CN108287527B - 一种基于三角函数的改进s曲线加减速控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明涉及一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，属于运动控制领域，本方法将曲线按照不同的运动特点分阶段，规划过程中通过参数限制和实际情况讨论各阶段是否存在，以获得各阶段的运行时间，进而得到规划后的位移曲线。在传统S曲线加减速的基础上，引入基于三角函数的加加速度控制方法，能够有效的保证加加速度的连续性，最大限度的减小对数控设备造成的冲击。

Description

一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法

技术领域：

本发明涉及一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，属于运动控制领域。

背景技术：

加减速控制是数控系统中的关键技术，良好的加减速控制方法可以有效的避免数控设备运动过程中出现的冲击、失步或振动等现象，提高加工精度和表明质量，同时实现数控机床的快速反应，短时间内达到指定速度，缩短加减速时间，提高生产效率。

目前数控系统中常用的加减速控制方法有：直线型加减速、指数型加减速、三角函数加减速和S形加减速。直线型加减速算法简单、耗时短，但是加速度曲线不连续，存在速度突变，易出现各种振动和噪声，对数控设运动造成柔性冲击，适用于对运动精度要求不高的低速、低成本的数控系统。指数型加减速算法平滑性比直线型加减速要好，运动精度高，但其加减速起点和终点加速度突变，同样存在柔性冲击。三角函数加减速，主要是利用0-π之间的正弦曲线构建速度曲线，进而实现加速度与加加速度的连续可导，从而达到速度平稳光滑过度的目的，但是由于当前的三角函数加减速为保证速度线型，无法充分发挥数控设备加加速度、加速度最大允许值的性能，造成速度无法在较短时间、距离内达到期望值。也有学者使用三角函数构建加速度和加加速度曲线，通过积分获得速度与位移曲线，同样也存在为保证三角函数线型而无法充分发挥数控设备的性能的问题。S形曲线加减速具有加速度曲线连续、速度曲线光滑等优点，适合高速高精加工场的应用，但目前的S曲线仍存在加加速度的阶跃变化，在阶跃变化的上升沿和下降沿，对数控设备进给系统造成振动和冲击，影响运行平稳性。

中国专利文件(申请号201310095677.3)公开了一种用于数控机床的三角函数二阶连续可导加减速算法，结合通用S型加减速曲线算法的优势，提出了改进型的三角函数算法，但该方案在对加加速度处理时，加加速度直接从最大加加速度以三角函数形式降低至0，从开始便有较大冲击，并且加加速度到达最大值时并未维持，加速效率较低，耗时长。

从以上分析可知，S曲线加减速与三角函数加减速是采用不同的曲线实现来完成速度的平稳光滑过度。在曲线的连续性上三角函数具有较优的能力，但无法充分发挥数控设备最大加速度、加加速度的性能，执行效率低。而S曲线具有良好的速度光滑性，但加加速度不连续，对数控设备进给系统有振动和冲击。

发明内容：

针对现有数控系统使用的加减速控制方法存在的问题，本发明的目的是提供一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，实现加加速度的连续控制，保证运动过程平稳、无冲击；根据加加速度、加速度、速度和位移之间的积分关系，推导出计算公式，并给出该加减速控制方法的速度规划方法。

为实现以上目的，本发明的技术方案如下：

定义：t为时间，j(t)、a(t)、v(t)、s(t)分别为加加速度、加速度、速度和位移随时间的变化关系，J_com、a_com、v_com分别为数控设备允许最大加加速度、最大加速度和最大速度，v_max为实际能够达到的最大速度，v_s为起点速度，v_e为终点速度，S为待插补的位移。

一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，将曲线按照不同的运动特点分阶段，规划过程中通过参数限制和实际情况讨论各阶段是否存在，可以获得各阶段的运行时间，进而可以得到规划后的位移曲线。

一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，具有与传统S曲线相同的7段式结构，其曲线按时间顺序包括七个阶段，分别是：加加速段L₁、匀加速段L₂、减加速段L₃、匀速段L₄、加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速段L₇；对应这7个运动阶段，总运动时间T也被分成了7部分，每个阶段对应的时间为：加加速段时间Δt₁，Δt₁＝t₁；匀加速段时间Δt₂，Δt₂＝t₂-t₁；减加速段时间Δt₃，Δt₃＝t₃-t₂；匀速段时间Δt₄，Δt₄＝t₄-t₃；加减速段时间Δt₅，Δt₅＝t₅-t₄；匀减速段时间Δt₆，Δt₆＝t₆-t₅；减减速段时间Δt₇，Δt₇＝t₇-t₆；其中t_i为各阶段过渡点的时刻，i＝1,2...,7，Δt_i为各阶段时间，i＝1,2...,7；

(1.1)将L₁、L₃、L₅、L₇段的时间分别分割为三部分，t_ij为分割后过渡点的时刻，i＝1,3,5,7；j＝1,2,3；

通过改进传统S曲线在L₁、L₃、L₅、L₇段的加加速度变化规律，引入三角函数形式的曲线形式，能够保证加加速度在整个运动过程中的连续性，同时保留匀加加速度段，能够充分发挥数控设备的加减速性能。但引入三角函数之后，L₁、L₃、L₅、L₇段的时间将会继续分割，以L₁段为例，在进行修改之后，原加加速段时间t₁被分割成加加加速段t₁₁、匀加加速段t₁₂-t₁₁和减加加速段t₁₃-t₁₂三部分(t₁₃＝t₁，t₁₃所对应的时刻即为分割前t₁所指的时刻)。因此致使总时间T被分成15段，大大增加了计算的难度。

为简化计算，优选的，步骤(1.1)中，将L₁、L₃、L₅、L₇段的时间分别进行三等分分割，设T₁为L₁、L₃段内时间三等分分割之后的分段时间长度，设T₂为L₅、L₇段内时间三等分分割之后的分段时间长度，由于加速度的对称关系，存在如下关系

t₁₁＝t₁₂-t₁₁＝t₁₃-t₁₂＝t₃₁-t₂＝t₃₂-t₃₁＝t₃₃-t₃₂＝T₁，t₅₁＝t₅₂-t₅₁＝t₅₃-t₅₂＝t₇₁-t₆＝t₇₂-t₇₁＝t₇₃-t₇₂＝T₂ (1)。

以L₁段为例，t₁₁＝t₁₂-t₁₁＝t₁₃-t₁₂＝T₁，既能降低计算难度，又能保证存在匀加加速段，充分发挥数控设备的性能。同时有如下关系t₁₃＝t₁，t₃₃＝t₃，t₅₃＝t₅，t₇₃＝t₇ (2)，

t₁₃所对应的时刻即为分割前t₁所指的时刻，t₃₃所对应的时刻即为分割前t₃所指的时刻，t₅₃所对应的时刻即为分割前t₅所指的时刻，t₇₃所对应的时刻即为分割前t₇所指的时刻；

分割时间段后，其加加速度表达式如下：

τ_ij(i＝1,2,..,7；j＝1,2,3)为以各个区间段的起点作为时间零点的时间表示。存在如下关系：

τ_ij＝t-t_ij(i＝1,3,5,7；j＝1,2,3)或τ_i＝t-t_i(i＝2,4,6) (4)

上述加加速度与加速度、速度、位移的积分关系如下：

根据加加速度与加速度之间的积分关系，可得加速度表达式如下：

其中a₁₂＝a₁₁+J_comT₁，a₃₂＝a₃₁-J_comT，a₅₂＝a₅₁-J_comT₂，a₇₂＝a₇₁+J_comT₂。

a₂为加速段所能达到的最大加速度，后续规划计算中，在不同假设情况下使用a_acci(i＝1,2,3,4)表示a₂，即a_acci＝a₂。同理-a₆为减速段能达到的最大加速度，后续规划计算中使用a_deci(i＝1,2,3,4)表示-a₆，即a_deci＝(-a₂)。

根据速度与加速度之间的积分关系，可得速度表达式为：

其中v₂＝v₁₃+a₂(t₂-t₁₃)； v₆＝v₅₃+a₆(t₆-t₅₃)；

根据速度与位移之间的积分关系，可得位移表达式为：

其中 s₄＝s₃₃+v₄(t₄-t₃₃)；

具体规划包括步骤如下：

(2.1)假设能够达到的最大速度为v_max1，且v_max1＝v_com，

(2.1.1)加速段时间计算，所述加速段包括加加速段L₁、匀加速段L₂、减加速段L₃；

首先分析匀加速段L₂的存在性，假设加速段实际能够达到的最大加速度a_acc1为数控设备允许的最大加速度a_com，即a_acc1＝a_com (11)

根据加加速度与加速度的积分关系，以及加加速段、减加速段的时间等分关系，可获得下式：3T₁＝Δt₁(13)；

联立(12)-(13)，可获得加加速段时间

且存在关系Δt₁＝Δt₃ (15)；

假设匀加速段L₂不存在时，仅通过加加速段和减加速段，根据速度关系，速度增量为Δv＝a_acc1Δt₁ (16)

通过比较速度增量Δv与(v_max1-v_s)的关系，可知匀加速段L₂的存在性，判断如下

(2.1.1.a)Δv＜(v_max-v_s)

此时说明存在匀加速段L₂，匀加速段的时间为：

(2.1.1.b)Δv＝(v_max-v_s)

此时说明恰好不需要匀加速段，无匀加速段L₂；

(2.1.1.c)Δv＞(v_max-v_s)

此时说明不存在匀加速段L₂，且需要重新计算加加速段L₁和减加速段L₃的时间，由速度关系可得自此，已求出三种不同情况a)、b)、c)的Δt₁，Δt₂，Δt₃；

此时加速段实际能够达到的最大加速度为

加速段运动位移为

(2.1.2)减速段时间计算，所述减速段包括加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速段L₇；

减速段的处理方式与加速段相同，即减速段可以看成反向的加速段，通过上述算法也可获得减速段各段时间Δt₅、Δt₆、Δt₇，计算过程不再赘述，先分析匀减速段L₆的存在性，假设减速段实际能够达到的最大加速度a_dec1为数控设备允许的最大加速度a_com，根据加加速度与加速度的积分关系，以及加减速段、减减速段的时间等分关系，可求得Δt₅，Δt₇＝Δt₅；假设匀减速段L₆不存在，仅通过加减速段和减减速段，根据速度关系，速度增量为Δv＝a_acc1Δt₁，通过比较速度增量Δv与v_max-v_e的关系，可知匀减速段L₆的存在性，进而求出三种不同情况的Δt₅、Δt₆、Δt₇。减速段位移为(2.1.3)匀速段时间计算

根据速度与位移的积分关系，可推导出加速段与减速段的运动总位移为：S₁＝S_acc1+S_dec1 (22)

通过比较S₁与给定的待插补位移S的关系可知匀速段的存在性，如下：

(2.1.3.a)S₁＜S

此时存在匀速段，匀速段时间为

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算；

(2.1.3.b)S₁＝S

此时存在匀速段不存在，匀速段时间Δt₄＝0(24)

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算；

(2.1.3.c)S₁＞S

此时说明假设的最大速度v_max1大于实际所能达到的最大速度v_max，需要继续减小v_max1，进入(2.2)；

(2.2)假设能够达到的最大速度为v_max2，且v_max2为v_s与v_e中的较大者进行不包含匀加速段的加速过程所能达到的速度；此时不存在匀速段，即Δt₄＝0；设定v_s≥v_e；(下面的算法有几个需要选择的部分，设定一个较大值只是为了表述具体直观)

(2.2.1)加速段时间计算

对于加速段，根据(2.2)假设条件，不存在匀加速段，即Δt₂＝0；能够到达的加速度a_acc2为数控设备允许的最大加速度a_com，a_acc2＝a_com (25)；

根据加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃，有

求得加加速段和减加速段时间为

根据速度关系，可得最大速度为v_max2＝a_acc2×Δt₁+v_s(28)

比较v_max2与v_com的关系，如下：

(2.2.1.a)v_max2＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，若v_s＞v_e，进入(2.3)；若v_s＝v_e，进入(2.4)；

(2.2.1.b)v_max2≤v_com

此时说明假设最大速度可能是满足条件的，继续进行计算；

由位移条件，加速段位移为进入(2.2.2)；

(2.2.2)减速段时间计算

v_e≤v_s，因此减速段实际能够达到的最大加速度a_dec2为数控设备允许的最大加速度a_com，a_dec2＝a_com(30)减减速段与加减速段时间为

如果v_e＜v_s，则存在匀减速段，有a_dec(Δt₅+Δt₆)＝v_max2-v_e(32)

则匀减速段时间为

如果v_e＝v_s，则不存在匀减速段，匀减速段时间Δt₆＝0；

由位移关系，减速段位移为

判断S_acc2+S_dec2与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.2.2.a)S_acc2+S_dec2＝S

此时说明假设的最大速度v_max2恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算；

(2.2.2.b)S_acc2+S_dec2＞S

此时说明假设的最大速度v_max2仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.3)；

(2.2.2.c)S_acc2+S_dec2＜S

此时说明假设的最大速度v_max2小于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max2,v_com)，同时存在匀加速段和匀减速段，但不包含匀速段；具体计算如下：

加速段与减速段实际能够达到的最大加速度为a_acc2＝a_dec2＝a_com(35)

加加速段、减加速段、减减速段、加减速段的时间为

由速度关系，有v_max-v_s＝a_com(Δt₁+Δt₂)(37)

可得匀加速段时间为

同理可得匀减速段时间v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆) (39)；

由位移关系，有

联立(35)-(41)，由总插补位移关系构造方程

其中B＝t₁，

f(v_max)是v_max二次函数，由于B＞0，所以根据求根公式得

通过将v_max带入前述各段时间的计算式，即可计算出各段时间，(各段时间指的是Δt₁，Δt₂，Δt₃、Δt₄、Δt₅、Δt₆、Δt₇)，完成计算；

(2.3)假设能够达到的最大速度为v_max3，且v_max3为v_s与v_e中的较小者进行不包含匀加速段(此处是设定一个最大速度，两端速度都看成向最大速度加速的过程)的加速过程所能达到的速度；此时不存在匀速段，Δt₄＝0；设定v_s＜v_e，

(2.3.1)减速段时间计算

对于减速段，根据(2.3)假设条件，不存在匀减速段，即Δt₆＝0；能够到达的加速度a_dec3为数控设备允许的最大加速度a_com，即a_dec3＝a_com (44)

根据加速度关系，减减速段与加减速段时间相等，即Δt₅＝Δt₇有

可求得减减速段与加减速段时间为

根据速度关系，可得最大速度为v_max3＝a_dec2×Δt₅+v_e(47)

比较v_max3与v_com的关系，如下：

(2.3.1.a)v_max3＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，进入(2.4)；

(2.3.1.b)v_max3≤v_com

此时说明假设最大速度可能是满足条件的，继续进行计算，由位移条件，减速段位移为

(2.3.2)加速段时间计算

由于v_e＜v_s，因此没有匀加速段，即Δt₂＝0，设加速段所能达到的最大加速度设为a_acc3，由加速度关系，加加速段与减加速段时间为

由位移关系，加速速段位移为

判断S_acc3+S_dec3与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.3.2.a)S_acc3+S_dec3＝S

此时说明假设的最大速度v_max3恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算；

(2.3.2.b)S_acc3+S_dec3＞S

此时说明假设的最大速度v_max3仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.4)；

(2.3.2.c)S_acc3+S_dec3＜S

此时说明假设的最大速度v_max3小于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max3,v_max2)，包含匀减速段，但不包含匀加速段和匀速段，具体计算如下：

由速度关系，加加速段与减加速段时间为

加速段所能达到的最大加速度为

加速段位移为

对于减速段，所能达到的最大加速度为a_com，减减速段和减加速段时间为

由速度关系，有v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆)(55)

可得匀减速段时间为

减速段位移为

由位移关系，可得S₃(v_max)＝S_acc3+S_dec3(58)

联立(51)-(58)，由总位移关系，构造方程

因为S₃(v_max)是v_max的单调递增函数，所以方程f₃(v_max)在(v_max3,v_max2)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法进行求解，根据求解出的v_max可计算出Δt₆，至此，已求解出各段时间，完成计算；

(2.4)最大速度v_max的取值范围为[max(vs,ve),v_max3)

此时匀速段、匀加速段和匀减速段都不存在，设定v_s≥v_e，进行推导计算：首先假设最大速度为起点速度，即v_max4＝v_s，此时加加速段与减加速段都不存在，加速段位移S_acc4为0，仅存在减减速段和加减速段，由加速度关系，减速段实际能达到的最大加速度为

由速度关系，减减速段与加减速段时间相等，即Δt₅＝Δt₇，有v_max4-v_e＝a_dec4Δt₅(61)

联立(60)-(61)可得减减速段与加减速段时间为

由位移关系，减速段位移为

比较S_dec4与待插补位移S的关系，如下：

(2.4.a)S_dec4＞S

此时说明假设的最大速度v_max4要小于起点速度v_s，因此在给定条件下不存在最大速度，无解，结束计算；

(2.4.b)S_dec4＝S

此时说明假设的最大速度v_max4恰好等于实际能够达到的最大速度v_max，即v_max＝v_max4，结束计算；

(2.4.c)S_dec4＜S

此时说明实际能够达到的最大速度v_max应大于v_max4，其取值范围为v_max∈(v_max4,v_max3)，由加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃，加速段实际能够达到的加速度为

由速度关系，有v_max-v_s＝a_acc4Δt₁ (65)

由位移关系，可得加速段位移为

同理，有减速段相关关系

v_max-v_e＝a_dec4Δt₅ (68)；

由位移关系得S₄(v_max)＝S_acc4+S_dec4 (70)

由总位移关系，联立(63)-(70)，构建方程

S(v_max)为v_max的单调递增函数，因此在(v_max4,v_max3)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法求解，获得v_max后，根据求解出的v_max可计算出Δt₆，至此，已求解出各段时间，完成计算。

基于三角函数的改进S曲线规划原理

实际使用基于三角函数的改进S曲线加减速方法进行任务规划时，可能并不完全包含上述给出的全部7段，会根据给定的最大加加速度J_com、最大加速度a_com、最大速度v_com、起点速度v_s、终点速度v_e、待规划位移S的不同，存在以下表1所示几种情况：

表1情况列表

包含	不包含
		L<sub>1</sub>、L<sub>2</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>6</sub>、L<sub>7</sub>
L<sub>1</sub>、L<sub>2</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>6</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>4</sub>
		L<sub>1</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>6</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>2</sub>
L<sub>1</sub>、L<sub>2</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>6</sub>
		L<sub>1</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>2</sub>、L<sub>6</sub>
L<sub>1</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>6</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>2</sub>、L<sub>4</sub>
		L<sub>1</sub>、L<sub>2</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>6</sub>、L<sub>4</sub>
L<sub>1</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>2</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>6</sub>
		L<sub>5</sub>、L<sub>7</sub>	L<sub>1</sub>、L<sub>2</sub>、L<sub>3</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>6</sub>
L<sub>1</sub>、L<sub>3</sub>	L<sub>2</sub>、L<sub>4</sub>、L<sub>5</sub>、L<sub>6</sub>、L<sub>7</sub>

但利用本申请的规划方法可适应上述所有的情况。

本发明的优点在于：

1)本发明在传统S曲线加减速的基础上，引入基于三角函数的加加速度控制方法，能够有效的保证加加速度的连续性，最大限度的减小对数控设备造成的冲击。

2)基于三角函数的加加速度的控制中，保留了匀加加速度段和匀减减速度段，能够充分发挥数控设备最大允许加加速度和加速度的性能，保证较高的生产效率。

3)基于三角函数的加加速度的控制中，提出对加加加速度段、匀加加速度段和减加加速度段三部分运动时间进行等分控制的方法，能够有效简化计算，保证算法的实时性能。

4)本申请是加加速度是从0以三角函数形式增大至最大加加速度，因此无冲击，且本方案可将加加速度维持在最大值，直到合适时再下降，速度变化效率高。

附图说明

图1为根据本发明基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法改进后的标准曲线示意图

图2为不包含匀速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图3为不包含匀加速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图4为不包含匀减速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图5为不包含匀加速段和匀减速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图6为不包含匀加速段和匀速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图7为不包含匀减速段和匀速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图8为不包含匀加速段、匀速段和匀减速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图9为仅包含减减速段和加减速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

图10为仅包含加加速段和减加速段的基于三角函数的改进S曲线加减速加速度曲线

具体实施方式

下面通过实施例并结合附图对本发明做进一步的说明，但不仅于此。

实施例1：

如图1所示，基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法具有7段式结构，分别是：加加速段L₁、匀加速度段L₂、减加速段L₃、匀速段L₄、加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速度段L₇。对应这7个运动阶段，总运动时间T也被分成了7部分，分别是加加速段时间t₁(设为Δt₁)、匀加速段时间t₂-t₁(设为Δt₂)、减加速段时间t₃-t₂(设为Δt₃)、匀速段时间t₄-t₃(设为Δt₄)、加减速段时间t₅-t₄(设为Δt₅)、匀减速段时间t₆-t₅(设为Δt₆)和减减速段时间t₇-t₆(设为Δt₇)，其中t_i(i＝1,2...,7)为各阶段过渡点的时刻，Δt_i(i＝1,2...,7)为各阶段时间。

为简化计算，对L₁、L₃、L₅、L₇段时间进行三等分，由于加速度的对称关系，存在如下关系

t₁₁＝t₁₂-t₁₁＝t₁₃-t₁₂＝t₃₁-t₂＝t₃₂-t₃₁＝t₃₃-t₃₂＝T₁，t₅₁＝t₅₂-t₅₁＝t₅₃-t₅₂＝t₇₁-t₆＝t₇₂-t₇₁＝t₇₃-t₇₂＝T₂(1)设T₁为L₁、L₃段内时间三等分分割之后的分段时间长度，设T₂为L₅、L₇段内时间三等分分割之后的分段时间长度，其中t_ij(i＝1,3,5,7；j＝1,2,3)为通过三等分方法新获得的过度时刻，同时有如下关系

t₁₃＝t₁，t₃₃＝t₃，t₅₃＝t₅，t₇₃＝t₇ (2)

分割时间段后，其加加速度表达式如前述公式(3)：

τ_ij(i＝1,2,..,7；j＝1,2,3)为以各个区间段的起点作为时间零点的时间表示。存在如下关系：

τ_ij＝t-t_ij(i＝1,3,5,7；j＝1,2,3)或τ_i＝t-t_i(i＝2,4,6) (4)

上述加加速度与加速度、速度、位移的积分关系如前述公式(5)、(6)、(7)。

根据加加速度与加速度之间的积分关系，可得加速度表达式如前述公式(8)。

a₂为加速段所能达到的最大加速度，后续规划计算中，在不同假设情况下使用a_acci(i＝1,2,3,4)表示a₂，即a_acci＝a₂。同理-a₆为减速段能达到的最大加速度，后续规划计算中使用a_deci(i＝1,2,3,4)表示-a₆，即a_deci＝(-a₂)。

根据速度与加速度之间的积分关系，可得速度表达式如前述公式(9)。

根据速度与位移之间的积分关系，可得位移表达式如前述公式(10)。

如图1-图10所示，实际使用基于三角函数的改进S曲线加减速方法进行任务规划时，可能并不完全所有的7段，会根据给定的最大加加速度J_com、最大加速度a_com、最大速度v_com、起点速度v_s、终点速度v_e、待规划位移S的不同而存在多种情况。规划过程中，通过求解能够真实到达的最大加速度v_max，就可以获得各段的运行时间及每个时刻的速度特性。具体规划如下：

(2.1)假设能够达到的最大速度为v_max1，且v_max1＝v_com。

(2.1.1)加速段时间计算，所述加速段包括加加速段L₁、匀加速段L₂、减加速段L₃；

首先分析匀加速段的存在性，假设加速段实际能够达到的最大加速度a_acc1为设备允许的最大加速度a_com，即a_acc1＝a_com (11)

根据加加速度与加速度的积分关系，以及加加速段、减加速段的时间等分关系，可获得下式：

3T₁＝Δt₁(13)

联立(12)-(13)，可获得加加速段时间

且存在关系Δt₁＝Δt₃ (15)；

假设匀加速段不存在时，仅通过加加速段和减加速段，根据速度关系，速度增量为Δv＝a_acc1Δt₁ (16)

通过比较速度增量Δv与(v_max1-v_s)的关系，可知匀加速段的存在性，如下

(2.1.1.a)Δv＜(v_max-v_s)

此时说明存在匀加速段，匀加速时间为：

(2.1.1.b)v＝(v_max-v_s)

此时说明恰好不需要匀加速段。

(2.1.1.c)v＞(v_max-v_s)

此时说明不存在匀速段，且需要重新计算加加速段和减加速段时间，由速度关系可得

此时加速段实际能够达到的最大加速度为

加速段运动位移为

(2.1.2)减速段时间计算，所述减速段包括加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速段L₇；

减速段的处理方式与加速段相同，可获得减速段各段时间Δt₅、Δt₆、Δt₇，计算过程不再赘述。减速段位移为

(2.1.3)匀速段时间计算

根据速度与位移的积分关系，可推导出加速段与减速段的运动总位移为：S₁＝S_acc1+S_dec1 (22)

通过比较S₁与给定的待插补位移S的关系可知匀速段的存在性，如下：

(2.1.3.a)S₁＜S

此时存在匀速段，匀速段时间为

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算。此时规划得到的各段加速度会出现如图1、图3、图4或图5所示的形式。

(2.1.3.b)S₁＝S

此时存在匀速段不存在，匀速段时间Δt₄＝0(24)

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算。此时规划得到的各段加速度会出现如图2、图6、图7或图8所示的形式。

(2.1.3.c)S₁＞S

此时说明假设的最大速度v_max1大于实际所能达到的最大速度v_max，需要继续减小v_max1，进入(2.2)。

(2.2)假设能够达到的最大速度为v_max2，且v_max2为v_s与v_e中的较大者进行不包含匀加速段的加速过程所能达到的速度。

此时不存在匀速段，即Δt₄＝0。下面以v_s≥v_e为例进行推导计算。

(2.2.1)加速段时间计算

对于加速段，根据(2.2)假设条件，不存在匀加速段，即Δt₂＝0。能够到达的加速度a_acc2为数控设备允许的最大加速度a_com，即a_acc2＝a_com (25)

根据加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃。有

可求得加加速段和减加速段时间为

由此速度关节，可得最大速度为v_max2＝a_acc2×Δt₁+v_s (28)

比较v_max2与v_com的关系，如下：

(2.2.1.a)v_max2＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，若v_s＞v_e，进入(2.3)；若v_s＝v_e，进入(2.4)。

(2.2.1.b)v_max2≤v_com

此时说明假设最大速度可能是满足条件的，继续进行计算；

由位移条件，加速段位移为进入(2.2.2)。

(2.2.2)减速段时间计算

由于v_e≤v_s，因此减速段实际能够达到的最大加速度a_dec2为设备允许的最大加速度a_com，

即a_dec2＝a_com (30)

减减速段与加减速段时间为

如果v_e＜v_s，则存在匀减速段，有a_dec(Δt₅+Δt₆)＝v_max2-v_e(32)

则匀减速段时间为

如果v_e＝v_s，则不存在匀减速段，匀减速段时间Δt₆＝0。

由位移关系，减速段位移为

判断S_acc2+S_dec2与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.2.2.a)S_acc2+S_dec2＝S

此时说明假设的最大速度v_max2恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算。此时规划得到的各段加速度会出现如图6或图8所示的形式。如果v_s≤v_e，各段加速度可能会出现如图7或图8所示的形式。

(2.2.2.b)S_acc2+S_dec2＞S

此时说明假设的最大速度v_max2仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.3)。

(2.2.2.c)S_acc2+S_dec2＜S

此时说明假设的最大速度v_max2小于于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max2,v_com)，同时存在匀加速段和匀减速段，但不包含匀速段。具体计算如下：

加速段与减速段实际能够达到的最大加速度为a_acc2＝a_dec2＝a_com(35)

加加速段、减加速段、减减速段、加减速段的时间为

由速度关系，有v_max-v_s＝a_com(Δt₁+Δt₂)(37)

可得匀加速段时间为

同理可得匀减速段时间v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆)(39)；

由位移关系，有

联立(35)-(41)，由总插补位移关系构造方程

其中B＝t₁，

f(v_max)是v_max二次函数，由于B＞0，所以根据求根公式得

通过将v_max带入前述各段时间的计算式，即可计算出各段时间，(各段时间指的是Δt₁，Δt₂，Δt₃、Δt₄、Δt₅、Δt₆、Δt₇)，完成计算。此时规划得到的各段加速度可能出现如图2所示的形式。

(2.3)假设能够达到的最大速度为v_max3，且v_max3为v_s与v_e中的较小者进行不包含匀加速段的加速过程所能达到的速度。

此时不存在匀速段，即Δt₄＝0。下面以v_s＜v_e为例进行推导计算。

(2.3.1)减速段时间计算

对于减速段，根据(2.3)假设条件，不存在匀减速段，即Δt₆＝0。能够到达的加速度a_dec3为数控设备允许的最大加速度a_com，即a_dec3＝a_com (44)

根据加速度关系，减减速段与加减速段时间相等，即Δt₅＝Δt₇有

可求得减减速段与加减速段时间为

由此速度关节，可得最大速度为v_max3＝a_dec2×Δt₅+v_e (47)

比较v_max3与v_com的关系，如下：

(2.3.1.a)v_max3＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，进入(2.4)。

(2.3.1.b)v_max3≤v_com

此时说明假设最大速度可能是满足条件的，继续进行计算。由位移条件，减速段位移为

(2.3.2)加速段时间计算

由于v_e＜v_s，因此没有匀加速段，即Δt₂＝0。设加速段所能达到的最大加速度为a_acc3。由加速度关系，加加速段与减加速段时间为

由位移关系，加速速段位移为

判断S_acc3+S_dec3与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.3.2.a)S_acc3+S_dec3＝S

此时说明假设的最大速度v_max3恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算。此时规划得到的各段加速度可能出现如图8所示的形式。

(2.3.2.b)S_acc3+S_dec3＞S

此时说明假设的最大速度v_max3仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.4)。

(2.3.2.c)S_acc3+S_dec3＜S

此时说明假设的最大速度v_max3小于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max3,v_max2)，包含匀减速段，但不包含匀加速段和匀速段。具体计算如下：

由速度关系，加加速段与减加速段时间为

加速段所能达到的最大加速度为

加速段位移为

对于减速段，所能达到的最大加速度为a_com，减减速段和减加速段时间为

由速度关系，有v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆)(55)

可得匀减速段时间为

减速段位移为

由位移关系，可得S₃(v_max)＝S_acc3+S_dec3(58)

联立(51)-(58)，由总位移关系，构造方程

因为S₃(v_max)是v_max的单调递增函数，所以方程f₃(v_max)在(v_max3,v_max2)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法进行求解。根据求解出的v_max可计算出Δt₆，至此，已求解出各段时间，完成计算。此时规划得到的各段加速度可能出现如图6所示的形式。如果v_s＜v_e，各段加速度可能出现如图7所示的形式。(2.4)最大速度v_max的取值范围为[max(vs,ve),v_max3)

此时匀速段、匀加速段和匀减速段都不存在，下面以v_s≥v_e为例进行推导计算。首先假设最大速度为起点速度，即v_max4＝v_s，此时加加速段与减加速段都不存在，加速段位移S_acc4为0，仅存在减减速段和加减速段。由加速度关系，减速段实际能达到的最大加速度为

由速度关系，减减速段与加减速段时间相等，即Δt₅＝Δt₇，有v_max4-v_e＝a_dec4Δt₅(61)

联立(60)-(61)可得减减速段与加减速段时间为

由位移关系，减速段位移为

比较S_dec4与待插补位移S的关系，如下：

(2.4.a)S_dec4＞S

此时说明假设的最大速度v_max4要小于起点速度v_s，因此在给定条件下不存在最大速度无解，结束计算。

(2.4.b)S_dec4＝S

此时说明假设的最大速度v_max4恰好等于实际能够达到的最大速度v_max，即v_max＝v_max4，结束计算。此时规划得到的各段加速度可能出现如图9所示的形式。如果v_s≤v_e，各段加速度可能出现如图10所示的形式。

(2.4.c)S_dec4＜S

此时说明实际能够达到的最大速度v_max应大于v_max4，其取值范围为v_max∈(v_max4,v_max3)。由加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃。加速段实际能够达到的加速度为

由速度关系，有v_max-v_s＝a_acc4Δt₁ (65)

由位移关系，可得加速段位移为

同理，有减速段相关关系

v_max-v_e＝a_dec4Δt₅ (68)；

由位移关系得S₄(v_max)＝S_acc4+S_dec4 (70)

由总位移关系，联立(63)-(70)，构建方程

S(v_max)为v_max的单调递增函数，因此在(v_max4,v_max3)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法求解。获得v_max后，即可计算出各段时间，完成计算。此时规划得到的各段加速度可能出现如图8所示的形式。

实验例1

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀速段的情况，设定表2数据如下。

表2

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

10mm/s

20mm/s

10mm

时间(ms)

T1＝39.59

T2＝18.62

T3＝39.59

T4＝0

T5＝39.59

T6＝11.95

T7＝39.59

位移(mm)

0.74

1.72

5.02

5.02

8.45

9.14

10

在MATLAB中运行后，得出对应图2的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图2可知，整个过程速度平滑。

实验例2

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀加速段的情况，设定表3数据如下。

表3

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

60mm/s

20mm/s

15mm

时间(ms)

T1＝32.49

T2＝0

T3＝32.49

T4＝42.26

T5＝39.59

T6＝13.74

T7＝39.59

位移(mm)

2.11

2.11

5.03

9.22

12.76

13.57

15

在MATLAB中运行后，得出对应图3的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图3可知，整个过程速度平滑。

实验例3

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀减速段的情况，设定表4数据如下。

表4

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

10mm/s

50mm/s

20mm

时间(ms)

T1＝39.59

T2＝20.41

T3＝39.59

T4＝90.73

T5＝36.33

T6＝0

T7＝36.33

位移(mm)

0.74

1.84

5.24

14.2

17.49

17.49

20

在MATLAB中运行后，得出对应图4的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图4可知，整个过程速度平滑。

实验例4

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀加速段和匀减速段的情况，设定表5数据如下。

表5

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

50mm/s

55mm/s

15mm

时间(ms)

T1＝36.33

T2＝0

T3＝36.33

T4＝42.09

T5＝34.46

T6＝0

T7＝34.46

位移(mm)

2.07

2.07

5.27

9.43

12.59

12.59

15

在MATLAB中运行后，得出对应图5的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图5可知，整个过程速度平滑。

实验例5

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀加速段和匀速段的情况，设定表6数据如下。

表6

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

70mm/s

25mm/s

10mm

时间(ms)

T1＝30.13

T2＝0

T3＝30.13

T4＝0

T5＝39.59

T6＝16.67

T7＝39.59

位移(mm)

2.26

2.26

5.17

5.17

8.91

9.95

10

在MATLAB中运行后，得出对应图6的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图6可知，整个过程速度平滑。

实验例6

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀减速段和匀速段的情况，设定表7数据如下。

表7

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

20mm/s

60mm/s

10mm

时间(ms)

T1＝39.59

T2＝13.33

T3＝39.59

T4＝0

T5＝32.24

T6＝0

T7＝32.24

位移(mm)

1.12

1.89

5.22

5.22

8.12

8.12

10

在MATLAB中运行后，得出对应图7的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图7可知，整个过程速度平滑。

实验例7

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为不包含匀加速段、匀速段和匀减速段的情况，设定表8数据如下。

表8

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

100mm/s

20mm/s

30mm/s

7mm

时间(ms)

T1＝37.53

T2＝0

T3＝37.53

T4＝0

T5＝33.83

T6＝0

T7＝33.83

位移(mm)

1.04

1.04

3.33

3.33

5.55

5.55

7

在MATLAB中运行后，得出对应图8的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图8可知，整个过程速度平滑。

实验例8

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为仅包含减减速段和加减速段的情况，设定表9数据如下。

表9

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

50mm/s

60mm/s

20mm/s

8mm

时间(ms)

T1＝0

T2＝0

T3＝0

T4＝90.01

T5＝32.49

T6＝0

T7＝32.49

位移(mm)

0

0

0

5.4

7.14

7.14

8

在MATLAB中运行后，得出对应图9的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图9可知，整个过程速度平滑。

实验例9

利用实施例1所述的控制方法，用C++编程，放入MATLAB优化算法求得对应图像。

本实验例为仅包含加加速段和减加速段的情况，设定表10数据如下。

表10

初始参数

j<sub>max</sub>

a<sub>max</sub>

v<sub>com</sub>

v<sub>s</sub>

v<sub>e</sub>

s

参数值

5×10<sup>4</sup>mm/s<sup>3</sup>

1500mm/s<sup>2</sup>

60mm/s

30mm/s

60mm/s

7mm

时间(ms)

T1＝28.13

T2＝0

T3＝28.13

T4＝74.46

T5＝0

T6＝0

T7＝0

位移(mm)

0.96

0.96

2.45

7

7

7

7

在MATLAB中运行后，得出对应图10的曲线图，由表中可知，运行完成后，位移完成设定，由图10可知，整个过程速度平滑。

Claims (1)

1.一种基于三角函数的改进S曲线加减速控制方法，其特征在于，将曲线按照不同的运动特点分阶段，规划过程中通过参数限制和实际情况讨论各阶段是否存在，以获得各阶段的运行时间，进而得到规划后的位移曲线；

其曲线按时间顺序包括七个阶段，分别是：加加速段L₁、匀加速段L₂、减加速段L₃、匀速段L₄、加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速段L₇；每个阶段对应的时间为：加加速段时间Δt₁，Δt₁＝t₁；匀加速段时间Δt₂，Δt₂＝t₂-t₁；减加速段时间Δt₃，Δt₃＝t₃-t₂；匀速段时间Δt₄，Δt₄＝t₄-t₃；加减速段时间Δt₅，Δt₅＝t₅-t₄；匀减速段时间Δt₆，Δt₆＝t₆-t₅；减减速段时间Δt₇，Δt₇＝t₇-t₆；其中t_i为各阶段过渡点的时刻，i＝1,2...,7，Δt_i为各阶段时间，i＝1,2...,7；定义J_com、a_com、v_com分别为数控设备允许最大加加速度、最大加速度和最大速度，v_max为实际能够达到的最大速度，v_s为起点速度，v_e为终点速度；(1.1)将L₁、L₃、L₅、L₇段的时间分别分割为三部分，t_ij为分割后过渡点的时刻，i＝1,3,5,7；j＝1,2,3；

将L₁、L₃、L₅、L₇段的时间分别进行三等分分割，设T₁为L₁、L₃段内时间三等分分割之后的分段时间长度，设T₂为L₅、L₇段内时间三等分分割之后的分段时间长度，由于加速度的对称关系，存在如下关系

t₁₁＝t₁₂-t₁₁＝t₁₃-t₁₂＝t₃₁-t₂＝t₃₂-t₃₁＝t₃₃-t₃₂＝T₁，t₅₁＝t₅₂-t₅₁＝t₅₃-t₅₂＝t₇₁-t₆＝t₇₂-t₇₁＝t₇₃-t₇₂＝T₂(1)；

(2.1)假设能够达到的最大速度为v_max1，且v_max1＝v_com，

(2.1.1)加速段时间计算，所述加速段包括加加速段L₁、匀加速段L₂、减加速段L₃；

首先分析匀加速段L₂的存在性，假设加速段实际能够达到的最大加速度a_acc1为数控设备允许的最大加速度a_com，a_acc1＝a_com (11)；

根据加加速度与加速度的积分关系，以及加加速段、减加速段的时间等分关系，可获得下式：3T₁＝Δt₁ (13)；

联立(12)-(13)，可获得加加速段时间；

且存在关系Δt₁＝Δt₃ (15)；

假设匀加速段L₂不存在时，仅通过加加速段和减加速段，根据速度关系，速度增量为Δv＝a_acc1Δt₁ (16)； 通过比较速度增量Δv与(v_max1-v_s)的关系，可知匀加速段L2的存在性，判断如下：

(2.1.1.a)Δv＜(v_max1-v_s)

此时说明存在匀加速段L₂，匀加速段的时间为：

(2.1.1.b)Δv＝(v_max1-v_s)此时说明无匀加速段L₂；

(2.1.1.c)Δv＞(v_max1-v_s)此时说明不存在匀加速段L₂，且需要重新计算加加速段L₁和减加速段L₃的时间，由速度关系可得

此时加速段实际能够达到的最大加速度为；

加速段运动位移为

(2.1.2)减速段时间计算，所述减速段包括加减速段L₅、匀减速段L₆和减减速段L₇；

减速段的处理方式与加速段相同，通过上述算法获得减速段各段时间Δt₅、Δt₆、Δt₇：先分析匀减速段L₆的存在性，假设减速段实际能够达到的最大加速度a_dec1为数控设备允许的最大加速度a_com，根据加加速度与加速度的积分关系，以及加减速段、减减速段的时间等分关系，可求得Δt₅，Δt₇＝Δt₅；假设匀减速段L₆不存在，仅通过加减速段和减减速段，根据速度关系，速度增量为Δv＝a_acc1Δt₁，通过比较速度增量Δv与v_max1-v_e的关系，可知匀减速段L₆的存在性，进而求出三种不同情况的Δt₅、Δt₆、Δt₇；

减速段位移为

(2.1.3)匀速段时间计算

根据速度与位移的积分关系，可推导出加速段与减速段的运动总位移为：S₁＝S_acc1+S_dec1 (22)，通过比较S₁与给定的待插补位移S的关系可知匀速段的存在性，如下：

(2.1.3.a)S₁＜S

此时存在匀速段，匀速段时间为；

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算；

(2.1.3.b)S₁＝S

此时存在匀速段不存在，匀速段时间Δt₄＝0(24) ；

至此，所有的7段的时间规划已经完成，实际能够达到的最大速度为v_max1＝v_com，结束计算；

(2.1.3.c)S₁＞S

此时说明假设的最大速度v_max1大于实际所能达到的最大速度v_max，需要继续减小v_max1，进入(2.2)；

(2.2)假设能够达到的最大速度为v_max2，且v_max2为v_s与v_e中的较大者进行不包含匀加速段的加速过程所能达到的速度；此时不存在匀速段，即Δt₄＝0；设定v_s≥v_e；

(2.2.1)加速段时间计算

对于加速段，根据(2.2)假设条件，不存在匀加速段，即Δt₂＝0；能够到达的加速度a_acc2为数控设备允许的最大加速度a_com，a_acc2＝a_com (25)；

根据加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃，有；

求得加加速段和减加速段时间为；

根据速度关系，得最大速度为v_max2＝a_acc2×Δt₁+v_s (28) ；

比较v_max2与v_com的关系，如下：

(2.2.1.a)v_max2＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，若v_s＞v_e，进入(2.3)；若v_s＝v_e，进入(2.4)；(2.2.1.b)v_max2≤v_com

此时说明假设最大速度可能是满足条件的，继续进行计算；

由位移条件，加速段位移为进入(2.2.2)；

(2.2.2)减速段时间计算

v_e≤v_s，因此减速段实际能够达到的最大加速度a_dec2为数控设备允许的最大加速度a_com，a_dec2＝a_com(30)； 减减速段与加减速段时间为；

如果v_e＜v_s，则存在匀减速段，有a_dec(Δt₅+Δt₆)＝v_max2-v_e (32) ；

则匀减速段时间为

如果v_e＝v_s，则不存在匀减速段，匀减速段时间Δt₆＝0；

由位移关系，减速段位移为；

判断S_acc2+S_dec2与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.2.2.a)S_acc2+S_dec2＝S

此时说明假设的最大速度v_max2恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算；

(2.2.2.b)S_acc2+S_dec2＞S

此时说明假设的最大速度v_max2仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.3)；

(2.2.2.c)S_acc2+S_dec2＜S

此时说明假设的最大速度v_max2小于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max2,v_com)，同时存在匀加速段和匀减速段，但不包含匀速段；具体计算如下：

加速段与减速段实际能够达到的最大加速度为a_acc2＝a_dec2＝a_com (35) ；

加加速段、减加速段、减减速段、加减速段的时间为；

由速度关系，有v_max-v_s＝a_com(Δt₁+Δt₂) (37) ；

可得匀加速段时间为；

同理可得匀减速段时间v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆) (39)；；

由位移关系，有；

联立(35)-(41)，由总插补位移关系构造方程；

其中B＝t₁，

f(v_max)是v_max二次函数，由于B＞0，所以根据求根公式得；

通过将v_max带入前述各段时间的计算式，即计算出各段时间，完成计算；

(2.3)假设能够达到的最大速度为v_max3，且v_max3为v_s与v_e中的较小者进行不包含匀加速段的加速过程所能达到的速度；此时不存在匀速段，Δt₄＝0；设定v_s＜v_e，

(2.3.1)减速段时间计算

对于减速段，根据(2.3)假设条件，不存在匀减速段，Δt₆＝0；能够到达的加速度a_dec3为数控设备允许的最大加速度a_com，即a_dec3＝a_com (44) ；

根据加速度关系，减减速段与加减速段时间相等，Δt₅＝Δt₇，有；

求得减减速段与加减速段时间为；

根据速度关系，得最大速度为v_max3＝a_dec2×Δt₅+v_e (47) ；

比较v_max3与v_com的关系，如下：

(2.3.1.a)v_max3＞v_com

此时说明假设的最大速度大于实际所能达到的最大速度，进入(2.4)；

(2.3.1.b)v_max3≤v_com

此时说明假设最大速度是满足条件的，继续进行计算，由位移条件，减速段位移为

；

(2.3.2)加速段时间计算

由于v_e＜v_s，因此没有匀加速段，即Δt₂＝0，设加速段所能达到的最大加速度设为a_acc3，由加速度关系，加加速段与减加速段时间为；

由位移关系，加速速段位移为；

判断S_acc3+S_dec3与给定的待插补距离S的关系，如下：

(2.3.2.a)S_acc3+S_dec3＝S

此时说明假设的最大速度v_max3恰好为实际能够达到的最大速度v_max，所有7段时间都已经计算完成，结束计算；

(2.3.2.b)S_acc3+S_dec3＞S

此时说明假设的最大速度v_max3仍然大于实际能够达到的最大速度v_max，进入(2.4)；

(2.3.2.c)S_acc3+S_dec3＜S

此时说明假设的最大速度v_max3小于实际能达到的最大速度v_max，其取值区间为v_max∈(v_max3,v_max2)，包含匀减速段，但不包含匀加速段和匀速段，计算如下：

由速度关系，加加速段与减加速段时间为；

加速段所能达到的最大加速度为；

加速段位移为；

对于减速段，所能达到的最大加速度为a_com，减减速段和减加速段时间为；

由速度关系，有v_max-v_e＝a_com(Δt₅+Δt₆) (55) ；

可得匀减速段时间为；

减速段位移为；

由位移关系，可得S₃(v_max)＝S_acc3+S_dec3 (58) ；

联立(51)-(58)，由总位移关系，构造方程

；

因为S₃(v_max)是v_max的单调递增函数，所以方程f₃(v_max)在(v_max3,v_max2)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法进行求解，根据求解出的v_max可计算出Δt₆，至此，已求解出各段时间，完成计算；

(2.4)最大速度v_max的取值范围为[max(v_s ,v_e ),v_max3)

此时匀速段、匀加速段和匀减速段都不存在，设定v_s≥v_e，进行推导计算：首先假设最大速度为起点速度，即v_max4＝v_s，此时加加速段与减加速段都不存在，加速段位移S_acc4为0，仅存在减减速段和加减速段，由加速度关系，减速段实际能达到的最大加速度为

；

由速度关系，减减速段与加减速段时间相等，即Δt₅＝Δt₇，有v_max4-v_e＝a_dec4Δt₅ (61)；

联立(60)-(61)可得减减速段与加减速段时间为；

由位移关系，减速段位移为；

比较S_dec4与待插补位移S的关系，如下：

(2.4.a)S_dec4＞S

此时说明假设的最大速度v_max4要小于起点速度v_s，因此在给定条件下不存在最大速度，无解，结束计算；

(2.4.b)S_dec4＝S

此时说明假设的最大速度v_max4恰好等于实际能够达到的最大速度v_max，即v_max＝v_max4，结束计算；(2.4.c)S_dec4＜S

此时说明实际能够达到的最大速度v_max应大于v_max4，其取值范围为v_max∈(v_max4,v_max3)，由加速度关系，加加速段与减加速段时间相等，即Δt₁＝Δt₃，加速段实际能够达到的加速度为

；

由速度关系，有v_max-v_s＝a_acc4Δt₁ (65) ；

由位移关系，可得加速段位移为；

同理，有减速段相关关系；

v_max-v_e＝a_dec4Δt₅ (68)；；

由位移关系得S₄(v_max)＝S_acc4+S_dec4 (70) ；

由总位移关系，联立(63)-(70)，构建方程

；

S(v_max)为v_max的单调递增函数，因此在(v_max4,v_max3)内有且有唯一解，可使用二分法或牛顿迭代法求解，获得v_max后，根据求解出的v_max可计算出Δt₆，至此，已求解出各段时间，完成计算。