CN104318017A - 一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法，首先利用非对称齿轮的齿廓方程计算齿廓上等份关键点的坐标，运用ANSYS软件创建齿廓关键点，由关键点生成齿廓样条曲线，然后由下而上建立单齿端面、整齿端面、非对称圆柱直齿轮实体模型、非对称圆柱直齿轮传动副实体模型，最后划分有限元网格，设置动力学约束和载荷，得到非对称圆柱直齿轮传动副有限元模型。本发明的整个建模过程实现了参数化，可以大大提高齿轮传动系统有限元建模质量，提高分析效率。

Description

一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法

技术领域

本发明涉及一种基于显式动力学分析的齿轮有限元建模方法，特别是一种双压力角非对称圆柱直齿轮副的有限元建模方法。

背景技术

在单向传动中，增大齿面受压侧压力角，使受压侧齿面同非受压侧齿面形成不对称分布，可以显著提高齿轮传动的重合度，减小齿轮接触应力、齿根弯曲应力、齿轮轴约束反力，从而提高齿轮传动稳定性。非对称齿轮是一种有效的提高轮齿性能和承载能力的新型齿轮。非对称齿轮传动的动态数值仿真分析是研究其传动性能和机理的有效方法之一。传统的齿轮建模是利用三维造型软件(Pro/E、UG)，通过输入标准圆柱直齿轮的基本参数，建立对称齿轮的单齿几何模型，然后转入有限元分析软件中建立其有限元模型，进行进一步分析。传统的建模方法很难实现非对称齿轮的几何建模，几何模型转入有限元软件中很容易丢失部分几何信息，而且每次建模只能为单一的某个特定类型的齿轮建立模型，加大了利用有限元技术对齿轮研究和设计分析的工作量。传统的有限元分析大多实现齿轮单齿间或单齿与齿条间啮合，分析时通常基于多啮合状态的静态分析，属于伪动态分析，不能实现齿轮完整的一个旋转周期内的连续动态仿真分析。

发明内容

本发明要解决的技术问题是提供一种基于显式动力学分析的双压力角非对称圆柱直齿轮副的有限元直接建模方法，能够提高非对称系列齿轮的建模效率，实现了非对称齿轮动态啮合分析的参数化、智能化。

实现本发明目的的技术方案是提供一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法，包括如下步骤：

①参数化建立非对称渐开线齿廓曲线，具体过程为：

1.1)将非对称渐开线齿轮的齿廓曲线分成：受压侧齿廓曲线、受压侧齿根过度曲线、非受压侧齿廓曲线、非受压侧齿根过度曲线四部分；以齿轮的齿数、模数、齿轮受压侧压力角、非受压侧压力角、齿顶高系数、顶隙系数为输入参数，利用ANSYS的APDL编程语言将非对称齿廓进行参数化编程，计算出齿廓曲线，将每段齿廓曲线按进行等份取点；

齿轮受压侧齿廓关键点坐标(x_A,y_A)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}\cos {\mathrm{\α}}_d}{2\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}}\left[\begin{array}{cc}-\sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\\ \sin \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\end{array}\right]$

上式中:α_Ad-受压侧曲线点的压力角， $\tan {\mathrm{\α}}_d-\frac{4h_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left(2{\mathrm{\α}}_d\right)}\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Md}}\≤\arccos \frac{z\·\cos {\mathrm{\α}}_d}{z+2h_{\mathrm{da}}^{*}};$

m—模数；n—齿数；α_d-受压侧分度圆压力角；—受压侧齿顶高系数；

齿轮受压侧齿根关键点坐标(xB,yB)，按受压侧变参数在取值值范围内等份取点计算：

$\left[\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\sin {\mathrm{\θ}}_d& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\\ \cos {\mathrm{\θ}}_d& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ R+\frac{Q}{\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}}\end{array}\right]$

上式中： ${\mathrm{\θ}}_d=\frac{2(a\·\cot {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Bd—变参数，α_d≤α_Bd≤90°；

R—到顶圆角半径， $R=\frac{\frac{\mathrm{\πm}}{2}-({\tan \mathrm{\α}}_c+{\tan \mathrm{\α}}_d)(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m}{\sec {\mathrm{\α}}_c+\sec {\mathrm{\α}}_d-{\tan \mathrm{\α}}_c-{\tan \mathrm{\α}}_d};$

α_c—非受压侧分度圆压力角；—受压侧齿轮径向间隙系数；

Q—刀具参数， $Q=(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m-R;$

轮非受压侧齿廓关键点坐标(x_C,y_C)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_C\\ y_C\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}\cos {\mathrm{\α}}_c}{2\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}}\left[\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& -\cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\\ \sin \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\end{array}\right]$

上式中：α_Cc—非受压侧点的压力角，

$\arctan (\tan {\mathrm{\α}}_c-\frac{4h_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left(2{\mathrm{\α}}_c\right)})\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\≤\arccos \frac{z\·\cos {\mathrm{\α}}_c}{z+2h_{\mathrm{ad}}^{*}};$

齿轮非受压侧齿根关键点坐标(x_D,y_D)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_D\\ y_D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\sin {\mathrm{\θ}}_c& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\\ \cos {\mathrm{\θ}}_c& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ r_{\mathrm{\ρ}}+\frac{a}{\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}}\end{array}\right]$

式中： ${\mathrm{\θ}}_c=\frac{2(Q\·\cot {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Dc—变参数，α_c≤α_Dc≤90°；

1.2)采用样条曲线分别连接受压侧和非受压侧点，生成齿廓曲线；

②参数化单齿端面建模，具体过程为：

2.1)过齿廓曲线两最高点，以坐标原点为圆心，作过这两点的圆弧，生成齿顶圆弧；

2.2)在坐标原点生成一个关键点，由坐标原点向两齿根过度曲线处最低点连接两根直线；通过这两根直线、受压侧齿根过度曲线、受压侧齿廓曲线、齿顶圆弧、非受压侧齿廓曲线、非受压侧齿根过度曲线生成单齿端面；

③参数化整齿断面建模，具体过程为：

3.1)将单齿端面在极坐标下复制出齿数n个单齿，依次偏移角度为360/n度；

3.2)对各单齿端面进行叠加运算得到齿轮面；

3.3)以坐标原点为圆心，以齿轮圆孔半径RK作圆，通过布尔减运算，得到齿轮端面；

④参数化齿轮实体建模，具体过程为：

在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面沿端面垂直方向拉伸齿宽B的长度，得到齿轮的三维实体模型；

⑤参数化从动齿轮建模，具体过程为：

5.1)在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面上移一个齿轮副中心矩的距离；

5.2)同步骤①、②、③、④建立从动齿轮的实体模型，如果主动齿轮齿数为偶数，则从动齿轮绕坐标原点逆时针转动半个从动齿轮单齿角度；

⑥参数化齿轮有限元建模，具体过程为：

6.1)定义齿轮材料常数、单元类型、单元参数；

6.2)设置齿面单元尺寸，采用扫略网格的划分方法，将非对称齿轮副划分有限元网格，将两齿轮内圈划分为刚性单元；

⑦基于ANSYS显式动力学分析的非对称齿轮接触、约束定义、定义载荷，具体过程为：

7.1)创建节点组：选择主、从动齿轮受压侧节点，并定义节点组；

7.2)定义接触：主动齿轮上节点组为接触组件，从动齿轮上节点组为目标组件，设置摩擦接触参数；

7.3)定义主动齿轮和从动齿轮的质心，约束主动齿轮和从动齿轮的位移；

7.4)在主动齿轮内圈上施加角速度，在从动齿轮内圈上加载转矩。

本发明具有积极的效果：本发明通过非对称齿轮的四段齿廓曲线方程，以对应的压力角和变参参为变量取点，采用APDL语言编程，得到齿廓曲线，避免了四段曲线出现交叉和重叠。通过齿廓曲线生成非对称齿轮实体模型，定义显式动力学参数，可以实现非对称齿轮的动态啮合分析。建模过程中可以通过改变输入参数，构建包括对称齿轮在内的不同参数下齿轮副的有限元模型。本发明集齿廓设计、实体建模、参数定义于一体，可以实现非对称齿轮传动动态啮合分析的参数化和智能化，能够有效提有限元分析的质量和效率。

附图说明

图1本发明提出的非对称齿廓关键点图；

图2本发明提出的非对称齿廓曲线图；

图3本发明提出的非对称单齿端面图；

图4本发明提出的非对称整齿端面图；

图5本发明提出的非对称圆柱直主动齿轮实体图；

图6本发明提出的非对称圆柱直齿轮副实体图；

图7本发明提出的非对称圆柱直齿轮副有限元模型图。

具体实施方式

(实施例1)

下面结合附图和具体实施例，进一步阐述本发明，本实施例的一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法包括如下几个步骤：

①参数化建立非对称渐开线齿廓曲线：

表1：非对称圆柱直齿轮建模参数

主动齿轮齿数n1	45	从动齿轮齿数n2	22
				模数M	3mm	齿宽B	22mm
受压侧压力角AD	28°	非受压侧压力角AC	20°
				齿顶高系数HA	1	顶隙系数CC	0.25

1.1将非对称渐开线齿轮的齿廓曲线分成：受压侧齿廓曲线、受压侧齿根过度曲线、非受压侧齿廓曲线、非受压侧齿根过度曲线四部分。将表1中齿轮的齿数、模数、齿轮受压侧压力角、非受压侧压力角、齿顶高系数、顶隙系数为输入参数，利用ANSYS的APDL编程语言将非对称齿廓方程进行参数化编程，计算出齿廓曲线，将每段齿廓曲线进行6等份取点，依次编号为1～24。如图1所示。

齿轮受压侧齿廓关键点坐标(xA,yA)(按受压侧压力角在取值值范围内6等份取点计算)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}\cos {\mathrm{\α}}_d}{2\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}}\left[\begin{array}{cc}-\sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\\ \sin \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\end{array}\right]$

式中:α_Ad-受压侧曲线点的压力角(o)，

$\tan {\mathrm{\α}}_d-\frac{4h_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left(2{\mathrm{\α}}_d\right)}\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Md}}\≤\arccos \frac{z\·\cos {\mathrm{\α}}_d}{z+2h_{\mathrm{da}}^{*}},$

m—模数(mm)；n—齿数；α_d-受压侧分度圆压力角(o)；

—受压侧齿顶高系数。

齿轮受压侧齿根关键点坐标(xB,yB)(按受压侧变参数在取值值范围内6等份取点计算)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\sin {\mathrm{\θ}}_d& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\\ \cos {\mathrm{\θ}}_d& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ R+\frac{Q}{\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}}\end{array}\right]$

[式中： ${\mathrm{\θ}}_d=\frac{2(a\·\cot {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Bd—变参数，α_d≤α_Bd≤90°；

R—到顶圆角半径(mm)， $R=\frac{\frac{\mathrm{\πm}}{2}-({\tan \mathrm{\α}}_c+{\tan \mathrm{\α}}_d)(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m}{\sec {\mathrm{\α}}_c+\sec {\mathrm{\α}}_d-{\tan \mathrm{\α}}_c-{\tan \mathrm{\α}}_d},$

α_c—非受压侧分度圆压力角(o)；—受压侧齿轮径向间隙系数；

Q—刀具参数， $Q=(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m-R.$

非受压侧齿廓关键点坐标(xC,yC)(按非受压侧压力角在取值值范围内6等份取点计算)： $\left[\begin{array}{c}{x}_C\\ y_C\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}\cos {\mathrm{\α}}_c}{2\cos {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}}\left[\begin{array}{cc}\sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& -\cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin (\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\\ \sin \left(\mathrm{inv}{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\end{array}\right]$

式中：α_Cc—非受压侧点的压力角(o),

$\arctan (\tan {\mathrm{\α}}_c-\frac{4h_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left(2{\mathrm{\α}}_c\right)})\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\≤\arccos \frac{z\·\cos {\mathrm{\α}}_c}{z+2h_{\mathrm{ad}}^{*}};$

非受压侧齿根关键点坐标(xD,yD)(按非受压侧变参数在取值值范围内6等份取点计算)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_D\\ y_D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\sin {\mathrm{\θ}}_c& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\\ \cos {\mathrm{\θ}}_c& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ r_{\mathrm{\ρ}}+\frac{a}{\sin {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}}\end{array}\right]$

式中： ${\mathrm{\θ}}_c=\frac{2(Q\·\cot {\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Dc—变参数，α_c≤α_Dc≤90°。

1.2)采用样条曲线(BSPLIN)分别依次连接受压侧和非受压侧点，生成齿廓曲线L1、L2，如图2所示。

②参数化非对称单齿端面建模，包括步骤有：

2.1)过齿廓曲线两最高点K12、K13，以坐标原点为圆心，作过这两点的圆弧，生成齿顶圆弧L3。

2.2)在坐标原点生成一个关键点K25，由坐标原点向两齿根过度曲线处最低点K1、K24连接两根直线L4、L5。通过L1、L2、L3、L4、L5生成图3所示的单齿端面A1。

③参数化非对称整齿断面建模，包括步骤有：

3.1)将单齿端面在极坐标下复制出齿数Z1个单齿，并依次偏移角度为360/Z1度。

3.2)对各单齿端面进行叠加运算得到齿轮面A2。

3.3)以坐标原点为圆心，以齿轮圆孔半径RK＝40m作圆A4，将齿轮面对齿轮空进行减运算，得到图4所示的齿轮端面A5。

④参数化非对称圆柱直齿轮实体建模：在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面沿端面垂直方向拉伸齿宽B＝22mm的长度，得到图5所示的齿轮三维实体模型V1。

⑤参数化非对称圆柱从动齿轮建模，包括步骤有：

5.1)在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面上移一个齿轮副中心矩DY＝M*(Z1+Z2)/2的距离。

5.2)同步骤1、2、3、4建立从动齿轮的实体模型V2，将从动齿轮模型V2绕坐标原点逆时针转动半个从动齿轮单齿角度180/Z2，可以得到图6所示的非对称圆柱直齿轮副实体模型。

⑥参数化非对称圆柱直齿轮副有限元建模，包括步骤有：

6.1)定义表2所示的齿轮材料常数、单元类型。

表2：齿轮材料参数、单元类型

6.2)设置齿面单元尺寸为2m，采用扫略网格的划分方法，将非对称圆柱直齿轮副划分有限元网格SOLID164，将两齿轮内圈划分为刚性单元SHELL163。

⑦基于ANSYS显式动力学分析的非对称齿轮接触、约束定义、定义载荷，包括步骤有：

7.1)选择主动齿轮受压侧节点，并定义节点为节点组ZHUJIECHU，选择从动齿轮受压侧节点，并定义节点为节点组CONGJIECHU。

7.2)定义接触：以主动齿轮上节点组ZHUJIECHU为接触组件，从动齿轮上节点组为CONGJIECHU目标组件，设置摩擦系数F＝0.1。

7.3)将主动齿轮和从动齿轮的质心定义在其齿轮圆心处，约束主动齿轮和从动齿轮除了绕Z的转动位移ROTZ外的所有位移。

7.4)在主动齿轮内圈上加角速度RBRZ＝150.8rad/s，在从动齿轮内圈上加载转矩RBMZ＝230N·m。

得到的非对称圆柱直齿轮副有限元模型如图7所示。

Claims (1)

1.一种非对称圆柱直齿轮副的建模方法，其特征在于包括如下步骤：

①参数化建立非对称渐开线齿廓曲线，具体过程为：

1.1)将非对称渐开线齿轮的齿廓曲线分成：受压侧齿廓曲线、受压侧齿根过度曲线、非受压侧齿廓曲线、非受压侧齿根过度曲线四部分；以齿轮的齿数、模数、齿轮受压侧压力角、非受压侧压力角、齿顶高系数、顶隙系数为输入参数，利用ANSYS的APDL编程语言将非对称齿廓进行参数化编程，计算出齿廓曲线，将每段齿廓曲线按进行等份取点；

齿轮受压侧齿廓关键点坐标(x_A,y_A)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_A\\ y_A\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}{\cos \mathrm{\α}}_d}{2{\cos \mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}}\left[\begin{array}{cc}-\sin ({\mathrm{inv\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \cos ({\mathrm{inv\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos ({\mathrm{inv\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin ({\mathrm{inv\α}}_d+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left({\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\\ \sin \left({\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{Ad}}\right)\end{array}\right]$

上式中:α_Ad-受压侧曲线点的压力角， ${\tan \mathrm{\α}}_d-\frac{{4h}_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left({2\mathrm{\α}}_d\right)}\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Md}}\≤\arccos \frac{z\·{\cos \mathrm{\α}}_d}{z+{2h}_{\mathrm{ad}}^{*}};$

m—模数；n—齿数；α_d-受压侧分度圆压力角；—受压侧齿顶高系数；

齿轮受压侧齿根关键点坐标(x_B,y_B)，按受压侧变参数在取值值范围内等份取点计算：

$\left[\begin{array}{c}{x}_B\\ y_B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-\sin \mathrm{\θ}}_d& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\\ {\cos \mathrm{\θ}}_d& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}-{\mathrm{\θ}}_d)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ R+\frac{Q}{{\sin \mathrm{\α}}_{\mathrm{Bd}}}\end{array}\right]$

上式中： ${\mathrm{\θ}}_d=\frac{2(a\·{\cot \mathrm{\α}}_{\mathrm{Ad}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Bd—变参数，α_d≤α_Bd≤90°；

R—到顶圆角半径， $R=\frac{\frac{\mathrm{\πm}}{2}-({\tan \mathrm{\α}}_c+{\tan \mathrm{\α}}_d)(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m}{{\sec \mathrm{\α}}_c+{\sec \mathrm{\α}}_d-{\tan \mathrm{\α}}_c-{\tan \mathrm{\α}}_d};$

α_c—非受压侧分度圆压力角；—受压侧齿轮径向间隙系数；

Q—刀具参数， $Q=(h_{\mathrm{ad}}^{*}+c_d^{*})m-R;$

齿轮非受压侧齿廓关键点坐标(x_C,y_C)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_C\\ y_C\end{array}\right]=\frac{\mathrm{mn}{\cos \mathrm{\α}}_c}{{2\cos \mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}}\left[\begin{array}{cc}\sin ({\mathrm{inv\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& -\cos ({\mathrm{inv\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\\ \cos ({\mathrm{inv\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})& \sin ({\mathrm{inv\α}}_c+\frac{\mathrm{\π}}{2n})\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \left({\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\\ \sin \left({\mathrm{inv\α}}_{\mathrm{Cc}}\right)\end{array}\right]$

上式中：α_Cc—非受压侧点的压力角，

$\arctan ({\tan \mathrm{\α}}_c-\frac{{4h}_{\mathrm{ad}}^{*}}{z\·\sin \left({2\mathrm{\α}}_c\right)})\≤{\mathrm{\α}}_{\mathrm{Cc}}\≤\arccos \frac{z\·{\cos \mathrm{\α}}_c}{z+{2h}_{\mathrm{ad}}^{*}};$

齿轮非受压侧齿根关键点坐标(x_D,y_D)：

$\left[\begin{array}{c}{x}_D\\ y_D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{-\sin \mathrm{\θ}}_c& \cos ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\\ {\cos \mathrm{\θ}}_c& -\sin ({\mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}-{\mathrm{\θ}}_c)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{\mathrm{mn}}{2}\\ r_{\mathrm{\ρ}}+\frac{a}{{\sin \mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}}\end{array}\right]$

式中： ${\mathrm{\θ}}_c=\frac{2(Q\·{\cot \mathrm{\α}}_{\mathrm{Dc}}+\frac{\mathrm{\πm}}{2})}{\mathrm{mn}};$ α_Dc—变参数，α_c≤α_Dc≤90°；

1.2)采用样条曲线分别连接受压侧和非受压侧点，生成齿廓曲线；

②参数化单齿端面建模，具体过程为：

2.1)过齿廓曲线两最高点，以坐标原点为圆心，作过这两点的圆弧，生成齿顶圆弧；

2.2)在坐标原点生成一个关键点，由坐标原点向两齿根过度曲线处最低点连接两根直线；通过这两根直线、受压侧齿根过度曲线、受压侧齿廓曲线、齿顶圆弧、非受压侧齿廓曲线、非受压侧齿根过度曲线生成单齿端面；

③参数化整齿断面建模，具体过程为：

3.1)将单齿端面在极坐标下复制出齿数n个单齿，依次偏移角度为360/n度；

3.2)对各单齿端面进行叠加运算得到齿轮面；

3.3)以坐标原点为圆心，以齿轮圆孔半径RK作圆，通过布尔减运算，得到齿轮端面；

④参数化齿轮实体建模，具体过程为：

在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面沿端面垂直方向拉伸齿宽B的长度，得到齿轮的三维实体模型；

⑤参数化从动齿轮建模，具体过程为：

5.1)在笛卡尔坐标系下，将齿轮端面上移一个齿轮副中心矩的距离；

5.2)同步骤①、②、③、④建立从动齿轮的实体模型，如果主动齿轮齿数为偶数，则从动齿轮绕坐标原点逆时针转动半个从动齿轮单齿角度；

⑥参数化齿轮有限元建模，具体过程为：

6.1)定义齿轮材料常数、单元类型、单元参数；

6.2)设置齿面单元尺寸，采用扫略网格的划分方法，将非对称齿轮副划分有限元网格，将两齿轮内圈划分为刚性单元；

⑦基于ANSYS显式动力学分析的非对称齿轮接触、约束定义、定义载荷，具体过程为：

7.1)创建节点组：选择主、从动齿轮受压侧节点，并定义节点组；

7.2)定义接触：主动齿轮上节点组为接触组件，从动齿轮上节点组为目标组件，设置摩擦接触参数；

7.3)定义主动齿轮和从动齿轮的质心，约束主动齿轮和从动齿轮的位移；

7.4)在主动齿轮内圈上施加角速度，在从动齿轮内圈上加载转矩。