CN103801981A

CN103801981A - 一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法

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Publication number: CN103801981A
Application number: CN201210457142.1A
Authority: CN
Inventors: 杨东升; 孙一兰; 刘荫忠; 王允森; 孙里
Original assignee: Shenyang Institute of Computing Technology of CAS
Current assignee: Shenyang Institute of Computing Technology of CAS
Priority date: 2012-11-14
Filing date: 2012-11-14
Publication date: 2014-05-21
Anticipated expiration: 2032-11-14
Also published as: CN103801981B

Abstract

本发明是一种应用于样条插补的四次多项式速度规划算法，以减速段为例，具有以下步骤：对数控加工曲线进行快速预插补，记录插补路径的长度，加工精度要求下的减速开始点、速度极小值点，计算最大逆向加速度A能否达到，并将减速过程分段，计算各段的四次多项式速度方程；然后根据速度方程求出刀具从减速开始点到速度极小值点的所需的理论距离，并计算其对应的插补参数；最后根据预插补阶段得到速度方程及加减速开始及结束时的插补参数，进行实时样条插补。本发明方法能够保证数控机床在高速加工过程中的速度、加速度及加加速度均能实现连续变化，缓解高速加工产生的过冲，从而实现对伺服轴的平滑、柔性的加减速控制。

Description

一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法

技术领域

本发明涉及一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法，属于数控加工技术领域。

背景技术

随着CAD/CAM技术的发展，样条曲线插补技术被应用到数控加工领域，促进了高速、高精加工技术的整体水平。加减速控制是数控系统轨迹规划的重要组成部分，是样条插补的关键技术之一。在现代制造业中，数控系统的高速度、高质量加工能够为制造业追求“快速、低耗和高品质”的目标提供强大的支持。这一方面要求数控机床反应快，各坐标运动部件能在极短的时间内达到给定的速度，并能在高速运行中快速准确地停止在预定位置，缩短准备时间；另一方面要求加工过程运动平稳，不产生冲击、失步、超程或振荡，实现柔性加减速控制。数控系统的高速度、高质量运动控制方法是提高数控机床加工效率和质量的重要手段，国际生产工程学会(CIRP)将其确定为21世纪的中心研究方向之一。因此数控系统的速度规划算法对于研究高速高精控制技术，发展高速高精加工技术装备有重要的作用和意义。

数控系统常用的加减速控制方法有直线加减速控制方法、指数加减速控制方法、S曲线加减速控制方法和三次多项式加减速控制法等。传统的直线加减速控制方法和指数加减速控制方法虽然计算量小，编程简单，但是在加减速阶段存在加速度突变的现象，导致机床产生剧烈振动，影响了加工质量。S曲线加减速控制通过对加速度变化率(加加速度)的控制来最大限度地减小对机械造成冲击，但是这种方法计算复杂，且不能实现加加速度的连续变化，加减速过程往往存在余振。三次多项式速度规划方法简化了S曲线加减速法的设计过程，然而这种方法在加减速的开始和结束时仍存在加加速度的突变，即加加速度仍然是不连续的，很难避免高速加工过程中的数控机床过冲和振动。

发明内容

针对现有方法中存在的上述不足，本发明要解决的技术问题是提供一种用于样条插补的加减速控制方法，其速度方程为四次多项式的形式。这种速度规划算法能够保证实时插补时的弦高误差在精度要求的范围内，并可以实现速度、加速度和加加速度平滑变动，从而实现柔性加减速控制。

为解决上述技术问题，本发明采用的技术方案是：一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法，对待加工曲线进行快速预插补：确定快速插补的进给速度，记录插补路径的长度、加工精度要求下的加/减速开始点、速度极大/小值点的速度值、插补参数值；根据加/减速开始点及速度极大/小值点的速度值，计算最大逆向加速度A能否达到，并将加/减速过程分段，计算各段的四次多项式速度方程；根据所述速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的所需的理论加/减速距离，并计算其对应的插补参数，保存到加/减速数组中；

根据加/减速数组中的速度、插补参数、速度方程的系数信息，进行实时样条插补。

所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，由以下公式决定：

V_{e} (u_{i}) = \frac{T}{2} \sqrt{ρ_{i}^{2} - {(ρ_{i} - ER)}^{2}}

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

所述插补路径的长度S_i为预插补到当前点P_i时走过的路径，通过以下公式计算：

S_{i} = S_{i - 1} + V_{i} T = Σ_{n = 0}^{i - 1} V_{n} T + V_{i} T

其中，S_i-1为插补到点P_i-1时走过的路径，V_i为P_i处的进给速度V(u_i),V_n为P_n处的进给速度V(u_n)。

所述加速开始点是在满足加工精度条件下，速度开始递增的插补点，设P_a为加速开始点，其对应的速度V_a需满足条件：

V_a>V_a-1，V_a-1≤V_a-2

其中，V_a-1为插补点P_a-1处的进给速度，V_a-2为插补点P_a-2处的进给速度。

所述减速开始点P_i为在满足加工精度条件下，速度开始递减的插补点减速开始点，其对应的速度V_i需满足条件：

V_i<V_i-1,V_i-1≥V_i-2

其中，V_i-1为插补点P_i-1处的进给速度，V_i-2为插补点P_i-2处的进给速度。

所述速度极大值点，是指在该点时，按照加工精度的要求，进给速度达到最大值，所述速度极大值点P_m对应的速度V_m需满足条件：

V_m>V_m-1，V_m>V_m+1

其中，V_m-1为插补点P_m-1处的进给速度，V_m+1为插补点P_m+1处的进给速度。

所述速度极小值点P_j对应的速度V_j需满足条件：

V_j<V_j-1,V_j<V_j+1

其中，V_j-1为插补点P_j-1处的进给速度，V_j+1为插补点P_j+1处的进给速度。

所述最大逆向加速度A能否达到，并将加/减速过程分段的方法为：

根据

和

的大小关系对加减速过程分段，包含以下步骤：

若

则最大的加速度A可以达到，加速度过程可分为加加速段、匀加速段、加减速段，而减速过程可以分成加减速段、匀减速段、减减速段；

若

则最大的加速度A可以达到，加速度过程可分为加加速段和加减速段，而减速过程可以分成加减速段和减减速段；

若

则最大的加速度A无法达到，加速度过程可分为加加速段和加减速段，而减速过程可以分成加减速段和减减速段；这时能达到的最大加速度A_l为：

A_{l} = \sqrt{| \frac{2 J (V_{e} - V_{s})}{3} |}

其中J为最大加加速度，V_s、V_e分别为加减速的始末速度。

所述四次多项式速度方程为：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴

所述位移方程是对所述四次多项式速度方程：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴

进行求积分运算得到的方程，为五次多项式的形式：

S_{d} (t) = S_{0} + a_{0} t + \frac{1}{2} a_{1} t^{2} + \frac{1}{3} a_{2} t^{3} + \frac{1}{4} a_{3} t^{4} + \frac{1}{5} a_{4} t^{5}

其中S₀为初始位移，在计算加减速的每一段的刀具路径时可以消去。

所述刀具从减速开始点减速到速度极小值点的所需的理论减速距离是为了满足加工精度的要求，从插补点P_i处的速度V_i减速到插补点P_j处的速度V_j所需的理论路径。

所述对应的插补参数是指在进行实时样条插补时，刀具移动到该插补参数时，开始进行加/减速。获得理论加/减速距离S_d后，向前依次寻找找插补参数，直到找到插补参数u_k，满足：

S_j-S_K≥S_d

其中，S_j为预插补到点P_j时刀具走过的路径长度，S_k为刀具预插补到点P_k时走过的路径长度，比较u_i和u_k的大小，若u_i<u_k，则记录u_i为减速段的起点插补参数，否则记录下u_k的值为减速起点插补参数；记录u_j为减速终止插补参数。

所述实时样条插补的具体过程为：

比较当前的插补参数u_i和当前的加/减速段的起始插补参数DL[x].us：

a.)若u_i<DL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

b.)若DL[x].us<u_i<DL[x].ue，则按照求出的速度方程进行实时插补；

c.)若u_i-1<DL[x].ue，u_i>DL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动；

d.)若在减速时，出现u_i<DL[x].ue且V(u_i)≤DL[x].ve的情况，则保持刀具做匀速运动。

本发明具有以下有益效果及优点：

1.加工精度高。本发明方法在预插补阶段计算进给速度时，考虑了弦高误差的限制，保证了加工的轮廓精度，而在实时插补时，应用预插补阶段的数据计算速度方程和加减速距离，保证了加工精度。

2.平滑度高。本发明方法的速度曲线为四次，加速度曲线为三次，加加速度曲线为二次，均含有连续的一阶导数，因此可以实现速度、加速度和加加速的平滑变化，能够实现柔性加减速控制。

3.执行效率高。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。

4.通用性强。本发明方法不仅能够应用于各种样条曲线插补插补中，而且可以应用各种插补方法(直线插补、圆弧插补等)中的加减速控制。

附图说明

图1利用圆弧计算弦高误差示意图；

图2四次多项式速度规划算法流程图；

图3减速段四次多项式速度及加速度、加加速度曲线(含匀减速段)；

图4减速段四次多项式速度及加速度、加加速度曲线(不含匀减速段)；

图5加工的NURBS曲线；

图6四次多项式速度曲线；

图7四次多项式速度规划算法加速度曲线；

图8四次多项式速度规划算法加加速度曲线；

图9四次多项式速度规划算法弦高误差曲线；

图10加速段速度曲线；

图11加速段加速度曲线；

图12加速段加加速度曲线；

图13减速段速度曲线；

图14减速段加速度曲线；

图15减速段加加速度曲线；

图16减速段-匀速段-加速段速度曲线；

图17减速段-匀速段-加速段加速度曲线；

图18减速段-匀速段-加速段加加速度曲线。

具体实施方式

下面结合附图对本发明作进一步详细说明。

本实施例将本发明方法在PC上进行仿真验证，所用的编程软件为Microsoft Visual C++6.0，使用C语言编写程序，这里选用的样条曲线为NURB S(Non-Uniform Rational B-Spline)曲线。

测试环境的主要技术插补参数如下：

操作系统：Microsoft Windows XP

CPU：Pentium(R)Dual-Core

主频：2.93GHz

内存：2G

数控系统插补参数如下：

进给率F=200mm/s；

最大加速度A=0.005m/s²；

最大加加速度J=0.0004m/s³；

最大弦高误差ER=0.0005mm；

插补周期T=2ms；

本实施例以典型工件程序“倒置的沙漏”型曲线的加工为例，如图5所示。

本发明用于数控加工中样条插补的速度规划，以减速过程为例，其流程图如图2所示，具有以下步骤：

对数控加工曲线进行快速预插补，首先确定进给速度，记录插补路径的长度，加工精度要求下的减速开始点、速度极小值点的速度值、插补参数值；然后根据减速开始点及速度极小值点的速度值，计算最大逆向加速度A能否达到，并将减速过程分段，计算各段的速度方程；根据速度方程求出刀具从减速开始点减速到速度极小值点的所需的理论减速距离，并计算其对应的插补参数，保存到加减速数组中。实时插补则根据快速预插补得到加减速数组中数据，进行实时样条插补。

所述的快速预插补包括以下步骤：

首先确定预插补的进给速度，由下面的公式决定：

V(u_i)=min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度。在样条曲线实时插补过程中，通常用圆弧近似的方法来计算弦高误差与进给速度以及曲率之间的关系，如图1所示。所以V_e(u_i)由以下公式决定：

V_{e} (u_{i}) = \frac{T}{2} \sqrt{ρ_{i}^{2} - {(ρ_{i} - ER)}^{2}}

记录每次插补过后，插补路径的长度。所述的插补路径的长度S_i为预插补到当前点P_i时已经走过的路径，通过以下公式计算：

S_{i} = S_{i - 1} + V_{i} T = Σ_{n = 0}^{i - 1} V_{n} T + V_{i} T

记录减速开始点和速度极小值点。

所述的减速开始点是指在满足加工精度条件下，速度开始递减的插补点，速度极小值点，是指在该点时，按照加工精度的要求，进给速度达到最小值。

本发明方法针对传统的数控加减速控制方法不能满足加速度或加加速度平滑变化的现状，提出了四次多项式速度规划算法，即速度方程是四次多项式的形式，加速度方程就是对速度方程进行求一阶导数，为三次多项式曲线，加加速度方程就是对加速度方程求一阶导数，为二次抛物线，由于速度曲线、加速度曲线和加加速度曲线均含有连续的一阶导数，因此可以实现速度、加速度和加加速度的连续平滑变化；根据减速段的始末速度，计算系统的最大加速度能否达到，并将整个减速过程分成三个阶段：加减速段、匀减速段、减减速段，或者两个阶段加减速断、减减速段，并分别计算每段的方程；通过计算减速过程的每段的位移方程求出从减速开始点到速度极小值点的理论减速距离，并和实际预插补的减速距离比较并记录实际插补时减速开始插补参数。具体的速度规划步骤如下：

1.)计算最大加速度能否达到

设按照加工精度的要求，在P_i处开始减速，在P_j处到达速度极小值，对应的插补参数和速度分别为：u_i，V_i和u_j，V_j，比较

和

的大小。

若

则最大的加速度A可以达到，整个减速阶段可以分成加减速段、匀减速段、减减速段，如图3所示。

若

则最大的加速度A可以达到，整个减速阶段可以分成加减速段和减减速段，如图4所示。

若

则最大的加速度A无法达到，整个减速阶段可以分成加减速段和减减速段，如图4所示，但这时能达到的最大加速度A_l为：

A_{l} = \sqrt{\frac{2 J (V_{s} - V_{e})}{3}}

2.)引入四次多项式速度规划方程

所述的四次多项式速度规划方程，即速度方程为四次多项式：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴

对速度方程分别求一阶导数和二阶导数，可以分别得到加速度方程和加加速度方程，形式如下：

\{\begin{matrix} A (t) = a_{1} + 2 a_{2} t + 3 a_{3} t^{2} + 4 a_{4} t^{3} \\ J (t) = 2 a_{2} + 6 a_{3} t + 12 a_{4} t^{2} \end{matrix}

根据加速度、加加速度及边界条件，采用待定系数法求出减速过程各段的速度方程。若整个减速过程分成三个阶段，如图3所示，则各段的方程为：

加减速段：

V_{1} (t) = V_{i} - \frac{{4 J}^{2}}{9 A} t^{3} + \frac{{4 J}^{3}}{27 A^{2}} t^{4}, (0 \leq t \leq t_{1})

匀减速段：

V_{2} (t) = V_{i} - \frac{{3 A}^{2}}{4 J} - A (t - t_{1}), (t_{1} < t \leq t_{2})

减减速段：V₃(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+a₄t⁴(t₂<t<t₃)

其中：

t_{1} = \frac{3 A}{2 J},

t_{2} = \frac{V_{i} - V_{j}}{A},

t_{3} = t_{2} + \frac{3 A}{2 J},

a_{4} = - \frac{{4 J}^{3}}{27 A^{2}},

a₃=-2a₄(t₂+t₃)，a₂=6a₄t₂t₃，

a_{1} = {2 a}_{4} t_{3}^{2} (t_{3} - {3 t}_{2}),

a_{0} = V_{i} - a_{1} t_{3} - a_{2} t_{3}^{2} - a_{3} t_{3}^{3} - a_{4} t_{3}^{4}

若整个减速过程分成两个阶段，如图4所示，同样用待定系数法，可以得到两个阶段的速度方程分别为：

加减速段：

V_{1} (t) = V_{i} - \frac{{4 J}^{2}}{9 A_{l}} t^{3} + \frac{{4 J}^{3}}{27 A_{l}^{2}} t^{4}, 0 < t \leq t_{1}

减减速段：

V_{2} (t) = V_{j} + 4 A_{l} t - 4 {Jt}^{2} + \frac{{4 J}^{2}}{3 A_{l}} t^{3} - \frac{{4 J}^{3}}{27 A_{l}^{2}} t^{4}, t_{2} < t \leq t_{3}

其中：

t_{1} = t_{2} = \frac{{3 A}_{l}}{2 J},

t_{3} = \frac{{3 A}_{l}}{J}

3.)引入位移方程计算理论减速距离

所述的位移方程为对减速过程的每个阶段的速度方程进行求积分运算得到的方程，为五次多项式的形式：

S_{d} (t) = S_{0} + a_{0} t + \frac{1}{2} a_{1} t^{2} + \frac{1}{3} a_{2} t^{3} + \frac{1}{4} a_{3} t^{4} + \frac{1}{5} a_{4} t^{5}

若减速过程包含三个阶段，则分别计算加减速段、匀减速段、减减速段的位移路径，相加后就是理论减速距离S_d；若减速过程包含两个阶段，则分别计算加减速段和减减速段的位移路径，相加后得到理论减速距离S_d。

4.)记录实时插补时减速开始插补参数

所述的实时插补时减速开始插补参数，是指在进行实时样条插补时，刀具移动到该插补参数时，开始进行减速。

获得减速距离S_d后，向前依次寻找找插补参数，直到找到插补参数u_k，满足：

S_j-S_k≥S_d

其中S_k和S_j分别代表在插补参数u_k和u_j处的插补路径长度。

比较u_i和u_k的大小，若u_i<u_k，则记录u_i为减速段的起点插补参数，否则记录下u_k的值为减速起点插补参数，记录u_j为减速终止插补参数。

预插补结束时，得到一个加减速段数组DL[]，其数据结构如下：

快速预插补结束后，跟据已经得到的加减速段数组，进行实时样条插补。主要步骤如下：

首先比较当前的插补参数u_i和当前的加减速段的起始插补参数DL[x].us：

a.)若u_i<DL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

b.)若DL[x].us<u_i<DL[x].ue，则按照预插补阶段已经求出的速度方程进行实时插补；实时插补过程可参考《基于速度平滑控制的高效非均匀有理B样条曲线插补算法》（期刊《计算机集成制造系统》，作者孙玉娥、林浒、盖荣丽）。

c.)若u_i-1<DL[x].ue，u_i>DL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动。

在减速时，有可能出现u_i<DL[x].ue，V(u_i)≤DL[x].ve，即速度提前减为最小值的情况，为了避免频繁的加减速控制，而使其保持该速度做匀速运动。

采用四次多项式速度规划算法，对图5所示的样条曲线进行仿真加工，得到到速度曲线、加速度曲线和加加速度曲线分别如图6~图8所示，误差曲线如图9所示。为了说明四次多项式速度规划算法的优点，选择局部的速度曲线以及对应的加速度曲线和加加速度曲线进行放大，即分别选择加速段、减速段和减速段-匀速段-加速段进行分析，如图10~图18所示。通过分析，可以得到如下结论：

1．本发明方法可以保证加工误差满足加工精度的要求，并保证插补时的进给速度、进给加速度和进给加加速度均不超过系统限制；

2.本发明方法可以实现柔性加减速控制。由于刀具的加速度反映了机床的受力情况，而加加速度反映了机床响应速度与运行的平稳性之间的关系。四次多项式速度规划算法的速度方程为四次多项式，加速度方程为三次多项式，加加速度方程为二次多项式，都含有连续的一阶导数，因此均可以实现连续的变化，减小了因为系统启动、停止所造成的机床振动，提高了加工质量。

3.本发明方法控制简单，执行效率高，且保证了机床运行平稳。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。并且从图6可以看出，大部分时间刀具都在做匀速运动，只有在拐角处为了保证加工精度而进行减速控制，而减速到速度最小值时，为了避免频繁的加减速控制，仍保持刀具做匀速运动，从而避免了因频繁的系统启动、停止所引起的振动而影响工件程序加工表面光滑度下降的情况。

Claims

1.一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法，其特征在于：

对待加工曲线进行快速预插补：确定快速插补的进给速度，记录插补路径的长度、加工精度要求下的加/减速开始点、速度极大/小值点的速度值、插补参数值；根据加/减速开始点及速度极大/小值点的速度值，计算最大逆向加速度A能否达到，并将加/减速过程分段，计算各段的四次多项式速度方程；根据所述速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的所需的理论加/减速距离，并计算其对应的插补参数，保存到加/减速数组中；

2.按权利要求1所述的一种用于样条插补的四次多项式速度规划算法，其特征在于：所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))