CN109492242B - 一种远距离极坐标约束有限元分析方法 - Google Patents

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Abstract

本发明公开了一种远距离极坐标约束有限元分析方法，是基于有限元理论建立球对平面有限元模型，并对目标进行了远距离极坐标约束，同时与Hertz接触理论进行了对比。结果表明随着极坐标系远离被约束模型，所得到的解与理论解越来越接近，当约束坐标系和被约束模型远到一定程度时，结果几乎完全一样。这为该方法推广到轴承有限元求解上提供了一个很好的思路，尤其是为带有游隙的轴承有限元分析提供了一个能够求解且能快速收敛的方法。

Description

一种远距离极坐标约束有限元分析方法
技术领域
本发明涉及有限元分析方法，主要是一种远距离极坐标约束有限元分析方法。
背景技术
在静态分析中，开始不连接在一起的两个(或多个)物体(如图1)，在建立接触前，会产生刚体运动。如果在求解过程中的任一时刻，两物体没有联系，刚度矩阵就会奇异，有限元分析将产生出负主元，最终导致求解无法进行。要想克服以上问题所带来的刚体位移，以往常常利用以下几种方法：
a.在恰好碰上的位置上建立几何模型。但对于解决位置不确定或表面是曲面及不规则的面，这样求解仍然很难进行下去；另外由于有限元网格修整，仍不可避免存在间隙和小侵入，这样同样会带来求解难以进行下去。
b.动力学，在动力学分析中，惯性作用可以阻止刚体运动，克服刚体运动的一种选择是动态求解。这需要加上质量和阻尼使求解从静态转化为动态，但要缓冲掉不想要的动态影响不总是那么容易，另外这种方法求解效率也比较慢。
c.位移控制，该方法利用三个载荷步：载荷步1，用一个小位移使物体进入初始接触状态；载荷步2，从位移控制转换到力控制，删除强加的位移，加上反作用力，用一个子步求解；载荷步3，继续进行求解加载。但对于复杂加载，要施加哪个位移约束并不是那么明显。因此给求解带来了困难。
d.软弹簧，该方法用接地软弹簧来求解刚体运动，与系统刚度相比弹簧刚度应该小到可以被忽略，以确保对求解不会产生影响，但这需要反复的实验，对于复杂问题求解仍然有很大的困难。
发明内容
本发明的目的在于克服现有技术存在的不足，而提供一种远距离极坐标约束有限元分析方法,能够在不影响精度的情况下，实现球对平面(或类似结构)非接触的快速求解。尤其对于求解带有游隙的轴承保证求解精度的情况下，快速求解极其有帮助。
本发明的目的是通过如下技术方案来完成的。这种远距离极坐标约束有限元分析方法，该方法是基于有限元原理，建立球对平面或轴承模型，同时建立远距离极坐标系，并将球或轴承滚动体约束在极坐标系上(1)，通过对球或者轴承滚动体的约束，提高求解的收敛性；在外部边界条件作用下，不断调整远距离坐标系的距离(2)，而求解精度随着坐标系远离球或轴承滚动体的过程中求解精度将会不断地提高，使求解精度变的可控。
更进一步的，远距离坐标约束的方法：为每个滚动体建立一个局部坐标系坐标系位置为沿滚动体中心到坐标原点的射线上，调节局部坐标位置并逐渐远离滚动体中心，随着局部坐标系距对应滚动体距离的增大，内圈与滚动体接触力逐渐趋近外圈与滚动体接触力，最终内外圈与滚动体接触力几乎相等；通过合理调节局部坐标距滚动体中心的距离能够提高求解精度，并能够保证求解的收敛性。
如图1所示，R为球体半径，λ为球体与接触平台的间隙，D为球心O1距局部坐标系原点O的距离，α为点N1与原点O的连线与极坐标轴X的夹角，β为N2与原点O的连线与极坐标轴X的夹角，F为施加到球体上的外力。边界条件：(1)将整个球体(或球体上任一两点)周向约束于局部极坐标系，则α和β值将保持不变；(2)将平台两端施加全约束；(3)球体上施加如图1所示的力F。通过改变距离D(可以通过改变局部坐标系的位置)，则接触平台的法向接触的合力F1将逐渐变大，最终和力F趋于相同，而球体和平面的接触力也逐渐和理论解相同。
结果表明该方法不仅能够有效的求得精确的解，而且能够使收敛速率大大的提高。
由于滚动轴承主要由内、外圈及滚动体组成，未受力前难免部分滚动体处于不完全约束状态。受力过程中部分滚动体逐渐与内外圈接触并最终产生接触力，最后仍不可避免一部分滚动体仍处于不完全约束状态，这为有限元求解带来了一定的困难。许多相关文献的作者往往引入一些附加的约束以提高收敛性及收敛速度，但这却牺牲了求解的精度甚至正确性。针对这个难题本文提出远距离极坐标约束方法。首先基于有限元软件建立远距离坐标系及球对平面有限元模型，并对目标进行了远距离极坐标约束，同时与Hertz接触理论进行了对比。通过这种方法来证明远距离坐标系约束求解的精度和准确性。然后建立球轴承有限元模型运用远距离坐标约束方法与理论求解接触力进行对比。最后得出远距离极坐标约束法的有效性。
本发明的有益效果为：该方法基于有限元软件建立球对平面有限元模型，并对目标进行了远距离极坐标约束，同时与Hertz接触理论进行了对比。结果表明随着约束坐标系远离被约束模型，与理论解越来越接近，当约束坐标系和被约束模型远到一定程度时，结果几乎完全一样。这为该方法推广到轴承有限元求解上提供了一个很好的思路，尤其是为带有游隙的轴承有限元分析提供了一个能够且能快速收敛的方法。
(1)提高了求解精度，并使求解精度可控。
(2)提高了求解速度。
(3)提供了带有间隙物体接触的静应力的求解方法。
附图说明
图1为带有间隙的球对平面静态分析模型；
图2为极坐标约束示意图；
图3为轴承有限元分析爆炸图；
图4为有游隙时轴承受力示意图；
图5为轴承的受力分析图；
图6为单个滚动体的受力分析图；
图7为轴承滚动体与内外圈接触力；
图8局部坐标系建立的示意图；
图9为滚动体与内圈环向接触应力随距离的变化；
图10为滚动体与外圈环向接触应力随距离的变化；
图11为滚动体分别与内圈和外圈接触力随距离的变化。
具体实施方式
下面将结合附图对本发明做详细的介绍：
采用远距离坐标约束在轴承上的应用原理及求解结果
1有限元模型的建立
所求解的模型为NJP3226轴承，其中该圆柱滚子轴承的结构参数为：
表3-1单个轴承尺寸示意图
Figure BDA0001783603590000031
图1为有限元模型，轴承材料采用GCr15，额定工作载荷为30kN，其弹性模量为200GPa，松比为0.3。约束方法：
1)内圈内表面全约束；
2)滚动体周向约束于局部坐标系上；
3)外圈外表面受余弦分布载荷p(θ)＝2.63cos[1.087(θ-90)](7.2°≤θ≤172.8°)
Fr＝∫∫p(θ)cos(θ)rdθdx＝B∫p(θ)cos(θ)rdθ (3-1)
2滚子无周向约束
2.1有游隙时
用有限元进行圆柱滚子轴承建模时，由于保持架作用力比较小，而且保持架建模比较复杂。且往往忽略保持架的作用，实际情况是，内圈固定，外圈加外部载荷，但由于轴承受力，接触区会产生一定的变形，进而导致非承载区滚动体出现一定的间隙，使部分滚动体处于无约束状态，这样往往会导致计算无法收敛。
特别是当滚动体与内外圈间有游隙时，假设内圈固定外圈受外部载荷，滚动体与外圈间有游隙时，则外圈处于不静定状态，计算往往不能够收敛；假设滚动体与内圈间有游隙时，则外载荷作用于外圈，外圈将力传递到滚动体上，此时滚动体处于不静定状态，计算时往往也不能够收敛。
2.2无游隙时
如图所示为滚子受力示意图假设计算能够收敛，即滚动体能够满足平衡条件。
由力的平衡得滚子与外圈接触力：
Qeq＝Qiqcosθ+Ff2sinθ (3-2)
式中Qiq为滚子与内圈的接触力；Ff2为滚子与内圈的摩擦力。
滚子与外圈的摩擦力：
Ff1＝Qiqsinθ+Ff2cosθ (3-3)
Ff1＝fQeq (3-4)
滚子与内圈的摩擦力：
Ff2＝fQiq (3-5)
式中f为摩擦系数
由上可得
Qeq＝Qiqcosθ+fQiqsinθ (3-6)
Qeq＝Qiqcosθ-Qiqsinθ/f (3-7)
两式相减得到
Qiqsinθ(f2+1)＝0 (3-8)
其中Qiq≠0，f2+1≠0，sinθ≠0因此假设不成立，即滚动体不能够满足平衡条件。
这是在很多有限元数值计算中，没有保持架的圆柱滚子轴承很难收敛的原因。而在很多计算中习惯将圆柱滚子约束到轴承几何中心上，下一节将进行讨论。
3滚子有周向约束
3.1将滚子约束到几何中心上
在很多计算中习惯将滚动体周向约束于几何中心上，之所以这样约束的原因是很多作者认为：1，将滚子约束到几何中心上这样可以减少计算资源，加快求解速度。2，省略了轴承的保持架，而保持架的作用就是保持滚动体之间的距离，防止滚动体产生滑动，为达到同样的效果，可以在圆柱坐标系下，约束滚动体节点的切向UY。但这种约束方法本身存在一定的缺陷，因为外力作用于外圈时，力将会通过外圈将力传递到滚动体上，而滚动体在力的作用下将沿着节点初始位置向坐标原点直线运动，但由于滚子，而这样与滚子真实的结果会有很大不同。对于真实结果，根据力的平衡可知，滚子与内圈接触力应等于滚子与外圈接触力，即Qiq＝Qeq。
但经有限元计算发现，滚子与内圈接触力并不等于滚子与外圈接触力，如图3-5所示。滚子与内圈接触力小于与外圈与滚动体约束力。因此这种约束明显带着一定的缺陷。
3.2采用远距离坐标约束
方法：为每个滚动体建立一个局部坐标系坐标系位置为沿滚动体中心到坐标原点的射线上，调节局部坐标位置并逐渐远离滚动体中心，可得到这样的结果：由图8可知，当局部坐标系在滚子中心时，内圈环向没有应力的作用，而当局部坐标距离逐渐远离整体坐标系中心时，内圈所受Von mises应力逐渐增大，以致于最后该应力趋近于确定值。同时图9可知外圈与滚动体的Von mises应力不随局部坐标系距离的远离而变化。分析原因可能是由于力直接作用于外圈，外圈并没有受到一定的约束干扰，因此外圈受力不会因为局部坐标距几何中心距离的变化而变化。而图10可知内圈与滚动体的接触力随局部坐标系距离的远离而增大以至于最后达到和外圈与滚动体接触力相等，这一点和理论公认的内圈与滚动体接触力和外圈与滚动体接触力相等一致。因此合理调节局部坐标距滚动体中心的距离能够提高求解精度，并能够保证求解的收敛性。
图11从分析结果上可以看出，随着局部坐标系距对应滚动体距离的增大，内圈与滚动体接触力逐渐趋近外圈与滚动体接触力，最终内外圈与滚动体接触力几乎相等，而过去一些学者将滚动体周向约束带来内外圈接触力不相等的结果有很大程度的改善。说明这种方法具有一定的优越性。
可以理解的是，对本领域技术人员来说，对本发明的技术方案及发明构思加以等同替换或改变都应属于本发明所附的权利要求的保护范围。

Claims (1)

1.一种远距离极坐标约束有限元分析方法，其特征在于：该方法是基于有限元原理，建立球对平面或轴承模型，同时建立远距离极坐标系，并将球或轴承滚动体约束在极坐标系上，通过对球或者轴承滚动体的约束，提高求解的收敛性；在外部边界条件作用下，不断调整远距离坐标系的距离，而求解精度随着坐标系远离球或轴承滚动体的过程中求解精度将会不断地提高；
远距离坐标约束的方法：为每个滚动体建立一个局部坐标系坐标系位置为沿滚动体中心到坐标原点的射线上，调节局部坐标位置并逐渐远离滚动体中心，随着局部坐标系距对应滚动体距离的增大，内圈与滚动体接触力逐渐趋近外圈与滚动体接触力，最终内外圈与滚动体接触力几乎相等；通过合理调节局部坐标距滚动体中心的距离能够提高求解精度，并能够保证求解的收敛性。
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