CN104035380A - 基于偏移量nurbs曲线的数控裁床运动控制方法 - Google Patents

Abstract

一种基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，包括：数据读入模块读入皮革加工轨迹的控制点信息和需要调整曲线轨的偏移量，插补模块根据读入的信息点计算出节点矢量；根据节点矢量计算出基函数以及权重因子取特定值时求出的距离量；根据偏移量和距离量对NURBS有理分式进行变形重构，权重因子用偏移量来代替；根据重构以后的NURBS有理分式对整个轨迹进行分段；进而求出每段的运行时间，求出u值的变化量；根据u值的变化量求出插补点，插补控制模块输出插补点到机械运动模块，控制刀具运动对工件进行加工。通过上述方式，利用样条方法进行插补，并且用偏移量代替权重因子，克服当前皮革裁床无法高精度加工自由型轨迹，加工轨迹无法简单调整，NURBS方法插补参数难以理解的弊端。

Description

基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法

技术领域

本发明涉及数控系统领域，，特别是数控裁床以及其他涉及路径规划的领域，是基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法。

背景技术

从20世纪60年代末期，美国、德国、日本、法国等一些工业发达国家先后利用数控技术对皮革制品加工行业、服装加工、纺织工业等行业进行自动化改造，以提高这些劳动力密集行业的自动化水平，降低劳动力成本。国内皮革裁剪技术研究起步较晚，主要是用利用直线插补和圆弧插补进行路径轨迹拟合。随着皮革裁剪技术发展，轨迹越来越复杂，精度要求越来越高，简单的直线、圆弧插补已经很难满足插补精度的要求。

数控系统领域的核心是数控插补技术，插补技术的优劣直接影响到加工技术的优劣。每个制造业大国都普遍采用数控技术，用来提高工业制造水平，提高对动态多变市场的适应能力和竞争力。数控技术不断发展使得传统制造业迎来革命性的变化，使得数控技术成为先进制造业的标志。随着数控技术的不断发展，它对诸多重要行业都产生了重要影响，数控领域计算能力的不断提高，使得一些计算量的大的 插补算法也开始应用的数控领域。但目前还存在诸多问题需要解决。

B样条曲线是Bézier曲线的改进形式，主要区别在于基函数的构造方式不同，B样条理论的好处就是能保留Bézier方法的优点，同时增加了可局部修改的性质。B样条方法在表示与设计自由型曲线与曲面形状时显示了强大的威力，但B样条不能精确表示除抛物线以外的曲线，这样就带来了诸多问题。使得一些简单问题复杂化，带来了设计上不存在的误差。而NURBS曲线能很好的解决这些问题。NURBS理论经过近三十年的发展，经过诸多科研人员的努力，NURBS曲线日趋成熟，并且应用到诸多领域。对现有的B样条方法进行改造，保留它在描述自由型曲线的功能的同时，增加了表示二次曲线弧的能力，具有这种的能力的样条表示方式就是有理B样条方法。而均匀、准均匀、分段贝齐尔三种类型又可以看做是非均匀类型的特例，所以习惯统称为为非均匀有理B样条方法，简称为NURBS方法。

用皮革裁床进行皮革加工时，给定皮革的加工轨迹，但是有时需要对路径轨迹进行调整，就显得特别麻烦，一种方法是通过改变控制点，对轨迹进行调整，但是需要复杂的计算，另外一种就是需要通过改变NURBS曲线的权重因子，进行改变轨迹的形状，但是权重因子的改变和轨迹的变化没有线性的对应关系，需要反复的改变的权重因子值，才有可能得到近似的轨迹。并且NURBS曲线的权重因子虽然可以控制曲线与控制点的远近，但是它的具体含义以及功能却不够直观，一般看到曲线如果想实现曲线的移动变化都是想考虑移动多少距 离，而不是考虑权重因子是多少。权重因子不能随意取值，如果取得不合适，会导致很坏的参数化，甚至完全破坏掉相关的控制曲线。

发明内容

本发明主要解决的技术问题是为了克服皮革裁床对一些皮革加工轨迹的不能高精度的拟合；无法对加工轨迹在不改变控制点的情况下简单准确的调整；当前NURBS曲线理论不够直观线性表示对加工曲线轨迹的控制等不足，本发明提供一种不需要通过改变控制点就能线性调整皮革裁床加工轨迹的一种基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法。本发明提供了一种偏移量代替权重因子的NURBS方法。包括：根据给定的皮革加工轨迹的控制点在哈德利—贾德方法基础上进行变形计算出合适的节点向量；再根据NURBS有理分式计算出权重因子取特定值时求出的插补点与相对应的控制点的距离，进而利用偏移量和距离量对有理分式进行变形重构；再根据重构后的NURBS有理分式，对加工轨迹进行分段，计算时间点，求出插补点。

所述基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法包括以下过程：

第一步，插补模块从数据输入模块得到皮革加工轨迹控制点信息，得到m+p+1个控制点p为所构造的基函数次数。根据控制点之间的距离远近，计算出合适的节点向量值U。

先计算控制点之间距离d_j，公式为：

$d_j=\sqrt{{(x_j-x_{j-1})}^2+{(y_j-y_{j-1})}^2},j=\mathrm{1,2,3}...m+p---\left(1\right)$

其中x_j表示控制点P_j的横轴坐标，y_j表示控制点P_j的纵轴坐标。

哈德利—贾德方法递推公式进行变形，变形后公式为：

$u_i-u_{i-1}=(m+1)\×\frac{\underset{j=i-p}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j}{\underset{i=p+1}{\overset{m+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i-p}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j},i=p+1,p+2,...m+p---\left(2\right)$

其中u_i表示第i个节点，进而可得节点向量U递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_p=0\\ u_i=(m+1)\×\underset{j=p+1}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}(u_j-u_{j-1}),i=p+1,p+2,...m+p\\ u_{m+p+1}=m+1\end{array}\right.---\left(3\right)$

求出的节点向量形式为：

U＝[0,0,0,u_p,u_p+1,...u_m+p1,m+1,m+1,m+1]

第二步，利用节点向量求得基函数,NURBS基函数有很多种构造形式，一般常用的构造形式是由如下递推公式给出的,用下列递推方式确定的基函数N_i,p(u)称为相应于节点向量U的P次NURBS基函数:

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right),p\≥2---\left(5\right)$

其中i是基函数的序列号，给定节点向量U，根据上面的递推公 式就可以推导出所需要的基函数。进而可得基于权重因子w_i的第i段NURBS曲线P_i(u),表达式为：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(6\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

进而根据节点求出对应的距离量，并记录下来，用偏移量代替权重因子，重构NURBS有理分式，进行插补计算。由于控制点比通过点多p-1个，所以为了与控制点对应，增加样条曲线的可控性，本发明算法要求给定m+p+1个偏移量，不需要偏移时，赋值为零。考虑到通过点首末端点与控制点重合，可以增加曲线的首末的可控性，是NURBS曲线一大优点，所以首末偏移量都取零,保留NURBS曲线的优点。对于第二个偏移量和最后一个偏移量，没有确定的节点u与之对应，为了增加曲线的可控性，本算法中第二个偏移量对应 倒数第二个偏移量对应可以得到求距离量时对应的节点向量为：

$U^{\′}={\{u_0,\frac{u_1-u_0}{3},u_1,u_2,...,u_m,\frac{u_{m+1}-u_m}{3},u_{m+1}\}}^{`}$

给定的偏移量为D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p}，本算法在没有求出的新的权重因子之前，需要用到的权重因子取1，进行过渡计算。需要求出距离量包括：

当u＝u_k,w_k＝1时，求插补点p₁，计算公式如下：

$p_1=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(7\right)$

包括当u＝u_k,w_k＝0时，求插补点p₀，计算公式如下：

$p_0=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(8\right)$

进而可得距离量S_k,K_k，计算公式如下：

$S_k=\sqrt{{(P_k-p_1)}^2}---\left(9\right)$

$K_k=\sqrt{{(p_0-p_1)}^2}---\left(10\right)$

其中P_K是第k个控制点，k＝0,1,2,...,m+p

可求得新的权重因子w_k,计算公式为：

$w_k=\frac{S_k(K_k+d_k)}{K_k(S_k-d_k)},k=\mathrm{0,1,2},...,m+p---\left(11\right)$

随着节点变化，基函数取值也相应的变化，权重因子要进行实时更新，再把节点代入变化后的NURBS式子，求出所需要的距离量。

第三步，给定m+p+1个控制点和对应的偏移量D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p},根据第二步求出的距离量，可得重构后的第i段NURBS曲线表达式P_i(u),表达式形式如下：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(12\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

根据上述NURBS曲线公式进而可以求出NURBS曲线的一阶导数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u)。

第四步，根据重构以后的NURBS式子，先根据均参数理论，u∈[0,m+1]均匀变化，得到插补值和一阶导

数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u),计算曲率半径R公式为：

$R=\frac{\left(\sqrt{{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^3}\right)}{(x^{\′}\left(u\right)y^{\′\′}\left(u\right)-x^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}---\left(13\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数。随着参数u值变化计算出整个路径轨迹的曲率半径变化值，并记录下来，包括曲率半径值R和对应的u值。

根据曲率半径的极小值对应的u值，对整个加工轨迹进行分段。对每段进行路径规划，计算出时间点，进而求出每个伺服周期内的插补速度，进而得到u值变化量u_i+1，计算公式为：

$\begin{array}{c}{u}_{i+1}=u_i+\frac{V\left(t\right)\mathrm{Ts}}{\sqrt{x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2}}\\ -\frac{{\left(V\left(t\right)\mathrm{Ts}\right)}^2\×(x^{\′}\left(u\right)x^{\′\′}\left(u\right)+y^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}{2{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^2}\end{array}---\left(14\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数， 其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数,Ts是采样周期，V(t)规划求出的速度。

第五步，根据第四步计算出的u_i+1值，代入重构以后的NURBS公式，计算出裁床刀具插补点，插补控制模块输出插补点到机械运动模块，控制刀具运动对工件进行加工。

本发明的有益效果主要表现为：能对复杂的加工轨迹进行高精度拟合；对数控裁床刀具轨迹的调整时，采取一种更为简单直接的方式，不需要改变控制点，直接根据需要调整的偏移量，输入偏移量参数，进行调整即可。本发明采用的算法是在国内外最新研究成果基础上的改进与创新，非常简便实用，降低了对NURBS方法的理解难度，很好的利用新理论，解决实际问题。

附图说明

图1是本发明基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法运行流程图。

图2本发明基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法表示控制点之间距离的示意图

图3本发明基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法表示偏移量控制的NURBS曲线与权重因子分别等于1和0的NURBS曲线的位置关系示意图。

图4本发明基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法取 控制点P＝{(1,1),(2,8),(3,5),(4,2),(5,6),(6,9),(7,23),(8,5),(9,2)}，

随着偏移量不同取值，插补出轨迹效果图。

1表示D＝{0,0.8,0,0,0,0,0.2,0,0}时，插补出来的轨迹，2表示D＝{0,0,0,0,0,0,0,0,0}时，插补出来的轨迹，同时2也是偏移参照曲线，3表示D＝{0,-0.8,0,0,0,0,-0.2,0,0}时，插补出来的轨迹。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明进一步说明。

所述基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法包括以下过程：

第一步，插补模块从数据输入模块得到皮革加工轨迹控制点信息，得到m+p+1个控制点p为所构造的基函数次数。根据控制点之间的距离远近，计算出合适的节点向量值U。

先计算控制点之间距离d_j，公式为：

$d_j=\sqrt{{(x_j-x_{j-1})}^2+{(y_j-y_{j-1})}^2},j=\mathrm{1,2,3}...m+p---\left(1\right)$

其中x_j表示控制点P_j的横轴坐标，y_j表示控制点P_j的纵轴坐标。

哈德利—贾德方法递推公式进行变形，变形后公式为：

$u_i-u_{i-1}=(m+1)\×\frac{\underset{j=i-p}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j}{\underset{i=p+1}{\overset{m+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i-p}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i},i=p+1,p+2,...m+p---\left(2\right)$

其中u_i表示第i个节点，进而可得节点向量U递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_p=0\\ u_i=(m+1)\×\underset{j=p+1}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}(u_j-u_{j-1}),i=p+1,p+2,...m+p\\ u_{m+p+1}=m+1\end{array}\right.---\left(3\right)$

求出的节点向量形式为：

U＝[0,0,0,u_p,u_p+1,...u_m+p1,m+1,m+1,m+1]

第二步，利用节点向量求得基函数,NURBS基函数有很多种构造形式，一般常用的构造形式是由如下递推公式给出的,用下列递推方式确定的基函数N_i,p(u)称为相应于节点向量U的P次NURBS基函数:

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right),p\≥2---\left(5\right)$

其中i是基函数的序列号，给定节点向量U，根据上面的递推公式就可以推导出所需要的基函数。进而可得基于权重因子w_i的第i段NURBS曲线P_i(u),表达式为：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(6\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

进而根据节点求出对应的距离量，并记录下来，用偏移量代替权 重因子，重构NURBS有理分式，进行插补计算。由于控制点比通过点多p-1个，所以为了与控制点对应，增加样条曲线的可控性，本发明算法要求给定m+p+1个偏移量，不需要偏移时，赋值为零。考虑到通过点首末端点与控制点重合，可以增加曲线的首末的可控性，是NURBS曲线一大优点，所以首末偏移量都取零,保留NURBS曲线的优点。对于第二个偏移量和最后一个偏移量，没有确定的节点u与之对应，为了增加曲线的可控性，本算法中第二个偏移量对应 倒数第二个偏移量对应可以得到求距离量时对应的节点向量为：

$U^{\′}={\{u_0,\frac{u_1-u_0}{3},u_1,u_2,...,u_m,\frac{u_{m+1}-u_m}{3},u_{m+1}\}}^{`}$

给定的偏移量为D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p}，本算法在没有求出的新的权重因子之前，需要用到的权重因子取1，进行过渡计算。需要求出距离量包括：

当u＝u_k,w_k＝1时，求插补点p₁，计算公式如下：

$P_1=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(7\right)$

包括当u＝u_k,w_k＝0时，求插补点p₀，计算公式如下：

$p_0=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(8\right)$

进而可得距离量S_k,K_k，计算公式如下：

$S_k=\sqrt{{(P_k-p_1)}^2}---\left(9\right)$

$K_k=\sqrt{{(p_0-p_1)}^2}---\left(10\right)$

其中P_K是第k个控制点，k＝0,1,2,...,m+p

可求得新的权重因子w_k,计算公式为：

$w_k=\frac{S_k(K_k+d_k)}{K_k(S_k-d_k)},k=\mathrm{0,1,2},...,m+p---\left(11\right)$

随着节点变化，基函数取值也相应的变化，权重因子要进行实时更新，再把节点代入变化后的NURBS式子，求出所需要的距离量。

第三步，给定m+p+1个控制点和对应的偏移量D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p},根据第二步求出的距离量，可得重构后的第i段NURBS曲线表达式P_i(u),表达式形式如下：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(12\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

根据上述NURBS曲线公式进而可以求出NURBS曲线的一阶导数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u)。

第四步，根据重构以后的NURBS式子，先根据均参数理论，u∈[0,m+1]均匀变化，得到插补值和一阶导

数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u),计算曲率半径R公式为：

$R=\frac{\left(\sqrt{{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^3}\right)}{(x^{\′}\left(u\right)y^{\′\′}\left(u\right)-x^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}---\left(13\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数。随着参数u值变化计算出整个路径轨迹的曲率半径变化值，并记录下来，包括曲率半径值R和对应的u值。

根据曲率半径的极小值对应的u值，对整个加工轨迹进行分段。对每段进行路径规划，计算出时间点，进而求出每个伺服周期内的插补速度，进而得到u值变化量u_i+1，计算公式为：

$\begin{array}{c}{u}_{i+1}=u_i+\frac{V\left(t\right)\mathrm{Ts}}{\sqrt{x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2}}\\ -\frac{{\left(V\left(t\right)\mathrm{Ts}\right)}^2\×(x^{\′}\left(u\right)x^{\′\′}\left(u\right)+y^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}{2{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^2}\end{array}---\left(14\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数,Ts是采样周期，V(t)规划求出的速度。

第五步，根据第四步计算出的u_i+1值，代入重构以后的NURBS公式，计算出裁床刀具插补点，插补控制模块输出插补点到机械运动 模块，控制刀具运动对工件进行加工。

如图1所示运行流程图表明，根据给定的皮革加工轨迹的控制点在哈德利—贾德方法基础上进行变形计算出合适的节点向量；再根据NURBS有理分式计算出权重因子取特定值时求出的插补点与相对应的控制点的距离，进而利用偏移量和距离量对有理分式进行变形重构；再根据重构后的NURBS有理分式，对加工轨迹进行分段，计算时间点，求出插补点。

如图2实施例表明，计算控制点之间距离d_j，公式为：

$d_j=\sqrt{{(x_j-x_{j-1})}^2+{(y_j-y_{j-1})}^2},j=\mathrm{1,2,3}...m+p---\left(1\right)$

其中x_j表示控制点P_j的横轴坐标，y_j表示控制点P_j的纵轴坐标。

如图1，2、3实施例表明，对哈德利—贾德方法递推公式进行变形，变形后公式为：

$u_i-u_{i-1}=(m+1)\×\frac{\underset{j=i-p}{\overset{j-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_j}{\underset{i=p+1}{\overset{m+1}{\mathrm{\Σ}}}\underset{j=i-p}{\overset{i-1}{\mathrm{\Σ}}}{d}_i},i=p+1,p+2,...m+p---\left(2\right)$

其中u_i表示第i个节点，进而可得节点向量U递推公式为：

$\left\{\begin{array}{c}{u}_p=0\\ u_i=(m+1)\×\underset{j=p+1}{\overset{i}{\mathrm{\Σ}}}(u_j-u_{j-1}),i=p+1,p+2,...m+p\\ u_{m+p+1}=m+1\end{array}\right.---\left(3\right)$

求出的节点向量形式为：

U＝[0,0,0,u_p,u_p+1,...u_m+p1,m+1,m+1,m+1]

进而利用节点向量求得基函数,NURBS基函数有很多种构造形 式，一般常用的构造形式是由如下递推公式给出的,用下列递推方式确定的基函数N_i,p(u)称为相应于节点向量U的P次NURBS基函数:

$N_{i,p}\left(u\right)=\frac{u-u_i}{u_{i+p}-u_i}{N}_{i,p-1}\left(u\right)+\frac{u_{i+p+1}-u}{u_{i+p+1}-u_{i+1}}{N}_{i+1,p-1}\left(u\right),p\≥2---\left(5\right)$

其中i是基函数的序列号，给定节点向量U，根据上面的递推公式就可以推导出所需要的基函数。进而可得基于权重因子w_i的第i段NURBS曲线P_i(u)，表达式为：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(6\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

进而根据节点求出对应的距离量，并记录下来，用偏移量代替权重因子，重构NURBS有理分式，进行插补计算。由于控制点比通过点多p-1个，所以为了与控制点对应，增加样条曲线的可控性，本发明算法要求给定m+p+1个偏移量，不需要偏移时，赋值为零。考虑到通过点首末端点与控制点重合，可以增加曲线的首末的可控性，是NURBS曲线一大优点，所以首末偏移量都取零,保留NURBS曲线的优点。对于第二个偏移量和最后一个偏移量，没有确定的节点u与之对应，为了增加曲线的可控性，本算法中第二个偏移量对应 倒数第二个偏移量对应可以得到求距离量时对应的节点向量为：

$U^{\′}={\{u_0,\frac{u_1-u_0}{3},u_1,u_2,...,u_m,\frac{u_{m+1}-u_m}{3},u_{m+1}\}}^{`}$

给定的偏移量为D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p}，本算法在没有求出的新的权重因子之前，需要用到的权重因子取1，进行过渡计算。需要求出距离量包括：

当u＝u_k,w_k＝1时，求插补点p₁，计算公式如下：

$P_1=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(7\right)$

包括当u＝u_k,w_k＝0时，求插补点p₀，计算公式如下：

$P_0=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}{w}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u_k^{\′}\right)}---\left(8\right)$

进而可得距离量S_k,K_k，计算公式如下：

$S_k=\sqrt{{(P_k-p_1)}^2}---\left(9\right)$

$K_k=\sqrt{{(p_0-p_1)}^2}---\left(10\right)$

其中P_K是第k个控制点，k＝0,1,2,...,m+p

可求得新的权重因子w_k,计算公式为：

$w_k=\frac{S_k(K_k+d_k)}{K_k(S_k-d_k)},k=\mathrm{0,1,2},...,m+p---\left(11\right)$

随着节点变化，基函数取值也相应的变化，权重因子要进行实时 更新，再把节点代入变化后的NURBS式子，求出所需要的距离量。

进而给定m+p+1个控制点和对应的偏移量D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p},根据第二步求出的距离量，可得重构后的第i段NURBS曲线表达式P_i(u),表达式形式如下：

$P_i\left(u\right)=\frac{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{P}_{i+n}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}{\underset{n=0}{\overset{p}{\mathrm{\Σ}}}\frac{S_{i+n}(k_{i+n}+d_{i+n})}{k_{i+n}(s_{i+n}-d_{i+n})}{N}_{n-p,p}\left(u\right)}---\left(12\right)$

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

根据上述NURBS曲线公式进而可以求出NURBS曲线的一阶导

数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u)。

进而根据重构以后的NURBS式子，先根据均参数理论，u∈[0,m+1]均匀变化，得到插补值和一阶导

数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u),计算曲率半径R公式为：

$R=\frac{\left(\sqrt{{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^3}\right)}{(x^{\′}\left(u\right)y^{\′\′}\left(u\right)-x^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}---\left(13\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数。随着参数u值变化计算出整个路径轨迹的曲率半径变化值，并记录下来，包括曲率半径值R和对应的u值。

根据曲率半径的极小值对应的u值，对整个加工轨迹进行分段。对每段进行路径规划，计算出时间点，进而求出每个伺服周期内的插补速度，进而得到u值变化量u_i+1，计算公式为：

$\begin{array}{c}{u}_{i+1}=u_i+\frac{V\left(t\right)\mathrm{Ts}}{\sqrt{x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2}}\\ -\frac{{\left(V\left(t\right)\mathrm{Ts}\right)}^2\×(x^{\′}\left(u\right)x^{\′\′}\left(u\right)+y^{\′\′}\left(u\right)y^{\′}\left(u\right))}{2{(x^{\′}{\left(u\right)}^2+y^{\′}{\left(u\right)}^2)}^2}\end{array}---\left(14\right)$

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数,Ts是采样周期，V(t)规划求出的速度。

进而根据计算出的u_i+1值，代入重构以后的NURBS公式，计算出裁床刀具插补点，插补控制模块输出插补点到机械运动模块，控制刀具运动对工件进行加工。

如图4实施例表明，同一组控制顶点定义下，样条基函数的次数越高，插补出来的曲线越光滑，距离定义它的控制多边形也越远。用在数控领域，三阶基函数插补出来的样条曲线一般足够满足轨迹的精度要求，所以本实施例采用三次基函数构造NURBS曲线，进行插补计算。给定节点向量，根据同次基函数平移性，就可以根据节点变化计算出出所需要的四个基函数。

当采用三次基函数，控制点：

P＝{(1,1),(2,8),(3,5),(4,2),(5,6),(6,9),(7,23),(8,5),(9,2)}，弓高误差取0.000001m，最大限制速度取0.2m/s，最大限制加速度5m/s²,最大限制加加速度取250m/s³，根据控制点求出的节点向量为U＝{0,0,0,0,0.6,1.4,2.02,2.64,3.9,6,6,6,6}。

当偏移量D＝{0,0.8,0,0,0,0,0.2,0,0}时，插补出来的轨迹如图4中曲线1所示；当偏移量D＝{0,0,0,0,0,0,0,0,0}时，插补出来的轨迹如图4曲线2所示，同时曲线2也是偏移参照线，当偏移量D＝{0,-0.8,0,0,0,0,-0.2,0,0}时，插补出来的轨迹如图4曲线3所示。可以看出，利用偏移量NURBS能很好拟合自由型加工轨迹曲线，并且很方便快捷的实现对刀具加工轨迹的调整。

Claims (5)

1.基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，，其特征在于步骤如下：

第一步，插补模块从数据输入模块得到皮革加工轨迹控制点信息，得到m+p+1个控制点p为所构造的基函数次数。根据控制点之间的距离远近，计算出合适的节点向量值U。

先计算控制点之间距离d_j，公式为：

其中x_j表示控制点P_j的横轴坐标，y_j表示控制点P_j的纵轴坐标。

哈德利—贾德方法递推公式进行变形，变形后公式为：

其中u_i表示第i个节点，进而可得节点向量U递推公式为：

求出的节点向量形式为：

U＝[0,0,0,u_p,u_p+1,...u_m+p1,m+1,m+1,m+1]

第二步，利用节点向量求得基函数,NURBS基函数有很多种构造形式，一般常用的构造形式是由如下递推公式给出的,用下列递推方式确定的基函数N_i,p(u)称为相应于节点向量U的P次NURBS基函数:

其中i是基函数的序列号，给定节点向量U，根据上面的递推公式就可以推导出所需要的基函数。进而可得基于权重因子w_i的第i段NURBS曲线P_i(u),表达式为：

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

进而根据节点求出对应的距离量，并记录下来，用偏移量代替权重因子，重构NURBS有理分式，进行插补计算。由于控制点比通过点多p-1个，所以为了与控制点对应，增加样条曲线的可控性，本发明算法要求给定m+p+1个偏移量，不需要偏移时，赋值为零。考虑到通过点首末端点与控制点重合，可以增加曲线的首末的可控性，是NURBS曲线一大优点，所以首末偏移量都取零,保留NURBS曲线的优点。对于第二个偏移量和最后一个偏移量，没有确定的节点u与之对应，为了增加曲线的可控性，本算法中第二个偏移量对应倒数第二个偏移量对应可以得到求距离量时对应的节点向量为：

给定的偏移量为D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p}，本算法在没有求出的新的权重因子之前，需要用到的权重因子取1，进行过渡计算。需要求出距离量包括：

当u＝u_k,w_k＝1时，求插补点p₁，计算公式如下：

包括当u＝u_k,w_k＝0时，求插补点p₀，计算公式如下：

进而可得距离量S_k,K_k，计算公式如下：

其中P_K是第k个控制点，k＝0,1,2,...,m+p

可求得新的权重因子w_k,计算公式为：

随着节点变化，基函数取值也相应的变化，权重因子要进行实时更新，再把节点代入变化后的NURBS式子，求出所需要的距离量。

第三步，给定m+p+1个控制点和对应的偏移量D＝{d₀,d₁,d₂,...,d_m+p},根据第二步求出的距离量，可得重构后的第i段NURBS曲线表达式P_i(u),表达式形式如下：

u∈[u_i+p,u_i+p+1],i＝1,2,3...m+1

根据上述NURBS曲线公式进而可以求出NURBS曲线的一阶导数P_i'(u)和二阶导数P_i″(u)。

第四步，根据重构以后的NURBS式子，先根据均参数理论，u∈[0,m+1]均匀变化，得到插补值和一阶导

数P_i'(u)和二阶导数P_i″'(u),计算曲率半径R公式为：

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数。随着参数u值变化计算出整个路径轨迹的曲率半径变化值，并记录下来，包括曲率半径值R和对应的u值。

根据曲率半径的极小值对应的u值，对整个加工轨迹进行分段。对每段进行路径规划，计算出时间点，进而求出每个伺服周期内的插补速度，进而得到u值变化量u_i+1，计算公式为：

其中x'(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的一阶导数，其中y'(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的一阶导数。x″(u)表示用NURBS方法表示的x值关于u值的二阶导数，其中y″(u)表示用NURBS方法表示的y值关于u值的二阶导数,Ts是采样周期，V(t)规划求出的速度。

第五步，根据第四步计算出的u_i+1值，代入重构以后的NURBS公式，计算出裁床刀具插补点，插补控制模块输出插补点到机械运动模块，控制刀具运动对工件进行加工。

2.如权利要求1所述的基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，，其特征在于：第一步中有关节点向量的计算，是根据控制点之间的距离在哈德利—贾德方法递推公式基础上经过变形后进行计算，节点向量形式为：

U＝[0,0,0,u_p,u_p+1,...u_m+p1,m+1,m+1,m+1] 。

3.如权利要求1所述的基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，其特征在于：第二步中有关偏移量给定，偏移量的个数与控制点的个数一致。

4.如权利要求1所述的基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，其特征在于：第二步中距离量的计算，给定的第二个偏移量对应的节点为和倒数第二个偏移量对应的节点为其他偏移量与节点依次相对应。插补计算时在没有求出的新的权重因子之前，需要用到的权重因子取1，进行过渡计算；求出的新的权重因子要对对应的权重因子进行替换，进行实时更新；NURBS中需要用到的距离量，按照u值取节点值时进行计算。

5.如权利要求1,所述的基于偏移量NURBS曲线的数控裁床运动控制方法，其特征在于：第三步NURBS曲线表达式,NURBS有理分式进行计算时距离量并随着用到的控制点的变化而变化；数控裁床的插补方法用NURBS方法进行轨迹插补计算，用偏移量代替权重因子， 对NURBS曲线表达式进行变形重构，表达式形式为：

。