CN103744346A - 一种电子凸轮曲线生成方法 - Google Patents

一种电子凸轮曲线生成方法 Download PDF

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CN103744346A CN201310740913.2A CN201310740913A CN103744346A CN 103744346 A CN103744346 A CN 103744346A CN 201310740913 A CN201310740913 A CN 201310740913A CN 103744346 A CN103744346 A CN 103744346A
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王明昕
曾俊涵
吴波
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Abstract

本发明提供了一种电子凸轮曲线生成方法，该方法根据在实际电子凸轮曲线上确定的个主从轴位置点
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE004
（
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE006
，）使用分段三次样条函数生成电子凸轮曲线。其中，主轴位置
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE008
满足
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE010
（）。该方法把对主轴位置
Figure 211651DEST_PATH_IMAGE008
（
Figure 462242DEST_PATH_IMAGE006
）参数化成
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE014
，因为使得
Figure 222387DEST_PATH_IMAGE014
满足
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE016
。根据给定的边界条件并使用追赶法计算出
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE018
（
Figure 427104DEST_PATH_IMAGE012
）共
Figure DEST_PATH_IMAGE020
个区间的函数
Figure 2013107409132100004DEST_PATH_IMAGE022
的系数。利用公式
Figure DEST_PATH_IMAGE024
对当前时刻主轴位置
Figure DEST_PATH_IMAGE026
参数化，判断所属区间
Figure 937588DEST_PATH_IMAGE018
，根据相应区间的函数
Figure DEST_PATH_IMAGE030
计算当前时刻主轴位置
Figure 544150DEST_PATH_IMAGE026
对应的从轴位置，即生成电子凸轮曲线。本发明方法不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，与传统电子凸轮曲线生成方法相比具有通用性和灵活性，且计算简单，执行效率高，参数化方法过程中没有近似计算，提高了电子凸轮曲线生成的精度。

Description

一种电子凸轮曲线生成方法
技术领域
本发明涉及电子凸轮控制，尤其涉及一种电子凸轮曲线生成方法，属于多轴同步运动控制领域。
背景技术
电子凸轮控制通过获取主轴位置，查看电子凸轮曲线（主轴和从轴位置的对应关系），得出从轴位置，从而实现主轴和从轴的啮合运动。
电子凸轮曲线有多种描述方式，常见的有采用两维表格来存储多组主从轴位置点以及采用数学公式来描述主从轴位置关系。传统电子凸轮曲线的生成主要是基于实际工况，采取适合各自场合应用的方法，且一般是基于如下的计算流程：根据已知条件：电子凸轮曲线的开始和结束位置（首、末端）的主轴位置、凸轮位置、凸轮速度、甚至凸轮加速度，或者由其他工况条件可以得出前面几个参数，然后利用多项式函数或其他如三角函数等设计电子凸轮曲线，将前面的几个条件带入计算曲线系数，从而得到电子凸轮曲线的表达式。申请号为200380107594.6、名称为“电子凸轮式旋转切断机控制的反转防止电子凸轮曲线生成方法及其控制装置”的中国发明专利就是根据实际工况条件选择三角函数设计一种防止刀具反转的电子凸轮曲线。申请号为200510125440.0、名称为“电子凸轮的控制方法及伺服电机控制系统”的中国发明专利通过设置主轴和从轴的非同步控制区的开始和结束位置的主轴位置、凸轮位置、凸轮速度、凸轮加速度，求由五次函数构成的相对于主轴位置的凸轮位置的非同步曲线，同步控制区间中的电子凸轮是直线。
但是传统电子凸轮曲线的生成方法缺少灵活性和通用性。在用户不能知道凸轮首末端的凸轮速度、凸轮加速度情况下，无法采用传统方法生成电子凸轮曲线。若此时用户能提供凸轮曲线经过的一些坐标点，则可以根据这些凸轮曲线上的点（型值点）计算电子凸轮曲线，其过程如下：用户提供一系列实际凸轮曲线上主轴和对应从轴的位置，选择一种曲线函数进行插值，从而计算电子凸轮曲线。曲线插值方法有很多，可分过整体插值和分段插值，其中整体插值有：多项式插值、拉格朗日（Lagrange）多项式插值、埃尔米特（Hermite）插值等。当节点变多时，导致高次插值，不仅增加计算复杂度，插值函数也不一定能收敛到实际曲线。分段低阶插值是现实可考虑的，常用的有：分段线性插值和分段三次Hermite插值，但是节点处导数不连续是最大障碍，样条插值可解决这一问题。
工程上使用三次样条函数计算插值曲线应用广泛。该法通过对给出的离散型值点用分段三次样条函数将相邻点连接起来可以计算出平滑的插值曲线。然而根据三次样条函数的定义，曲线段划分的节点满足 
Figure 172554DEST_PATH_IMAGE001
递增（
Figure 864567DEST_PATH_IMAGE002
），而实际应用中，电子凸轮曲线中的主轴位置在一个周期内不一定满足该条件，因此不能直接应用分段三次样条函数生成电子凸轮曲线。针对这一问题，可以考虑参数化方法。
计算插值曲线有多种参数化方法，常用的有：（a）弦长参数化，通过累加弦长得到各型值点的参数值，该方法反映了型值点按弦长的分布情况；（b）弧长参数化，利用曲线积分公式计算弧长得到各型值点的参数值，该方法反映了型值点按弧长的分布情况。其中弦长变量和弧长变量是通过型值点
Figure 289994DEST_PATH_IMAGE003
推出的，而运行电子凸轮，即便建立起弦长变量或弧长变量与从轴位置（对应这里的
Figure 751062DEST_PATH_IMAGE004
变量）的函数关系，也无法从主轴位置（对应这里的
Figure 180907DEST_PATH_IMAGE001
变量）推导出相应的弦长变量或弧长变量。原因是这些参数化方法多是从几何角度考虑的，没有考虑实际工况。另外，对于嵌入式控制系统，算法执行效率是考虑的重要因素，对于电子凸轮控制，主轴位置变化一般是顺序增或减的，只是个别地方可能存在往返情形，传统插值常用的参数化方法算法量过大，会耗费较多的执行时间，对于电子凸轮是不适用的。
发明内容
本发明提供了一种电子凸轮曲线生成方法，该方法不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，解决了传统电子凸轮曲线生成方法不具有通用性和灵活性的问题。
为实现上述发明目的，本发明采取的技术方案是：
一种电子凸轮曲线生成方法，包括以下步骤：
第一步：确定实际电子凸轮曲线上
Figure 609483DEST_PATH_IMAGE005
个主从轴位置点
Figure 822289DEST_PATH_IMAGE006
（
Figure 151246DEST_PATH_IMAGE007
），其中
Figure 424096DEST_PATH_IMAGE008
为主轴位置，
Figure 339968DEST_PATH_IMAGE009
为与主轴位置对应的从轴位置，且满足
Figure 605175DEST_PATH_IMAGE010
（
Figure 62308DEST_PATH_IMAGE011
），
Figure 950630DEST_PATH_IMAGE012
为实际电子凸轮曲线的起点，
Figure 20086DEST_PATH_IMAGE013
为实际电子凸轮曲线的终点；
第二步：对
Figure 310253DEST_PATH_IMAGE014
个主从轴位置点的主轴位置
Figure 941217DEST_PATH_IMAGE015
（
Figure 316834DEST_PATH_IMAGE007
）按距离实行参数化，参数化公式为：
Figure 547571DEST_PATH_IMAGE016
（1）
其中，
Figure 879195DEST_PATH_IMAGE017
是
Figure 195907DEST_PATH_IMAGE008
参数化后对应的值，因为（
Figure 992052DEST_PATH_IMAGE011
），故满足
Figure 912604DEST_PATH_IMAGE018
；
第三步：设定三次样条函数插值运算需要的边界条件：若凸轮曲线是循环运行，且同时满足下列两条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，则选择周期函数边界，其余情况下选择自由端边界；
第四步：利用三次样条函数插值运算，建立参数
Figure 820123DEST_PATH_IMAGE019
与对应的从轴位置的函数关系：三次样条函数是分段定义的形式，在实际电子凸轮曲线上确定的主从轴位置点是
Figure 447600DEST_PATH_IMAGE014
个时，共划分出
Figure 566865DEST_PATH_IMAGE021
段区间，区间
Figure 756538DEST_PATH_IMAGE022
（）的函数为：
           
Figure 114150DEST_PATH_IMAGE024
（2）
其中，
Figure 415818DEST_PATH_IMAGE025
，
Figure 635447DEST_PATH_IMAGE026
为与对应的从轴位置，
Figure 77853DEST_PATH_IMAGE027
、
Figure 906132DEST_PATH_IMAGE028
、
Figure 703186DEST_PATH_IMAGE029
、
Figure 498973DEST_PATH_IMAGE030
（
Figure 610148DEST_PATH_IMAGE023
）为函数系数，根据已知的
Figure 309245DEST_PATH_IMAGE031
个主从轴位置点及边界条件求出4
Figure 277201DEST_PATH_IMAGE032
个未知系数：、
Figure 209571DEST_PATH_IMAGE028
、
Figure 74759DEST_PATH_IMAGE029
、（
Figure 420213DEST_PATH_IMAGE023
），即求出每段曲线的表达式；
第五步：运行电子凸轮曲线：由外部设备获取当前时刻主轴位置，按照下面的公式（3）把主轴位置
Figure 592886DEST_PATH_IMAGE033
参数化为：
 （3）
其中，
Figure 151409DEST_PATH_IMAGE035
 为上一时刻获取的主轴位置，
Figure 679604DEST_PATH_IMAGE036
为上一时刻主轴位置
Figure 97947DEST_PATH_IMAGE035
对应的参数值，设定的初始值为
Figure 434437DEST_PATH_IMAGE037
，的初始值为0；
确定所在区间，假定某时刻
Figure 448770DEST_PATH_IMAGE025
（
Figure 781662DEST_PATH_IMAGE023
），则根据该区间的函数
Figure 517406DEST_PATH_IMAGE038
计算从轴位置
Figure 605448DEST_PATH_IMAGE009
，即得出主轴位置对应的从轴位置
Figure 697480DEST_PATH_IMAGE020
。
本发明方法对电子凸轮曲线的主轴位置参数化后，主轴位置对应的参数值在整个区间内递增，满足三次样条函数插值运算条件，从而能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线，该方法只需要知道凸轮曲线上一系列离散的主从轴位置，不必知道凸轮速度、凸轮加速度等参数就可生成电子凸轮曲线，与传统电子凸轮曲线生成方法相比具有通用性和灵活性。由于边界条件的选择直接影响电子凸轮曲线的生成，特别是两端点附近曲线，用户可以根据实际凸轮外形选择自由端边界或者周期函数边界。除此之外，本发明方法计算简单，执行效率高，符合嵌入式系统对算法执行效率的要求，且参数化方法过程中没有近似计算，提高了电子凸轮曲线生成的精度。
附图说明
图1是本发明方法的整体流程图。
图2是主轴位置及其按距离参数化后的曲线示意图。
图3是电子凸轮曲线示意图。
图4 是电子凸轮曲线极坐标示意图。
具体实施方式
下面结合附图和具体实施方式，对本发明作进一步详细说明。
第一步：确定实际电子凸轮曲线上的个主从轴位置点（
Figure 238685DEST_PATH_IMAGE007
），要求至少给出两个主从轴位置点，即
Figure 913380DEST_PATH_IMAGE039
，特别地，当只给出两个主从轴位置点时，此时使用本发明方法生成的电子凸轮曲线是一条直线。为使生成的电子凸轮曲线更接近期望的凸轮外形，应尽可能多提供凸轮曲线上的主从轴位置点，特别是曲线斜率变化较大的地方。假定用户给出
Figure 436766DEST_PATH_IMAGE040
个主从轴位置点，其中主轴位置分别为：，且相邻两点的主轴位置不相等，即
Figure 465825DEST_PATH_IMAGE010
（），与主轴位置对应的从轴位置为：
Figure 836950DEST_PATH_IMAGE042
 。主轴可以是物理轴，也可以是虚拟轴。主轴是物理轴时，主轴位置可以选择编码器输入、脉冲输入以及模拟量输入等，主轴是虚拟轴时，主轴位置可以是虚拟的编码器（软件计数器），从轴位置由具体应用中主轴和从轴的啮合运动确定。
第二步：对主轴位置进行参数化处理。考虑到从电子凸轮曲线起点的主轴位置
Figure 109799DEST_PATH_IMAGE037
到电子凸轮曲线终点的主轴位置
Figure 838721DEST_PATH_IMAGE043
，即
Figure 605951DEST_PATH_IMAGE041
可能不是递增的，为了能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线，需要对主轴位置进行参数化处理，参数化公式为：
Figure 41611DEST_PATH_IMAGE044
 （1）
其中，
Figure 734630DEST_PATH_IMAGE017
是
Figure 950847DEST_PATH_IMAGE008
参数化后对应的值，因为（），故满足。
主轴位置
Figure 127171DEST_PATH_IMAGE008
、参数、从轴位置
Figure 144992DEST_PATH_IMAGE009
三者之间是相互对应的。参数
Figure 992862DEST_PATH_IMAGE045
在区间
Figure 606508DEST_PATH_IMAGE046
内递增，满足三次样条函数的参数要求，因此可以应用三次样条函数建立参数
Figure 768499DEST_PATH_IMAGE045
与从轴位置
Figure 282526DEST_PATH_IMAGE047
的函数关系。
三次样条函数是分段定义的形式，假定用户给出
Figure 566877DEST_PATH_IMAGE040
组主从轴位置点，则可以划分
Figure 917087DEST_PATH_IMAGE032
段区间，区间
Figure 388430DEST_PATH_IMAGE022
（
Figure 570013DEST_PATH_IMAGE023
）的函数为：（2）
其中，
Figure 49721DEST_PATH_IMAGE026
对应
Figure 553515DEST_PATH_IMAGE025
的从轴位置，求解三次样条函数的系数、
Figure 904173DEST_PATH_IMAGE028
、
Figure 228975DEST_PATH_IMAGE029
、，即可求出每段曲线的表达式。样条函数各段曲线系数的求解方法为：采用三弯矩方程方法，即通过求解以节点处（对应电子凸轮曲线的主轴位置点的参数化值）的二阶导数值
Figure 411061DEST_PATH_IMAGE048
（）为变量的线性方程组，结合图1中的步骤S13确定的边界条件，用追赶法求解（
Figure 827239DEST_PATH_IMAGE049
），待
Figure 982146DEST_PATH_IMAGE048
（）求解之后，求出系数、
Figure 281168DEST_PATH_IMAGE028
、
Figure 420026DEST_PATH_IMAGE029
、
Figure 941137DEST_PATH_IMAGE030
。
考虑到边界点的固定一阶、二阶导数值难以确定，图1中的步骤S13中边界条件的确定有两种选择：如果凸轮曲线是一次运行，则采用自由端边界，即边界点的二阶导数值为零，
Figure 377803DEST_PATH_IMAGE050
；如果凸轮曲线是循环运行，且满足条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，此时采用周期函数边界，否则仍采用自由端边界，周期函数边界意味着电子凸轮曲线是以~
Figure 296004DEST_PATH_IMAGE043
为周期的周期函数，满足如下边界条件：
          
Figure 366729DEST_PATH_IMAGE051
  (4)                                      
电子凸轮的一次运行过程是从曲线起点
Figure 357818DEST_PATH_IMAGE052
运行到曲线终点
Figure 384549DEST_PATH_IMAGE053
。由外部设备（如编码器等）获取当前主轴位置
Figure 865209DEST_PATH_IMAGE033
，按照参数化公式（3）得到参数
Figure 640846DEST_PATH_IMAGE019
，其中
Figure 272816DEST_PATH_IMAGE033
、
Figure 924377DEST_PATH_IMAGE035
分别表示外部设备获取的当前时刻主轴位置和上一时刻主轴位置，
Figure 156644DEST_PATH_IMAGE019
、
Figure 489537DEST_PATH_IMAGE036
分别表示
Figure 38330DEST_PATH_IMAGE033
、
Figure 811857DEST_PATH_IMAGE035
对应的参数值。
Figure 16573DEST_PATH_IMAGE035
和
Figure 949894DEST_PATH_IMAGE036
的初始值分别为
Figure 805724DEST_PATH_IMAGE037
和0，在运行过程中由
Figure 2350DEST_PATH_IMAGE033
和
Figure 491100DEST_PATH_IMAGE019
更新，即在计算出当前的
Figure 182107DEST_PATH_IMAGE019
后，令
Figure 643175DEST_PATH_IMAGE054
，
Figure 994391DEST_PATH_IMAGE055
。
在计算出当前主轴位置
Figure 236016DEST_PATH_IMAGE033
对应的参数
Figure 714402DEST_PATH_IMAGE019
后，确定
Figure 777780DEST_PATH_IMAGE019
所在区间，假定某时刻
Figure 378525DEST_PATH_IMAGE025
，（共
Figure 779551DEST_PATH_IMAGE056
段区间，），则根据该区间的4个曲线系数
Figure 746556DEST_PATH_IMAGE027
、、
Figure 157257DEST_PATH_IMAGE029
、，计算从轴位置
Figure 329929DEST_PATH_IMAGE020
，即算出主轴位置
Figure 193849DEST_PATH_IMAGE033
对应的从轴位置
Figure 569466DEST_PATH_IMAGE020
。
为减少程序乘法次数，将公式（2）改写成如下嵌套乘写法：
       
Figure 255663DEST_PATH_IMAGE057
在计算出从轴位置之后，将其输入到伺服驱动模块的位置环中。
下面以一个具体实例来验证算法的可行性和实用性，假定主轴位置范围为0~360°，取12组主从轴位置点，见如下表格1中的第一列和第三列数据。
表格1
Figure 148139DEST_PATH_IMAGE059
其中相邻两点的主轴位置不完全递增，根据本发明方法，将12组主轴位置点按距离实行参数化（公式（1）），主轴位置参数化后对应值见表格1中的第二列数据，图2给出了主轴位置及其按距离参数化后的曲线示意图。应用三次样条函数建立主轴位置对应的参数值和从轴位置的函数关系，具体步骤依上述介绍，图3是电子凸轮曲线示意图，图4 是电子凸轮曲线极坐标示意图。 从图中可以看出，根据本发明的方法，能解决主轴位置在一个周期内不满足递增条件，还能应用三次样条函数生成光滑的电子凸轮曲线。

Claims (1)

1.一种电子凸轮曲线生成方法，其特征在于包括以下步骤：
（1）确定实际电子凸轮曲线上                                                
Figure 656195DEST_PATH_IMAGE001
个主从轴位置点
Figure 280115DEST_PATH_IMAGE002
（
Figure 459424DEST_PATH_IMAGE003
），其中
Figure 937810DEST_PATH_IMAGE004
为主轴位置，
Figure 315702DEST_PATH_IMAGE005
为与主轴位置对应的从轴位置，且满足
Figure 753691DEST_PATH_IMAGE006
（
Figure 98085DEST_PATH_IMAGE007
），
Figure 268166DEST_PATH_IMAGE008
为实际电子凸轮曲线的起点，
Figure 39813DEST_PATH_IMAGE009
为实际电子凸轮曲线的终点；
（2）对
Figure 928135DEST_PATH_IMAGE010
个主从轴位置点的主轴位置
Figure 748323DEST_PATH_IMAGE011
（
Figure 100807DEST_PATH_IMAGE003
）按距离实行参数化，参数化公式为：
                         
Figure 479573DEST_PATH_IMAGE012
 （1）
      其中，
Figure 917508DEST_PATH_IMAGE013
是
Figure 541387DEST_PATH_IMAGE004
参数化后对应的值；
（3）设定三次样条函数插值运算需要的边界条件：若凸轮曲线是循环运行，且同时满足下列两条件：（a）至少给出三组凸轮曲线上的主从轴位置对应点；（b）给出的凸轮曲线上起点和终点的从轴位置相等，则选择周期函数边界，其余情况下选择自由端边界；
（4）利用三次样条函数插值运算，建立参数
Figure 686061DEST_PATH_IMAGE014
与对应的从轴位置
Figure 737193DEST_PATH_IMAGE015
的函数关系：三次样条函数是分段定义的形式，在实际电子凸轮曲线上确定的主从轴位置点是
Figure 662424DEST_PATH_IMAGE010
个时，共划分出
Figure 322950DEST_PATH_IMAGE016
段区间，区间
Figure 650027DEST_PATH_IMAGE017
（
Figure 606481DEST_PATH_IMAGE018
）的函数为：
          
Figure 956691DEST_PATH_IMAGE019
（2）
其中，
Figure 984690DEST_PATH_IMAGE020
，
Figure 103956DEST_PATH_IMAGE021
为与
Figure 995426DEST_PATH_IMAGE014
对应的从轴位置，
Figure 629670DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 133463DEST_PATH_IMAGE023
、
Figure 372815DEST_PATH_IMAGE024
、
Figure 998968DEST_PATH_IMAGE025
 （
Figure 58191DEST_PATH_IMAGE018
）为函数系数，根据已知的
Figure 864211DEST_PATH_IMAGE026
个主从轴位置点及边界条件求出4
Figure 20386DEST_PATH_IMAGE027
个未知系数：
Figure 755123DEST_PATH_IMAGE022
、
Figure 363959DEST_PATH_IMAGE023
、、
Figure 157920DEST_PATH_IMAGE025
（
Figure 125876DEST_PATH_IMAGE018
），即求出每段曲线的表达式；
（5）运行电子凸轮曲线：由外部设备获取当前时刻主轴位置
Figure 658226DEST_PATH_IMAGE028
，按照下面的公式（3）把主轴位置
Figure 307513DEST_PATH_IMAGE028
参数化为
Figure 172701DEST_PATH_IMAGE014
：
Figure 249242DEST_PATH_IMAGE029
 （3）
  其中，
Figure 832670DEST_PATH_IMAGE030
 为上一时刻获取的主轴位置，为上一时刻主轴位置
Figure 441560DEST_PATH_IMAGE030
对应的参数值，设定
Figure 751319DEST_PATH_IMAGE030
的初始值为
Figure 759726DEST_PATH_IMAGE032
，
Figure 750816DEST_PATH_IMAGE031
的初始值为0；
          确定
Figure 590596DEST_PATH_IMAGE014
所在区间，假定某时刻
Figure 8939DEST_PATH_IMAGE020
（
Figure 3178DEST_PATH_IMAGE018
），则根据该区间的函数
Figure 594696DEST_PATH_IMAGE033
计算从轴位置
Figure 226666DEST_PATH_IMAGE005
，即得出主轴位置
Figure 143806DEST_PATH_IMAGE028
对应的从轴位置
Figure 861226DEST_PATH_IMAGE015
。
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