CN110968918B - 一种考虑基节误差自由修形螺旋齿轮承载接触分析方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种考虑基节误差自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析方法，根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理进行自由Ease‑off曲面设计，并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面；根据TCA技术计算单个齿从啮入至啮出接触位置齿面初始间隙，将同时啮合齿对的相对基节误差叠加到这些齿对的初始间隙，即完成了啮合周期内某啮合位置LTCA方法的输入数据处理，再通过LTCA计算提取一个啮合周期相应位置的承载变形及不同齿对的接触位置载荷，由于基节误差不等，单个齿的不同啮合位置载荷需要经过多次循环计算获得。最后应用机器学习法(EML)回归拟合任意随机误差下具体工况承载变形的预算，为高性能齿面动力学分析提供更科学的理论依据方法。

Description

一种考虑基节误差自由修形螺旋齿轮承载接触分析方法

技术领域

本发明涉及齿轮传动技术领域，具体涉及一种考虑基节误差的自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析方法及承载变形(啮合刚度)的预测。

背景技术

齿轮承载接触分析(LTCA)技术是对重载下轮齿啮合过程进行数值仿真的一种重要分析方法，是联接几何设计与力学分析的一座桥梁，在各类齿轮的研究中起了相当关键的作用，LTCA仿真获得的齿面静态载荷分布及承载变形是衡量齿面啮合性能的主要指标。随着螺旋锥齿轮向高速、重载方向的发展，强度和振动噪声已成为影响产品质量的瓶颈，产生振动的主要原因是啮合刚度的时变性和啮合综合误差等，正确地描述系统的啮合刚度和啮合误差是进行动力学分析的前提。轮齿的啮合刚度可表示为轮齿所承受的载荷与轮齿间的弹性变形之比，因此，刚度的准确计算实际是轮齿间的弹性变形准确性的计算。石川法、Weber-Banascheck及ISO公式法，这些经验公式更多地运用在直齿轮和斜齿轮的啮合刚度的计算。螺旋锥齿轮在齿长方向上齿厚是变化的，经验公式计算的刚度误差就比较大；由于齿面几何的复杂性，普通的解析法的计算也比较困难，因此，多借助商业有限元软件进行加载接触分析获得啮合刚度，但很难用该方法建模出复杂的齿面几何，特别是修形齿面，且计算效率和精度较低，不适于工程应用。目前，基于数值法的LTCA技术将轮齿TCA方法与有限元法结合起来可以准确获得轮齿间的法向弹性变形，然而该模型假定了轮齿的几何特性和力学特性都是按齿重复的,即初始齿间间隙是按齿重复的，忽略了齿距误差或基节误差影响。实际应用中，齿形误差、安装误差、齿距偏差不可避免，齿形误差可以体现在齿面自由修形中，其与安装误差导致齿面初始接触间隙变化可通过TCA分析获得；然而，齿距偏差是按齿不重复，导致同时参与啮合的轮齿的初始间隙随齿的啮入不再重复变化，因此，需要提出一种计及齿距偏差的修形螺旋锥齿轮LTCA方法，并回根据随机误差快速预测具体工况的轮齿啮合变形，以便更精确的分析系统的动态性能，并为考虑基节误差的齿面自由修形优化奠定理论基础。

发明内容

本发明的目的是为了克服上述现有技术存在的不足，提出一种考虑基节误差的自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析方法，以期待在随机基节偏差下，自由修形螺旋锥齿轮的时变啮合刚度的有效快速计算，为高性能齿面的动态设计、分析提供理论基础。

一种考虑基节误差的自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析方法，包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达。小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数。将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换转化到小轮齿面坐标系中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀分别为：

r₁₀(u,β,θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮理论齿面位矢、法矢；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵。

步骤2：小轮法向修形曲面表达。修形改变共轭齿面的接触间隙(齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙)。几何传动误差反映了初始齿间间隙大小，其不改变的接触线长度和接触路径，改变不同啮合位置的齿面载荷分配及承载变形，其对振动影响较大。齿面法向间隙可改变接触线的长度和接触路径，避免一定的边缘应力集中；二者均对安装误差敏感性有影响。因此，通过预置传动误差及多段抛物线修形参数，对小轮齿面进行修形，进而改变共轭齿面的初始接触间隙。几何传动误差可用如下4次抛物多项式表达：

ψ(θ₁)＝a₀+a₁θ₁+a₂θ₁ ²+a₃θ₁ ³+a₄θ₁ ⁴ (5)

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄为曲线参数。仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式可参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形设计需要考虑齿根、齿顶有一定的齿廓修形以避免边缘应力集中，且接触迹线也应避免齿顶及两齿侧的边缘接触，因此啮入、啮出端修形量应有一定的扭曲；该修形曲面可表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数。为了方便表达，通过下式(7)齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，θ_a为旋转变换角，ζ为齿廓修形量其表达式为：

其中e₀、e₁、d₁、d₂为抛物线修形曲线参数。

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达。在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，可得到确定的小轮解析齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达。Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差δ_e，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型。可根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，该方法同数字化齿面的TCA分析原理基本相同。这里Ease-off修形齿面有确定的解析表达式，这里仍采用传统的TCA方法，表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角。化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，可得到确定解。

步骤6：考虑基节误差的LTCA模型。在载荷作用下，轮齿发生弹性变形，设小轮固定，大轮在载荷P作用下沿法向运动Z。由于齿面变形，两齿面由点接触扩展成面接触，忽略瞬时接触椭圆接触区的宽度，因此认为是沿瞬时接触椭圆长轴发生线接触。齿面接触可由下式描述：

式中p_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处的法向载荷；d_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处变形后的齿面间隙，d_k为d_jk所组向量，表示刚体位移；Z为轮齿的法向位移向量；F_k为齿对k的法向柔度矩阵，通过有限元法得到；w_k为齿对初始间隙向量，由TCA得到，e_k为接触齿对相对基节误差。

步骤7：考虑基节误差的齿面初始间隙计算。基节偏差有多种多样，这里主要考虑齿在齿圈上分布不均匀即由于齿距偏差而产生的基节偏差；无载下某接触齿对k的齿面间隙由齿间间隙和齿面法向间隙及基节偏差示三部分组成：

w＝w_k+b_k+e_k (15)

式中e_p、e_g、e_k分别为小轮、大轮基节误差及其相对基节误差。

步骤8：主要计算结果。式(14)是由已知参数F、P、W，e和未知参数p、Z、d组成的一个非线性方程组，用数学规划的方法求解。由此得到轮齿变形后的法向位移Z及接触线上离散载荷p。将Z转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为：

ψ＝3600×180/πZ(R_g×e_g·N_g) (16)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量。齿对在某一接触位置的载荷分配系数为：

齿轮副啮合刚度为：

K_m＝P/Z (18)

步骤9：基于极限学习机回归的随机基节误差下承载啮合变形的预测。本发明开发的软件为考虑基节误差的螺旋锥齿轮承载啮合仿真，轮齿的承载变形或啮合刚度是受相邻齿对的相对基节误差影响，最大的啮合承载变形的获得需要多次迭代结算，齿数越多迭代次数越多，不利于考虑随机基节误差的螺旋齿轮减振优化设计，因此，需要采用回归分析方法，回归以基节误差和无基节误差下的承载变形为变量的承载变形计算预估。极限学习机(ELM)回归拟合是以单隐含层前馈神经网络(SLFN)为基础的一种算法，SLFN的优势在于它的万能逼近能力，但其输入权值和隐含层神经元阈值很难设置，而且其学习方法一般是基于下降梯度的方法，这种方法用于非线性数据的处理，会使模型的训练速度变慢且容易陷入局部最小值。ELM算法随机产生输入层与隐含层间的连接权值及隐含层神经元的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐含层神经元的个数，便可以获得唯一的最优解，具有学习速度快、泛化性能好等优点，将该算法应用于回归拟合中，为方便考虑基节误差的修形齿面承载变形的快捷、可靠计算提供工程算法。

步骤10：预测模型输入变量样本的确定。这里主要是应用EML算法预测，关键是确定输入变量。按照一个啮合周期T分成8等份，一个啮合周期中同时啮合的齿对数会发生变化，即同时啮合的齿对基节误差发生变化，因此，每个啮合位置的输入变量应包含同时啮合齿对的基节误差和无基节误差时具体工况的承载变形。

本发明无需借助商业有限元软件进行建模、装配、前处理等完成考虑齿距偏差的自由修形螺旋锥齿轮的加载分析。预设齿间间隙及齿面法向间隙并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面的方法，使得修形齿面没有脱离理论齿面，但更为灵活且齿轮副失配量较小，有利于提高强度改善动态啮合性功能。LTCA方法综合考虑齿面几何、有限元方法、数学规划，将齿轮副受力接触转化为求解齿面有限个离散接触点的力学平衡问题，极大地减少了计算工作量，通过编程输入螺旋锥齿轮基本参数、安装误差、齿距偏差，可实现考虑基节误差的螺旋锥齿轮加载接触分析；该数值计算方法获得加载后的齿面变形、啮合刚度、载荷分布为高性能齿面动力学分析提供了更科学的理论依据方法。此外，应用EML法回归以基节误差和无基节误差下的承载变形为变量的承载变形计算预测，为方便考虑基节误差的修形齿面承载变形的快捷、可靠计算提供基础。

附图说明

图1为本发明展成准双曲面齿轮啮合坐标系；

图2a为本发明四阶传动误差曲线；

图2b为本发明接触线修形曲面示意；

图2c为本发明齿廓修形曲线示意；

图3为本发明考虑基节误的齿轮承载接触分析模型；

图4a为本发明齿对接触序列标记；

图4b为本发明齿面接触位置标记；

图5a为本发明无基节误差优化承载传动误差幅值最小获得的最优Ease-off曲面；

图5b为本发明理论齿面对应的Ease-off曲面；

图5c为本发明无基节误差优化承载传动误差幅值最小获得的最优修形齿面TCA仿真；

图5d为本发明理论齿面TCA仿真；

图6a为本发明小周期合成基节误差；

图6b为本发明小周期基节误差下齿面载荷分配系数；

图6c为本发明无基节误差下齿面载荷分布；

图6d为本发明小周期基节误差下齿面载荷分布；

图7a为本发明大周期合成基节误差；

图7b为本发明大周期基节误差下基于EML的承载变形预测；

图7c为本发明大周期基节误差下承载变形；

图7d为本发明大周期基节误差下啮合刚度；

图8为本发明考虑基节误差的自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析及承载变形的快速预测流程图。

具体实施方式

本发明采用的技术方案为：首先，根据啮合原理，推导与大轮完全共轭的小轮齿面，根据齿间间隙与齿面法向间隙产生原理进行自由Ease-off曲面设计，并与共轭齿面叠加表示小轮修形齿面。其次，根据TCA技术按照一定的步长(啮合周期均分)计算单个齿从啮入至啮出接触位置齿面初始间隙，将齿轮副同时啮合齿对的相对基节误差叠加到这些齿对的初始间隙，即完成了啮合周期内某啮合位置单对齿轮副LTCA技术的输入数据处理，再按照单对齿轮副LTCA计算方法提取一个啮合周期相应位置的承载变形及不同齿对的接触位置载荷，由于基节误差不等，单个齿的不同啮合位置载荷需要经过多次循环计算获得。最后应用机器学习法(EML)回归拟合任意随机误差下具体工况承载变形的预算，为方便考虑基节误差的修形齿面承载变形的快捷、可靠计算提供基础。

下面以HFT法加工的准双曲面齿轮为例，结合附图进一步说明一种考虑基节误差的自由修形螺旋锥齿轮承载接触分析方法的具体实施方式，包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达。小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数。大轮与小轮啮合坐标系如图1所示，坐标系S_s、S_r和S_q为参考坐标系，S₂为大轮动坐标系；V为偏置距，H₁、H₂分别为小、大轮节锥顶点到交叉点的距离，Σ为轴交角；将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换，转化到小轮齿面坐标系S₁中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀通过下式确定：

r₁₀(u,β,θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮理论齿面位矢、法矢，可通过局部综合法确定；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵。

步骤2：小轮法向修形曲面表达。修形改变共轭齿面的接触间隙(齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙)。几何传动误差反映了初始齿间间隙大小，其不改变的接触线长度和接触路径，改变不同啮合位置间的齿面载荷分配及承载变形，其对振动影响较大。齿面法向间隙可改变接触线的长度和接触路径，避免一定的边缘应力集中；二者均对安装误差敏感性有影响。仅包含齿间间隙修形设计时，需要考虑啮入、啮出端有足够的传动误差以减小啮合冲击，且啮合周期内同时接触齿对的齿间间隙应相差不大以减小承载变形幅值，因此需要考虑抛物线传动误差或中部可能形成内凹形状的传动误差齿间间隙设计曲线如图2a所示，可用如下4次抛物多项式表达：

ψ(θ₁)＝a₀+a₁θ₁+a₂θ₁ ²+a₃θ₁ ³+a₄θ₁ ⁴ (5)

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄可通过图2a中p₀～p₄点的数据求解，λ₁、λ₂、ε₁～ε₄为齿间接触间隙待定参数；仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式可参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形设计需要考虑齿根、齿顶有一定的齿廓修形以避免边缘应力集中，且接触迹线也应避免齿顶及两齿侧的边缘接触，因此啮入、啮出端修形量应有一定的扭曲如图2b所示；该修形曲面可表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数。为了方便表达，可通过图2c的齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，ζ为齿廓修形量表达式为：

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达。在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，可得到确定的小轮解析修形齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达。Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差δ_e，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型。可根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，该方法同数字化齿面的TCA分析原理基本相同。这里Ease-off修形齿面有确定的解析表达式，这里仍采用传统的TCA方法，表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角。化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，可得到确定解。

步骤6：考虑基节误差的LTCA模型。如图3所示，沿啮合面将同时接触的2多齿展开，在载荷作用下，轮齿发生弹性变形，设小轮固定，大轮在载荷P作用下沿法向运动Z。由于齿面变形，两齿面由点接触扩展成面接触，忽略瞬时接触椭圆接触区的宽度，因此认为是沿瞬时接触椭圆长轴发生线接触。齿面接触可由下式描述：

式中p_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触圆长轴离散点j处的法向载荷；d_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处变形后的齿面间隙，d_k为d_jk所组向量,为刚体位移；Z为轮齿的法向位移向量；F_k为齿对k的法向柔度矩阵，通过有限元法得到；w_k为齿对初始间隙向量，由TCA得到，e_k为接触齿对相对基节误差。

步骤7：考虑基节误差的齿面初始间隙计算。基节偏差有多种多样，这里主要考虑齿在齿圈上分布不均匀即由于齿距偏差而产生的基节偏差；无载下的齿面间隙(初始间隙)由齿间间隙和齿面法向间隙及基节偏差示三部分组成：

w＝w_k+b_k+e_k (15)

式中w_k、b_k、e_k分别为齿面法向间隙、齿间间隙、接触齿对k的相对基节误差。如何叠加不同啮合齿对的基节误差于初始间隙，结合图4a,b所示的齿对标记及接触路径序列(一个啮合周期分成8等份，共22个接触位置，T为啮合周期)，多齿对啮合序列如表1所示的，标号为“齿3”齿在第1个啮合位置啮合时，其与前面的齿标号为“齿2”及“齿1”齿的第9个及17个位置同时接触，因此需要在啮合位置1、9及17的初始齿面间隙上分别叠加“齿3”、“齿2”及“齿1”的相对基节误差，以此类推，直到“齿3”退出为止，在啮合位置1至22的全部初始齿面间隙通过TCA计算得到。本发明具体计算流程见图8。

表1多齿对啮合接触序列

步骤8：主要计算结果。式(14)是由已知参数F、P、W，e和未知参数p、Z、d组成的一个非线性规划，用一种优化方法求解。由此得到轮齿变形后的法向位移Z及接触线上离散载荷p。将Z转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为：

ψ＝3600×180/πZ(R_g×e_g·N_g) (16)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量。齿对在某一接触位置的载荷分配系数为：

齿轮副啮合刚度为：

K_m＝P/Z (18)

步骤9：基于极限学习机回归的随机基节误差下承载啮合变形的预测。本发明开发的软件为考虑基节误差的螺旋锥齿轮承载啮合仿真，轮齿的承载变形或啮合刚度是受相邻齿对的相对基节误差影响，最大的啮合承载变形的获得需要多次迭代结算，齿数越多迭代次数越多，不利于考虑随机基节误差的螺旋齿轮减振优化设计，因此，需要采用回归分析方法，回归以基节误差和无基节误差下的承载变形为变量的承载变形计算预估。极限学习机(ELM)回归拟合是以单隐含层前馈神经网络(SLFN)为基础的一种算法，SLFN的优势在于它的万能逼近能力，但其输入权值和隐含层神经元阈值很难设置，而且其学习方法一般是基于下降梯度的方法，这种方法用于非线性数据的处理，会使模型的训练速度变慢且容易陷入局部最小值。ELM算法随机产生输入层与隐含层间的连接权值及隐含层神经元的阈值，且在训练过程中无需调整，只需要设置隐含层神经元的个数，便可以获得唯一的最优解，具有学习速度快、泛化性能好等优点，将该算法应用于回归拟合中，为方便考虑基节误差的修形齿面承载变形的快捷、可靠计算提供基础。

步骤10：预测模型输入变量样本的确定。这里主要是应用EML算法预测，关键是确定输入变量。按照一个啮合周期T分成8等份，一个啮合周期中同时啮合的齿对数会发生变化，即同时啮合的齿对基节误差发生变化，因此，每个啮合位置的输入变量应包含同时啮合齿对的基节误差和无基节误差时具体工况的承载变形承载变形。对于一个啮合周期在某一时刻(0,2T/8,…,7T/8)时，总是标号为“齿N”的齿在第1个啮合位置啮合时，其与前面的齿标号为“齿N-1”的齿在第9个啮合位置及“齿N-2”的齿在第17个位置同时接触，因此啮合位置0输入参数为{e_N-2,e_N-1,e_N,Z₁,Ze₁}以此类推，可以得到一组数据直到“齿N-2”退出为止，需要注意的是在第7、8位置为2齿啮合即e_N-2为0，具体如表2所示。

表2承载变形及接触齿对相对基节误差样本数据序列

为验证本发明的效果，以表3所示的准双曲面齿轮副几何参数及表4所示的原始理论齿面加工参数进行实例计算，大轮额定扭矩为600N.m。

表3准双曲面齿轮副几何参数

表4准双曲面齿轮加工参数

无基节误差的承载变形最小时的最优Ease-off曲面如图5a，理论齿面对应的Ease-off曲面(见图5b)；最优Ease-off齿面与理论齿面接触印痕均为内对角接触，在啮合转换点有一定的幅值，可以降低安装误差的敏感性(见图5c,d)；二者的Ease-off曲面分别与接触区域匹配一致，且传动误差幅值幅值越大，对应的齿面修形量也较大。

为了研究齿面基节误差对最优Ease-off修形齿面载荷的影响，以小周期基节误差为例，设大轮无基节误差，小轮最大基节误差为0.03mm按正弦波分布(见图6a)；无基节误差时齿面最大载荷分配系数为0.56，有基节误差后齿面最大载荷分配系数为0.82，齿面各接触位置承担的载荷不均匀，接触位置1、9和17载荷系数之和等于1(沿大端至小端接触序列为1～22,见图6b,c,d)；由图6a可见当小轮“齿4”、“齿5”及“齿6”啮合时，此时“齿6”啮入端齿间间隙最小，“齿4”啮出端齿间间隙最大(>0.04mm)，因此在“齿6”啮入端(1～8啮合位置)产生最大载荷，而在在“齿4”啮出端(17～22啮合位置)产生最小载荷，图6b,d各齿齿面载荷分配系数及分布仿真与理论分析一致。

当齿数较多时需要多次迭代才能获得啮合承载变形，需要以基节误差和无基节误差下的承载变形为变量进行承载变形快速预估。以大周期基节误差为例，设小轮无基节误差，大轮最大基节误差为0.01mm按余弦波分布(见图7a)；由图7a可见当大轮“齿10”、“齿11”及“齿12”啮合时，此时“齿12”啮入端齿间间隙最小，“齿10”啮出端齿间间隙最大，因此在“齿12”处产生最大变形；同样在大轮“齿30”、“齿31”及“齿32”同时接触时也产生最大变形；同样在大轮“齿20”、“齿21”及“齿22”同时接触时，尽管各接触齿对合成基节误差很大，但相邻同时啮合齿对的相对基节误差最小，因此在其啮合时，承载变形与无基节误差时基本相同(见图7c)；由此可见，相邻同时啮合齿对的相对基节误差对承载变形影响很大，齿对的合成基节偏差大小对承载变形影响不明显。有基节误差时啮合刚度下降，刚度波动增加(见图7d)；

大轮41个齿，总计样本41×8个，数据格式见表2，应用ELM算法样本取训练样本265个，测试样本取“齿34”至“齿41”总计8×8个，每个样本中输入量维数为4，包括无基节误差承载变形、同时啮合的相邻接触齿对基节误差，输出量为有基节误差下的承载变形，维数为1。预测值与真实值对比见图7b，决定系数为91％，有较好的吻合。

Claims (1)

1.一种考虑基节误差自由修形螺旋齿轮承载接触分析方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤1：与大轮完全共轭的小轮齿轮齿面表达，小轮齿面与大轮齿面啮合时完全共轭，传动比等于齿轮副的名义传动比，则大轮啮合转角θ₂和小轮啮合转角θ₁的关系：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀ (1)

式中θ₁₀，θ₂₀为设计参考点处的大、小轮啮合转角；z₁和z₂分别为小轮和大轮齿数，将大轮齿面视为假想齿轮刀具，基于空间啮合理论和坐标变换转化到小轮齿面坐标系中，完全共轭的小轮齿面位矢r₁₀、法矢n₁₀分别为：

r₁₀(u,β,θ₁,)＝M_1p(θ₁)M_pqM_qrM_rsM_s2(θ₂)r₂(u,β) (2)

n₁₀(u,β,θ₁,)＝L_1p(θ₁)L_qpL_qrL_rsL_s2(θ₂)n₂(u,β) (3)

式中齿面位矢r₂、n₂分别为大轮理论齿面位矢、法矢；u、β为齿面上任一点参数；M_1p、M_pq、M_qr、M_rs、M_s2为坐标变换矩阵，L_1p、L_pq、L_qr、L_rs、L_s2为对应的3×3子矩阵；

步骤2：小轮法向修形曲面表达，修形改变共轭齿面的接触间隙，接触间隙是齿间间隙和齿面法向间隙的叠加为接触间隙，几何传动误差反映了初始齿间间隙大小，其不改变的接触线长度和接触路径，改变不同啮合位置的齿面载荷分配及承载变形，其对振动影响较大，齿面法向间隙可改变接触线的长度和接触路径，避免一定的边缘应力集中；二者均对安装误差敏感性有影响，因此，通过预置传动误差及多段抛物线修形参数，对小轮齿面进行修形，进而改变共轭齿面的初始接触间隙，几何传动误差可用如下4次抛物多项式表达：

ψ(θ₁)＝a₀+a₁θ₁+a₂θ₁ ²+a₃θ₁ ³+a₄θ₁ ⁴ (5)

其中Ψ为几何传动误差，a₀～a₄为曲线参数，仅包含预设传动误差的小轮齿面位矢r₁、法矢n₁表达式可参考(2～4)确定，不同的是大轮转角表示为：

θ₂＝z₁/z₂(θ₁-θ₁₀)+θ₂₀+ψ(θ₁) (6)

齿面法向间隙修形设计需要考虑齿根、齿顶有一定的齿廓修形以避免边缘应力集中，且接触迹线也应避免齿顶及两齿侧的边缘接触，因此啮入、啮出端修形量应有一定的扭曲；该修形曲面可表示为δ₁(x₁,y₁)，x₁、y₁为小轮齿面轴向和径向参数，为了方便表达，通过下式(7)齿廓修形曲线，经旋转变换映射得到齿面法向间隙即δ₁(x₁,y₁)＝f(ζ(y₁),θ_a)，θ_a为旋转变换角，ζ为齿廓修形量其表达式为：

其中e₀、e₁、d₁、d₂为抛物线修形曲线参数；

步骤3：小轮Ease-off修形齿面的表达，在仅包含传动误差的小轮齿面上，再叠加法向修形曲面，可得到确定的小轮解析齿面，其位矢r_1r,、法矢n_1r表示如下：

r_1r(u,β)＝δ₁(u,β)n₁(u,β)+r₁(u,β) (8)

步骤4：小轮Ease-off法向修形曲面的表达，Ease-off修形曲面反映了小轮齿面与相啮合的大轮齿面之间的失配程度，其数值等于与大轮完全共轭的小轮齿面与小轮修形齿面之间的偏差δ_e，表达式为：

δ_e(u,β)＝(r_1r(u,β)-r₁₀(u,β))·n₁₀(u,β) (12)

步骤5：Ease-off修形齿轮TCA模型，根据瞬时接触线在Ease-off拓扑曲面上的映射曲线到旋转投影平面的距离关系，求解齿面接触点，进而确定接触迹线和传动误差，同数字化齿面的TCA分析原理基本相同，这里Ease-off修形齿面有确定的解析表达式，这里仍采用传统的TCA方法，表达式为：

式中为齿轮副啮合过程中主动、被动轮转角，化简后共有5个方程，取/>为输入量，求解以u₁、β₁、u₂、β₂、/>为未知量方程组，可得到确定解；

步骤6：考虑基节误差的LTCA模型，在载荷作用下，轮齿发生弹性变形，设小轮固定，大轮在载荷P作用下沿法向运动Z，由于齿面变形，两齿面由点接触扩展成面接触，忽略瞬时接触椭圆接触区的宽度，因此认为是沿瞬时接触椭圆长轴发生线接触，齿面接触可由下式描述：

式中p_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处的法向载荷；d_jk(j＝1,2,…n)为齿对k的瞬时接触椭圆长轴离散点j处变形后的齿面间隙，d_k为d_jk所组向量，表示刚体位移；Z为轮齿的法向位移向量；F_k为齿对k的法向柔度矩阵，通过有限元法得到；w_k为齿对初始间隙向量，由TCA得到，e_k为接触齿对相对基节误差；

步骤7：考虑基节误差的齿面初始间隙计算，基节偏差有多种多样，这里主要考虑齿在齿圈上分布不均匀即由于齿距偏差而产生的基节偏差；无载下某接触齿对k的齿面间隙由齿间间隙和齿面法向间隙及基节偏差示三部分组成：

w＝w_k+b_k+e_k (15)

式中e_p、e_g、e_k分别为小轮、大轮基节误差及其相对基节误差；

步骤8：主要计算结果，式(14)是由已知参数F、P、W，e和未知参数p、Z、d组成的一个非线性方程组，用数学规划的方法求解，由此得到轮齿变形后的法向位移Z及接触线上离散载荷p，将Z转化为啮合线上的位移，用转角形式表示，即一个啮合周期的承载传动误差为：

ψ＝3600×180/πZ(R_g×e_g·N_g) (16)

式中：R_g、N_g、e_g分别为被动轮接触点位矢、单位法矢，轴线方向单位矢量，齿对在某一接触位置的载荷分配系数为：

齿轮副啮合刚度为：

K_m＝P/Z (18)

步骤9：基于极限学习机回归的随机基节误差下承载啮合变形的预测，为考虑基节误差的螺旋锥齿轮承载啮合仿真，轮齿的承载变形或啮合刚度是受相邻齿对的相对基节误差影响，最大的啮合承载变形的获得需要多次迭代结算，齿数越多迭代次数越多，不利于考虑随机基节误差的螺旋齿轮减振优化设计，因此，需要采用回归分析方法，回归以基节误差和无基节误差下的承载变形为变量的承载变形计算预估，极限学习机(ELM)回归拟合是以单隐含层前馈神经网络(SLFN)为基础的一种算法；

步骤10：预测模型输入变量样本的确定，这里主要是应用EML算法预测，关键是确定输入变量，按照一个啮合周期T分成8等份，一个啮合周期中同时啮合的齿对数会发生变化，即同时啮合的齿对基节误差发生变化，因此，每个啮合位置的输入变量应包含同时啮合齿对的基节误差和无基节误差时具体工况的承载变形。