０となるときの接触点軌
跡とその共通法線の傾き角を静止座標系としての座標系
Ｃ₂ ，Ｃ₁ で取得する工程である。

【０１１３】歯車IIについては、接触点軌跡が、前記式
（１９）、すなわち、 ｑ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2c (0) ｕ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ （１９） ｚ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ_2c (0) なる諸式を用いて取得され、一方、共通法線の傾き角
も、前記式（１９）、すなわち、 ｎ（φ₂₀＝π/2−χ₂₀，ψ_b20) なる式を用いて取得される。この式（１９）は、接触点
の軌跡が座標系Ｃ_q2上で点Ｐ₀ ｛ｑ_2c(0) ，−Ｒ_b20 ，
ｚ_2c(0) ｝を通り、座標系Ｃ₂ に対する傾き角ｎ（φ₂₀
＝π/2−χ₂₀，ψ_b20)の共通法線に一致する直線である
ことを表している。この式において、 Ｒ_b20 ψ_b20 ｑ_2c (0) χ₂₀ ｚ_2c (0) という５個の変数に適当な値を代入すれば、軸受荷重の
変動が０となるときの接触点軌跡とその共通法線の傾き
角を座標系Ｃ₂ で取得することができる。すなわち、そ
れら５個の変数に代入すべき値が設計情報なのである。
歯車Ｉについては、取得すべき接触点軌跡は歯車IIのも
のと同一であるから、上記のようにして取得された接触
点軌跡を単に座標変換することにより接触点軌跡が取得
される。なお、それら５個の変数の具体的な決定方法に
ついては後に詳述する。

【０１１４】歯形曲線取得工程ＳＳ３は、前記取得され
た接触点軌跡とその共通法線の傾き角とに基づき、軸受
荷重の変動が０となる歯形曲線を取得する工程である。
歯車IIについては、歯形曲線が回転座標系としての座標
系Ｃ_r2で、 χ_r2 ＝χ₂₀−θ₂ ＝π/2−φ₂₀−θ₂ ｕ_r2c ＝ｑ_2c（θ₂)cos χ_r2＋Ｒ_b20sinχ_r2 （２１） ｖ_r2c ＝ｑ_2c（θ₂)sin χ_r2−Ｒ_b20cosχ_r2 ｚ_r2c ＝ｚ_2c（θ₂ ） ｎ（φ₂₀＋θ₂ ，ψ_b20 ） なる諸式を用いて取得される。

【０１１５】これに対し、歯車Ｉについては、歯形曲線
Ｉが回転座標系としての座標系Ｃ_r1で、 ｑ_1c（θ₁ ）＝Ｒ_b10 θ₁ cos ² ψ_b10 ＋ｑ_1c（０） ｚ_1c（θ₁ ）＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10 ＋ｚ_1c（０） χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π／２−φ₁₀−θ₁ （２３） ｕ_r1c ＝ｑ_1c（θ₁ ）cos χ_r1＋Ｒ_b10 sin χ_r1 ｖ_r1c ＝ｑ_1c（θ₁ ）sin χ_r1−Ｒ_b10 cos χ_r1 ｚ_r1c ＝ｚ_1c（θ₁ ） ｎ（φ₁₀＋θ₁ ，ψ_b10 ） なる諸式を用いて取得される。

【０１１６】歯面決定工程ＳＳ４は、各歯車についてそ
れぞれ求められた２つの歯形曲線を含むとともに互いに
干渉しない一対の曲面を歯車対の歯面に決定する工程で
ある。歯車対の歯面は、求められた各歯形曲線を含むこ
とと、歯車対間で干渉しないことという２つの要件さえ
満たせば、あらゆる曲面を選ぶことが可能であるが、そ
の選択の具体的方法を後に詳述する。

【０１１７】本実施形態においては、図２に示すＣＡＤ
システムにより歯車設計が支援されるようになってい
る。このＣＡＤシステムは、プロセッサ１およびメモリ
２を含むコンピュータ３と、入力装置４と、出力装置５
と、外部記憶装置６とを備えている。外部記憶装置６に
おいては、記録媒体に対してデータの読み書きが行われ
る。その記録媒体には、前記歯車設計方法を実施するた
めの歯車設計プログラムであって図１のフローチャート
で表されるものが予め記録されており、必要に応じて記
録媒体から歯車設計プログラムが読み出されてコンピュ
ータ３により実行される。すなわち、この記録媒体が第
６発明の一実施形態なのである。

【０１１８】２．第２の実施形態 本実施形態は、第７発明を実施する際の一形態であるイ
ンボリュート歯車（インボリュート平歯車を除く。）で
ある。

【０１１９】図３の(c) には、本実施形態であるインボ
リュート歯車のうちの一部の歯面を示す斜視図が示され
ており、同図の(a) には、そのインボリュート歯車の一
歯面を軸直角断面に平行な方向から見た場合の歯面形状
（図においてＡ視）が示されている。前述のように、軸
受荷重の変動が０となる接触点軌跡（すなわち、互いに
噛み合う歯車の歯面の接触跡）は、座標系Ｃ_q2上で点Ｐ
₀ ｛ｑ_2c(0) ，−Ｒ_{b2 0} ，ｚ_2c(0) ｝を通り、座標系Ｃ
₂ に対する傾き角ｎ（φ₂₀＝π/2−χ₂₀，ψ_{b2 0})の共通
法線に一致する直線であり、この直線は、歯面と作用面
との交線に直角な作用面上の直線である。

【０１２０】そこで、本実施形態であるインボリュート
歯車は、歯面全体がインボリュートヘリコイドとなるよ
うに製作された後、同図の(a) に示すように、歯面のう
ち、接触点軌跡をほぼ中央位置としてその接触点軌跡に
平行な一対の平面で挟まれる帯状の領域が歯当たり領域
とされ、これに対し、歯面のうち、残りの領域について
は、歯当たり領域から歯すじ端に向かうにつれて歯厚が
連続的に減少するように歯形修整が行われている。すな
わち、同図の(b) には、(a) におけるＢＢ断面図が示さ
れており、歯面を作用面との交線に平行な平行で切断し
た場合の断面形状が示されており、ＢＢ断面の中央部は
インボリュートヘリコイドそのものが歯面として残され
ており、両端部はインボリュートヘリコイドそのものを
１０μｍ程度修整した（削り落とした）ものとなってい
るのである。このような歯面修整により、歯当たりが作
用面と歯面との交線にほぼ直交する方向（歯形曲線）と
なり、荷重変動が低減し歯車の回転騒音も低減する。な
お、本実施形態は、インボリュート歯車を修整する形態
であるが、これに限ることなく、インボリュート歯車と
噛み合う相手側歯車を修整する形態とすることが可能で
ある。

【０１２１】３．第３の実施形態 本実施形態は、第８発明を実施する際の一形態であるハ
イポイドギヤである。ハイポイドギヤは、食い違い軸の
間に運動を伝達する歯車であり、具体的には、図４の
(a) に示すように、ピニオンギヤ７とリングギヤ８とを
備えている。リングギヤ８の歯面はインボリュートヘリ
コイドとされ、これに対し、ピニオンギヤ７の歯面は、
そのリングギヤ８の歯面によって創成された曲面とされ
ている。また、リングギヤ８の歯面には、同図の(b) に
示すように、図３におけると同様な歯当たりが付けられ
ている。

【０１２２】４．第４の実施形態 本実施形態は、第９および第１０発明に係る歯車測定方
法を実施する際の一形態である。この歯車測定方法は、
歯形誤差と歯すじ誤差とをそれぞれ測定する方法であ
り、図５には、この歯車測定方法を実施するのに好適な
歯車測定装置が示されている。この歯車測定装置は、被
測定歯車１０の歯面１２を測定する測定子１４と、その
測定子１４を保持する測定ヘッド１６と、その測定ヘッ
ド１６と被測定歯車１０とを相対移動させる移動装置１
８とを備えている。測定子１４の一形式は、測定すべき
歯面１２に接触し、その歯面１２に追従して変位する接
触型である。同図にはその接触型が示されている。この
歯車測定装置はさらに、被測定歯車１０をそれの軸を中
心に回転させる回転装置２０を備えている。

【０１２３】前記測定ヘッド１６には測定処理装置２４
が接続されている。この測定処理装置２４は、測定子１
４の変位を表す電気信号を測定ヘッド１６から入力し、
その入力された信号に基づき、歯面１２の実際形状の理
想形状からの偏差を演算するものである。

【０１２４】それら移動装置１８と回転装置２０とには
それぞれ運動制御装置２６が接続されている。この運動
制御装置２６は、移動装置１８により測定子１４を移動
させることと、必要に応じて回転装置２０により被測定
歯車１０を回転させることとを互いに関連付けて行うも
のである。

【０１２５】具体的には、運動制御装置２６は、歯形誤
差を測定する際には、被測定歯車１０を一定測定ピッチ
（被測定歯車１０のピッチより小さい値）で回転させつ
つ、測定ヘッド１６を、被測定歯車１０に固定された静
止座標系において、測定誤差が０であることを表す位置
にある測定子１４が被測定歯車１０に対応する理想接触
点軌跡に沿って一定測定ピッチで移動するように移動さ
せる。ここに、理想接触点軌跡は、被測定歯車１０を前
記歯車IIと考えれば、前述のように、座標系Ｃ ₂ で、 ｑ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2c (0) ｕ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ ｚ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ_2c (0) なる諸式を用いて取得される。

【０１２６】測定子１４は、測定ヘッド１６に対して弾
性的に相対変位可能に取り付けられており、測定ヘッド
１６は測定子１４を常に歯面に直角に押し付ける向きに
付勢する。その結果、測定子１４は、歯面に接触しつつ
移動させられ、かつ、その歯面に誤差があれば、その誤
差に応じてその歯面と実質的に直角な方向に変位させら
れることになる。

【０１２７】したがって、歯形誤差測定に際し、測定子
１４と歯面との接触点（測定点）は、概念的には、図６
に示すように変化することになる。

【０１２８】歯形誤差測定を図７のフローチャートに基
づいてさらに詳しく説明する。まず、ステップＳ１（以
下、単に「Ｓ１」で表す。他のステップについても同じ
とする。）において、歯車測定装置に被測定歯車１０が
セットされる。次に、Ｓ２において、測定子１４により
歯面が測定される。その後、Ｓ３において、今回の１歯
について測定が終了したか否かが判定される。１歯にお
ける複数点についての歯面測定が終了したか否かが判定
されるのである。今回は終了しないと仮定すれば、Ｓ４
において、測定子１４が１測定ピッチ移動させられ、次
の測定点に移動させられる。その後、Ｓ５において、被
測定歯車１０が１測定ピッチ回転させられる。以下、今
回の測定点につき、前回の測定点におけると同様にして
歯面測定が行われる。

【０１２９】今回の１歯につき、複数の測定点すべてに
ついて歯面測定が終了したならば、Ｓ３の判定がＹＥＳ
となり、被測定歯車１０が回転されて次の１歯が割り出
され、その歯につき、同様な歯面測定が開始される。

【０１３０】以上、歯形誤差の測定を説明したが、運動
制御装置２６は、歯すじ誤差を測定する際には、被測定
歯車１０を固定する一方、測定ヘッド１６を、被測定歯
車１０に固定された静止座標系において、測定子１４が
被測定歯車１０に対応する接触線に沿って一定測定ピッ
チで移動するように移動させる。接触線は、後に図２６
に基づいて詳述するが、 ｑ_2m（θ₂ ，ξ₂ ）＝ｑ₂ （θ₂ ，ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂
cos ² ψ_b20 ｚ_2m（θ₂ ，ξ₂ ）＝ｚ₂ （θ₂ ，ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂
cos ψ_b20 sin ψ_b20 なる式によって求められる。ここに、ξ₂ は、接触点の
軸方向位置（ｚ₂ 座標）によって変化するパラメタであ
る。ただし、ξ₂ は、円筒歯車（Σ＝０，π）であると
きには０となる。

【０１３１】したがって、歯すじ誤差測定に際し、測定
子１４と歯面との接触点（測定点）は、概念的には、図
８に示すように変化することになる。

【０１３２】歯すじ誤差測定を図９のフローチャートに
基づいてさらに詳しく説明する。まず、Ｓ１１におい
て、被測定歯車１０が歯車測定装置にセットされる。次
に、Ｓ１２において、測定子１４により歯面が測定され
る。その後、Ｓ１３において、今回の１歯につき、今回
の１本の接触線における複数の測定点すべてについて歯
面測定が終了したか否かが判定される。今回は終了して
いないと仮定すれば、判定がＮＯとなり、Ｓ１４におい
て、測定子１４が今回の接触線に沿って１測定ピッチ移
動させられ、次の測定点に移動させられる。その後、新
たな測定点について歯面測定が行われる。

【０１３３】Ｓ１２〜Ｓ１４の実行が何回か繰り返され
た結果、今回の１本の接触線における複数の測定点すべ
てについて歯面測定が終了すれば、Ｓ１３の判定がＹＥ
Ｓとなり、Ｓ１５において、今回の１歯における複数の
接触線すべてについて歯面測定が終了したか否かが判定
される。今回は終了していないと仮定すれば判定がＮＯ
となり、Ｓ１６において、被測定歯車１０が１測定ピッ
チ回転させられる。接触線は被測定歯車１０の回転と共
に歯面に沿って移動する状況下、次の接触点についての
歯面測定を準備するためである。以下、Ｓ１２以下のス
テップが同様に実行される。その結果、今回の１歯にお
ける複数の接触線すべてについて歯面測定が終了したな
らば、Ｓ１５の判定がＹＥＳとなり、被測定歯車１０が
回転されて次の１歯が割り出され、その歯につき、同様
な歯面測定が開始される。

【０１３４】本実施形態においては、コンピュータによ
り歯車測定が支援されるようになっており、第９および
第１０発明をそれぞれ実施するためのコンピュータプロ
グラムが記録媒体に予め記録され、必要に応じてその記
録媒体からその歯車測定支援プログラムが読み出されて
コンピュータにより実行されるようになっている。

【０１３５】ここで、前記５個の変数に代入すべき値を
決定する具体的方法を図面に基づいて詳細に説明する。

【０１３６】１．対象歯車対 軸受荷重変動が０となる対象歯車対は、前述のように、
次のように定義されている。 (1) ２軸の位置関係（軸角Σ，オフセットＥ），角速度
ω₁₀，ω₂₀（ω₁₀≧ω ₂₀とする）が与えられ、定角速度
比（ｉ₀ ）の運動を伝達している。なお、角速度ω₁₀，
ω₂₀はいずれもベクトルである。 (2) 接触点の軌跡が、接触点の共通法線ｎに一致する、
静止空間に固定された有向直線ｇ₀ として与えられ、そ
の作用面がＧ₁₀，Ｇ₂₀とされている。ただし、ｇ₀ は接
触点の軌跡の方向を表す単位ベクトルであり、ｎに一致
している。 (3) 座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1，Ｃ₂ ，Ｃ_q2が与えられ、接触点
の軌跡ｇ₀ は座標系Ｃ ₂ ，Ｃ_q2によって次のように与え
られている。ただし、ｇ₀ を座標系Ｃ₁ ，Ｃ_q1および歯
車Ｉの回転角θ₁ で表すには、添字２を１に変えればよ
い。

【０１３７】 ｑ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2c(0) ｕ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ_2c（θ₂)＝ｑ_2c（θ₂)sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ （２５） ｚ_2c（θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ_2c(0) ここで、 θ₂ ：歯車IIの回転角 ｑ_2c(0) ，ｚ_2c(0) ：θ₂ ＝０の接触点のｑ_2c，ｚ_2c座
標 χ₂₀：歯車IIの作用面Ｇ₂₀の傾き角 ψ_b20 ：ｇ₀ の作用面Ｇ₂₀上の傾き角 Ｒ_b20 ：作用面Ｇ₂₀の接する基礎円筒の半径

【０１３８】したがって、対象歯車対が、与えられた角
速度比ｉ₀ の運動を伝達するためには、ｑ_2c(0) ，ｚ_2c
(0) ，Ｒ_b20 ，χ₂₀，ψ_b20 の５個の定数を適切に選択
する必要がある。

【０１３９】２．相対回転軸と座標系Ｃ_S ２．１．相対回転軸 図１６は、相対回転軸と座標系Ｃ_S との関係を示してい
る。２軸ＩとIIの位置関係およびその角速度ω₁₀，ω₂₀
が与えられた時、２軸の共通垂線ｖ_c （ω₂₀×ω₁₀の方
向に正）と各軸Ｉ，IIとの交点をそれぞれＣ₁ ，Ｃ₂ と
し、ｖ_c に関してＣ₁ がＣ₂ の下にあるものとする。相
対角速度ω_r （ベクトル）をω_r ＝ω₁₀−ω₂₀、その軸
を相対回転軸Ｓとする時、相対回転軸Ｓを含み、かつ、
共通垂線ｖ_c に垂直な平面を平面Ｓ_H とし、その平面Ｓ
_H と共通垂線ｖ_c との交点をＣ_Sとすれば、相対回転軸
ＳはＣ_S を通る直線となっていて、相対回転軸Ｓの位置
は次のように決定することができる。

【０１４０】２軸Ｉ（ω₁₀），II（ω₂₀）の平面Ｓ_H へ
の正射影をそれぞれＩ_S （ω₁₀”），II_S （ω₂₀”）と
し、共通垂線ｖ_c の正方向から負方向に向かって平面Ｓ
_H を見たとき、Ｉ_S のII_S に対する角をΩとすれば、ω
₂₀×ω₁₀の定義により、Ｉ_SはII_S に対し、０≦Ω≦π
（反時計方向が正）の領域にある。平面Ｓ_H 上で相対回
転軸Ｓ（ω_r ）のII_S に対する角をΩ_S （反時計方向が
正）とすれば、相対回転軸の定義（ω_r ＝ω₁₀−ω₂₀）
により、ω₁₀”，ω₂₀”の平面Ｓ_H 上の相対回転軸に直
交する成分が等しくなければならないから、Ω_S は次式
（２６）、すなわち、

【０１４１】 sin Ω_S ／sin （Ω_S −Ω）＝ω₁₀／ω₂₀ または、 （２６） sin Γ_s ／sin （Σ−Γ_S ）＝ω₁₀／ω₂₀ となる。ここで、 Σ ＝π−Ω（軸角） Γ_S ＝π−Ω_S

【０１４２】ただし、いずれも図示の方向に正である。
共通垂線ｖ_c 上のＣ_S の位置は次のようにして求められ
る。図１７は、点Ｃ_S の相対速度Ｖ_s （ベクトル）を示
している。仮定により共通垂線ｖ_c に関してＣ₁ がＣ₂
の下にあり、かつ、ω₁₀≧ω₂₀であるから、Ｃ_S はＣ₂
の下にある。点Ｃ_S における歯車Ｉ，IIの周速度を
Ｖ_S1，Ｖ_S2（いずれもベクトル）とすれば、相対速度Ｖ
_S ＝Ｖ_S1−Ｖ_S2は周速度の定義により相対回転軸Ｓ上に
あるから、Ｖ_S1，Ｖ_S2（平面Ｓ_H 上にある）の相対回転
軸に直交する成分が常に等しくなければならない。した
がって、点Ｃ_S における相対速度Ｖ_S ＝Ｖ _S1−Ｖ_S2は、
相対回転軸Ｓの位置（Γ_S ）によって、平面Ｓ_H 上で同
図に示すようになり、Ｃ₂ とＣ_S との距離Ｃ₂ とＣ
_S は、次式（２７）、すなわち、 Ｃ₂ Ｃ_S ＝Ｅtan Γ_S ／｛tan （Σ−Γ_S ）＋tan Γ_S ｝ （２７） で求められる。この式は０≦Γ_S ≦πの範囲で成り立つ
が、Ｃ_S の位置はΓ_S と共に変化し、０≦Γ_S ≦π／２
のときはＣ₁ より上、π／２≦Γ_S ≦πのときはＣ₁ よ
り下となっている。

【０１４３】２．２．座標系Ｃ_S の定義 前記式（２６），（２７）によって相対回転軸Ｓを静止
空間に決定することができるから、座標系Ｃ_S を図１６
に示すように定義する。座標系Ｃ_S （ｕ_C ，ｖ _c ，
ｚ_c ）は、Ｃ_S を原点とし、有向共通垂線ｖ_c をｖ
_c 軸、相対回転軸Ｓをｚ _c 軸（ω_r の方向が正）、そし
て、両軸に垂直に右手系となるようにとられたｕ _c 軸に
よって構成される。対象歯車対は定角速度比の運動を伝
達することが仮定されているから、座標系Ｃ_S は静止空
間に固定された座標系となり、先に定義された座標系Ｃ
₁ ，Ｃ₂ およびその派生座標系と共に、定角速度比の運
動伝達を行う歯車対を扱う場合における基本座標系であ
る。

【０１４４】２．３．座標系Ｃ_S ，Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係 点Ｃ₁ ，Ｃ₂ を座標系Ｃ_S を用いて、Ｃ₁ （０，
ｖ_cs1 ，０），Ｃ₂ （０，ｖ _cs2 ，０）と表せば、ｖ
_cs1 ，ｖ_cs2 は、次式（２９）のようになる。

【０１４５】 ｖ_cs2 ＝Ｃ_s Ｃ₂ ＝Ｅtan Γ_s / ｛tan ( Σ−Γ_s ) ＋tan Γ_s ｝ ｖ_cs1 ＝Ｃ_s Ｃ₁ ＝ｖ_cs2 −Ｅ （２９） ＝−Ｅtan(Σ−Γ_s )/｛taｎ( Σ−Γ_s ) ＋tan Γ_s ｝

【０１４６】ｖ_c 軸に関してＣ₂ は常にＣ_S の上にある
ことに注意すれば、ｖ_cs1 ，ｖ_cs2およびΣ，Γ_S とに
よって、座標系Ｃ_s と、座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係は次式
（３０），（３１）のようになる。

【０１４７】 ｕ_1c＝ｕ_c cos(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_C sin ( Σ−Γ_s ) ｖ_1c＝ｖ_c −ｖ_cs1 （３０） ｚ_1c＝−ｕ_c sin(Σ−Γ_s ) ＋ｚ_c cos(Σ−Γ_s )

【０１４８】 ｕ_2c＝−ｕ_c cos Γ_s ＋ｚ_c sin Γ_s ｖ_2c＝ｖ_c −ｖ_cs2 （３１） ｚ_2c＝−ｕ_c sin Γ_s −ｚ_c cos Γ_s

【０１４９】座標系Ｃ_S と、座標系Ｃ₁ ，Ｃ₂ の関係
は、図２０に概念的に示されている。

【０１５０】３．座標系Ｃ_S による接触点の軌跡ｇ₀ の
定義 ３．１．相対速度と接触点の軌跡ｇ₀ との関係 図１８は、与えられた接触点の軌跡ｇ₀ とそのｇ₀ 上の
任意点Ｐにおける相対速度Ｖ_rs（ベクトル）との関係を
示している。なお、図中の「′」，「”」は、点または
ベクトルの対象平面への正射影であることを示してい
る。歯面が接触点の軌跡ｇ₀ 上の任意点Ｐで接触してい
るとき、相対回転軸Ｓ上の任意点からのＰの位置ベクト
ルをｒとすれば、点Ｐにおける相対速度Ｖ_rsは次式（３
２）で表わすことができる。

【０１５１】 Ｖ_rs＝ω_r ×ｒ＋Ｖ_s （３２） ここで、 ω_r ＝ω₁₀−ω₂₀ ω_r ＝ω₂₀sin Σ/sin( Σ−Γ_s ) ＝ω₁₀sin Σ/sinΓ
_s Ｖ_s ＝ω₁₀×〔Ｃ₁ Ｃ_S 〕−ω₂₀×〔Ｃ₂ Ｃ_S 〕 Ｖ_s ＝ω₂₀Ｅsin Γ_s ＝ω₁₀Ｅsin(Σ−Γ_s )

【０１５２】ただし、〔Ｃ₁ Ｃ_S 〕はＣ₁ を始点、Ｃ_S
を終点とするベクトルを表し、〔Ｃ₂Ｃ_S 〕はＣ₂ を始
点、Ｃ_S を終点とするベクトルを表している。

【０１５３】相対速度Ｖ_rsは相対回転軸Ｓを軸とする円
筒面の接平面上にあって、この接平面上におけるＶ_s に
対する傾き角ψは次式（３３）で表わすことができる。 cosψ＝｜Ｖ_s ｜／｜Ｖ_rs｜ （３３） 接触点の軌跡ｇ₀ は接触点における歯面の共通法線でも
あるから、ｇ₀ は相対速度Ｖ_rsと点Ｐにおいて直交して
いる。すなわち、 Ｖ_rs・ｇ₀ ＝０ したがって、ｇ₀ は点ＰにおけるＶ_rsに垂直な平面Ｎ上
の有向直線になっている。平面Ｎと平面Ｓ_H との交線を
Ｈ_n とするとき、Ｈ_n は一般には相対回転軸Ｓに交わる
直線となり、ｇ₀ は交点が無限遠であることを含めれば
必ずＨ_n を通ることになる。ｇ₀ と平面Ｓ_H との交点を
Ｐ₀ とすれば、Ｐ₀ は交線Ｈ_n 上にあって、ｇ₀ および
Ｐ₀ は歯車対の種類に応じて次のようになる。

【０１５４】(1) 円筒歯車またはかさ歯車の場合（Σ＝
０，πまたはＥ＝０） Ｖ_s ＝０であるから、Ｖ_rsは単に相対回転軸Ｓ周りの周
速度を意味する。したがって、平面ＮはＳ軸を含むか
ら、Ｈ_n はＳに一致し、接触点の軌跡ｇ₀ は必ず相対回
転軸Ｓを通ることになる。すなわち、点Ｐ₀ は相対回転
軸Ｓ上にあるのである。したがって、これらの歯車対で
は、接触点の軌跡ｇ₀ は相対回転軸上の任意点Ｐ₀ を通
る任意の有向直線となっている。 (2) 上記以外の歯車の場合（Σ≠０，πまたはＥ≠０） ハイポイドギヤ、ねじ歯車またはウォ−ムギヤの場合で
あり、接触点Ｐをある位置に選ぶと、その点Ｐに固有の
相対速度Ｖ_rs，平面Ｎ，直線Ｈ_n が決定される。接触点
の軌跡ｇ₀ はＨ_n 上の任意点Ｐ₀ を通る直線になってい
て、一般には相対回転軸Ｓを通らない。点Ｐは任意であ
るから、ｇ₀ は平面Ｓ_H との交点Ｐ₀ における相対速度
Ｖ_rs0 に垂直な平面上の点Ｐ₀ を通る任意の有向直線で
もある。すなわち、前記式（３２）は次のように表すこ
とができるのである。

【０１５５】Ｖ_rs＝Ｖ_rs0 ＋ω_r ×〔Ｐ₀ Ｐ〕・ｇ₀ ただし、〔Ｐ₀ Ｐ〕は、Ｐ₀ を始点、Ｐを終点とするベ
クトルを表している。したがって、Ｖ_rs0 ・ｇ₀ ＝０な
らば、Ｖ_rs・ｇ₀ ＝０となり、ｇ₀ 上の任意点Ｐは接触
点である。

【０１５６】３．２．設計基準点の選択 ２軸の位置関係と角速度とが与えられた歯車対におい
て、接触点の軌跡ｇ₀ が同じ歯車対は同じ歯形曲線をも
ち、そのどの部分を有効部分とするかの差しかない。し
たがって、歯車対の設計においては接触点の軌跡ｇ₀ を
２軸によってきまる静止空間のどこに配置するかが重要
であって、設計基準点は接触点の軌跡ｇ₀を静止空間に
定義するための点にすぎないから、接触点の軌跡ｇ₀ 上
のどこに選んでも本質的な差はない。任意の接触点の軌
跡ｇ₀ を与えたとき、ｇ₀ は交点が無限遠であることも
含めて必ず平面Ｓ_H と交わるから、逆にこの交点を設計
基準点としても一般性を失わない。そこで、本実施形態
においては、平面Ｓ_H （円筒歯車、かさ歯車の場合は相
対回転軸）上の任意点Ｐ₀ を設計基準点として与えるも
のとする。

【０１５７】図１９は、設計基準点Ｐ₀ および接触点の
軌跡ｇ₀ を座標系Ｃ_s を用いて示したものである。座標
系Ｃ_S によって表示された設計基準点をＰ₀ （ｕ_c0, ｖ
_c0,ｚ_c0）とすれば、各座標値は次のように表わすこと
ができる。 ｕ_c0＝Ｏ_s Ｐ₀ ｖ_C0＝０ ｚ_c0＝Ｃ_s Ｏ_s ただし、円筒歯車、かさ歯車の場合はｕ_c0＝０である。
また、点Ｏ_s は設計基準点Ｐ₀ を通り相対回転軸Ｓに垂
直な平面Ｓ_s と相対回転軸Ｓとの交点である。

【０１５８】３．３．接触点の軌跡ｇ₀ の傾き角の定義 点Ｐ₀ における相対速度Ｖ_rs0 は前記式（３２）を用い
て次のようになる。 Ｖ_rs0 ＝ω_r ×〔ｕ_C0〕＋Ｖ_S ここで、〔ｕ_C0〕は、Ｏ_S を始点、Ｐ₀ を終点とするベ
クトルを表している。点Ｐ₀ において相対回転軸Ｓに平
行で、かつ、平面Ｓ_H に垂直な平面（ｕ_c ＝ｕ_c0）をＳ
_P とすれば、Ｖ_rs0 は平面Ｓ_P 上にあって、Ｖ_rs0 の平
面Ｓ_H （ｖ_c＝０）からの傾き角ψ₀ は、前記式（３
３）を用いて次式（３４）で表される。 tan ψ₀ ＝ω_r ｕ_c0／Ｖ_S ＝ｕ_C0sin Σ／｛Ｅsin （Σ−Γ_S ）sin Γ_S ｝ （３４） ただし、ψ₀ はｕ_c0≧０のとき正とし、図１８にその方
向が示されている。

【０１５９】点Ｐ₀ を通ってＶ_rs0 に垂直な平面をＳ_n
とすれば、平面Ｓ_n は平面Ｓ_s に大してψ₀ だけ傾いた
平面になっていて、接触点の軌跡ｇ₀ は点Ｐ₀ を通り平
面Ｓ _n 上にある任意の有向直線になっている。したがっ
て、ｇ₀ の座標系Ｃ_S 上における傾き角は、平面Ｓ_n の
平面Ｓ_S （またはｖ_C 軸）からの傾き角ψ₀ と、平面Ｓ
_n 上における平面Ｓ_p からの傾き角φ_n0とによって定義
することができ、これをｇ₀ （ψ₀,φ_n0) と表わすこと
にする。φ_n0は図１９に示す方向を正としている。

【０１６０】３．４．座標系Ｃ_S によるｇ₀ の定義 図２０は、座標系Ｃ_s と平面Ｓ_H ，Ｓ_S ，Ｓ_P ，Ｓ_n お
よびＰ₀ ，ｇ₀(ψ₀,φ _n0) との関係を示したものであ
る。ここで定義された平面Ｓ_H は従来の理論では、円筒
歯車の場合のピッチ平面、かさ歯車の場合の軸平面に対
応している。平面Ｓ_S は正面であり、平面Ｓ_p は円筒歯
車の軸平面、かさ歯車のピッチ平面に対応している。ま
た、平面Ｓ_n は一般の歯車に拡張された歯直角平面であ
り、φ_n0，ψ₀ もまた一般の歯車に拡張された歯直角圧
力角、ねじれ角と考えることができる。これらの平面に
よって、一般の歯車対の圧力角やねじれ角が、接触点の
共通法線（この場合はｇ₀ ）の各平面に対する傾き角と
して静止空間に対して統一的ただし、ここで定義された
平面Ｓ_n ，φ_n0，ψ₀ は従来理論のかさ歯車の場合に一
致し、他の歯車の場合のそれとは異なる。これは従来理
論が、個々の歯車のピッチ平面を基準とし、それは歯車
の種類によって静止空間に対して変化するからである。
従来の理論では、基準となるピッチ回転体（円筒あるい
は円錐）を決めれば、このピッチ回転体に任意の曲面を
歯面として固定し、相手歯面を創成すればよく、与える
歯面（接触点の軌跡とその法線）に製作上の制限以外に
条件はなかったから、むしろＰ₀ の選択（ピッチ回転体
の議論）に重点があり、ｇ₀ （すなわちｇ₀ を実現する
歯面）をどう設計するかの議論は歯面が存在するかどう
か以外には殆どなされなかった。歯車対の設計において
軸受荷重変動０を実現するためには、Ｐ₀ の選択よりも
ｇ₀ の設計が重要である。

【０１６１】軸角ΣとオフセットＥおよび角速度の方向
とが与えられた歯車対では、接触点の軌跡ｇ₀ は一般に
は設計基準点Ｐ₀ （ｕ_C0，ｖ_C0，ｚ_C0）と傾き角ｇ
₀ （ψ₀，φ_n0）との５個の独立変数によって座標系Ｃ
_S で定義できる。本実施形態においては、設計の条件と
して角速度比ｉ₀ およびｖ_C0＝０が与えられるから、接
触点の軌跡ｇ₀ の独立変数は３個になる。すなわち、円
筒歯車の場合には、ｚ_C0が実質的な意味を持たないか
ら、（ｚ_C0），φ_n0，ψ₀ の２個、かさ歯車の場合に
は、ｚ_C0，φ_n0，ψ₀ の３個、ハイポイドギヤやウォー
ムギヤ，ねじ歯車の場合には、ｚ_C0，φ_n0，ψ₀ （また
はｕ_C0）の３個の独立変数の選択によって静止空間に決
定することになる。点Ｐ₀ を与えたとき、ハイポイドギ
ヤやウォ−ムギヤの場合には、ψ₀ は同時に決定され、
φ_n0だけが自由に選べる変数であるが、円筒歯車やかさ
歯車の場合には、Ｐ₀ を相対回転軸上に選ぶから、ψ₀
もφ_n0も自由に選べる変数になっている。

【０１６２】４．接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₂ ，Ｏ₁
への変換 ４．１．座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2，Ｏ₁ ，Ｏ_q1の定義 図２１は、接触点の軌跡ｇ₀ を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2，Ｏ
₁ ，Ｏ_q1によって示したものである。座標系Ｏ₂ （ｕ₂,
ｖ₂,ｚ₂ ），Ｏ_q2（ｑ₂,ｖ_q2, ｚ₂ ）は、設計基準点Ｐ
₀ を通る歯車II軸の軸直角平面Ｚ₂₀とII軸との交点Ｏ₂
を原点とする座標系であり、座標系Ｃ₂ ，Ｃ_q2をｚ_2c軸
方向にＣ₂ Ｏ₂ だけ平行移動したものである。全く同様
に座標系Ｏ₁ （ｕ₁,ｖ₁,ｚ₁ ），Ｏ_q1（ｑ₁,ｖ_q1,
ｚ₁ ）は、点Ｐ ₀ を通る歯車Ｉ具の軸直下平面Ｚ₁₀とＩ
軸との交点Ｏ₁ を原点とする座標系であり、座標系Ｃ₁
とＣ_q1とをｚ_1C軸方向にＣ₁ Ｏ₁ だけ平行移動したもの
である。

【０１６３】４．２．接触点の軌跡の座標の変換式 座標系Ｃ₂ とＯ₂ ，Ｃ_q2とＯ_q2，Ｏ₂ とＯ_q2との関係
は、次のようになる。 (1) 座標系Ｃ₂ とＯ₂ ｕ₂ ＝ｕ_2C ｖ₂ ＝ｖ_2C ｚ₂ ＝ｚ_2c−ｚ_2c0 ここで、ｚ_2C0 ＝Ｃ_S Ｏ_2S＝−（ｕ_c0sin Γ_S ＋ｚ_c0co
s Γ_S ） (2) 座標系Ｃ_q2とＯ_q2 ｑ₂ ＝ｑ_2C ｖ_q2＝ｖ_q2C ｚ₂ ＝ｚ_2c−ｚ_2c0 ここで、ｚ_2C0 ＝Ｃ_S Ｏ_2S＝−（ｕ_c0sin Γ_S ＋ｚ_c0co
s Γ_S ） (3) 座標系Ｏ₂ とＯ_q2（ｚ₂ は共通） ｕ₂ ＝ｑ₂ cos χ₂ ＋Ｒ_b2sin χ₂ ｖ₂ ＝ｑ₂ sin χ₂ −Ｒ_b2cos χ₂ χ₂ ＝π／２−φ₂

【０１６４】全く同様にして座標系Ｃ₁ とＯ₁ ，Ｃ_q1と
Ｏ_q1，Ｏ₁ とＯ_q1との関係は、次のようになる。 (4) 座標系Ｃ₁ とＯ₁ ｕ₁ ＝ｕ_1C ｖ₁ ＝ｖ_1C ｚ₁ ＝ｚ_1c−ｚ_1c0 ここで、ｚ_1C0 ＝Ｃ_S Ｏ_1S＝−ｕ_c0sin （Σ−Γ_S ）＋
ｚ_c0cos （Σ−Γ_S ） (5) 座標系Ｃ_q1とＯ_q1 ｑ₁ ＝ｑ_1C ｖ_q1＝ｖ_q1C ｚ₁ ＝ｚ_1c−ｚ_1c0 ここで、ｚ_1C0 ＝Ｃ_S Ｏ_1S＝−ｕ_c0sin （Σ−Γ_S ）＋
ｚ_c0cos （Σ−Γ_S ） (6) 座標系Ｏ₁ とＯ_q1（ｚ₁ は共通） ｕ₁ ＝ｑ₁ cos χ₁ ＋Ｒ_b1sin χ₁ ｖ₁ ＝ｑ₁ sin χ₁ −Ｒ_b1cos χ₁ χ₁ ＝π／２−φ₁

【０１６５】(7) 座標系Ｏ₁ とＯ₂ との関係は次のよう
になる。 ｕ₁ ＝−ｕ₂ cos Σ−（ｚ₂ ＋ｚ_2c0 ）sin Σ ｖ₁ ＝ｖ₂ ＋Ｅ ｚ₁ ＝ｕ₂ sin Σ−（ｚ₂ ＋ｚ_2c0 ）cos Σ−ｚ_1c0

【０１６６】４．３．接触点の軌跡の傾き角の変換式 ｇ₀ を含み歯車軸IIに平行な平面を作用面Ｇ₂₀とすれ
ば、座標系Ｏ₂ 上におけるｇ₀ の傾き角は、作用面Ｇ₂₀
のｖ₂ 軸からの傾き角φ₂₀（χ₂₀の余角）と作用面Ｇ₂₀
上のｑ₂ 軸からの傾き角ψ_b20 とによってｇ₀(φ₂₀, ψ
_b20)と表わすことができる。全く同様にして作用面Ｇ₁₀
を定義し、ｇ₀ の傾き角を座標系Ｏ₁ によってｇ
₀(φ₁₀, ψ_b10)と表わすことができる。

【０１６７】図２２は、ｇ₀(ψ₀,φ_n0) とｇ₀(φ₁₀, ψ
_b10)とｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)との関係を示したものである。
歯車対の回転によって、接触点が接触点の軌跡ｇ₀ 上を
Ｐ₀からＰに移動したものとし、変位Ｐ₀ Ｐ＝Ｌ_g （θ₂
＞０のとき正）とすれば、座標系Ｃ_s の各軸方向成分
は次のように表わすことができる。

【０１６８】Ｌ_uC＝−Ｌ_g sin φ_n0
（Ｌ_uC：Ｌ_g のｕ_C 方向成分） Ｌ_vC＝ Ｌ_g cos φ_n0 cosψ₀ （Ｌ_vC：Ｌ_g のｖ_C
方向成分） Ｌ_zC＝ Ｌ_g cos φ_n0 sinψ₀ （Ｌ_zC：Ｌ_g のｚ_C
方向成分） 座標系Ｏ₂ の各軸方向成分は、前記式（３１）を用い
て、座標系Ｃ_s の各軸方向成分によって次のように表わ
される。 Ｌ_u2＝−Ｌ_uC cosΓ_s ＋Ｌ_zC sinΓ_s （Ｌ_u2：Ｌ_g のｕ
₂ 方向成分） Ｌ_v2＝ Ｌ_vC （Ｌ_v2：Ｌ_g のｖ
₂ 方向成分） Ｌ_z2＝−Ｌ_uC sinΓ_s −Ｌ_zC cosΓ_s （Ｌ_z2：Ｌ_g のｚ
₂ 方向成分）

【０１６９】したがって、ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）は次式
（３５），（３６）のようになる。 tan φ₂₀ ＝Ｌ_u2/ Ｌ_v2＝ tanφ_n0cos Γ_s /cosψ₀ ＋tan ψ₀sinΓ_s （３５） sinψ_b20 ＝Ｌ_z2/ Ｌ_g ＝ sinφ_n0sin Γ_s −cos φ_n0sin ψ₀cosΓ_s （３６） 全く同様にしてｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）は次式（３７），
（３８）のようになる。 tan φ₁₀ ＝Ｌ_u1/ Ｌ_v1＝−tan φ_n0cos(Σ−Γ_s )/cos ψ₀ ＋tan ψ₀sin( Σ−Γ_s ) （３７） sin ψ_b10 ＝Ｌ_z1/ Ｌ_g ＝sin φ_n0sin(Σ−Γ_s ) ＋cos φ_n0sin ψ₀cos( Σ −Γ_s ) （３８） 式（３５），（３６），（３７），（３８）によって、
ｇ₀(ψ₀,φ_n0) とｇ₀(φ₁₀, ψ_b10)とｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)
との関係が定まる。実際には上式はφ_n0，ψ₀ 以外の変
数を与える場合には使いにくいので、 ｇ₀(φ₁₀, ψ_b10)
とｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)とを与えた場合の関係式を以下に求
めておく。

【０１７０】 ｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)からｇ₀(ψ₀,φ_n0)
とｇ₀(φ₁₀, ψ_b10)とを求める関係式 sin φ_n0＝cos ψ_b20sinφ₂₀cos Γ_s ＋sin ψ_b20sinΓ_s （３９） tan ψ₀ ＝tan φ₂₀sin Γ_s −tan ψ_b20cosΓ_s /cosφ₂₀ （４０） tan φ₁₀＝tan φ₂₀sin(Σ−π/2) −tan ψ_b20cos( Σ−π/2)/cos φ₂₀ （４１） sin ψ_b10 ＝cos ψ_b20sinφ₂₀cos(Σ−π/2) ＋sin ψ_b20sin( Σ−π/2) （４２）

【０１７１】 ｇ₀(φ₁₀, ψ_b10)からｇ₀(ψ₀,φ_n0)
とｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)とを求める関係式 sin φ_n0＝−cos ψ_b10sinφ₁₀cos(Σ−Γ_s ) ＋sin ψ_b10sin( Σ−Γ_s ) （４３） tan ψ₀ ＝ tanφ₁₀sin(Σ−Γ_s ) ＋tan ψ_b10cos( Σ−Γ_s )/cos φ₁₀ （４４） tan φ₂₀＝tan φ₁₀sin(Σ−π/2) ＋tan ψ_b10cos( Σ−π/2)/cos φ₁₀ （４５） sin ψ_b20 ＝−cos ψ_b10sinφ₁₀cos(Σ−π/2) ＋sin ψ_b10sin( Σ−π/2) （４６）

【０１７２】４．４．接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₂ に
よる表示 次に座標系Ｏ₂ による接触点の軌跡の方程式について説
明する。図２３は、接触点の軌跡ｇ₀ および対応する歯
形曲線IIを示している。θ₂ ＝０のとき、設計基準点Ｐ
₀ で接触し、そのときの接平面をＷ₀ （同図では作用面
との交線で表す）とする。歯車IIがθ₂ だけ回転した
後、接触点はＰ、接平面はＷに移動しているものとす
る。

【０１７３】(1) 設計基準点Ｐ₀ 設計基準点は座標系Ｃ_S によりＰ₀(ｕ_c0,0, ｚ_c0) で与
えられている。ただし、ｚ_c0≧０とし、特に円筒歯車や
かさ歯車の場合はｕ_c0＝０とする。したがって、座標系
Ｏ₂ により表示された設計基準点をＰ₀(ｕ_2p0,−ｖ_cs2,
0)とすれば、式（３１）を用いて、ｕ_2P0 は次のように
なる。 ｕ_2p0 ＝Ｏ_2sＰ₀ ＝−ｕ_c0cos Γ_s ＋ｚ_c0sin Γ_s （４７） ｇ₀(φ₂₀, ψ_b20)は前記式（３５），（３６）によって
与えられるから、Ｐ₀(ｕ_2p0,−ｖ_cs2,0)を座標系Ｏ_q2に
変換し、Ｐ₀(ｑ_2p0,−Ｒ_b20,0)で表わせば、ｑ _2p0 ，Ｒ
_b20 は次のようになる。 ｑ_2p0 ＝ｕ_2p0cosχ₂₀−ｖ_cs2sinχ₂₀ Ｒ_b20 ＝ｕ_2p0sinχ₂₀＋ｖ_cs2cosχ₂₀ （４８） χ₂₀ ＝π/2−φ₂₀

【０１７４】(2) 接触点の軌跡ｇ₀ の方程式 前記式（２５）を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2に変換し、その変換
後の式（２５）に式（４８）を代入すれば、接触点の軌
跡ｇ₀ の方程式は回転角θ₂ における接触点Ｐの座標と
して、座標系Ｏ₂ によって次のようになる。ただし、θ
₂ ＝０のとき、設計基準点Ｐ₀ で接触している。 ｑ₂(θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2p0 ｕ₂(θ₂)＝ｑ₂(θ₂)cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ₂(θ₂)＝ｑ₂(θ₂)sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ （４９） ｚ₂(θ₂)＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20

【０１７５】４．５．接触点の軌跡ｇ₀ の座標系Ｏ₁ に
よる表示 図２４は、接触点の軌跡ｇ₀ および対応する歯形曲線Ｉ
を示している。ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）は前記式（３
７），（３８）によって与えられるから、座標系Ｏ ₂ の
場合と全く同様にして、設計基準点Ｐ₀ （ｕ_C0，０，ｚ
_c0）を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1に変換し、Ｐ₀ （ｕ_1p0 ，−ｖ
_cs1 ，０），Ｐ₀ （ｑ_1p0 ，−Ｒ_b10 ，０）で表せば、
前記式（３０）を用いて、ｕ_1p0 ，ｑ_1p0 ，Ｒ_b10 は次
のようになる。 ｕ_1p0 ＝Ｏ_1SＰ₀ ＝ｕ_c0cos （Σ−Γ_S ）＋ｚ_c0sin （Σ−Γ_S ） ｑ_1p0 ＝ｕ_1P0cosχ₁₀−ｖ_cs1 sin χ₁₀ Ｒ_b10 ＝ｕ_1Psin χ₁₀＋ｖ_cs1 cos χ₁₀ χ₁₀ ＝π／２−φ₁₀

【０１７６】したがって、接触点の軌跡ｇ₀ の方程式
は、前記式（２５）を座標系Ｏ₁ ，Ｏ _q1およびθ₁ で表
せば、次のようになる。 θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ （θ₂ ＝０の時、θ₁ ＝０） ｑ₁(θ₁)＝Ｒ_b10 θ₁cos² ψ_b10 ＋ｑ_1p0 ｕ₁(θ₁)＝ｑ₁(θ₁)cos χ₁₀＋Ｒ_b10sinχ₁₀ （４９−１） ｖ₁(θ₁)＝ｑ₁(θ₁)sin χ₁₀−Ｒ_b10cosχ₁₀ ｚ₁(θ₁)＝Ｒ_b10 θ₁cosψ_b10sinψ_b10

【０１７７】接触点の軌跡ｇ₀ が静止空間に固定された
直線として与えられ、しかも、角速度比が一定であるか
ら、接触点の軌跡の方程式は２軸の位置関係によらず、
全く同じ形で表現できることになる。

【０１７８】５．歯形曲線の方程式 ５．１．歯形曲線IIの方程式 図２３に、歯形曲線IIを歯車IIと共にθ₂ で回転する座
標系Ｏ_r2（ｕ_r2, ｖ_r2, ｚ_r2) で示している。座標系Ｏ
_r2は座標系Ｏ₂ に対して原点Ｏ₂ およびｚ₂ 軸を共有
し、θ₂ ＝０のとき一致しているものとする。接触点の
軌跡ｇ₀ は前記式（４９）によって与えられるから、回
転座標系Ｏ_r2で表わした歯形曲線IIの方程式は次のよう
になる。

【０１７９】 χ_r2＝χ₂₀−θ₂ ＝π/2−φ₂₀−θ₂ ｕ_r2＝ｑ₂(θ₂)cos χ_r2＋Ｒ_b20sinχ_r2 （５０） ｖ_r2＝ｑ₂(θ₂)sin χ_r2−Ｒ_b20cosχ_r2 ｚ_r2＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20

【０１８０】５．２．歯形曲線Ｉの方程式 図２４は、歯形曲線Ｉを座標系Ｏ₁ および歯車Ｉと共に
θ₁ で回転する座標系Ｏ_r1（ｕ_r1, ｖ_r1, ｚ_r1) で示し
たものである。座標系Ｏ_r1は座標系Ｏ₁ に対して原点Ｏ
₁ およびｚ₁ 軸を共有し、θ₁ ＝０のとき一致している
ものとする。接触点の軌跡ｇ₀ は前記式（４９−１）に
よって与えられているから、回転座標系Ｏ_r1で表わした
歯形曲線Ｉの方程式は次のようになる。 χ_r1＝χ₁₀−θ₁ ＝π/2−φ₁₀−θ₁ ｕ_r1＝ｑ₁(θ₁ ）cos χ_r1＋Ｒ_b10sinχ_r1 （５３） ｖ_r1＝ｑ₁(θ₁ ）sin χ_r1−Ｒ_b10cosχ_r1 ｚ_r1＝Ｒ_b10 θ₁ cos ψ_b10 sin ψ_b10

【０１８１】次に、決定された歯形曲線から歯面を決定
する具体的方法を図面に基づいて詳細に説明する。 １．対象歯車対の定義 対象とするインボリュート歯車対は次のように定義され
ているものとする。接触点の軌跡ｇ₀ に対応する歯形曲
線をそれぞれ歯形曲線Ｉ，IIとするとき、歯面IIとして
歯形曲線IIを含むインボリュートヘリコイドを与え、歯
面IIによって定角速度比ｉ₀ で創成された曲面を歯面Ｉ
（したがって、歯形曲線Ｉを含む）とする。このように
定義されたインボリュート歯車対の歯面を修整して歯形
曲線Ｉ，IIに沿って接触させれば、軸受荷重変動は０と
なるから、動力伝達用歯車対としては荷重変動の点から
最も有利な歯車対となる。そこで、以下、インボリュー
ト歯車対の関係式、すなわち、インボリュートヘリコイ
ドとその接触領域，共役歯面Ｉの方程式を説明する。

【０１８２】２．インボリュートヘリコイド（歯面II）
の方程式 ２．１．作用面Ｇ₂₀の方程式 図２５は、前記式（２５）によって与えられた設計基準
点Ｐ₀ および接触点の軌跡ｇ₀ を含む作用面Ｇ₂₀（傾き
角χ₂₀＝π／２−φ₂₀）を座標系Ｏ₂ ，Ｏ_q2によって示
したものである。点Ｐ₀ における接平面Ｗ₀ とＧ₂₀との
交線が直線ｗ₀で表されている。歯車IIがθ₂ だけ回転
したとき、接触点Ｐ₀ はＰに、ｗ₀ はｗに移動したもの
とする。

【０１８３】インボリュートヘリコイドの定義によりｗ
上の任意点の歯面法線ｎは作用平面Ｇ₂₀上にあって、し
かもそのｑ₂ 軸からの傾き角ψ_b20 は一定であるから、
ｇ₀上の点Ｐを通りｇ₀ に直交する直線になっている。
したがって、インボリュートヘリコイドは、歯車IIの回
転（回転角θ₂ ）と共にＧ₂₀上をｑ₂ 軸方向にＲ_b20θ₂
だけ平行移動する交線ｗが、歯車IIに固定された回転
する空間（座標系Ｏ_r2）上に描く軌跡面と定義できる。
そこで、直線ｗ上の任意点をＱとし、点Ｑを座標系Ｏ_r2
で表わせば、求めるインボリュートヘリコイドはＱの集
合として表わすことができる。

【０１８４】ｗ上の任意点Ｑを通り、ｗに垂直な作用面
Ｇ₂₀上の有向直線をｎ（ｇ₀ と同方向を正）とし、ｎと
ｗ₀ との交点をＱ₀ とすれば、座標系Ｏ_q2によって表示
された点Ｑ₀ （ｑ₂₀，−Ｒ_b20 ，ｚ₂₀）は次のようにな
る。 ｑ₂₀＝ｑ_2p0 −ｚ₂₀tan ψ_b20 したがって、点Ｑを座標系Ｏ_q2によって表せば、Ｑ（ｑ
₂ ，−Ｒ_b20 ，ｚ₂ ）は次のようになる。

【０１８５】 ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ₂₀ ＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2p0 −ｚ₂₀tan ψ_b20 ｚ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ₂₀ さらに点Ｑを座標系Ｏ₂ によって表わせば、Ｑ（ｕ₂,ｖ
₂,ｚ₂)は次のようになる。 ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ＋ｑ_2p0 −ｚ₂₀tan ψ_b20 ｕ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀ )cos χ₂₀＋Ｒ_b20sinχ₂₀ ｖ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀ )sin χ₂₀−Ｒ_b20cosχ₂₀ （５４） ｚ₂(θ_2,ｚ₂₀ )＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20 ＋ｚ₂₀

【０１８６】この式（５４）が座標系Ｏ₂ によって表わ
したθ₂ とｚ₂₀とをパラメタとする作用面Ｇ₂₀の方程式
であり、θ₂ を固定すれば、接平面Ｗと作用面Ｇ₂₀との
交線ｗを、ｚ₂₀を固定すれば作用面上の有向直線ｎを表
わすことになる。接触点の軌跡ｇ₀ は点Ｐ₀ を通る有向
直線ｎでもあるから、ｚ₂₀＝０と置けば前記（４９）が
求められる。

【０１８７】２．２．インボリュートヘリコイドの方程
式 図２５における直線ｗを歯車IIと共に回転する座標系に
変換すれば、直線ｗの軌跡はインボリュートヘリコイド
（基礎円筒半径Ｒ_b20 、ねじれ角ψ_b20 ）を描くから、
これを歯面IIとして与えるものとする。この時、点Ｑに
おける有向直線ｎは歯面法線ｎになる。

【０１８８】図２６は、回転角θ₂ における直線ｗを通
るインボリュートヘリコイド（歯面II）上の任意点Ｐ_m
を座標系Ｏ₂ 上で示したものである。歯面IIがｗからさ
らにξ₂ だけ回転したとき、ｗはｗ_m にきているとすれ
ば、ｗ_m とｎとの交点Ｑ_m は次のように表すことができ
る。 ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀) ＋Ｒ_b20 ξ₂cos
² ψ_b20 ｚ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｚ₂(θ_2,ｚ₂₀) ＋Ｒ_b20 ξ₂cos
ψ_b20sinψ_b20

【０１８９】回転座標系Ｏ_r2m を回転角θ₂ のとき座標
系Ｏ₂ に一致し、ｚ₂ 軸回りにξ₂だけ回転する座標系
とすれば、座標系Ｏ_r2m によってＱ_m （ｕ_r2m,ｖ_r2m,ｚ
_r2m）は次のように表わすことができる。 χ_r2m ＝χ₂₀−ξ₂ ＝π/2−φ₂₀−ξ₂ ｕ_r2m ( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)cos χ
_r2m ＋Ｒ_b20sinχ_r2m ｖ_r2m ( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)sin χ
_r2m −Ｒ_b20cosχ_r2m ｚ_r2m ( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｚ₂(θ_2,ｚ₂₀) ＋Ｒ_b20 ξ₂c
osψ_b20sinψ_b20

【０１９０】座標系Ｏ_r2m をξ₂ だけθ₂ の逆方向に回
転させて座標系Ｏ₂ に重ねれば、Ｑ _m はＰ_m に移動す
る。座標系Ｏ_r2m 上の点Ｑ_m が座標系Ｏ₂ 上の点Ｐ_m で
あり、両者は同じ座標値であるから、点Ｐ_m を座標系Ｏ
₂ によって表示すれば、Ｐ_m （ｕ_2m，ｖ_2m, ｚ_2m）は次
のようになる。 χ_r2m ＝χ₂₀−ξ₂ ＝π/2−φ₂₀−ξ₂ ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ₂(θ_2,ｚ₂₀）＋Ｒ_b20 ξ₂ cos ² ψ_b20 ｕ_2m (θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)cos χ_2m＋Ｒ_b20sinχ_2m （５５） ｖ_2m (θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｑ_2m( θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)sin χ_2m−Ｒ_b20cosχ_2m ｚ_2m (θ_2,ｚ₂₀，ξ₂)＝ｚ₂(θ_2,ｚ₂₀) ＋Ｒ_b20 ξ₂cosψ_b20sinψ_b20

【０１９１】この式（５５）が任意の回転角θ₂ におけ
る接触点の軌跡ｇ₀ 上の点Ｐを通るインボリュートヘリ
コイド（歯面II）のｚ₂₀とξ₂ とをパラメタとする、座
標系Ｏ₂ による方程式である。θ₂ ＝０とすれば、設計
基準点Ｐ₀ を通る歯面IIとなり、さらにｚ₂₀＝０とすれ
ば、式（５０）、すなわち点Ｐ₀ を通る歯形曲線IIとな
る。または、この式（５５）は、作用面Ｇ₂₀上の点Ｑ_m
をξ₂ だけθ₂ の逆方向に回転させた平面Ｇ_2m上の点Ｐ
_m の座標系Ｏ₂ による方程式と考えることができ、点Ｐ
を通るインボリュートヘリコイドを座標系Ｏ₂ 上で考え
るときには、この方が考えやすい。

【０１９２】３．接触線と接触領域 歯面IIが前記式（５５）によって与えられている時、点
Ｐを通る接触線は、θ ₂ を固定したときの接触の条件式
を満たすｚ₂₀とξ₂ との組合せであるから、ξ ₂ をパラ
メタとして次のように求められる。

【０１９３】３．１．接触点の共通法線ｎ_m （Ｐ
_m0Ｐ_m ） 図２７は、接触点Ｐ_m における接触線ＰＰ_m および共通
法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）を示したものである。歯車IIがθ
₂ だけ回転し、接触点は接触点の軌跡ｇ₀ 上の点Ｐにあ
るものとする。歯面II上にＰ以外の接触点Ｐ_m をとり、
その相対速度をＶ_rsm 、その共通法線をｎ_m ( ｜ｎ_m ｜
＝１) とする。ｎ_m と平面Ｓ_H との交点をＰ_m0、点Ｐ_m0
の相対速度をＶ_rsm0とすれば、Ｐ_m は接触点であるから
次の関係式が成り立つ。

【０１９４】 ｎ_m ・Ｖ_rsm ＝ｎ_m ・( Ｖ_rsm0＋ω_r ×〔Ｐ_moＰ_m 〕・ｎ_m ) ＝ｎ_m ・Ｖ_rsm0 ＝ 0 ここで、〔Ｐ_moＰ_m 〕は、Ｐ_moを始点、Ｐ_m を終点とす
るベクトルを表している。

【０１９５】相対速度Ｖ_rsm0はＰ_m0を通り平面Ｓ_p に平
行な平面Ｓ_pm上にあるから、平面Ｓ _pm上で平面Ｓ_H に対
する傾き角をψ_m0とする。点Ｐ_m0を通りＶ_rsm0に垂直な
平面をＳ_nmとすれば、平面Ｓ_nmはｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）を含
むから、点Ｐ_m の歯直角平面（ねじれ角ψ_m0）となって
いる。一方、接触点Ｐ_m およびその共通法線ｎ_m は、Ｐ
₀ を通る作用面Ｇ₂₀からξ₂だけ傾いた平面Ｇ_2m上にあ
るから、座標系Ｏ₂ で表したｎ_m の傾き角はｎ_m ( φ ₂₀
＋ξ₂,ψ_b20)で与えられる。共通法線ｎ_m は平面Ｓ_nmと
Ｇ_2mとの交線上にあることから、座標系Ｃ_S と座標系Ｏ
₂ の間の傾き角の変換式（４０）を用いれば、平面Ｓ_nm
のねじれ角ψ_m0を次のように表すことができる。 tanψ_m0＝ tan( φ₂₀＋ξ₂)sin Γ_s −tan ψ_b20cosΓ
_s /cos( φ₂₀＋ξ₂) 点Ｐ_m0の位置を座標系Ｃ_s を用いてＰ_m0（ｕ_cm0,0,ｚ
_cm0 ）とすれば、ψ_m0とｕ_cm0 との関係式（３４）か
ら、

【０１９６】 ｕ_cm0 ＝Ｏ_m Ｐ_m0＝Ｅtan ψ_m0sin(Σ−Γ_s )sinΓ_s /sinΣ （５６） ｚ_cm0 ＝Ｃ_s ０_m 点Ｐ_m0を座標系Ｃ_S から座標系Ｏ₂ に変換して、Ｐ
_m0（ｕ_2m0,−ｖ_cs2,ｚ_2m0）で表せば、次のようにな
る。 ｕ_2m0 ＝−ｕ_cm0cosΓ_s ＋ｚ_cm0sinΓ_s ｖ_cs2 ＝Ｅtan Γ_S ／｛tan （Σ−Γ_S ）＋tan Γ_S ｝ ｚ_2m0 ＝−ｕ_cm0sinΓ_s −ｚ_cm0cosΓ_s −ｚ_2cs （５７） ｚ_2c0 ＝−ｕ_c0sin Γ_s −ｚ_c0cos Γ_s ここで、ｕ_c0，ｚ_C0は、設計基準点Ｐ₀ のｕ_c ，ｚ_c 座
標値である。

【０１９７】この式（５７）からｚ_cm0 を消去すれば、 ｕ_2m0cosΓ_s ＋( ｚ_2m0 ＋ｚ_2cs )sinΓ_s ＝−ｕ_cm0 （５８） この式（５８）が接触点の共通法線ｎ_m の平面Ｓ_H 上の
軌跡Ｐ₀ Ｐ_m0を示している。Ｐ_m0は、軌跡Ｐ₀ Ｐ_m0（前
記式（５８））と、作用面Ｇ_2mと平面Ｓ_H との交線Ｈ_g2
m との交点であるから、座標系Ｏ₂ によってξ₂ をパラ
メタとして次のように表すことができる。

【０１９８】 ｕ_2m0 ＝Ｒ_b20/cos(φ₂₀＋ξ₂)−ｖ_cs2tan( φ₂₀＋ξ₂) ｖ_cs2 ＝Ｅtan Γ_S ／｛tan （Σ−Γ_S ）＋tan Γ_S ｝ （５９） ｚ_2m0 ＝−ｚ_2c0 −( ｕ_2m0cosΓ_s ＋ｕ_cm0)/sinΓ_s 点Ｐ_m0を、座標系Ｏ_q2を用いてＰ_m0（ｑ_2m0 ，−
Ｒ_b20 ，ｚ_2m0 ）で表せば、ｑ_2m0 は次のようになる。 ｑ_2m0 ＝ｕ_2m0 cos χ_2m−ｖ_cs2sinχ_2m χ_2m ＝π／２−φ₂₀−ξ₂ ＝χ₂₀−ξ₂

【０１９９】これらの式によって共通法線ｎ_m を、点Ｐ
_m0を通り、傾き角がｎ_m （φ₂₀＋ξ ₂ ，ψ_b20 ）の有向
直線として、ξ₂ をパラメタとして作用面Ｇ_2m上に表す
ことができる。

【０２００】３．２．接触線と接触領域の方程式 図２８は、点Ｑ_m0（Ｐ_m0），Ｑ_m （Ｐ_m ），Ｑと点Ｐと
の関係を作用面Ｇ₂₀上で示したものである。Ｐ_m0，Ｐ_m
を回転座標系Ｏ_r2m で表わすと、作用面Ｇ_2mは位相差ξ
₂ だけ回転して、作用面Ｇ₂₀に重なり、ｎ_m はｎに、Ｐ
_m0はＱ_m0に、Ｐ _m はＱ_m に移動する。歯面IIと作用面Ｇ
₂₀との交線をｗとし、ｗとｎとの交点をＱとすれば、座
標系Ｏ_q2を用いて、既知点Ｑ_m0（ｑ_2m0,−Ｒ_b20,
ｚ_2m0 ），Ｐ（ｑ_2p, −Ｒ_b20,ｚ_2p）と未知点Ｑ｛ｑ
₂(θ_2,ξ₂ ）, −Ｒ_b20,ｚ₂(θ_2,ξ₂ ）｝との間には次
の関係が成り立つ。 ｚ_2m0 ＝−｛ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）−ｑ_2m0 ｝tan ψ_b20 ＋
｛ｑ_2p−ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）｝/tanψ_b20 ＋ｚ_2p したがって、点Ｑは座標系Ｏ_q2を用いて、次のように表
すことができる。

【０２０１】 ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）＝( ｑ_2m0tanψ_b20 ＋ｑ_2p /tan ψ_b20 ＋ｚ_2p−ｚ_2m0)/(tan ψ_b20 ＋1/tan ψ_b20) （６０） ｚ₂(θ_2,ξ₂ ）＝ｚ_2p＋｛ｑ_2p−ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）｝／tan ψ_b20 ここに、 ｑ_2p＝ｑ_2p0 ＋Ｒ_b20 θ₂cos² ψ_b20 ｚ_2p＝Ｒ_b20 θ₂cosψ_b20sinψ_b20

【０２０２】点Ｑ_m はξ₂ をパラメタとして座標系Ｏ_q2
を用いて次のように表わすことができる。 ｑ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂cos² ψ
_b20 ｚ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｚ₂(θ_2,ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂cosψ
_b20sinψ_b20 したがって、座標系Ｏ₂ によって接触点Ｐ_m をＰ_m （ｕ
_2m ,ｖ_2m ,ｚ_2m）で表わせば、各座標値は前記式（５
５）を用い、ξ₂ をパラメタとして次のようになる。

【０２０３】 χ_2m＝χ₂₀−ξ₂ ＝π／２−φ₂₀−ξ₂ ｑ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｑ₂(θ_2,ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂cos² ψ_b20 ｕ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｑ_2m( θ_2,ξ₂ ）cos χ_2m＋Ｒ_b20 sin χ_2m ｖ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｑ_2m( θ_2,ξ₂ ）sin χ_2m−Ｒ_b20cosχ_2m （６１） ｚ_2m( θ_2,ξ₂ ）＝ｚ₂(θ_2,ξ₂ ）＋Ｒ_b20 ξ₂cosψ_b20sinψ_b20

【０２０４】この式（６１）が任意の回転角θ₂ におけ
るξ₂ をパラメタとする接触線（ＰＰ_m ）の座標系Ｏ₂
による方程式である。ここで、前記式（５５）のパラメ
タｚ ₂₀は接触の条件式からξ₂ の関数になっている。し
たがって、θ₂ を変化させることによって、接触線の集
合として接触領域を表わすことができる。また、前記式
（６１）は任意のξ₂ におけるθ₂ をパラメタとする共
通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m）の方程式であり、ξ₂ を変化さ
せることによって共通法線ｎ_m の集合として接触領域を
表わしていると考えることもできる。歯面IIとしてイン
ボリュートヘリコイドを用いれば、接触領域は、作用面
上のねじれ角ψ_b20 の有向直線（Ｐ_m0Ｐ _m ）が歯車II軸
方向変位と共にその傾き角φ₂₀＋ξ₂ を変化させること
によって描くねじれた曲面になっている。

【０２０５】４．歯面IIによって創成される歯面Ｉの方
程式 図２９は、接触点Ｐ_m および共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）
を座標系Ｏ₁ とＯ_q1で示したものである。前記式（６
１）で与えられる接触点Ｐ_m を座標系Ｏ₁ ，Ｏ_q1で表わ
し、座標系Ｏ_r1に変換すれば歯面Ｉを表わすことにな
る。

【０２０６】点Ｐ_m は前記式（６１）でＰ_m （ｕ_2m ,ｖ
_2m ,ｚ_2m）として与えられるから、点Ｐ_m を座標系Ｏ₁
上でＰ_m ( ｕ_1m, ｖ_1m, ｚ_1m) と表わせば、座標系Ｏ₂
とＯ ₁ との座標変換式によって、各座標値は次のように
表わすことができる。 ｕ_1m＝−ｕ_2m cosΣ−( ｚ_2m＋ｚ_2c0 )sinΣ ｖ_1m＝ｖ_2m＋Ｅ ｚ_1m＝ｕ_2msin Σ−( ｚ_2m＋ｚ_2c0 )cosΣ−ｚ_1c0 ｚ₁₀＝−ｕ_C0sin （Σ−Γ_S ）＋ｚ_c0cos （Σ−Γ_S ） 共通法線ｎ_m の傾き角はｎ_m ( φ₂₀＋ξ₂,ψ_b20)で与え
られるから、座標系Ｏ ₂ とＯ₁ との傾き角の変換式であ
る前記式（４１）、（４２）を用いて、ｎ_m （φ_1m, ψ
_b1m ）を次のように求めることができる。

【０２０７】tan φ_1m＝ tan( φ₂₀＋ξ₂)sin(Σ−π/
2) −tan ψ_b20cos( Σ−π/2)/cos(φ₂₀＋ξ₂) sin ψ_b1m ＝cos ψ_b20sin( φ₂₀＋ξ₂)cos(Σ−π/2)
＋ sinψ_b20sin( Σ−π/2)

【０２０８】共通法線ｎ_m を含む作用面をＧ_1mとし、座
標系Ｏ_q1で点Ｐ_m をＰ_m （ｑ_1m ,−Ｒ_b1m , ｚ_1m）と表
わせば、座標系Ｏ₁ とＯ_q1との変換式である前記式（５
２)を用いて、次のようになる。 ｑ_1m＝ｕ_1m cosχ_1m＋ｖ_1msin χ_1m Ｒ_b1m ＝ｕ_1m sinχ_1m−ｖ_1mcos χ_1m χ_1m＝π/2−φ_1m 点Ｐ_m を座標系Ｏ_r1に変換すれば、共役な歯面Ｉは次の
ように表すことができる。 θ₁ ＝ｉ₀ θ₂ （θ₂ −０の時、θ₁ ＝０） χ_r1m ＝π/2−φ_1m−θ₁ ｕ_r1m ＝ｑ_1mcos χ_r1m ＋Ｒ_b1m sin χ_r1m ｖ_r1m ＝ｑ_1msin χ_r1m −Ｒ_b1m cos χ_r1m （６２） ｚ_r1m ＝ｚ_1m

【０２０９】５．同一インボリュートヘリコイドを一方
の歯面とする歯車対の群（インボリュート歯車群）歯車
II軸と歯面IIとして同一インボリュートヘリコイド（基
礎円半径Ｒ_b20 、ねじれ角ψ_b20 ）およびこの歯面上に
点Ｐ₀ （半径Ｒ₂₀）が与えられているものとする。座標
系Ｏ₂ によって、点Ｐ₀ およびその法線ｎ₀ は次のよう
に表すことができる。

【０２１０】Ｐ₀(ｕ_2p0,ｖ_2p0,0) ｎ₀(φ₂₀, ψ_b20) φ₂₀＋ε₂₀＝ cos^-1( Ｒ_b20/Ｒ₂₀) ε₂₀＝ tan^-1( ｖ_2p0/ｕ_2p0) Ｒ₂₀＝√（ｕ_2p0 ²＋ｖ_2p0 ²） 本実施形態においては、Ｐ₀ は平面Ｓ_H 上に選ばれ、ｖ
_2p0 ＝−ｖ_cs2 となるから、軸角Σと角速度比ｉ₀ （ま
たは相対回転軸の軸角Σ_S ）とを与えれば、Ｅが求めら
れ、相対回転軸Ｓおよび相手歯車軸Ｉ、すなわち、歯車
対が決定される。

【０２１１】図３０は、歯車IIを回転させ、点Ｐ₀ およ
びその法線ｎ₀ を座標系Ｏ₂ の適当な位置に選択固定
し、設計基準点および接触点の軌跡とした場合の、イン
ボリュート歯車群を概念的に描いたものである。また、
図中、「Ｓ」は、はすば歯車とウォームギヤ（またはね
じ歯車）の相対回転軸を示し、「Ｓ_b 」は、かさ歯車の
相対回転軸を示し、「Ｓ_hy」は、ハイポイドギヤの相対
回転軸を示している。点Ｐ₀ の位置によってインボリュ
ート歯車群は次のように変化する。 (1) Ｐ₀ がｖ₂ 軸上にあるときには、Σの値によって変
化する。 (a) Σ＝０またはπのときは、外歯はすば歯車または内
歯はすば歯車となる。Γ_S ＝０となり、共役な相手歯面
Ｉもインボリュートヘリコイドとなる。 (b) Σ≠０のときは、ウォームギヤまたはねじ歯車とな
る。ウォームギヤとしてはウォームまたはウォームホイ
ールのいずれかをインボリュートヘリコイドとしたもの
が実用化されている。特に相手歯面Ｉにも歯形曲線Ｉを
含むインボリュートヘリコイドを採用した歯車対がイン
ボリュートねじ歯車として使われている。 (2) Ｐ₀ がｕ₂ 軸上（Ｐ_0B）にあるときには、かさ歯車
となる。相手歯面にも歯形曲線Ｉを含むインボリュート
ヘリコイドを与えたかさ歯車がコニカルギヤとして実用
化されている。 (3) Ｐ₀ が上記以外（Ｐ_0H）にあるときには、ハイポイ
ドギヤと転位ウォームギヤまたは転位ねじ歯車となる。
Ｐ_0Hが、｜ε₂₀｜の比較的小さい領域に選ばれれば（図
示）、かさ歯車に使いハイポイドギヤを意味し、｜ε₂₀
｜がπ／２の近傍に選ばれれば（Ｐ₀ 付近）、転位ウォ
ームギヤまたは転位ねじ歯車を意味することになる。

【０２１２】以上、本発明のいくつかの実施形態を図面
に基づいて詳細に説明したが、これらの他にも、特許請
求の範囲を逸脱することなく、当業者の知識に基づいて
種々の変形，改良を施した形態で本発明を実施すること
が可能である。

【図面の簡単な説明】

【図１】第１ないし第５発明のそれぞれの一実施形態で
ある歯車設計方法を示すフローチャートであり、第６発
明の一実施形態である記録媒体に予め記憶されている歯
車設計プログラムを示すフローチャートでもある。

【図２】その歯車設計プログラムが実行されるＣＡＤシ
ステムを示すブロック図である。

【図３】第７発明の一実施形態であるインボリュート歯
車の歯形を示す正面図，断面図および斜視図である。

【図４】第８発明の一実施形態であるハイポイドギヤを
示す斜視図である。

【図５】第９または第１０発明の一実施形態である歯車
測定方法を実施するのに好適な歯車測定装置全体を示す
系統図である。

【図６】その歯車測定方法における歯形誤差測定を概念
的に説明するための正面図である。

【図７】その歯形誤差測定工程を示すフローチャートで
あり、その歯車測定支援コンピュータプログラムを示す
フローチャートでもある。

【図８】前記歯車測定方法における歯すじ誤差測定を概
念的に説明するための正面図である。

【図９】その歯すじ誤差測定工程を示すフローチャート
であり、その歯車測定支援コンピュータプログラムを示
すフローチャートでもある。

【図１０】第１発明を説明するために歯形の基本寸法を
示す斜視図である。

【図１１】第１発明を説明するために歯形の基本座標系
を示す斜視図である。

【図１２】第１発明を説明するために回転角によって接
触点とその共通法線との変位を示す図である。

【図１３】第１発明を説明するために歯形の接触点の軌
跡を示す図である。

【図１４】第２ないし第４発明を説明するために歯車II
の集中荷重と軸受荷重とをそれぞれ示す図である。

【図１５】第２ないし第４発明を説明するために軸受荷
重変動が０である場合の接触点軌跡を示す図である。

【図１６】接触点軌跡から歯形曲線を求めるために特定
することが必要な５個の変数の値を決定する具体的方法
（以下、単に「変数決定方法」という。）を説明するた
めに、相対回転軸Ｓと座標系Ｃ_S とをそれぞれ示す図で
ある。

【図１７】上記変数決定方法を説明するために点Ｃ_S に
おける相対速度Ｖ_S を示す図である。

【図１８】上記変数決定方法を説明するために点Ｐにお
ける相対速度Ｖ_rsと接触点の軌跡ｇ₀ との関係を示す図
である。

【図１９】上記変数決定方法を説明するために設計基準
点Ｐ₀ における相対速度Ｖ_rs0 と接触点軌跡ｇ₀ とをそ
れぞれ座標系Ｃ_s により示す図である。

【図２０】上記変数決定方法を説明するために平面
Ｓ_H ，Ｓ_S ，Ｓ_P およびＳ_n と共に設計基準点Ｐ₀ ，相
対速度Ｖ_rs0 および接触点軌跡ｇ₀ をそれぞれ示す図で
ある。

【図２１】上記変数決定方法を説明するために設計基準
点Ｐ₀ と接触点軌跡ｇ₀ とをそれぞれ、座標系Ｏ₂ ，Ｏ
_q2，Ｏ₁ およびＯ_q1によって示す図である。

【図２２】上記変数決定方法を説明するために接触点軌
跡ｇ_n0（ψ₀ ，φ_n0 ），ｇ₀ （φ₁₀，ψ_b10 ）および
ｇ₀ （φ₂₀，ψ_b20 ）の関係を示す図である。

【図２３】上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ
₂ とＯ_r2とによって接触点軌跡ｇ ₀ と歯形曲線IIとをそ
れぞれ示す図である。

【図２４】上記変数決定方法を説明するために座標系Ｏ
₁ とＯ_r1とによって接触点軌跡ｇ ₀ と歯形曲線一とをそ
れぞれ示す図である。

【図２５】歯形曲線から歯面を決定する具体的方法（以
下、単に「歯面決定方法」という。）を説明するため
に、作用面Ｇ₂₀を示す図である。

【図２６】上記歯面決定方法を説明するために回転角θ
₂ におけるインボリュートヘリコイドを示す図である。

【図２７】上記歯面決定方法を説明するために接触線Ｐ
Ｐ_m と共通法線ｎ_m （Ｐ_m0Ｐ_m ）とをそれぞれ示す図で
ある。

【図２８】上記歯面決定方法を説明するために作用面Ｇ
₂₀上における点Ｑ_m0（Ｐ_m0），Ｑ _m （Ｐ_m ），Ｑおよび
Ｐの関係を示す図である。

【図２９】上記歯面決定方法を説明するために座標系Ｏ
₁ とＯ_q1とによって点Ｐ_m と共通法線ｎ_m とをそれぞれ
示す図である。

【図３０】上記歯面決定方法を説明するために一方の歯
面が同一のインボリュートヘリコイドである歯車対の群
を示す図である。

【図３１】従来の動荷重理論の基本モデルを示す図であ
る。

【図３２】第９および第１０発明に係る歯車測定方法を
従来の歯車測定方法と対比しつつ概念的に示す斜視図で
ある。

【図３３】第９および第１０発明に係る歯車測定方法を
概念的に示す斜視図である。

【符号の説明】

３ コンピュータ ６ 外部記憶装置 ８ リングギヤ １０ 被測定歯車 １２ 歯 １４ 測定子

Claims (10)

【特許請求の範囲】
1. 【請求項１】インボリュートヘリコイドを歯面とする歯
   車を設計する方法であって、 前記歯車に対して、(a) 互いに直交する３座標軸のうち
   の１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のう
   ちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わさ
   れるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止
   座標系と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが
   前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一
   致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にして
   その歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が
   ０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２
   座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止
   座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座
   標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用
   面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれ
   ぞれ想定し、 前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車
   と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点
   が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法
   線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回
   転角を助変数とする第１関数によって記述し、 前記静止座標系において、前記第１関数と、その静止座
   標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前
   記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転
   角を助変数とする第２関数によって記述し、これによ
   り、静止座標系における接触点軌跡と共通法線傾き角と
   をそれぞれ取得し、 前記回転座標系において、前記第２関数と、その回転座
   標系と前記静止座標系との相対位置関係とに基づき、前
   記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転
   角を助変数とする第３関数によって記述し、これによ
   り、前記歯車の歯形曲線を取得することを特徴とする歯
   車設計方法。
2. 【請求項２】請求項１の歯車設計方法であって、さら
   に、前記歯車に対して、その歯車の回転軸をその歯車の
   両側においてそれぞれ回転可能に支持する一対の軸受を
   想定し、前記歯車の前記接触点軌跡と共通法線傾き角と
   をそれぞれ、その歯車の回転に伴って前記一対の軸受に
   作用する荷重の変動が実質的に０になるように取得する
   接触状態取得工程を含むことを特徴とする歯車設計方
   法。
3. 【請求項３】請求項２の歯車設計方法であって、前記接
   触状態取得工程が、前記接触点軌跡を、前記静止座標系
   において、前記歯車が回転するにもかかわらず固定さ
   れ、かつ、前記各接触点において前記共通法線と一致す
   る直線として取得する工程であることを特徴とする歯車
   設計方法。
4. 【請求項４】請求項１ないし３のいずれかの歯車設計方
   法であって、さらに、前記取得された歯形曲線を含むと
   ともに前記相手歯車の歯面と干渉しない曲面を前記歯車
   の歯面に決定する歯面決定工程を含むことを特徴とする
   歯車設計方法。
5. 【請求項５】インボリュートヘリコイドを歯面とする歯
   車を設計する方法であって、 前記歯車に対して、(a) 互いに直交する３座標軸のうち
   の１つがその歯車の回転軸に一致し、他の２座標軸のう
   ちの１つが、その歯車の回転軸とその歯車が噛み合わさ
   れるべき相手歯車の回転軸との共通垂線に一致する静止
   座標系と、(b)互いに直交する３座標軸のうちの１つが
   前記静止座標系の３座標軸のうち前記歯車の回転軸に一
   致するものに一致し、その一致する座標軸を中心にして
   その歯車と共に回転するとともに、その歯車の回転角が
   ０であるときに他の２座標軸が前記静止座標系の他の２
   座標軸にそれぞれ一致する回転座標系と、(c) 前記静止
   座標系を前記歯車の回転軸を中心に、かつ、その静止座
   標系の前記他の２座標軸のうちの１つが前記歯車の作用
   面と平行になるように回転変換した媒介座標系とをそれ
   ぞれ想定し、 前記媒介座標系において、前記歯車の回転中、その歯車
   と前記相手歯車との間で互いに噛み合う歯面対の接触点
   が描く軌跡と、その歯面対に対する各接触点における法
   線である共通法線の傾き角とをそれぞれ、前記歯車の回
   転角を助変数とする第１関数によって記述し、 前記回転座標系において、前記第１関数と、その回転座
   標系と前記媒介座標系との相対位置関係とに基づき、前
   記接触点軌跡と共通法線傾き角とをそれぞれ、前記回転
   角を助変数とする第２関数によって記述し、これによ
   り、前記歯車の歯形曲線を取得することを特徴とする歯
   車設計方法。
6. 【請求項６】請求項１ないし５のいずれかの歯車設計方
   法を実行するためにコンピュータにより実行されるべき
   プログラムが予め記録されていることを特徴とする歯車
   設計プログラム記録媒体。
7. 【請求項７】インボリュート平歯車を除き、インボリュ
   ートヘリコイドを歯面とする歯車において、それの歯面
   のうち、その歯面と前記歯車の作用面との交線にほぼ直
   角な一対の平面で挟まれる領域を歯当たり領域としたこ
   とを特徴とする歯車。
8. 【請求項８】請求項７の歯車であって、それの回転軸
   が、その歯車と噛み合わされるべき相手歯車の回転軸と
   非平行であることを特徴とする歯車。
9. 【請求項９】インボリュート平歯車を除き、インボリュ
   ートヘリコイドを歯面とする歯車を測定する方法であっ
   て、 測定すべき歯車と測定子とを、その測定子が前記歯面に
   沿って、かつ、その歯面と前記歯車の作用面との交線に
   ほぼ直角な方向に移動するように相対変位させている状
   態で、前記歯面のうち前記交線にほぼ直角な方向におけ
   る形状誤差を測定することを特徴とする歯車測定方法。
10. 【請求項１０】請求項９の歯車測定方法であって、前記
    誤差としての第１誤差の他に、前記測定すべき歯車と前
    記測定子とを、その測定子が前記歯面に沿って、かつ、
    前記交線にほぼ平行な方向に移動するように相対変位さ
    せている状態で、前記歯面のうち前記交線にほぼ直角な
    方向における形状誤差を第２誤差として測定することを
    特徴とする歯車測定方法。