CN104573196A - 一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法。该方法首先沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向把斜齿圆柱齿轮划分成一系列交错排列的直齿轮，然后基于材料力学中的梁变形能理论，利用势能法计算其中任一直齿轮的啮合刚度，最后利用累计积分的思想沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向进行积分，得到斜齿圆柱齿轮的啮合刚度。本发明所述斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法既能够显著提高斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的计算效率，又能够充分保证时变啮合刚度的计算精度。利用本方法计算得到的时变啮合刚度可以有效用于斜齿轮传动系统的振动响应机理研究。

Description

一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法

技术领域

本发明属于齿轮测量技术及力学分析领域，具体涉及一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法。

背景技术

斜齿轮传动因具有结构紧凑，传动比稳定，传动效率高等特点而被广泛应用于各种工业机械设备中，如汽车，军舰，飞机等。齿轮传动系统是一种弹性的机械系统，在动态激励的作用下产生动态响应。研究齿轮啮合过程动态激励的基本原理，确定动态激励的类型和性质，是齿轮传动系统动力学建模的首要问题。其中时变刚度激励是齿轮传动系统动态响应最主要的动态激励，是动载系数的主要基础参数，也是研究齿轮故障机理的重要参数。加强对齿轮时变啮合刚度的研究，获得更简单可靠的时变啮合刚度计算方法是完善齿轮系统动力学系统研究及应用，推进齿轮系统动力学向更高层次发展的重要基础。

齿轮传动系统时变啮合刚度是齿轮动力学基础参数，是建立齿轮系统动力方程最重要的参数。而能否准确求解齿轮时变啮合刚度是研究齿轮传动系统运动学特性的前提，也是进行齿轮传动动态性能分析及优化设计的基础。所以为建立更合理有效的齿轮传动系统动力方程打下坚实基础，有必要深入地探讨斜齿轮啮合刚度快速有效的计算方法。

发明内容

本发明的目的在于提供一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，该方法既能够显著提高计算斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的效率，又能够充分保证斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的计算精度。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

1)直齿轮啮合刚度计算：

1-1)沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向将斜齿圆柱齿轮划分成一系列交错排列的直齿轮；

1-2)基于材料力学中的梁变形能理论，利用势能法计算任一直齿轮的啮合刚度；

2)基于累计积分原理的斜齿圆柱齿轮啮合刚度计算：

2-1)利用累计积分原理，沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向对步骤1-2)得到的任一直齿轮的啮合刚度进行积分，然后计算得到斜齿圆柱齿轮啮合刚度。

所述步骤1-1)具体包括以下步骤：

沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向将斜齿圆柱齿轮划分成多个厚度为dy的微段，从而使斜齿圆柱齿轮看作是由一系列交错排列的直齿轮组合而成。

所述任一直齿轮的啮合刚度采用以下公式计算：

${\mathrm{dU}}_h=\frac{F^2}{2d{k}_h}=\frac{2F^2(1-v^2)}{\mathrm{\πE}}\mathrm{dy}---\left(1\right)$

${\mathrm{dU}}_b=\frac{F^2}{2d{k}_b}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{[F_b(d\left(y\right)-x)-F_{a}h\left(y\right)]}^2}{2\mathrm{Ed}{I}_x}\mathrm{dx}---\left(2\right)$

${\mathrm{dU}}_s=\frac{F^2}{2d{k}_s}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2{F_b}^2}{2\mathrm{Gd}{A}_x}\mathrm{dx}---\left(3\right)$

${\mathrm{dU}}_a=\frac{F^2}{2d{k}_a}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{F_a}^2}{2\mathrm{Ed}{A}_x}\mathrm{dx}---\left(4\right)$

$\frac{1}{d{k}_f}=\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}{\mathrm{Edy}}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}---\left(5\right)$

其中，dk_h为任一直齿轮的赫兹啮合刚度，dk_b为所述直齿轮的弯曲啮合刚度，dk_a为所述直齿轮的径向压缩啮合刚度，dk_s为所述直齿轮的剪切啮合刚度，dk_f为所述直齿轮的齿基啮合刚度；dU_h表示赫兹势能，dU_b表示弯曲势能，dU_s表示剪切变形能，dU_a表示径向压缩变形能，F为啮合点处的相互作用力，F的方向沿啮合线方向，F分解为径向力F_a与切向力F_b，ν为泊松比，dy为所述直齿轮的厚度，E为弹性模量，G为剪切模量，dI_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的惯性矩，dA_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的面积，d(y)为啮合点与基圆之间的距离，h(y)表示啮合点与轮齿对称线之间的距离，y表示所述直齿轮距离斜齿圆柱齿轮端面的距离，a₁(y)表示F与F_b之间的夹角，μ_f(y)表示啮合线与轮齿对称线交点到齿根圆的距离，S_f表示所述直齿轮整个齿廓曲线所对应的弧长，L^*,M^*,P^*,Q^*为4个与斜齿圆柱齿轮的模数、齿数有关的参数。

所述步骤2-1)具体包括以下步骤：

(a)首先对公式(1)、公式(2)、公式(3)、公式(4)以及公式(5)分别进行变换，得到：

${\mathrm{dk}}_h=\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}$

${\mathrm{dk}}_b=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{3{[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_s=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {{\mathrm{\α}}_1}^2\left(y\right)}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_a=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {{\mathrm{\α}}_1}^2}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_f=\frac{\mathrm{Edy}}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}$

其中，h_x表示距离基圆x处齿廓曲线与轮齿对称线之间的距离；

(b)沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向对步骤(a)中公式进行积分，得到斜齿圆柱齿轮的赫兹啮合刚度k_h、弯曲啮合刚度k_b、剪切啮合刚度k_s、径向压缩啮合刚度k_a以及齿基啮合刚度k_f：

$k_h={\∫}_0^l\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}$

$k_b={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{3{[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_s={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_a={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_f={\∫}_0^l\frac{E}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}\mathrm{dy}$

l表示接触线长度在齿宽方向的投影；

(c)对步骤(b)中的公式进行简化，然后通过数值积分求解得到：

$k_h=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{\Δy}$

$k_b=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{3{\{1+\cos {{\mathrm{\α}}_1}^{\′}[({\mathrm{\α}}_2-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′})\sin \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\α}\left]\right\}}^2({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}}{2E{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}^3}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_s=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{1.2(1+v)({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\cos }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_a=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\sin }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_f=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′}}{E}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′})\}}\mathrm{\Δy}$

其中，Δy＝l/N，N表示斜齿圆柱齿轮被划分成直齿轮的数量，α₁表示斜齿圆柱齿轮端面啮合点与基圆之间距离d的转换角度，α表示距离所述直齿轮基圆x处的转换角度，α₂表示齿廓曲线起点与齿轮圆心之间的连线与轮齿对称线的夹角，表示齿顶圆与基圆之间距离的转换角度；

(d)当n对轮齿同时参与啮合时的啮合刚度表示为：

$k=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{1}{k_{h,i}}+\frac{1}{k_{b1,i}}+\frac{1}{k_{s1,i}}+\frac{1}{k_{f1,i}}+\frac{1}{k_{a1,i}}+\frac{1}{k_{b2,i}}+\frac{1}{k_{s2,i}}+\frac{1}{k_{a2,i}}+\frac{1}{k_{f2,i}}}$

其中，下标1表示一对齿轮副中的主动轮，下标2表示一对齿轮副中的被动轮。

相对于现有技术，本发明的有益效果为：

本发明提出的斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，利用材料力学的变截面悬臂梁变形能理论与高等数学的累计积分思想通过解析方法求解斜齿圆柱齿轮的时变啮合刚度。本发明充分发挥了解析法求解斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的优势，既能够显著提高计算斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的效率，又能够充分保证斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的计算精度。利用本方法计算得到的时变啮合刚度为斜齿圆柱齿轮传动系统的动力学建模与振动响应机理研究奠定了可靠的理论基础。

附图说明

图1是斜齿圆柱齿轮示意图；

图2是求解齿基啮合刚度的参数定义；

图3是利用本发明所求得的斜齿圆柱齿轮一个啮合周期内的啮合刚度；

图4是斜齿圆柱齿轮有限元模型；

图5是本发明与有限元法求得斜齿圆柱齿轮啮合刚度比较。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，包括以下步骤：

1)计算直齿轮啮合刚度。首先沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向把斜齿圆柱齿轮划分成一系列交错排列的直齿轮。然后基于材料力学中的梁变形能理论，利用势能法计算任一直齿轮的啮合刚度。具体包括以下两个步骤：

1-1)沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向把斜齿圆柱齿轮划分成一系列交错排列的直齿轮；

由于螺旋角的存在，斜齿圆柱齿轮的啮合刚度不能像直齿轮那样通过二维平面模型进行分析。但是，如果将斜齿圆柱齿轮沿着齿宽方向划分成很多厚度很薄的斜齿轮，假设任一斜齿轮的厚度为dy。由于厚度很薄，可以将其近似当作直齿轮，如图1所示，那么斜齿圆柱齿轮就可以看作是由一系列直齿轮交错排列组成的。

1-2)基于材料力学中的梁变形能理论，利用势能法计算任一直齿轮的啮合刚度；

假设步骤1-1)中任一直齿轮在啮合过程中轮齿的势能包括4个部分：赫兹势能dU_h、弯曲势能dU_b、径向压缩变形能dU_a和剪切变形能dU_s，这四种势能可以分别用于计算赫兹啮合刚度dk_h、弯曲啮合刚度dk_b、径向压缩啮合刚度dk_a、剪切啮合刚度dk_s，总啮合刚度为各刚度的串联形式。由弹性力学、材料力学可知：

${\mathrm{dU}}_h=\frac{F^2}{2d{k}_h}=\frac{2F^2(1-v^2)}{\mathrm{\πE}}\mathrm{dy}---\left(1\right)$

${\mathrm{dU}}_b=\frac{F^2}{2d{k}_b}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{[F_b(d\left(y\right)-x)-F_{a}h\left(y\right)]}^2}{2\mathrm{Ed}{I}_x}\mathrm{dx}---\left(2\right)$

${\mathrm{dU}}_s=\frac{F^2}{2d{k}_s}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2{F_b}^2}{2\mathrm{Gd}{A}_x}\mathrm{dx}---\left(3\right)$

${\mathrm{dU}}_a=\frac{F^2}{2d{k}_a}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{F_a}^2}{2\mathrm{Ed}{A}_x}\mathrm{dx}---\left(4\right)$

其中，F为啮合点处的相互作用力，方向沿啮合线方向，F可分解为径向力F_a与切向力F_b，ν为泊松比，dy为所述直齿轮的厚度，E为弹性模量，G为剪切模量，dI_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的惯性矩，dA_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的面积，d(y)为啮合点与基圆之间的距离，h(y)表示啮合点与轮齿对称线之间的距离，y表示所述直齿轮距离斜齿圆柱齿轮端面的距离。

另外齿轮基体在齿轮啮合过程中也会发生柔性变形，齿轮基体柔性变形所对应的齿基刚度可表示为：

$\frac{1}{d{k}_f}=\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}{\mathrm{Edy}}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}---\left(5\right)$

参见图2，公式中dk_f表示所述直齿轮的齿基啮合刚度，a₁(y)表示F与F_b之间的夹角，μ_f(y)表示啮合线与轮齿对称线交点到齿根圆的距离，S_f表示所述直齿轮整个齿廓曲线所对应的弧长。

系数L^*,M^*,P^*,Q^*可以通过以下多项式求得：

$X_i^{*}=A_i/{{\mathrm{\θ}}_f}^2+B_i{h}_{\mathrm{fi}}^2+C_i{h}_{\mathrm{fi}}/{\mathrm{\θ}}_f+D_i/{\mathrm{\θ}}_f+E_i{h}_{\mathrm{fi}}+F_i---\left(6\right)$

A_i,B_i,C_i,D_i,E_i,F_i的值见表1，h_fi＝r_f/r_int，r_f表示齿根圆半径，r_int表示齿轮的轴孔半径，θ_f为所述直齿轮整个齿廓曲线所对应的角度。

表1A_i,B_i,C_i,D_i,E_i,F_i系数值

2)基于累计积分原理的斜齿轮啮合刚度计算：

2-1)利用累计积分原理对步骤1-2)得到的任一直齿轮啮合刚度进行积分得到斜齿圆柱齿轮啮合刚度；

以公式(2)为例，对其进行变换可得所述直齿轮弯曲啮合刚度为：

${\mathrm{dk}}_b=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{3{[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}---(7-1)$

同理可以得到dk_h、dk_s、dk_a以及dk_f：

${\mathrm{dk}}_h=\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}---(7-2)$

${\mathrm{dk}}_s=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {{\mathrm{\α}}_1}^2\left(y\right)}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}---(7-3)$

${\mathrm{dk}}_a=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {{\mathrm{\α}}_1}^2}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}---(7-4)$

${\mathrm{dk}}_f=\frac{\mathrm{Edy}}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}---(7-5)$

公式中h_x表示距离齿基圆x处齿廓曲线与轮齿对称线之间的距离。

然后沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向对公式进行积分，以(7-1)为例，就可以得到斜齿圆柱齿轮的总有效弯曲啮合刚度，如公式(8-1)所示：

$k_b={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{3{[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}---(8-1)$

同理可以得到k_h、k_s、k_a以及k_f：

$k_h={\∫}_0^l\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}---(8-2)$

$k_s={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}---(8-3)$

$k_a={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}---(8-4)$

$k_f={\∫}_0^l\frac{E}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}\mathrm{dy}---(8-5)$

为了方便起见，公式(8-1)中a₁(y)可以假设是随y线性变化的，a₁(y)可以表示为l表示接触线长度在齿宽方向的投影。

根据渐开线的几何特性d(y),h(y),x,h_x可表示为：

$\left\{\begin{array}{c}d\left(y\right)=R_b[\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)+({\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-{\mathrm{\α}}_2)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-\cos {\mathrm{\α}}_2]\\ h\left(y\right)=R_b[({\mathrm{\α}}_1\left(y\right)+{\mathrm{\α}}_2)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]\\ x=R_b[\cos \mathrm{\α}+(\mathrm{\α}-{\mathrm{\α}}_2)\cos \mathrm{\α}-\cos {\mathrm{\α}}_2]\\ h_x=R_b[(\mathrm{\α}+{\mathrm{\α}}_2)\cos \mathrm{\α}-\sin \mathrm{\α}]\end{array}\right.---\left(9\right)$

其中R_b表示基圆半径，α表示距离所述直齿轮基圆x处的转换角度，其他参数可参考图1定义，α₁表示斜齿圆柱齿轮端面啮合点与基圆之间距离d的转换角度，α₂表示齿廓曲线起点与齿轮圆心之间的连线与轮齿对称线的夹角，表示齿顶圆与基圆之间距离的转换角度。

将公式(9)带入公式(8-1)经过化简后，斜齿圆柱齿轮的总有效弯曲啮合刚度k_b可以表示为：

$k_b={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_{-{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{3{\{1+\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)[({\mathrm{\α}}_2-{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\sin \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\α}\left]\right\}}^2({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}}{2E{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}^3}\mathrm{d\α}}\mathrm{dy}---\left(10\right)$

同理可以得到k_s、k_a：

$k_s={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_{-{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{1.2(1+v)({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}{E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}}\mathrm{d\α}}\mathrm{dy}$

$k_a=\frac{1}{{\∫}_{-{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\sin }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}{2E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}}\mathrm{d\α}}\mathrm{dy}$

然而，公式(10)中的分母是不可积的不定积分。该积分的解析公式无法求出，只能通过数值积分进行求解。因此需要把公式(10)的积分用求和来进行代替，如公式(11)所示：

$k_b=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{3{\{1+\cos {{\mathrm{\α}}_1}^{\′}[({\mathrm{\α}}_2-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′})\sin \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\α}\left]\right\}}^2({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}}{2E{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}^3}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}---\left(11\right)$

公式(11)中Δy＝l/N，N表示斜齿圆柱齿轮被划分成直齿轮的数量。

同理可求得斜齿圆柱齿轮的赫兹啮合刚度k_h、剪切啮合刚度k_s，径向压缩啮合刚度k_a，齿基啮合刚度k_f，它们可以分别表示为公式(12)、(13)、(14)与(15)：

$k_h=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{\Δy}---\left(12\right)$

$k_s=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{1.2(1+v)({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\cos }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}---\left(13\right)$

$k_a=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\sin }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}---\left(14\right)$

$k_f=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′}}{E}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′})\}}\mathrm{\Δy}---\left(15\right)$

得到斜齿圆柱齿轮的赫兹啮合刚度、弯曲啮合刚度、剪切啮合刚度、径向压缩啮合刚度、齿基啮合刚度后就可以求得斜齿圆柱齿轮的总的啮合刚度。

综上所述，一对齿轮副总的啮合刚度可表示为：

$k=\frac{1}{\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_{f2}}}---\left(15\right)$

式中下标数字1、2分别表示主动轮与被动轮，如k_b1表示主动轮的弯曲啮合刚度。

当n对轮齿同时参与啮合时总的有效啮合刚度可表示为：

$k=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{1}{k_{h,i}}+\frac{1}{k_{b1,i}}+\frac{1}{k_{s1,i}}+\frac{1}{k_{f1,i}}+\frac{1}{k_{a1,i}}+\frac{1}{k_{b2,i}}+\frac{1}{k_{s2,i}}+\frac{1}{k_{a2,i}}+\frac{1}{k_{f2,i}}}---\left(16\right)$

公式中i＝1表示第一对轮齿啮合，i＝n表示第n对轮齿啮合。

实例

选定标准斜齿圆柱齿轮的参数与材料特性如表2所示。

表2选定标准斜齿圆柱齿轮的参数与材料特性

选定斜齿圆柱齿轮参数后利用本发明所述方法，通过matlab编写算法程序求得的斜齿圆柱齿轮的时变啮合刚度如图3所示。

下面用ISO标准与有限元软件验证本发明的有效性。

首先简要介绍ISO标准与有限元软件计算啮合刚度的过程

(1)ISO标准计算斜齿圆柱齿轮啮合刚度

ISO 6336-1-2006标准规定了求解单齿啮合刚度最大值与轮齿总刚度平均值的方法。单齿啮合刚度的最大值为：

c'＝c′_thC_MC_RC_Bcos(β)                  (17)

式中理论修正系数C_M＝0.8，轮胚结构系数C_R＝1，基本齿廓系数C_B＝1，β为齿轮螺旋角，单

对齿刚度的理论值c′_th，可表示为：

$q^{\′}=0.04723+\frac{0.15551}{z_{n1}}+\frac{0.25791}{z_{n2}}---\left(18\right)$

其中 $Z_{n1}\≈\frac{Z_1}{{\cos }^3\mathrm{\β}},Z_{n1}\≈\frac{Z_2}{{\cos }^3\mathrm{\β}},$ Z₁,Z₂为斜齿轮齿数。(18)

轮齿总刚度平均值可表示为：

c_γ＝(0.75ε_α+0.25)c'                     (19)

其中ε_α为重合度。

(2)有限元软件计算斜齿圆柱齿轮啮合刚度

求解斜齿圆柱齿轮啮合刚度的有限元模型如图4所示。给模型施加轴向与径向约束，在斜齿圆柱齿轮齿廓施加均布载荷用来模拟斜齿圆柱齿轮的啮合力。通过有限元软件进行求解就可以求得在载荷F作用下斜齿圆柱齿轮沿载荷方向的变形δ。对于一对齿轮副而言，啮合力同时作用在主动轮与被动轮上，主动轮与被动轮的变形δ₁、δ₂可以分别求得。

一对齿轮副的综合弹性变形是指一对齿在啮合过程中弹性变形的总和，可以表示为δ₁₂＝δ₁+δ₂，那么一对轮齿的啮合刚度就可以表示为：

$K_{12}=\frac{F}{{\mathrm{\δ}}_{12}}=\frac{K_1{K}_2}{K_1+K_2}---\left(20\right)$

其中 $K_1=\frac{F}{{\mathrm{\δ}}_1},K_2=\frac{F}{{\mathrm{\δ}}_2}.$

本实例中三种方法计算得到的斜齿圆柱齿轮的单齿刚度最大值与平均啮合刚度的比较如表3所示。从表3中可以看出三种方法所求得的结果十分接近，验证了本发明方法的正确性与准确性。

表3斜齿圆柱齿轮啮合刚度

本实例中利用有限元法与本发明方法计算得到的斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度的比较如图5所示。由图5可知，两种方法所求得的斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度十分接近，再次说明了本发明所提出方法的正确性。

表4为本发明方法与有限元法的计算效率比较，由表4可知，本发明所提出的斜齿圆柱齿轮啮合刚度解析计算方法求解时变啮合刚度的效率要远远高于有限元法。

表4时变啮合刚度计算时间

Claims (4)

1.一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，其特征在于：包括以下步骤：

1)直齿轮啮合刚度计算：

1-1)沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向将斜齿圆柱齿轮划分成一系列交错排列的直齿轮；

1-2)基于材料力学中的梁变形能理论，利用势能法计算任一直齿轮的啮合刚度；

2)基于累计积分原理的斜齿圆柱齿轮啮合刚度计算：

2-1)利用累计积分原理，沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向对步骤1-2)得到的任一直齿轮的啮合刚度进行积分，然后计算得到斜齿圆柱齿轮啮合刚度。

2.根据权利要求1所述一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，其特征在于：所述步骤1-1)具体包括以下步骤：

沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向将斜齿圆柱齿轮划分成多个厚度为dy的微段，从而使斜齿圆柱齿轮看作是由一系列交错排列的直齿轮组合而成。

3.根据权利要求1所述一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，其特征在于：所述任一直齿轮的啮合刚度采用以下公式计算：

${\mathrm{dU}}_h=\frac{F^2}{2d{k}_h}=\frac{2F^2(1-v^2)}{\mathrm{\πE}}\mathrm{dy}---\left(\text{1}\right)$

${\mathrm{dU}}_b=\frac{F^2}{2d{k}_b}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{[F_b(d\left(y\right)-x)-F_{a}h\left(y\right)]}^2}{2E{dI}_x}\mathrm{dx}---\left(2\right)$

$d{U}_s=\frac{F^2}{2d{k}_s}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2{F_b}^2}{2\mathrm{Gd}{A}_x}---\left(3\right)$

$d{U}_a=\frac{F^2}{2d{k}_a}={\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{F_a}^2}{2\mathrm{Ed}{A}_x}\mathrm{dx}---\left(4\right)$

$\frac{1}{d{k}_f}=\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)}{\mathrm{Edy}}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}---\left(5\right)$

其中，dk_h为任一直齿轮的赫兹啮合刚度，dk_b为所述直齿轮的弯曲啮合刚度，dk_a为所述直齿轮的径向压缩啮合刚度，dk_s为所述直齿轮的剪切啮合刚度，dk_f为所述直齿轮的齿基啮合刚度；dU_h表示赫兹势能，dU_b表示弯曲势能，dU_s表示剪切变形能，dU_a表示径向压缩变形能，F为啮合点处的相互作用力，F的方向沿啮合线方向，F分解为径向力F_a与切向力F_b，v为泊松比，dy为所述直齿轮的厚度，E为弹性模量，G为剪切模量，dI_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的惯性矩，dA_x为距离基圆x处所述直齿轮轮齿截面的面积，d(y)为啮合点与基圆之间的距离，h(y)表示啮合点与轮齿对称线之间的距离，y表示所述直齿轮距离斜齿圆柱齿轮端面的距离，a₁(y)表示F与F_b之间的夹角，μ_f(y)表示啮合线与轮齿对称线交点到齿根圆的距离，S_f表示所述直齿轮整个齿廓曲线所对应的弧长，L^*,M^*,P^*,Q^*为4个与斜齿圆柱齿轮的模数、齿数有关的参数。

4.根据权利要求3所述一种斜齿圆柱齿轮时变啮合刚度解析计算方法，其特征在于：所述步骤2-1)具体包括以下步骤：

(a)首先对公式(1)、公式(2)、公式(3)、公式(4)以及公式(5)分别进行变换，得到：

${\mathrm{dk}}_h=\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}$

${\mathrm{dk}}_b=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{{3[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_s=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {{\mathrm{\α}}_1}^2\left(y\right)}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_a=\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {{\mathrm{\α}}_1}^2\left(y\right)}{2E{h}_x\mathrm{dy}}\mathrm{dx}}$

${\mathrm{dk}}_f=\frac{\mathrm{Edy}}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}$

其中，h_x表示距离基圆x处齿廓曲线与轮齿对称线之间的距离；

(b)沿斜齿圆柱齿轮齿宽方向对步骤(a)中公式进行积分，得到斜齿圆柱齿轮的赫兹啮合刚度k_h、弯曲啮合刚度k_b、剪切啮合刚度k_s、径向压缩啮合刚度k_a以及齿基啮合刚度k_f：

$k_h={\∫}_0^l\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{dy}$

$k_b={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{3{[(d\left(y\right)-x)\cos {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)-h\left(y\right)\sin {\mathrm{\α}}_1\left(y\right)]}^2}{2E{h}_x^3}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_s={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{1.2\cos {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_a={\∫}_0^l\frac{1}{{\∫}_0^{d\left(y\right)}\frac{\sin {\mathrm{\α}}_1{\left(y\right)}^2}{2E{h}_x}\mathrm{dx}}\mathrm{dy}$

$k_f={\∫}_0^l\frac{E}{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right)\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1\left(y\right))\}}\mathrm{dy}$

l表示接触线长度在齿宽方向的投影；

(c)对步骤(b)中的公式进行简化，然后通过数值积分求解得到：

$k_h=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{\mathrm{\πE}}{4(1-v^2)}\mathrm{\Δy}$

$k_b=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{3\{1+\cos {{\mathrm{\α}}_1}^{\′}[{({\mathrm{\α}}_2-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′})\sin \mathrm{\α}-\cos \mathrm{\α}\left]\right\}}^2({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}}{2E{[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}^3}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_s=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{1.2(1+v)({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\cos }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_a=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{{\∫}_{-{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}^{{\mathrm{\α}}_2}\frac{({\mathrm{\α}}_2-a)\cos \mathrm{\α}{\sin }^2{{\mathrm{\α}}_1}^{\′}}{2E[\sin \mathrm{\α}+({\mathrm{\α}}_2-\mathrm{\α})\cos \mathrm{\α}]}\mathrm{d\α}}\mathrm{\Δy}$

$k_f=\underset{i=1}{\overset{N}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′}}{E}\{L^{*}{\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)}^2+M^{*}\left(\frac{{\mathrm{\μ}}_f\left(y\right)}{S_f}\right)+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1^{\′})\}}\mathrm{\Δy}$

其中，Δy＝l/N，N表示斜齿圆柱齿轮被划分成直齿轮的数量，α₁表示斜齿圆柱齿轮端面啮合点与基圆之间距离d的转换角度，α表示距离所述直齿轮基圆x处的转换角度，α₂表示齿廓曲线起点与齿轮圆心之间的连线与轮齿对称线的夹角，表示齿顶圆与基圆之间距离的转换角度；

(d)当n对轮齿同时参与啮合时的啮合刚度表示为：

$k=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathrm{\Σ}}}\frac{1}{\frac{1}{k_{h,i}}+\frac{1}{k_{b1,i}}+\frac{1}{k_{s1,i}}+\frac{1}{k_{f1,i}}+\frac{1}{k_{a1,i}}+\frac{1}{k_{b2,i}}+\frac{1}{k_{s2,i}}+\frac{1}{k_{a2,i}}+\frac{1}{k_{f2,i}}}$

其中，下标1表示一对齿轮副中的主动轮，下标2表示一对齿轮副中的被动轮。