CN103942397A - 基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，包括如下步骤：根据工况选取合适的修形齿轮设计参数与修形参数；选取修形曲线幂函数规律，推导修形曲线幂函数规律中相关未知系数；基于三维建模软件的二次开发平台，建立输入界面，输入修形齿轮设计参数与修形参数，完成三维修形齿轮的数字化造型。该方法使得用户只需输入齿轮设计参数与修形参数即可快速生成修形齿轮的数字化模型，非常方便。

Description

基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法

技术领域

本发明涉及齿轮建模与加工领域，尤其是一种基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法。

背景技术

数字化设计技术是一门综合了CAD/CAM技术、现代控制技术、人机工程技术、网络技术、图形显示技术、数据库技术、逆向工程、工业设计技术、数控加工技术于一身的多学科交叉的高新技术。数字化设计主要包括用于计算机辅助设计CAD、数字化仿真及其相应文档的设计，其主要支持产品开发全过程、产品创新设计、产品相关数据管理、企业产品开发流程与优化等。由于CAE及其与CAD集成技术的研究的发展，使得通过模拟仿真预知产品加工中遇到的问题成为可能。因此，产品数字化设计与制造的目的不仅仅是为了缩短产品的研发周期，提高生产效率和降低成本，同时也是是对传统设计与制造的一次彻底的革命。

随着计算机技术的不断提高以及互联网技术的普遍应用，CAD、CAM、CAE、PDM等技术也获得了长足的发展。目前来看数字化设计技术的发展趋势有：

(1)单项技术趋于完善化：CAD技术的新发展包括曲面建模技术、曲面与实体集成技术、实体建模技术、大型组件设计技术等。

(2)PDM与CAD、CAE、CAPP技术的集成：当今和今后的一段时期内主要集中在封装、接口和集成技术。

(3)数字化设计与虚拟制造的无缝连接：基于CAD技术和以计算机作支撑的仿真技术形成了虚拟制造过程，从而大大缩短产品开发周期，提高一次成功率。

(4)数字化设计的网络化：网络技术使得并行协同一地设计成为可能，必将极大的扩展强化数字化设计的功能。以三维实体建模技术为核心的CAD技术、虚拟样机技术、有限元技术为核心的CAE技术已日益成熟，并被极大的应用到机械产品的数字化设计进程中。其中CAD软件比较侧重于三维实体设计但分析能力较弱，而CAE软件工程分析能力强大而建模能力偏弱，这些特点在一定程度上影响了软件的功能发挥。现如今CAD软件和CAE软件之间的无缝连接功能促进了CAD/CAE集成仿真技术的发展，使得两者的功能都能得到充分的发挥，协同仿真的作用更为突出。用于数字化设计的三维CAD主流支撑软件有Unigraphics

(UG)、Pro/Engineer、CATIA、SolidWorks等。现有上述三维建模软件中，部分商用软件缺乏基本的标准齿轮生成模块，剩余软件中虽带有齿轮建模模块但是只能生成标准齿轮，修形齿轮数字化设计模块更是一片空白。为了完成修形齿轮建模只能采用在草图环境中逐条画线并约束生成修形齿轮齿廓的方法，且出现修形曲线函数规律不能准确控制的现象，修形建模效果很不理想且重复性操作很多。因此，现有三维软件在处理修形齿轮建模方面的能力非常有限而且效率低下，严重影响后续齿轮分析与齿轮加工工作。

发明内容

本发明要解决的技术问题是：为用户提供了一种基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，用户只需输入齿轮设计参数与修形参数即可快速生成修形齿轮的数字化模型。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：一种基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，包括如下步骤：

步骤一、根据工况选取合适的修形齿轮设计参数与修形参数，所述齿轮设计参数包括齿轮模数、齿数、分度圆压力角、修形齿轮宽度，所述修形参数包括修形长度、最大修形量、修形指数；

步骤二、选取满足幂函数规律的修形曲线，推导修形曲线幂函数规律中相关未知系数；

步骤三、基于三维建模软件的二次开发平台，利用二次开发语言在记事本中编写生成源文件，再经编译、链接生成能够在三维软件环境下运行的文件，建立修形齿轮基本参数的输入界面，输入修形齿轮设计参数与修形参数，完成三维修形齿轮的数字化造型。

所述修形长度和最大修行量采用Aeecstokes公式或ISO-R53MaagNFE23-011公式。

传统方法在对修形齿轮进行数字化设计时均是在草图环境下进行，其操作过程相当繁琐，而且修形曲线规律控制效果较差。本发明基于现有三维软件二次开发平台，通过开发平台提供的交互式函数建立修形齿轮基本参数的输入界面，修形齿轮数字化设计插件主界面包括齿轮设计参数和齿廓修形参数两大部分。在修形齿轮数字化设计插件运行的背后，修形齿轮的数字化建模流程大致为：首先在齿轮中心处建立全局坐标系，然后此坐标系下生成修形齿轮的二维轮廓草图，包括基圆、齿根圆、分度圆、齿顶圆等，接着根据传动齿轮的设计参数，计算并生成标准齿轮的齿廓节点坐标，再将上述点拟合成渐开线，然后通过输入的最大修形量确定的修形起点建立局部坐标系，紧接着选择幂函数曲线作为修形方式计算修形齿轮齿廓节点的坐标再将其拟合成修形曲线，并且要求修形曲线过由修形长度确定的修形起点和由最大修形量确定的终点，最后拉伸建立修形齿轮的三维模型。该方案的难点为：修形曲线与渐开线上的点在全局坐标系和局部坐标系中的相互转换。

本发明采用满足幂函数规律的修形曲线，工程技术人员也可以根据实践需要选取其他类型的修形曲线，如直线方程、二次方程、圆弧方程、Walker方程等修形曲线。本发明通过给定修形长度确定修形起点、最大修形量确定修形曲线所要通过的点，同时给定修形指数n控制修形曲线的弯曲程度，有了这些基本参数即可确定修形系数a,并且给定一系列修形系数即可得到一系列齿廓弯曲程度不同的修形齿轮。所述修形曲线幂函数规律如下：

y＝axⁿ

其中：a—修形系数，n—修形指数。

本发明中修形曲线未知系数的推导方法如下：在全局坐标系XOY中，将渐开线线上每一点坐标表示成该点处压力角的函数，代入A点处的压力角即可得到A点全局坐标，再将A点绕O点旋转以最大修形量为弧长所对应的角度θ至D点，最后再将D点全局坐标通过坐标变换变

换至局部坐标系X'O'Y'中得出D点的局部坐标(x′_D,y′_D)。

为了使推导过程简明易懂，现将推导公式过程中坐标变换部分表示成矩阵的形式，具体计算公式如下(以下所有公式中涉及到的角度均采用角度制)：

渐开线极坐标方程：

$r_k=\frac{r_b}{\cos {\mathrm{\α}}_k}$

θ_k＝tanα_k-α_k

其中：rb—基圆半径，rk—渐开线上任意一点K处的向径，θ_k—渐开线上任意一点K处的展角，α_k—

渐开线上任意一点K处的压力角；

由于三维软件绘制公式曲线必须要在直角坐标系下进行，因此，需要将极坐标方程转化为直角坐标方程才能绘制公式曲线。渐开线上任意一点在全局坐标系下直角坐标为：

x_i＝r_b×cosφ_i+r_b×φ_i'×sinφ_i

y_i＝r_b×sinφ_i-r_b×φ_i'×cosφ_i

其中：φ_i—渐开线上任意一点i处的滚动角，φ_i′—

渐开线上任意一点i处的滚动角所对应的弧度值；

考虑到该方程中的参数滚动角在齿轮设计过程中不便引用，因此需要建立以渐开线上任意一点处压力角为参数的渐开线方程：

$x_i=r_b\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})+r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$ $y_i=r_b\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})-r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}});$

将渐开线上点A在全局坐标系XOY中旋转弧长为最大修形量所对应的角度θ至D点，再将D点变换至局部坐标系下的矩阵表示形式如下：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_D^{\′}& y_D^{\′}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -x_0^{\′}\cos \mathrm{\α}-y_0^{\′}\sin \mathrm{\α}& x_0^{\′}\sin \mathrm{\α}-y_0^{\′}\mathrm{\α}& 1\end{array}\right]$

最后，修形系数a求解公式：

本发明的有益效果是：本发明基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法应用三维软件二次开发工具开发，可以减少在齿轮建模过程中的重复性操作，灵活地实现了修形齿轮的参数化建模，用户只需输入修形齿轮设计参数与修形参数即可完成修形齿轮建模，极大地提高了三维软件的建模效率；修形齿轮数字化设计插件可以实现齿轮的参数化驱动，并针对较为常见和符合生产实际的齿轮齿廓修形方式的修形齿轮进行建模；实现了修形齿轮的齿廓曲线节点坐标、压力角、向径、修形量等相关参数的自动计算，这也为分析研究齿轮副的弹性变形和接触分析问题提供了便利。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

图1是本发明基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法的修形系数推导的坐标示意图。

具体实施方式

现在结合附图对本发明作进一步详细的说明。这些附图均为简化的示意图，仅以示意方式说明本发明的基本结构，因此其仅显示与本发明有关的构成。

本发明的主要步骤分为修形齿轮参数选取、修形曲线未知系数的推导、修形齿轮程序编写，具体实施方式如下：

1.选取修形齿轮基本参数

修形齿轮的基本参数有模数、齿数、分度圆压力角、修形长度、最大修形量、修形齿轮宽度。其中对于修形长度与最大修形量的确定，由于齿轮的发展与应用年代久远，国内外齿轮工作者提出了许多计算齿廓修形量的计算公式，结合机械设计手册等资料推荐如下几种有代表性和实用性的公式：

Aeecstokes公式：

L＝0.5m_n,Δ_max＝0.015m_n；

ISO-R53MaagNFE23-011公式：

L＝0.6m_n,Δ_max＝0.02m_n；

日本资料推荐：

L＝0.65m_n,Δ_max＝0.02m_n。

参照上述经验公式都可以根据齿轮模数m_n得出齿廓修形的修形长度L与最大修形量Δmax，但是每种公式都有其特定的基础结构和应用背景，难以满足具体结构与工况条件下的个性化定制。所以工程技术人员还需结合工程实践审慎选取修形参数。

2.修形曲线未知系数的推导

如图1所示，图中BA为渐开线，O'D为修形曲线，αi为渐开线任一点i处压力角，θi为渐开线任一点i处展角，i为渐开线上任一点i处展角，α为坐标系XOY相对于坐标系X'O'Y'旋转角度，O’为修形起点，L为修形长度，AD为最大修形量，最大修形量Δmax沿齿顶圆弧方向计量时，由于修形曲线函数y＝axⁿ上的点均是针对局部坐标系X'O'Y'而言，因此需要在全局坐标系XOY中，将渐开线线上每一点坐标表示成该点处压力角的函数，代入A点处的压力角即可得到A点全局坐标，再将A点绕O点旋转以最大修形量为弧长所对应的角度θ至D点，最后再将D点全局坐标通过坐标变换变换至局部坐标系X'O'Y'中得出D点的局部坐标(x′_D,y′_D)。

为了使推导过程简明易懂，现将推导公式过程中坐标变换部分表示成矩阵的形式，具体计算公式如下：

渐开线极坐标方程：

$r_k=\frac{r_b}{\cos {\mathrm{\α}}_k}$

θ_k＝tanα_k-α_k

其中：

r_b—基圆半径；

r_k—渐开线上任意一点K处的向径；

θ_k—渐开线上任意一点K处的展角；

α_k—渐开线上任意一点K处的压力角；

由于三维软件绘制公式曲线必须要在直角坐标系下进行。因此，需要将极坐标方程转化为直角坐标方程才能绘制公式曲线。渐开线上任意一点在全局坐标系下直角坐标为：

x_i＝r_b×cosφ_i+r_b×φ_i'×sinφ_i

y_i＝r_b×sinφ_i-r_b×φ_i'×cosφ_i

其中：

φ_i—渐开线上任意一点i处的滚动角

φ_i′—渐开线上任意一点i处的滚动角所对应的弧度值

考虑到该方程中的参数滚动角在齿轮设计过程中不便引用,因此需要建立以渐开线上任意一点处压力角为参数的渐开线方程：

$x_i=r_b\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})+r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$ $y_i=r_b\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})-r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}});$

将渐开线上点A在全局坐标系XOY中绕原点旋转弧长为最大修形量所对应的角度θ至D点，再将D点变换至局部坐标系下的矩阵表示形式如下：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_D^{\′}& y_D^{\′}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -x_0^{\′}\cos \mathrm{\α}-y_0^{\′}\sin \mathrm{\α}& x_0^{\′}\sin \mathrm{\α}-y_0^{\′}\mathrm{\α}& 1\end{array}\right]$

上述表达式相关量计算公式如下：

渐开线上A点处压力角：

${\mathrm{\α}}_A=\arccos \left(\frac{r_b}{r_a}\right)\×\frac{180}{\mathrm{\Π}}$

渐开线上A点在全局坐标系XOY中的横坐标：

$x_A=r_b\×\cos \left(\text{tan}{\mathrm{\α}}_A\text{\×}\frac{180}{\mathrm{\Π}}\right)+r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_A\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_A\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$ 渐开线上A点在全局坐标系XOY中的纵坐标：

$y_A=r_b\×\sin \left(\text{tan}{\mathrm{\α}}_A\text{\×}\frac{180}{\mathrm{\Π}}\right)-r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_A\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_A\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$

齿顶圆弧上弧长为最大修形量时所对应圆弧的中心角：

$\mathrm{\θ}=\frac{{\mathrm{\Δ}}_{\max }}{r_a}\×\frac{180}{\mathrm{\Π}}$

局部坐标系X'O'Y'相对于全局坐标系XOY的旋转角度：

$\mathrm{\α}=\arccos \left(\frac{r_b}{r_a-L}\right)$

局部坐标系原点(修形起点)在全局坐标中的横坐标：

${x_0}^{\′}=r_b\×\cos (\tan \mathrm{\α}\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})+r_b\×\tan \mathrm{\α}\×\sin (\tan \mathrm{\α}\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$

局部坐标系原点(修形起点)在全局坐标中的纵坐标：

${y_0}^{\′}=r_b\×\sin (\tan \mathrm{\α}\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})-r_b\×\tan \mathrm{\α}\×\cos (\tan \mathrm{\α}\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$

修形系数a求解公式：

3.修形齿轮程序设计

1)在程序开始段声明与建模相关的点、直线、圆弧以及其他曲线相对应的实体变量和数值变量，声明用于存放满足渐开线函数规律和修形曲线函数规律的点的数组，同时还要定义建模过程中与旋转、镜像等有关的矩阵；

2)利用三维软件二次开发工具中人机交互函数建立修形齿轮基本参数输入界面；

3)在齿轮中心建立全局坐标系XOY，利用开发工具中生成圆命令画出齿轮齿顶圆、分度圆、齿根圆、基圆；

4)运用渐开线的极坐标方程在基圆与齿顶圆之间生成足够数量满足渐开线函数规律的点并存放于数组中，并用样条曲线拟合数组中的这些点生成渐开线；

5)在由修形长度确定的修形起点处建立局部坐标系，在局部坐标系下建立已推导好的函数关系式，生成足够数量且满足修形曲线函数规律的点存放于数组中，并用样条曲线拟合数组中的这些点生成修形曲线；

6)在渐开线与分度圆交点和齿轮中心点处建立直线，将该线旋转90°/Z，同时以此为对称中心线对已经生成的渐开线与修形曲线进行镜像形成完整的修形齿轮单齿齿廓，并对齿根部分做大小合适的过渡圆弧；

7)对已生成的齿根圆与单齿齿廓应用拉伸函数分别进行拉伸操作，应用环形阵列函数对已生成的单齿进行旋转阵列，最后调用布尔求和函数将阵列好的齿轮轮齿与齿根圆柱进行布尔操作使修形齿轮成为一个完整的整体；

8)在程序中调用删除函数对修形齿轮建模过程中的辅助点、辅助线以及多余的线条等全部删除。

与现有技术相比，本发明基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法应用三维软件二次开发，可以减少在齿轮建模过程中的重复性操作，灵活地实现了修形齿轮的参数化建模，用户只需输入修形齿轮设计参数与修形参数即可完成修形齿轮建模，极大地提高了三维软件的建模效率；修形齿轮数字化设计插件可以实现齿轮的参数化驱动，并针对较为常见和符合生产实际的齿轮齿廓修形方式的修形齿轮进行建模；实现了修形齿轮的齿廓曲线节点坐标、压力角、向径、修形量等相关参数的自动计算，这也为分析研究齿轮副的弹性变形和接触分析问题提供了便利。

通过上述的说明内容，相关工作人员完全可以在不偏离本项发明技术思想的范围内，进行多样的变更以及修改。本项发明的技术性范围并不局限于说明书上的内容，必须要根据权利要求范围来确定其技术性范围。

Claims (6)

1.一种基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，包括如下步骤：

步骤一、根据工况选取合适的修形齿轮设计参数与修形参数，所述齿轮设计参数包括齿轮模数、齿数、分度圆压力角、修形齿轮宽度，所述修形参数包括修形长度、最大修形量、修形指数；

步骤二、选取满足幂函数规律的修形曲线，推导修形曲线幂函数规律中相关未知系数；

步骤三、基于三维建模软件的二次开发平台，利用二次开发语言在记事本中编写生成源文件，再经编译、链接生成能够在三维软件环境下运行的文件，建立修形齿轮基本参数的输入界面，输入修形齿轮设计参数与修形参数，完成三维修形齿轮的数字化造型。

2.如权利要求1所述的基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，步骤三中，建模程序根据输入的修形齿轮设计参数与修形参数，在齿轮中心处建立全局坐标系，然后在此坐标系下生成修形齿轮的二维轮廓草图，接着根据传动齿轮的设计参数，计算并生成标准齿轮的齿廓节点坐标，再将上述节点拟合成渐开线，然后通过输入的最大修形量确定的修形起点建立局部坐标系，紧接着选择幂函数曲线作为修形方式计算修形齿轮齿廓节点的坐标再将其拟合成修形曲线，并且要求修形曲线通过由修形长度确定的修形起点和由最大修形量确定的修形终点，最后拉伸建立修形齿轮的三维模型。

3.如权利要求1所述的基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，所述修形长度和最大修行量采用Aeecstokes公式或ISO-R53MaagNFE23-011公式。

4.如权利要求1所述的基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，所述修形曲线幂函数规律如下：

y＝axⁿ

其中：a—修形系数，n—修形指数。

5.如权利要求1所述的基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，步骤二中，修形曲线未知系数的推导方法如下：在全局坐标系XOY中，将渐开线线上每一点坐标表示成该点处压力角的函数，代入渐开线上A点处的压力角即可得到A点全局坐标，再将A点绕O点旋转以最大修形量为弧长所对应的角度θ至修形终点D点，最后再将D点全局坐标通过坐标变换变换至局部坐标系X'O'Y'中得出D点的局部坐标(x′_D,y′_D)。

6.如权利要求5所述的基于幂函数的修形齿轮数字化建模方法，其特征在于，所述推导公式过程中坐标变换部分表示成矩阵的形式，计算公式如下：

渐开线极坐标方程：

$r_k=\frac{r_b}{\cos {\mathrm{\α}}_k}$

θ_k＝tanα_k-α_k

其中：r_b—基圆半径，r_k—渐开线上任意一点K处的向径，θ_k—渐开线上任意一点K处的展角，α_k—渐开线上任意一点K处的压力角；

将渐开线极坐标方程转化为直角坐标方程，渐开线上任意一点在全局坐标系下直角坐标为：

x_i＝r_b×cosφ_i+r_b×φ_i'×sinφ_i

y_i＝r_b×sinφ_i-r_b×φ_i'×cosφ_i

其中：φ_i—渐开线上任意一点i处的滚动角，φ_i′—渐开线上任意一点i处的滚动角所对应的弧度值；

建立以渐开线上任意一点处压力角为参数的渐开线方程：

$x_i=r_b\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})+r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})$

$y_i=r_b\×\sin (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}})-r_b\×\tan {\mathrm{\α}}_i\×\cos (\tan {\mathrm{\α}}_i\×\frac{180}{\mathrm{\Π}});$

将渐开线上点A在全局坐标系XOY中绕原点旋转弧长为最大修形量所对应的角度θ至D点，再将D点变换至局部坐标系下的矩阵表示形式如下：

$\left[\begin{array}{ccc}{x}_D^{\′}& y_D^{\′}& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{x}_A& y_A& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\θ}& \sin \mathrm{\θ}& 0\\ -\sin \mathrm{\θ}& \cos \mathrm{\θ}& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}\cos \mathrm{\α}& -\sin \mathrm{\α}& 0\\ \sin \mathrm{\α}& \cos \mathrm{\α}& 0\\ -x_0^{\′}\cos \mathrm{\α}-y_0^{\′}\sin \mathrm{\α}& x_0^{\′}\sin \mathrm{\α}-y_0^{\′}\mathrm{\α}& 1\end{array}\right]$