CN103927428B - 一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其包括以下步骤：1)建立由齿轮轴和轴承组成的主、从动齿轮支撑轴系模型；2)建立锥齿轮传动系统有限元模型；3)考虑热膨胀和公差配合的影响；4)考虑轴向热膨胀的影响；5)考虑主减速器壳体刚度的影响；6)求解锥齿轮传动系统的刚度方程，计算锥齿轮错位量。本发明在基于非线性轴承单元的轴系有限元建模方法的基础上，建立了锥齿轮传动系统的有限元模型，并由系统变形的计算结果求得锥齿轮错位量；考虑了热膨胀、公差配合和主减速器壳体刚度对系统变形和锥齿轮错位量的影响，解决了现有分析方法中无法全面考虑这些因素的问题，使得计算得到的锥齿轮错位量更接近实际情况。

Description

一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法

技术领域

本发明涉及一种有限元建模计算方法，特别是关于一种用于一般车辆技术领域中综合考虑热膨胀、公差配合和主减速器壳体刚度等多因素影响下的锥齿轮错位量有限元计算方法。

背景技术

锥齿轮(包括螺旋锥齿轮和准双曲面齿轮)是汽车驱动桥主减速器总成中的主要零件，锥齿轮的错位量对其疲劳寿命的校核有着重要的影响，错位量的大小直接影响了锥齿轮传动的性能。锥齿轮的错位量主要由支撑轴系的系统变形产生。除了所传递的载荷大小外，影响支撑轴系系统变形的主要因素还包括热膨胀、公差配合、以及主减速器壳体的刚度。准确计算锥齿轮错位量需要将上述影响因素同时考虑到锥齿轮支撑轴系的系统变形计算中。

通过实验方法测量锥齿轮错位量虽然可以考虑上述因素的影响，但缺点是对于复杂结构，实验数据往往难以测量，而且该方法需要制造样件，因此增加了设计成本和设计周期。采用仿真计算方法获得锥齿轮错位量时，计算的难点之一在于考虑轴承刚度的耦合性和非线性时，如何计算支撑轴系的系统变形。处理这一问题，现有的研究方法主要有两种途径：一是采用有限元方法建立轴承的实体有限元模型，通过非线性接触计算来分析轴承的受载变形，再将其加入到系统变形计算中，但这种方法建模复杂，计算量大，因此常用于单个轴承的应力与变形分析，并不适用于研究整个传动系统；二是通过建立一种轴承单元来模拟轴承刚度在各方向上的耦合非线性，并与轴模型连接建立系统非线性有限元分析模型，可有效的解决支撑轴系的系统变形计算问题。此外，仿真计算的另一难点在于考虑热膨胀、公差配合和主减速器壳体刚度等因素对支撑轴系系统变形的影响，而现有的有限元分析方法均无法将这些因素全部考虑到系统变形的计算中。

发明内容

针对上述问题，本发明的目的是一种综合考虑热膨胀、公差配合和主减速器壳体刚度影响下锥齿轮错位量的有限元计算方法。

为实现上述目的，本发明采取以下技术方案：一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其包括以下步骤：1)分别建立由齿轮轴和轴承组成的主、从动齿轮的支撑轴系有限元模型：通过建立考虑轴承刚度的耦合性和非线性的轴承单元模拟轴承，以及建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，分别得到主动齿轮和从动齿轮各自的支撑轴系的有限元模型及刚度矩阵；2)建立锥齿轮传动系统的有限元模型：过锥齿轮啮合参考点分别向主、从动齿轮轴线做垂线，将垂足作为齿轮中心点，在参考点与主、从动齿轮中心点之间分别以刚性梁单元模拟主、从动齿轮，两个刚性梁单元在参考点处通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，以此得到整个锥齿轮传动系统的有限元模型及刚度矩阵，并在给定的外载荷下得到锥齿轮传动系统的刚度方程；3)考虑热膨胀和公差配合对轴承刚度的影响：分别计算由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量，然后通过过盈量计算得到轴承内外圈的径向变形量之和，并加入到轴承内部变形计算公式中；4)考虑轴向热膨胀对轴系变形的影响：将齿轮轴的轴向热膨胀影响，等效为多组大小相等方向相反的轴向拉力，作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上；5)考虑主减速器壳体刚度的影响：建立主减速器壳体的有限元模型，在各轴承中心所对应的位置设置凝聚节点，并将其与主减速器壳体上各轴承安装位置所对应的节点刚性连接，以凝聚节点为外部节点采用Guyan缩减法将主减速器壳体的刚度矩阵进行缩减，并将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中；6)求解锥齿轮传动系统的刚度方程，并计算锥齿轮的错位量：约束锥齿轮传动系统输出端节点的轴向转动自由度，采用牛顿-拉普森方法迭代求解锥齿轮传动系统的刚度方程，得到齿轮轴上齿轮中心点处的位移，并分别计算出主、从动齿轮的错位量及齿轮副的综合错位量。

在所述步骤1)中，轴承单元具有两个节点，分别代表轴承内外圈，节点位置均位于轴承轴线上的轴承内圈中点，其中代表内圈的节点与梁单元在轴承内圈中点位置的节点相连，代表外圈的节点与主减速器壳体相连；轴承局部坐标系采用右手直角坐标系，其坐标原点取轴承单元节点所在位置，z轴为轴承轴线方向，x、y轴为轴承径向；需要注意的是，对于有轴向预紧的轴承，z轴正方向为轴承压紧方向；而对于无轴向预紧的轴承，z轴正方向没有特殊要求，只要满足z轴为轴承轴线方向即可；

轴承单元的刚度矩阵通过其载荷位移公式进行求导或差分得到，以圆锥滚子轴承为例其载荷位移公式为：

上式中，F_x、F_y、F_z、M_x、M_y、M_z分别为轴承沿x、y、z方向载荷和绕x、y、z轴转矩；K_n为综合接触刚度系数；n_s为轴承滚子轴向切片数；Z为轴承滚子数；α为轴承接触角；ψ_j为第j个滚子的方位角；r_p为滚子节圆半径；t_k为第k个滚子切片在滚子局部坐标系中的轴向坐标，其中滚子局部坐标系取滚子轴向有效长度中点为坐标原点；δ_j,k为第j个滚子第k个切片的法向变形量；

其中，δ_j,k的计算公式为：

上式中，δ_x、δ_y分别为轴承内外圈之间沿x、y轴的径向位移；δ_z为轴承内外圈之间沿z轴的轴向位移；θ_x、θ_y分别为轴承内外圈之间绕x、y轴的角向位移；s_a为圆锥滚子轴承的初始轴向预紧量；β为滚子锥角；P(t_k)为滚子修缘时在滚子与滚道接触面法向方向上的修缘量；r_p为滚子节圆半径；若计算得到δ_j,k小于0，则取δ_j,k等于0。

在所述步骤1)中，建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，是指首先将齿轮轴按照截面尺寸的不同划分成多个轴段，每个轴段建立一个梁单元，然后在经典三维欧拉梁单元模型中以剪切影响系数φ的形式来考虑各个梁单元的剪切变形，对于圆截面，剪切影响系数φ的公式表示为：

上式中，E为齿轮轴材料的弹性模量；I为齿轮轴的横截面惯性矩；G为齿轮轴材料的剪切模量；L为齿轮轴的长度；A_s为齿轮轴的横向有效抗剪切面积；A为齿轮轴的圆截面面积；

支撑轴系的刚度矩阵通过将该支撑轴系所包含的轴承单元和梁单元的刚度矩阵组集而成，组集方法采用通用的有限元方法，整根齿轮轴的刚度矩阵中每个节点有3个方向平动及3个方向转动共6个自由度；主、从动齿轮的支撑轴系刚度矩阵分别计算。

在所述步骤2)中，锥齿轮啮合参考点指锥齿轮节锥参数设计时的理论啮合点，其空间位置根据齿轮基本参数计算得到；模拟齿轮的刚性梁单元的截面积取与支撑轴截面积数量级相当的任意值，其材料的弹性模量在实际齿轮材料的弹性模量上乘以10的五次方，并将刚性梁单元的刚度矩阵与各自轴系的刚度矩阵进行组集；等效啮合刚度矩阵[K_m]根据下式计算得到：

上式中，k_m为锥齿轮接触的等效啮合刚度；h为啮合力的方向向量；F_xi、F_yi和F_zi为啮合力在空间坐标系下的分量；F为啮合力；

主、从动齿轮轴系的刚度矩阵之间通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，组集成锥齿轮传动系统的刚度矩阵，组集过程中需要将两个轴系的坐标系统一到全局坐标系，并调整各节点自由度方向；全局坐标系原点可取在主、从动齿轮轴的公垂线与主动齿轮轴线的交点上；

锥齿轮传动系统的刚度方程表示为：

{P}＝[K]{δ} (5)

上式中，{P}为包含所有节点6个自由度载荷的列向量；{δ}为包含所有节点6个自由度位移的列向量；[K]为包含所有节点6个自由度刚度值的锥齿轮传动系统的刚度矩阵。

在所述步骤3)中，由于热膨胀产生的轴承内圈与轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量通过下式计算：

上式中，为由于热膨胀产生的轴承内圈与轴之间的过盈量；为由于热膨胀产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；B、D分别为轴承内外圈直径；T为环境温度；T_b、T_s和T_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座的工作温度；α_b、α_s和α_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座材料的线膨胀系数；

由于公差配合产生的轴承内圈与轴和轴承外圈与轴承座之间的过盈量通过下式计算：

上式中，为由于公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的过盈量；为由于公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；b、d、s和h分别为轴承内圈内径、轴承外圈外径、齿轮轴外径和轴承座内径尺寸的平均偏差，平均偏差是取配合面尺寸的上下偏差的平均值得到的；f₀为一对配合表面由于挤压而产生的压缩量，其大小与配合表面的粗糙度等级有关；对于带预紧的轴承，由公差配合产生的过盈量能够通过安装的调整消除，因此对于此类轴承，上式计算出的过盈量大于0时取0；

当同时存在热膨胀和公差配合影响时，总过盈量应为由热膨胀和公差配合产生的过盈量之和：

上式中，I_i为由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的总过盈量；I_o为由于热膨胀和公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的总过盈量；

在所述步骤3)中，轴承内外圈的径向变形量之和通过下式得到：

u_r＝0.5(u_i+u_o) (9)

上式中，u_r为轴承内外圈的径向变形量之和；u_i和u_o分别为轴承内圈径向变形量和轴承外圈径向变形量；

其中，若齿轮轴的内径不为零，u_i的计算公式如下：

上式中，D_b1为轴承内圈的外径；B为轴承内圈的内径；D_s为齿轮轴的内径；E_b和E_s为轴承和齿轮轴材料的弹性模量；ν_b和ν_s为轴承和齿轮轴材料的泊松比；

若轴的内径为零，则u_i的计算公式为：

u_o的计算公式为：

上式中，D_b2为轴承外圈的内径；D为轴承外圈的外径；D_h为轴承座的外径；E_b和E_h为轴承和轴承座材料的弹性模量；ν_b和ν_h为轴承和轴承座材料的泊松比；

加入到轴承内部变形计算公式中，是指将式(9)得到的轴承内外圈径向变形量之和u_r加入到式(2)中，加入后的式(2)变更为下式：

在所述步骤4)中，轴向拉力的计算公式为：

F_t＝E_sA(T_s-T)α_s (14)

上式中，F_t为等效轴向载荷；E_s为齿轮轴材料的弹性模量；A为轴段的截面积；T_s和T分别为齿轮轴的工作温度和环境温度；α_s为齿轮轴材料的线膨胀系数；

对于锥形齿轮轴，两端截面积不同时，取等效截面积A_x替代A，等效截面积A_x的计算公式为：

上式中，A₁和A₂分别为锥形齿轮轴两端的截面积；

作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上，是指将在轴段两端对应的节点处分别施加大小相等方向相反的轴向拉力，对于锥齿轮传动系统的刚度方程而言，表现为在外载荷向量中，在所施加拉力的节点的相应自由度位置，增加式(14)所计算出的拉力值作为外载荷，并根据拉力方向确定载荷的正负。

在所述步骤5)中，建立主减速器壳体的有限元模型，是指在通用有限元软件中建立可用于静力学和模态分析的主减速器壳体有限元模型，一般采用体单元进行建模；主减速器壳体与驱动桥的连接处作为固定端处理，在主减速器壳体有限元模型中约束固定端所有节点在各方向上位移为0；

各轴承安装位置所对应的节点，是指轴承与主减速器壳体安装时，主减速器壳体上与轴承外圈或内圈相接触的部位的所有节点；刚性连接是指将凝聚节点六方向的自由度与主减速器壳体有限元模型中相应位置节点各方向自由度进行耦合，使这些节点之间的相对位置始终保持不变，能够通过通用有限元软件中提供的刚性连接单元来实现；

Guyan缩减法的基本公式为：

上式中，[K_h]为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵；k为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵中的分块刚度矩阵，下标o表示凝聚节点所对应的自由度，下标i表示主减速器壳体有限元模型内部节点所对应的自由度；[k_h]为缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵；

将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中，是按照主减速器壳体凝聚节点与轴承单元节点的对应关系进行组集的。

在所述步骤6)中，采用牛顿-拉普森方法迭代求解时，采用相邻两次迭代所得的节点位移向量之差的模小于给定小量作为收敛准则；

齿轮中心点的位移，即齿轮轴上齿轮中心点所对应节点的各方向位移；主、从动齿轮的错位量定义为两个齿轮轴的轴交错点在四个方向上的相对位移，即沿主动齿轮轴线方向上的相对位移△P、沿从动齿轮轴线方向上的相对位移△W、沿偏置距方向上的相对位移△E和沿轴交角方向上的相对角位移△Σ；所谓轴交错点，对于无偏置距的螺旋锥齿轮，是指两个齿轮轴轴线的交点；对于有偏置距的准双曲面齿轮，是指两个齿轮轴轴线的公垂线与两个轴线之间的交点；错位量的正方向定义为，当主动齿轮沿轴线方向远离从动轮轴线时△P为正，当从动齿轮沿轴线远离主动轮轴线时△W为正，当使偏置距增大时△E为正，当使轴交角增大时△Σ为正；若锥齿轮传动系统全局坐标系的定义为坐标原点定在主动齿轮轴线上的轴交错点，主动齿轮轴线方向为坐标轴x方向，从动齿轮轴线方向为坐标轴y方向，偏置距方向为坐标轴z方向，主动齿轮中心点为A点，从动齿轮中心点为B点，啮合参考点为P点，则此时，由主动齿轮中心点位移计算得到主动齿轮错位量的公式为：

上式中，△P^A、△W^A、△E^A和△Σ^A分别为主动齿轮的四个错位量值；和分别为主动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为主动齿轮中心点绕y、z轴的角位移；为从动齿轮中心点到啮合参考点的距离；ε为从动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，ε为0；

由从动齿轮中心点位移计算得到从动齿轮错位量的公式为：

上式中，△P^B、△W^B、△E^B和△Σ^B分别为从动齿轮的四个错位量值；和分别为从动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为从动齿轮中心点绕x、z轴的角位移；为主动齿轮中心点到啮合参考点的距离；η为主动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，η为0；

齿轮副的综合错位量是通过主、从动齿轮的错位量计算得到，计算公式为：

上式中，△P、△W、△E和△Σ为主、从动齿轮的合错位量的四个分量值；Mis为齿轮副的综合错位量；δ₁和δ₂分别为主动齿轮和从动齿轮的节锥角。

本发明由于采取以上技术方案，其具有以下优点：1、本发明在基于非线性轴承单元的轴系有限元建模方法的基础上，引入了齿轮副的处理，建立了锥齿轮传动系统的有限元模型，并由系统变形的计算结果求得了锥齿轮的错位量，实现了锥齿轮错位量的仿真计算。2、本发明综合考虑了热膨胀、公差配合和主减速器壳体刚度对锥齿轮传动系统的系统变形和锥齿轮错位量的影响，解决了现有分析方法中无法全面考虑这些因素的问题，使得计算得到的锥齿轮错位量更接近实际情况。3、本发明所采用的处理方法原理简单，易于在各类常用的编程语言环境下编程实现，计算效率高。本发明可广泛应用于汽车主减速器中各类锥齿轮传动系统的设计和校核分析问题。

附图说明

以下结合附图来对本发明进行详细的描绘。然而应当理解，附图的提供仅为了更好地理解本发明，它们不应该理解成对本发明的限制。

图1是本发明的建模求解过程流程图；

图2是锥齿轮传动系统全局坐标系示意图；

图3是简化的螺旋锥齿轮传动系统示意图；

图4是螺旋锥齿轮传动系统的有限元模型示意图；

图5是简化的主减速器壳体示意图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进行详细的描述。

如图1所示，一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其包括以下步骤：

1)分别建立由齿轮轴和轴承组成的主、从动齿轮的支撑轴系有限元模型：通过建立考虑轴承刚度的耦合性和非线性的轴承单元模拟轴承，以及建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，分别得到主动齿轮和从动齿轮各自的支撑轴系的有限元模型及刚度矩阵。

在本实施例中，轴承单元具有两个节点，分别代表轴承内外圈，节点位置均位于轴承轴线上的轴承内圈中点，其中一个节点(一般为代表内圈的节点)与梁单元在轴承内圈中点位置的节点相连，另一个节点(一般为代表外圈的节点)与主减速器壳体相连。在本实施例中，轴承局部坐标系采用右手直角坐标系，其坐标原点取轴承单元节点所在位置，z轴为轴承轴线方向，x、y轴为轴承径向。需要注意的是，对于圆锥滚子轴承等有轴向预紧的轴承，z轴正方向为轴承压紧方向；而对于圆柱滚子轴承等无轴向预紧的轴承，z轴正方向没有特殊要求，只要满足z轴为轴承轴线方向即可。

在本实施例中，轴承单元的刚度矩阵通过其载荷位移公式进行求导或差分得到，以圆锥滚子轴承为例其载荷位移公式为：

上式中，F_x、F_y、F_z、M_x、M_y、M_z分别为轴承沿x、y、z方向载荷和绕x、y、z轴转矩；K_n为综合接触刚度系数；n_s为轴承滚子轴向切片数；Z为轴承滚子数；α为轴承接触角；ψ_j为第j个滚子的方位角；r_p为滚子节圆半径；t_k为第k个滚子切片在滚子局部坐标系中的轴向坐标，其中滚子局部坐标系取滚子轴向有效长度中点为坐标原点；δ_j,k为第j个滚子第k个切片的法向变形量。

其中，δ_j,k的计算公式为：

上式中，δ_x、δ_y分别为轴承内外圈之间沿x、y轴的径向位移；δ_z为轴承内外圈之间沿z轴的轴向位移；θ_x、θ_y分别为轴承内外圈之间绕x、y轴的角向位移；s_a为圆锥滚子轴承的初始轴向预紧量；β为滚子锥角；P(t_k)为滚子修缘时在滚子与滚道接触面法向方向上的修缘量；r_p为滚子节圆半径；若计算得到δ_j,k小于0，则取δ_j,k等于0；

对于其他类型轴承可得到类似的轴承载荷和位移计算公式，并计算其轴承单元的刚度矩阵。

在本实施例中，建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，是指首先将齿轮轴按照截面尺寸的不同划分成多个轴段，每个轴段建立一个梁单元，然后在经典三维欧拉梁单元模型中以剪切影响系数φ的形式来考虑各个梁单元的剪切变形，对于圆截面，剪切影响系数φ的公式表示为：

上式中，E为齿轮轴材料的弹性模量；I为齿轮轴的横截面惯性矩；G为齿轮轴材料的剪切模量；L为齿轮轴的长度；A_s为齿轮轴的横向有效抗剪切面积；A为齿轮轴的圆截面面积。

在本实施例中，支撑轴系的刚度矩阵通过将该支撑轴系所包含的轴承单元和梁单元的刚度矩阵组集而成，组集方法采用通用的有限元方法，整根齿轮轴的刚度矩阵中每个节点有3个方向平动及3个方向转动共6个自由度；主、从动齿轮的支撑轴系刚度矩阵分别计算。

2)建立锥齿轮传动系统的有限元模型：过锥齿轮啮合参考点分别向主、从动齿轮轴线做垂线，将垂足作为齿轮中心点，在参考点与主、从动齿轮中心点之间分别以刚性梁单元模拟主、从动齿轮，两个刚性梁单元在参考点处通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，以此得到整个锥齿轮传动系统的有限元模型及刚度矩阵，并在给定的外载荷下得到锥齿轮传动系统的刚度方程。

在本实施例中，锥齿轮啮合参考点指锥齿轮节锥参数设计时的理论啮合点，其空间位置可根据齿轮基本参数计算得到；模拟齿轮的刚性梁单元的截面积可取与支撑轴截面积数量级相当的任意值，其材料的弹性模量在实际齿轮材料的弹性模量上乘以10的五次方，并将刚性梁单元的刚度矩阵与各自轴系的刚度矩阵进行组集；等效啮合刚度矩阵[K_m]可根据下式计算得到：

上式中，k_m为锥齿轮接触的等效啮合刚度；h为啮合力的方向向量；F_xi、F_yi和F_zi为啮合力在空间坐标系下的分量；F为啮合力。

主、从动齿轮轴系的刚度矩阵之间通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，组集成锥齿轮传动系统的刚度矩阵，组集过程中需要将两个轴系的坐标系统一到全局坐标系，并调整各节点自由度方向；全局坐标系原点可取在主、从动齿轮轴的公垂线与主动齿轮轴线的交点上。

在本实施例中，锥齿轮传动系统的刚度方程表示为：

{P}＝[K]{δ} (5)

上式中，{P}为包含所有节点6个自由度载荷的列向量；{δ}为包含所有节点6个自由度位移的列向量；[K]为包含所有节点6个自由度刚度值的锥齿轮传动系统的刚度矩阵。

3)考虑热膨胀和公差配合对轴承刚度的影响：分别计算由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量，然后通过过盈量计算得到轴承内外圈的径向变形量之和，并加入到轴承内部变形计算公式中。

在本实施例中，由于热膨胀产生的轴承内圈与轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量可通过下式计算：

上式中，为由于热膨胀产生的轴承内圈与轴之间的过盈量；为由于热膨胀产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；B、D分别为轴承内外圈直径；T为环境温度；T_b、T_s和T_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座的工作温度；α_b、α_s和α_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座材料的线膨胀系数。

由于公差配合产生的轴承内圈与轴和轴承外圈与轴承座之间的过盈量可通过下式计算：

上式中，为由于公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的过盈量；为由于公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；b、d、s和h分别为轴承内圈内径、轴承外圈外径、齿轮轴外径和轴承座内径尺寸的平均偏差，平均偏差是取配合面尺寸的上下偏差的平均值得到的；f₀为一对配合表面由于挤压而产生的压缩量，其大小与配合表面的粗糙度等级有关。对于如圆锥滚子轴承等带预紧的轴承，由公差配合产生的过盈量可以通过安装的调整消除，因此对于此类轴承，上式计算出的过盈量大于0时取0。

当同时存在热膨胀和公差配合影响时，总过盈量应为由热膨胀和公差配合产生的过盈量之和：

上式中，I_i为由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的总过盈量；I_o为由于热膨胀和公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的总过盈量。

在本实施例中，轴承内外圈的径向变形量之和通过下式得到：

u_r＝0.5(u_i+u_o) (9)

上式中，u_r为轴承内外圈的径向变形量之和；u_i和u_o分别为轴承内圈径向变形量和轴承外圈径向变形量。

其中，若齿轮轴的内径不为零(即空心轴的情况)，u_i的计算公式如下：

上式中，D_b1为轴承内圈的外径；B为轴承内圈的内径；D_s为齿轮轴的内径；E_b和E_s为轴承和齿轮轴材料的弹性模量；ν_b和ν_s为轴承和齿轮轴材料的泊松比。

若轴的内径为零，则u_i的计算公式为：

u_o的计算公式为：

上式中，D_b2为轴承外圈的内径；D为轴承外圈的外径；D_h为轴承座的外径；E_b和E_h为轴承和轴承座材料的弹性模量；ν_b和ν_h为轴承和轴承座材料的泊松比。

在本实施例中，加入到轴承内部变形计算公式中，是指将式(9)得到的轴承内外圈径向变形量之和u_r加入到式(2)中，加入后的式(2)变更为下式：

4)考虑轴向热膨胀对轴系变形的影响：将齿轮轴的轴向热膨胀影响，等效为多组大小相等方向相反的轴向拉力，作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上。

在本实施例中，轴向拉力的计算公式为：

F_t＝E_sA(T_s-T)α_s (14)

上式中，F_t为等效轴向载荷；E_s为齿轮轴材料的弹性模量；A为轴段的截面积；T_s和T分别为齿轮轴的工作温度和环境温度；α_s为齿轮轴材料的线膨胀系数。

对于锥形齿轮轴，两端截面积不同时，可取等效截面积A_x替代A，等效截面积A_x的计算公式为：

上式中，A₁和A₂分别为锥形齿轮轴两端的截面积。

在本实施例中，作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上，是指将在轴段两端对应的节点处分别施加大小相等方向相反的轴向拉力，对于锥齿轮传动系统的刚度方程而言，表现为在外载荷向量中，在所施加拉力的节点的相应自由度位置，增加式(14)所计算出的拉力值作为外载荷，并根据拉力方向确定载荷的正负。

5)考虑主减速器壳体刚度的影响：建立主减速器壳体的有限元模型，在各轴承中心所对应的位置设置凝聚节点，并将其与主减速器壳体上各轴承安装位置所对应的节点刚性连接，以凝聚节点为外部节点采用Guyan缩减法将主减速器壳体的刚度矩阵进行缩减，并将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中。

在本实施例中，建立主减速器壳体的有限元模型，是指在通用有限元软件中建立可用于静力学和模态分析的主减速器壳体有限元模型，一般采用体单元进行建模。主减速器壳体与驱动桥的连接处作为固定端处理，在主减速器壳体有限元模型中约束固定端所有节点在各方向上位移为0。

在本实施例中，各轴承安装位置所对应的节点，是指轴承与主减速器壳体安装时，主减速器壳体上与轴承外圈或内圈相接触的部位的所有节点。刚性连接是指将凝聚节点六方向的自由度与主减速器壳体有限元模型中相应位置节点各方向自由度进行耦合，使这些节点之间的相对位置始终保持不变，可通过通用有限元软件中提供的刚性连接单元来实现。

在本实施例中，Guyan缩减法的基本公式为：

上式中，[K_h]为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵；k为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵中的分块刚度矩阵，下标o表示凝聚节点所对应的自由度，下标i表示主减速器壳体有限元模型内部节点所对应的自由度；[k_h]为缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵。

在本实施例中，将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中，是按照主减速器壳体凝聚节点与轴承单元节点的对应关系进行组集的。

6)求解锥齿轮传动系统的刚度方程，并计算锥齿轮的错位量：约束锥齿轮传动系统输出端节点的轴向转动自由度，采用牛顿-拉普森方法迭代求解锥齿轮传动系统的刚度方程，得到齿轮轴上齿轮中心点处的位移，并根据公式分别计算出主、从动齿轮的错位量及齿轮副的综合错位量。

在本实施例中，采用牛顿-拉普森方法迭代求解时，采用相邻两次迭代所得的节点位移向量之差的模小于给定小量作为收敛准则。

在本实施例中，齿轮中心点的位移，即齿轮轴上齿轮中心点所对应节点的各方向位移；主、从动齿轮的错位量定义为两个齿轮轴的轴交错点在四个方向上的相对位移，即沿主动齿轮轴线方向上的相对位移△P、沿从动齿轮轴线方向上的相对位移△W、沿偏置距方向上的相对位移△E和沿轴交角方向上的相对角位移△Σ；所谓轴交错点，对于无偏置距的螺旋锥齿轮，是指两个齿轮轴轴线的交点；对于有偏置距的准双曲面齿轮，是指两个齿轮轴轴线的公垂线与两个轴线之间的交点；错位量的正方向定义为，当主动齿轮沿轴线方向远离从动轮轴线时△P为正，当从动齿轮沿轴线远离主动轮轴线时△W为正，当使偏置距增大时△E为正，当使轴交角增大时△Σ为正；如图2所示，若锥齿轮传动系统全局坐标系的定义为坐标原点定在主动齿轮轴线上的轴交错点，主动齿轮轴线方向为坐标轴x方向，从动齿轮轴线方向为坐标轴y方向，偏置距方向为坐标轴z方向，主动齿轮中心点为A点，从动齿轮中心点为B点，啮合参考点为P点，则此时，由主动齿轮中心点位移计算得到主动齿轮错位量的公式为：

上式中，△P^A、△W^A、△E^A和△Σ^A分别为主动齿轮的四个错位量值；和分别为主动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为主动齿轮中心点绕y、z轴的角位移；为从动齿轮中心点到啮合参考点的距离；ε为从动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，ε为0。

由从动齿轮中心点位移计算得到从动齿轮错位量的公式为：

上式中，△P^B、△W^B、△E^B和△Σ^B分别为从动齿轮的四个错位量值；和分别为从动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为从动齿轮中心点绕x、z轴的角位移；为主动齿轮中心点到啮合参考点的距离；η为主动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，η为0。

在本实施例中，齿轮副的综合错位量是通过主、从动齿轮的错位量计算得到，计算公式为：

上式中，△P、△W、△E和△Σ为主、从动齿轮的合错位量的四个分量值；Mis为齿轮副的综合错位量；δ₁和δ₂分别为主动齿轮和从动齿轮的节锥角。

下面通过一个具体的实施例，用以说明本发明的效果。由于汽车上实际的主减速器结构较为复杂，为叙述方便，本实施例对锥齿轮传动系统及主减速器壳体均进行了简化处理。

本实施例提供的考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法包括以下步骤：

1)分别建立主、从动齿轮的支撑轴系有限元模型：以图3所示的螺旋锥齿轮传动系统为例，其中小齿轮为主动齿轮，大齿轮为从动齿轮，锥齿轮传动系统全局坐标系原点位于大小齿轮轴轴线交点，为右手坐标系，x轴方向为小齿轮轴线方向，y轴方向为大齿轮轴线方向，x、y坐标轴的正方向为使大小齿轮延轴线远离坐标原点的方向。小齿轮轴全长120mm，左侧圆柱段长100mm，直径为40mm，右侧圆锥段两端截面直径分别为60mm和45mm；大齿轮轴全长120mm，上部圆柱段长110mm，直径为40mm，下部圆锥段两端截面直径分别为125mm和170mm。1-4号轴承均为圆锥滚子轴承，型号为33008JR，轴承内径为40mm，外径为68mm，内圈宽度22mm，滚子数为7，滚子节圆半径为27mm，滚子有效长度为17.544mm，轴承接触角为11°，滚子锥角为8.4541°。轴承中心在轴上的相对位置是：1号轴承距离主动轴左端20mm，2号轴承距离主动轴左端45mm，3号轴承距离从动轴上端20mm，4号轴承距离从动轴上端45mm。依据公式(1)-(3)建立轴承单元和模拟轴的梁单元有限元模型，并分别组装得到主动齿轮轴和从动齿轮轴各自的轴系刚度矩阵。所建立的主、从动齿轮轴系有限元模型如图4所示，其中主动齿轮轴模型节点编号为1-6号，从动齿轮轴为7-11号，将图3中的1-4号轴承单元的内圈节点分别与图4中轴上的2、3、8、9号节点相连，外圈节点所对应的编号分别为12-15，用于与主减速器壳体中对应节点相连。

2)建立锥齿轮传动系统有限元模型：将图3所示结构中的螺旋锥齿轮副采用格里森制渐缩齿，收缩方式为标准收缩式，小轮齿数为14，大轮齿数为39，模数为4.5mm，齿面宽为26mm，压力角为20°，轴交角为90°，小轮节锥角为19.7468°，大轮节锥角为70.2532°，小轮为左旋，大轮为右旋。其中P点为锥齿轮的啮合参考点，根据齿轮副基本参数可计算出该点在全局坐标系中的坐标为(75.514,27.108,0)，A点为主动轮的齿轮中心点，对应主动轴模型上5号节点，距离主动齿轮轴左端110mm，B点为从动轮的齿轮中心点，对应从动轴模型上10号节点，距离从动齿轮轴上端110mm。如图4所示，在P点建立两个节点，编号为16和17，分别在,5、16号节点和10、17号节点之间建立刚性梁单元用于模拟主从动齿轮，16和17号节点间通过等效啮合刚度矩阵耦合。由此得到整个锥齿轮传动系统的有限元模型及系统刚度矩阵。再在主动轴左端1号节点处施加绕x轴的输入转矩162.7Nm，由此建立其锥齿轮传动系统的刚度方程。

3)考虑热膨胀和公差配合对轴承刚度的影响：根据实际工况，取环境温度为20℃，轴承的工作温度为80℃，轴的工作温度为72℃，轴承座的工作温度为40℃。轴材料的线膨胀系数取12μm/(m·K)，弹性模量取206GPa，泊松比取0.3。轴承和轴承座的取相同材料参数，其中线膨胀系数取12μm/(m·K)，弹性模量取210GPa，泊松比取0.3。4个轴承与轴和轴承座的公差配合情况相同，轴承内圈尺寸的上偏差为0，下偏差为-0.015mm，轴承外圈尺寸的上偏差为0，下偏差为-0.025mm，轴的外径尺寸的上偏差为0.030mm，下偏差为0.011mm，轴承座内径尺寸的上偏差为-0.008mm，下偏差为-0.033mm。配合面在过盈配合情况下产生的压缩量为0.002mm。将上述参数代入式(6)-(11)，将热膨胀和公差配合的影响考虑到轴承刚度计算中。

4)考虑轴向热膨胀对轴系变形的影响：对于主、从动齿轮轴中的锥形轴段，采用(15)式计算其等效截面积，然后采用(14)式分别计算出各轴段的等效轴向拉力。在锥齿轮传动系统的刚度方程中，将模拟热膨胀的等效轴向拉力作为外载荷，分别添加在载荷向量中各轴段两端对应节点的相应自由度位置，并根据拉力方向确定载荷的正负。

5)考虑主减速器壳体刚度的影响：如图5所示，为本实例中所用的简化的主减速器壳体，其坐标系与锥齿轮传动系统的全局坐标系相同，其中主减速器壳体在x方向长290mm，在y方向长180mm，z方向长200mm，主减速器壳体上部开口，底部有底，壁厚均为8mm。主减速器壳体内部主、从动齿轮轴的轴承座内径均为68mm，外径为120mm，长为70mm。在通用的有限元软件中建立其实体有限元模型，采用4mm的4节点四面体单元划分网格，并赋予材料相应的材料属性，包括弹性模量为206GPa，泊松比为0.3，密度为7.8×10^-6kg/mm³,。在4个轴承中心所对应的空间位置上设置凝聚节点，将它们各自与壳体轴承座内壁上，应该与轴承外圈相接触的区域的节点进行刚性耦合。在主减速器壳体底部即Z＝-100mm的平面上约束所有节点的三方向平动自由度，作为主减速器壳体的固定端。在有限元软件中采用Guyan缩减法求得主减速器壳体的凝聚刚度矩阵，并将凝聚节点与锥齿轮传动系统有限元模型中模拟轴承单元外圈的12-15号节点相连，将主减速器壳体的凝聚刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中。

6)求解锥齿轮传动系统的刚度方程，并计算锥齿轮的错位量：在从动轴上端7号节点处约束绕y轴转动自由度，将刚度方程中该自由度所对应项进行缩减。采用牛顿-拉普森方法对缩减后的刚度方程进行迭代求解，每迭代一步，判断得到的位移向量与上一步的位移向量之差的模是否小于10^-6，不满足则继续进行迭代，满足则判断迭代过程收敛。迭代收敛后，得到代表齿轮中心的5号和10号节点6个自由度的位移值，将其代入到式(17)-(19)，计算得到主从动齿轮各自的错位量、合错位量以及综合错位量Mis如表1所示。

表1

	主动轮	从动轮	合错位量
				△P/μm	-79.370	-28.773	-108.143
△W/μm	216.621	14.347	230.968
				△E/μm	322.268	150.458	472.726
△Σ/mRad	-1.391	0.225	-1.166
				Mis/μm			472.7258

综上所述，本发明适合于锥齿轮错位量的有限元建模计算，在基于非线性轴承单元的轴系有限元建模方法基础上加入了锥齿轮副的建模，建立了锥齿轮传动系统的有限元模型，实现了锥齿轮错位量的计算；并且考虑了热膨胀、公差配合以及主减速器壳体刚度对系统变形和锥齿轮错位量计算的影响，有效地解决了现有分析方法无法全面考虑这些影响因素的缺点，使得计算得到的错位量更接近于实际情况。

上述各实施例仅用于对本发明的目的、技术方案和有益效果进行了进一步详细说明，并不用于限制本发明，凡在本发明的精神和原则之内，所做的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (9)

1.一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其包括以下步骤：

1)分别建立由齿轮轴和轴承组成的主、从动齿轮的支撑轴系有限元模型：通过建立考虑轴承刚度的耦合性和非线性的轴承单元模拟轴承，以及建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，分别得到主动齿轮和从动齿轮各自的支撑轴系的有限元模型及刚度矩阵；

2)建立锥齿轮传动系统的有限元模型：过锥齿轮啮合参考点分别向主、从动齿轮轴线做垂线，将垂足作为齿轮中心点，在参考点与主、从动齿轮中心点之间分别以刚性梁单元模拟主、从动齿轮，两个刚性梁单元在参考点处通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，以此得到整个锥齿轮传动系统的有限元模型及刚度矩阵，并在给定的外载荷下得到锥齿轮传动系统的刚度方程；

3)考虑热膨胀和公差配合对轴承刚度的影响：分别计算由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量，然后通过过盈量计算得到轴承内外圈的径向变形量之和，并加入到轴承内部变形计算公式中；

4)考虑轴向热膨胀对轴系变形的影响：将齿轮轴的轴向热膨胀影响，等效为多组大小相等方向相反的轴向拉力，作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上；

5)考虑主减速器壳体刚度的影响：建立主减速器壳体的有限元模型，在各轴承中心所对应的位置设置凝聚节点，并将其与主减速器壳体上各轴承安装位置所对应的节点刚性连接，以凝聚节点为外部节点采用Guyan缩减法将主减速器壳体的刚度矩阵进行缩减，并将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中；

6)求解锥齿轮传动系统的刚度方程，并计算锥齿轮的错位量：约束锥齿轮传动系统输出端节点的轴向转动自由度，采用牛顿-拉普森方法迭代求解锥齿轮传动系统的刚度方程，得到齿轮轴上齿轮中心点处的位移，并分别计算出主、从动齿轮的错位量及齿轮副的综合错位量。

2.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤1)中，轴承单元具有两个节点，分别代表轴承内外圈，节点位置均位于轴承轴线上的轴承内圈中点，其中代表内圈的节点与梁单元在轴承内圈中点位置的节点相连，代表外圈的节点与主减速器壳体相连；轴承局部坐标系采用右手直角坐标系，其坐标原点取轴承单元节点所在位置，z轴为轴承轴线方向，x、y轴为轴承径向；需要注意的是，对于有轴向预紧的轴承，z轴正方向为轴承压紧方向；而对于无轴向预紧的轴承，z轴正方向没有特殊要求，只要满足z轴为轴承轴线方向即可；

轴承单元的刚度矩阵通过其载荷位移公式进行求导或差分得到，以圆锥滚子轴承为例其载荷位移公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{F}_x=-\frac{K_n}{n_s}\underset{j=1}{\overset{Z}{\Σ}}\[\underset{k=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\left({\mathrm{\δ}}_{j,k}^{10/9}{\mathrm{cos\αsin\ψ}}_j\right)\],F_y=\frac{K_n}{n_s}\underset{j=1}{\overset{Z}{\Σ}}\[\underset{k=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\left({\mathrm{\δ}}_{j,k}^{10/9}{\mathrm{cos\αcos\ψ}}_j\right)\]\\ F_z=\frac{K_n}{n_s}\underset{j=1}{\overset{Z}{\Σ}}\[\underset{k=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\left({\mathrm{\δ}}_{j,k}^{10/9}\sin \mathrm{\α}\right)\],M_x=\frac{K_n}{n_s}\underset{j=1}{\overset{Z}{\Σ}}\[\underset{k=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\left(\right(r_p\sin \mathrm{\α}-t_k\left){\mathrm{\δ}}_{j,k}^{10/9}{\mathrm{cos\ψ}}_j\right)\]\\ M_y=\frac{K_n}{n_s}\underset{j=1}{\overset{Z}{\Σ}}\[\underset{k=1}{\overset{n_s}{\Σ}}\left(\right(r_p\sin \mathrm{\α}-t_k\left){\mathrm{\δ}}_{j,k}^{10/9}{\mathrm{sin\ψ}}_j\right)\],M_z=0\end{array}\right.---\left(1\right)$

上式中，F_x、F_y、F_z、M_x、M_y、M_z分别为轴承沿x、y、z方向载荷和绕x、y、z轴转矩；K_n为综合接触刚度系数；n_s为轴承滚子轴向切片数；Z为轴承滚子数；α为轴承接触角；ψ_j为第j个滚子的方位角；r_p为滚子节圆半径；t_k为第k个滚子切片在滚子局部坐标系中的轴向坐标，其中滚子局部坐标系取滚子轴向有效长度中点为坐标原点；δ_j,k为第j个滚子第k个切片的法向变形量；

其中，δ_j,k的计算公式为：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\δ}}_{j,k}=\[{\mathrm{\δ}}_z+r_p({\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{cos\ψ}}_j+{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\ψ}}_j)+s_a\]\sin \mathrm{\α}+(-{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{sin\ψ}}_j+{\mathrm{\δ}}_y{\mathrm{cos\ψ}}_j)\cos \mathrm{\α}\\ +\frac{t_k(-{\mathrm{\θ}}_x{\mathrm{cos\ψ}}_j-{\mathrm{\θ}}_y{\mathrm{sin\ψ}}_j)}{\cos (\mathrm{\β}/2)}-\frac{2P\left(t_k\right)}{\cos (\mathrm{\β}/2)}\end{array}---\left(2\right)$

上式中，δ_x、δ_y分别为轴承内外圈之间沿x、y轴的径向位移；δ_z为轴承内外圈之间沿z轴的轴向位移；θ_x、θ_y分别为轴承内外圈之间绕x、y轴的角向位移；s_a为圆锥滚子轴承的初始轴向预紧量；β为滚子锥角；P(t_k)为滚子修缘时在滚子与滚道接触面法向方向上的修缘量；r_p为滚子节圆半径；若计算得到δ_j,k小于0，则取δ_j,k等于0。

3.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤1)中，建立考虑剪切变形的欧拉梁单元模拟齿轮轴，是指首先将齿轮轴按照截面尺寸的不同划分成多个轴段，每个轴段建立一个梁单元，然后在经典三维欧拉梁单元模型中以剪切影响系数φ的形式来考虑各个梁单元的剪切变形，对于圆截面，剪切影响系数φ的公式表示为：

$\mathrm{\φ}=\frac{12EI}{{\mathrm{GL}}^2{A}_s},A_s=0.9A---\left(3\right)$

上式中，E为齿轮轴材料的弹性模量；I为齿轮轴的横截面惯性矩；G为齿轮轴材料的剪切模量；L为齿轮轴的长度；A_s为齿轮轴的横向有效抗剪切面积；A为齿轮轴的圆截面面积；

支撑轴系的刚度矩阵通过将该支撑轴系所包含的轴承单元和梁单元的刚度矩阵组集而成，组集方法采用通用的有限元方法，整根齿轮轴的刚度矩阵中每个节点有3个方向平动及3个方向转动共6个自由度；主、从动齿轮的支撑轴系刚度矩阵分别计算。

4.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤2)中，锥齿轮啮合参考点指锥齿轮节锥参数设计时的理论啮合点，其空间位置根据齿轮基本参数计算得到；模拟齿轮的刚性梁单元的截面积取与支撑轴截面积数量级相当的任意值，其材料的弹性模量在实际齿轮材料的弹性模量上乘以10的五次方，并将刚性梁单元的刚度矩阵与各自轴系的刚度矩阵进行组集；等效啮合刚度矩阵[K_m]根据下式计算得到：

$\left\{\begin{array}{c}\[K_m\]=k_m\left[\begin{array}{cc}{\left\{h\right\}}^T\left\{h\right\}& -{\left\{h\right\}}^T\left\{h\right\}\\ -{\left\{h\right\}}^T\left\{h\right\}& {\left\{h\right\}}^T\left\{h\right\}\end{array}\right]\\ \left\{h\right\}=\{\frac{F_{xi}}{F},\frac{F_{yi}}{F},\frac{F_{zi}}{F},0,0,0\}\end{array}\right.---\left(4\right)$

上式中，k_m为锥齿轮接触的等效啮合刚度；h为啮合力的方向向量；F_xi、F_yi和F_zi为啮合力在空间坐标系下的分量；F为啮合力；

主、从动齿轮轴系的刚度矩阵之间通过等效啮合刚度矩阵进行耦合，组集成锥齿轮传动系统的刚度矩阵，组集过程中需要将两个轴系的坐标系统一到全局坐标系，并调整各节点自由度方向；全局坐标系原点可取在主、从动齿轮轴的公垂线与主动齿轮轴线的交点上；

锥齿轮传动系统的刚度方程表示为：

{P}＝[K]{δ} (5)

上式中，{P}为包含所有节点6个自由度载荷的列向量；{δ}为包含所有节点6个自由度位移的列向量；[K]为包含所有节点6个自由度刚度值的锥齿轮传动系统的刚度矩阵。

5.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤3)中，由于热膨胀产生的轴承内圈与齿轮轴以及轴承外圈与轴承座之间的过盈量通过下式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_i^t=B(T_s-T){\mathrm{\α}}_s-B(T_b-T){\mathrm{\α}}_b\\ I_o^t=D(T_b-T){\mathrm{\α}}_b-D(T_h-T){\mathrm{\α}}_h\end{array}\right.---\left(6\right)$

上式中，为由于热膨胀产生的轴承内圈与齿轮轴之间的过盈量；为由于热膨胀产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；B、D分别为轴承内外圈直径；T为环境温度；T_b、T_s和T_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座的工作温度；α_b、α_s和α_h分别为轴承、齿轮轴和轴承座材料的线膨胀系数；

由于公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴和轴承外圈与轴承座之间的过盈量通过下式计算：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_i^d=\left\{\begin{array}{cc}s-b-2f_0,& s-b>2f_0\\ 0,& 2f_0\&GreaterEqual;s-b\&GreaterEqual;0\\ s-b,& s-b<0\end{array}\right.\\ I_o^d=\left\{\begin{array}{cc}d-h-2f_0,& d-h>2f_0\\ 0,& 2f_0\&GreaterEqual;d-h\&GreaterEqual;0\\ d-h,& d-h<0\end{array}\right.\end{array}\right.---\left(7\right)$

上式中，为由于公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的过盈量；为由于公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的过盈量；b、d、s和h分别为轴承内圈内径、轴承外圈外径、齿轮轴外径和轴承座内径尺寸的平均偏差，平均偏差是取配合面尺寸的上下偏差的平均值得到的；f₀为一对配合表面由于挤压而产生的压缩量，其大小与配合表面的粗糙度等级有关；对于带预紧的轴承，由公差配合产生的过盈量能够通过安装的调整消除，因此对于此类轴承，上式计算出的过盈量大于0时取0；

当同时存在热膨胀和公差配合影响时，总过盈量应为由热膨胀和公差配合产生的过盈量之和：

$\left\{\begin{array}{c}{I}_i=I_i^t+I_i^d\\ I_o=I_o^t+I_o^d\end{array}\right.---\left(8\right)$

上式中，I_i为由于热膨胀和公差配合产生的轴承内圈与齿轮轴之间的总过盈量；I_o为由于热膨胀和公差配合产生的轴承外圈与轴承座之间的总过盈量；

6.如权利要求2所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤3)中，轴承内外圈的径向变形量之和通过下式得到：

u_r＝0.5(u_i+u_o) (9)

上式中，u_r为轴承内外圈的径向变形量之和；u_i和u_o分别为轴承内圈径向变形量和轴承外圈径向变形量；

其中，若齿轮轴的内径不为零，u_i的计算公式如下：

$u_i=\frac{2I_i\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}{\&lsqb;{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2-1\&rsqb;\{\&lsqb;\frac{{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2+1}{{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2-1}+v_b\&rsqb;+\frac{E_b}{E_s}\&lsqb;\frac{{\left(\frac{B}{D_s}\right)}^2+1}{{\left(\frac{B}{D_s}\right)}^2-1}-v_s\&rsqb;\}}---\left(10\right)$

上式中，D_b1为轴承内圈的外径；B为轴承内圈的内径；D_s为齿轮轴的内径；E_b和E_s为轴承和齿轮轴材料的弹性模量；ν_b和ν_s为轴承和齿轮轴材料的泊松比；

若齿轮轴的内径为零，则u_i的计算公式为：

$u_i=\frac{2I_i\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}{\&lsqb;{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2-1\&rsqb;\{\&lsqb;\frac{{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2+1}{{\left(\frac{D_{b1}}{B}\right)}^2-1}+v_b\&rsqb;+\frac{E_b}{E_s}\&lsqb;1-v_s\&rsqb;\}}---\left(11\right)$

u_o的计算公式为：

$u_o=\frac{2I_o\left(\frac{D}{D_{b2}}\right)}{\&lsqb;{\left(\frac{D}{D_{b2}}\right)}^2-1\&rsqb;\{\&lsqb;\frac{{\left(\frac{D}{D_{b2}}\right)}^2+1}{{\left(\frac{D}{D_{b2}}\right)}^2-1}-v_b\&rsqb;+\frac{E_b}{E_h}\&lsqb;\frac{{\left(\frac{D_h}{D}\right)}^2+1}{{\left(\frac{D_h}{D}\right)}^2-1}+v_h\&rsqb;\}}---\left(12\right)$

上式中，D_b2为轴承外圈的内径；D为轴承外圈的外径；D_h为轴承座的外径；E_b和E_h为轴承和轴承座材料的弹性模量；ν_b和ν_h为轴承和轴承座材料的泊松比；

加入到轴承内部变形计算公式中，是指将式(9)得到的轴承内外圈径向变形量之和u_r加入到式(2)中，加入后的式(2)变更为下式：

$\begin{array}{c}{\mathrm{\&delta;}}_{j,k}=\&lsqb;{\mathrm{\&delta;}}_z+r_p({\mathrm{\&theta;}}_x{\mathrm{cos\&psi;}}_j+{\mathrm{\&theta;}}_y{\mathrm{sin\&psi;}}_j)+s_a\&rsqb;\sin \mathrm{\&alpha;}+(-{\mathrm{\&theta;}}_x{\mathrm{sin\&psi;}}_j+{\mathrm{\&theta;}}_y{\mathrm{cos\&psi;}}_j+u_r)\cos \mathrm{\&alpha;}\\ +\frac{t_k(-{\mathrm{\&theta;}}_x{\mathrm{cos\&psi;}}_j-{\mathrm{\&theta;}}_y{\mathrm{sin\&psi;}}_j)}{\cos (\mathrm{\&beta;}/2)}-\frac{2P\left(t_k\right)}{\cos (\mathrm{\&beta;}/2)}\end{array}.---\left(13\right)$

7.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤4)中，轴向拉力的计算公式为：

F_t＝E_sA(T_s-T)α_s (14)

上式中，F_t为等效轴向载荷；E_s为齿轮轴材料的弹性模量；A为轴段的截面积；T_s和T分别为齿轮轴的工作温度和环境温度；α_s为齿轮轴材料的线膨胀系数；

对于锥形齿轮轴，两端截面积不同时，取等效截面积A_x替代A，等效截面积A_x的计算公式为：

$A_x=(A_1+A_2+\sqrt{A_1{A}_2})/3---\left(15\right)$

上式中，A₁和A₂分别为锥形齿轮轴两端的截面积；

作用在齿轮轴的各轴段两端的节点上，是指将在轴段两端对应的节点处分别施加大小相等方向相反的轴向拉力，对于锥齿轮传动系统的刚度方程而言，表现为在外载荷向量中，在所施加拉力的节点的相应自由度位置，增加式(14)所计算出的拉力值作为外载荷，并根据拉力方向确定载荷的正负。

8.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤5)中，建立主减速器壳体的有限元模型，是指在通用有限元软件中建立可用于静力学和模态分析的主减速器壳体有限元模型，一般采用体单元进行建模；主减速器壳体与驱动桥的连接处作为固定端处理，在主减速器壳体有限元模型中约束固定端所有节点在各方向上位移为0；

各轴承安装位置所对应的节点，是指轴承与主减速器壳体安装时，主减速器壳体上与轴承外圈或内圈相接触的部位的所有节点；刚性连接是指将凝聚节点六方向的自由度与主减速器壳体有限元模型中相应位置节点各方向自由度进行耦合，使这些节点之间的相对位置始终保持不变，能够通过通用有限元软件中提供的刚性连接单元来实现；

Guyan缩减法的基本公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\&lsqb;K_h\&rsqb;=\left[\begin{array}{cc}{k}_{oo}& k_{oi}\\ k_{io}& k_{ii}\end{array}\right]\\ \&lsqb;k_h\&rsqb;=k_{oo}-k_{oi}{k}_{ii}^{-1}{k}_{io}\end{array}\right.---\left(16\right)$

上式中，[K_h]为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵；k为主减速器壳体有限元模型的整体刚度矩阵中的分块刚度矩阵，下标o表示凝聚节点所对应的自由度，下标i表示主减速器壳体有限元模型内部节点所对应的自由度；[k_h]为缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵；

将缩减后的主减速器壳体的刚度矩阵组集到锥齿轮传动系统的刚度矩阵中，是按照主减速器壳体凝聚节点与轴承单元节点的对应关系进行组集的。

9.如权利要求1所述的一种考虑多因素影响的锥齿轮错位量有限元计算方法，其特征在于：在所述步骤6)中，采用牛顿-拉普森方法迭代求解时，采用相邻两次迭代所得的节点位移向量之差的模小于给定小量作为收敛准则；

齿轮中心点的位移，即齿轮轴上齿轮中心点所对应节点的各方向位移；主、从动齿轮的错位量定义为两个齿轮轴的轴交错点在四个方向上的相对位移，即沿主动齿轮轴线方向上的相对位移△P、沿从动齿轮轴线方向上的相对位移△W、沿偏置距方向上的相对位移△E和沿轴交角方向上的相对角位移△Σ；所谓轴交错点，对于无偏置距的螺旋锥齿轮，是指两个齿轮轴轴线的交点；对于有偏置距的准双曲面齿轮，是指两个齿轮轴轴线的公垂线与两个轴线之间的交点；错位量的正方向定义为，当主动齿轮沿轴线方向远离从动轮轴线时△P为正，当从动齿轮沿轴线远离主动轮轴线时△W为正，当使偏置距增大时△E为正，当使轴交角增大时△Σ为正；若锥齿轮传动系统全局坐标系的定义为坐标原点定在主动齿轮轴线上的轴交错点，主动齿轮轴线方向为坐标轴x方向，从动齿轮轴线方向为坐标轴y方向，偏置距方向为坐标轴z方向，主动齿轮中心点为A点，从动齿轮中心点为B点，啮合参考点为P点，则此时，由主动齿轮中心点位移计算得到主动齿轮错位量的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;P}}^A={\mathrm{\&delta;}}_x^A\\ {\mathrm{\&Delta;W}}^A=-{\mathrm{\&delta;}}_y^A+\stackrel{\&OverBar;}{BP}{\mathrm{cos\&epsiv;sin\&theta;}}_z^A\\ {\mathrm{\&Delta;E}}^A=-{\mathrm{\&delta;}}_z^A-\stackrel{\&OverBar;}{BP}{\mathrm{cos\&epsiv;sin\&theta;}}_y^A\\ \mathrm{\&Delta;}{\&Sigma;}^A={\mathrm{\&delta;}}_z^A\end{array}\right.---\left(17\right)$

上式中，△P^A、△W^A、△E^A和△Σ^A分别为主动齿轮的四个错位量值；和分别为主动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为主动齿轮中心点绕y、z轴的角位移；为从动齿轮中心点到啮合参考点的距离；ε为从动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，ε为0；

由从动齿轮中心点位移计算得到从动齿轮错位量的公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{\mathrm{\&Delta;P}}^B=-{\mathrm{\&delta;}}_x^B-\stackrel{\&OverBar;}{AP}{\mathrm{cos\&eta;sin\&theta;}}_z^B\\ {\mathrm{\&Delta;W}}^B={\mathrm{\&delta;}}_y^B\\ {\mathrm{\&Delta;E}}^B={\mathrm{\&delta;}}_z^B-\stackrel{\&OverBar;}{AP}{\mathrm{cos\&eta;sin\&theta;}}_x^B\\ \mathrm{\&Delta;}{\&Sigma;}^B={\mathrm{\&theta;}}_z^B\end{array}\right.---\left(18\right)$

上式中，△P^B、△W^B、△E^B和△Σ^B分别为从动齿轮的四个错位量值；和分别为从动齿轮中心点在x、y、z方向上的位移；和分别为从动齿轮中心点绕x、z轴的角位移；为主动齿轮中心点到啮合参考点的距离；η为主动齿轮的偏置角，当锥齿轮副偏置距为0时，η为0；

齿轮副的综合错位量是通过主、从动齿轮的错位量计算得到，计算公式为：

$\left\{\begin{array}{c}\mathrm{\&Delta;}P={\mathrm{\&Delta;P}}^A+{\mathrm{\&Delta;P}}^B\\ \mathrm{\&Delta;}W={\mathrm{\&Delta;W}}^A+{\mathrm{\&Delta;W}}^B\\ \mathrm{\&Delta;}E={\mathrm{\&Delta;E}}^A+{\mathrm{\&Delta;E}}^B\\ \mathrm{\&Delta;}\mathrm{\&Sigma;}={\mathrm{\&Delta;\&Sigma;}}^A+{\mathrm{\&Delta;\&Sigma;}}^B\\ Mis=\max \left(\right|\mathrm{\&Delta;}E|,|\mathrm{\&Delta;}P{\mathrm{cos\&delta;}}_1-\mathrm{\&Delta;}W{\mathrm{cos\&delta;}}_2\left|\right)\end{array}\right.---\left(19\right)$

上式中，△P、△W、△E和△Σ为主、从动齿轮的合错位量的四个分量值；Mis为齿轮副的综合错位量；δ₁和δ₂分别为主动齿轮和从动齿轮的节锥角。