CN103809521B - 基于弦截法的样条曲线插补方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及基于弦截法的样条曲线插补方法，应用于数控系统中的样条插补，包括以下步骤：根据加工时的刀具进给速度、样条曲线方程和插补周期创建构造方程，构造方程的根即为插补参数；然后利用构造方程并运用弦截迭代法求出插补参数，其中插补参数的初始值采用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程预测；将求出的插补参数代入样条曲线方程，得到各个运动轴的实际刀具进给量。本发明方法运算量小，数控机床的执行效率高；本发明考虑了弦高误差的限制，保证了加工的轮廓精度；弦截法具有超线性的收敛性，因此用这种方法计算插补参数时，收敛速度快，运算量小，稳定性好。

Description

基于弦截法的样条曲线插补方法

技术领域

本发明涉及用于数控加工的样条曲线插补方法，具体地说是根据样条曲线插补原理采用弦截法计算插补参数的方法。

背景技术

传统数控加工系统只能实现圆弧和直线插补，在加工复杂型面零件时，需要经过CAD建模后再借助于CAM离线编程系统进行曲线离散化，生成大量的微小圆弧或直线段来进行加工。这种加工方法的问题首先是程序量大，增加了CAD/CAM与CNC之间的通信负担，同时增大了CNC的预处理工作量；另外，小线段作为刀具轨迹破坏了表面光滑性，频繁加减速容易引起机床震动并加快刀具磨损，最终使加工零件尺寸精度和表面精度都受到限制。

针对小线段逼近参数曲线存在的不足，一些高档数控系统如FANUC、SIMENS等实现了样条曲线插补功能。样条插补技术改变了传统的小线段逼近参数曲线的方法，而直接对参数曲线进行插补，简化了加工代码，缩短了程序的传输时间，同时减少了精度损失。由于样条曲线不仅能精确统一表示标准解析曲线和自由曲线，而且它的形状控制功能也特别强大灵活，因此将样条插补技术应用在数控加工领域，会大大提高高速、高精加工技术的整体水平。

目前常用的样条曲线插补方法主要有匀速插补算法和自动调节进给速度插补算法等，但是应用这些方法实时插补时存在速度波动，并且理论上无法避免。进给速度的波动不仅会导致加工工件精度下降，甚至还有可能引起震颤，影响加工质量。插补参数的计算方法是影响插补速度波动的关键因素。目前常用的样条曲线插补参数计算方法主要有Taylor展开法、微分方程的数值解法、迭代逼近法和参数弧长拟合法。其中Taylor展开法是目前主流的求取插补参数的方法，其原理是用Taylor展开式来逼近下一个插补参数，且展开的阶数越高，结果越精确，速度波动越小；常微分方程数值解法的原理是把插补参数求取的问题化成一阶常微分方程的求解问题，一般分为单步法(R-K方法)和多步法(Admas方法)，这两种方法都能获得较为精确的参数值。不过用Taylor展开法和微分方程数值解法时，大都需要用到了一阶或二阶样条曲线求导运算，计算负担很大，导致参数插补运动控制器在实时性上表现不是很好，影响了控制精度。迭代逼近法中最常用的是一种基于牛顿迭代的“预测-校正”的算法，这种方法避开了一阶和二阶导数的计算，使得计算量大大减小。但是由于这种方法的收敛条件比较复杂，影响了这种方法的应用。“参数-弧长”拟法旨在建立样条曲线的“参数-弧长”间的非线性函数关系，然而这种方法存在大量积分运算，比较复杂，计算量大，在实际的工程应用中具有一定的局限性。

发明内容

针对现有技术的不足，本发明提供一种根据样条曲线插补原理采用弦截法计算插补参数的方法，本发明为实现上述目的所采用的技术方案是：基于弦截法的样条曲线插补方法，应用于数控系统中的样条插补，包括以下步骤：

根据加工时的刀具进给速度、样条曲线方程和插补周期创建构造方程，构造方程的根即为插补参数；

然后利用构造方程并运用弦截迭代法求出插补参数，其中插补参数的初始值采用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程预测；将求出的插补参数代入样条曲线方程，得到各个运动轴的实际刀具进给量。

所述构造方程为f(ξ)＝||C(ξ)-C(u_i)||-V(u_i)T，其中C(u)为样条曲线方程，u_i为当前的插补参数，ξ表示要计算的下一个插补参数u_i+1，T为数控系统的插补周期，V(u_i)为加工时的刀具进给速度。

所述运用弦截迭代法求出插补参数具体为：

采用弦截迭代公式 ${\mathrm{\ξ}}_{k+1}={\mathrm{\ξ}}_k-\frac{f\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)({\mathrm{\ξ}}_k-{\mathrm{\ξ}}_{k-1})}{f\left({\mathrm{\ξ}}_k\right)-f\left({\mathrm{\ξ}}_{k-1}\right)}$ 进行迭代计算，直到满足迭代终止条件；其中，ξ_k，ξ_k-1为f(ξ)＝0的近似根，即为插补参数u_i+1的两个初始值。

所述迭代终止条件为

$\left\{\begin{array}{c}|{\mathrm{\&xi;}}_{k+1}-{\mathrm{\&xi;}}_k|\&le;\mathrm{\&epsiv;}\\ {\mathrm{\&delta;}}_i<\mathrm{\&Delta;}\end{array}\right.$ 或k<K

其中ε为迭代结果的计算精度，δ_i为当前u_i+1对应的速度波动率，Δ为速度波动率上限，k为迭代次数，K为最大迭代次数。

所述插补参数的一个初始值采用下面的泰勒预测方程预测：

u_i+1＝2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2；

所述插补参数的另一个初始值采用下面的阿当姆斯预测方程预测：

$u_{i+1}=\frac{1}{24}(49.5u_i-36.5u_{i-1}+20.5u_{i-2}-9.5u_{i-3}).$

本发明具有以下有益效果及优点：

1.运算量小。本发明方法通过采用线性递推法，快速获取了插补参数的迭代初值，并且采用了弦截迭代计算插补参数，避免了样条方程的求导运算，运算量小，数控机床的执行效率高。

2.加工精度高。本发明方法在计算进给速度时，考虑了弦高误差的限制，保证了加工的轮廓精度，而在计算插补参数时，采用逼近弦长的策略，更加符合参数曲线插补的本质，并且用户可以自己设定速度波动率的上限，能控制算法的执行时间，提高了系统的控制精度。

3.稳定性好，由于现在的数控系统常用的样条插补曲线(Ｂ样条曲线、NURBS曲线和Bézier曲线等）一般都是三阶以上，具有连续的二阶导数，因此弦截法具有超线性的收敛性，因此用这种方法计算插补参数时，收敛速度快，运算量小，稳定性好。

4.算法通用性强。本发明方法针对不同的参数曲线，可以使用相同的方法获取插补参数，即本发明方法能够应用于各种参数曲线插补中，且本发明方法考虑了加工时的轮廓精度，也可与其他加减速算法结合使用。

附图说明

图1为本发明的样条曲线插补原理图；

图2为弦截法的原理图；

图3为本发明方法总体流程图；

图4为采用本发明获得的误差曲线；

图5为一阶泰勒展开法速度波动率曲线；

图6为二阶泰勒展开法速度波动率曲线；

图7为采用本发明方法得到的速度波动率曲线；

图8为模拟加工的样条曲线。

具体实施方式

下面结合附图及实施例对本发明做进一步的详细说明。

本发明采用的技术方案是：

本发明是基于弦截法的样条曲线插补算法，具有以下步骤：

根据加工的精度要求，确定加工时的进给速度；

根据上述获得的进给速度，以及已知的样条曲线方程和插补周期等信息创建构造方程，用以计算插补参数；

应用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程，预测插补参数的两个初值；然后根据构造方程及参数初值，运用弦截迭代法求出插补参数，并代入参数样条方程，求出各个运动轴的实际进给量。

本实施例将本发明方法在PC上进行仿真验证，所用的编程软件为MicrosoftVisual C++6.0，使用C语言编写程序，这里选用的样条曲线为NURBS(Non-UniformRational B-Spline)曲线。

测试环境的主要技术参数如下：

操作系统：Microsoft Windows XP

CPU：Pentium(R)Dual-Core

主频：2.93GHz

内存：2G

数控系统参数如下：

进给率F=200mm/s；最大弦高误差ER=0.0005mm；插补周期T=3ms；

最大迭代次数K=5；迭代结果的计算精度ε=10^-6；速度波动率上限Δ=10^-4%；

本实施例以典型工件程序“倒置的沙漏”型曲线的加工为例。

如图3所示，本发明用于数控系统的样条插补具有以下步骤：

根据当前的插补参数计算各个运动轴实际的进给步长；根据数控系统要求的最大弦高误差，计算实时插补的进给速度；最初的4个插补参数由二阶泰勒展开法计算，后面的插补参数，则首先用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程预测参数初值，然后根据设定的误差要求、速度波动要求及时间要求，使用弦截迭代法对参数初值进行迭代计算，直到达到迭代终止条件，从而得到下一个插补参数，进行下一步的插补，直到整条曲线加工完成。

所述的实时进给速度由以下公式确定：

V(u_i)＝min(F,V_e(u_i))

其中，F为系统编程速度，V_e(u_i)为精度要求下的速度，其计算公式为：

$V_e\left(u_i\right)=\frac{T}{2}\sqrt{{\mathrm{\&rho;}}_i^2-{({\mathrm{\&rho;}}_i-\mathrm{ER})}^2}$

其中，ER为允许的最大弦高误差，ρ_i为曲率半径，T为插补周期。

本发明方法针对参数曲线插补的实质，如图1所示，P_i为当前插补点，P_i+1为下一个插补点，C(u)为样条曲线，样条插补原理是用弦长逼近弧长，所以在计算插补参数时采用了逼近弦长的策略，将插补参数的计算过程变成构造方程的求根的过程，可以更好的控制速度波动的大小；采用“弦截法”来迭代计算插补参数的值，能够提高运算速度，且由于样条曲线具有连续的二阶导数，应用弦截法计算插补参数收敛速度快，运算结果精确；引入泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程来获取插补参数的初值，避免了用低阶泰勒法获取参数初值的时间消耗；迭代终止条件考虑了计算精度和控制精度，同时考虑了算法的执行时间。具体样条插补步骤如下：

1）引入了弦截迭代法计算插补参数：

设当前的插补参数为u_i，在获得进给速度以后，问题的关键是计算下一个插补参数为u_i+1，假设下一个插补参数u_i+1＝ξ。这里根据速度波动率的定义，创建构造的函数f(ξ)采用了实际弦长逼近理论弦长的策略，公式如下：

f(ξ)＝||C(ξ)-C(u_i)||-V(u_i)T

则问题转化为求ξ＝ξ^*，使得：

f(ξ^*)＝0

采用弦截法来计算ξ的值，其原理如图2所示。

设ξ_k，ξ_k-1是f(ξ)＝0的近似根，利用f(ξ_k)和f(ξ_k-1)构造一次插值多项式p(ξ)，并利用p(ξ)＝0的根作为f(ξ)＝0的新的近似根ξ_k+1。p(ξ)方程如下：

$p\left(\mathrm{\&xi;}\right)=f\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)+\frac{f\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)-f\left({\mathrm{\&xi;}}_{k-1}\right)}{{\mathrm{\&xi;}}_k-{\mathrm{\&xi;}}_{k-1}}(\mathrm{\&xi;}-{\mathrm{\&xi;}}_k)$

因此，可以得到迭代公式：

${\mathrm{\&xi;}}_{k+1}={\mathrm{\&xi;}}_k-\frac{f\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)({\mathrm{\&xi;}}_k-{\mathrm{\&xi;}}_{k-1})}{f\left({\mathrm{\&xi;}}_k\right)-f\left({\mathrm{\&xi;}}_{k-1}\right)}$

由于C(u)具有连续的二阶导数，故上式收敛。

2）引入泰勒预测方程：

从弦截法的迭代公式中可以看出，这种迭代法需要两个迭代初值。通常采用低阶泰勒展开式来获取迭代初值，但是这样计算比较复杂。考虑二阶泰勒展开式： $u_{i+1}=u_i+{\mathrm{Tu}}_i^{\&prime;}+\frac{T^2}{2}{u}_i^{\&prime;\&prime;}$

用差分方程代替求导运算： $u_i^{\&prime;}=\frac{u_i-u_i-1}{T}$

$u_i^{\&prime;\&prime;}=\frac{u_i-2u_{i-1}+u_{i-2}}{T^2}$

将上面式子代入二阶泰勒展开式中，可得：

u_i+1＝2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2

这样就可以通过已经获得的前面三个插补参数来线性递推预测出下一个插补参数。

3）引入阿当姆斯预测方程：

通过泰勒预测方程可以获得一个迭代初值，但是弦截法需要两个迭代初值，为了区别于第一个迭代初值，这里采用阿当姆斯预测方程来获取另一个迭代初值。

三阶阿当姆斯预测方程的公式为：

$u_{i+1}=u_i+\frac{T}{24}(55{u^{\&prime;}}_i-59{u^{\&prime;}}_{i-1}+37{u^{\&prime;}}_{i-2}-9{u^{\&prime;}}_{i-3})$

同样用差分方程代替求导运算：

$u_i^{\&prime;}=\frac{u_i-u_{i-1}}{T}$

$u_{i-1}^{\&prime;}=\frac{u_i-u_{i-2}}{2T}$

$u_{i-2}^{\&prime;}=\frac{u_{i-1}-u_{i-3}}{2T}$

$u_{i-3}^{\&prime;}=\frac{u_{i-2}-u_{i-3}}{T}$

将上述式子代入阿当姆斯预测方程，可以得到：

$u_{i+1}=\frac{1}{24}(49.5u_i-36.5u_{i-1}+20.5u_{i-2}-9.5u_{i-3})$

这同样是一个线性递推式，通过前4步获得的插补参数可以预测下一个插补参数的迭代初值。

通过泰勒预测公式和阿当姆斯预测公式可以获得插补参数的两个迭代初值，经过迭代，可以获得下一个插补参数。由于泰勒预测公式和阿当姆斯预测公式都需要用到前面的插补参数，所以开始插补时，无法获得迭代初值，也就无法进行迭代运算。因此，可以用传统的方法即二阶泰勒展开法来计算最初的4个插补参数，而从第5个插补参数的开始则采用弦截迭代法计算。

4）迭代终止条件综合考虑多种因素：

所述的迭代终止条件为：

$\left\{\begin{array}{c}|{\mathrm{\&xi;}}_{k+1}-{\mathrm{\&xi;}}_k|\&le;\mathrm{\&epsiv;}\\ {\mathrm{\&delta;}}_i<\mathrm{\&Delta;}\end{array}\right.$ 或k<K

这里ε为迭代结果的计算精度，δ_i为当前的速度波动率的值，Δ为速度波动率上限。另外，考虑算法的实时性，设定了最大迭代次数K与Δ和ε一起作为迭代终止条件。

速度波动率的计算公式为：

${\mathrm{\&delta;}}_i=\frac{\mathrm{\&Delta;}{V}_i}{V\left(u_i\right)}\&times;100\%=(1-\frac{\left|\right|C\left(u_{i+1}\right)-C\left(u_i\right)\left|\right|}{V\left(u_i\right)T})\&times;100\%$

其中，V(u_i)为参数u＝u_i处的理想进给速度；另外，考虑样条插补过程的实时性，设定最大迭代次数k≤K来限制算法的运行时间，与速度波动上限δ以及误差上限ε一起作为迭代终止条件。

采用现有方法(泰勒展开法)得到的速度波动变化曲线如图5、6所示（横坐标表示插补的步数，纵坐标表示所对应的速度波动率，单位为%），而采用本发明方法速度波动变化曲线如图7所示，模拟加工的曲线如图8所示。从速度波动变化曲线的对比可以得到如下结论：

1.本算法运算量小，执行效率高。本发明方法通过采用线性递推法，快速获取了插补参数的迭代初值，并且在迭代计算时，避免了样条方程的求导运算，极大地提高了数控机床的执行效率，采用一阶泰勒展开法和二阶泰勒展开法仿真插补的时间分别是0.047s和0.063s，而采用本算法的仿真时间为0.041s。

2.本发明方法加工精度高。本发明方法在计算进给速度时，考虑了弦高误差的限制，如图4所示，保证了加工的轮廓精度，而在计算插补参数时，采用逼近弦长的策略，更加符合样条插补的本质，并且用户可以自己设定速度波动率的上限，能控制算法的执行时间，提高了数控加工的控制精度。从对比实验可以看出，一阶泰勒展开法速度波动率较高，最大的速度波动率几乎可以达到1%量级，而二阶泰勒方法较一阶泰勒展开法有了一定的改进，大部分点的速度波动率比较小，只有少部分的插补点超过0.2%，且速度波动率的绝对值的平均值较一阶泰勒展开法提高了两个数量级，不过其平均的速度波动率仍然较大。而本发明算法提出的线性递推结合弦截迭代获得插补参数的算法，所有的插补点的速度波动率已经控制在10^-4%范围内。

3.本发明方法稳定性好，由于现在的数控系统常用的样条插补曲线(Ｂ样条曲线、NURBS曲线和Bézier曲线等）为保证光滑性，一般都是三阶以上，具有连续的二阶导数，因此弦截法具有超线性的收敛性，因此用这种方法计算插补参数时，收敛速度快，运算量小。

Claims (3)

1.基于弦截法的样条曲线插补方法，应用于数控系统中的样条插补，其特征在于包括以下步骤：

根据加工时的刀具进给速度、样条曲线方程和插补周期创建构造方程，构造方程的根即为插补参数；

然后利用构造方程并运用弦截迭代法求出插补参数，其中插补参数的初始值采用泰勒预测方程和阿当姆斯预测方程预测；将求出的插补参数代入样条曲线方程，得到各个运动轴的实际刀具进给量；

所述运用弦截迭代法求出插补参数具体为：

采用弦截迭代公式进行迭代计算，直到满足迭代终止条件；其中，ξ_k，ξ_k-1为f(ξ)＝0的近似根，即为插补参数u_i+1的两个初始值；

所述插补参数的一个初始值采用下面的泰勒预测方程预测：

u_i+1＝2.5u_i-2u_i-1+0.5u_i-2；

所述插补参数的另一个初始值采用下面的阿当姆斯预测方程预测：

2.根据权利要求1所述的基于弦截法的样条曲线插补方法，其特征在于：

所述构造方程为f(ξ)＝||C(ξ)-C(u_i)||-V(u_i)T，其中C(u)为样条曲线方程，u_i为当前的插补参数，ξ表示要计算的下一个插补参数u_i+1，T为数控系统的插补周期，V(u_i)为加工时的刀具进给速度。

3.根据权利要求1所述的基于弦截法的样条曲线插补方法，其特征在于：

所述迭代终止条件为

或k<K；

其中ε为迭代结果的计算精度，δ_i为当前u_i+1对应的速度波动率，Δ为速度 波动率上限，k为迭代次数，K为最大迭代次数。