CN115169196A - 一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供了一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，包括以下步骤：步骤1：基于曲线型啮合线的齿廓求解；步骤2：根切临界值计算；步骤3：齿条刀具方程的推导；步骤4：基于抛物线型啮合线的齿廓设计；步骤5：新型齿轮参数化三维有限元网格建模；步骤6：误差敏感性分析。应用本技术方案可实现与渐开线齿轮相比，基于曲线啮合线设计的新型齿轮承载能力显著提升。

Description

一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法

技术领域

本发明涉及齿轮齿形设计技术领域，特别是一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法。

背景技术

现代工业的蓬勃发展，机械装备对大功率、高负载齿轮传动系统的需求逐步增加。渐开线齿轮性能优越，但随着科技进步，也逐步暴露出齿面接触强度低、承载力有限等缺点。在一些大型机械装备中，齿轮传动系统出现齿面点蚀，甚至发生胶合，严重影响其性能和可靠性。众所周知，齿廓形状是决定齿轮传动性能的根本原因。因此，为满足现代工业对大负荷、大功率齿轮传动系统的需求，仍然需要探索新的非渐开线齿形，设计新型齿轮传动系统。

发明内容

有鉴于此，本发明的目的在于提供一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，实现与渐开线齿轮相比，基于曲线啮合线设计的新型齿轮承载能力显著提升。

为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，包括以下步骤：

步骤1：基于曲线型啮合线的齿廓求解；

步骤2：根切临界值计算；

步骤3：齿条刀具方程的推导；

步骤4：基于抛物线型啮合线的齿廓设计；

步骤5：新型齿轮参数化三维有限元网格建模；

步骤6：误差敏感性分析。

在一较佳的实施例中，所述步骤1具体为：坐标系S_f为固定坐标系，坐标系原点位于节点；坐标系S₁和S₂为动坐标系，坐标系原点分别位于两齿轮中心；齿轮副传动过程中接触点在固定坐标系S_f中形成的轨迹线即为啮合线；根据齿轮啮合原理，将固定坐标系下表示的啮合点分别变换到动坐标系S₁和S₂中形成的轨迹即满足预设啮合线的共轭轮廓；x_f和y_f分别为固定坐标系S_f下预设啮合线的X轴和Y轴的坐标分量，预设啮合线的位置矢量在S_f中的坐标表示：

共轭齿廓的位置矢量表示:

其中：Φ₁,Φ₂分别为两齿轮在啮合过程的角位移；r₁,r₂分别为两齿轮节圆半径；

u_t是预设啮合线的参数；[L]_i,f是S_f到S_i，i＝1,2的坐标变换矩阵；

根据平面齿轮啮合原理，直齿圆柱齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心O_f；在S_f下，单位法向量表示为:

将单位法向量表示在S₁中:

根据齿轮啮合原理，两共轭齿廓在接触点位置的公法线与相对速度方向垂直：

f₁为啮合方程，含义为共轭齿面在接触点位置公法线与该点相对速度相互垂直；

为坐标系S₁下两齿面公共法向量的位置矢量；x′_f,y′_f分别是x_f和y_f关于u_t的一阶导函数；

通过对啮合方程进行整理后得到第一齿轮角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

根据两齿轮传动比关系可以得到第二齿轮角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

在一较佳的实施例中，所述步骤2具体为：对新型齿轮根切临界参数进行计算；

利用齿面滑动速度作为条件进行新型齿轮根切临界值推导：

为齿廓接触点位置处的相对速度矢量；

整理方程得到第一齿轮根切的临界值：

(1+m₁₂)x_fx′_f+[(1+m₁₂)y_f+(r₁+r₂)]y′_f＝0

m₁₂为两齿轮传动比；

同理，第二齿轮根切临界值为：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0。

在一较佳的实施例中，所述步骤3具体为：预设啮合线P₁P₂，建立坐标系S_C1为与齿条刀具固连的动坐标系，坐标轴X_C1与齿条刀具的节线重合；在初始位置，移动坐标系S_C1与固定坐标系S_f重合；齿条刀具齿廓在D₀点与啮合线P₁P₂相交，随着齿条刀具的移动，齿条刀具与啮合线P₁P₂在D点处相交；

根据齿轮啮合理论，齿条刀具齿廓点D处的切线必垂直于线段O_f-D，由此可得：

x_c1和y_c1分别为固定坐标系S_c1下齿条刀具方程X轴和Y轴的坐标分量；

由此得到用于加工第一齿轮的齿条刀具方程：

其中：

α是预设抛物线参数，Δ是积分常数，由齿条刀具的初始位置决定；

根据Camus定理，使用两把能够互相嵌入的齿条刀具按照共轭加工原理进行齿轮展成时，加工出的齿轮也是互相共轭啮合的；因此得到第一齿轮的齿条齿廓后，利用两齿条刀具的空间嵌合关系完成第二齿轮的齿条齿廓方程的推导。

在一较佳的实施例中，所述步骤4具体为：第一象限的抛物线顶点位于O_f(0,0)，焦点位于FF(0,p₁/2)，α是预设抛物线参数；

坐标系S_f下，预设啮合线的位置矢量表示为：

p₁为第一象限预设抛物线焦准距；在三角形O_fMF中，有如下几何关系：

由此得到参数α与u_t的关系：

抛物线型啮合线在第一象限的方程：

其中：

同理第三象限的啮合线方程：

p₂为第三象限预设抛物线焦准距；其中：

将上面得到的啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0；

得到根切临界条件：

根据齿轮啮合理论，保证齿轮的重合度大于1；当移动点M位于第一象限的啮合线上时，角度β应大于齿轮的四分之一齿对应的角度，因此参数β的范围表示为：

在三角形O₂MF中，有如下几何关系：

由此得到：

由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：

同理不产生根切k2需满足的条件：

在一较佳的实施例中，所述步骤5具体为：基于MATLAB编写齿轮仿真加工程序；首先利用齿轮啮合原理求解齿条刀具从进入啮合到退出啮合的瞬时切削点坐标；然后，通过旋转投影变换确定单个轮齿端面双侧齿廓的平面节点坐标；其次，通过旋转投影变换得到轮齿基体的平面节点坐标；最后，利用沿齿宽方向的坐标变换计算单齿的所有空间节点坐标；

将计算出的节点坐标文件导入有限元软件ABAQUS；

齿向修形曲线由两条二阶抛物线和一条直线组成，其中y₁和y₂为最大修形量；y₃为齿宽方向上的不修形长度；对未修形齿轮齿面和和修形量曲面进行网格划分；基于原始齿面与齿向修形量曲面叠加的方法建立齿向修形网格模型，根据齿向修形曲线方程计算齿面相应网格节点修形量；点P(x,y)是齿面网格空间节点坐标，根据二维修形曲线确定节点P(x,y)的修形值δ_F；根据齿面节点处的修形量，重新求解齿轮的空间节点坐标；最后，将计算出的修形齿轮节点坐标文件导入ABAQUS，实现修形齿轮的快速三维建模。

在一较佳的实施例中，所述步骤6具体为：在齿轮的啮合坐标系中加入安装误差Δγ；坐标系Sg为无安装误差的齿轮坐标系，坐标系SF为有安装误差的齿轮坐标系；从坐标系SF到坐标系Sg的旋转变换方程：

与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：

本发明提供了一种基于曲线型啮合线的高承载新型圆柱齿轮设计方法，并利用承载接触分析技术对新型齿轮开展了计入安装误差和齿向修形的啮合特性分析。首先根据微分几何知识和齿轮啮合理论，完成了基于抛物线型啮合线的高承载圆柱齿轮的齿廓设计，同时对加工新型齿轮的齿条齿廓方程完成了计算；根据齿条刀具与被加工齿轮的相对运动关系求解新型齿轮的精确三维网格空间节点坐标，完成了新型齿轮参数化三维有限元网格建模；采用原始齿面与齿向修形量叠加的方式建立新型齿轮齿向修形有限元网格模型。新型齿轮有限元分析结果表明：与渐开线齿轮相比，基于抛物线啮合线设计的新型齿轮承载能力更高，在多级齿轮传动、行星齿轮传动中具有较高的应用潜力。

附图说明

图1为本发明优选实施例的齿轮啮合坐标系；

图2为本发明优选实施例的基于啮合线的齿条刀具齿廓方程的推导；

图3为本发明优选实施例的第一象限的抛物线型啮合线；

图4为本发明优选实施例的第三象限的抛物线型啮合线；

图5为本发明优选实施例的齿轮齿面网格划分；

图6为本发明优选实施例的修形量曲面网格划分；

图7为本发明优选实施例的考虑安装误差Δγ的齿轮坐标系；

图8为本发明优选实施例的基于不同的啮合线设计新型齿轮；

图9为本发明优选实施例的抛物线参数k₁对新型齿轮齿形轮廓的影响；

图10为本发明优选实施例的抛物线参数k₂对新型齿轮齿廓的影响；

图11为本发明优选实施例的新型齿轮与渐开线齿轮的接触应力的对比；

图12为本发明优选实施例的新型齿轮与渐开线齿轮的弯曲压应力的对比；

图13为本发明优选实施例的新型齿轮与渐开线齿轮的弯曲拉应力的对比；

图14为本发明优选实施例的不同修形参数下新型齿轮齿面载荷分布；

图15为本发明优选实施例的不同修形量下的新型齿轮的接触应力对比；

图16为本发明优选实施例的不同修形量下的新型齿轮的弯曲压应力对比；

图17为本发明优选实施例的不同修形量下的新型齿轮的弯曲拉应力对比；

图18为本发明优选实施例的不修形渐开线齿轮误差工况下齿面载荷分布；

图19为本发明优选实施例的不修形新型齿轮误差工况下齿面载荷分布；

图20为本发明优选实施例的修形渐开线齿轮误差工况下齿面载荷分布；

图21为本发明优选实施例的修形新型齿轮误差工况下齿面载荷分布；

图22为本发明优选实施例的不修形渐开线齿轮在误差工况下的接触应力；

图23为本发明优选实施例的不修形新型齿轮在误差工况下的接触应力；

图24为本发明优选实施例的齿向修形渐开线齿轮在误差工况下的接触应力；

图25为本发明优选实施例的齿向修形新型齿轮在误差工况下的接触应力；

图26为本发明优选实施例的不修形渐开线齿轮在误差工况下的弯曲压应力；

图27为本发明优选实施例的不修形新型齿轮在误差工况下的弯曲压应力；

图28为本发明优选实施例的齿向修形渐开线齿轮在误差工况下的弯曲压应力；

图29为本发明优选实施例的齿向修形新型齿轮在误差工况下的弯曲压应力；

图30为本发明优选实施例的不修形渐开线齿轮在误差工况下的弯曲拉应力；

图31为本发明优选实施例的不修形新型齿轮在误差工况下的弯曲拉应力；

图32为本发明优选实施例的齿向修形渐开线齿轮在误差工况下的弯曲拉应力；

图33为本发明优选实施例的齿向修形新型齿轮在误差工况下的弯曲拉应力。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。

应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。

需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式；如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。

一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，参考图1至33，包括以下步骤：

步骤1：基于曲线型啮合线的齿廓求解

如图1所示，坐标系S_f为固定坐标系，坐标系原点位于节点；坐标系S₁和S₂为动坐标系，坐标系原点分别位于两齿轮中心。齿轮副传动过程中接触点在固定坐标系S_f中形成的轨迹线即为啮合线。根据齿轮啮合原理，将固定坐标系下表示的啮合点分别变换到动坐标系S₁和S₂中形成的轨迹即满足预设啮合线的共轭轮廓。

预设啮合线的位置矢量在S_f中的坐标表示：

共轭齿廓的位置矢量表示:

其中：

u_t是预设啮合线的参数

[L]_i,f是S_f到S_i，i＝1,2，的坐标变换矩阵

根据平面齿轮啮合原理，直齿圆柱齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心O_f。在S_f下，单位法向量表示为:

将单位法向量表示在S₁中:

根据齿轮啮合原理，两共轭齿廓在接触点位置的公法线与相对速度方向垂直：

通过对啮合方程进行整理后可以得到第一齿轮1角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

根据两齿轮传动比关系可以得到第二齿轮2角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

步骤2：根切临界值计算

齿轮在加工过程中，不合理的设计参数可能会导致轮齿发生根切，引起齿轮抗弯强度下降与重合度降低，影响齿轮副的传动平稳性。因此需要对新型齿轮根切临界参数进行计算。

根据齿轮啮合理论，齿轮齿廓曲线在奇异点发生相对滑动时，在奇异点处可能出现根切。

因此，可以利用齿面滑动速度作为条件进行新型齿轮根切临界值推导：

整理方程可得到第一齿轮1根切的临界值：

(1+m₁₂)x_fx′_f+[(1+m₁₂)y_f+(r₁+r₂)]y′_f＝0

同理，第二齿轮2根切临界值为：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0

步骤3：齿条刀具方程的推导

为完成新型齿轮的加工制造，需要进行齿条刀具齿廓方程的推导。

如图2所示，曲线P₁P₂为预设啮合线，坐标系S_C1是与齿条刀具固连的动坐标系，坐标轴X_C1与齿条刀具的节线重合。在初始位置，移动坐标系S_C1与固定坐标系S_f重合。齿条刀具齿廓在D₀点与啮合线P₁P₂相交，随着齿条刀具的移动，齿条刀具与啮合线P₁P₂在D点处相交。

根据齿轮啮合理论，齿条刀具齿廓点D处的切线必垂直于线段O_f-D，由此可得：

由此得到用于加工第一齿轮1的齿条刀具方程：

其中：

Δ是积分常数，由齿条刀具的初始位置决定

根据Camus定理可以了解到，使用两把能够互相嵌入的齿条刀具按照共轭加工原理进行齿轮展成时，加工出的齿轮也是互相共轭啮合的。因此得到第一齿轮1的齿条齿廓后，可利用两齿条刀具的空间嵌合关系完成第二齿轮2齿条齿廓方程的推导。

步骤4：基于抛物线型啮合线的齿廓设计

如图3所示，第一象限的抛物线顶点位于O_f(0,0)，焦点位于F(0,p₁/2)，α是预设抛物线参数。

坐标系S_f下，预设啮合线的位置矢量表示为：

在三角形O_fMF中，有如下几何关系：

由此得到参数α与u_t的关系：

抛物线型啮合线在第一象限的方程：

其中：

同理第三象限的啮合线方程：

其中：

将上面得到的啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0

得到根切临界条件：

根据齿轮啮合理论，要保证平稳传动，必须保证齿轮的重合度大于1。当移动点M位于第一象限的啮合线上时，角度β应大于齿轮的四分之一齿对应的角度，因此参数β的范围可以表示为：

在三角形O₂MF中，有如下几何关系：

由此得到：

由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：

同理不产生根切k2需满足的条件：

步骤5：新型齿轮参数化三维有限元网格建模

基于MATLAB编写齿轮仿真加工程序。首先利用齿轮啮合原理求解齿条刀具从进入啮合到退出啮合的瞬时切削点坐标；然后，通过旋转投影变换确定单个轮齿端面双侧齿廓的平面节点坐标；其次，通过旋转投影变换得到轮齿基体的平面节点坐标；最后，利用沿齿宽方向的坐标变换计算单齿的所有空间节点坐标；如图5-6所示。

将计算出的节点坐标文件导入有限元软件ABAQUS，实现新型齿轮的快速三维建模。

齿向修形曲线由两条二阶抛物线和一条直线组成，其中y₁和y₂为最大修形量；y₃为齿宽方向上的不修形长度。对未修形齿轮齿面和和修形量曲面进行网格划分。基于原始齿面与齿向修形量曲面叠加的方法建立齿向修形网格模型，根据齿向修形曲线方程计算齿面相应网格节点修形量。点P(x,y)是齿面网格空间节点坐标，根据二维修形曲线可以确定节点P(x,y)的修形值δ_F。根据齿面节点处的修形量，重新求解齿轮的空间节点坐标。最后，将计算出的修形齿轮节点坐标文件导入ABAQUS，实现修形齿轮的快速三维建模。

步骤6：误差敏感性分析

在齿轮的啮合坐标系中加入安装误差Δγ，以分析安装误差对所提出的新型齿轮性能的影响。坐标系S_g为无安装误差的齿轮坐标系，坐标系S_F为有安装误差的齿轮坐标系。从坐标系S_F到坐标系S_g的旋转变换方程：

齿轮的设计参数如下表1所示。齿轮材料的杨氏模量为2.01×10⁵MPa；泊松比为0.29。不考虑两接触齿面间摩擦的影响。在小轮参考点1施加大小为134Nm的转矩。

表1齿轮副设计参数

为验证提出的基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法的有效性，现以抛物线型啮合线的齿轮传动为例说明所提出的设计方法。采用有限元法计算新型齿轮传动的接触应力和弯曲应力，并与渐开线齿轮进行比较。

齿轮的设计参数如下表2所示。齿轮材料的杨氏模量为2.01×105MPa；泊松比为0.29。不考虑两接触齿面间摩擦的影响。在小轮参考点1施加大小为134Nm的转矩。

表2齿轮副设计参数

步骤一：新型齿轮的齿廓设计

根据表2中新型齿轮的设计参数，计算不产生根切的抛物线参数范围分别为0.2≤k1<0.473和0.2≤k2<0.454。为了研究抛物线型啮合线的参数对新型齿轮齿廓的影响，如图8所示，设计了不同参数的抛物线，并给出了相应新型齿轮齿廓。

图9反映了参数k1对新型齿轮齿廓的影响规律。如图所示，小齿轮的齿顶齿廓和大齿轮的齿根齿廓由位于第一象限的啮合线确定。小齿轮的齿顶厚度随第一象限抛物线系数k1的增加而增加，大齿轮的齿根厚度随系数k1的增加而减小。

如下图10所示。图中体现了参数k2对新型齿轮齿廓的影响。可以看出，小齿轮的齿根齿廓和大齿轮的齿顶齿廓受第三象限的啮合线影响。随着抛物线系数k2的增加，小齿轮的齿根厚度减小，而大齿轮的齿顶厚度增加。

图11-13给出了新型齿轮与渐开线齿轮的应力的对比。如图所示，新型齿轮的接触应力和弯曲应力远小于同参数渐开线齿轮；渐开线齿轮的最大接触应力和弯曲应力均出现在节点附近，而新型齿轮的最大弯曲应力出现在轮齿退出啮合位置。

如表3所示，给出了啮合周期内新型齿轮和渐开线齿轮的最大应力值。可以看出，与渐开线齿轮相比，新型齿轮最大接触应力降低了16.10％，最大弯曲压应力降低了6.75％，最大弯曲拉应力降低了8.49％。

表3新型齿轮和渐开线齿轮最大应力对比(MPa)

步骤二：新型齿轮的齿向修形

齿轮副在实际使用中装配误差难以避免。齿向修形是减少误差影响的最经济有效的技术。下面综合分析了修形对新型齿轮啮合性能的影响。在这里只对小齿轮齿面进行修形，大齿轮不做处理。y1和y2为齿宽两端的最大修形量，y3为齿宽方向上不修形长度。

为了进一步研究齿向修形对新型齿轮承载能力的影响，图14给出了不同修形量下新型齿轮在节点位置啮合时的齿面载荷分布。可以看出：不修形齿轮由于边缘效应，齿宽两端存在应力集中的现象，而经过齿向修形后的齿轮，载荷集中在齿宽中点处，有利于改善误差工况下齿轮的啮合性能。

表4和图15-17给出了不同修形量下的新型齿轮的应力对比。可以看出，新型齿轮的接触应力随着修形量的增加而增加，最大接触应力位于节点附近，弯曲压应力和弯曲拉应力随小齿轮转角的变化趋势与不修形齿轮基本相同，最大弯曲应力发生在退出啮合位置。

表4新型齿轮不同修形量下的最大应力(MPa)

步骤三：新型齿轮的误差敏感分析

下面进行了新型齿轮的误差敏感性分析，并与渐开线齿轮进行了比较。新型齿轮和渐开线齿轮的齿向修形参数yi(i＝1、2和3)分别取8μm、8μm和8mm。

图18-21给出了不修形和修形新型齿轮的齿面载荷分布随安装误差的变化，并于同参数渐开线齿轮进行对比。如图所示，随着误差角的增加，齿轮齿面偏载现象愈发严重，这对齿轮传动极为不利。比较齿向修形前后的情况，可以发现齿向修形后载荷分布有了明显改善。

图22-33分别给出了新型齿轮和渐开线齿轮的接触应力，弯曲压应力和弯曲拉应力随安装误差的变化趋势。从表5和表6中可以看出，无论有无修形，新型齿轮的接触应力和弯曲应力均显著低于渐开线齿轮，新型齿轮承载能力相比于渐开线齿轮有显著提升。

表5不修形新型齿轮和渐开线齿轮不同安装误差下的最大应力对比(MPa)

表6修形新型齿轮和渐开线齿轮不同安装误差下的最大应力对比(MPa)

由上述数据可以看出：

(1)基于抛物线型啮合线设计新型齿轮，通过调整抛物线参数可以控制齿廓的形状。

(2)新型齿轮的齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度相较渐开线齿轮有显著提升。在给定的载荷条件下，该新型齿轮的齿面接触应力比渐开线齿轮降低了16.10％。新型齿轮比渐开线齿轮具有更高的承载能力和更低的误差敏感度。无论是否修形和存在安装误差，有限元分析结果显示新型齿轮的应力均明显低于渐开线齿轮。

本发明的设计优势在该实例中得以体现。

Claims (7)

1.一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于包括以下步骤：

步骤1：基于曲线型啮合线的齿廓求解；

步骤2：根切临界值计算；

步骤3：齿条刀具方程的推导；

步骤4：基于抛物线型啮合线的齿廓设计；

步骤5：新型齿轮参数化三维有限元网格建模；

步骤6：误差敏感性分析。

2.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤1具体为：坐标系S_f为固定坐标系，坐标系原点位于节点；坐标系S₁和S₂为动坐标系，坐标系原点分别位于两齿轮中心；齿轮副传动过程中接触点在固定坐标系S_f中形成的轨迹线即为啮合线；根据齿轮啮合原理，将固定坐标系下表示的啮合点分别变换到动坐标系S₁和S₂中形成的轨迹即满足预设啮合线的共轭轮廓；x_f和y_f分别为固定坐标系S_f下预设啮合线在X轴和Y轴的坐标分量，预设啮合线的位置矢量在S_f中的坐标表示：

共轭齿廓的位置矢量表示:

其中：

Φ₁,Φ₂分别为两齿轮在啮合过程的角位移；r₁,r₂分别为两齿轮节圆半径；

u_t是预设啮合线的参数；[L]_i,f是S_f到S_i，i＝1,2的坐标变换矩阵；

根据平面齿轮啮合原理，直齿圆柱齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心O_f；在S_f下，单位法向量表示为:

将单位法向量表示在S₁中:

根据齿轮啮合原理，两共轭齿廓在接触点位置的公法线与相对速度方向垂直：

f₁为啮合方程，含义为共轭齿面在接触点位置公法线与该点相对速度相互垂直；

为坐标系S₁下两齿面公共法向量的位置矢量；x′_f、y′_f分别是x_f和y_f关于u_t的一阶导函数；

通过对啮合方程进行整理后得到第一齿轮角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

根据两齿轮传动比关系可以得到第二齿轮角位移与预设啮合线参数u_t之间的关系：

3.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤2具体为：对新型齿轮根切临界参数进行计算；

利用齿面滑动速度作为条件进行新型齿轮根切临界值推导：

为齿廓接触点位置处的相对速度矢量；

整理方程得到第一齿轮根切的临界值：

(1+m₁₂)x_fx′_f+[(1+m₁₂)y_f+(r₁+r₂)]y′_f＝0

m₁₂为两齿轮传动比；

同理，第二齿轮根切临界值为：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0。

4.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤3具体为：预设啮合线P₁P₂，建立坐标系S_C1为与齿条刀具固连的动坐标系，坐标轴X_C1与齿条刀具的节线重合；在初始位置，移动坐标系S_C1与固定坐标系S_f重合；齿条刀具齿廓在D₀点与啮合线P₁P₂相交，随着齿条刀具的移动，齿条刀具与啮合线P₁P₂在D点处相交；

根据齿轮啮合理论，齿条刀具齿廓点D处的切线必垂直于线段O_f-D，由此可得：

x_c1和y_c1分别为固定坐标系S_c1下齿条刀具方程X轴和Y轴的坐标分量；

由此得到用于加工第一齿轮的齿条刀具方程：

其中：

α是预设抛物线参数，Δ是积分常数，由齿条刀具的初始位置决定；

根据Camus定理，使用两把能够互相嵌入的齿条刀具按照共轭加工原理进行齿轮展成时，加工出的齿轮也是互相共轭啮合的；因此得到第一齿轮的齿条齿廓后，利用两齿条刀具的空间嵌合关系完成第二齿轮的齿条齿廓方程的推导。

5.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤4具体为：第一象限的抛物线顶点位于O_f(0,0)，焦点位于F F(0,p₁/2)，α是预设抛物线参数；

坐标系S_f下，预设啮合线的位置矢量表示为：

p₁为第一象限预设抛物线焦准距；在三角形O_fMF中，有如下几何关系：

由此得到参数α与u_t的关系：

抛物线型啮合线在第一象限的方程：

其中：

同理第三象限的啮合线方程：

p₂为是第三象限预设抛物线焦准距；其中：

将上面得到的啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：

(1+m₁₂)x_fx′_f+{y_f+m₁₂[y_f-(r₁+r₂)]}y′_f＝0；

得到根切临界条件：

根据齿轮啮合理论，保证齿轮的重合度大于1；当移动点M位于第一象限的啮合线上时，角度β应大于齿轮的四分之一齿对应的角度，因此参数β的范围表示为：

在三角形O₂MF中，有如下几何关系：

由此得到：

由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：

同理不产生根切k2需满足的条件：

6.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤5具体为：基于MATLAB编写齿轮仿真加工程序；首先利用齿轮啮合原理求解齿条刀具从进入啮合到退出啮合的瞬时切削点坐标；然后，通过旋转投影变换确定单个轮齿端面双侧齿廓的平面节点坐标；其次，通过旋转投影变换得到轮齿基体的平面节点坐标；最后，利用沿齿宽方向的坐标变换计算单齿的所有空间节点坐标；

将计算出的节点坐标文件导入有限元软件ABAQUS；

齿向修形曲线由两条二阶抛物线和一条直线组成，其中y₁和y₂为最大修形量；y₃为齿宽方向上的不修形长度；对未修形齿轮齿面和和修形量曲面进行网格划分；基于原始齿面与齿向修形量曲面叠加的方法建立齿向修形网格模型，根据齿向修形曲线方程计算齿面相应网格节点修形量；点P(x,y)是齿面网格空间节点坐标，根据二维修形曲线确定节点P(x,y)的修形值δ_F；根据齿面节点处的修形量，重新求解齿轮的空间节点坐标；最后，将计算出的修形齿轮节点坐标文件导入ABAQUS，实现修形齿轮的快速三维建模。

7.根据权利要求1所述的一种基于曲线型啮合线的高承载圆柱齿轮设计方法，其特征在于，所述步骤6具体为：在齿轮的啮合坐标系中加入安装误差Δγ；坐标系Sg为无安装误差的齿轮坐标系，坐标系SF为有安装误差的齿轮坐标系；从坐标系SF到坐标系Sg的旋转变换方程：

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