CN111045387B - 一种三阶轮廓误差实时估计方法 - Google Patents

Abstract

本发明提供一种三阶轮廓误差实时估计方法，属于机器人与高档数控机床技术领域，涉及一种用于任意曲线路径多轴联动轮廓跟踪控制任务中的空间轮廓误差实时估计方法。该方法利用三阶泰勒展开法对理想运动位置邻域内的理想曲线轮廓进行近似表示，依据各进给轴以及运动轨迹的速度、加速度、加加速度参数建立实际运动位置到三阶近似轮廓距离的计算模型，通过盛金公式求解该模型的解析解，获得具有三阶精度的轮廓误差估计值。该方法可实现无需利用理想轮廓几何模型的轮廓误差高精度实时计算，对保障多轴联动轮廓跟踪精度具有重要意义。

Description

一种三阶轮廓误差实时估计方法

技术领域

本发明涉及一种用于多轴联动轮廓跟踪控制任务中的空间轮廓误差实时估计方法，尤其涉及一种三阶轮廓误差实时估计方法，属于机器人与高档数控机床技术领域。

背景技术

在多自由度机器人以及多轴数控机床中，自由曲线路径的轮廓跟踪是一项重要的任务。提高轮廓跟踪精度，是提高多自由度机器人的末端运动精度以及多轴联动数控机床的加工精度的前提。然而，由于单轴伺服滞后、多轴动态失匹、外部扰动等因素的存在，在轮廓跟踪任务中，往往会产生轮廓误差。轮廓误差的定义为实际运动位置到理想轮廓的最短距离，因此，若理想轮廓为自由曲线，轮廓误差难以实现在线实时精确计算，而轮廓误差的计算精度，直接影响其控制效果。因此，研究自由曲线路径轮廓跟踪任务中轮廓误差的实时高精度估计方法，对于机器人与数控机床等多轴运动控制系统运动精度的提高具有重要意义。

现有技术文献1“Estimation of the contouring error vector for thecross-coupled control design”，Yeh等，IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2002，7(1)：45-51，该文献给出一种基于实际运动位置到理想曲线轮廓切线距离计算的轮廓误差估计方法，该方法仅具有一阶精度。文献2“Real-time contouring errorestimation for multi-axis motion systems using the second-orderapproximation”，Zhu等，International Journal of Machine Tools and Manufacture，2013，68：75-80，该文献通过定义一个点到曲线距离公式，并对其进行二阶泰勒展开，给出一种三维轮廓误差实时估计方法，该方法具有二阶精度。然而，对于曲线轮廓上曲率较大的尖角位置，一阶/二阶轮廓误差估计方法往往难以得出高精度的估计结果，因此，需要进一步研究具有更高精度且能够满足实时性要求的轮廓误差估计策略。

发明内容

本发明的目的是为了克服现有技术缺陷而提供一种三阶轮廓误差实时估计方法，该方法基于弧长参数对理想路径曲线进行三阶泰勒展开，以实现对理想轮廓的三阶近似，并依据各进给轴的运动学参数构建实际运动位置到近似轮廓的距离模型，利用盛金公式完成具有三阶精度的轮廓误差估计值求解。本发明可在不利用理想轮廓几何模型的前提下，实现对轮廓误差的高效高精度计算。

本发明的目的是这样实现的：步骤如下：

第一步：建立基于三阶近似的轮廓误差模型

将理想轮廓记为r(s),其中s为弧长参数，记理想运动位置处的弧长参数为s₀，则距离理想运动位置弧长增量δ_s的理想轮廓可以由三阶泰勒展开表示为三阶近似轮廓r_ap(s₀，δ_s)：

其中，r(s₀)表示理想运动位置，r′(s₀)、r″(s₀)、r″′(s₀)分别为r(s)在s₀处的一阶、二阶、三阶导数；

定义代价函数f_c(s₀，δ_s，p)为：

f_c(s₀，δ_s，p)＝||r_ap(s₀，δ_s)-p||

其中，p为实际运动位置，||||表示欧几里得范数；根据代价函数，求得代价函数的最小值，获得当前位置处的轮廓误差估计值，该过程可通过下式实现：

其中，<>表示两向量内积运算；

当||r_ap(s₀，δ_s)-p||＝0时，p在近似轮廓上，此时轮廓误差估计值为零；当||r_ap(s₀，δ_s)-p||≠0时，则有：

求三阶近似轮廓对δ_s的偏导数得：

进一步得到关于δ_s的三次方程为：

则三阶轮廓误差估计值即可表示为

其中：δ_s，f是关于δ_s的三次方程最小实根；

第二步：轮廓误差模型求解

将当前位置处的轨迹速度、轨迹加速度和轨迹加加速度分别表示为v_p，a_p和j_p，将进给轴速度矢量、进给轴加速度矢量以及进给轴加加速度矢量分别表示为v，a和j，根据微分原理可得：

式中，s表示弧长，t表示时间；

r′(s₀)可利用进给轴速度矢量以及轨迹速度计算为：

进一步得到r″(s₀)：

得到r″′(s₀)：

至此，各项系数均为已知量，则有：

其中，三次方程的系数c₁、c₂、c₃、c₄为：

得到三次方程的四个系数后，利用盛金公式求解绝对值最小的实根δ_s，f，根据求得的δ_s，f获得三阶轮廓误差估计值

与现有技术相比，本发明的有益效果是：发明了多轴联动轮廓误差的三阶估计方法，通过三阶泰勒展开得到了三阶轮廓误差估计模型，并通过建立进给轴速度、加速度、加加速度以及轨迹速度、加速度、加加速度与轮廓误差估计模型系数的关系，实现了无需利用理想轮廓曲率等几何信息条件下，对轮廓误差三阶估计值的解析求解，不仅可在保证计算效率的前提下提高轮廓误差估计精度，而且还适用于任意自由曲线轮廓。

附图说明

图1-方法整体流程图；

图2-空间直角坐标系中理想曲线轮廓几何模型；

图3-二阶轮廓误差估计方法的估计偏差；其中，A轴表示运动时间，单位为s，B轴表示估计偏差值，单位为mm；

图4-本发明方法的估计偏差；其中，A轴表示运动时间，单位为s，B轴表示估计偏差值，单位为mm；

图5-本发明方法各采样周期的计算时间；其中A轴表示采样周期序号，B轴表示计算时间，单位为μs。

具体实施方式

下面结合附图与具体实施方式对本发明作进一步详细描述。

本发明的技术方案是一种三阶轮廓误差实时估计方法，该方法利用三阶泰勒展开法对理想运动位置邻域内的理想曲线轮廓进行近似表示，依据各进给轴以及运动轨迹的速度、加速度、加加速度参数建立了实际运动位置到三阶近似轮廓距离的计算模型，通过盛金公式实现该模型的解析解计算。方法具体步骤如下：

第一步 建立基于三阶近似的轮廓误差模型

将理想轮廓记为r(s)，其中s为弧长参数，记理想运动位置处的弧长参数为s₀，则距离理想运动位置弧长增量δ_s的理想轮廓可以由三阶泰勒展开表示为三阶近似轮廓r_ap(s₀，δ_s)：

其中，r(s₀)表示理想运动位置，r′(s₀)、r″(s₀)、r″′(s₀)分别为r(s)在s₀处的一阶、二阶、三阶导数；

定义代价函数f_c(s₀，δ_s，p)为：

f_c(s₀，δ_s，p)＝||r_ap(s₀，δ_s)-p|| (2)

其中，p为实际运动位置，||||表示欧几里得范数；根据式(2)，求得代价函数的最小值，即可获得当前位置处的轮廓误差估计值，该过程可通过求解式(3)实现：

其中，<>表示两向量内积运算；

当||r_ap(s₀，δ_s)-p||＝0时，p在近似轮廓上，此时轮廓误差估计值为零；当||r_ap(s₀，δ_s)-p||≠0时，式(3)转化为：

求式(1)对δ_s的偏导数得：

将式(1)和式(5)代入式(4)得：

式(6)为关于δ_s的三次方程，求解式(6)后，三阶轮廓误差估计值即可表示为

其中δ_s，f是式(6)的最小实根；为求得δ_s，f，需要得到式(6)的系数值，为避免采用理想轮廓的几何模型信息，从而使得提出的方法适用于任意自由曲线轮廓，下面给出依据进给轴运动参数的求解方法；

第二步 轮廓误差模型求解

将当前位置处的轨迹速度、轨迹加速度和轨迹加加速度分别表示为v_p，a_p和j_p，将进给轴速度矢量、进给轴加速度矢量以及进给轴加加速度矢量分别表示为v，a和j，根据微分原理可得：

式中，s表示弧长，t表示时间；

根据式(8)，r′(s₀)即可利用进给轴速度矢量以及轨迹速度计算为：

将式(11)代入式(9)，得到r″(s₀)：

将式(11)、(12)代入式(10)，得到r″′(s₀)：

至此，式(6)中的各项系数均为已知量，将式(11-13)代入式(6)得：

其中，三次方程的系数c₁、c₂、c₃、c₄为：

根据式(15)-(18)得到三次方程的四个系数后，利用盛金公式求解式(14)求解式(6)的绝对值最小的实根δ_s，f，将求得的δ_s，f代入式(7)即可获得三阶轮廓误差估计值

附图1为方法整体流程图，附图2为空间直角坐标系中理想曲线轮廓几何模型图，以附图2所示曲线轮廓为例，取进给速度为40mm/s，利用具有三个正交轴的轮廓跟踪系统进行轮廓跟踪，并采用本发明方法对轮廓跟踪过程中产生的轮廓误差进行估计，以下结合附图1详细说明具体实施过程。

首先，检测轮廓跟踪过程中当前时刻的各进给轴以及合成轨迹的运动参数v、a、j，以及v_p、a_p、j_p，判断轨迹速度v_p＝0是否成立，若成立，令轮廓误差估计值等于零，否则，检测当前实际运动位置p，利用式(15)-(18)计算式(14)的四个系数c₁、c₂、c₃、c₄；进一步，根据盛金公式对式(14)所表示的三次方程进行求解，获得最小实根δ_s，f，将其代入式(7)，获得三阶轮廓误差估计值

重复上述过程，直到轮廓跟踪任务结束，获得每一个采样周期的轮廓误差估计值。

为说明本发明方法的有益效果，这里将本发明方法与现有二阶轮廓误差估计方法进行对比测试。附图3所示为采用二阶轮廓误差估计方法计算的轮廓误差值与实际轮廓误差值之间的偏差，可见最大估计偏差为14.6μm。

附图4所示为采用本发明方法估计的轮廓误差与实际轮廓误差之间的偏差，可见本发明三阶轮廓误差估计方法的最大估计偏差为4.0μm。相比于二阶轮廓误差估计方法，本发明方法将估计偏差降低了72.6％，说明了本发明方法具有较高的估计精度。

附图5所示为采用本发明方法在主频为866MHz处理器上每个采样周期内的计算时间，可见每个周期的轮廓误差估计计算时间均小于30μs，远小于常用的插补周期时间(往往大于1ms)，说明了本发明方法计算效率高，具有较好的实时性。

本发明一种三阶轮廓误差实时估计方法不仅具有较高的计算效率、较高的误差估计精度，而且还无需理想轮廓几何模型，适用于任意自由曲线轮廓，对于保证轮廓跟踪任务中自由曲线轮廓误差的实时计算精度，进而提高轮廓跟踪精度具有重要意义。

综上，本发明一种三阶轮廓误差实时估计方法属于机器人与高档数控机床技术领域，涉及一种用于任意曲线路径多轴联动轮廓跟踪控制任务中的空间轮廓误差实时估计方法。该方法利用三阶泰勒展开法对理想运动位置邻域内的理想曲线轮廓进行近似表示，依据各进给轴以及运动轨迹的速度、加速度、加加速度参数建立实际运动位置到三阶近似轮廓距离的计算模型，通过盛金公式求解该模型的解析解，获得具有三阶精度的轮廓误差估计值。该方法可实现无需利用理想轮廓几何模型的轮廓误差高精度实时计算，对保障多轴联动轮廓跟踪精度具有重要意义。

Claims (1)

1.一种三阶轮廓误差实时估计方法，其特征在于：步骤如下：

第一步：建立基于三阶近似的轮廓误差模型

将理想轮廓记为r(s),其中s为弧长参数，记理想运动位置处的弧长参数为s₀，则距离理想运动位置弧长增量δ_s的理想轮廓可以由三阶泰勒展开表示为三阶近似轮廓r_ap(s₀,δ_s)：

其中，r(s₀)表示理想运动位置，r′(s₀)、r″(s₀)、r″′(s₀)分别为r(s)在s₀处的一阶、二阶、三阶导数；

定义代价函数f_c(s_0,δ_s,p)为：

f_c(s₀,δ_s,p)＝||r_ap(s₀,δ_s)-p||

其中，p为实际运动位置，‖‖表示欧几里得范数；根据代价函数，求得代价函数的最小值，获得当前位置处的轮廓误差估计值，该过程可通过下式实现：

其中，<>表示两向量内积运算；

当||r_ap(s₀,δ_s)-p||＝0时，p在近似轮廓上，此时轮廓误差估计值为零；当||r_ap(s₀,δ_s)-p||≠0时，则有：

求三阶近似轮廓对δ_s的偏导数得：

进一步得到关于δ_s的三次方程为：

则三阶轮廓误差估计值即可表示为

其中：δ_s,f是关于δ_s的三次方程最小实根；

第二步：轮廓误差模型求解

将当前位置处的轨迹速度、轨迹加速度和轨迹加加速度分别表示为v_p，a_p和j_p，将进给轴速度矢量、进给轴加速度矢量以及进给轴加加速度矢量分别表示为v，a和j，根据微分原理可得：

式中，s表示弧长，t表示时间；

r′(s₀)可利用进给轴速度矢量以及轨迹速度计算为：

进一步得到r″(s₀)：

得到r″′(s₀)：

至此，各项系数均为已知量，则有：

其中，三次方程的系数c₁、c₂、c₃、c₄为：

得到三次方程的四个系数后，利用盛金公式求解绝对值最小的实根δ_s,f，根据求得的δ_s,f获得三阶轮廓误差估计值

Images