CN103744346B

CN103744346B - 一种电子凸轮曲线生成方法

Info

Publication number: CN103744346B
Application number: CN201310740913.2A
Authority: CN
Inventors: 夏正仙; 冯日月; 王明昕; 曾俊涵; 吴波
Original assignee: Nanjing Estun Automation Co Ltd; Nanjing Estun Robotics Co Ltd
Current assignee: Nanjing Estun Automation Co Ltd
Priority date: 2013-12-30
Filing date: 2013-12-30
Publication date: 2016-09-14
Anticipated expiration: 2033-12-30
Also published as: CN103744346A

Abstract

本发明提供了一种电子凸轮曲线生成方法，该方法根据在实际电子凸轮曲线上确定的n+1个主从轴位置点D _i （M _i ，S _i ），其中i=0,1,……,n，使用分段三次样条函数生成电子凸轮曲线。其中，相邻主从轴位置点的主轴位置不相等。该方法把对主从轴位置点D _i处的主轴位置M _i参数化成U _i，因为使得U _i满足U ₀﹤U ₁﹤……﹤U _n。根据给定的边界条件并使用追赶法计算出U∈［U _j‑1 ，U _j）共个区间的函数S _j （U）=a _j+b _j(U－U _j)+c _j(U－U _j)²+d _j(U－ U _j)³的系数，其中j=0,1,……,n。利用公式U=U _last +∣M－M _last∣对当前时刻主轴位置M参数化，判断U所属区间，根据相应区间的函数S _j （U）计算当前时刻主轴位置M对应的从轴位置，即生成电子凸轮曲线。本发明方法不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，与传统电子凸轮曲线生成方法相比具有通用性和灵活性，且计算简单，执行效率高，参数化方法过程中没有近似计算，提高了电子凸轮曲线生成的精度。

Description

一种电子凸轮曲线生成方法

技术领域

本发明涉及电子凸轮控制，尤其涉及一种电子凸轮曲线生成方法，属于多轴同步运动控制领域。

背景技术

电子凸轮控制通过获取主轴位置，查看电子凸轮曲线（主轴和从轴位置的对应关系），得出从轴位置，从而实现主轴和从轴的啮合运动。

电子凸轮曲线有多种描述方式，常见的有采用两维表格来存储多组主从轴位置点以及采用数学公式来描述主从轴位置关系。传统电子凸轮曲线的生成主要是基于实际工况，采取适合各自场合应用的方法，且一般是基于如下的计算流程：根据已知条件：电子凸轮曲线的开始和结束位置（首、末端）的主轴位置、凸轮位置、凸轮速度、甚至凸轮加速度，或者由其他工况条件可以得出前面几个参数，然后利用多项式函数或其他如三角函数等设计电子凸轮曲线，将前面的几个条件带入计算曲线系数，从而得到电子凸轮曲线的表达式。申请号为200380107594.6、名称为“电子凸轮式旋转切断机控制的反转防止电子凸轮曲线生成方法及其控制装置”的中国发明专利就是根据实际工况条件选择三角函数设计一种防止刀具反转的电子凸轮曲线。申请号为200510125440.0、名称为“电子凸轮的控制方法及伺服电机控制系统”的中国发明专利通过设置主轴和从轴的非同步控制区的开始和结束位置的主轴位置、凸轮位置、凸轮速度、凸轮加速度，求由五次函数构成的相对于主轴位置的凸轮位置的非同步曲线，同步控制区间中的电子凸轮是直线。

但是传统电子凸轮曲线的生成方法缺少灵活性和通用性。在用户不能知道凸轮首末端的凸轮速度、凸轮加速度情况下，无法采用传统方法生成电子凸轮曲线。若此时用户能提供凸轮曲线经过的一些坐标点，则可以根据这些凸轮曲线上的点（型值点）计算电子凸轮曲线，其过程如下：用户提供一系列实际凸轮曲线上主轴和对应从轴的位置，选择一种曲线函数进行插值，从而计算电子凸轮曲线。曲线插值方法有很多，可分过整体插值和分段插值，其中整体插值有：多项式插值、拉格朗日（Lagrange）多项式插值、埃尔米特（Hermite）插值等。当节点变多时，导致高次插值，不仅增加计算复杂度，插值函数也不一定能收敛到实际曲线。分段低阶插值是现实可考虑的，常用的有：分段线性插值和分段三次Hermite插值，但是节点处导数不连续是最大障碍，样条插值可解决这一问题。

工程上使用三次样条函数计算插值曲线应用广泛。该法通过对给出的离散型值点用分段三次样条函数将相邻点连接起来可以计算出平滑的插值曲线。然而根据三次样条函数的定义，曲线段划分的节点满足 x递增（y = f(x)），而实际应用中，电子凸轮曲线中的主轴位置在一个周期内不一定满足该条件，因此不能直接应用分段三次样条函数生成电子凸轮曲线。针对这一问题，可以考虑参数化方法。

计算插值曲线有多种参数化方法，常用的有：（a）弦长参数化，通过累加弦长得到各型值点的参数值，该方法反映了型值点按弦长的分布情况；（b）弧长参数化，利用曲线积分公式计算弧长得到各型值点的参数值，该方法反映了型值点按弧长的分布情况。其中弦长变量和弧长变量是通过型值点(x,y)推出的，而运行电子凸轮，即便建立起弦长变量或弧长变量与从轴位置（对应这里的y变量）的函数关系，也无法从主轴位置（对应这里的x变量）推导出相应的弦长变量或弧长变量。原因是这些参数化方法多是从几何角度考虑的，没有考虑实际工况。另外，对于嵌入式控制系统，算法执行效率是考虑的重要因素，对于电子凸轮控制，主轴位置变化一般是顺序增或减的，只是个别地方可能存在往返情形，传统插值常用的参数化方法算法量过大，会耗费较多的执行时间，对于电子凸轮是不适用的。

发明内容

本发明提供了一种电子凸轮曲线生成方法，该方法不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，解决了传统电子凸轮曲线生成方法不具有通用性和灵活性的问题。

为实现上述发明目的，本发明采取的技术方案是：

一种电子凸轮曲线生成方法，包括以下步骤：

第一步：确定实际电子凸轮曲线上n+1(n≥1)个主从轴位置点Di(Mi,Si)(i = 1, 2,... …,n)，其中Mi为主轴位置，Si为与主轴位置Mi对应的从轴位置，且满足M _i ≠M _i-1（i = 1,2,... …,n），D ₀ (M ₀ ，S ₀ )为实际电子凸轮曲线的起点，D _n (M _n ，S _n )为实际电子凸轮曲线的终点；

第二步：对n+1个主从轴位置点的主轴位置M _i（i = 1,2,... …,n）按距离实行参数化，参数化公式为：

（1）

其中，U _i是M _i参数化后对应的值，因为M _i ≠M _i-1（i = 1,2,... …,n），故满足U ₀＜U ₁＜……＜U _n ；

第三步：设定三次样条函数插值运算需要的边界条件：若凸轮曲线是循环运行，且同时满足下列两条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，则选择周期函数边界，其余情况下选择自由端边界；

第四步：利用三次样条函数插值运算，建立参数U与对应的从轴位置S _j （U）的函数关系：三次样条函数是分段定义的形式，在实际电子凸轮曲线上确定的主从轴位置点是n+1个时，共划分出n段区间，区间［U _j-1 ，U _j）（j=1,……,n）的函数为：

S _j （U）= a _j+ b _j(U－U _j)+ c _j(U－U _j)²+ d _j(U－U _j)³（2）

其中，U∈［U _j-1 ，U _j），S _j （U）为与U对应的从轴位置，a _j、 b _j、 c _j、 d _j为函数系数，根据已知的n+1个主从轴位置点及边界条件求出4n个未知系数：a _j、 b _j、 c _j、 d _j，即求出每段曲线的表达式；

第五步：运行电子凸轮曲线：由外部设备获取当前时刻主轴位置M，按照下面的公式（3）把主轴位置M参数化为U：

U = U _last +∣M － M _last∣ （3）

其中，M _last 为上一时刻获取的主轴位置，U _last为上一时刻主轴位置M _last对应的参数值，设定M _last的初始值为M ₀，U _last的初始值为0；

确定U所在区间，假定某时刻U∈［U _j-1 ，U _j），则根据该区间的函数S _j （U）计算从轴位置S _j，即得出主轴位置M对应的从轴位置S。

本发明方法对电子凸轮曲线的主轴位置参数化后，主轴位置对应的参数值在整个区间内递增，满足三次样条函数插值运算条件，从而能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线，该方法只需要知道凸轮曲线上一系列离散的主从轴位置，不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，与传统电子凸轮曲线生成方法相比具有通用性和灵活性。由于边界条件的选择直接影响电子凸轮曲线的生成，特别是两端点附近曲线，用户可以根据实际凸轮外形选择自由端边界或者周期函数边界。除此之外，本发明方法计算简单，执行效率高，符合嵌入式系统对算法执行效率的要求，且参数化方法过程中没有近似计算，提高了电子凸轮曲线生成的精度。

附图说明

图1是本发明方法的整体流程图。

图2是主轴位置及其按距离参数化后的曲线示意图。

图3是电子凸轮曲线示意图。

图4 是电子凸轮曲线极坐标示意图。

具体实施方式

下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步详细说明。

第一步：确定实际电子凸轮曲线上的n+1个主从轴位置点Di(Mi,Si)(i = 1,2,... …,n)，要求至少给出两个主从轴位置点，即n≥1，特别地，当只给出两个主从轴位置点时，此时使用本发明方法生成的电子凸轮曲线是一条直线。为使生成的电子凸轮曲线更接近期望的凸轮外形，应尽可能多提供凸轮曲线上的主从轴位置点，特别是曲线斜率变化较大的地方。假定用户给出n+1个主从轴位置点，其中主轴位置分别为：M ₀ M ₁ … M _n，且相邻两点的主轴位置不相等，即M _i ≠M _i-1（i = 1,2,... …,n），与主轴位置对应的从轴位置为S₀ S ₁ …S _n。主轴可以是物理轴，也可以是虚拟轴。主轴是物理轴时，主轴位置可以选择编码器输入、脉冲输入以及模拟量输入等，主轴是虚拟轴时，主轴位置可以是虚拟的编码器（软件计数器），从轴位置由具体应用中主轴和从轴的啮合运动确定。

第二步：对主轴位置进行参数化处理。考虑到从电子凸轮曲线起点的主轴位置M ₀到电子凸轮曲线终点的主轴位置M _n，即M ₀ M ₁ … M _n 可能不是递增的，为了能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线，需要对主轴位置进行参数化处理，参数化公式为：

（1）

其中，U _i是M _i参数化后对应的值，因为M _i ≠M _i-1（i = 1,2,... …,n），故满足U ₀＜U ₁＜……＜U _n。

主轴位置M _i、参数U _i、从轴位置S _i三者之间是相互对应的。参数U在区间［U ₀ ，U _n］内递增，满足三次样条函数的参数要求，因此可以应用三次样条函数建立参数U与从轴位置S的函数关系。

三次样条函数是分段定义的形式，假定用户给出n＋1组主从轴位置点，则可以划分n段区间，区间［U _j-1 ，U _j）的函数为：

其中，S _j （U）对应U∈［U _j-1 ，U _j）的从轴位置，求解三次样条函数的系数a _j、 b _j、 c _j、d _j，即可求出每段曲线的表达式S _j （U）。样条函数各段曲线系数的求解方法为：采用三弯矩方程方法，即通过求解以节点处（对应电子凸轮曲线的主轴位置点的参数化值）的二阶导数值S〞(Ui)（i = 1,2,... …,n）为变量的线性方程组，结合图1中的步骤S13确定的边界条件，用追赶法求解S〞(Ui)（i = 1,2,... …,n），待S〞(Ui)（i = 1,2,... …,n）求解之后，求出系数a _j， b _j， c _j， d _j。

考虑到边界点的固定一阶、二阶导数值难以确定，图1中的步骤S13中边界条件的确定有两种选择：如果凸轮曲线是一次运行，则采用自由端边界，即边界点的二阶导数值为零，S〞(U ₀)= S〞(U _n)=0；如果凸轮曲线是循环运行，且满足条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，此时采用周期函数边界，否则仍采用自由端边界，周期函数边界意味着电子凸轮曲线是以M ₀ ~M _n为周期的周期函数，满足如下边界条件：

(4)

电子凸轮的一次运行过程是从曲线起点 (M ₀ ，S ₀ )运行到曲线终点(M _n ，S _n )。由外部设备（如编码器等）获取当前主轴位置M，按照参数化公式U = U _last +∣M － M _last∣（3）得到参数U，其中M、M _last分别表示外部设备获取的当前时刻主轴位置和上一时刻主轴位置，U、U _last分别表示M、M _last对应的参数值。M _last和U _last的初始值分别为M ₀和0，在运行过程中由M和U更新，即在计算出当前的U后，令M _last= M，U _last = U。

在计算出当前主轴位置M对应的参数U后，确定U所在区间，假定某时刻 U∈［U _j-1 ， U _j），（共n段区间，），则根据该区间的4个曲线系数a _j, b _j， c _j， d _j，计算从轴位置S，即算出主轴位置M对应的从轴位置S。

为减少程序乘法次数，将公式（2）改写成如下嵌套乘写法：

S _j （U）= a _j+(U－U _j){b _j+ (U－U _j)[c _j+ d _j(U－U _j)]}

在计算出从轴位置之后，将其输入到伺服驱动模块的位置环中。

下面以一个具体实例来验证算法的可行性和实用性，假定主轴位置范围为0~360°，取12组主从轴位置点，见如下表格1中的第一列和第三列数据。

表格1

其中相邻两点的主轴位置不完全递增，根据本发明方法，将12组主轴位置点按距离实行参数化（公式（1）），主轴位置参数化后对应值见表格1中的第二列数据，图2给出了主轴位置及其按距离参数化后的曲线示意图。应用三次样条函数建立主轴位置对应的参数值和从轴位置的函数关系，具体步骤依上述介绍，图3是电子凸轮曲线示意图，图4 是电子凸轮曲线极坐标示意图。从图中可以看出，根据本发明的方法，能解决主轴位置在一个周期内不满足递增条件，还能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线。

Claims

1.一种电子凸轮曲线生成方法，其特征在于包括以下步骤：

（1）确定实际电子凸轮曲线上n+1个主从轴位置点D _i （M _i ，S _i ），其中，n≥1，i= 0,1,……,n，M _i为主轴位置，S _i为与主轴位置M _i对应的从轴位置，D ₀ （M ₀ ，S ₀ ）为实际电子凸轮曲线的起点，D _n （M _n ，S _n ）为实际电子凸轮曲线的终点；

（2）对n+1个主从轴位置点的主轴位置M _i按距离实行参数化，参数化公式为：

（1）

其中，U _i是M _i参数化后对应的值；

（3）设定三次样条函数插值运算需要的边界条件：若凸轮曲线是循环运行，且同时满足下列两条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，则选择周期函数边界，其余情况下选择自由端边界；

（4）利用三次样条函数插值运算，建立参数U与对应的从轴位置S _j （U）的函数关系：三次样条函数是分段定义的形式，在实际电子凸轮曲线上确定的主从轴位置点是n+1个时，共划分出n段区间，区间［U _j-1 ，U _j）的函数为：

其中，j = 1,2,……,n，U∈［U _j-1 ，U _j），S _j （U）为与U对应的从轴位置，a _j, b _j, c _j, d _j为函数系数，根据已知的n+1个主从轴位置点及边界条件求出4n个未知系数：a _j， b _j， c _j， d _j，即求出每段曲线的表达式；

（5）运行电子凸轮曲线：由外部设备获取的当前时刻主轴位置M，按照下面的公式（3）把由外部设备获取的当前时刻主轴位置M参数化为U：

U=U _last +∣M－M _last∣ （3）

其中，M _last为由外部设备上一时刻获取的主轴位置，U _last为由外部设备上一时刻获取的主轴位置M _last对应的参数值，设定M _last的初始值为M ₀，U _last的初始值为0；

确定U所在区间，假定某时刻U∈［U _j-1 ，U _j），j = 1,2,……,n，则根据该区间的函数S _j （U）计算从轴位置S _j，即得出由外部设备获取的当前时刻主轴位置M对应的从轴位置S。