CN107944174B - 一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，包括以下步骤：1)建立传动轴的梁单元模型；2)建立圆柱齿轮的非线性多点啮合模型；3)建立圆柱齿轮传动系统的非线性静力学模型；4)迭代计算圆柱齿轮传动系统的静平衡状态；5)计算圆柱齿轮的齿向载荷分布系数。本发明采用空间梁单元和齿轮等效啮合单元对圆柱齿轮传动系统进行数值模拟，在通用的编程语言环境下即可快速实现圆柱齿轮传动系统建模和齿向载荷分配系数的求解，在达到有限元接触分析方法计算精度的同时，大大提高了计算效率，克服了经验公式方法计算精度不足和有限元接触分析方法计算效率低的缺点。

Description

一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法

技术领域

本发明涉及一种圆柱齿轮校核计算影响系数的获取方法，特别是一种基于非线性多点啮合模型的圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，属于机械传动技术领域。

背景技术

齿向载荷分布系数是圆柱齿轮校核计算的重要影响系数，它体现了沿齿宽方向载荷分布不均匀对齿面接触应力的影响。国际标准ISO 6336-1-2007、美国齿轮标准AGMA2001-D04以及国家标准GB/T 3480-1997均对齿向载荷分布系数进行了定义，即单位齿宽最大载荷与单位齿宽平均载荷之比，表示为式(1)的形式：

上式中，K_Hβ为齿向载荷分布系数；F为分度圆切向力；b为齿宽；(F/b)_max为单位齿宽最大载荷；(F/b)_m为单位齿宽平均载荷。

现有研究通常采用以下两种方法获取圆柱齿轮的齿向载荷分布系数：

1)接触分析方法：通过建立圆柱齿轮体单元有限元模型，利用商用有限元软件进行齿轮接触分析，能够准确求得齿宽方向的载荷分布，进而由式(1)求得载荷分布系数。但接触分析对齿轮有限元模型的精度要求较高，存在建模和计算成本高的不足。

2)经验公式方法：采用经验公式能够快速求得圆柱齿轮的齿向载荷分布系数，以国际标准ISO6336提供的经验公式为代表(参考文献：ISO 6336-1-2007Calculation ofload capacity of spur and helical gears—Part 1:Basic principles,introductionand general influence factors)，如式(2)所示：

上式中，F_βy为跑合后的齿向啮合误差；c_γβ为单位齿宽平均啮合刚度；F_m为分度圆平均端面啮合力；b为齿宽。

但有研究表明，经验公式方法存在一定的局限性，计算精度往往难以保证，尤其无法准确体现不同载荷工况系统变形影响下的齿向载荷分布。因此，目前仍然缺乏一种准确高效的圆柱齿轮齿向载荷分布系统获取方法。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是提供一种基于非线性多点啮合模型的圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种基于非线性多点啮合模型的圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，包括以下步骤：

1)建立传动轴的梁单元模型：

采用考虑剪切变形的空间梁单元对传动轴进行建模，规定梁单元局部坐标系z轴沿其轴向方向，则梁单元的刚度矩阵K_e可以表示为式(3)的形式：

其中，

上述各式中，l为梁单元的长度；E为梁单元的弹性模量；G为梁单元的剪切模量；I为梁单元的截面惯性矩；J为梁单元的扭转惯性矩；A为梁单元的截面积；Φ_s为剪切变形影响系数。

剪切变形的影响通过剪切变形影响系数Φ_s体现，如式(8)所示：

其中，k_a为梁单元的截面形状修正因子，对于圆截面取0.9。

将梁单元的刚度矩阵K_e按照有限元方法组集，可以分别获得主动齿轮轴和从动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s1和K_s2，如式(9)所示：

其中，

和

分别表示相邻梁单元p与梁单元q的刚度矩阵。

在实际建模时，还需要对轮坯的刚度进行等效模拟，将主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内的主动齿轮轴和从动齿轮轴直径取为齿轮分度圆直径，即：

①主动齿轮齿宽b₁范围内的主动齿轮轴梁单元直径取主动齿轮的分度圆直径d₁；

②从动齿轮齿宽b₂范围内的从动齿轮轴梁单元直径取从动齿轮的分度圆直径d₂；

③主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围以外的主动齿轮轴和从动齿轮轴梁单元直径分别取主、从动齿轮轴的真实直径d_sh1和d_sh2。

2)建立圆柱齿轮的非线性多点啮合模型：

为了快速准确地获取圆柱齿轮的齿向载荷分布系数，本发明提供了一种圆柱齿轮非线性多点啮合模型的建模方法。规定OXYZ为圆柱齿轮传动系统的全局坐标系，坐标原点O位于主动齿轮轴的左端，Z轴沿主动齿轮的轴向方向，其正方向由O指向主动齿轮中心，Y轴的正方向由主动齿轮轴指向从动齿轮轴，X轴的正方向与Y、Z轴满足右手定则。在主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内，分别均匀建立N个等效啮合单元，则主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内的传动轴被均匀划分为N-1个梁单元，相应的有N个梁单元节点。其中，第k个等效啮合单元对应的主动齿轮轴梁单元节点A_k的坐标表示为式(10)，从动齿轮轴梁单元节点B_k的坐标表示为式(11)，对应的主、从动齿轮的等效啮合节点P_k和Q_k的初始坐标相同，表示为式(12)：

上式中，s₁为主动齿轮中心与主动齿轮轴左端的距离；L为主动齿轮中心与从动齿轮中心的距离；N₁和N₂分别为主、从动齿轮的齿数。

等效啮合节点与对应的传动轴梁单元节点之间均采用刚性梁单元连接，即P_k与A_k，Q_k与B_k之间分别采用刚性梁单元连接，主动齿轮刚性梁单元刚度矩阵和从动齿轮刚性梁单元刚度矩阵分别表示为

和

可由式(3)～(9)求得。等效啮合节点P_k与Q_k之间，均采用沿齿轮等效啮合力作用线方向的空间弹簧单元连接，等效啮合力作用线方向矢量n表示为式(13)：

n＝{n_X,n_Y,n_Z}^T (13)

上式中，n_X、n_Y、n_Z分别为n在各坐标轴方向上的分量系数，可以由齿轮等效啮合力的理论计算公式求得，圆柱齿轮的名义啮合分力按式(14)计算：

上式中，F_t0为名义切向力；F_r0为名义径向力；F_a0为名义轴向力；T₁为主动齿轮输入转矩大小；d₁为主动齿轮的分度圆直径；α_n为圆柱齿轮的法向压力角；β为圆柱齿轮的螺旋角。

如果圆柱齿轮存在变位，则真实啮合分力采用式(15)计算：

上式中，F_tw为真实切向力；F_rw为真实径向力；F_aw为真实轴向力。

齿轮法向啮合力如式(16)所示：

等效啮合力作用线方向矢量n的各分量系数如式(17)所示：

上式中，k_L为工况系数，当输入转矩T₁的方向为+Z时取-1，-Z时取1；k_R为主动齿轮的旋向系数，当主动齿轮为左旋时取-1，右旋时取1。

第k对等效啮合节点之间的齿轮非线性啮合刚度矩阵

如式(18)所示：

上式中，n^T为等效啮合力作用线方向矢量n的转置；

为第k个等效啮合单元的啮合刚度系数，与圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ相关，确定方法如下：

①如果主动齿轮等效啮合节点位移在沿等效啮合力作用线方向矢量n方向上的投影小于等于从动齿轮等效啮合节点位移的投影，如式(19)所示，则认为主动齿轮和从动齿轮在该啮合位置未发生接触，该等效啮合单元的啮合刚度系数取零：

上式中，

和

分别为第k个等效啮合单元主、从动齿轮等效啮合节点的平动位移矢量。

②如果主动齿轮等效啮合节点位移在沿等效啮合力作用线方向矢量n方向上的投影大于从动齿轮等效啮合节点位移的投影，如式(20)所示，则认为齿轮主动齿轮和从动齿轮在该啮合位置发生接触，此时啮合刚度系数可以采用ISO6336提供的方法计算，如式(21)所示：

上式中，c'_th为单对齿刚度理论值；C_M为理论修正系数；C_B为基本齿廓系数；C_R为轮坯结构系数；β为圆柱齿轮的螺旋角；E₀为钢的弹性模量；E_g为圆柱齿轮真实材料的当量弹性模量；ε_α为端面重合度；b^k为第k个等效啮合单元对应的齿宽，由式(22)计算：

上式中，b₁为主动齿轮齿宽；N为等效啮合单元的个数。

3)建立圆柱齿轮传动系统的非线性静力学模型：

圆柱齿轮传动系统的静力学方程表示为式(23)：

K(δ)δ＝f (23)

上式中，f为圆柱齿轮传动系统的外载荷矢量；δ为圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量；K(δ)为与δ相关的系统非线性刚度矩阵，由主动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s1、从动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s2、主动齿轮刚性梁单元刚度矩阵

从动齿轮刚性梁单元刚度矩阵

以及齿轮非线性啮合刚度矩阵

组集而成，如式(24)所示：

上式中，

和

分别为与第k个等效啮合单元相连的主、从动齿轮轴模型的梁单元节点自由度对应的刚度矩阵项。

4)迭代计算圆柱齿轮传动系统的静平衡状态：

因为齿轮的啮合状态在圆柱齿轮传动系统变形的影响下呈现非线性特性，所以在对圆柱齿轮传动系统进行静力学计算时需要进行迭代计算，获取圆柱齿轮传动系统静平衡状态下的齿轮啮合状态。设第j次迭代求得的圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ^j如式(25)所示：

δ^j＝K(δ^j-1)^-1f (25)

上式中，K(δ^j-1)为第j-1次迭代计算求得的圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ^j-1对应的系统刚度矩阵。在圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ中，施加约束的节点自由度的位移始终为零，且不参与迭代计算。每次迭代计算都根据式(18)～(22)对各等效啮合单元的啮合状态进行判断，并重新计算啮合刚度。当相邻两次迭代的圆柱齿轮传动系统位移变化量小于容差时，计算收敛，如式(26)所示：

||δ^j-δ^j-1||≤ε (26)

上式中，ε为迭代计算的收敛容差，为一个很小的正数。

5)计算圆柱齿轮的齿向载荷分布系数：

由各等效啮合节点的位移结果，可以由式(27)计算第k个等效啮合单元的啮合力矢量

上式中，

为迭代收敛时的第k个等效啮合单元的齿轮非线性啮合刚度矩阵

平动自由度对应的刚度矩阵项；δ_g1T和δ_g2T分别为第k个等效啮合单元的主、从动齿轮等效啮合节点的平动位移矢量。

第k个等效啮合单元的等效啮合力大小

由式(28)求得：

上式中，

分别为等效啮合力矢量

在X、Y、Z方向上的分量。

根据式(1)的定义，对应载荷工况下的齿向载荷分布系数K_Hβ可由式(29)计算：

上式中，(F_e/b_e)_max为单位齿宽最大载荷；(F_e/b_e)_m为单位齿宽平均载荷。

由于所建立的N个等效啮合单元将主动齿轮均分为了N-1段，因此b_e＝b₁/(N-1)为各段主动齿轮齿宽对应的宽度；F_e为各段主动齿轮齿宽上分配的啮合力，按照以下方法计算：

①主动齿轮最左端的齿宽上分配的等效啮合力

等于主动齿轮最左端等效啮合单元的啮合力

加上与之相邻的等效啮合单元的啮合力

的一半，如式(30)所示：

②主动齿轮最右端的齿宽上分配的等效啮合力

等于主动齿轮最右端等效啮合单元的啮合力

加上与之相邻的等效啮合单元的啮合力

的一半，如式(31)所示：

③对于其他非边界位置的齿宽部分，所分配的等效啮合力

为相邻两个等效啮合单元啮合力的平均值，如式(33)所示：

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明提供了一种圆柱齿轮的非线性多点啮合模型建模方法，通过在齿宽方向均匀建立若干非线性等效啮合单元，在迭代计算过程中对每个啮合单元的啮合状态进行判断，能够准确求得圆柱齿轮在系统变形影响下的齿向载荷分布，进而准确获取圆柱齿轮的载荷分布系数，为圆柱齿轮的校核计算提供基础。2、本发明采用空间梁单元和齿轮等效啮合单元对圆柱齿轮传动系统进行数值模拟，在通用的编程语言环境下即可快速实现圆柱齿轮传动系统建模和齿向载荷分配系数的求解，在达到有限元接触分析方法计算精度的同时，大大提高了计算效率，克服了经验公式方法计算精度不足和有限元接触分析方法计算效率低的缺点。3、本发明可广泛应用于圆柱齿轮系统的设计分析。

附图说明

图1是本发明的流程示意图；

图2是本发明圆柱齿轮轴的梁单元有限元模型的示意图；

图3是本发明圆柱齿轮非线性多点啮合模型的示意图；

图4是本发明圆柱齿轮传动系统的示意图；

图5是本发明用于齿轮接触分析的体单元有限元模型的示意图；

图6是齿宽方向啮合力分布结果对比图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。然而应当理解，附图的提供仅为了更好地理解本发明，它们不应该理解成对本发明的限制。

以如图4所示的圆柱齿轮传动系统为例，该圆柱齿轮传动系统由主动齿轮轴、从动齿轮轴、主动齿轮和从动齿轮组成。主、从动齿轮轴均为简支，输入转矩T₁＝120N·m施加在主动齿轮轴左端，输出转矩T₂作用于从动齿轮轴左端。如图3所示，规定OXYZ为圆柱齿轮传动系统的全局坐标系，坐标原点O位于主动齿轮轴左端，Z轴沿主动齿轮轴向方向，Y轴的正方向由主动齿轮轴指向从动齿轮轴，X轴的正方向与Y、Z轴满足右手定则。主、从动齿轮轴的长度S₁和S₂均为S＝150mm，主、从动齿轮中心与各自传动轴左端的距离s₁和s₂均为s＝60mm，主动齿轮中心和从动齿轮中的距离L＝102mm。

如图1所示，本实施例提供的一种基于非线性多点啮合模型的圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其包括以下步骤：

1)建立传动轴的梁单元模型：

采用考虑剪切变形的空间梁单元对传动轴进行模拟，分别建立主、从动齿轮轴的梁单元有限元模型。本实施例中的主、从动齿轮轴的直径d_sh1和d_sh2均为25mm，弹性模量E均为210000MPa，泊松比ν均为0.3。

此外，如图2所示，对轮坯的刚度进行等效模拟，主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂均为b＝40mm，将主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内的传动轴直径取为齿轮分度圆直径，即：

①主动齿轮齿宽b₁范围内的梁单元直径取主动齿轮的分度圆直径d₁＝68mm；

②从动齿轮齿宽b₂范围内的梁单元直径取从动齿轮的分度圆直径d₂＝136mm；

③主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围以外的梁单元直径取主、从动齿轮轴的真实直径d_sh1＝25mm和d_sh2＝25mm。

由式(3)～(9)求得主、从动齿轮轴的刚度矩阵K_s1和K_s2。

2)建立圆柱齿轮的非线性多点啮合模型：

本实施例中的圆柱齿轮参数如表1所示。

表1圆柱齿轮参数

本实施例中，在齿宽b＝40mm的范围内，均匀建立N＝81个等效啮合单元，则齿宽范围内的传动轴被均匀划分为80个长度为0.5mm的梁单元，相应的有81个梁单元节点。由式(10)～(12)求得第k个等效啮合单元对应的主动齿轮轴梁单元节点A_k的坐标为(0，0，40+(k-1)/4))，从动齿轮轴梁单元节点B_k的坐标为(0，102，40+(k-1)/4))，相应的主、从动齿轮的等效啮合节点P_k和Q_k坐标位置均为(0，34，40+(k-1)/4))。等效啮合节点与相对应的传动轴梁单元节点之间均采用刚性梁单元连接，即P_k与A_k，Q_k与B_k之间，分别采用刚性梁单元连接，由式(3)～(9)计算各刚性梁单元的刚度矩阵

和

等效啮合节点P_k与Q_k之间，均采用沿齿轮等效啮合力作用线方向的空间弹簧单元连接，由式(13)～(22)计算各等效啮合节点之间的等效啮合刚度矩阵

3)建立圆柱齿轮传动系统的非线性静力学模型：

由式(25)组集各部件的刚度矩阵，包括主动齿轮轴模型的刚度矩阵K_s1、从动齿轮轴模型的刚度矩阵K_s2、非线性多点啮合模型的主动齿轮刚性梁单元刚度矩阵

从动轮刚性梁单元刚度矩阵

以及非线性啮合刚度矩阵

获得与δ相关的系统非线性刚度矩阵K(δ)，从而建立式(24)所示的圆柱齿轮传动系统静力学方程。对于图4所示的包含N＝81个等效啮合单元的圆柱齿轮系统，共包含166个梁单元节点，162个齿轮等效啮合节点，共328个节点，1968个节点自由度。本实施例中，在主动齿轮轴左端的梁单元节点上施加+Z方向的输入转矩T₁＝120N·m；约束主、从动齿轮轴左端梁单元节点X、Y、Z方向的平动自由度，约束主、从动齿轮轴右端梁单元节点X、Y方向的平动自由度，以模拟图4所示的简支状态；约束从动齿轮轴左端的梁单元节点绕Z轴的转动自由度，以消除系统的刚体自由度。

4)迭代计算圆柱齿轮传动系统的静平衡状态：

因为齿轮的啮合状态在系统变形的影响下呈现非线性特性，所以在对系统进行静力学计算时需要采用式(25)对齿轮系统模型进行迭代计算，以求得系统静平衡状态下的齿轮啮合状态。每次迭代计算都必须根据式(18)～(22)对各等效啮合单元的啮合状态进行判断，重新计算各等效啮合单元的啮合刚度。当相邻两次计算的系统位移变化量满足式(26)的收敛条件时，计算收敛。本实施例迭代计算的收敛容差ε取为10^-5mm，迭代4次计算收敛，耗时约2秒。

5)计算圆柱齿轮的齿向载荷分布系数：

由式(27)和(28)可以求得齿宽方向的等效啮合力分布，为了充分说明本发明方法的效果，将本发明方法与有限元接触分析方法求得的计算结果进行对比。在有限元分析软件ABAQUS中建立传动轴和圆柱齿轮的体单元有限元模型，如图5所示，其中，齿轮沿齿宽方向均匀划分了80个单元，对应的节点数为81个，与本实施例中的非线性多点啮合模型中所包含的等效啮合单元数量一致，便于计算结果的对比，且单元大小为0.5mm，能保证较高的计算精度。

采用两种方法求得的沿齿宽方向的等效啮合力分布结果如图6所示，在齿宽左端，两种方法均体现出了齿轮边缘接触导致的小啮合力结果，且在大部分齿宽范围内，等效啮合力均沿远离输入转矩加载位置的方向逐渐减小，并在齿宽右端约4mm的范围内，啮合力减小为零，即轮齿在该区域未发生接触。可见本发明方法的计算精度与有限元接触分析方法非常接近。进一步，由式(29)～(32)计算该载荷工况下的载荷分配系数，如表2所示，两种方法的计算结果基本相同，采用本发明方法需要的计算时间远小于有限元接触分析方法。

表2计算结果对比

综上所述，本发明提出的方法克服了经验公式方法计算精度不足和有限元接触分析方法计算效率低的缺点，能够快速准确地对圆柱齿轮在系统变形影响下的非线性啮合特性进行模拟，从而准确求得齿向载荷分布状态，获取齿向载荷分布系数，为圆柱齿轮的校核计算提供基础，可广泛应用于圆柱齿轮系统的设计分析。

上述各实施例仅用于说明本发明，其中各部件的结构、连接方式和制作工艺等都是可以有所变化的，凡是在本发明技术方案的基础上进行的等同变换和改进，均不应排除在本发明的保护范围之外。

Claims (6)

1.一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立传动轴的梁单元模型，具体过程为：

采用考虑剪切变形的空间梁单元对传动轴进行建模，规定梁单元局部坐标系z轴沿其轴向方向，则梁单元的刚度矩阵K_e表示为式(3)的形式：

其中，

上述各式中，l为梁单元的长度；E为梁单元的弹性模量；G为梁单元的剪切模量；I为梁单元的截面惯性矩；J为梁单元的扭转惯性矩；A为梁单元的截面积；Φ_s为剪切变形影响系数；

剪切变形的影响通过剪切变形影响系数Φ_s体现，如式(8)所示：

其中，k_a为梁单元的截面形状修正因子，对于圆截面取0.9；

将梁单元的刚度矩阵K_e按照有限元方法组集，分别获得主动齿轮轴和从动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s1和K_s2，如式(9)所示：

其中，

和

分别表示相邻梁单元p与梁单元q的刚度矩阵；

2)建立圆柱齿轮的非线性多点啮合模型，具体过程为：

规定OXYZ为圆柱齿轮传动系统的全局坐标系，坐标原点O位于主动齿轮轴的左端，Z轴沿主动齿轮的轴向方向，其正方向由O指向主动齿轮中心，Y轴的正方向由主动齿轮轴指向从动齿轮轴，X轴的正方向与Y、Z轴满足右手定则；在主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内，分别均匀建立N个等效啮合单元，则主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内的传动轴被均匀划分为N-1个梁单元，相应的有N个梁单元节点；其中，第k个等效啮合单元对应的主动齿轮轴梁单元节点A_k的坐标表示为式(10)，从动齿轮轴梁单元节点B_k的坐标表示为式(11)，对应的主、从动齿轮的等效啮合节点P_k和Q_k的初始坐标相同，表示为式(12)：

上式中，s₁为主动齿轮中心与主动齿轮轴左端的距离；L为主动齿轮中心与从动齿轮中心的距离；N₁和N₂分别为主、从动齿轮的齿数；

等效啮合节点与对应的传动轴梁单元节点之间均采用刚性梁单元连接，即P_k与A_k，Q_k与B_k之间分别采用刚性梁单元连接，主动齿轮刚性梁单元刚度矩阵和从动齿轮刚性梁单元刚度矩阵分别表示为

和

由式(3)～(9)求得；等效啮合节点P_k与Q_k之间，均采用沿齿轮等效啮合力作用线方向的空间弹簧单元连接，等效啮合力作用线方向矢量n表示为式(13)：

n＝{n_X,n_Y,n_Z}^T (13)

上式中，n_X、n_Y、n_Z分别为n在各坐标轴方向上的分量系数，由齿轮等效啮合力的理论计算公式求得，圆柱齿轮的名义啮合分力按式(14)计算：

上式中，F_t0为名义切向力；F_r0为名义径向力；F_a0为名义轴向力；T₁为主动齿轮输入转矩大小；α_n为圆柱齿轮的法向压力角；β为圆柱齿轮的螺旋角；

如果圆柱齿轮存在变位，则真实啮合分力采用式(15)计算：

上式中，F_tw为真实切向力；F_rw为真实径向力；F_aw为真实轴向力；

齿轮法向啮合力如式(16)所示：

等效啮合力作用线方向矢量n的各分量系数如式(17)所示：

上式中，k_L为工况系数，当输入转矩T₁的方向为+Z时取-1，-Z时取1；k_R为主动齿轮的旋向系数，当主动齿轮为左旋时取-1，右旋时取1；

第k对等效啮合节点之间的齿轮非线性啮合刚度矩阵

如式(18)所示：

上式中，n^T为等效啮合力作用线方向矢量n的转置；

为第k个等效啮合单元的啮合刚度系数；

3)建立圆柱齿轮传动系统的非线性静力学模型；

4)迭代计算圆柱齿轮传动系统的静平衡状态；

5)计算圆柱齿轮的齿向载荷分布系数，具体过程为：

根据各等效啮合节点的位移结果，由式(27)计算第k个等效啮合单元的啮合力矢量

上式中，

为迭代收敛时的第k个等效啮合单元的齿轮非线性啮合刚度矩阵

平动自由度对应的刚度矩阵项；δ_g1T和δ_g2T分别为第k个等效啮合单元的主、从动齿轮等效啮合节点的平动位移矢量；

第k个等效啮合单元的等效啮合力大小

由式(28)求得：

上式中，

分别为等效啮合力矢量

在X、Y、Z方向上的分量；

根据国际标准ISO 6336-1-2007、美国齿轮标准AGMA 2001-D04或国家标准GB/T 3480-1997对齿向载荷分布系数的定义，对应载荷工况下的齿向载荷分布系数K_Hβ由式(29)计算：

上式中，(F_e/b_e)_max为单位齿宽最大载荷；(F_e/b_e)_m为单位齿宽平均载荷。

2.如权利要求1所述的一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，在实际建模时，还需要对轮坯的刚度进行等效模拟，将主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围内的主动齿轮轴和从动齿轮轴直径取为齿轮分度圆直径，即：

①主动齿轮齿宽b₁范围内的主动齿轮轴梁单元直径取主动齿轮的分度圆直径d₁；

②从动齿轮齿宽b₂范围内的从动齿轮轴梁单元直径取从动齿轮的分度圆直径d₂；

③主动齿轮齿宽b₁和从动齿轮齿宽b₂范围以外的主动齿轮轴和从动齿轮轴梁单元直径分别取主、从动齿轮轴的真实直径d_sh1和d_sh2。

3.如权利要求1所述的一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，第k个等效啮合单元的啮合刚度系数

与圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ相关，确定方法如下：

①如果主动齿轮等效啮合节点位移在沿等效啮合力作用线方向矢量n方向上的投影小于等于从动齿轮等效啮合节点位移的投影，如式(19)所示，则认为主动齿轮和从动齿轮在该啮合位置未发生接触，该等效啮合单元的啮合刚度系数取零：

上式中，

和

分别为第k个等效啮合单元主、从动齿轮等效啮合节点的平动位移矢量；

②如果主动齿轮等效啮合节点位移在沿等效啮合力作用线方向矢量n方向上的投影大于从动齿轮等效啮合节点位移的投影，如式(20)所示，则认为齿轮主动齿轮和从动齿轮在该啮合位置发生接触，此时啮合刚度系数采用ISO6336提供的方法计算，如式(21)所示：

上式中，c'_th为单对齿刚度理论值；C_M为理论修正系数；C_B为基本齿廓系数；C_R为轮坯结构系数；β为圆柱齿轮的螺旋角；E₀为钢的弹性模量；E_g为圆柱齿轮真实材料的当量弹性模量；ε_α为端面重合度；b^k为第k个等效啮合单元对应的齿宽，由式(22)计算：

上式中，b₁为主动齿轮齿宽；N为等效啮合单元的个数。

4.如权利要求1所述的一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，在上述步骤3)中，圆柱齿轮传动系统的静力学方程表示为式(23)：

K(δ)δ＝f (23)

上式中，f为圆柱齿轮传动系统的外载荷矢量；δ为圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量；K(δ)为与δ相关的系统非线性刚度矩阵，由主动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s1、从动齿轮轴的梁单元刚度矩阵K_s2、主动齿轮刚性梁单元刚度矩阵

从动齿轮刚性梁单元刚度矩阵

以及齿轮非线性啮合刚度矩阵

组集而成，如式(24)所示：

上式中，

和

分别为与第k个等效啮合单元相连的主、从动齿轮轴模型的梁单元节点自由度对应的刚度矩阵项。

5.如权利要求4所述的一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，在上述步骤4)中，设第j次迭代求得的圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ^j如式(25)所示：

δ^j＝K(δ^j-1)^-1f (25)

上式中，K(δ^j-1)为第j-1次迭代计算求得的圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ^j-1对应的系统刚度矩阵；在圆柱齿轮传动系统模型节点自由度的位移矢量δ中，施加约束的节点自由度的位移始终为零，且不参与迭代计算；每次迭代计算都根据式(18)～(22)对各等效啮合单元的啮合状态进行判断，并重新计算啮合刚度；当相邻两次迭代的圆柱齿轮传动系统位移变化量小于容差时，计算收敛，如式(26)所示：

||δ^j-δ^j-1||≤ε (26)

上式中，ε为迭代计算的收敛容差，为一个很小的正数。

6.如权利要求1所述的一种圆柱齿轮齿向载荷分布系数获取方法，其特征在于，由于所建立的N个等效啮合单元将主动齿轮均分为了N-1段，因此b_e＝b₁/(N-1)为各段主动齿轮齿宽对应的宽度；F_e为各段主动齿轮齿宽上分配的啮合力，按照以下方法计算：

①主动齿轮最左端的齿宽上分配的等效啮合力

等于主动齿轮最左端等效啮合单元的啮合力

加上与之相邻的等效啮合单元的啮合力

的一半，如式(30)所示：

②主动齿轮最右端的齿宽上分配的等效啮合力

等于主动齿轮最右端等效啮合单元的啮合力

加上与之相邻的等效啮合单元的啮合力

的一半，如式(31)所示：

③对于其他非边界位置的齿宽部分，所分配的等效啮合力F_ei为相邻两个等效啮合单元啮合力的平均值，如式(33)所示：

Images