CN105425730A - 一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法，包括定义NURBS曲线的参数、计算使用NURBS曲线Taylor迭代的插补算法设置中间计算量P(t)、计算矩阵方程、完成Taylor迭代的插补；采用NURBS曲线Taylor迭代的插补算法，以减小插补的计算量，提高插补的精度。所述的插补算法计算相对简单，对于中间量的设置相对灵活，这种插补可以一般数控系统中实现NURBS曲线Taylor迭代的数控插补，提高了插补系统的插补精度，减少了NURBS曲线插补运算的计算量和插补误差、降低了成本低，能产生很好的经济和社会效益。

Description

一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法

技术领域

本发明涉及一种NURBS曲线的数控插补算法，更具体的说，涉及一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法。

背景技术

插补技术是数控系统的核心，在CNC装置所要实现的各项功能中实时性要求最高、插补速度的快慢，直接影响到整个数控系统控制功能的实现，如进给速度，、加工精度、劳动生产率等因素。在数控插补技术中研究一种很好的插补算法对整个CNC系统的性能指标至关重要，所采用的插补算法的好坏直接决定着数控系统的插补功能强弱和运动控制的好坏，可以说插补是整个CNC系统控制软件的核心。长期以来人们致力于设计精巧的插补算法：插补数据少、算法简单、插补精度高、便于控制进给速度。

根据现有的文献；张万军作者在《制造技术与机床》2013年2期期刊发表《三次B样条曲线修正算法的研究》一文所述：数控加工经常会遇到如飞机机翼、飞机叶轮等许多具有复杂外形轮廓的零件，通常用NURBS曲线表示。

另外，还根据现有的文献；张万军作者在《制造技术与机床》2015年4期发表《NURBS曲线定时/中断插补算法的研究》一文所述：现代数控系统的NURBS曲线插补是开放的CNC数控系统发展的核心技术之一，研究数控系统中的NURBS曲线新的插补方法显得尤为重要。

数控加工经常会遇到如飞机机翼、飞机叶轮等许多具有复杂外形轮廓的零件，通常用NURBS曲线表示。

另外，还根据现有的文献；张万军作者在《AppliedMechanicsandMaterials》2014年12发表的《ResearchonmodificationalgorithmofCubicB-splinecurveinterpolationtechnology》(EI(JA)：20152801018693)，《ResearchonaalgorithmofadaptiveinterpolationforNURBScurve》(EI(JA)：20152801018372)等国际文献，详细地叙述了：

以往的NURBS曲线插补算法存在以下一些问题：

(1)、直线插补以曲代直，难以得到光滑的曲面，直线段之间存在转角，反映在工件上则表现为起棱现象，影响加工精度；

(2)、由于数控系统的内存有限，不可能一次性装入所有的数控加工指令，因此机床需要一边加工，一边与CAD/CAM系统进行通讯，对数控系统的实时性产生不利影响。而且，频繁的数据通讯也容易导致数据丢失、噪声干扰等问题，影响加工进程。

(3)、NURBS求一阶导数，二阶导数等参数信息丢失，不利于CAD/CAM/CNC系统集成化与智能化的实现。

另外，根据现有的文献；张万军作者在《制造业自动化》2011年8期期刊发表《NURBS曲线修正插补算法的研究》一文所述：目前只有极少数FANUC、Siemens、三菱等数控系统支持NURBS插补，而绝大多数数控系统支持直线、圆弧或抛物线等插补。于是研究NURBS插补方法在开放的CNC系统中就显得十分必要，CNC系统中添加NURBS曲线插补，通常使用参数递推方法插补。

随着改革开放中国的经济的发展取得举世瞩目的成就，对数控插补系统要求越来越高，以往的数控系统在体系和结构上存在很大的局限性，主要表现在：

(1)以往的数控系统受数控运动控制卡的处理能力和插补算法的限制，这要就会导致插补计算量增加、数控运动控制卡处理插补运算的时间增长，使得数控插补系统计算负担加重，必然会导致数控插补硬件及软件的成本增加，给用户增加不必要经济负担；

(2)以往的数控插补算法，只能部分地而不是完全解决数控插补高速插补及机械振动等问题，插补算法的有效性有待进一步优化。

发明内容

本发明是为了克服上述以往的数控插补系统的局限性和不足，还提供了一种技术方案：一种NURBS曲线Taylor迭代的插补方法。

一种NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，其特征在于，按以下步骤进行：

步骤(一)、设定P(u)的值；

又，式中：NURRBS的控制点矢量为[d_i-k,d_i-k+1,…,d_i]，权因子为[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]，U＝[u₀,u₁,…,u_n+k+1]称U为节点矢量，x(u_i+1)、y(u_i+1)、z(u_i+1)为i+1的NURBS曲线点。

步骤(二)、计算

步骤(三)、计算

对求一阶导数，

令，

步骤(四)、计算矩阵方程；

将式(5)代入式(4)，得；

其中；

对于k阶矩阵递推满足关系式

式中，

同样，规定：0/0＝0。

令，

G(t)＝[1,t,t²,…,t^k]D^k(i)[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]^T(11)将式(13)、(14)代入(15)，得；

将式(12)计算的结果代入式(8)，即可得到u_i+1的值；

步骤(五)、判断是否得到u_i+1的值？

(1)、若没有到u_i+1的值，则执行步骤(二)，计算

(2)、到u_i+1的值，则执行步骤(六)。

又，p_i+1(u)＝p(u_i+1)(16)

具体地，NURBS曲线插补的过程就是用时间序列{t₁,t₂,t₃,…,t_n-1}对于参数变量p(u_i+1)密化，从而得到插补点所对应的插补点的数值p(u_i+1):{x(u_i+1),y(u_i+1),z(u_i+1)}。

详细地，得到x(u_i+1),y(u_i+1),z(u_i+1)即可到x_i+1,y_i+1,z_i+1的值。

步骤(六)、结束Taylor迭代的插补。

本发明与现有技术相比，具有以下优点及突出性效果：

1)、本发明采用NURBS曲线插补器包括NURBS曲线预处理、Taylor迭代的插补，实现NURBS曲线Taylor迭代的高速、高精度数控插补。

2)、本发明采用NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，将一般复杂曲线关于NURBS曲线插补的问题转换为Taylor迭代式插补的数学模型，进行Taylor迭代式计算从而可求得NURBS曲线的插补点，该插补方法具有较强通用性和实用性可以简化运算、节约插补时间。

本发明又一个显著的特点就是该插补算法可以在该数控系统实现NURBS曲线插补，同时满足提高插补精度和减少插补步长误差的要求，在其它数控插补系统上有很强的借鉴意义。

除了以上这些，本发明可以实现NURBS曲线Taylor迭代的数控插补，提高了插补系统的插补精度，减少了NURBS曲线插补运算的计算量和插补误差、降低了成本低，能产生很好的经济和社会效益。

本发明的其它优点、目标和特征在某种程度上将在随后的说明书中进行阐述，并且在某种程度上，基于对下文的考察研究对本领域技术人员而言将是显而易见的，或者可以从本发明的实践中得到教导。本发明的目标和其它优点可以通过下面的说明书和权利要求书来实现和获得。

附图说明

图1为本发明所述的一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法过程流程图；

图2为本发明所述的一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法的NURBS曲线数控插补仿真图；

图3为本发明所述的一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法的仿真图；

图4为本发明所述的一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法的NURBS曲线补偿误差仿真图；

图5为本发明所述的一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法的NURBS曲线补偿误差仿真图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明及其实施方式作进一步详细描述。

实施实例1：

一种NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，其特征在于，按以下步骤进行：

步骤(一)、设定P(u)的值；

又，式中：NURRBS的控制点矢量为[d_i-k,d_i-k+1,…,d_i]，权因子为[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]，U＝[u₀,u₁,…,u_n+k+1]称U为节点矢量，x(u_i+1)、y(u_i+1)、z(u_i+1)为i+1的NURBS曲线点。

步骤(二)、计算

步骤(三)、计算

对求一阶导数，

令，

步骤(四)、计算矩阵方程；

将式(5)代入式(4)，得；

其中；

对于k阶矩阵递推满足关系式

式中，

同样，规定：0/0＝0。

令，

G(t)＝[1,t,t²,…,t^k]D^k(i)[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]^T(11)

将式(13)、(14)代入(15)，得；

将式(12)计算的结果代入式(8)，即可得到u_i+1的值；

步骤(五)、判断是否得到u_i+1的值？

(1)、若没有到u_i+1的值，则执行步骤(二)，计算

(2)、到u_i+1的值，则执行步骤(六)。

又，p_i+1(u)＝p(u_i+1)(16)

具体地，NURBS曲线插补的过程就是用时间序列{t₁,t₂,t₃,…,t_n-1}对于参数变量p(u_i+1)密化，从而得到插补点所对应的插补点的数值p(u_i+1):{x(u_i+1),y(u_i+1),z(u_i+1)}。

详细地，得到x(u_i+1),y(u_i+1),z(u_i+1)即可到x_i+1,y_i+1,z_i+1的值。

步骤(六)、完成Taylor迭代的插补。

具体地，NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，将一般复杂曲线关于NURBS曲线插补的问题转换为Taylor迭代式插补的数学模型，进行Taylor迭代式计算从而可求得NURBS曲线的插补点，该插补方法具有较强通用性和实用性可以简化运算、节约插补时间。

又，NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，将一般复杂曲线关于NURBS曲线插补的问题转换为Taylor迭代式插补的数学模型，进行Taylor迭代式计算从而可求得NURBS曲线的插补点，该插补方法具有较强通用性和实用性可以简化运算、节约插补时间，又是本发明的一个显著特点。

实施实例2：

本发明执行的实验效果：

具体地，一种NURBS曲线Taylor迭代的数控插补算法，仿真的参数数值，如表1所示：

表1设定系统仿真参数值

进一步地，设定NURBS曲线插补参数的数值，如表2所示：

表2NURBS曲线插补参数值

又，由表1和表2的数据，在该数控插补系统中实现NURBS曲线Taylor迭代的插补，分做出NURBS曲线数控插补仿真图、Taylor公式迭代的插补仿真图，如图2、3所示。

由仿真图2、3可知：

(1)、Taylor公式迭代的插补仿真图比NURBS曲线数控插补仿真图插补曲线的变化较为平稳、震荡性较小；

(2)、Taylor公式迭代的插补仿真图比NURBS曲线数控插补仿真图插补曲线的变化插补时间较短、精度较高。

为了更加有效地说明，采用Taylor公式迭代的插补仿真比采用NURBS曲线数控插补仿真，能缩短插补时间、提高插补精度，做出如表3所示的数据分析表。

表3NURBS曲线部分插补结果

同样分析各参数指标，此插补过程共需792步，其中部分Taylor公式迭代的插补结果数据如表4所示。

表4Taylor公式迭代的插补结果

由表3、4可知：

(1)、t_i、x、y、z各个参数值都在理论允许范围内，符合预期插补的结果，实现插补仿真的目的。

(2)、Taylor公式迭代的插补仿真比NURBS曲线数控插补更能减小插补步长、缩短插补时间、减小步长误差。

NURBS曲线数控插补步长误差图、Taylor公式迭代的插补步长误差图，如图4、5所示。

进一步地，由图4做出NURBS曲线数控插补步长误差结果分析表，如表5所示：

表5NURBS曲线数控插补步长误差结果分析表

进一步地，由图5做出Taylor公式迭代的插补步长误差结果分析表，如表6所示：

表6Taylor公式迭代的插补结果分析

由图4、5及表5、6可知：

(1)、Taylor公式迭代的插补步长误差比NURBS曲线数控插补步长误差更小，满足减小插补步长误差的要求；

(2)、Taylor公式迭代的插补时间比NURBS曲线数控插补时间更短，满足减小插补时间的要求；

(3)、Taylor公式迭代的插补精度比NURBS曲线数控插补精度更高，满足提高插补精度的要求。

又，由系统插补仿真图4和插补结果分析表3可知，本发明又一个显著的特点就是该插补算法可以在该数控系统实现NURBS曲线插补，同时满足提高插补精度和减少插补步长允许误差及弦高误差的要求，在其它数控插补系统上有很强的借鉴意义。

本发明的显著特点是：

本发明采用NURBS曲线Taylor迭代的插补方法，将一般复杂曲线关于NURBS曲线插补的问题转换为Taylor迭代式插补的数学模型，进行Taylor迭代式计算从而可求得NURBS曲线的插补点，该插补方法具有较强通用性和实用性可以简化运算、节约插补时间。

最后说明的是，以上实施例仅用以说明本发明的技术方案而限制，尽管通过参照本发明的优选实施例已经对本发明进行了描述，但本领域的普通技术人员应当理解，可以在形式上和细节上对其作出各种各样的改变，而不偏离所附权利要求书所限定的本发明的精神和范围。

Claims (1)

1.一种NURBS曲线Taylor迭代的插补算法，其特征在于，按以下步骤进行：

步骤(一)、设定P(u)的值；

$P\left(u\right)=\frac{\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i{d}_i{N}_{i,k}\left(u\right)}{\underset{i=0}{\overset{n}{\Σ}}{\mathrm{\ω}}_i{N}_{i,k}\left(u\right)}={\left[\begin{array}{ccc}x\left(u_{i+1}\right)& y\left(u_{i+1}\right)& z\left(u_{i+1}\right)\end{array}\right]}^T$

式中：NURRBS的控制点矢量为[d_i-k,d_i-k+1,…,d_i]，权因子为[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]，U＝[u₀,u₁,…,u_n+k+1]称U为节点矢量，x(u_i+1)、y(u_i+1)、z(u_i+1)为i+1的NURBS曲线点。

步骤(二)、计算

步骤(三)、计算

对求一阶导数，

令， $t=\frac{u-u_i}{u_{i+1}-u_i}$

步骤(四)、计算矩阵方程，得；

其中；

$D^k\left(i\right)=\left[\begin{array}{cccc}{N}_{0,i-k}^k& N_{0,i-k}^k& ...& N_{0,i}^k\\ N_{1,i-k}^k& N_{0,i-k}^k& ...& N_{1,i-k}^k\\ .& .& & .\\ .& .& ...& .\\ .& .& & .\\ N_{k-1,i-k}^k& N_{k-1,i-k+1}^k& ...& N_{k-1,i}^k\end{array}\right]$

对于k阶矩阵递推满足关系式

式中， $d_{0,i}=\frac{u_i-u_j}{u_{i+k}-u_i}$

$d_{1,i}=\frac{u_{i+1}-u_j}{u_{i+k}-u_{i+1}}$

同样，规定：0/0＝0。

令，

$E\left(t\right)=\[1,t,t^2,...,t^k\]D^k\left(i\right)\[{\mathrm{\ω}}_{i-k}{\stackrel{\→}{d}}_{i-k},{\mathrm{\ω}}_{i-k}{\stackrel{\→}{d}}_{i-k},{\mathrm{\ω}}_{i-k}{\stackrel{\→}{d}}_{i-k},...,{\mathrm{\ω}}_{i-k}{\stackrel{\→}{d}}_{i-k}\]$

G(t)＝[1,t,t²,…,t^k]D^k(i)[ω_i-k,ω_i-k+1,…,ω_i]^T

通过上式得到u_i+1的值；

步骤(五)：完成NURBS曲线的Taylor迭代实时插补。