CN103336886B - 一种柔性配气凸轮曲线的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开一种柔性配气凸轮曲线的设计方法，所述凸轮曲线以从动件位移曲线来表示。依据与凸轮匹配的从动件的梯形加速度曲线中各加速度段长度与时面值、正负加速度峰值之间的关系，结合所设计发动机配气机构对从动件加速度峰值、时面值及跃度值大小的要求，确定各加速度段的长度，得到一条理想的梯形加速度曲线；通过积分得到该从动件的位移曲线，然后在该位移曲线上取若干点作为型值点集，用5次B样条曲线拟合得到最终的从动件位移曲线，即凸轮曲线。这样设计得到的凸轮曲线具有时面值大、正负加速度峰值小和高阶连续的特点，可以较好地满足配气凸轮机构换气性能和动态性能要求；同时还具有B样条曲线适应性强、便于局部修改的特点，是一种柔性配气凸轮曲线。

Description

一种柔性配气凸轮曲线的设计方法

技术领域

本发明涉及一种凸轮位移曲线的设计方法，具体涉及一种柔性配气凸轮位移曲线的设计方法，属于发动机设计技术领域。

背景技术

四冲程发动机广泛采用气门-凸轮式配气机构，即通过凸轮控制气门的开启和闭合进而控制其进气和排气，配气机构设计的好坏对发动机的性能有着重要影响。由于凸轮式配气机构是由凸轮驱动气门实现配气的，因此配气机构的性能在很大程度上取决于凸轮曲线的设计。

一般来说，配气机构一方面应该具有良好的换气性能，这可以通过增大从动件升程曲线的时间-面积值（简称时面值）来达到（对从动件而言，升程值即为其位移）；另一方面还应该具有良好的动态性能，即运动平稳，振动噪声小，不产生强烈的冲击磨损等问题，这一般可以通过控制从动件的正负加速度峰值来实现。因此在凸轮曲线设计中，应保证从动件具有较大的时面值、较小的正、负加速度峰值。但是这三者之间往往不能同时达到最优，如时面值增大时，正负加速度峰值也会增大；减小正负加速度峰值时，时面值也会减小。因此只能以这三者为设计目标，寻找出此多目标优化问题的Pareto最优解集。

国内外针对配气凸轮曲线的优化开展过大量研究，如谢宗法通过对高次多项式凸轮的正负加速度峰值与时面值三者关系进行研究，提出了一种通过控制最大速度和最大加速度位置的凸轮曲线优化设计方法。复旦大学的尚汉冀教授指出在同样的最大正负加速度限制下，以等加速凸轮的时面值最大。理论分析表明：对于具有相同正负加速度峰值的任何凸轮曲线，等加速凸轮的时面值最大；在时面值一定的情况下，等加速凸轮的加速度峰值最小。所以在以正负加速度峰值和时面值为目标的配气凸轮优化中，总会存在一条或多条等加速凸轮曲线，它的这三个目标值都比其他任何形式的凸轮曲线要好，由不同等加速凸轮曲线构成的集合就是所要求得的非劣解集（Pareto最优解）。

但上述分析没有考虑对加速度及跃度连续性的约束，而等加速凸轮曲线存在加速度的突变点——此时跃度无穷大，为了控制横越冲击对跃度值往往会有一定限制，所以在实际设计中一般不采用等加速凸轮曲线，只要使凸轮加速度曲线接近等加速曲线，也能得到与之相近的效果。而梯形加速度凸轮曲线与等加速凸轮曲线非常相似，并且加速度曲线连续，如图2所示，因此如果同时考虑加速度的连续性，那么梯形加速度凸轮曲线就成了Pareto最优解。

进一步对梯形加速度凸轮的时面值、正负加速度峰值与各加速度段时长之间的关系进行分析表明：增大正加速度段（包括正加速上升段、平直段以及下降段）的时长，正加速度峰值和时面值均减小，负加速度峰值增大；而在正加速度段时长不变时，增大负加速度段（包括平直段和上升段）的时长，正、负加速度峰值以及时面值均会减小。因此，要提高梯形加速度凸轮的时面值，可以通过减小正加速度段或负加速度段的时长来实现，但这样会造成正加速度峰值或正、负加速度峰值的增大；同理，要减小正、负加速度峰值，可以通过增大正、负加速度段的时长来实现，但这样会使得凸轮的时面值也减小。

但梯形加速度凸轮曲线的跃度是不连续的，而样条曲线可以达到高阶连续并且能够逼近任意形式的凸轮曲线，目前已越来越多的运用到凸轮曲线的优化设计中。

发明内容

有鉴于此，本发明提出一种柔性配气凸轮曲线的设计方法，通过该方法得到的凸轮曲线具有时面值大、正负加速度峰值小的特点，并且具有高阶连续性，可以较好地满足发动机对配气凸轮机构的换气性能和动态性能要求。

所述凸轮曲线通过与凸轮匹配的从动件的位移曲线来表示。该方法直接在与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线上选取N个点作为型值点集，进行5次B样条拟合，得到5次B样条凸轮曲线，所述N为大于等于20的整数；所述梯形加速度凸轮指与所述凸轮匹配的从动件具有梯形加速度曲线的凸轮。

所述与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线获得方法为：

所述从动件的位移曲线包括上升段和下降段，其上升段和下降段的位移曲线设计过程相同，所述从动件上升段位移曲线的设计步骤为：

步骤一：将所述从动件的位移、时间、速度、加速度及跃度表示为无量纲的形式：

设所述从动件的最大升程值为h_max，从动件上升段凸轮所转过的角度为则采用式（1）所示的无量纲化定义：

其中：T为无量纲的时间，S为无量纲的位移，V为无量纲的速度，A为无量纲的加速度，J分别为无量纲的跃度，为从动件上升段任意一时刻凸轮的转角，h为从动件上升段任意一时刻的升程值；

步骤二：确定所述从动件的位移、速度、加速度、时面值与其各加速度段时长的关系

所述梯形加速度曲线包括正加速度上升段、正加速度平直段、正加速度到负加速度过渡段、负加速度平直段及负加速度上升段；设梯形加速度曲线中正加速度峰值为A₁，负加速度峰值为A₂，正加速度上升段的时长为T₁，正加速度平直段的时长为T₂-T₁，正加速度到负加速度过渡段的时长为T₃-T₂，负加速度平直段的时长为T₄-T₃，负加速度上升段的时长为T₅-T₄；其中0＜T₁＜T₂＜T₃＜T₄＜T₅≤1；

首先引入<>算符，其定义如下：

则与梯形加速度凸轮匹配的从动件的加速度A、速度V、位移S、时面值SS为：

$A\left(T\right)=\frac{A_1}{T_1}(<T>-<T-T_1>)+\frac{A_2-A_1}{T_3-T_2}(<{T-T}_2>-<{T-T}_3>)-\frac{A_2}{T_5-T_4}(<{T-T}_4>-<T-T_5>)---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}V\left(T\right)=\&Integral;A\left(T\right)=\frac{A_1}{2T_1}({<T>}^2-{<T-T_1>}^2)+\frac{A_2-A_1}{2(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^2-{<T-T_3>}^2)\\ -\frac{A_2}{2(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^2-{<T-T_5>}^2)+V_0\end{array}---\left(5\right)$

$\begin{array}{c}S\left(T\right)=\&Integral;V\left(T\right)=\frac{A_1}{6T_1}({<T>}^3-{<T-T_1>}^3)+\frac{A_2-A_1}{6(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^3-{<T-T_3>}^3)\\ -\frac{A_2}{6(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^3-{<T-T_5>}^3)+V_{0}T\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{SS}\left(T\right)=\&Integral;S\left(T\right)=\frac{A_1}{24T_1}({<T>}^4-{<1-T_1>}^4)+\frac{A_2-A_1}{24(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^4-{<T-T_3>}^4)\\ -\frac{A_2}{24(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^4-{<T-T_5>}^4)+\frac{V_0}{2}{T}^2\end{array}---\left(7\right)$

其中V₀＝V(0)为从动件上升段的初始速度值；

将所述从动件的位移连续边界条件S(1)＝1及速度的边界条件V(1)＝0分别代入式（5）和式（6），求得该从动件的正加速度峰值A₁和负加速度峰值A₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{V_0{b}_2-(6-{6V}_0)a_2}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\\ A_2=\frac{(6-{6V}_0)a_1-V_0{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1-{(1-T_1)}^2}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}\\ a_2=\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^2-{(1-T_5)}^2}{T_5-T_4}\\ b_1=\frac{1-{(1-T_1)}^3}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^3-{\left({1-T}_3\right)}^3}{T_3-T_2}\\ b_2=\frac{{\left(1-T_2\right)}^3-{\left({1-T}_3\right)}^3}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^3-{\left({1-T}_5\right)}^3}{T_5-T_4}\end{array}\right.---\left(9\right)$

步骤三：确定从动件梯形加速度曲线中各加速度段的时长，得到理想的梯形加速度曲线

依据已知的从动件正、负加速度峰值、时面值及跃度值的设计要求，确定其梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的初始值；具体为：当对从动件加速度峰值要求较高时，在满足时面值及跃度值要求的范围内，尽可能增大正、负加速度段的时长，以减小正、负加速度峰值；当对从动件时面值要求较高时，在满足正、负加速度峰值及跃度值要求的范围内，尽可能减小正、负加速度段的时长，以增大时面值。

梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的初始值确定后，根据式（7）和式（8）式计算出相应的正加速度峰值A₁、负加速度峰值A₂和时面值SS；然后依据设计需求进一步调整T₁～T₅的值，使计算得到的正加速度峰值A₁、负加速度峰值A₂和时面值SS与已知的设计要求相匹配。

将得到的梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的值代入式（6）得到与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线S(T)。

有益效果：

（1）该方法直接在与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线上选取N个点作为型值点集，用5次B样条曲线拟合得到最终的凸轮曲线，这样得到的凸轮曲线具有时面值大、正负加速度峰值小和高阶连续的特点，还便于局部修改；得到协调地满足从动件加速度峰值小和升程时面值大等目标的优化凸轮曲线。

（2）本发明采用5次B样条曲线构造凸轮曲线，可以方便地实现标准的程序化设计。

（3）由于样条曲线可以达到高阶连续并且能够逼近任意形式的凸轮曲线，因此本发明提出的设计方法适用于任何发动机配气凸轮曲线的设计。

附图说明

图1是本发明提出的柔性配气凸轮曲线设计方法流程图；

图2是与梯形加速度凸轮匹配的从动件的加速度曲线图；

图3是与某柴油机配气凸轮匹配的从动件的原始加速度曲线图；

图4是与本发明设计的柔性配气凸轮匹配的从动件的加速度曲线图。

具体实施方式

下面结合附图并举实施例，对发明做进一步的详细说明。

本实施例提供一种柔性配气凸轮曲线的设计方法，通过该方法可以设计得到能够协调地满足发动机配气机构对从动件加速度峰值和升程时面值要求的凸轮曲线。

凸轮曲线通常用从动件（对于发动机配气机构来说指的是气门或挺柱）的位移曲线来表示。发动机气门从开启到闭合的过程中，从动件的加速度是一个从正加速度到负加速度然后又转为正加速度的变化过程，本实施例中只设计其上升段的位移曲线，下降段曲线做类似处理。

所述柔性配气凸轮曲线的设计流程如图1所示，具体为：

步骤一：为了表达的方便，首先将与凸轮匹配的从动件的各运动参数表示为无量纲的形式；设从动件最大升程值为h_max，从动件上升段凸轮所转过的角度为采用如下无量纲化的定义：

其中：T为无量纲的时间，S为无量纲的位移，V为无量纲的速度，A为无量纲的加速度，J分别为无量纲的跃度，为从动件上升段某一时刻凸轮的转角，h为从动件上升段某一时刻的升程值。

步骤二：确定与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移、速度、加速度、时面值与其加速度曲线中各加速度段时长的关系

所述梯形加速度凸轮指与所述凸轮匹配的从动件具有梯形加速度曲线的凸轮。以图2所示的梯形加速度凸轮的从动件的加速度曲线为例，其中A₁、A₂分别为其正、负加速度峰值,T₁为正加速度上升段的时长，T₂-T₁为正加速度平直段的时长，T₃-T₂为由正加速度到负加速度过渡段的时长，T₄-T₃为负加速度平直段的时长，T₅-T₄负加速度上升段的时长。为了描述不连续的线段，引入<>算符，其定义如下：

则与梯形加速度凸轮匹配的从动件的加速度A、速度V、位移S、时面值SS可表示为：

$A\left(T\right)=\frac{A_1}{T_1}(<T>-<T-T_1>)+\frac{A_2-A_1}{T_3-T_2}(<{T-T}_2>-<{T-T}_3>)-\frac{A_2}{T_5-T_4}(<{T-T}_4>-<T-T_5>)---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}V\left(T\right)=\&Integral;A\left(T\right)=\frac{A_1}{2T_1}({<T>}^2-{<T-T_1>}^2)+\frac{A_2-A_1}{2(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^2-{<T-T_3>}^2)\\ -\frac{A_2}{2(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^2-{<T-T_5>}^2)+V_0\end{array}---\left(5\right)$

$\begin{array}{c}S\left(T\right)=\&Integral;V\left(T\right)=\frac{A_1}{6T_1}({<T>}^3-{<T-T_1>}^3)+\frac{A_2-A_1}{6(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^3-{<T-T_3>}^3)\\ -\frac{A_2}{6(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^3-{<T-T_5>}^3)+V_{0}T\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}\mathrm{SS}\left(T\right)=\&Integral;S\left(T\right)=\frac{A_1}{24T_1}({<T>}^4-{<1-T_1>}^4)+\frac{A_2-A_1}{24(T_3-T_2)}({<T-T_2>}^4-{<T-T_3>}^4)\\ -\frac{A_2}{24(T_5-T_4)}({<{T-T}_4>}^4-{<T-T_5>}^4)+\frac{V_0}{2}{T}^2\end{array}---\left(7\right)$

其中V₀＝V(0)为从动件上升过程的初始速度值，在发动机配气凸轮中一般为0.05～0.25。

将所述从动件的位移连续、速度的边界条件：V(1)＝0，S(1)＝1分别代入式（5）和式（6）得到：

$\left\{\begin{array}{c}0=\frac{A_1}{{2T}_1}(1-{\left({1-T}_1\right)}^2)+\frac{A_2-A_1}{2(T_3-T_2)}({(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2)\\ -\frac{A_2}{2(T_5-T_4)}({\left({1-T}_4\right)}^2-{\left({1-T}_5\right)}^2)+V_0\\ 1=\frac{A_1}{{6T}_1}(1-{\left({1-T}_1\right)}^3)+\frac{A_2-A_1}{6(T_3-T_2)}({\left({1-T}_2\right)}^3-{\left({1-T}_3\right)}^3)\\ -\frac{A_2}{6(T_5-T_4)}({\left({1-T}_4\right)}^3-{\left({1-T}_5\right)}^3)+V_0\end{array}\right.$

通过上述方程组求得该从动件的正加速度峰值A₁、负加速度峰值A₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{V_0{b}_2-\left({6-6V}_0\right)a_2}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\\ A_2=\frac{\left({6-6V}_0\right)a_1-V_0{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1-{(1-T_1)}^2}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}\\ a_2=\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^2-{(1-T_5)}^2}{T_5-T_4}\\ b_1=\frac{1-{(1-T_1)}^3}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^3-{\left({1-T}_3\right)}^3}{T_3-T_2}\\ b_2=\frac{{\left(1-T_2\right)}^3-{\left({1-T}_3\right)}^3}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^3-{\left({1-T}_5\right)}^3}{T_5-T_4}\end{array}\right.---\left(9\right)$

步骤三：确定从动件梯形加速度曲线中各加速度段的长度，得到理想的梯形加速度曲线

已知与梯形加速度凸轮匹配的从动件的加速度曲线中，各加速度段时长与其时面值、正负加速度峰值之间的关系为：增大正加速度段（包括正加速上升段、平直段以及下降段）的时长，则正加速度峰值和时面值均减小，负加速度峰值增大；在正加速度段时长不变时，增大负加速度段（包括平直段和上升段）的时长，正、负加速度峰值以及时面值均会减小；且一般要求跃度值小于80。

依据所设计发动机配气机构对从动件加速度峰值、时面值及跃度值大小的具体要求，确定各加速度段长度T₁～T₅的初始值。具体为：当所设计的配气机构对从动件加速度峰值要求较高时，在满足时面值及跃度值要求的范围内，尽可能增大正、负加速度段的时长，以减小正、负加速度峰值；当所设计的配气机构对从动件时面值要求较高时，在满足正、负加速度峰值及跃度值要求的范围内，尽可能减小正、负加速度段的时长，以增大时面值。

各加速度段长度T₁～T₅的初始值确定后，根据式（7）和式（8）式计算出相应的正、负加速度峰值A₁、A₂和时面值SS，依据设计需求进一步调整T₁～T₅的值，便可得到满足发动机配气机构对从动件加速度峰值以及时面值要求的梯形加速度曲线。

步骤四：取型值点集，拟合得到5次B样条凸轮位移曲线

由于梯形加速度凸轮曲线的跃度是不连续的，而样条曲线可以达到高阶连续并且能够逼近任意形式的凸轮曲线。因此本发明从与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线上选取一定数目的型值点，利用5次B样条曲线构拟合造成新的位移曲线，即凸轮曲线，这样既保留梯形加速度凸轮的优点，又使得曲线具有高阶连续性，并且还具有B样条曲线适应性强、便于局部修改的特点，我们称之为柔性凸轮曲线。

对步骤三得到的从动件的加速度曲线进行积分得到该从动件的初始位移曲线S(T)，在初始位移曲线上均匀选取N（N≥20）个点 $Q=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_0& Q_1& ...& Q_{N-1}\end{array}\right]$ 作为型值点集，对其进行5次B样条拟合。设在[T_i,T_i+1](i＝0,1,…,N-1)时间区间上的B样条位移曲线为：

$\left\{\begin{array}{c}{S}_i\left(T\right)=\left[\begin{array}{cccccc}1& u& u^2& u^3& u^4& u^5\end{array}\right]M_{5}d\\ T=T_i+\mathrm{u\&Delta;T}\end{array}\right.(0\&le;u\&le;1,i=\mathrm{0,1},...,N-1)---\left(10\right)$

其中：T_i为型值点Q_i在位移曲线上对应的时间；

$M_5=\frac{1}{120}\left[\begin{array}{cccccc}1& 26& 66& 26& 1& 0\\ -5& -50& 0& 50& 5& 0\\ 10& 20& -60& 20& 10& 0\\ -10& 20& 0& -20& 10& 0\\ 5& -20& 30& -20& 5& 0\\ -1& 5& -10& 10& -5& 0\end{array}\right]$ 为系数矩阵，u为规格化参数变量，

$d={\left[\begin{array}{cccccc}{P}_i& P_{i+1}& P_{i+2}& P_{i+3}& P_{i+4}& P_{i+5}\end{array}\right]}^T$ 为控制点向量，P_i为控制点。

将式(10)所示的B样条位移曲线对T进行求导，得到无量纲的速度和加速度曲线表达式：

$V_i\left(T\right)=\left[\begin{array}{cccccc}0& 1& 2u& {3u}^2& 4u^3& 5u^4\end{array}\right]M_{5}d/\mathrm{\&Delta;T}---\left(12\right)$

$A_i\left(T\right)=\left[\begin{array}{cccccc}0& 0& 2& 6u& 12u^2& 20u^3\end{array}\right]M_{5}d/\mathrm{\&Delta;}{T}^2---\left(13\right)$

令S_i(T)＝Q_i(i＝0,1,…,N-1)，并添加初始点和终点的速度（V₀和V_z）、加速度（A₀和A_z）边界条件：V(0)＝V₀，V(1)＝V_z，A(0)＝A₀，A(1)＝A_z

就可求出控制点集[P₀ P₁ … P_N+3]^T，将其代入表达式（10）中就可得到由N-1段5次B样条曲线组成的凸轮曲线。

实施例：

与某柴油机配气凸轮匹配的从动件的原始加速度曲线如图3所示，其边界条件为

V(0)＝0.17，V(1)＝0.0，A(0)＝0.5，A(1)＝0.0

考虑加速度峰值、时面值与各加速度段长度的关系以及对跃度值的限制（一般要求跃度值小于80），参考原始的加速度曲线的加速度峰值大小以及各加速度段的长度，确定其从动件速度曲线的各段长度为

T₁＝0.09，T₂＝0.3，T₃＝0.45，T₄＝0.84，T₅＝0.92

由式（6）得到其初始位移曲线，然后在该位移曲线上均匀地取20个型值点，运用5次B样条曲线拟合程序拟合得到由19段5次B样条曲线构成的凸轮曲线，进一步由（13）式得到其加速度曲线如图4所示。将原始凸轮曲线与采用本发明设计得到的柔性凸轮曲线的正、负加速度峰值及时面值进行对比如下：

可见采用本发明设计得到的柔性凸轮曲线在正、负加速度峰值及时面值三个目标上都较原始凸轮曲线更优，说明了本发明提出的柔性配气凸轮曲线设计方法的有效性。

综上所述，以上仅为本实用新型的较佳实施例而已，并非用于限定本实用新型的保护范围。凡在本实用新型的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本实用新型的保护范围之内。

Claims (1)

1.一种柔性配气凸轮曲线的设计方法，所述凸轮曲线通过与凸轮匹配的从动件的位移曲线来表示；其特征在于：该方法直接在与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线上选取N个点作为型值点集，进行5次B样条拟合，得到5次B样条凸轮曲线，所述N为大于等于20的整数；所述梯形加速度凸轮指与所述凸轮匹配的从动件具有梯形加速度曲线的凸轮；

所述与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线获得方法为：

所述从动件的位移曲线包括上升段和下降段，其上升段和下降段的位移曲线设计过程相同，所述从动件上升段位移曲线的设计步骤为：

步骤一：将所述从动件的位移、时间、速度、加速度及跃度表示为无量纲的形式：

设所述从动件的最大升程值为h_max，从动件上升段凸轮所转过的角度为则采用式(1)所示的无量纲化定义：

其中：T为无量纲的时间，S为无量纲的位移，V为无量纲的速度，A为无量纲的加速度，J分别为无量纲的跃度，为从动件上升段任意一时刻凸轮的转角，h为从动件上升段任意一时刻的升程值；

步骤二：确定所述从动件的位移、速度、加速度、时面值与其各加速度段时长的关系

所述梯形加速度曲线包括正加速度上升段、正加速度平直段、正加速度到负加速度过渡段、负加速度平直段及负加速度上升段；设梯形加速度曲线中正加速度峰值为A₁，负加速度峰值为A₂，正加速度上升段的时长为T₁，正加速度平直段的时长为T₂-T₁，正加速度到负加速度过渡段的时长为T₃-T₂，负加速度平直段的时长为T₄-T₃，负加速度上升段的时长为T₅-T₄；其中0＜T₁＜T₂＜T₃＜T₄＜T₅≤1；

首先引入<>算符，其定义如下：

则与梯形加速度凸轮匹配的从动件的加速度A、速度V、位移S、时面值SS为：

$A\left(T\right)=\frac{A_1}{T_1}(<T>-<T-T_1>)+\frac{A_2-A_1}{T_3-T_2}(<T-T_2>-<T-T_3>)-\frac{A_2}{T_5-T_4}(<T-T_4>-<T-T_5>)---\left(4\right)$

$\begin{array}{c}V\left(T\right)=\&Integral;A\left(T\right)=\frac{A_1}{2T_1}(<T{>}^2-<T-T_1{>}^2)+\frac{A_2-A_1}{2(T_3-T_2)}(<T-T_2{>}^2-<T-T_3{>}^2)\\ -\frac{A_2}{2\left(T_5-T_4\right)}\left(<T-T_4{>}^2-<T-T_5{>}^2\right)+V_0\end{array}---\left(5\right)$

$\begin{array}{c}S\left(T\right)=\&Integral;V\left(T\right)=\frac{A_1}{6T_1}(<T{>}^3-<T-T_1{>}^3)+\frac{A_2-A_1}{6(T_3-T_2)}(<T-T_2{>}^3-<T-T_3{>}^3)\\ -\frac{A_2}{6\left(T_5-T_4\right)}\left(<T-T_4{>}^3-<T-T_5{>}^3\right)+V_{0}T\end{array}---\left(6\right)$

$\begin{array}{c}SS\left(T\right)=\&Integral;S\left(T\right)=\frac{A_1}{24T_1}\left(<T{>}^4-<1-T_1{>}^4\right)+\frac{A_2-A_1}{24\left(T_3-T_2\right)}\left(<T-T_2{>}^4-<T-T_3{>}^4\right)\\ -\frac{A_2}{24\left(T_5-T_4\right)}\left(<T-T_4{>}^4-<T-T_5{>}^4\right)+\frac{V_0}{2}{T}^2\end{array}---\left(7\right)$

其中V₀＝V(0)为从动件上升段的初始速度值；

将所述从动件的位移连续边界条件S(1)＝1及速度的边界条件V(1)＝0分别代入式(5)和式(6)，求得该从动件的正加速度峰值A₁和负加速度峰值A₂分别为：

$\left\{\begin{array}{c}{A}_1=\frac{V_0{b}_2-\left(6-6V_0\right)a_2}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\\ A_2=\frac{\left(6-6V_0\right)a_1-V_0{b}_1}{a_1{b}_2-a_2{b}_1}\end{array}\right.---\left(8\right)$

其中：

$\left\{\begin{array}{c}{a}_1=\frac{1-{(1-T_1)}^2}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}\\ a_2=\frac{{(1-T_2)}^2-{(1-T_3)}^2}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^2-{(1-T_5)}^2}{T_5-T_4}\\ b_1=\frac{1-{(1-T_1)}^3}{T_1}-\frac{{(1-T_2)}^3-{(1-T_3)}^3}{T_3-T_2}\\ b_2=\frac{{(1-T_2)}^3-{(1-T_3)}^3}{T_3-T_2}-\frac{{(1-T_4)}^3-{(1-T_5)}^3}{T_5-T_4}\end{array}\right.---\left(9\right)$

步骤三：确定从动件梯形加速度曲线中各加速度段的时长，得到理想的梯形加速度曲线

依据已知的从动件正、负加速度峰值、时面值及跃度值的设计要求，确定其梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的初始值；具体为：当对从动件加速度峰值要求较高时，在满足时面值及跃度值要求的范围内，尽可能增大正、负加速度段的时长，以减小正、负加速度峰值；当对从动件时面值要求较高时，在满足正、负加速度峰值及跃度值要求的范围内，尽可能减小正、负加速度段的时长，以增大时面值；

梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的初始值确定后，根据式(7)和式(8)式计算出相应的正加速度峰值A₁、负加速度峰值A₂和时面值SS；然后依据设计需求进一步调整T₁～T₅的值，使计算得到的正加速度峰值A₁、负加速度峰值A₂和时面值SS与已知的设计要求相匹配；

将得到的梯形加速度曲线中时间节点T₁～T₅的值代入式(6)得到与梯形加速度凸轮匹配的从动件的位移曲线S(T)。