CN105629882A - 一种用于样条插补的三角函数速度规划方法 - Google Patents

Abstract

本发明是一种应用于样条插补的三角函数速度规划方法，分为预插补和实时样条插补两部分。预插补即把将要加工的曲线进行快速预插补，收集加工曲线上的加/减速开始点和速度极大/小值点的信息，然后计算出每个加减速段的速度方程，保存到加/减速数组中；实时样条插补阶段首先根据加/减速数组中加减速始末参数和速度方程，计算出刀具的实时进给速度，然后采用二阶泰勒展开法实时计算实时下一个插补参数，进行实时样条插补。本发明方法控制简单，不仅能够保证加工精度，而且能够实现数控机床在高速加工过程中的速度和加速度的连续变化，减少加加速度的突变次数，从而缓解高速加工产生的过冲，实现对伺服轴的柔性的加减速控制。

Description

一种用于样条插补的三角函数速度规划方法

技术领域

本发明涉及一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，属于数控加工技术领域。

背景技术

随着CAD/CAM技术的发展，样条曲线插补技术被应用到数控加工领域，提高了高速、高精加工技术的整体水平。加减速控制是数控系统轨迹规划的重要组成部分，是样条插补的关键技术之一。在现代制造业中，数控系统的高速度、高质量加工能够为制造业追求“快速、低耗和高品质”的目标提供强大的支持。这一方面要求数控机床反应快，各坐标运动部件能在极短的时间内达到给定的速度，并能在高速运行中快速准确地停止在预定位置，缩短准备时间；另一方面要求加工过程运动平稳，不产生冲击、失步、超程或振荡，实现柔性加减速控制。数控系统的高速度、高质量运动控制方法是提高数控机床加工效率和质量的重要手段，国际生产工程学会(CIRP)将其确定为21世纪的中心研究方向之一。因此数控系统的速度规划算法对于研究高速高精控制技术，发展高速高精加工技术装备有重要的作用和意义。

数控系统在进行样条插补时，常用的加减速控制方法有直线加减速控制方法、指数加减速控制方法和S曲线加减速控制方法等。传统的直线加减速控制方法和指数加减速控制方法虽然计算量小，编程简单，但是在加/减速阶段存在加速度突变的现象，导致机床产生剧烈振动，影响了加工质量。S曲线加减速控制通过对加速度变化率(加加速度)的控制来最大限度地减小对机械造成冲击，实现了加速度的连续变化，但是在一个加减速段加加速度会突变4次，而且这种方法计算复杂，每个加速段或减速段的速度方程、加速度方程和加加速度的方程都是分段定义的。

发明内容

针对现有方法中存在的上述不足，本发明要解决的技术问题是提供一种用于样条插补的三角函数速度规划方法。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，包括以下步骤：

预插补阶段：首先根据加工精度确定插补的进给速度，并且记录插补路径的长度、加工精度要求下的加/减速开始点、速度极大/小值点的速度值、插补参数值；根据加/减速开始点及速度极大/小值点的速度值，计算每个加/减速过程能达到的最大加速度和加加速度，从而计算该加/减速段的三角函数速度方程；然后根据速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的所需的理论加/减速距离，并计算出实际插补时加/减速开始的插补参数，保存到加/减速数组中；

实时样条插补阶段：首先根据加/减速数组中的加/减速始末参数、三角函数速度方程，计算出在当前参数处的实时进给速度，然后采用二阶泰勒展开法实时计算实时下一个插补参数，代入样条曲线方程，计算出下一个插补点，从而进行实时样条插补。

所述插补的进给速度为：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，通过圆弧近似法计算，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}_i^2-{({\mathrm{\ρ}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

所述插补路径的长度S_i为预插补到参数u_i处时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到参数u_i-1时走过的路径，V_i为参数u_i处的进给速度V(u_i),V_n为参数u_n处的进给速度V(u_n)。

所述加减速过程中的最大加速度A和最大加加速度J，通过比较|V_e-V_s|和的关系计算：

若则A＝A_max，J＝J_max；

若 $|V_e-V_s|>\frac{2A_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则A＝A_max， $J=\frac{2A^2}{|V_e-V_S|};$

若 $|V_e-V_s|<\frac{2A_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则J＝J_max， $A=\sqrt{\frac{J}{2}|V_e-V_s|}.$

其中A_max为数控系统的最大加速度，J_max为数控系统的最大加加速度V_s是加速段的始速度；V_e减速段的末速度。

所述加速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_1\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_s+\frac{A^2}{J}$

减速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_2\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_e+\frac{A^2}{J}$

其中，t为时间，开始时刻为0；V₁(t)和V₂(t)分别是加速段和减速段的速度；V_s是加速段的始速度；V_e减速段的末速度；A为加减速过程中的最大加速度；J为加减速过程中的最大加加速度。

所述位移方程是对三角函数速度方程进行求积分运算得到的方程，主要用于计算计算理论减速距离，减速段的位移表达式为：

$S_d\left(t\right)=S_0-\frac{A^3}{J^2}\cos (\frac{J}{A}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+(V_e+\frac{A^2}{J})t$

其中，S₀为初始位移，t为时间，开始时刻为0，A为加减速过程中的最大加速度；J为加减速过程中的最大加加速度。

所述理论加/减速距离是指在满足加工精度要求的条件下，从加/减速的始速度V_s加/减速到加/减速的末速度V_e所需的理论路径。

所述实际插补时减速数组的始参数是指在进行实时样条插补时，刀具移动到该插补参数时，开始进行减速；

假设刀具在参数u_j处达到最小值，减速的始参数通过以下方法计算：

1)用位移方程计算理论减速距离S_d(t)；

2)向前依次寻找找插补参数，找到插补参数u_k，其对应的插补路径长度S_k满足：

S_j-S_k≥S_d(t)

3)比较当前插补参数u_i和u_k的大小，若u_i<u_k，则记录u_i为减速段的起点插补参数，否则记录下u_k的值为减速起点插补参数；

其中，S_j和S_k分别是刀具从0插补到参数u_j和u_k的时走过的路径。

所述实时进给速度的确定过程为：

假设当前的插补参数为u_i，当前所处的的加/减速段为ADL[x]，则

1)若u_i<ADL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

2)若ADL[x].us<u_i<ADL[x].ue，则根据第x段的速度方程，求出实时进给速度；

3)若u_i-1<ADL[x].ue，u_i>ADL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动；

4)若在减速时，出现u_i<ADL[x].ue且V(u_i)≤ADL[x].ve的情况，则保持刀具做匀速运动；

其中，ADL[x]为预插补结束后得到的加减速数组的第x段，ADL[x].us、ADL[x].ue分别为该加减速段的初始和结束插补参数，V(u_i)为插补参数为u_i处的速度。

所述二阶泰勒展开法的表达式为：

$u_{i+1}=u_i+\frac{V_i}{{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}_{u=u_i}}T-\frac{{V_i}^2\left(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}\right)}{2{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}_{u=u_i}^4}{T}^2$

式中，C(u)为样条曲线方程，u为样条曲线参数，u_i为当前插补参数，V_i为u_i处的速度，u_i+1为下一个插补参数，T为插补周期。

本发明具有以下优点及有益效果：

1.加工柔性好，平滑程度高。本发明方法的速度曲线为三角函数曲线，加速度和加加速度曲线同样为三角函数曲线，在每个加/减速阶段都可以实现速度和加速度的连续变化，并且能够减少加加速度的突变次数，从而实现柔性加减速控制。

2.加工精度高。本发明方法在预插补阶段根据弦高误差的限制计算进给速度，并记录加工路径中的速度极小值点的信息，在实时插补阶段，应用预插补阶段的数据计算速度方程和加减速位移，从而保证了加工精度。

3.执行效率高。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。

4.通用性强。本发明方法不仅能够应用于各种样条曲线插补插补中，而且可以应用各种插补方法(直线插补、圆弧插补等)中的加减速控制。

附图说明

图1为待加工的样条曲线；

图2为基于三角函数速度规划算法的样条插补流程图；

图3为利用圆弧近似法计算弦高误差示意图；

图4为减速过程的速度、加速度和加加速度曲线；

图5为计算减速过程三角函数速度方程流程；

图6为采用本发明加工“海星”NURBS曲线得到的速度曲线；

图7为采用本发明加工“海星”NURBS曲线得到的加速度曲线；

图8为采用本发明加工“海星”NURBS曲线得到的加加速度曲线；

图9为采用本发明加工“海星”NURBS曲线得到的弦高误差曲线；

图10为实施例中选择对比的“海星”曲线中的矩形区域；

图11为本发明算法和S曲线速度规划算法的速度对比曲线；

图12为本发明算法和S曲线速度规划算法的加速度对比曲线；

图13为本发明算法和S曲线速度规划算法的加加速度对比曲线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

实施例：将本发明方法在PC上进行仿真验证，所用的编程软件为MicrosoftVisualC++6.0，使用C语言编写程序，这里选用的样条曲线为NURBS(Non-UniformRationalB-Spline)曲线。

测试环境的主要技术插补参数如下：

操作系统：MicrosoftWindowsXP

CPU：Pentium(R)Dual-Core

主频：2.93GHz

内存：2G

数控系统插补参数如下：

进给率F＝250mm/s；

最大加速度A＝5000mm/s²；

最大加加速度J＝400000mm/s³；

最大弦高误差ER＝0.001mm；

插补周期T＝3ms；

本实施例以典型工件程序“海星”型曲线的加工为例，如图1所示。

本发明用于数控加工中样条插补的速度规划，其整个插补流程图如图2所示。

本发明方法包括预插补和实时样条插补两部分。

以减速过程为例，预插补具有以下步骤：

对数控加工曲线进行快速预插补，首先根据加工要求的最大弦高误差确定进给速度(其示意图如图3所示)，并记录插补路径的长度、加工精度要求下的减速开始点、速度极小值点的速度值和插补参数值；然后根据减速开始点及速度极小值点的速度值，计算减速过程中的最大加速度A和加加速度J；列出三角函数速度方程，对其求一阶导数和二阶导数后，可以分别得到加速度和加加速度的方程(减速过程的速度、加速度和加加速度曲线如图4所示)，根据已知时刻的速度、加速度和加加速度值求出速度方程中的系数，进而得到该减速段的速度方程(计算流程如图5所示)；根据速度方程求出刀具从减速开始点减速到速度极小值点的所需的理论减速距离，从而计算出实际插补时加/减速始末参数，保存到加减速数组中。

预插补结束后，得到一个加减速段数组ADL[]，其数据结构如下：

所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，通过圆弧近似法计算，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_i^2-{({\mathrm{\&rho;}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

所述插补路径的长度S_i为预插补到参数u_i处时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到参数u_i-1时走过的路径，V_i为参数u_i处的进给速度V(u_i),V_n为参数u_n处的进给速度V(u_n)。

所述加速开始点是在满足加工精度条件下，速度开始递增的插补点，设P_a为加速开始点，其对应的速度V_a需满足条件：

V_a＞V_a-1,V_a-1≤V_a-2

其中，V_a-1为插补点P_a-1处的进给速度，V_a-2为插补点P_a-2处的进给速度。

所述减速开始点P_i为在满足加工精度条件下，速度开始递减的插补点减速开始点，其对应的速度V_i需满足条件：

V_i＜V_i-1,V_i-1≥V_i-2

其中，V_i-1为插补点P_i-1处的进给速度，V_i-2为插补点P_i-2处的进给速度。

所述速度极大值点，是指在该点时，按照加工精度的要求，进给速度达到的局部最大值，速度极大值点P_m对应的速度V_m需满足条件：

V_m＞V_m-1,V_m＞V_m+1

其中，V_m-1为插补点P_m-1处的进给速度，V_m+1为插补点P_m+1处的进给速度。

所述速度极小值点，是指在该点时，按照加工精度的要求，进给速度达到的局部最小值，速度极小值点P_j对应的速度V_j需满足条件：

V_j＜V_j-1,V_j＜V_j+1

其中，V_j-1为插补点P_j-1处的进给速度，V_j+1为插补点P_j+1处的进给速度。

所述加减速过程中的最大加速度A和最大加加速度J，通过比较|V_e-V_s|和的关系计算：

若则A＝A_max，J＝J_max；

若 $|V_e-V_s|>\frac{2A_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则A＝A_max， $J=\frac{2A^2}{|V_e-V_S|};$

若 $|V_e-V_s|<\frac{2A_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则J＝J_max， $A=\sqrt{\frac{J}{2}|V_e-V_s|}.$

其中A_max为数控系统的最大加速度，J_max为数控系统的最大加加速度，V_s、V_e分别为加/减速的始末速度。

所述三角函数速度方程形式为：

$V\left(t\right)=a\sin (\mathrm{bt}\&PlusMinus;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+c$

其中，t为时间，开始时刻为0，a，b，c为速度方程的系数。

所述加速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_1\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_s+\frac{A^2}{J}$

减速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_2\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_e+\frac{A^2}{J}$

所述位移方程是对三角函数速度方程进行求积分运算得到的方程，其表达式为：

$S_d\left(t\right)=S_0-\frac{a}{b}\cos (\mathrm{bt}\&PlusMinus;\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+\mathrm{c\; t}$

其中a，b，c为速度方程的系数，S₀为初始位移，在计算加减速的每一段的刀具路径时可以消去。

所述理论减速距离是指在满足加工精度要求的条件下，从速度V_s减速到速度V_e所需的理论路径，通过位移方程计算。

实时样条插补阶段首先根据加/减速数组中的速度、始末参数、速度方程信息，计算出在当前参数u_i处的实时进给速度V_i，然后采用二阶泰勒展开法实时计算实时下一个插补参数，代入参数方程，计算下一个插补点，进行实时样条插补。

实时样条插补阶段，通过比较当前的插补参数u_i和当前加/减速段的始末参数ADL[x].us、ADL[x].ue的大小关系实时计算进给速度。主要思想如下：

(1)若u_i<ADL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

(2)若ADL[x].us<u_i<ADL[x].ue，则按照预插补阶段已经求出的速度方程计算进给速度；

(3)若u_i-1<ADL[x].ue，u_i>ADL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动。

(4)在减速过程，如果u_i<ADL[x].ue，V(u_i)≤ADL[x].ve，即速度提前减为最小值，为了避免频繁的加减速控制，使其保持该速度做匀速运动。

所述实际插补时减速的开始参数是指在进行实时样条插补时，刀具移动到该插补参数时，开始进行减速。

假设刀具在参数u_j处达到最小值，加/减速的开始参数通过以下方法计算：

1)用权利要求7中的位移公式计算理论减速距离S_d

2)向前依次寻找找插补参数，找到插补参数u_k，其对应的插补路径长度S_k满足：

S_j-S_k≥S_d

3)比较u_i和u_k的大小，若u_i<u_k，则记录u_i为减速段的起点插补参数，否则记录下u_k的值为减速起点插补参数

其中，S_j为预插补到点P_j时刀具走过的路径长度。

所述的加/减速数组是在预插补阶段后得到的，该数组ADL[]记录了实时插补的加/减速始末速度、参数和速度方程的系数，为如下形式：

所述实时进给速度的确定过程为：

假设当前的插补参数为u_i，当前所处的的加/减速段为ADL[x]，则

1)若u_i<ADL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

2)若ADL[x].us<u_i<ADL[x].ue，则根据第x段的速度方程，求出实时进给速度；

3)若u_i-1<ADL[x].ue，u_i>ADL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动；

4)若在减速时，出现u_i<ADL[x].ue且V(u_i)≤ADL[x].ve的情况，则保持刀具做匀速运动。

所述二阶泰勒展开法，是采用二阶泰勒展开式计算插补参数，其表达式为：

$u_{i+1}=u_i+\frac{V_i}{{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}_{u=u_i}}T-\frac{{V_i}^2\left(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}\right)}{2{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}_{u=u_i}^4}{T}^2$

式中，C(u)为样条曲线方程，u为样条曲线参数，u_i为当前参数，V_i为u_i处的速度，u_i+1为下一个插补参数，T为插补周期。

采用本发明算法，对图1所示的“海星”曲线进行仿真加工，该NURBS曲线有11个控制点。实验得到到速度曲线、加速度曲线和加加速度曲线分别如图6～8所示，误差曲线如图9所示。为了说明本发明方法的三角函数速度规划算法的优点，仿真实验以常用的五段S曲线速度规划算法作为对比，对图1所示的曲线进行了加工，并选择图10中的矩形区域作为对比区域，本发明方法与S曲线速度规划算法的速度、加速度和加加速度曲线对比如图11～13所示。

通过分析，可以得到如下结论：

1.本发明方法可以保证加工误差满足加工精度的要求，并保证插补时的进给速度、进给加速度和进给加加速度均不超过数控系统的限制。从图9可以看出，仿真加工的弦高误差限制在加工精度要求的最大弦高误差1μm以内，从图6～8可以看出，本发明算法的速度曲线分布在系统的进给率F以内，加速度和加加速度也没有超过系统的最大加速度和加加速度限制，这在一定程度上减小了机床的震动。

2.本发明方法可以提高数控系统加工的柔性程度，保证机床运行平稳。由于刀具的加速度反映了机床的受力情况，而加加速度反映了机床响应速度与运行的平稳性之间的关系。三角函数速度规划算法的速度方程为三角函数式，加速度方程和加加速度方程也是三角函数式。从图11和12可以看出，在加减速过程中，本发明算法的速度曲线和加速度曲线是连续变化的，并且比S曲线速度规划算法的速度和加速度更加光滑，而从图13中可以看出，本发明算法的加加速度仅在加/减速开始和结束的时候存在突变，而在加/减速过程中变化平稳，减小了因为系统启动、停止所造成的机床振动，提高了加工质量。

3.本发明方法控制简单，执行效率高，且保证了机床运行平稳。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，而且该速度方程不是分段定义的。实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。并且从图6可以看出，大部分时间刀具都在做匀速运动，只有在拐角处为了保证加工精度而进行减速控制，而减速到速度最小值时，为了避免频繁的加减速控制，仍保持刀具做匀速运动，从而避免了因频繁的系统启动、停止所引起的振动而影响工件程序加工表面光滑度下降的情况。

Claims (10)

1.一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，包括以下步骤：

预插补阶段：首先根据加工精度确定插补的进给速度，并且记录插补路径的长度、加工精度要求下的加/减速开始点、速度极大/小值点的速度值、插补参数值；根据加/减速开始点及速度极大/小值点的速度值，计算每个加/减速过程能达到的最大加速度和加加速度，从而计算该加/减速段的三角函数速度方程；然后根据速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的所需的理论加/减速距离，并计算出实际插补时加/减速开始的插补参数，保存到加/减速数组中；

实时样条插补阶段：首先根据加/减速数组中的加/减速始末参数、三角函数速度方程，计算出在当前参数处的实时进给速度，然后采用二阶泰勒展开法实时计算实时下一个插补参数，代入样条曲线方程，计算出下一个插补点，从而进行实时样条插补。

2.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述插补的进给速度为：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，通过圆弧近似法计算，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_i^2-{({\mathrm{\&rho;}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

3.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述插补路径的长度S_i为预插补到参数u_i处时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到参数u_i-1时走过的路径，V_i为参数u_i处的进给速度V(u_i),V_n为参数u_n处的进给速度V(u_n)。

4.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述加减速过程中的最大加速度A和最大加加速度J，通过比较|V_e-V_s|和的关系计算：

若 $|V_e-V_s|=\frac{{2A}_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则A＝A_max，J＝J_max；

若 $|V_e-V_s|>\frac{{2A}_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则A＝A_max， $J=\frac{{2A}^2}{|V_e-V_S|};$

若 $|V_e-V_s|<\frac{{2A}_{\max }^2}{J_{\max }},$ 则J＝J_max， $A=\sqrt{\frac{J}{2}|V_e-V_s|}.$

其中A_max为数控系统的最大加速度，J_max为数控系统的最大加加速度V_s是加速段的始速度；V_e减速段的末速度。

5.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述加速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_1\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t-\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_s+\frac{A^2}{J}$

减速段的三角函数速度方程表达式为：

$V_2\left(t\right)=\frac{A^2}{J}\sin (\frac{J}{A}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+V_e+\frac{A^2}{J}$

其中，t为时间，开始时刻为0；V₁(t)和V₂(t)分别是加速段和减速段的速度；V_s是加速段的始速度；V_e减速段的末速度；A为加减速过程中的最大加速度；J为加减速过程中的最大加加速度。

6.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述位移方程是对三角函数速度方程进行求积分运算得到的方程，主要用于计算计算理论减速距离，减速段的位移表达式为：

$S_d\left(t\right)=S_0-\frac{A^3}{J^2}\cos (\frac{J}{A}t+\frac{\mathrm{\&pi;}}{2})+(V_e+\frac{A^2}{J})t$

其中，S₀为初始位移，t为时间，开始时刻为0，A为加减速过程中的最大加速度；J为加减速过程中的最大加加速度。

7.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述理论加/减速距离是指在满足加工精度要求的条件下，从加/减速的始速度V_s加/减速到加/减速的末速度V_e所需的理论路径。

8.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述实际插补时减速数组的始参数是指在进行实时样条插补时，刀具移动到该插补参数时，开始进行减速；

假设刀具在参数u_j处达到最小值，减速的始参数通过以下方法计算：

1)用位移方程计算理论减速距离S_d(t)；

2)向前依次寻找找插补参数，找到插补参数u_k，其对应的插补路径长度S_k满足：

S_j-S_k≥S_d(t)

3)比较当前插补参数u_i和u_k的大小，若u_i<u_k，则记录u_i为减速段的起点插补参数，否则记录下u_k的值为减速起点插补参数；

其中，S_j和S_k分别是刀具从0插补到参数u_j和u_k的时走过的路径。

9.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述实时进给速度的确定过程为：

假设当前的插补参数为u_i，当前所处的的加/减速段为ADL[x]，则

1)若u_i<ADL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

2)若ADL[x].us<u_i<ADL[x].ue，则根据第x段的速度方程，求出实时进给速度；

3)若u_i-1<ADL[x].ue，u_i>ADL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动；

4)若在减速时，出现u_i<ADL[x].ue且V(u_i)≤ADL[x].ve的情况，则保持刀具做匀速运动；

其中，ADL[x]为预插补结束后得到的加减速数组的第x段，ADL[x].us、ADL[x].ue分别为该加减速段的初始和结束插补参数，V(u_i)为插补参数为u_i处的速度。

10.根据权利要求1所述的一种用于样条插补的三角函数速度规划方法，其特征在于，所述二阶泰勒展开法的表达式为：

$u_{i+1}=u_i+\frac{V_i}{{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}_{u=u_i}}T-\frac{V_i^2\left(\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\frac{d^{2}C\left(u\right)}{{\mathrm{du}}^2}\right)}{2{{\left|\frac{\mathrm{dC}\left(u\right)}{\mathrm{du}}\right|}^4}_{u=u_i}}{T}^2$

式中，C(u)为样条曲线方程，u为样条曲线参数，u_i为当前插补参数，V_i为u_i处的速度，u_i+1为下一个插补参数，T为插补周期。