CN104317251A - 基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法 - Google Patents

Abstract

基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法包括以下步骤：对给定的型值点及权因子进行参数密化，用累计弦长参化数法给出参数u的初值，用计算节点矢量U，然后根据控制顶点矩阵求出全部控制顶点与权因子，最后将节点矢量中的新参数、控制顶点以及权因子依次代入到三次NURBS曲线方程中求出下一插补点的位置实现轨迹计算。不断重复参数密化和轨迹计算两个实时插补步骤直至曲线终点，即可完成插补轨迹。本发明的方法利用Obrechkoff的高局部截断误差提高了插补精度；通过后向差分代替微分的方法简化了计算复杂度，保证了插补的实时性；插补曲线曲率变化平缓，保证了插补曲线的光顺性。对实现计算机数字控制机床高精度、高质量加工异形曲线曲面零件具有重要意义。

Description

基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法

所属技术领域

本发明涉及一种曲线插补算法，尤其涉及一种基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法。

背景技术

针对传统数控系统只支持直线段或圆弧段插补，难以满足复杂曲线曲面零件的高精度、高质量加工要求的缺点，许多计算机辅助设计与制造(CAD/CAM)系统开始引入曲线的参数描述方法，并进行了大量参数曲线插补技术的研究。因此，设计自由参数曲线及其插值算法成为了CAD/CAM系统研究的核心问题。而非均匀有理B样条(NURBS)能为自由曲线和标准解析曲线提供统一的表达形式，因此对NURBS方法的研究成为了复杂曲线曲面零件加工技术研究的关键。在工程实践中,通常要根据待加工零件轮廓上的一些已知点或可测点，按照一定的数学方法进行轮廓逼近。实际上就是要根据一组给定的离散的有序型值点来构造一条顺序通过该组型值点的NURBS曲线。在这个过程中，数据点参数化方法的选取对曲线的形状、插补精度以及光顺性方面有较大的影响。为了提高NURBS曲线的插补精度及光顺性，国内外研究人员在经典的参数化插补算法基础上，进行了深入的研究。文献1“Fast NURBS interpolation based on the biarc guidecurve”(The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,2012,58(5))利用步长参数和高斯积分对待插补轨迹进行采样，然后利用双圆弧拟合方法对基于参数u和弧长s的采样点进行拟合，得到插补的引导曲线，依靠引导曲线实现NURBS的快速插补，避免了截断误差，提高了插补精度。文献2“全程S曲线加减速控制的自适应分段NURBS曲线插补算法”(中国机械工程，2010，21(2))对经自适应算法生成的NURBS曲线在曲率尖角处进行分段，然后采用S曲线加减速控制方法重新规划进给速度，各NURBS曲线段按照该进给速度方案完成曲线插补。该方案虽然增加了插补次数，延长了插补时间，但插补最大加速度和加加速度满足了限制条件，插补效率得到了提高。文献3“Interpolation by geometric algorithm”(Computer-Aided Design,2007,39(4))提出了一种基于迭代求取参数曲线控制顶点的几何插值算法，简化了参数插值的计算，但减慢了曲线插补的速度。文献4“An improved parameterization method for B-splinecurve and surface interpolation”(Computer-Aided Design,2013,6(45))针对现有的参数化法不能满足所有给定型值点特征的问题，将密切圆引入到所有给定的型值点上，提出了一种新的修正的向心参数化方法，实现了对急剧变化的型值点的良好适应。文献5“NURBS曲线泰勒展开插补法的平稳性与改进研究”(中国机械工程，2012，23(4))提出了通过界定搜索邻域并采用二分插值搜索方法来精确求取插补点参数的改进方法，将插补曲线的位移相对误差减小了8个数量级。文献6“基于阿当姆斯算法的NURBS曲线插补”(吉林大学学报(工学版)，2009，39(S1))针对一阶泰勒展开和二阶泰勒展开方法涉及一阶、二阶导数的繁琐计算、算法迭代精度低，且会导致插补弦长误差的缺点，提出了基于三步四阶阿当姆斯法求解微分方程的参数插补算法。该方法用差分代替微分，减少了计算量，并将局部截断误差的阶次由Ο(Τ²)提高到Ο(Τ⁵)，提高了插补精度。以上所述均为基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法提供了理论依据。

发明内容

本发明的目的是提供一种基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法，该方法能够综合考虑插补复杂曲线曲面零件轮廓的精度、实时性和生成插补曲线的光顺性因素，采用单步四阶Obrechkoff微分方程算法进行复杂曲线曲面轮廓的参数密化，然后进行控制顶点与权因子的反算，生成自由曲线插补轨迹。

为了达到上述目的，本发明采用如下技术方案：

针对型值点的参数密化，引入单步四阶的Obrechkoff微分方程：

令节点矢量u_n＝y_n，插补周期Τ＝h，则u_n′＝y_n′，u_n″＝y_n″，代入Obrechkoff微分方程得出参数u的递推方程：采用后向差分代替微分，即对递推方程进行简化得出参数u的递推关系式因累计弦长参数化法是目前公认的最佳参数化法，且计算简便，参数化插补效果好，故根据给定的离散型值点，运用经典的累计弦长参数化法给出参数u的初值，进一步求得节点矢量U。

附图说明

图1是基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法流程图；

图2是基于Obrechkoff算法生成的三次NURBS曲线图；

图3是基于Obrechkoff算法生成的三次NURBS曲线曲率图。

具体实施方式：

图1是基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法流程图；本发明的基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法包括以下步骤：

(1)针对给定的一组三次NURBS开曲线的离散型值点p_i及其权因子q_i(i＝0,1,...,6)(如表1)，用本发明的单步四阶Obrechkoff算法求取节点矢量，如表2。

表1型值点及权因子

表2节点矢量

(2)根据(1)中求得的节点矢量U，反求三次NURBS开曲线的控制顶点d_j和权因子w_j(j＝0,1,...,n)。先将给定的型值点p_i和权因子q_i(i＝0,1,...,n)在四维空间插值成带权型值点[p_iq_i q_i]，再将四维空间求得的带权控制顶点[d_jw_j w_j]向三维空间映射，最后得到三维空间内NURBS曲线的控制顶点d_j和权因子w_j(j＝0,1,...,n)，NURBS开曲线控制顶点和权因子的反算算式为：

$\left[\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ a_2& b_2& c_2& & & & \\ & & ...& & & & \\ & & & ...& & & \\ & & & & ...& & \\ & & & & a_n& b_n& c_n\\ & & & & & & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ .\\ .\\ .\\ d_n\\ d_{n+1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{e}_1\\ e_2\\ .\\ .\\ .\\ e_n\\ e_{n+1}\end{array}\right],$ 其中： ${\mathrm{\Δ}}_i=u_{i+1}-u_i,a_i=\frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_{i+2}\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_i+{\mathrm{\Δ}}_{i+1}+{\mathrm{\Δ}}_{i+2}},$ $b_i=\frac{{\mathrm{\Δ}}_{i+2}({\mathrm{\Δ}}_i+{\mathrm{\Δ}}_{i+1})}{{\mathrm{\Δ}}_i+{\mathrm{\Δ}}_{i+1}+{\mathrm{\Δ}}_{i+2}}+\frac{{\mathrm{\Δ}}_{i+1}({\mathrm{\Δ}}_{i+2}+{\mathrm{\Δ}}_{i+3})}{{\mathrm{\Δ}}_{i+1}+{\mathrm{\Δ}}_{i+2}+{\mathrm{\Δ}}_{i+3}},c_i=\frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_{i+1}\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_{i+1}+{\mathrm{\Δ}}_{i+2}+{\mathrm{\Δ}}_{i+3}},e_1=p_0+\frac{{\mathrm{\Δ}}_3}{3}{{p_0}^{\′},e}_{n+1}=p_n-\frac{{\mathrm{\Δ}}_{n+2}}{3}{p_n}^{\′},$ e_i＝(Δ_i+1+Δ_i+2)p_i-1。反算结果见表3：

表3控制顶点和权因子

(3)根据(1)中求得的节点矢量U，联合(2)中求得的控制顶点d_j和权因子w_j(j＝0,1,...,n)，代入算式： $p_i\left(u\right)=\frac{\underset{j=i-3}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j{d}_j{N}_{j,3}\left(u\right)}{\underset{j=i-3}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}{w}_j{N}_{j,3}\left(u\right)}=\frac{\left[\begin{array}{cccc}{u}^3& u^2& u& 1\end{array}\right]M_i{\left[\begin{array}{cccc}{w}_{i-3}{d}_{i-3}& w_{i-2}{d}_{i-2}& w_{i-1}{d}_{i-1}& w_i{d}_i\end{array}\right]}^T}{\left[\begin{array}{cccc}{u}^3& u^2& u& 1\end{array}\right]M_i{\left[\begin{array}{cccc}{w}_{i-3}& w_{i-2}& w_{i-1}& w_i\end{array}\right]}^T}$ (其中： ${\mathrm{\Δ}}_i^1=u_{i+1}-u_i,{\mathrm{\Δ}}_i^2=u_{i+2}-u_i,{\mathrm{\Δ}}_i^3=u_{i+3}-u_i,\begin{array}{c}{M}_i=\left[\begin{array}{cccc}{m}_{11}& m_{12}& m_{13}& m_{14}\\ m_{21}& m_{22}& m_{23}& m_{24}\\ m_{31}& m_{32}& m_{33}& m_{34}\\ m_{41}& m_{42}& m_{43}& m_{44}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{cccc}-\frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_i^1\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^2{\mathrm{\Δ}}_{i-2}^3}& -(m_{11}+m_{13}+m_{14})& -[\frac{m_{23}}{3}+m_{14}+\frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_i^1\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_i^2{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^3}]& \frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_i^1\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_i^2{\mathrm{\Δ}}_i^3}\\ -3m_{11}& 3m_{11}-m_{23}& \frac{3{\left({\mathrm{\Δ}}_i^1\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^2{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^3}& 0\\ 3m_{11}& -(3m_{11}+m_{33})& \frac{3{\mathrm{\Δ}}_i^1{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^1}{{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^2{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^3}& 0\\ {-m}_{11}& 1+m_{11}-m_{43}& \frac{{\left({\mathrm{\Δ}}_{i-1}^1\right)}^2}{{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^2{\mathrm{\Δ}}_{i-1}^3}& 0\end{array}\right]\end{array}$ )中生成插补曲线。

图2是基于Obrechkoff算法生成的三次NURBS曲线图；

图3是基于Obrechkoff算法生成的三次NURBS曲线曲率图。从实验结果可以看出，基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法生成的NURBS曲线曲率较平缓，较为有效地解决了曲线插补异形曲线曲面零件轮廓不光顺的问题。

Claims (2)

1.基于Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法，包括以下步骤：

(1)型值点的参数密化，用累计弦长参数化法计算给定型值点的节点矢量参数u的初值，然后代入算式中计算基于Obrechkoff微分方程的节点矢量。

(2)反算控制顶点和权因子，然后将求得的节点矢量、控制顶点和权因子代入三次NURBS参数曲线方程中，完成NURBS曲线的插补。

2.根据权利要求1所述的基于单步四阶Obrechkoff算法的三次NURBS曲线实时插补方法，其特征在于，所述步骤(1)中引入单步四阶的Obrechkoff微分方程： $y_{n+1}-y_n=\frac{h}{2}({y_{n+1}}^{\′}+{y_n}^{\′})-\frac{h^2}{12}({y_{n+1}}^{\′\′}-{y_n}^{\′\′}),$ 令节点矢量u_n＝y_n，插补周期Τ＝h，则u_n′＝y_n′，u_n″＝y_n″，代入单步四阶Obrechkoff微分方程得出参数u的递推方程： $u_{n+1}=u_n+\frac{T}{2}({u_{n+1}}^{\′}+{u_n}^{\′})-\frac{T^2}{12}({u_{n+1}}^{\′\′}-{u_n}^{\′\′}).$ 采用后向差分代替微分，即用和对递推方程进行简化，得出参数u的递推关系式 $u_{n+1}=\frac{1}{7}({15u}_n-{9u}_{n-1}+u_{n-2}).$