CN108416120B - 一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，该方法首先获取主动轮和从动轮的基本参数，建立考虑结构耦合效应的改进型齿轮啮合刚度模型，利用有限元方法确定主、从动轮基体刚度的结构耦合因子，基于最小势能原则，建立以齿面载荷为变量，以齿轮系统势能为目标函数的单目标优化模型，利用遗传算法对优化模型进行求解，得到齿面载荷，据此得到双齿啮合区载荷分配率。本发明计算精度大幅提高，可以准确反应结构耦合效应、输入力矩、齿轮几何参数对载荷分配率的影响；计算成本较低，仅需采用较小规模的网格即可获得误差在可接受范围内的结果；对硬件要求极低，并且是一种通用类模型，可以通过计算机编程实现GUI操作。

Description

一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法

技术领域

本发明属于齿轮结构力学分析领域，具体涉及一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法。

背景技术

齿轮是众多机械结构的基础传动单元，直齿圆柱齿轮因其结构简单、传动效率高、适应性强等优点而被广泛应用于如汽车变速器、工业机器人、风电齿轮箱等机械设备中。轻量化设计是现代机械产品发展的一个重要趋势，体现在齿轮设计方面主要表现为齿轮的小模数化、重载化，这对齿轮承载能力校核提出了较高的要求。由于直齿圆柱齿轮传动存在单双齿交替的情况，在单齿啮合区，载荷由一对齿承担，在双齿啮合区，载荷由两对齿共同承担，因此揭示载荷在双齿啮合区的分配规律，确定齿面载荷的实际数值，就成为了齿轮承载能力校核必须要研究的基础。

目前国内外对直齿圆柱齿轮齿间载荷分配率的研究方法主要有3种：(1)有限元法：借助有限元法可以准确计算载荷分配率，是一种较为广泛采用的方法，但是往往计算经济性较差，必须建立精细的有限元网格模型，求解耗时；(2)传统解析法：将多对受载轮齿的关系简化为相互并联的弹簧模型，利用材料力学悬臂梁假设对参与啮合的齿轮对的刚度进行计算，在此基础上计算得到载荷分配率，但由于其忽略结构耦合作用，因此采用传统解析法计算得到的载荷分配率存在较大误差；(3)实验法：是借助应变传感器、数据采集仪、可视化设备进行载荷分配率计算的一种方法，测量精度较高，但是对硬件要求也较高，操作流程复杂。

发明内容

本发明的目的在于提供一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，该方法包括以下步骤：

S1、设计齿轮基体刚度结构耦合因子λ(F₁,F₂)，F₁、F₂分别为主动轮或从动轮在双齿啮合区参与啮合的1号齿、2号齿受到的实际啮合力；

S2、建立考虑结构耦合效应的齿轮啮合刚度模型

分别为主动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子，

分别为从动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子；

S3、建立考虑结构耦合效应的齿轮系统势能计算模型

S4、建立载荷分配率单目标优化模型

其中，F＝T/R_b1，T为主动轮上的输入力矩，R_b1是主动轮基圆半径；

S5、采用遗传算法求解载荷分配率单目标优化模型，得到最优F₁和F₂，进而得到载荷分配率，载荷分配率为F₁或F₂与F₁和F₂之和的比值。

按上述技术方案，步骤S1中，齿轮基体刚度结构耦合因子等于考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度与不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的比值，即

其中，不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的表达式为

考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度表达式为

分别为当1号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移，

分别为当2号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移。

按上述技术方案，步骤S2中，

i＝1时表示主动轮和从动轮的1号齿参与啮合，i＝2时表示主动轮和从动轮的2号齿参与啮合；

其中，k_hi代表第i对齿轮的赫兹接触刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子。

按上述技术方案，步骤S3中，

本发明产生的有益效果是：考虑结构耦合效应，本发明通过设计齿轮基体刚度结构耦合因子，其为一个关于1号齿、2号齿受到的待定的实际啮合力的函数，基于该耦合因子建立考虑结构耦合效应的齿轮啮合刚度模型，利用有限元方法确定主、从动轮基体刚度的结构耦合因子，基于最小势能原则，建立以齿面载荷为变量，以齿轮系统势能为目标函数的单目标优化模型，利用遗传算法对优化模型进行求解，得到齿面载荷，据此得到双齿啮合区载荷分配率。相对于传统解析法，本发明计算精度大幅提高，可以准确反应结构耦合效应、输入力矩、齿轮几何参数对载荷分配率的影响；相对于有限元法，本发明计算成本较低，仅需采用较小规模的网格即可获得误差在可接受范围内的结果；相对于实验法，本发明对硬件要求极低，并且是一种通用类模型，可以通过计算机编程实现GUI操作。

附图说明

下面将结合附图及实施例对本发明作进一步说明，附图中：

图1a为本发明实施例中对主动轮1号齿啮合点施加1N单位啮合力的示意图；

图1b为本发明实施例中对主动轮2号齿啮合点施加1N单位啮合力的示意图；

图2为本发明实施例中考虑结构耦合效应的齿轮啮合刚度模型示意图；

图3为本发明实施例中根据悬臂梁理论轮齿的剪切刚度、轴向压缩刚度、弯曲刚度的计算力学模型图；

图4为用于传统解析式的齿轮基体刚度的几何示意图；

图5为用于验证本发明实施例的通用有限元模型图；

图6为图5中Ⅰ处的放大示意图；

图7为本发明实施例与有限元方法、传统解析法得到的载荷分配率的比较图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不用于限定本发明。

一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，该方法包括以下步骤：

S1、设计齿轮基体刚度结构耦合因子λ(F₁,F₂)，F₁、F₂分别为主动轮或从动轮在双齿啮合区参与啮合的1号齿、2号齿受到的实际啮合力，

具体的，如图1a、图1b所示，齿轮基体刚度结构耦合因子等于考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度与不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的比值，即

其中，不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的表达式为

考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度表达式为

分别为当1号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移，

分别为当2号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移；

S2、如图2所示，建立考虑结构耦合效应的齿轮啮合刚度模型

分别为主动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子，

分别为从动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子，

的表达式为步骤S1中的λ(F₁,F₂)，

i＝1 时表示主动轮和从动轮的1号齿参与啮合，i＝2时表示主动轮和从动轮的2号齿参与啮合，

其中，k_hi代表第i对齿轮的赫兹接触刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子；

S3、建立考虑结构耦合效应的齿轮系统势能计算模型

S4、建立载荷分配率单目标优化模型

其中，F＝T/R_b1，T为主动轮上的输入力矩，R_b1是主动轮基圆半径；

S5、采用遗传算法求解载荷分配率单目标优化模型，得到最优F₁和F₂，进而得到载荷分配率，载荷分配率为F₁或F₂与F₁和F₂之和的比值。

以下例举具体实施例对本发明进行说明。

一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法包括以下步骤：

步骤1、获取主动轮和从动轮的基本参数，包括齿轮几何参数(模数、齿数、压力角、齿顶高系数、顶隙系数、轮毂中心圆孔半径)、齿轮材料参数(弹性模量、泊松比、密度)、齿轮载荷参数(输入力矩)，主动轮和从动轮的基本参数如表1所示：

表1主动轮和从动轮的基本参数

步骤2、推导主、从动轮基体刚度的结构耦合因子的表达式：

基于以下5点要求，建立如图1a、图1b所示的有限元模型，材料属性服从线弹性、各向同性假设，即不考虑材料非线性问题，各项材料参数均为常数，为提高计算效率，使用有限元分析软件ABAQUS建立以平面应力单元CPS3为基础的网格模型，为消除赫兹接触变形和轮齿弹性变形对啮合点位移的影响，将齿体的弹性模量设置为基体的10000倍，使得齿体部分呈相对刚体状态，在这种情况下，可以近似认为啮合点处的位移仅由基体弹性变形导致；

在齿轮中心处建立一参考点O，并将轮毂内圈节点与该参考点进行耦合，进而约束O点在所有方向上的自由度，使之固定不动，以主动轮或从动轮参与啮合的两个相邻齿(为表述方便，这里称作1号齿和2号齿)为分析对象，在1号齿的啮合点O₁处施加沿着理论啮合线方向并指向齿面的单位力，得到O₁、O₂处沿啮合线方向的位移大小

在2号齿的啮合点O₂处施加沿着理论啮合线方向并指向齿面的单位力，得到O₁、O₂处沿啮合线方向的位移大小

根据上述计算结果，得到不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的公式如下：

根据线性叠加原理，可以得到1号齿在啮合点O₁处受到沿着理论啮合线方向并指向齿面的实际啮合力F₁，以及同时2号齿在啮合点O₂处受到沿着理论啮合线方向并指向齿面的实际啮合力F₂时，啮合点O₁的位移大小δ₁以及啮合点O₂的位移大小δ₂，并表示如下：

推导考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的表达式如下：

推导基体刚度的结构耦合因子的表达式如下：

步骤3、如图2所示，建立考虑结构耦合效应的改进型齿轮啮合刚度模型如下：

其中，第i对轮齿的赫兹接触刚度k_hi采用半经验法计算，如式(6)得出：

式(5)中，如图3所示，根据材料力学悬臂梁理论，第i对轮齿的剪切刚度

和

的计算公式为：

式(5)中，如图3所示，根据材料力学悬臂梁理论，第i对轮齿的弯曲刚度

和

的计算公式为：

式(5)中，如图3所示，根据材料力学悬臂梁理论，第i对轮齿的轴向压缩刚度

和

的计算公式为：

式(5)中，如图4所示，第i对轮齿的基体刚度

和

的传统解析计算公式为：

式(6)中，E代表弹性模量，b代表齿宽，

式(7)中，G＝E/2(1+v)代表剪切模量，A_x代表图3中横坐标为x的积分微元体的横截面积，

式(8)中，I_x代表图3中横坐标为x的积分微元体的横截面的惯性矩；

式(10)中，u_f表示啮合线与轮齿对称线交点到齿根圆的距离，S_f代表全齿廓在齿根圆上占据的弧长，如图4所示，

式(10)中，L^*，M^*，P^*，Q^*可以通过以下多项式计算：

式(11)中，A_i，B_i，C_i，D_i，E_i，F_i由表2确定，h_f＝r_f/r_int，r_f代表齿根圆半径，r_int代表轮毂中心圆孔半径，θ_f代表全齿廓对应的圆心角，如图4所示，

表2

A<sub>i</sub>

B<sub>i</sub>

C<sub>i</sub>

D<sub>i</sub>

E<sub>i</sub>

F<sub>i</sub>

L<sup>*</sup>(h<sub>f</sub>，θ<sub>f</sub>)

-5.547×10<sup>-5</sup>

-1.9986×10<sup>-3</sup>

-2.3015×10<sup>-4</sup>

4.7702×10<sup>-3</sup>

0.0271

6.8045

M<sup>*</sup>(h<sub>f</sub>，θ<sub>f</sub>)

60.111×10<sup>-5</sup>

28.100×10<sup>-3</sup>

-83.431×10<sup>-4</sup>

-9.9256×10<sup>-3</sup>

0.1624

0.9086

P<sup>*</sup>(h<sub>f</sub>，θ<sub>f</sub>)

-50.952×10<sup>-5</sup>

185.50×10<sup>-3</sup>

0.0538×10<sup>-4</sup>

53.300×10<sup>-3</sup>

0.2895

0.9236

Q<sup>*</sup>(h<sub>f</sub>，θ<sub>f</sub>)

-6.2042×10<sup>-5</sup>

9.0889×10<sup>-3</sup>

-4.0964×10<sup>-4</sup>

7.8297×10<sup>-3</sup>

-0.1472

0.6904

步骤4、建立考虑结构耦合效应的齿轮系统势能计算模型表示如下：

式(12)中，

步骤5、建立载荷分配率单目标优化模型表示如下：

式(14)中，F＝T/R_b1,T是主动轮上的输入力矩，R_b1是主动轮基圆半径；

步骤6、采用遗传算法求解载荷分配率单目标优化模型，计算载荷分配率；

借助Matlab遗传算法工具箱GA Toolbox，对式(14)所示的单目标优化模型进行求解，其中遗传算法相关参数设置如表3所示，

表3

参数	种群数	进化代数	交叉概率	变异函数
					数值	30	60	0.8	默认

根据遗传算法的最终迭代结果，计算载荷分配率Lsr如下式所示：

为了验证本发明方法的正确性，采用有限元方法计算表1中直齿圆柱齿轮的载荷分配率，并将有限元结果与采用本发明所计算的结果相对比。

如图5、图6所示，利用有限元分析软件ABAQUS建立包含73486个单元、44880个节点的有限元模型，总体上该精度水平的有限元网格模型可以得到一个较为接近于真实物理模型的载荷分配率结果。图5所示的有限元模型的单元类型为三角形平面应力单元CPS3、四边形平面应力单元CPS4R，其中啮合齿部分采用细密的三角形应力单元CPS3，其余部分采用较疏阔的四边形应力单元CPS4R。图5所示的有限元模型的材料属性如表1所示。

图5所示的有限元模型的边界条件如下：

(1)在主动轮处建立一个参考点，以该参考点为主节点，以主动轮轮毂内圈节点为从节点，建立运动学耦合连接。在从动轮处建立一个参考点，以该参考点为主节点，以从动轮轮毂内圈节点为从节点，建立运动学耦合连接；

(2)约束从动轮中心参考点所有方向上的自由度，使之固定不动；

(3)约束主动轮中心参考点平移自由度，不约束旋转自由度；

(4)于主动轮中心参考点处施加沿着主动旋转方向的力矩T，其大小为100N.m；

(5)于齿轮对1接触界面建立接触对1，于齿轮对2接触界面建立接触对2；

采用ABAQUS General static求解器对图5所示的有限元模型进行求解，提取得到接触对1上的啮合力F₁，提取接触对2上的啮合力F₂，按式(15)计算载荷分配率。

为了验证本发明的先进性，采用传统解析法计算表1中直齿圆柱齿轮的载荷分配率，并将结果与采用本发明方法所计算的结果相对比。

传统解析法不考虑结构耦合效应，故结构耦合因子λ_i(i＝1，2)＝1。

传统解析法的载荷分配率计算公式为：

式(16)中，k₁，k₂的计算公式为：

本实例中，采用有限元法、传统解析法和本发明计算表1中直齿圆柱齿轮的载荷分配率的比较结果如图7所示。由图7可见，本发明与有限元结果相比误差最小，而传统解析法导致了较大的误差。

本实例中，采用有限元法、传统解析法和本发明方法计算表1中直齿圆柱齿轮在双齿啮合区的载荷分配率的具体数值如表4所示。

表4双齿啮合区载荷分配率对比表

A点

B点

C点

D点

E点

F点

本发明方法

38.51％

43.04％

47.67％

52.33％

56.95％

61.27％

传统解析法

48.37％

49.07％

49.70％

50.30％

50.93％

51.63％

有限元法

39.61％

44.48％

47.85％

51.77％

56.13％

60.56％

以有限元法为基准，计算采用本发明方法和传统解析法的相对误差，如表5所示。

表5相对误差统计表

A点

B点

C点

D点

E点

F点

本发明方法

-2.78％

-3.23％

-0.37％

1.09％

1.47％

1.17％

传统解析法

22.11％

10.32％

3.86％

-2.83％

-9.27％

-14.75％

从表4、表5可以看到本发明中提出的方法相对于传统解析法更加精确，相对误差最大值小于5％，在工程上的误差可接受范围内。相对于有限元方法，本发明的计算经济性较高，仅需建立简单、网格规模较小的有限元模型，以较小的计算代价来获得接近于传统有限元法的计算精度。相对于实验法，本发明对硬件要求较低，不需要搭建复杂的测试平台。

应当理解的是，对本领域普通技术人员来说，可以根据上述说明加以改进或变换，而所有这些改进和变换都应属于本发明所附权利要求的保护范围。

Claims (3)

1.一种直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，其特征在于，该方法包括以下步骤：

S1、设计齿轮基体刚度结构耦合因子λ(F₁,F₂)，F₁、F₂分别为主动轮或从动轮在双齿啮合区参与啮合的1号齿、2号齿受到的实际啮合力，其中，齿轮基体刚度结构耦合因子等于考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度与不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的比值，即

其中，不考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度的表达式为

考虑结构耦合效应的齿轮基体刚度表达式为

分别为当1号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移，

分别为当2号齿受到沿啮合线方向的单位啮合力时1号齿、2号齿的啮合点沿着啮合线方向分别发生的位移；

S2、建立考虑结构耦合效应的齿轮啮合刚度模型

k₁为1号齿对的啮合刚度，k₂为2号齿对的啮合刚度，

分别为主动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子，

分别为从动轮1号齿、2号齿的齿轮基体刚度结构耦合因子；

S3、建立考虑结构耦合效应的齿轮系统势能计算模型

S4、建立载荷分配率单目标优化模型

其中，F为1号齿对及2号齿对总啮合力的大小，F＝T/R_b1，T为主动轮上的输入力矩，R_b1是主动轮基圆半径；

S5、采用遗传算法求解载荷分配率单目标优化模型，得到最优F₁和F₂，进而得到载荷分配率，载荷分配率为F₁与F₁和F₂之和的比值，或F₂与F₁和F₂之和的比值。

2.根据权利要求1所述的直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，其特征在于，步骤S2中，

i＝1时表示主动轮和从动轮的1号齿参与啮合，i＝2时表示主动轮和从动轮的2号齿参与啮合；

其中，k_hi代表第i对齿轮的赫兹接触刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿剪切刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿弯曲刚度，

代表第i对齿轮主动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮从动轮的轮齿轴向压缩刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度，

代表第i对齿轮主动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子，

代表第i对齿轮从动轮的齿轮基体刚度结构耦合因子。

3.根据权利要求2所述的直齿圆柱齿轮双齿啮合区载荷分配率的确定方法，其特征在于，步骤S3中，

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