CN109492307B - 一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法 - Google Patents

一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，在齿面接触分析的基础上提出，主要对在载荷作用下的接触压力，齿面接触印痕，接触变形，传动误差等参数进行了分析计算。通过分析计算可知，弧齿锥齿轮的齿面接触力是一个对齿面啮合点变形量影响较大的因素；各种齿面接触性能参数之间互相关联，因此，在齿轮实际设计与分析过程中，需要根据不同的要求，作出相应合适的调整，以达到齿面接触性能最优的状态。所以本发明公开的方法可在齿轮产品试制之前为齿轮产品的设计与分析提供有意义的方法与思路。

Description

一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法
技术领域
本发明属于弧齿锥齿轮设计领域，具体为一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法。
背景技术
弧齿锥齿轮是传递相交轴或交错轴运动和动力的机械部件，弧齿锥齿轮具有重合度高、传动平稳、噪声低、承载能力大和传动比大等优点，被广泛应用于汽车、船舶、航空、航天、机床和工程机械等领域。弧齿锥齿轮的啮合传动精度、效率、齿面接触应力、齿根弯曲应力、接触区等直接影响其工作寿命、承载能力、振动及整个机械装备的工作性能。
齿面接触性能是衡量弧齿锥齿轮齿面接触好坏的重要标准，其包含接触印痕、接触压力、接触应力、接触变形、啮合刚度、传动误差等性能参数，每个参数都对弧齿锥齿轮的啮合接触有着重要的影响。
尤其是对高速重载的航空用弧齿锥齿轮而言，各项齿面接触性能参数是不得不考虑的关键因素。
国内外许多学者就齿面接触性能进行了大量的研究，主要集中于利用齿面接触分析求解不加载传动误差、接触轨迹等齿面接触性能参数以及利用有限元方法求解加载传动误差，变形，啮合刚度等性能参数，而有限元方法存在人为的网格划分精度问题，导致求解过程存在很大的不确定性和误差。
发明内容
本发明的主要目的在于提供一种在齿面接触分析的基础上对载荷作用下齿面接触性能参数的数值计算方法，求解过程确定，结果误差小。
本发明提供的这种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能数值计算方法，在齿面接触分析(TCA)的基础上，主要对在载荷作用下的接触压力、齿面接触印痕、接触变形和传动误差进行分析计算，包括以下步骤：
(1)齿面接触力计算
(1.1)求解齿面上接触点K到旋转轴线的距离rk、接触点K的主曲率δk和接触点K的螺旋角βk；
(1.2)根据齿轮所受的弯矩M和求解的rk、βk计算在载荷作用下的齿面接触力F；
(2)齿面接触印痕确定
(2.1)根据步骤(1)求解的齿面接触力F和齿面接触点K的主曲率δk，求解两齿面接触椭圆的长半轴a和短半轴b；
(2.2)根据每个时刻的接触椭圆，确定整个啮合过程的齿面印痕；
(3)齿面接触变形计算与分析
根据步骤(1)求解的齿面接触力F，步骤(2)求解的齿面接触椭圆的长半轴a和短半轴b，求解得出两齿轮在加载条件下的齿面变形w；
(4)传动误差的计算与分析
(4.1)利用齿面接触分析求解不加载理想情况下的传动误差Δφ1；
(4.2)求解载荷作用下增加的传动误差△*
根据步骤(3)计算的齿面接触变形w和步骤(1)计算的齿面上接触点K的螺旋角βk以及接触点K到齿轮旋转轴线的距离rk，可求得在载荷作用下增加的传动误差△*；
(4.3)总传动误差δφ1＝△φ1+△*。
步骤(1)中δk的求解过程如下：
L1du+M1dθ＝δk1,2(E1du+F1dθ)
M1du+N1dθ＝δk1,2(F1du+G1dθ)
式中，L1，M1，N1，E1，F1，G1是齿面的第一和第二基本齐式，θ和μ是齿面的两个参数。
步骤(1)中rk的求解公式为：
Figure BDA0001862392730000021
式中，Rm1(x)和Rm1(y)是齿面点在啮合坐标下的坐标值。
步骤(1)中βk的求解公式如下：
Figure BDA0001862392730000022
Figure BDA0001862392730000031
Figure BDA0001862392730000032
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距。R0为外锥距；B为齿宽。
步骤(1)中
Figure BDA0001862392730000033
α为刀具齿形角，M为齿轮所受的弯矩。
步骤(2)中的
Figure BDA0001862392730000034
上式中，
Figure BDA0001862392730000035
λ是下列方程的根
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0
上式中，
Figure BDA0001862392730000036
步骤(3)中的
Figure BDA0001862392730000037
ζ为通用加工参数刀转角。
步骤(4)中Δφ1和△*的求解过程分别如下：
根据传动误差的定义有
Figure BDA0001862392730000038
式中，φ1为小轮的转角；φ2为大轮的转角；N1和N2分别为小轮和大轮的齿数；
根据刀具参数通过坐标变换大小齿轮齿面方程和法向矢量在啮合坐标系下的表达式为Rm1、Rm2和Nm1、Nm2，两齿轮要能实现啮合，两接触面必须处于连续切触状态，所以要求两齿面的位置矢量和法线在任一瞬时都重合，且满足啮合原理方程，即：
Nm1(θp,φc1)＝Nm2(θg,φc2)
Rm1(up,θp,φc1)＝Rm2(ug,θg,φc2)
n·v＝Nm1(θp,φc1)·v12＝f(up,θp,φc1)＝0
v12是相对运动速度
依据上述方程，每次给小轮一个微小转角，通过多次迭代求解得到对应转角下从动轮的实际转角，根据传动比计算从动轮的理论转角，从动轮的实际转角与理论转角的差值就是齿轮的传动误差Δφ1；
Figure BDA0001862392730000041
α为刀具齿形角
这里，(up，θp)为曲面坐标，α为刀具的斜角，rc为刀盘顶点的半径，具有正α和负α的矢量函数分别表示用于加工小轮凹面和凸面的两个刀盘的齿面；
Rm1(up,θp,φc1)的表达式为：Rm1(up,θp,φc1)＝(Mt-f)1×M1p(φc1)·rp(up,θp)，
Nm1(θp,φc1)的表达式为：Nm1(θp,φc1)＝(Lt-f)1×L1p(φc1)·np(θp)，
rp为机床坐标系下的刀盘圆锥面方程；φc1是摇台转角；M1p为刀盘坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵；L1p为M1p对应的子矩阵；(Mt-f)1为从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵；(Lt-f)1为(Mt-f)1对应的子矩阵。
M1p的表达式为：
Figure BDA0001862392730000042
式中，φ1＝mcφc1，mc为切削滚比，φc1是摇台转角；
L1p的表达式为：
Figure BDA0001862392730000051
(Mt-f)1的表达式为：
Figure BDA0001862392730000052
式中，旋转角度
Figure BDA0001862392730000053
旋转位移(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)；
(Lt-f)1的表达式为：
Figure BDA0001862392730000054
本发明在齿面接触分析的基础上提出了关于齿面接触性能参数的数值计算方法，主要对在载荷作用下的齿面接触力、齿面接触印痕、齿面接触变形和传动误差进行了分析计算，整个过程均能通过软件实现，不存在人为影响，从而能保证求解过程确定，结果误差小。在弧齿锥齿轮的实际设计与分析过程中，利用本发明提出的方法，需要根据不同的要求，作出相应合适的调整，以达到齿面接触性能最优的状态。所以本发明提出的计算方法可在弧齿锥齿轮产品试制之前为齿轮产品的设计与分析提供有意义的方法与思路。
附图说明
图1为本发明确定整个啮合过程齿面接触印痕的示意图。
图2为本发明一个实施例在加载条件下的齿面啮合接触力图。
图3为本实施例在受载情况下的齿面接触点图。
图4为本实施例在加载条件下的齿面啮合接触印痕图。
图5为本实施例在受载时啮合接触点的变形量图。
图6为本实施例在加载条件下的传动误差曲线图。
具体实施方式
本发明在齿面接触分析的基础上提出了关于齿面接触性能参数的数值计算方法；主要对在载荷作用下的接触压力，齿面接触印痕，接触变形，传动误差等参数进行了分析计算。具体如下：
1、关于齿面接触力
齿面接触力是齿轮受载荷作用而产生的，是齿轮传动力学特性的一个主要体现方面。齿面接触力的大小反映了弧齿锥齿轮受载荷作用而变化的程度，直接影响着弧齿锥齿轮的传动平稳性等啮合特性。
为求解齿面接触力，必须求解出齿面接触点K到齿轮旋转轴线的距离rk、接触点K的主曲率δk和齿面接触点K的螺旋角βk，即求解齿面接触点的坐标。这就需要在齿面接触分析(TCA)的基础之上进行计算。
根据弧齿锥齿轮的加工成形原理，可由刀具一系列参数经过变换得到齿面的方程。机床坐标系下的刀盘圆锥面方程为：
Figure BDA0001862392730000071
刀盘的单位法矢为：
Figure BDA0001862392730000072
这里，(up，θp)是曲面坐标，α是刀具的斜角，rc是刀盘顶点的半径，具有正α和负α的矢量函数分别表示用于加工小轮凹面和凸面的两个刀盘的齿面。
两轮要达到啮合状态，必须各自旋转一定角度，完成齿面的接触传动。首先，从刀盘坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵可表示为：
Figure BDA0001862392730000073
其中，φ1＝mcφc1，mc为切削滚比。
它对应的子矩阵为：
Figure BDA0001862392730000074
从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵为：
Figure BDA0001862392730000081
式中，旋转角度
Figure BDA0001862392730000082
旋转位移(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)。
它对应的子矩阵为：
Figure BDA0001862392730000083
经过坐标变换之后，小轮在啮合坐标系下的齿面方程和法线矢量可表示为：
Rm1(up,θp,φc1)＝(Mt-f)1×M1p(φc1)·rp(up,θp)   (7)
Nm1(θp,φc1)＝(Lt-f)1×L1p(φc1)·np(θp)   (8)
根据小轮的齿面方程和法线矢量利用啮合原理可以求得齿面上任意一点的主曲率δk1，δk2；齿面上任意一点到旋转轴线的距离rk1。
L1du+M1dθ＝δk1,2(E1du+F1dθ)
M1du+N1dθ＝δk1,2(F1du+G1dθ)   (9)
Figure BDA0001862392730000084
式中，E1，F1，G1；L1，M1，N1为齿面的第一和第二基本齐式；Rm1(x)和Rm1(y)是齿面点在啮合坐标下的坐标值。
同理，可求得大轮在啮合坐标系下的齿面方程Rm2和法线矢量Nm2，大轮齿面任意一点的主曲率以及大轮齿面任意一点到旋转轴线的距离rk2。
至此，我们已经求解得到了齿面上任意一点到旋转轴线的距离rk，齿面上任意一点的主曲率δk。为了考虑在载荷作用下的齿面的受力情况，需计算在载荷作用下的齿面接触力：
Figure BDA0001862392730000091
式中，M是齿轮所受的弯矩；rk是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离；a是刀具齿形角；βk是齿面接触点K的螺旋角。
接触点K位置的螺旋角可由公式求出：
Figure BDA0001862392730000092
Figure BDA0001862392730000093
Figure BDA0001862392730000094
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥
距；R0为外锥距；B为齿宽。
2、关于齿面接触印痕
齿面接触印痕对齿轮运转的平稳、使用寿命和噪音等都有直接的影响，所以齿面接触印痕是衡量弧齿锥齿轮啮合质量的重要标准之一。根据弧齿锥齿轮齿面接触区的V—H检查可以检查齿面接触印痕是否良好，并且可以根据接触区的修正方法来修正各种不良接触印痕，达到良好的啮合接触。
根据接触力学原理，弧齿锥齿轮两齿面接触所形成的接触区域为椭圆形，其中接触点K是接触椭圆的中心，所受的力F沿着齿面的法线方向。根据上述求解的齿面接触力和齿面接触点的主曲率，则每个时刻的接触椭圆的长半轴和短半轴为：
长半轴：
Figure BDA0001862392730000095
短半轴：b＝λ·a   (16)
Figure BDA0001862392730000101
Figure BDA0001862392730000102
Figure BDA0001862392730000103
其中，E1、E2分别为小大轮的弹性模量；u1、u2分别为小大轮的泊松比；E*是综合弹性模量；ζ为通用加工参数刀转角；λ是下列方程的根。
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0   (20)
至此，接触椭圆的长半轴和短半轴都已求出，其每个时刻的接触椭圆大小可以确定，由上述求得的每个时刻的接触椭圆，可以精确确定整个啮合过程齿面接触印痕，如图1所示。
3、关于齿面接触变形
齿面接触变形直接影响着弧齿锥齿轮的传动误差以及啮合质量，作为齿面啮合接触性能的评判标准之一，所以对齿面接触变形进行计算与分析也是很有必要的。两齿轮啮合可以看作是两个弹性体之间的啮合接触，根据上述求解的两齿轮的齿面接触力F，齿面接触椭圆长短半轴长a和b，通过计算可以得到两齿轮在加载条件下的齿面变形：
Figure BDA0001862392730000104
Figure BDA0001862392730000105
4、关于传动误差
传动误差是直接反映弧齿锥齿轮啮合平稳性的重要依据。传动误差的大小以及变化规律直接影响着齿轮的啮合接触情况，因此，对于传动误差的计算与分析是一个很有意义的研究方向。不同于传统的有限元分析求解传动误差方法，本发明提出了基于齿面接触分析(TCA)的加载传动误差数值求解方法，为高性能弧齿锥齿轮齿轮传动提供了重要的计算方法。
传动误差表示的是在啮合转动过程中，从动轮的实际转角相对于理论转角的差值。即传动误差为：
Figure BDA0001862392730000111
其中，φ1为小轮的转角；φ2为大轮的转角；N1和N2分别为小轮和大轮的齿数。
根据刀具参数通过坐标变换得到大小齿轮齿面方程和法向量在啮合坐标系下的表达式Rm1，Rm2和Nm1，Nm2。两齿轮要能实现啮合，两接触曲面必须处于连续切触状态，这就要求两齿面的位置矢量和法线在任一瞬时都重合，且满足啮合原理方程。即
Nm1(θp,φc1)＝Nm2(θg,φc2)   (24)
Rm1(up,θp,φc1)＝Rm2(ug,θg,φc2)   (25)
n·v＝Nm1(θp,φc1)·v12＝f(up,θp,φc1)＝0   (26)
依据上述方程，每次给小轮一个微小转角，通过多次迭代求解得到对应转角下大轮的实际转角，根据传动比计算从动轮的理论转角，大轮的实际转角与理论转角的差值就是齿轮的传动误差Δφ1。
在上述利用齿面接触分析求解传动误差时，只是考虑了不加载理想情况下的齿轮传动误差计算，并没有分析载荷对其影响规律，在载荷作用下，轮齿会发生变形，引起附加的传动误差，导致传动误差变大。
齿面因受载变形引起的传动误差为Δ*，根据上述求解的齿面变形w和齿面上任意一点的螺旋角βk以及齿面上任一点到齿轮旋转轴线的距离rk等参数可以求得弧齿锥齿轮在载荷作用下的传动误差为：
Figure BDA0001862392730000112
综合以上所有内容，弧齿锥齿轮不加载传动误差和在载荷作用下的传动误差都已可以计算得到，因此，弧齿锥齿轮在载荷作用下的传动误差δφ1可以计算得到：
δφ1＝△φ1+△*   (28)
5、算例
下面以一对航空用弧齿锥齿轮，运用上述提出的方法对其进行计算分析，得到弧齿锥齿轮传动的一系列齿面接触性能参数。表1给出了端面铣削弧齿锥齿轮的齿面设计基本参数；表2给出了弧齿锥齿轮大轮机床调整卡加工参数；表3给出了弧齿锥齿轮小轮机床调整卡加工参数。
表1弧齿锥齿轮齿面设计基本参数
Figure BDA0001862392730000121
表2弧齿锥齿轮大轮调整卡参数
Figure BDA0001862392730000122
Figure BDA0001862392730000131
表3弧齿锥齿轮小轮调整卡参数
Figure BDA0001862392730000132
图2给出了弧齿锥齿轮在加载条件下的齿面啮合接触力；
图3展示了弧齿锥齿轮在受载情况下的齿面啮合接触点示意图；
图4给出了弧齿锥齿轮在加载条件下的齿面啮合接触印痕；
图5是弧齿锥齿轮在受载时啮合接触点的变形量；
图6给出了弧齿锥齿轮在加载条件下的传动误差曲线。
对比计算结果可知：弧齿锥齿轮的齿面接触力是一个对齿面啮合点变形量影响较大的因素，各种齿面接触性能参数之间互相关联。因此，在弧齿锥齿轮的实际设计与分析过程中，需要根据不同的要求，作出相应合适的调整，以达到齿面接触性能最优的状态。
所以本发明提出的计算方法可在弧齿锥齿轮产品试制之前为齿轮产品的设计与分析提供有意义的方法与思路。

Claims (10)

1.一种弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，在齿面接触分析(TCA)的基础上，主要对在载荷作用下的接触压力、齿面接触印痕、接触变形和传动误差进行分析计算，包括以下步骤：
(1)齿面接触力计算
(1.1)求解齿面上接触点K到旋转轴线的距离rk、接触点K的主曲率δk和接触点K的螺旋角βk；
(1.2)根据齿轮所受的弯矩M和求解的rk、βk计算在载荷作用下的齿面接触力F；
(2)齿面接触印痕确定
(2.1)根据步骤(1)求解的齿面接触力F和齿面接触点K的主曲率δk，求解两齿面接触椭圆的长半轴a和短半轴b；
(2.2)根据每个时刻的接触椭圆，确定整个啮合过程的齿面印痕；
(3)齿面接触变形计算与分析
根据步骤(1)求解的齿面接触力F，步骤(2)求解的齿面接触椭圆的长半轴a和短半轴b，求解得出两齿轮在加载条件下的齿面变形w；
(4)传动误差的计算与分析
(4.1)利用齿面接触分析求解不加载理想情况下的传动误差Δφ1；
(4.2)求解载荷作用下增加的传动误差△*
根据步骤(3)计算的齿面接触变形w和步骤(1)计算的齿面上接触点K的螺旋角βk以及接触点K到齿轮旋转轴线的距离rk，可求得在载荷作用下增加的传动误差△*；
(4.3)总传动误差δφ1＝△φ1+△*。
2.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(1)中δk的求解过程如下：
根据齿面方程可求得齿面的第一和第二基本齐式：
Figure FDA0004036970300000021
Figure FDA0004036970300000022
L1du+M1dθ＝δk1,2(E1du+F1dθ)
M1du+N1dθ＝δk1,2(F1du+G1dθ)。
3.如权利要求2所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(1)中rk的求解公式为：
Figure FDA0004036970300000023
式中，Rm1(x)和Rm1(y)是齿面点在啮合坐标下的坐标值。
4.如权利要求3所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(1)中βk的求解公式如下：
Figure FDA0004036970300000024
Figure FDA0004036970300000025
Figure FDA0004036970300000026
式中，r0为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距；R0为外锥距；B为齿宽。
5.如权利要求4所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(1)中
Figure FDA0004036970300000027
α为刀具齿形角，M为齿轮所受的弯矩。
6.如权利要求5所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(2)中的
Figure FDA0004036970300000028
上式中，
Figure FDA0004036970300000031
λ是下列方程的根
δk2J1(λ)-δk1J2(λ)＝0
上式中，
Figure FDA0004036970300000032
7.如权利要求6所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(3)中的
Figure FDA0004036970300000033
ζ为通用加工参数刀转角。
8.如权利要求7所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，步骤(4)中Δφ1和△*的求解过程分别如下：
根据传动误差的定义有
Figure FDA0004036970300000034
式中，φ1为小轮的转角；φ2为大轮的转角；N1和N2分别为小轮和大轮的齿数；
根据刀具参数通过坐标变换大小齿轮齿面方程和法向矢量在啮合坐标系下的表达式为Rm1、Rm2和Nm1、Nm2，两齿轮要能实现啮合，两接触面必须处于连续切触状态，所以要求两齿面的位置矢量和法线在任一瞬时都重合，且满足啮合原理方程，即：
Nm1(θp,φc1)＝Nm2(θg,φc2)
Rm1(up,θp,φc1)＝Rm2(ug,θg,φc2)
n·v＝Nm1(θp,φc1)·v12＝f(up,θp,φc1)＝0
依据上述方程，每次给小轮一个微小转角，通过多次迭代求解得到对应转角下大轮的实际转角，根据传动比计算大轮的理论转角，大轮的实际转角与理论转角的差值就是齿轮的传动误差Δφ1；
Figure FDA0004036970300000041
α为刀具齿形角
这里，(up，θp)为曲面坐标，α为刀具的斜角，rc为刀盘顶点的半径，具有正α和负α的矢量函数分别表示用于加工小轮凹面和凸面的两个刀盘的齿面；v12是相对运动速度。
9.如权利要求8所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，Rm1(up,θp,φc1)的表达式为：Rm1(up,θp,φc1)＝(Mt-f)1×M1p(φc1)·rp(up,θp)，Nm1(θp,φc1)的表达式为：Nm1(θp,φc1)＝(Lt-f)1×L1p(φc1)·np(θp)，
rp为机床坐标系下的刀盘圆锥面方程；φc1是摇台转角；M1p为刀盘坐标系到轮坯坐标系的转换矩阵；L1p为M1p对应的子矩阵；(Mt-f)1为从轮坯坐标系到啮合坐标系的转换矩阵；(Lt-f)1为(Mt-f)1对应的子矩阵。
10.如权利要求9所述的弧齿锥齿轮齿面载荷接触性能参数的数值计算方法，其特征在于，
Figure FDA0004036970300000042
式中，φ1＝mcφc1，mc为切削滚比，φc1是摇台转角；
Figure FDA0004036970300000051
Figure FDA0004036970300000052
式中，旋转角度
Figure FDA0004036970300000053
旋转位移(△l)1＝((△lX)1,(△lY)1,(△lZ)1)；
Figure FDA0004036970300000054
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