CN104597845A - 一种用于高质量加工的样条曲线插补算法 - Google Patents

Abstract

本发明一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，对数控加工曲线进行快速预插补，记录插补路径的长度和加/减速过程中的极大/小值点；计算加/减速过程的最大加速度和最大加加速度，并将加/减速过程分段，计算各段的二次多项式速度方程；实时插补阶段时根据预插补阶段得到速度方程，采用理论弦长逼近实际弦长的策略建立构造函数，估算插补参数的初值，构建抛物线插值多项式，再利用牛顿迭代法精确计算插补参数。速度规划采用了五段S曲线加减速控制算法，保证速度和加速度的连续变化，加加速度的有界变化，使机床运行平稳；插补参数的计算采用了抛物线插值结合牛顿迭代的方法，将实时插补产生的进给速度波动控制到理想水平，满足高质量加工的需要。

Description

一种用于高质量加工的样条曲线插补算法

技术领域

本发明涉及高质量加工中样条插补的速度规划及插补参数计算，属于数控加工技术领域。

背景技术

对于复杂曲面、曲线的加工，传统数控系统采用离散化的微小直线段或圆弧段逼近曲线。这种方法容易造成进给速度轮廓的不连续和波动，破坏了工件表面的光滑性，而且产生的大量程序增加了CAD/CAM和计算机数控系统CNC之间的通信负担，影响了插补的实时性。样条曲线是国际标准化组织规定的CAD/CAM的数据交换标准，在CAD系统中得到广泛应用，但是在CNC系统中的发展相对滞后，只有一些高档数控系统如SIEMENS、FANUC等实现了样条曲线插补功能。

目前常用的样条曲线插补算法有均匀参数插补算法、泰勒展开法、牛顿迭代法、自适应速度插补算法及加速度控制插补算法等。均匀参数插补算法是将插补参数增量视为常数进行实时插补，虽然控制简单，但由于这不能控制进给速度，容易造成机床的振动。泰勒展开法和牛顿迭代法实现了恒定进给速度插补，提高了计算精度，减小了速度波动，但是没有考虑加减速过程中的速度变化要求，难以保证插补精度，存在误差难以控制的问题。自适应速度插补算法根据加工精度的要求的自动调节进给速度，使得弦高误差控制在精度允许的范围内，但没有考虑机床的实际加减速能力，加工过程中过大的加速度和加加速度会对机床造成很大的冲击，从而影响加工质量。而加速度控制插补算法，将加速度约束考虑在内，减小了数控机床在加工过程中的震动，但是这种方法实现复杂。

发明内容

针对现有方法中存在的上述不足，本发明要解决的技术问题是提供一种用于高质量加工的样条曲线插补算法。

本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，包括以下步骤：

对待加工曲线进行快速预插补：根据加工精度要求确定快速插补的进给速度，记录插补路径的长度、加工精度要求下速度极大/小值点；计算加/减速过程能达到的最大加速度和最大加加速度，并将加/减速过程分为两段，计算各段的二次速度方程；根据速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的起始的插补参数，保存到加/减速数组中；

实时插补：采用理论弦长逼近实际进给弦长的策略创建构造方程；应用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程，估计插补参数的两个初值，并计算二者的平均值；利用两个参数初值和它们的平均值构建抛物线插值多项式，并计算该抛物线插值多项式的一阶导数；应用牛顿迭代法，计算插补参数，直到满足迭代终止条件。

所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)=min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}_i^2-{({\mathrm{\ρ}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

所述插补路径的长度S_i为预插补到当前点P_i时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到点P_i-1时走过的路径，V_i为P_i处的进给速度V(u_i)，V_n为P_n处的进给速度V(u_n)，T为数控系统的插补周期。

所述计算加/减速过程能达到的最大加速度和最大加加速度，具体为：

比较ΔV和的大小：若则A_l=A，J_l=J；若则 $A_l=\sqrt{J\left|\mathrm{\ΔV}\right|},$ J_l=J；若 $\left|\mathrm{\ΔV}\right|>\frac{A^2}{J},$ A_l=A， $J_l=\frac{A^2}{\left|\mathrm{\ΔV}\right|};$

其中，A为数控系统最大的加速度，J为数控系统的最大加加速度，ΔV为该加/减速过程的速度变化量，计算公式为：

ΔV=V_e-V_s

式中，V_s为加/减速起始速度，V_e为加/减速终止速度。

所述二次速度方程形式为：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²

其中，t为时间变量，a₀、a₁、a₂为常量。

所述采用理论弦长逼近实际进给弦长的策略创建的构造方程的表达式为：

F(ξ)=‖C(ξ)-C(u_i)‖-V(u_i)T

其中，C(u_i)为在样条曲线方程在u=u_i处的值，ξ表示要计算下一个插补参数的值u_i+1，V(u_i)为参数u_i处的进给速度，F(ξ)为构造方程，C(ξ)为ξ处的样条曲线的值。

所述泰勒预测方程为线性化的二阶泰勒展开式，其公式为：

u_i+1=2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2

所述的阿当姆斯预测方程为线性化的三阶阿当姆斯展开式，公式为：

u_i+1=3u_i-3u_i-1+u_i-2

其中，u_i-1和u_i-2分别为参数u_i的前两步的插补参数，u_i+1为参数u_i的后一步的插补参数估算值。

所述的抛物线插值多项式是利用ξ_k-1、ξ_k和ξ_c构建的，公式如下：

P(ξ)=F(ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c](ξ-ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k](ξ-ξ_k-1)(ξ-ξ_c)

其中，ξ_k-1为利用泰勒预测方程预测的初值，ξ_k为阿当姆斯预测方程预测的初值，ξ_c为二者的平均值，F(ξ_k-1)为ξ_k-1处的构造方程的值，P(ξ)为抛物线插值多项式，F[ξ_k-1,ξ_c]和F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k]分别表示F(ξ)的一阶均差和二阶均差，公式为：

$F[{\mathrm{\ξ}}_{K-1},{\mathrm{\ξ}}_C]=\frac{F\left({\mathrm{\ξ}}_c\right)-F\left({\mathrm{\ξ}}_{k-1}\right)}{{\mathrm{\ξ}}_c-{\mathrm{\ξ}}_{k-1}}$

$F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_c,{\mathrm{\ξ}}_k]=\frac{F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_k]-F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_c]}{{\mathrm{\ξ}}_k-{\mathrm{\ξ}}_c}$

其中，F(ξ_c)为ξ_c处的构造方程的值，(F[ξ_k-1,ξ_k]为F[ξ_k-1,ξ_c]和F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k]分别表示F(ξ)的一阶均差和二阶均差。

所述的应用牛顿迭代法计算插补参数，迭代公式为：

${\mathrm{\ξ}}_{k+1}={\mathrm{\ξ}}_c-\frac{F\left({\mathrm{\ξ}}_c\right)({\mathrm{\ξ}}_k-{\mathrm{\ξ}}_{k-1})}{F\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)-F\left({\mathrm{\ξ}}_{k-1}\right)}$

其中，ξ_k-1为利用泰勒预测方程预测的初值，ξ_k为阿当姆斯预测方程预测的初值，ξ_c为二者的平均值，ξ_k+1为第k+1次迭代ξ的值。

所述的迭代终止条件为：

δ_i+1＜Δ

k=K

这里δ_i+1为当前的u_i+1对应的速度波动率的值，Δ为速度波动率上限，k为当前迭代的次数，K为最大迭代次数。

本发明具有以下优点及有益效果：

1.加工精度高。本发明方法在预插补阶段计算进给速度时，考虑了弦高误差的限制，保证了加工的轮廓精度，而在实时插补时，应用快速预插补阶段得到的速度方程计算进给速度，能搞满足加工精度的要求。

2.平滑度高，加工质量高。本发明方法的速度规划方法可以实现速度、加速度的连续变化，使机床运行平稳，避免对机床产生大的冲击；而插补参数的实时计算采用了抛物线插值结合牛顿迭代的方法，可以控制速度波动，进一步减小了机床震颤，从而实现柔性加减速控制，提高加工质量。

3.执行效率高。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。

4.通用性强。本发明方法的插补参数计算方法能够应用于各种参数曲线的实时插补，而速度规划算法可以应用到其他各种插补方法(直线插补、圆弧插补等)的加减速控制中。

附图说明

图1为待加工的样条曲线；

图2为本发明算法的算法流程图；

图3为加工整条曲线的进给速度曲线；

图4为加工整条曲线的加速度曲线；

图5为加工整条曲线的加加速度曲线；

图6为弦高误差曲线；

图7为局部进给速度曲线；

图8为局部加速度曲线；

图9为局部加加速度曲线；

图10为采用一阶泰勒展开法得到的速度波动曲线；

图11为采用二阶泰勒展开法得到的速度波动曲线；

图12为采用抛物线插值结合牛顿迭代法得到的速度波动曲线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

首先将待加工曲线进行快速预插补，根据精度要求确定快速插补的进给速度，记录插补路径的长度、加工精度要求下速度极大/小值点；计算加/减速过程能达到的最大加速度和最大加加速度，并将加/减速过程分为两段，计算各段的二次速度方程；根据速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的起始的插补参数，保存到加/减速数组中；

实时插补首先采用理论弦长逼近实际进给弦长的策略创建构造方程；应用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程，估计插补参数的两个初值，并计算二者的平均值；利用两个参数初值和它们的平均值构建抛物线插值多项式，并计算该抛物线插值多项式的一阶导数；应用牛顿迭代法，计算插补参数。

所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)=min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\ρ}}_i^2-{({\mathrm{\ρ}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

所述插补路径的长度S_i为预插补到当前点P_i时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到点P_i-1时走过的路径，V_i为P_i处的进给速度V(u_i)，V_n为P_n处的进给速度V(u_n).

在计算加/减速过程中的达到的最大加速度A_l和加加速度J_l时，比较速度变化量ΔV和的大小：若则A_l=A，J_l=J；若则J_l=J；若 $\left|\mathrm{\ΔV}\right|>\frac{A^2}{J},$ A_l=A， $J_l=\frac{A^2}{\left|\mathrm{\ΔV}\right|}.$

其中，A为数控系统最大的加速度，J为数控系统的最大加加速度，ΔV为该加/减速过程的速度变化量，计算公式为：

ΔV=V_e-V_s

式中，V_s为加/减速起始速度，V_e为加/减速终止速度。

所述的二次速度方程形式为：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²

其中，t为时间变量。设以减速段为例，减速过程可分为加减速段和减减速段两部分。所述的加减速段的速度方程为：

$V_1\left(t\right)=V_s-\frac{J_l}{2}{t}^2$

所述的减减速段的速度方程为：

$V_2\left(t\right)=V_e+\frac{2{A_l}^2}{J_l}-2A_{l}t+\frac{J_l}{2}{t}^2$

所述的构造方程用实际弦长逼近理论弦长的方法构建，其表达式为：

F(ξ)=‖C(ξ)-C(u_i)‖-V(u_i)T

这里的C(u_i)为在样条曲线方程在u=u_i处的值，ξ表示要计算下一个插补参数的值u_i+1，V(u_i)为参数u_i处的进给速度，T为插补周期。

所述的泰勒预测方程为线性化的二阶泰勒展开式，其公式为：

u_i+1=2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2

所述的阿当姆斯预测方程为线性化的三阶阿当姆斯展开式，公式为：

u_i+1=3u_i-3u_i-1+u_i-2

其中，u_i-1和u_i-2分别为参数u_i的前两步的插补参数。

所述的抛物线插值方程是利用ξ_k-1、ξ_k和ξ_c构建的，公式如下：

P(ξ)=F(ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c](ξ-ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k](ξ-ξ_k-1)(ξ-ξ_c)

其中，分别ξ_k-1为利用泰勒预测方程预测的初值，ξ_k为阿当姆斯预测方程预测的初值，ξ_c为二者的平均值，F[ξ_k-1,ξ_c]和F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k]分别表示F(ξ)的一阶均差和二阶均差，公式为：

$F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_c]=\frac{F\left({\mathrm{\ξ}}_c\right)-F\left({\mathrm{\ξ}}_{k-1}\right)}{{\mathrm{\ξ}}_c-{\mathrm{\ξ}}_{k-1}}$

$F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_c,{\mathrm{\ξ}}_k]=\frac{F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_k]-F[{\mathrm{\ξ}}_{k-1},{\mathrm{\ξ}}_c]}{{\mathrm{\ξ}}_k-{\mathrm{\ξ}}_c}$

所述的应用牛顿迭代法计算插补参数，迭代公式为：

${\mathrm{\ξ}}_{k+1}={\mathrm{\ξ}}_c-\frac{F\left({\mathrm{\ξ}}_c\right)({\mathrm{\ξ}}_k-{\mathrm{\ξ}}_{k-1})}{F\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)-F\left({\mathrm{\ξ}}_{k-1}\right)}$

所述的迭代终止条件为：

(1)δ_i+1＜Δ

(2)k=K

在迭代计算时，只要满足上述条件的(1)或(2)，则迭代终止。

这里δ_i+1为当前的u_i+1对应的速度波动率的值，Δ为速度波动率上限，k为当前迭代的次数，K为最大迭代次数。

本实施例将本发明方法在PC上进行仿真验证，所用的编程软件为MicrosoftVisual C++6.0，使用C语言编写程序，这里选用的样条曲线为NURBS(Non-Uniform Rational B-Spline)曲线。

测试环境的主要技术插补参数如下：

操作系统：Microsoft Windows XP

CPU：Pentium(R)Dual-Core

主频：2.93GHz

内存：2G

数控系统插补参数如下：

编程进给速度F=0.2m/s；

最大加速度A=0.005m/s2；

最大加加速度J=0.0004m/s3；

最大弦高误差ER=0.0005mm；

插补周期T=2ms。

本实施例以典型工件程序“倒置的沙漏”型曲线的加工为例，如图1所示。

本发明是用于高质量加工中的插补算法，其流程图如图2所示。

本发明方法包括速度规划和插补参数计算两部分。其中速度规划具有以下步骤：

对数控加工曲线进行快速预插补，预插补中的进给速度根据加工精度的要求确定。预插补过程记录插补路径的长度，加工精度要求下的加/减速开始点、速度极大/小值点的参数值；根据加/减速开始点及速度极大/小值点的速度值，计算加/减速过程中最大加速度和加加速度，并将加/减速过程分成两段，计算各段的速度方程；根据速度方程求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的所需的理论减速距离，并计算其对应的插补参数，保存到加减速数组中。快速预插补结束时，得到一个加减速段数组DL[ ]，其数据结构如下：

实时插补则根据快速预插补得到加减速数组中数据，实时计算插补参数的值。首先根据已知的样条曲线方程和插补周期等信息创建构造方程；应用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程，估算插补参数的两个初值，并计算两个初值的平均值；利用两个参数初值和它们的平均值构建抛物线插值多项式，并计算该抛物线插值多项式的一阶导数，从而求出初值的平均值对应的一阶导数值；根据抛物线插值多项式及初值的平均值的一阶导数值，应用牛顿迭代法，迭代插补参数，直到满足迭代终止条件。

进行实时插补计算进给速度时，主要思想如下：

比较当前的插补参数ui和当前加/减速段的起始插补参数DL[x].us：

a.)若ui<DL[x].us，则继续保持刀具做匀速运动；

b.)若DL[x].us<ui<DL[x].ue，则按照预插补阶段已经求出的速度方程进行实时插补；

c.)若ui-1<DL[x].ue，ui>DL[x].ue，则将x加1，并保持刀具做匀速运动。

在减速过程，有可能出现ui<DL[x].ue，V(ui)≤DL[x].ve，即速度提前减为最小值的情况，为了避免频繁的加减速控制，而使其保持该速度做匀速运动。

采用本发明算法，对图1所示的样条曲线进行仿真加工，得到到速度曲线、加速度曲线和加加速度曲线分别如图3～5所示，误差曲线如图6所示。为了说明本发明算法的五段S曲线速度规划方法的优点，选择局部的速度曲线以及对应的加速度曲线和加加速度曲线进行放大，如图7～9所示。为了说明本发明方法中的抛物线插值结合牛顿迭代法计算插补参数的方法的优点，仿真实验以常用的一阶泰勒展开法、二阶泰勒展开法作为对比，测试本发明方法在减小速度波动方面的表现，实验结果如图10～12所示。

通过分析，可以得到如下结论：

1．本发明方法可以保证加工误差满足加工精度的要求，并保证插补时的进给速度、进给加速度和进给加加速度均不超过数控系统的限制；

2.本发明方法可以提高加工的柔性程度，保证了机床运行平稳。从图7可以看出本发明方法实现了速度的平滑变化，而从图8可以看出，加速度实现了连续变化。刀具的加速度反映了机床的受力情况，因此本发明方法可以减小因为系统启动、停止所造成的机床振动，提高了加工质量；另一方面从图10～12可以看出，本发明方法中的插补参数计算方法较目前常用的泰勒展开法在减小速度波动方面的效果更为显著。进给速度的波动会导致实际进给速度偏离加减速控制规划的速度，从而影响运动的平稳性，甚至使加速度和加加速度超出限制范围，造成运动冲击，最终影响工件表面的加工质量。本文算法与传统的泰勒展开法相比，可以将速度波动控制在10^-6%范围内，降低了10⁴倍以上。因此，本发明算法能够得到连续的速度和加速度曲线，缓解高速加工过程中产生的振动和过冲，减小机床震颤，并且能够将进给速度波动控制到理想范围，实现高质量加工。

3.本发明方法控制简单，执行效率高。预插补阶段用于收集要加工的曲线的相关数据并计算速度方程，实时插补阶段只需用到预插补阶段的数据进行实时样条插补，运算简单。并且从图3可以看出，大部分时间刀具都在做匀速运动，只有在拐角处为了保证加工精度而进行减速控制，而减速到速度最小值时，为了避免频繁的加减速控制，仍保持刀具做匀速运动，从而避免了因频繁的系统启动、停止所引起的振动而影响工件程序加工表面光滑度下降的情况。

Claims (10)

1.一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，包括以下步骤：

对待加工曲线进行快速预插补：根据加工精度要求确定快速插补的进给速度，记录插补路径的长度、加工精度要求下速度极大/小值点；计算加/减速过程能达到的最大加速度和最大加加速度，并将加/减速过程分为两段，计算各段的二次速度方程；根据速度方程计算位移方程，求出刀具从加/减速开始点加/减速到速度极大/小值点的起始的插补参数，保存到加/减速数组中；

实时插补：采用理论弦长逼近实际进给弦长的策略创建构造方程；应用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程，估计插补参数的两个初值，并计算二者的平均值；利用两个参数初值和它们的平均值构建抛物线插值多项式，并计算该抛物线插值多项式的一阶导数；应用牛顿迭代法，计算插补参数，直到满足迭代终止条件。

2.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述快速插补的进给速度为：

V(u_i)=min(F,V_e(u_i))

其中，u_i为当前插补点P_i对应的插补参数，F为数控系统的编程进给速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，由以下公式决定：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_i^2-{({\mathrm{\&rho;}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中ρ_i为曲率半径，T为数控系统的插补周期，ER为加工要求的最大弦高误差。

3.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述插补路径的长度S_i为预插补到当前点P_i时走过的路径，通过以下公式计算：

$S_i=S_{i-1}+V_{i}T=\underset{n=0}{\overset{i-1}{\mathrm{\&Sigma;}}}{V}_{n}T+V_{i}T$

其中，S_i-1为插补到点P_i-1时走过的路径，V_i为P_i处的进给速度V(u_i)，V_n为P_n处的进给速度V(u_n)，T为数控系统的插补周期。

4.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述计算加/减速过程能达到的最大加速度和最大加加速度，具体为：

比较ΔV和的大小：若则A_l=A，J_l=J；若则 $A_l=\sqrt{J\left|\mathrm{\&Delta;V}\right|},$ J_l=J；若 $\left|\mathrm{\&Delta;V}\right|>\frac{A^2}{J},$ A_l=A， $J_l=\frac{A^2}{\left|\mathrm{\&Delta;V}\right|};$

其中，A为数控系统最大的加速度，J为数控系统的最大加加速度，ΔV为该加/减速过程的速度变化量，计算公式为：

ΔV=V_e-V_s

式中，V_s为加/减速起始速度，V_e为加/减速终止速度。

5.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述二次速度方程形式为：

V(t)=a₀+a₁t+a₂t²

其中，t为时间变量，a₀、a₁、a₂为常量。

6.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述采用理论弦长逼近实际进给弦长的策略创建的构造方程的表达式为：

F(ξ)=‖C(ξ)-C(u_i)‖-V(u_i)T

其中，C(u_i)为在样条曲线方程在u=u_i处的值，ξ表示要计算下一个插补参数的值u_i+1，V(u_i)为参数u_i处的进给速度，F(ξ)为构造方程，C(ξ)为ξ处的样条曲线的值。

7.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于，所述泰勒预测方程为线性化的二阶泰勒展开式，其公式为：

u_i+1=2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2

所述的阿当姆斯预测方程为线性化的三阶阿当姆斯展开式，公式为：

u_i+1=3u_i-3u_i-1+u_i-2

其中，u_i-1和u_i-2分别为参数u_i的前两步的插补参数，u_i+1为参数u_i的后一步的插补参数估算值。

8.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于：所述的抛物线插值多项式是利用ξ_k-1、ξ_k和ξ_c构建的，公式如下：

P(ξ)=F(ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c](ξ-ξ_k-1)+F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k](ξ-ξ_k-1)(ξ-ξ_c)

其中，ξ_k-1为利用泰勒预测方程预测的初值，ξ_k为阿当姆斯预测方程预测的初值，ξ_c为二者的平均值，F(ξ_k-1)为ξ_k-1处的构造方程的值，P(ξ)为抛物线插值多项式，F[ξ_k-1,ξ_c]和F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k]分别表示F(ξ)的一阶均差和二阶均差，公式为：

$F[{\mathrm{\&xi;}}_{k-1},{\mathrm{\&xi;}}_c]=\frac{F\left({\mathrm{\&xi;}}_c\right)-F\left({\mathrm{\&xi;}}_{k-1}\right)}{{\mathrm{\&xi;}}_c-{\mathrm{\&xi;}}_{k-1}}$

$F[{\mathrm{\&xi;}}_{k-1},{\mathrm{\&xi;}}_c,{\mathrm{\&xi;}}_k]=\frac{F[{\mathrm{\&xi;}}_{k-1},{\mathrm{\&xi;}}_k]-F[{\mathrm{\&xi;}}_{k-1},{\mathrm{\&xi;}}_c]}{{\mathrm{\&xi;}}_k-{\mathrm{\&xi;}}_c}$

其中，F(ξ_c)为ξ_c处的构造方程的值，(F[ξ_k-1,ξ_k]为F[ξ_k-1,ξ_c]和F[ξ_k-1,ξ_c,ξ_k]分别表示F(ξ)的一阶均差和二阶均差。

9.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于：所述的应用牛顿迭代法计算插补参数，迭代公式为：

${\mathrm{\&xi;}}_{k+1}={\mathrm{\&xi;}}_c-\frac{F\left({\mathrm{\&xi;}}_c\right)({\mathrm{\&xi;}}_k-{\mathrm{\&xi;}}_{k-1})}{F\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)-F\left({\mathrm{\&xi;}}_{k-1}\right)}$

其中，ξ_k-1为利用泰勒预测方程预测的初值，ξ_k为阿当姆斯预测方程预测的初值，ξ_c为二者的平均值，ξ_k+1为第k+1次迭代ξ的值。

10.根据权利要求1所述的一种用于高质量加工的样条曲线插补算法，其特征在于：所述的迭代终止条件为：

δ_i+1＜Δ

k=K

这里δ_i+1为当前的u_i+1对应的速度波动率的值，Δ为速度波动率上限，k为当前迭代的次数，K为最大迭代次数。