CN110688614B - 一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法 - Google Patents

一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法，首先求解柔轮受波发生器支撑变形导致的弯曲应力的三个分力：径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12。根据柔轮变形和啮合的几何关系，求解啮合齿数N。基于S2求得的啮合齿数，对啮合齿对分别编号，用有限元法提取多齿啮合过程中柔轮齿根扭转应力的三个分力：径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′。计算柔轮“弯扭组合”应力，径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs本发明提出的基于薄壁圆筒理论和仿真分析方法结合求解多齿啮合应力的方法，有效的区分了杯型柔轮的弯曲应力和扭转应力，解决了单纯仿真方法不区分应力类型的弊端，复合应力求解更准确，并且效率更高，为柔轮的应力分析和寿命预测奠定了基础。

Description

一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法
技术领域
本发明属于齿轮力学分析领域，具体涉及一种谐波减速器柔轮多齿啮合复合应力求解的方法
背景技术
谐波减速器因其大速比、高精度和长寿命的特点，在机器人、空间技术、能源、仿生等领域应用广泛。谐波减速器柔轮和刚轮的啮合应力是决定谐波减速器寿命的关键技术指标，谐波减速器的寿命不仅仅取决于啮合应力的幅值，更是由啮入-啮合-啮出整个过程的应力谱决定的。目前对于谐波减速器多齿啮合应力的求解多采用有限元仿真来确定啮合的齿对分布和啮合应力，但是有限元仿真既无法反映柔轮齿在啮合过程中弯曲应力和扭转应力的组合效应，也缺乏对整个啮合过程中应力谱的提取，导致得到的应力值失真，无法有效支撑寿命预测，因此本发明提出一种谐波减速器杯型柔轮多齿啮合复合应力求解方法。
发明内容
本发明的目的是提供一种基于弹性力学薄壁圆筒理论计算和齿轮多齿啮合仿真的多齿啮合应力求解方法，该方法既考虑到柔轮受波发生器支撑产生的弯曲应力，又考虑到刚轮和柔轮啮合的扭转应力，实现柔轮“弯扭组合”应力求解。同时由能对多齿啮合的整个过程的应力谱进行求解。
为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：
S1基于薄壁圆筒理论，求解柔轮受波发生器支撑变形导致的弯曲应力的三个分力：径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12。
S2根据柔轮变形和啮合的几何关系，求解啮合齿数N。
S3基于S2求得的啮合齿数，对啮合齿对分别编号，用有限元法提取多齿啮合过程中柔轮齿根扭转应力的三个分力：径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′。
S4计算柔轮“弯扭组合”应力，径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs
所述S1具体包括以下步骤：
步骤1.1:将柔轮简化为等壁厚柱形壳体进行求解，基于弹性力学薄壁圆筒理论，那么谐波减速器柔轮的几何方程为：
Figure BDA0002205380740000021
其中,εα为α方向上的应变；
Figure BDA0002205380740000022
为
Figure BDA0002205380740000023
方向上的应变,
Figure BDA0002205380740000024
为柔轮中面上的剪应变；χα为α方向上的扭率；
Figure BDA0002205380740000025
为
Figure BDA0002205380740000026
方向上的扭率；
Figure BDA0002205380740000027
为柔轮中面上的扭率。
u为α方向上的位移；v为
Figure BDA0002205380740000028
方向上的位移；w为γ方向上的位移。以椭圆凸轮波发生器为例，变位系数为ω0，
Figure BDA0002205380740000029
其中l为柔轮筒长，a为距离柔轮固定端的距离，
Figure BDA00022053807400000210
为柔轮长轴的转动角度。步骤1.2：根据柔轮的内力分布，柔轮的物理方程为：
Figure BDA00022053807400000211
其中，δ为柔轮的壁厚,E为柔轮材料的弹性模量μ为柔轮材料的泊松比；N1为张力，N2为拉力；S12为平错力；M1、M2为弯矩；M12为扭矩。
步骤1.3：将公式(1)带入公式(2)中去，得到柔轮径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12的表达式，
Figure BDA00022053807400000212
其中，γ为所求应力点距离柔轮中性面的距离，以柔轮中性面为基准，以中性层法线为正方向，其取值范围为[-δ/2,δ/2]，
所述S2具体包括以下步骤：
在有限元进行分析柔轮和刚轮啮合的多齿啮合应力的过程中，由于并不知道啮合过程中共有几对齿参与了啮合，因此本部分将阐述啮合齿数求解方法
柔轮和刚轮理论啮合弧长是指一对齿从啮入到啮出所经历的弧长，在刚轮坐标系中{X,O,Y}，在柔轮刚啮入和刚啮出的瞬间，柔轮齿顶的坐标与刚轮齿顶的坐标相同。
刚轮坐标系{O,X,Y}为固定坐标系，柔轮坐标系为{X1,O1,Y1}，两个坐标系间的夹角为
Figure BDA0002205380740000031
当波发生器旋转
Figure BDA0002205380740000032
柔轮的转角为
Figure BDA0002205380740000033
其中，U是波发生器的波数，z是柔轮的齿数，
Figure BDA0002205380740000034
是波发生器旋转的角度，v是柔轮的切向位移，rm是柔轮变形前中性层半径。
当柔轮受波发生器支撑变形后，柔轮除了径向和切向位移之外，柔轮齿的对称轴也相对于半径旋转了一定角度，转角μ可由柔轮极半径ρ求出：
Figure BDA0002205380740000035
柔轮坐标系{X1,O1,Y1}和刚轮固定坐标系{X,O,Y}间的坐标转换可由下式表示
Figure BDA0002205380740000036
其中，Xa，Ya为刚轮齿顶在刚轮固定坐标系中坐标值，x1,y1为柔轮在柔轮坐标系中坐标值，且
Figure BDA0002205380740000037
ra2为刚轮齿顶圆半径。那么根据式(4)-(6)可以得到：
Figure BDA0002205380740000038
式中未知量均为
Figure BDA0002205380740000039
的函数，用MATLAB进行求解得到的
Figure BDA00022053807400000310
角就是理论啮合弧长所对应的中心角，记作
Figure BDA00022053807400000311
那么理论同时啮合的齿对数为：
Figure BDA0002205380740000041
其中，p为柔轮齿顶圆上的周节，以弧长表示
单个啮合区啮合齿数N取不超过Zm/2的最大整数，记为：
Figure BDA0002205380740000042
所述S3具体包括以下步骤：
步骤3.1：建立变形后柔轮齿部的三维模型，与刚轮装配完成后导入有限元分析软件中
步骤3.2：定义柔轮和刚轮的密度、弹性模量及泊松比等材料属性，建立以柔轮的几何中心为原点的柱坐标系。
步骤3.3：根据公式8所得的啮合齿数N，对啮合区内的齿数进行从1到N的编号，并定义柔轮和刚轮的接触面，其中柔轮齿面为接触面，刚轮齿面为目标面。
步骤3.4：定义刚轮和柔轮的接触条件，接触类型为摩擦，并定义摩擦系数和法向刚度系数。
步骤3.5：生成网络，柔轮和刚轮的网格通过扫掠完成的，并需要对齿面网格进行细化。
步骤3.6：设置负载和约束。将刚轮定位为固定支撑，对柔轮内表面施加扭矩，扭矩值从零增加到最大扭矩。
步骤3.7：啮合应力的提取。在步骤4.2所建立的柱坐标系中提取齿根的径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′
S4计算柔轮“弯扭组合”径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs。
所述S4具体包括以下步骤：
柔轮齿根的“弯扭组合”的三个分向：径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs。
柔轮齿根径向应力σ1为：
σr＝σ1+σ1′ (10)
柔轮齿根周向应力σ2为：
σc＝σ2+σ2′ (11)
柔轮齿根剪切应力τ12为：
τs＝τ12+τ12′ (12)
相对于现有技术，本发明的有益效果为：
本发明提出的基于薄壁圆筒理论和仿真分析方法结合求解多齿啮合应力的方法，有效的区分了杯型柔轮的弯曲应力和扭转应力，解决了单纯仿真方法不区分应力类型的弊端，复合应力求解更准确，并且效率更高。
同时本发明通过特殊的柔轮齿部啮合齿数的编号方法，对柔轮齿从啮入到啮出的全过程进行分析，避免了刚轮和柔轮齿廓干涉的影响，准确表征了柔轮齿根在啮合全过程的应力谱，为柔轮的应力分析和寿命预测奠定了基础。
附图说明
图1谐波减速器杯型柔轮
图2杯型柔轮的内力分布
图3柔轮啮合齿对编号
具体实施方式
下面结合附图1-3和实施例对本发明作进一步说明。
一种谐波减速器杯型柔轮多齿啮合复合应力求解方法，包括以下步骤：
步骤一：如图1所示，谐波减速器杯型柔轮的杯体为薄壁圆筒，对于柔轮受波发生器支撑产生的弯曲应力，采用薄壁圆筒理论，求解弯曲应力的三个分力：径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12。
所述步骤一具体包括以下步骤：
如图2所示，将柔轮简化为等壁厚柱形壳体进行求解，基于弹性力学薄壁圆筒理论，那么谐波减速器柔轮的几何方程为：
Figure BDA0002205380740000061
其中,εα为α方向上的应变；
Figure BDA0002205380740000062
为
Figure BDA0002205380740000063
方向上的应变,
Figure BDA0002205380740000064
为柔轮中面上的剪应变；χα为α方向上的扭率；
Figure BDA0002205380740000065
为
Figure BDA0002205380740000066
方向上的扭率；
Figure BDA0002205380740000067
为柔轮中面上的扭率。u为α方向上的位移；v为
Figure BDA0002205380740000068
方向上的位移；w为γ方向上的位移。以椭圆凸轮波发生器为例，变位系数为ω0，
Figure BDA0002205380740000069
其中l为柔轮筒长，a为距离柔轮固定端的距离，
Figure BDA00022053807400000610
为柔轮长轴的转动角度。
根据柔轮的内力分布，柔轮的物理方程为：
Figure BDA00022053807400000611
其中，δ为柔轮的壁厚,E为柔轮材料的弹性模量μ为柔轮材料的泊松比；N1为张力，N2为拉力；S12为平错力；M1、M2为弯矩；M12为扭矩。
将公式(13)带入公式(14)中去，得到柔轮径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12的表达式，
Figure BDA00022053807400000612
其中，γ为所求应力点距离柔轮中性面的距离，以柔轮中性面为基准，以中性层法线为正方向，其取值范围为[-δ/2,δ/2]，
步骤二：根据柔轮变形和啮合的几何关系，求解啮合齿数N。
所述步骤二具体包括以下步骤：
在有限元进行分析柔轮和刚轮啮合的多齿啮合应力的过程中，由于并不知道啮合过程中共有几对齿参与了啮合，因此首先求解啮合齿数N。
柔轮和刚轮理论啮合弧长是指一对齿从啮入到啮出所经历的弧长，在刚轮坐标系中{X,O,Y}，在柔轮刚啮入和刚啮出的瞬间，柔轮齿顶的坐标与刚轮齿顶的坐标相同。
刚轮坐标系{O,X,Y}为固定坐标系，柔轮坐标系为{X1,O1,Y1}，两个坐标系间的夹角为
Figure BDA0002205380740000071
当波发生器旋转
Figure BDA0002205380740000072
柔轮的转角为
Figure BDA0002205380740000073
其中，U是波发生器的波数，z是柔轮的齿数，
Figure BDA0002205380740000074
是波发生器旋转的角度，v是柔轮的切向位移，rm是柔轮变形前中性层半径。
当柔轮受波发生器支撑变形后，柔轮除了径向和切向位移之外，柔轮齿的对称轴也相对于半径旋转了一定角度，转角μ可由柔轮极半径ρ求出：
Figure BDA0002205380740000075
柔轮坐标系{X1,O1,Y1}和刚轮固定坐标系{X,O,Y}间的坐标转换可由下式表示
Figure BDA0002205380740000076
其中，Xa，Ya为刚轮齿顶在刚轮固定坐标系中坐标值，x1,y1为柔轮在柔轮坐标系中坐标值，且
Figure BDA0002205380740000077
ra2为刚轮齿顶圆半径。那么根据式(16)-(18)可以得到：
Figure BDA0002205380740000078
式中未知量均为
Figure BDA0002205380740000079
的函数，用MATLAB进行求解得到的
Figure BDA00022053807400000710
角就是理论啮合弧长所对应的中心角，记作
Figure BDA00022053807400000711
那么理论同时啮合的齿对数为：
Figure BDA0002205380740000081
其中，p为柔轮齿顶圆上的周节，以弧长表示。
单个啮合区啮合齿数N取不超过Zm/2的最大整数，记为：
Figure BDA0002205380740000082
步骤三：基于求解得到的啮合齿数N，对啮合齿对从1到N编号，用有限元法分别提取多齿啮合过程中N个柔轮齿根的径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′，上述三个应力为扭转应力的分力。
所述步骤三具体包括以下步骤：
建立变形后柔轮齿部的三维模型，与刚轮装配完成后导入有限元分析软件中。
定义柔轮和刚轮的密度、弹性模量及泊松比等材料属性，建立以柔轮的几何中心为原点的柱坐标系。
如图3所示，根据公式21所得的啮合齿数N，对啮合区内的齿数进行从1到N的编号，并定义柔轮和刚轮的接触面，其中柔轮齿面为接触面，刚轮齿面为目标面。
定义刚轮和柔轮的接触条件，接触类型为摩擦，并定义摩擦系数和法向刚度系数。
生成网络，柔轮和刚轮的网格通过扫掠完成的，并需要对齿面网格进行细化。
设置负载和约束。将刚轮定位为固定支撑，对柔轮内表面施加扭矩，扭矩值从零增加到最大扭矩。
提取柔轮齿啮合的扭转应力。在步骤4.2所建立的柱坐标系中提取齿根的径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′
步骤四：计算柔轮“弯扭组合”应力，径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs
步骤四具体包括以下步骤：
柔轮齿根的“弯扭组合”的三个分向：径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs。
柔轮齿根径向应力σ1为：
σr＝σ1+σ1′ (22)
柔轮齿根周向应力σ2为：
σc＝σ2+σ2′ (23)
柔轮齿根剪切应力τ12为：
τs＝τ12+τ12′ (24)
本发明具有的优点和积极效果是：
本发明将柔轮齿根应力分解为弯曲应力和扭转应力，通过弹性力学薄壁圆筒力学计算弯曲应力，通过多齿啮合应力仿真方法仿真扭转应力，得到了整个啮合过程中“弯扭组合”效应下的径向应力、周向应力和剪切应力的应力谱，为应力的分析和寿命预测提供理论支撑。

Claims (4)

1.一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法，其特征在于，该方法的实施过程如下：
S1基于薄壁圆筒理论，求解柔轮受波发生器支撑变形导致的弯曲应力的三个分力：径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12；
S2根据柔轮变形和啮合的几何关系，求解啮合齿数N；
S3基于S2求得的啮合齿数，对啮合齿对分别编号，用有限元法提取多齿啮合过程中柔轮齿根扭转应力的三个分力：径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′；
S4计算柔轮“弯扭组合”应力，径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs；
所述S1具体包括以下步骤：
步骤1.1:将柔轮简化为等壁厚柱形壳体进行求解，基于弹性力学薄壁圆筒理论，那么谐波减速器柔轮的几何方程为：
Figure FDA0003831210690000011
其中,εα为α方向上的应变；
Figure FDA0003831210690000012
为
Figure FDA0003831210690000013
方向上的应变,
Figure FDA0003831210690000014
为柔轮中面上的剪应变；χα为α方向上的扭率；
Figure FDA0003831210690000015
为
Figure FDA0003831210690000016
方向上的扭率；
Figure FDA0003831210690000017
为柔轮中面上的扭率；u为α方向上的位移；v为
Figure FDA0003831210690000018
方向上的位移；w为γ方向上的位移；椭圆凸轮波发生器中，变位系数为ω0，
Figure FDA0003831210690000019
其中l为柔轮筒长，a为距离柔轮固定端的距离，
Figure FDA00038312106900000110
为柔轮长轴的转动角度；
步骤1.2：根据柔轮的内力分布，柔轮的物理方程为：
Figure FDA00038312106900000111
其中，δ为柔轮的壁厚,E为柔轮材料的弹性模量μ为柔轮材料的泊松比；N1为张力，N2为拉力；S12为平错力；M1、M2为弯矩；M12为扭矩；
步骤1.3：将公式(1)带入公式(2)中去，得到柔轮径向应力σ1、周向应力σ2和剪切应力τ12的表达式，
Figure FDA0003831210690000021
其中，γ为所求应力点距离柔轮中性面的距离，以柔轮中性面为基准，以中性层法线为正方向，其取值范围为[-δ/2,δ/2]。
2.根据权利要求1所述的一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法，其特征在于，所述S2具体包括以下步骤：
在有限元进行分析柔轮和刚轮啮合的多齿啮合应力的过程中，啮合齿数求解方法如下：
柔轮和刚轮理论啮合弧长是指一对齿从啮入到啮出所经历的弧长，在刚轮坐标系中{X,O,Y}，在柔轮刚啮入和刚啮出的瞬间，柔轮齿顶的坐标与刚轮齿顶的坐标相同；
刚轮坐标系{O,X,Y}为固定坐标系，柔轮坐标系为{X1,O1,Y1}，两个坐标系间的夹角为
Figure FDA0003831210690000022
当波发生器旋转
Figure FDA0003831210690000023
柔轮的转角为
Figure FDA0003831210690000024
其中，U是波发生器的波数，z是柔轮的齿数，
Figure FDA0003831210690000025
是波发生器旋转的角度，v是柔轮的切向位移，rm是柔轮变形前中性层半径；
当柔轮受波发生器支撑变形后，柔轮除了径向和切向位移之外，柔轮齿的对称轴也相对于半径旋转了一定角度，转角μ由柔轮极半径ρ求出：
Figure FDA0003831210690000026
柔轮坐标系{X1,O1,Y1}和刚轮固定坐标系{X,O,Y}间的坐标转换可由下式表示
Figure FDA0003831210690000031
其中，Xa，Ya为刚轮齿顶在刚轮固定坐标系中坐标值，x1,y1为柔轮在柔轮坐标系中坐标值，且
Figure FDA0003831210690000032
ra2为刚轮齿顶圆半径；那么根据式(4)-(6)可以得到：
Figure FDA0003831210690000033
式中未知量均为
Figure FDA0003831210690000034
的函数，用MATLAB进行求解得到的
Figure FDA0003831210690000035
角就是理论啮合弧长所对应的中心角，记作
Figure FDA0003831210690000036
那么理论同时啮合的齿对数为：
Figure FDA0003831210690000037
其中，p为柔轮齿顶圆上的周节，以弧长表示
单个啮合区啮合齿数N取不超过Zm/2的最大整数，记为：
Figure FDA0003831210690000038
3.根据权利要求1所述的一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法，其特征在于，所述S3具体包括以下步骤：
步骤3.1：建立变形后柔轮齿部的三维模型，与刚轮装配完成后导入有限元分析软件中
步骤3.2：定义柔轮和刚轮的密度、弹性模量及泊松比，建立以柔轮的几何中心为原点的柱坐标系；
步骤3.3：根据公式8所得的啮合齿数N，对啮合区内的齿数进行从1到N的编号，并定义柔轮和刚轮的接触面，其中柔轮齿面为接触面，刚轮齿面为目标面；
步骤3.4：定义刚轮和柔轮的接触条件，接触类型为摩擦，并定义摩擦系数和法向刚度系数；
步骤3.5：生成网络，柔轮和刚轮的网格通过扫掠完成的，并需要对齿面网格进行细化；
步骤3.6：设置负载和约束；将刚轮定位为固定支撑，对柔轮内表面施加扭矩，扭矩值从零增加到最大扭矩；
步骤3.7：啮合应力的提取；在步骤3.2所建立的柱坐标系中提取齿根的径向应力σ1′、周向应力σ2′和剪切应力τ12′。
4.根据权利要求1所述的一种谐波减速器杯形柔轮多齿啮合复合应力求解方法，其特征在于，S4计算柔轮“弯扭组合”径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs；
所述S4具体包括以下步骤：
柔轮齿根的“弯扭组合”的三个分向：径向应力σr、周向应力σc和剪切应力τs；
柔轮齿根径向应力σ1为：
σr＝σ1+σ1′ (10)
柔轮齿根周向应力σ2为：
σc＝σ2+σ2′ (11)
柔轮齿根剪切应力τ12为：
τs＝τ12+τ12′ (12)。
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