JP5656193B2 - 波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置 - Google Patents

Description

本発明は、モータの出力回転を波動歯車装置によって減速して負荷軸から出力するように構成されているアクチュエータの位置決め装置に関する。さらに詳しくは、波動歯車装置の非線形特性に起因する負荷軸の位置制御性能の劣化に対するロバストな制御系を構築するために、スライディングモード制御により当該非線形特性を補償するようにした波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置に関する。

図１に示すように、典型的な波動歯車装置は、剛体リング状でリング内周に歯を刻んだサーキュラスプラインＣＳ（以下、「ＣＳ」と呼ぶ場合もある。）、薄肉カップ状の部品でカップ開口部外周に歯を刻んだフレクスプラインＦＳ（以下、「ＦＳ」と呼ぶ場合もある。）、楕円形状のカムで波動発生器であるウェーブ・ジェネレータＷＧ（以下、「ＷＧ」と呼ぶ場合もある。）と呼ばれる３つの基本部品のみで構成されている（非特許文献１）。ＦＳは柔軟な金属を用いており、ＷＧの回転にともなってＦＳが弾性変形し、ＣＳとの間の噛み合い位置が移動することで動力を伝達する特殊な減速機である。波動歯車装置は、高減速比、高トルク、ノンバックラッシなどの特長をもつことから、産業用ロボット等に多用されている。

波動歯車装置は、金属の弾性変形を利用しているので、フレクスプラインＦＳがヒステリシスを有する非線形なばねとして振る舞い、位置決め応答性能に大きく影響を与える（非特許文献２）。さらに、歯車の加工誤差および組み付け誤差に起因し、各構成部品の相対回転に同期して角度伝達誤差を生じ、出力軸の定常偏差や過渡中の振動を発生させる（非特許文献３）。他にも、装置接触部分に生ずる非線形摩擦に対する補償の必要性も指摘されている（非特許文献４）。

非線形要素に関する課題に対しては、厳密な線形化に基づく非線形ＦＦ補償が提案されている（非特許文献５、特許文献１）。その手法は、状態方程式を非線形特性を含んだ方程式に拡張し、線形化フィードバック及び入力変換を施すことで、非線形状態方程式を近似ではなく、厳密に線形化する手法である。しかしながら、モデルベースを前提としたＦＦ補償法であるため、モデル化誤差が補償精度に直接影響を与えるという問題がある。なお、本発明の関連技術として非特許文献６〜１１がある。

特開２００９−１８７４０４号公報

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本発明の課題は、上記の点に鑑みて、スライディングモード制御により波動歯車装置の非線形特性補償を行うことのできる波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置を提案することにある。

本発明の位置決め装置では、スライディングモード制御により非線形特性を補償するために、波動歯車装置が有する非線形特性として、摩擦特性、非線形ばね要素、角度伝達誤差相対回転同期成分のモデル化を行い、これに基づきスライディングモード制御系の設計を行っている。また、静止摩擦力に起因したスティックスリップ現象が現れる場合には、これに対する補償を行うようにしている。

本発明による位置決め装置によれば、従来のＰ−ＰＩ制御系と比較して、整定時間の向上および負荷軸の滑らかな応答を実現できることが確認された。したがって、本発明によれば、波動歯車装置が有する非線形特性に起因する制御性能劣化に対して、ロバスト制御系を構築することができる。

典型的な波動歯車装置の構成要素を示す説明図である。 実験装置（制御対象のアクチュエータ）の構成例を示す説明図である。 摩擦特性の測定結果およびモデル化結果を示すグラフである。 非線形ばね特性の測定結果およびモデル化結果を示すグラフである。 相対回転同期成分の測定結果およびモデル化結果を示すグラフである。 本発明によるスライディングモード制御系を用いた位置決め装置のブロック線図である。 制御対象のアクチュエータを表す２慣性系モデルを示すブロック線図である。 本発明のスライディング制御系によって位置決めを行った場合の応答例を示すグラフである。 本発明のスライディングモード制御系とＰ−ＰＩ制御系の位置決め応答の比較結果を示すグラフである。

［１．実験装置の概要］
まず、図２は本発明の制御対象となる実験装置の概略構成例を示す説明図であり、その諸元を表１に示してある。本発明では、モータ１に波動歯車装置２を減速機として含むアクチュエータ３を制御対象としている。波動歯車装置２の出力端側の負荷軸４には負荷円盤５および負荷軸エンコーダ６を付加し、モータ軸７に取り付けられているモータ軸エンコーダ８からのモータ軸角度情報および負荷軸エンコーダ６からの負荷軸角度情報をフィードバックして負荷軸４の制御を行うフルクローズドループ制御系を構成している。なお、負荷軸４と負荷軸エンコーダ６の間を十分に剛性の高いカップリング９で締結して軸ねじれ振動を防止している。

＜表１：実験装置諸元＞

［２．波動歯車装置における非線形特性のモデリング］
波動歯車装置の非線形特性である、摩擦、非線形ばね要素、角度伝達誤差のモデル化を行う。

（２．１）摩擦特性のモデル化
本モデリングでは、摩擦特性を動作静止時に動作再開を妨げる静止摩擦、回転方向に一定の摩擦を生ずるクーロン摩擦、速度依存性を有する粘性摩擦に分類する。ここでは、一定速度試験を行うことで測定およびモデル化する。図３に摩擦特性の測定結果およびモデル化結果を示す。摩擦特性モデルτ_ｆｒｉｃは数式（１）のクーロン摩擦力と粘性摩擦力との和で表す。

ここで、τ_ｃ：クーロン摩擦係数
Ｄ：粘性摩擦係数
ω_ｍ：モータ軸速度
なお、静止摩擦力はモータ軸静止時に徐々に電流指令値を増加させ、モータが回転した際の電流指令値により同定した。

（２．２）非線形ばね要素のモデリング
ＦＳは柔軟な金属を用いているため、位置決め応答中にヒステリシスを有する非線形なばね特性として振る舞い、制御性能を劣化させる。本特性を測定するために、モータ軸をサーボロックし、負荷端に一定トルクを印加することで、整定時のねじれ角度θ_ｔｗを測定する。ここで、ねじれ角度θ_ｔｗを数式（２）で表す。

図４の実線でばね特性の測定結果を示す。この図から、ヒステリシス特性を有した非線形な特性が確認できる。後述するスライディングモード制御系では、本特性の概形を再現できるモデルを必要とせず、ばね定数のモデル化誤差として扱う。そこで、図４に示す実験装置測定結果に対して、点線で示すノミナルモデルと、破線で示すモデル化誤差が最大になるモータ軸と負荷軸の間が大きくねじれた際のばねモデルＫ_{ｇ＿ｍａｘ}とで本特性を表す。

（２．３）角度伝達誤差のモデル化
角度伝達誤差θ_ＴＥは、モータ軸角度θ_ｍから計算される負荷軸角度と実際の負荷軸角度θ_ｌとの差であり、次の数式（３）で表す。

波動歯車装置は歯車の累積ピッチ誤差や構成部品の組み付け誤差に起因し、構成部品の相対回転に同期して角度伝達誤差（以下、これを「相対回転同期成分θ_ｓｙｎｃ」と呼ぶ。）を生ずる（非特許文献６参照）。本制御対象の場合、ＣＳは固定されていることから、本成分はモータ軸角度θ_ｍ、負荷軸角度θ_ｌ、ＦＳ−ＷＧ間の相対回転に同期する成分に分類でき、これらの正弦波を合成することで相対回転同期成分を表す。

本成分については、微小送り角度の位置決めを負荷軸一周分行った時の、定常角度伝達誤差を測定した後に、時間領域を角度領域に置き換えたフーリエ変換を行うことで、各成分の整数倍高調波の振幅Ａ_ｋおよび移送φ_ｋを求め、モデル化する。

図５に相対回転同期成分測定結果およびモデル化結果を示す。図上段に、微小送り角度の位置決めを行った際のモータ軸３周期分の角度伝達誤差測定結果およびモデル化結果を示す。図下段に、上段の測定結果をスペクトル解析した結果およびモデル化結果を示す。図の縦軸は角度伝達誤差であり、１ｄｅｇを３６００分割したａｒｃ−ｓｅｃで示す。なお、本成分は、モータ軸の回転に同期する成分が多くを占めていることから、モデル化にはモータ軸同期成分の高調波成分のみを用いて次の数式（４）で表せるものとする。

このとき、ねじれ角度θ_ｔｗを次の数式（５）で表す。

［３．スライディングモード制御系の設計］
スライディングモード制御は、可変構造制御の一つであり、所望の特性を切換面として設計することで、全状態量が希望の特性に拘束される結果、非線形特性や不確かな系に対してロバストな制御系を構築できる（非特許文献７参照）。

図６に、スライディングモード制御系を用いた位置決め装置のブロック線図を示す。本発明では位置決めを目的とするため、１型のサーボ系を構築して負荷軸位置を制御する。ここで、モータ軸速度ω_ｍおよび負荷軸速度ω_ｌは、各軸のエンコーダから計算される速度を用いる。位置決め装置では、減算器において位置指令θ_ｌ ^＊と負荷軸のフィードバック値θ_ｌの偏差ｅを算出し、偏差ｅを積分器で積分して積分値ζを算出し、加算器を介して制御対象を表す状態変数ｘを生成してスライディングモード制御器に入力している。スライディングモード制御器では、位置指令θ_ｌ ^＊と状態変数ｘを入力とし、制御対象（Ｐｌａｎｔ）であるアクチュエータに対する制御入力ｕを生成する。

制御対象（Ｐｌａｎｔ）は、図７に示すように、モータ、ばね、負荷からなる２慣性モデルで表される。図中の各符号の意味は次の通りである。
Ｊ_ｍ：モータ軸慣性
Ｄ_ｍ：モータ軸粘性摩擦係数
Ｎ：減速比
Ｋ_ｇ：ばね特性
Ｄ_ｇ：ギア粘性摩擦係数
Ｊ_ｌ：負荷軸慣性
Ｄ_ｌ：負荷軸粘性摩擦係数
Ｋ_ｔ：トルク定数

図７より、本システムの状態方程式は次の数式（６）で表される。

本発明では、以下の手順に従ってスライディングモード制御系を設計する。
（１）切換面の設計
（２）スライディングモード制御系の設計
（３）チャタリング抑制項の設定

（３．１）切換面の設計
切換面はシステムのダイナミクスを決定するものであり、その設計は基本的に線形制御理論を適用できる（非特許文献８参照）。本発明では、システムの零点を利用するために、数式（７）に示すリカッチ方程式より導出される行列Ｐを用い、数式（８）で示す行列（設計変数）Ｓを決定する。

であり、εおよび行列Ｑは重み係数であり、今回は遺伝的アルゴリズムを用いて対角行列の重み行列Ｑを用いた次の数式（９）に示す評価関数Ｊを最小とする値を用いる。

上式で、Ｔ_ｓｅｔは整定時間を示し、α_{ｅｒｒｏｒ}は負荷軸角度指令θ_ｌ ^＊と負荷軸角度θ_ｌとの誤差面積を示す。Ｔ_ｈｙｓは過渡応答時間である。例えば、負荷軸角度指令の加速度を４０５０ｄｅｇ／ｓ２とした時の整定時間により、１０００ｓａｍｐｌｅとした。以上より、重み行列Ｑおよび重み係数εは次の数式（１０）、（１１）の値を設定する。

（３．２）スライディングモード制御系の設計
上記のように設定した切換面に状態量を常に拘束させるため、スライディングモード制御系を最終スライディングモード制御法で設計する。最終スライディングモード制御法では、システムの状態が任意な初期値から出発し、スライディングモード領域Ｓ_０に至るまでスライディングモードを発生させず、Ｓ_０領域に到達した後にスライディングモードへと移行させる（非特許文献８参照）。制御入力ｕは、線形状態フィードバック制御項ｕ_ｌと非線形制御入力項ｕ_ｎｌの和であり、次の数式（１２）で表すことができる。

数式（１２）の右辺第２項のｋは切換ゲインである。ばねモデルＫ_ｇのモデル化誤差が最大となる時、すなわち、ばね定数をＫ_{ｇ＿ｍａｘ}とした時のＡ行列をＡ_ｇとおき、モータ軸および負荷軸のクーロン摩擦力τ_ｍ（ω_ｍ）、τ_ｌ（ω_ｌ）と相対回転同期成分を起因とした最大反力トルクＫ_{ｇ＿ｍａｘ}・θ_{Ｓｙｎｃ＿ｍａｘ}を外乱項とおけば、ｋは次の数式（１３）で表すことができる（非特許文献９参照）。

例えば、数式（１３）を満足する値としてｋ＝１８００と設定した。

（３．３）チャタリング抑制項の設定
上記の非線形制御入力ｕ_ｌの切換周波数は無限としているため、状態量が切換面の近傍で高周波振動（チャタリング）する（非特許文献７、８参照）。そこで、次の数式（１４）で示すような非線形制御入力を生成することで、チャタリングを抑制して入力を平滑化する。

数式（１４）に示すチャタリング抑制項ηの値は以下のように決定する。

（３．４）静止摩擦を考慮した非線形制御入力項の構築
図８には、今まで説明したスライディングモード制御系によってモータ軸の５回転分の位置決めを行った応答例を示してある。なお、チャタリング抑制項ηは、非線形要素の影響やばね特性のモデル化誤差が大きくなる過渡中で、チャタリングを発生させない値に設定した。図８の上段はモータ軸応答、下段の実線は制御入力ｕ、破線は線形制御入力ｕ_ｌ、点線は非線形制御入力ｕ_ｎｌをそれぞれ示す。図８下段の水平一点鎖線は±０．０７Ａ、垂直点線は０．４８０５ｓを示す。

ここで、図８の０．４８０５ｓの時点で、電流指令値が±０．０７Ａに達した直後にモータ軸が動作方向反転を繰り返すスティックスリップ現象を生じている（非特許文献１０、１１参照）。その理由としては、設定したチャタリング抑制項ηは、ばね特性のモデル化誤差や角度伝達誤差の影響が大きな過渡中にチャタリングを生じない値に設定したため、位置決め目標角度付近で、静止摩擦に対する補償が困難であると考えられる。

そこで、数式（１５）に示すように、ねじれ角度を用いてチャタリング抑制項の値を変更することで、ばね特性のモデル化誤差の影響が大きくなる過渡中でチャタリング抑制項ηを大きくし、非線形摩擦の影響が大きい目標角度整定時にはチャタリング抑制項ηを小さくすることで、非線形特性補償を行う。

θ_{ｔｗ＿ｍａｘ}は最大ねじれ角度であり、モータ軸をサーボロックし、負荷軸に最大トルクを印加した際のねじれ角度として、６００ａｒｃ−ｓｅｃとした。一方、η_{ｏｆｆｓｅｔ}はチャタリング抑制定常項であり、モータ軸静止時に積分器の蓄積よりも早く動作再開させるために、次の数式（１６）に示す条件下でその値を決定した。

θ_{ｓｔａｔｉｃ}およびＩ_{ｓｔａｔｉｃ}は動作静止時の負荷軸角度と静止摩擦力であり、θ_{ｓｔａｔｉｃ}はスティックスリップ現象発生時における、動作静止時の負荷軸角度である０．０１３９ｌｏａｄ ｄｅｇとし、Ｉ_{ｓｔａｔｉｃ}は０．０７Ａと与えた。Ｔ_ｍｏｖｅは動作再開時間であり、小さすぎるとチャタリングを発生しやすく、大きすぎると動作再開が遅れる。今回は積分器よりも早く動作再開できるように、２０ｓａｍｐｌｅとした。以上より、η_{ｏｆｆｓｅｔ}を１．７２とした。なお、η_νは過渡中でチャタリングを生じない値として、η_{ｏｆｆｓｅｔ}の２０倍の値に決定した。

［４．実機実験による本発明制御系の有効性検証］
本発明の制御系の有効性を比較検証するために、Ｐ−ＰＩ制御系を別途構築し、送り角度３６ｌｏａｄ ｄｅｇの連続一方向位置決め動作（送り回数２４０回、インターバル２ｓ）を行った。なお、Ｐ−ＰＩ制御系には静止摩擦補償として、Ｂａｎｇ−Ｂａｎｇ補償を静止摩擦として用いた。

図９の１段目と２段目に目標角度付近のモータ軸応答および負荷軸応答を、３段目と４段目にモータ軸および負荷軸加速度応答を、５段目に整定範囲±０．００４５ ｌｏａｄ ｄｅｇへの整定時間分布をそれぞれ示す。図９の左側にＰ−ＰＩ制御系適用時の応答を示し、右側に本発明制御系適用時の応答を示す。図９の５段目は、実線でＰ−ＰＩ制御系の分布を示し、破線で本発明制御系による場合の分布を示し、垂直点線で平均値を示す。表２に整定時間平均値μと標準偏差σを３倍したものを示す。

＜表２：動特性補償効果の比較結果＞

図９における１段目および２段目より、本発明制御系はＰ−ＰＩ制御系に比べて高精度に目標角度に収束していることが分かる。同図５段目から、本発明制御系では整定時間平均値が向上し、ばらつきの少ない応答であることが分かる。また、表２より、平均時間で８８％に短縮し、標準偏差の３倍で約３４％に圧縮できていることが分かる。さらに、図９における３段目および４段目より、Ｐ−ＰＩ制御系は過渡中で、非線形要素の影響によりモータ軸および負荷軸に振動が見られるが、本発明制御系では、モータ側で非線形特性に対する補償を行う結果、負荷軸の滑らかな応答が得られていることが分かる。以上から、本発明制御系の有効性が確認できた。

以上説明したように、本発明では、波動歯車装置が有する非線形特性に起因する制御性能劣化に対して、ロバスト制御系の構築をめざし、スライディングモード制御による非線形特性補償を行う位置決め装置を提案した。本発明の位置決め装置の制御系では、波動歯車装置が有する非線形特性として、摩擦特性、非線形ばね要素、角度伝達誤差相対回転同期成分のモデル化を行った後、スライディングモード制御系の設計を行った。静止摩擦力に起因したスティックスリップ現象が見られることから、これに対する補償法を提案した。そして、本発明の制御系についてフルクローズドループ位置決め実験を行ったところ、Ｐ−ＰＩ制御系と比較して、整定時間の向上および負荷軸の滑らかな応答が得られることが確認された。

１ モータ
２ 波動歯車装置
３ アクチュエータ
４ 負荷軸
６ 負荷軸エンコーダ
７ モータ軸
８ モータ軸エンコーダ
ＣＳ サーキュラスプライン
ＦＳ フレクスプライン
ＷＧ ウェーブ・ジェネレータ

Claims (4)

1. モータの回転を波動歯車装置によって減速して負荷軸から出力するアクチュエータにおける前記負荷軸の角度位置のフィードバック値θ_ｌとモータのモータ軸の角度位置のフィードバック値θ_ｍに基づき、負荷軸の角度位置が位置指令θ_ｌ ^＊による角度位置となるようにモータを駆動制御する波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置において、
   位置指令θ_ｌ ^＊および制御対象のアクチュエータを表す状態変数ｘを入力とし、モータに対する制御入力ｕを生成して出力するスライディングモード制御器を有しており、
   制御対象のアクチュエータは、モータ、ばね、負荷からなる２慣性系モデルと見做して、数式（Ａ）で表される状態方程式で規定されており、
   ω_ｌ：負荷軸速度
   ω_ｍ：モータ軸速度
   Ｊ_ｍ：モータ軸慣性
   Ｄ_ｍ：モータイ軸粘性摩擦係数
   Ｎ：波動歯車装置の減速比
   Ｋ_ｇ：ばね特性
   Ｄ_ｇ：歯車粘性摩擦係数
   Ｊ_ｌ：負荷軸慣性
   Ｄ_ｌ：負荷軸粘性摩擦係数
   Ｋ_ｔ：トルク定数
   スライディングモード制御器における切換面は、数式（Ｂ）で規定するリカッチ方程式により導出される行列Ｐを用いて、数式（Ｃ）で表される行列（設計変数）Ｓで規定されており、
   
   ε：重み係数
   Ｑ：重み行列
   スライディングモード制御器は、σを切換関数、ｋを切換ゲインとして、数式（Ｄ）で規定される制御則に従って、線形状態フィードバック制御項ｕ_ｌと非線形制御入力項ｕ_ｎｌの和である前記制御入力ｕを生成することを特徴とする波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置。
   
2. 請求項１において、
   非線形制御入力項ｕ_ｎｌは、ηをチャタリング抑制項として、数式（Ｅ）で規定されることを特徴とする波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置。
   
3. 請求項１において、
   非線形制御入力項ｕ_ｎｌは、ねじれ角度θ_ｔｗの関数であるチャタリング抑制項η（θ_ｔｗ）を用いて、数式（Ｆ）で規定されることを特徴とする波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置。
   
4. 請求項３において、
   チャタリング抑制項η（θ_ｔｗ）は、η_νを定数、θ_{ｔｗ＿ｍａｘ}を最大ねじれ角度、η_{ｏｆｆｓｅｔ}をチャタリング抑制定常項として、数式（Ｇ）で規定され、
   
   チャタリング抑制定常項η_{ｏｆｆｓｅｔ}は、θ_{ｓｔａｔｉｃ}を動作静止時の負荷軸角度、Ｉ_{ｓｔａｔｉｃ}を動作静止時の静止摩擦力に対応する電流値、Ｔ_ｍｏｖｅを動作再開時間として、数式（Ｈ）で規定されることを特徴とする波動歯車装置を備えたアクチュエータの位置決め装置。