CN109190324B - 一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法 - Google Patents

一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法 Download PDF

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CN109190324B CN201811340353.0A CN201811340353A CN109190324B CN 109190324 B CN109190324 B CN 109190324B CN 201811340353 A CN201811340353 A CN 201811340353A CN 109190324 B CN109190324 B CN 109190324B
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Abstract

本发明公开了一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，是一种基于TCA求解过程之上的弧齿锥齿轮传动误差的数值计算方法，该方法考虑了不加载与加载情况下的齿轮的传动误差计算，并且分别计算了单齿啮合和双齿啮合条件下的传动误差。整个求解过程不存在偶然性和不确定性，所以，能保证求解结果的准确性。求解过程可通过软件实现，为齿轮设计与反调修正提供了一种思路和参考方案，为高精度弧齿锥齿轮传动提供了有意义的参考。

Description

一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法
技术领域
本发明属于弧齿锥齿轮设计领域，具体为一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法。
背景技术
弧齿锥齿轮由于具有承载能力大、传动平稳、传动噪声低、传动比大、重合度高等特点，成为航空航天、汽车、工程机械等领域中动力传递过程中的关键部件。而齿面接触变形作为衡量弧齿锥齿轮齿面啮合接触性能的指标之一，对齿轮的啮合接触有着很重要的影响。齿面变形直接反映轮齿受载荷作用发生变化的程度，对于得到良好的轮齿啮合性能有着重要的意义。
传统的齿面变形计算主要利用有限元分析得到，存在人为的网格划分精度问题，导致求解过程存在很大的不确定性和误差，而且没有考虑安装误差的影响。
发明内容
本发明的目的在于提供一种求解过程确定，从而能避免求解误差的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法。
本发明提供的这种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，将大轮和小轮之间的啮合看作是两个弹性体之间的接触，包括以下步骤：
一、单齿啮合下的齿面变形量计算
(1)根据机床固定坐标系下的刀盘方程Rp(θ1,φ1)，刀盘单位法矢np(θ1,φ1)，通过相应的坐标变换将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面法矢n1(θ1,φ1)；
(2)将齿面坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面单位法矢n1(θ1,φ1)转化到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下小轮的齿面方程Rm1(θ1,φ1)和齿面法矢nm1(θ1,φ1)；
(3)将安装误差加入大轮齿面，通过所有坐标变换，得出大轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程Rm2(θ2,φ2)和齿面法矢nm2(θ2,φ2)；
(4)根据齿面方程和齿面法矢进行齿面接触分析，求解齿面第一基本齐式E1，F1，G1和第二基本齐式L1，M1，N1；
(4)利用上述考虑安装误差的齿面方程进行齿面接触分析得到每个接触时刻的参数，回代如齿面第一和第二基本齐式及求解方程
Figure GDA0004036200830000021
得到两个齿面的主曲率δk1和δk2：
(5)求解载荷作用下的齿面接触力F和接触椭圆长半轴a，从而求得齿面变形量w。
二、双齿啮合下的齿面变形量计算
(1)参考单齿啮合下个参数的求解方法，确定齿对0上齿面任意一点K0的主曲率δk0，接触点螺旋角βK0，接触点到旋转轴线的距离rk0，传动误差STE0；
(2)同样的方法确定齿对1上齿面任意一点K1的主曲率δk1，接触点螺旋角βK1，接触点到旋转轴线的距离rk1，传动误差STE1；
(3)根据传动误差STE0和STE1相等以及两齿对共同承担载荷M分别建立方程，求解得到两对齿面的接触力F0和F1；
(4)在两对齿面上的接触力F0、F1的基础上，分别求解两对齿面上各自的齿面变形量w0和w1。
步骤(一)中从机床坐标系到轮坯坐标系的变换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000022
它对应的字矩阵为：
Figure GDA0004036200830000031
步骤(一)中从轮坯坐标系到啮合坐标系的变换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000032
式中，旋转角度(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)，旋转位移(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)；
它对应的子矩阵为：
Figure GDA0004036200830000033
步骤(一)中考虑安装误差后大轮在啮合坐标系下的变换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000041
其对应的子矩阵为：
Figure GDA0004036200830000042
其中，eT为两齿轮轴线之间夹角的安装误差；eAX为沿着齿轮轴线方向的安装误差；eOS为齿轮轴间距安装误差；
经过整个坐标变换之后，小轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢可表示为：
Rm1(θ1,φ1)＝(Mt-f)1×M1p·Rp(θ1,φ1)
Nm1(θ1,φ1)＝(Lt-f)1×L1p·np(θ1,φ1)
将安装误差加入大轮齿面之后，通过所有坐标变换后，可得大轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢：
Rm2(θ2,φ2)＝MM-A×(Mt-f)2×M2p·Rp(θ2,φ2)
Nm2(θ2,φ2)＝Lm-a(Lt-f)2×L2p·np(θ2,φ2)。
步骤(一)中的第一基本齐式E1，F1，G1和第二基本齐式L1，M1，N1如下：
第一基本齐式：
Figure GDA0004036200830000043
第二基本齐式：
Figure GDA0004036200830000044
式中，
Figure GDA0004036200830000051
Figure GDA0004036200830000052
步骤(一)中F的具体求解过程如下：
Figure GDA0004036200830000053
式中，M是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；a是刀具齿形角；βk是齿面接触点K的螺旋角；由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：
Figure GDA0004036200830000054
接触点K位置的螺旋角可由以下公式求出：
Figure GDA0004036200830000055
Figure GDA0004036200830000056
Figure GDA0004036200830000057
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距；R0为外锥距；B为齿宽；
接触区域的长度为：
Figure GDA0004036200830000058
Figure GDA0004036200830000059
Figure GDA00040362008300000510
Figure GDA0004036200830000061
λ是下列方程的根：
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0
其中，E*是综合弹性模量；E1、E2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比；
在齿面接触力F和齿面接触椭圆长半轴a的基础之上，可以求得齿面的变形为：
Figure GDA0004036200830000062
其中，
Figure GDA0004036200830000063
步骤(二)中建立的传动误差相等方程为：
STE0(F0)＝STE1(F1)
F0rk0 cosαcosβ0+F1rk1 cosαcosβ1＝M
步骤(二)中的齿面变形量w0和w1分别为：
Figure GDA0004036200830000064
Figure GDA0004036200830000065
本发明提出了一种基于TCA求解过程之上的弧齿锥齿轮传动误差的数值计算方法。考虑了不加载与加载情况下的齿轮的传动误差计算，并且分别计算了单齿啮合和双齿啮合条件下的传动误差。整个求解过程不存在偶然性和不确定性，所以，能保证求解结果的准确性。求解过程可通过软件实现，为齿轮设计与反调修正提供了一种思路和参考方案，为高精度弧齿锥齿轮传动提供了有意义的参考。
附图说明
图1为即将进入啮合的弧齿锥齿轮的两齿面示意图。
图2为已经进入啮合的弧齿锥齿轮的两齿面示意图。
图3为单齿啮合下考虑安装误差的齿面主曲率求解流程图。
图4为双齿啮合下考虑安装误差的齿面变形求解流程图。
图5为一个算例在单齿啮合下的齿面接触力图。
图6为本算例在双齿啮合下的齿面接触力图。
图7为本算例在单齿啮合下的齿面变形量图。
图8为本算例在双齿啮合下的齿面变形量图。
具体实施方式
本发明不同于传统的齿面变形分析方法，提出了一种考虑安装误差的加载齿面变形数值计算方法，从单齿啮合和双齿啮合状态两个方面来计算弧齿锥齿轮在载荷作用下的齿面变形量大小，具体如下：
一、关于单齿啮合下的齿面变形量计算与分析
两弧齿锥齿轮之间的啮合可以看作是两个弹性体之间的接触，图1给出了即将进入啮合的弧齿锥齿轮的两齿面示意图，图2给出了已经进入啮合的弧齿锥齿轮的两齿面示意图。
图1中，Σ1和Σ2为即将啮合的两齿面；A1和A2为即将进入啮合的两齿面接触点；h为两齿面进入啮合前的初始间隙；P为从动轮齿面所受的载荷。
图2中，Σ1和Σ2为已经进入啮合的两齿面；uz1为齿面Σ1上任意一点z1由于啮合受载产生的位移；uz2为齿面Σ2上任意一点z2由于啮合受载产生的位移；P为从动轮齿面所受的载荷；δ1为齿面Σ1上接触点K受载产生的变形；δ2为齿面Σ2上接触点K受载产生的变形；a为两齿面接触形成的接触椭圆的长半轴；A为两齿面接触形成的接触区域的边界尺寸；δz为两齿面啮合时，由于受载荷作用产生的齿面变形。两齿面之间的变形δz可表示为：
Figure GDA0004036200830000071
其中，δk1和δk2为小轮齿面接触点的主曲率；x,y为齿面点的坐标。
需要说明的是，由于小轮的加工与建模过程比大轮的复杂，而且大轮与小轮的求解过程又一样，故本文以小轮的齿面各参数求解过程为主进行分析讲解，大轮相应的参数计算可参考小轮的计算方法和过程。
为了求解考虑安装误差的小轮齿面的主曲率，需要利用两轮齿面方程在啮合坐标系下进行齿面接触分析得到齿面各参数。如图3所示，具体求解流程如下：
Figure GDA0004036200830000081
根据机床固定坐标系下的刀盘方程Rp(θ1,φ1)，刀盘单位法矢np(θ1,φ1)，通过相应的坐标变换将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面法矢n1(θ1,φ1)。由此可见，主要是精确确定机床坐标系到轮坯坐标系的变换矩阵，本文采用的从机床坐标系到轮坯坐标系的坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000082
对应的子矩阵为：
Figure GDA0004036200830000083
Figure GDA0004036200830000084
两齿轮要实现啮合，必须旋转一定角度到达同一齿面啮合坐标系，必须将齿面坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面单位法矢n1(θ1,φ1)转化到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下的齿面方程Rm1(θ1,φ1)和齿面法矢nm1(θ1,φ1)。从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000091
式中，旋转角度(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)，旋转位移(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)。
它对应的子矩阵为：
Figure GDA0004036200830000092
到达同一个啮合坐标系后，由于安装误差的存在，大小轮齿面可能没有发生点接触，需要将安装误差考虑进去，进一步旋转变换，约束齿面接触运动过程。
在考虑安装误差的影响时，一般是将安装误差加在其中一个齿面上即可，本申请采取的是在大轮的齿面上加入安装误差，其考虑安装误差的坐标变换矩阵为：
Figure GDA0004036200830000101
它对应的子矩阵为：
Figure GDA0004036200830000102
其中，eT为两齿轮轴线之间夹角的安装误差；eAX为沿着齿轮轴线方向的安装误差；eOS为齿轮轴间距安装误差。
经过整个坐标变换之后，小轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢可表示为：
Rm1(θ1,φ1)＝(Mt-f)1×M1p·Rp(θ1,φ1)                         (8)
Nm1(θ1,φ1)＝(Lt-f)1×L1p·np(θ1,φ1)                   (9)
将安装误差加入大轮齿面之后，通过所有坐标变换后，可得大轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢：
Rm2(θ2,φ2)＝MM-A×(Mt-f)2×M2p·Rp(θ2,φ2)          (10)
Nm2(θ2,φ2)＝Lm-a(Lt-f)2×L2p·np(θ2,φ2)                       (11)
Figure GDA0004036200830000103
根据齿面方程和齿面法矢求解齿面的第一基本齐式E1，F1，G1和第二基本齐式L1，M1，N1。
第一基本齐式：
Figure GDA0004036200830000104
第二基本齐式：
Figure GDA0004036200830000105
式中，
Figure GDA0004036200830000106
Figure GDA0004036200830000111
Figure GDA0004036200830000112
利用上述考虑安装误差的齿面方程进行齿面接触分析得到每个接触时刻的参数，回代入齿面第一和第二基本齐式，求解下列方程可以得到齿面的主曲率δk1和δk2。
L1du+M1dθ＝δk1,2(E1du+F1dθ)               (16)
M1du+N1dθ＝δk1,2(F1du+G1dθ)
至此，已经求解出了两个齿面上任意一点的主曲率δk1。为了求解齿面变形，还需求解载荷作用下的齿面接触力以及接触区域的长度。
齿轮在载荷作用下，齿面上所受的接触力为：
Figure GDA0004036200830000113
式中，M是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；a是刀具齿形角；βk是齿面接触点K的螺旋角。由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：
Figure GDA0004036200830000114
接触点K位置的螺旋角可由公式求出：
Figure GDA0004036200830000115
Figure GDA0004036200830000116
Figure GDA0004036200830000117
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距。R0为外锥距；B为齿宽。
接触区域的长度为：
Figure GDA0004036200830000121
Figure GDA0004036200830000122
Figure GDA0004036200830000123
Figure GDA0004036200830000124
λ是下列方程的根，
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0            (26)
其中，E*是综合弹性模量；E1、E2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比。
在齿面接触力F和齿面接触区域长度a的基础之上，可以求得齿面的变形为：
Figure GDA0004036200830000125
其中，
Figure GDA0004036200830000126
二、双齿啮合下的齿面变形量
双齿啮合下的齿面变形量的计算过程同单齿啮合状态下的基本一致，只是双齿啮合时，是由两对齿共同承担载荷，属于两点接触，每对齿上都有各自的接触力。大致求解流程如图4所示。
1、先参考单齿啮合状态下各参数的求解方法，确定齿对0上齿面任意一点的主曲率δk0，接触点螺旋角β0，接触点到旋转轴线的距离rk0，传动误差STE0等参数。
2、同样确定齿对1上齿面任意一点的主曲率δk1，接触点螺旋角β1，接触点到旋转轴线的距离rk1，传动误差STE1等参数。
3、根据传动误差相等以及共同承担载荷等关系建立方程，求解得到两对齿面上的接触力F0和F1
STE0(F0)＝STE1(F1)         (29)
F0rk0cosαcosβ0+F1rk1cosαcosβ1＝M       (30)
4、在两对齿面上的接触力F0，F1的基础上，利用下式求解两对齿面上各自的齿面变形量
Figure GDA0004036200830000131
Figure GDA0004036200830000132
下面以一对高速重在航空用弧齿主齿轮为例，基于上述提出的计算方法分别计算在考虑安装误差的条件下，弧齿锥齿轮在单齿和双齿啮合状态下的齿面变形量的大小。
表1给出了端面铣削弧齿锥齿轮的齿面设计基本参数。表2给出了弧齿锥齿轮大轮机床调整卡加工参数。表3给出了弧齿锥齿轮小轮机床调整卡加工参数。
表1弧齿锥齿轮齿面设计基本参数
Figure GDA0004036200830000141
表2弧齿锥齿轮大轮调整卡参数
Figure GDA0004036200830000142
表3弧齿锥齿轮小轮调整卡参数
Figure GDA0004036200830000151
图5给出了弧齿锥齿轮在载荷作用下，单齿啮合时的齿面接触力；图6给出了同等载荷作用下的双齿啮合时齿面的接触力；图7给出了单齿啮合状态下的齿面变形量；图8给出了双齿啮合状态下的齿面变形量。对比结果可知，齿面接触力是一个影响齿面变形的重要因素，双齿啮合状态下的齿面接触力相对于单齿啮合状态下的小，导致双齿啮合状态下的齿面变形小。因此，本文提出的数值计算方法为弧齿锥齿轮的设计与分析提供了重要的参照。

Claims (7)

1.一种弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，将大轮和小轮之间的啮合看作是两个弹性体之间的接触，包括以下步骤：
一、单齿啮合下的齿面变形量计算
(1.1)根据机床固定坐标系下的刀盘方程Rp(θ1,φ1)，刀盘单位法矢np(θ1,φ1)，通过相应的坐标变换将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面法矢n1(θ1,φ1)；
(1.2)将齿面坐标系下的齿面方程R1(θ1,φ1)和齿面单位法矢n1(θ1,φ1)转化到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下小轮的齿面方程Rm1(θ1,φ1)和齿面法矢nm1(θ1,φ1)；
(1.3)将安装误差加入大轮齿面，通过所有坐标变换，得出大轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程Rm2(θ2,φ2)和齿面法矢nm2(θ2,φ2)；
(1.4)根据齿面方程和齿面法矢进行齿面接触分析，求解齿面第一基本齐式E1，F1，G1和第二基本齐式L1，M1，N1；
(1.5)利用上述考虑安装误差的齿面方程进行齿面接触分析得到每个接触时刻的参数，回代齿面第一和第二基本齐式及求解方程
Figure FDA0004086997680000011
得到两个齿面的主曲率δk1和δk2：
(1.6)求解载荷作用下的齿面接触力F和接触椭圆长半轴a，从而求得齿面变形量w；
二、双齿啮合下的齿面变形量计算
(2.1)参考单齿啮合下个参数的求解方法，确定齿对0上齿面任意一点K0的主曲率δk0，接触点螺旋角βK0，接触点到旋转轴线的距离rk0，传动误差STE0；
(2.2)同样的方法确定齿对1上齿面任意一点K1的主曲率δk1，接触点螺旋角βK1，接触点到旋转轴线的距离rk1，传动误差STE1；
(2.3)根据传动误差STE0和STE1相等以及两齿对共同承担载荷M分别建立方程，求解得到两对齿面的接触力F0和F1；
(2.4)在两对齿面上的接触力F0、F1的基础上，分别求解两对齿面上各自的齿面变形量w0和w1。
2.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(一)中从机床坐标系到轮坯坐标系的变换矩阵为：
Figure FDA0004086997680000021
它对应的字矩阵为：
Figure FDA0004086997680000022
3.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(一)中从轮坯坐标系到啮合坐标系的变换矩阵为：
Figure FDA0004086997680000031
式中，旋转角度
Figure FDA0004086997680000032
旋转位移(Δl)1＝((ΔlX)1,(ΔlY)1,(ΔlZ)1)；
它对应的子矩阵为：
Figure FDA0004086997680000033
4.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(一)中考虑安装误差后大轮在啮合坐标系下的变换矩阵为：
Figure FDA0004086997680000034
其对应的子矩阵为：
Figure FDA0004086997680000041
其中，eT为两齿轮轴线之间夹角的安装误差；eAX为沿着齿轮轴线方向的安装误差；eOS为齿轮轴间距安装误差；
经过整个坐标变换之后，小轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢可表示为：
Rm1(θ1,φ1)＝(Mt-f)1×M1p·Rp(θ1,φ1)
Nm1(θ1,φ1)＝(Lt-f)1×L1p·np(θ1,φ1)
将安装误差加入大轮齿面之后，通过所有坐标变换后，可得大轮齿面在啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢：
Rm2(θ2,φ2)＝MM-A×(Mt-f)2×M2p·Rp(θ2,φ2)
Nm2(θ2,φ2)＝Lm-a(Lt-f)2×L2p·np(θ2,φ2)。
5.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(一)中的第一基本齐式E1，F1，G1和第二基本齐式L1，M1，N1如下：
第一基本齐式:
Figure FDA0004086997680000042
第二基本齐式：
Figure FDA0004086997680000043
式中，
Figure FDA0004086997680000044
Figure FDA0004086997680000051
6.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(一)中F的具体求解过程如下：
Figure FDA0004086997680000052
式中，M是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；α是刀具齿形角；βk是齿面接触点K的螺旋角；由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：
Figure FDA0004086997680000053
接触点K位置的螺旋角可由以下公式求出：
Figure FDA0004086997680000055
Figure FDA0004086997680000056
Figure FDA0004086997680000057
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距；R0为外锥距；B为齿宽；
接触区域的长度为：
Figure FDA0004086997680000058
Figure FDA0004086997680000059
Figure FDA00040869976800000510
Figure FDA00040869976800000511
λ是下列方程的根：
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0
其中，E*是综合弹性模量；E1、E2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比；
在齿面接触力F和齿面接触椭圆长半轴a的基础之上，可以求得齿面的变形为：
Figure FDA0004086997680000061
其中，
Figure FDA0004086997680000062
7.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮含误差的齿面载荷接触变形数值计算方法，其特征在于，步骤(二)中建立的传动误差相等方程为：
STE0(F0)＝STE1(F1)
F0rk0cosαcosβ0+F1rk1cosαcosβ1＝M
步骤(二)中的齿面变形量w0和w1分别为：
Figure FDA0004086997680000063
Figure FDA0004086997680000064
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