CN107763173B - 一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法 - Google Patents

一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，应用于齿轮传动系统动力学优化设计领域，针对目前如何高精度、高效率的求取斜齿轮时变啮合刚度的问题，本发明通过建立有限元模型分析弹性变形，结合ISO方法计算齿轮单齿啮合刚度，进而得到斜齿轮啮合刚度，本发明方法不限制螺旋角、齿宽取值范围，可以高精度计算斜齿轮时变啮合刚度，为完善齿轮动力学理论和应用，齿轮减振、降噪及齿轮修形等方面提供参考。

Description

一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法
技术领域
本发明属于齿轮传动系统动力学分析领域，特别涉及一种斜齿轮时变啮合刚度计算方法。
背景技术
斜齿轮具有传动比稳定、结构紧凑、传动稳定以及传动效率高的特点，因此斜齿轮被广泛应用于各种工业机械设备中，如飞机、潜艇、汽车、收割机器等。齿轮传动系统是弹性的机械系统，依靠外部激励产生动态响应。然而，对齿轮传动系统的研究首要问题是如何解决齿轮的动态激励的基本原理，确定动态激励类型和性质。其中，由齿轮时变啮合刚度产生的动态激励是齿轮传动系统中最为重要的激励，是研究齿轮故障机理的重要参数，也是动载系数的主要基础参数。但是，如何高精度、高效率的求取斜齿轮时变啮合刚度还有待解决。
发明内容
为解决上述技术问题，本申请提出一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，通过建立有限元模型分析齿轮弹性变性，在此基础上计算齿轮单对轮齿啮合刚度，进而得到斜齿轮啮合刚度。
本发明采用的技术方案为：一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，包括：
S1、分别计算一对啮合斜齿轮主动轮和从动轮的渐开线长度；
S2、根据主动轮和从动轮的渐开线长度及渐开线划分份数，分别计算各自沿齿宽方向网格划分份数；
S3、对主动轮和从动轮进行平面网格划分，根据步骤S2得到的主动轮和从动轮各自沿齿宽方向网格划分份数，沿齿宽方向进行映射，分别建立主动轮和从动轮有限元模型；
S4、根据步骤S3建立的主动轮和从动轮有限元模型，依次沿着主动轮和从动轮接触线位置对节点进行加载，分别计算主动轮和从动轮沿接触线上的载荷；
S5、根据接触变形公式，以及步骤S4计算得到的主动轮和从动轮沿接触线上的载荷，分别计算主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形；
S6、添加边界条件后求解，分别对主动轮和从动轮依次提取在各个接触线处接触点的法向变形；
S7、根据步骤S5计算得到的主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形、以及步骤S6 得到的接触点的法向变形，分别计算主动轮和从动轮在啮合线上的法向弹性变形；
S8、根据步骤S7计算得到的主动轮和从动轮在啮合线上的法向弹性变形，结合ISO齿轮啮合刚度计算公式，计算主动轮和从动轮的单齿刚度；
S9、基于弹性力学对齿轮啮合刚度进行分析，得到单对轮齿啮合刚度与主动轮和从动轮单齿刚度的关系式；根据步骤S8得到的主动轮和从动轮的单齿刚度，得到这一对斜齿轮啮合刚度。
进一步地，步骤S1所述计算主动轮渐开线长度具体为：
Figure BDA0001477524900000021
Figure BDA0001477524900000022
Figure BDA0001477524900000023
式中，为主动轮发生线长度，ra1为主动轮齿顶圆半径，rb1为主动轮基圆半径，s1为主动轮渐开线长度，rf1为主动轮齿根圆半径，O为主动轮圆心，B1为主动轮基圆上一点，
Figure BDA0001477524900000025
步骤S1所述计算从动轮渐开线长度具体为：
Figure BDA0001477524900000027
Figure BDA0001477524900000028
式中，
Figure BDA0001477524900000029
为从动轮发生线长度，ra2为从动轮齿顶圆半径，rb2为从动轮基圆半径，s2为从动轮渐开线长度，rf2为从动轮齿根圆半径，O为从动圆圆心，B2为从动轮齿根圆上一点，
Figure BDA00014775249000000210
进一步地，所述步骤S2具体为：
S21：确定渐开线的划分等份数；
S22：计算斜齿轮沿齿宽方向齿廓长度；
S23：根据步骤S21确定的渐开线的划分等分数，以及步骤S22的斜齿轮沿齿宽方向齿廓长度，计算单对斜齿轮沿齿宽方向的等分数；
进一步地，步骤S3具体为：
S31、分别建立主动轮和从动轮的三维模型；
S32、分别划分主动轮和从动轮平面网格；
S33、沿着齿宽方向将主动轮和从动轮平面网格模型，按照步骤S2计算的划分份数进行映射。
进一步地，步骤S4具体为：根据转矩公式计算出主动轮转矩，然后根据下式计算主动轮沿接触线上的载荷：
Figure BDA0001477524900000031
T1＝F1×R1
式中，n1表示主动轴转速，P表示主动轴功率，T1表示主动轮的转矩，F1表示主动轮沿接触线上的载荷，R1表示主动轮圆心到接触线处的长度；
根据传动比计算从动轮转矩，根据下式计算从动轮沿接触线上的载荷：
T2＝T1×z2/z1＝F2×R2
式中，z2表示从动轮的齿数，z1表示主动轮的齿数，F2表示从动轮沿接触线上的载荷， R2表示从动轮圆心到接触线处的长度。
进一步地，步骤S6所述提取各个接触线处接触点的法向变形具体为：所述法向变形为剪切变形与弯曲变形之和。
进一步地，步骤S7所述主动轮和从动轮在啮合线上的法向弹性变形，具体为：
所述主动轮在啮合线上的法向弹性变形为主动轮在啮合位置的接触变形与对应接触线处接触点的法向变形之和。
所述从动轮在啮合线上的法向弹性变形为从动轮在啮合位置的接触变形与应接触线处接触点的法向变形之和；
进一步地，步骤S8所述计算单对斜齿轮单齿刚度具体为；
A1、确定单对轮齿啮合周期；
A2、确定斜齿轮啮合周期；
A3、根据给定工况计算载荷；
A4、计算主动轮和从动轮单对轮齿啮合刚度；
A5、根据步骤A4得到的单齿对轮齿啮合刚度计算齿轮啮合刚度。
更进一步地，步骤A5所述计算齿轮啮合刚度计算式为：
Figure BDA0001477524900000041
式中，ki(t)为t时刻第i对轮齿啮合刚度大小。
本发明的有益效果：本发明的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，通过建立有限元模型分析啮合齿轮的弹性变形，在此基础上计算齿轮单对轮齿啮合刚度，进而得到斜齿轮啮合刚度，本发明方法不限制螺旋角、齿宽取值范围，计算斜齿轮时变啮合刚度。本发明可为完善齿轮动力学理论和应用，齿轮减振、降噪及齿轮修形等方面提供参考。
附图说明
图1为本发明实施例提供的方案流程图；
图2为本发明实施例提供的齿轮渐开线示意图；
其中，图2(a)为主动轮渐开线示意图；图2(b)为从动轮渐开线示意图；
图3为本发明实施例提供的沿齿轮渐开线加载示意图；
图4为本发明方法计算得到的斜齿轮单齿啮合刚度曲线；
图5为本发明方法计算得到斜齿轮啮合刚度曲线。
具体实施方式
为便于本领域技术人员理解本发明的技术内容，下面结合附图对本发明内容进一步阐释。
如图1所示为本发明的方案流程图，本发明的技术方案为：一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，包括：
S1、分别计算一对啮合齿轮主动轮和从动轮的渐开线长度；具体计算过程如下：
Figure BDA0001477524900000051
θk＝(tanαk-αk) (2)
式中，rb为基圆半径；θk为渐开线上k点处展角，rk为圆心到渐开线上k点的距离，αk为渐开线上的压力角；s为齿轮渐开线长度。
由渐开线的计算过程，如图1所示可以得出主动轮渐开线长度：
Figure BDA0001477524900000052
Figure BDA0001477524900000053
Figure BDA0001477524900000054
将式(4)、(5)的计算结果代入公式(1)得到主动轮渐开线长度为s1＝21.7683。
rb2＝861.2469＜rf2 (6)
Figure BDA0001477524900000055
Figure BDA0001477524900000056
将式(7)、(8)的计算结果代入公式(1)得从动轮渐开线长度为：
Figure BDA0001477524900000057
如图2所示，为主动轮发生线长度，为主动轮圆心到基圆上B1点距离，
Figure BDA00014775249000000510
为从动轮发生线长度，
Figure BDA00014775249000000511
为主动轮圆心到渐开线终止点K1的距离，
Figure BDA00014775249000000512
为从动轮圆心到齿根圆上B2点距离，ra1为主动轮齿顶圆半径，rb1为主动轮基圆半径，s1为主动轮渐开线长度，ra2为从动轮齿顶圆半径，rb2为从动轮基圆半径，s2为从动轮渐开线长度，rf2为从动轮齿根圆半径。
S2、根据主动轮和从动轮的渐开线长度，分别计算主动轮和从动轮沿齿宽方向网格划分份数；具体为：
S21：确定渐开线的划分等分数；本发明实施例中将主动轮和从动轮的渐开线长度均等分30份处理；
S22：计算斜齿轮沿齿宽方向齿廓长度；根据主动轮和从动轮的齿宽b和螺旋角β，根据公式
Figure BDA0001477524900000061
计算得到主动轮和从动轮的齿廓宽度；
S23：根据步骤S21确定的渐开线的划分等份数，以及步骤S22的啮合齿轮沿齿宽方向齿廓长度，计算主动轮和从动轮沿齿宽方向的等份数；即，主动轮沿齿宽方向的等份数为：
Figure BDA0001477524900000062
从动轮沿齿宽方向的等份数为：
Figure BDA0001477524900000063
S3、对主动轮和从动轮进行平面划分，根据步骤S2得到的主动轮和从动轮各自沿齿宽方向网格划分份数，沿齿宽方向进行映射，分别建立主动轮和从动轮有限元模型；步骤S3具体为：
S31、分别建立主动轮和从动轮的三维模型；由表1齿轮参数建立主动轮和从动轮三维模型，表2为齿轮材料特性；
表1齿轮参数
Figure BDA0001477524900000064
表2齿轮材料特性
材料 弹性模量 泊松比 密度
45<sup>#</sup>钢 206Gpa 0.3 7800kg/m<sup>3</sup>
S32、分别划分主动轮和从动轮平面网格模型；以主动轮为例，将主动轮平面等分z1 (主动轮齿数)等份，将其中一个齿面按照映射网格划分要求分成6份(对齿面的划分遵循每一份均为四边形，且划分份数尽可能少)并进行映射网格划分，相邻一个为加载区域的轮齿的渐开线进行加密，然后将非加载的轮齿在柱坐标系下沿着逆时针复制z1-1等份，最后得到划分斜齿轮平面网格模型；
S33、沿着齿宽方向将主动轮和从动轮各自平面网格模型，按照步骤S2计算的划分份数进行映射，得到齿轮三维网格划分模型。
S4、根据步骤S3建立的主动轮和从动轮有限元模型，依次沿着主动轮和从动轮接触线位置对节点进行加载，计算得到主动轮和从动轮各自沿接触线上的载荷；具体为：
根据主动轴转速n1＝350r/min，P＝300KW，结合转矩公式计算出主动轮转矩T1，然后根据下式计算主动轮沿接触线上的载荷F1：
Figure BDA0001477524900000071
T1＝F1×R1 (13)
式中，T1表示主动轮的转矩，F1表示主动轮沿接触线上的载荷，R1表示主动轮圆心到接触线处的长度；
根据传动比计算从动轮转矩，根据下式计算从动轮沿接触线上的载荷：
T2＝T1×z2/z1＝F2×R2 (14)
式中，z2表示从动轮的齿数，z1表示主动轮的齿数，F2表示从动轮沿接触线上的载荷， R2表示从动轮圆心到接触线处的长度。
S5、根据接触变形公式，以及步骤S4计算得到的主动轮和从动轮各自沿接触线上的载荷，计算主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形；
主动轮在各啮合位置的接触变形计算式为:
Figure BDA0001477524900000081
式中，l为主动轮和从动轮接触线的长度；P1为主动轮沿接触线上的载荷；R1和R2分别为主动轮和从动轮在接触点的法向曲率半径；
Figure BDA0001477524900000082
式中，E1和E2为两齿轮材料的弹性模量，v1和v2为两齿轮材料的泊松比；
从动轮在各啮合位置的接触变形计算式为：
Figure BDA0001477524900000083
S6、添加边界条件后求解，分别对主动轮和从动轮依次提取在各个接触线处接触点的法向变形δ有限元；
δ有限元＝δ剪切+δ弯曲 (18)
式中，δ剪切为剪切变形，δ弯曲为弯曲变形；
S7、根据步骤S5计算得到的主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形、以及步骤S6 得到的主动轮和从动轮在接触线处接触点的法向变形，计算主动轮和从动轮各自在啮合线上的法向弹性变形；具体为：
主动轮在啮合线上的法向弹性变形δ1为主动轮在啮合位置的接触变形δc1与对应接触线处接触点的法向变形δ有限元之和。
从动轮在啮合线上的法向弹性变形δ2为从动轮在啮合位置的接触变形δc2与对应接触线处接触点的法向变形δ有限元之和；
S8、根据步骤S7计算得到的主动轮和从动轮各自在啮合线上的法向弹性变形，结合 ISO齿轮啮合刚度计算公式，计算主动轮和从动轮各自的单齿刚度及啮合刚度；计算得到的斜齿轮单齿啮合刚度曲线如图4所示；
A1、确定单对轮齿啮合周期；
Figure BDA0001477524900000084
式中εa为斜齿轮重合度，重合度：实际啮合线段与轮齿法向齿距之比为重合度，它反应了一对齿轮同时啮合的平均齿数对的多少。n为主动轮输入转速，z1为主动轮齿数。
A2、确定一对斜齿轮啮合周期；
A3、根据给定工况计算载荷；
A4、计算主动轮和从动轮单齿啮合刚度；
A5、根据步骤A4得到的单齿啮合刚度计算齿轮啮合刚度：
Figure BDA0001477524900000092
式中，ki(t)为t时刻第i对轮齿啮合刚度大小。
本发明实施例的单齿啮合刚度曲线如图3所示为。
S9、基于弹性力学对齿轮啮合刚度进行分析，得到单对轮齿啮合刚度与单齿刚度的关系式；根据步骤S8得到的主动轮和从动轮的单齿刚度，计算齿轮啮合刚度。
基于弹性力学对齿轮啮合刚度进行分析，齿轮啮合刚度可由式(25)计算得到。
Figure BDA0001477524900000093
δ＝δ1+δ2 (23)
Figure BDA0001477524900000095
δ1和δ2分别为啮合区中主动轮和从动轮在啮合线上的法向弹性变形，Fn B为沿B点接触线时的法向载荷，kf为单齿啮合刚度，kf1、kf2分别为单齿啮合时主动轮和从动轮的单齿刚度；
由公式(24-25))可以得到斜齿轮任意时间齿轮啮合刚度与单对轮齿啮合刚度的关系；
Figure BDA0001477524900000096
Figure BDA0001477524900000101
式中，k1(t)为t时刻一对齿的单齿啮合刚度，k11(t)为t时刻主动齿轮的单齿刚度，k12(t)为t 时刻从动齿轮的单齿刚度，ki(t)为t时刻第i对轮齿啮合刚度，k(t)为斜齿轮t时刻啮合刚度。
结合公式(29)计算斜齿轮单对轮齿啮合刚度，在此基础上计算斜齿轮啮合刚度。将啮合的齿对编号，i＝1，2，…，第一对齿对开始啮入的时刻记为零时刻。从t＝0时刻开始，经过时间Tz，下一对齿开始啮合；第一对齿轮经过啮合时间εaTz后，结束啮合，再经过时间Tz，下一对齿轮结束啮合，因此有：
k(t+N×t)＝k(t)(N为任意整数) (28)
由于重合度εa＞1，并且为任意值时，设第i对轮齿啮合刚度为kn(t)，因此，斜齿轮啮合刚度为：
Figure BDA0001477524900000102
式中m为对重合度取整后数值：
m＝int(εa-1) (30)
本发明实施例得到的斜齿轮啮合刚度如图5所示；如表3所示为本发明方法与ISO(GB1356-87)标准法以及Y.Cai方法所计算得到的斜齿轮单对轮齿啮合刚度、斜齿轮啮合刚度结果对比；证明本发明的有限元方法斜齿轮啮合刚度与ISO方法啮合刚度吻合，并且本发明方法不限制螺旋角、齿宽取值范围，高精度的计算斜齿轮时变啮合刚度。
表3为斜齿轮啮合刚度
Figure 1
本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。对于本领域的技术人员来说，本发明可以有各种更改和变化。凡在本发明的精神和原则之内，所作的任何修改、等同替换、改进等，均应包含在本发明的权利要求范围之内。

Claims (9)

1.一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，包括：
S1、分别计算一对啮合斜齿轮主动轮和从动轮的渐开线长度；
S2、根据主动轮和从动轮各自的渐开线长度及渐开线划分份数，计算其各自沿齿宽方向网格划分份数；
S3、对主动轮和从动轮进行平面划分，根据步骤S2得到的主动轮和从动轮各自沿齿宽方向网格划分份数，将主动轮和从动轮各自沿齿宽方向进行映射，分别建立主动轮和从动轮的有限元模型；
S4、根据步骤S3建立的主动轮和从动轮有限元模型，依次沿着主动轮和从动轮接触线位置对节点进行加载，分别计算主动轮和从动轮沿接触线上的载荷；
S5、根据接触变形公式，以及步骤S4计算得到的主动轮和从动轮各自沿接触线上的载荷，计算主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形；
S6、添加边界条件后求解，分别对主动轮和从动轮依次提取在各个接触线处接触点的法向变形；
S7、根据步骤S5计算得到的主动轮和从动轮在各啮合位置的接触变形、以及步骤S6得到的主动轮和从动轮在接触线处接触点的法向变形，计算主动轮和从动轮各自在啮合线上的法向弹性变形；
S8、根据步骤S7计算得到的主动轮和从动轮各自在啮合线上的法向弹性变形，结合ISO齿轮啮合刚度计算公式，计算主动轮和从动轮各自的单齿刚度；
S9、基于弹性力学对齿轮啮合刚度进行分析，得到单对轮齿啮合刚度与主动轮和从动轮单齿刚度的关系式；根据步骤S8得到的主动轮和从动轮各自的单齿刚度，计算主动轮和从动轮齿轮啮合刚度。
2.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤S1所述计算主动轮渐开线长度具体为：
Figure FDA0002220263980000011
Figure FDA0002220263980000012
式中，
Figure FDA0002220263980000021
为主动轮发生线长度，O为从动圆圆心，B1为从动轮基圆上一点，ra1为主动轮齿顶圆半径，rb1为主动轮基圆半径，s1为主动轮渐开线长度，rf1为主动轮齿根圆半径；
步骤S1所述计算从动轮渐开线长度具体为：
Figure FDA0002220263980000023
Figure FDA0002220263980000025
式中，
Figure FDA0002220263980000026
为从动轮发生线长度，ra2为从动轮顶圆半径，rb2为从动轮基圆半径，s2为从动轮渐开线长度，rf2为从动轮齿根圆半径，O为从动圆圆心，B2为从动轮齿根圆上一点，
3.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，所述步骤S2具体为：
S21：确定渐开线的划分等份数；
S22：计算一对啮合斜齿轮沿齿宽方向齿廓长度；
S23：根据步骤S21确定的渐开线的划分等份数，以及步骤S22的斜齿轮沿齿宽方向齿廓长度，分别计算主动轮和从动轮沿齿宽方向的等份数。
4.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤S3具体为：
S31、建立一对啮合斜齿轮主动轮和从动轮的三维模型；
S32、分别划分主动轮和从动轮平面网格；
S33、沿着齿宽方向将主动轮和从动轮各自平面网格模型按照步骤S2计算的划分份数进行映射。
5.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤S4具体为：根据转矩公式计算出主动轮转矩，然后根据下式计算主动轮沿接触线上的载荷：
Figure FDA0002220263980000031
T1＝F1×R1
式中，n1表示主动轴转速，P表示主动轴功率，T1表示主动轮的转矩，F1表示主动轮沿接触线上的载荷，R1表示主动轮圆心到接触线处的长度；
根据传动比计算从动轮转矩，根据下式计算从动轮沿接触线上的载荷：
T2＝T1×z2/z1＝F2×R2
式中，z2表示从动轮的齿数，z1表示主动轮的齿数，F2表示从动轮沿接触线上的载荷，R2表示从动轮圆心到接触线处的长度。
6.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤S6所述提取各个接触线处接触点的法向变形具体为：所述法向变形为剪切变形与弯曲变形之和。
7.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤S7所述计算一对啮合斜齿轮各自在啮合线上的法向弹性变形，具体为：
所述主动轮在啮合线上的法向弹性变形为主动轮在啮合位置的接触变形与对应接触线处接触点的法向变形之和；
所述从动轮在啮合线上的法向弹性变形为从动轮在啮合位置的接触变形与对应接触线处接触点的法向变形之和。
8.根据权利要求1所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，还包括根据步骤S8所述主动轮和从动轮各自的单齿刚度，计算齿轮啮合刚度，具体为；
A1、确定单对轮齿啮合周期；
A2、确定一对斜齿轮啮合周期；
A3、根据给定工况计算载荷；
A4、计算一对斜齿轮单对轮齿啮合刚度；
A5、根据步骤A4得到的单对轮齿啮合刚度计算齿轮啮合刚度。
9.根据权利要求8所述的一种基于有限元分析的斜齿轮时变啮合刚度计算方法，其特征在于，步骤A5所述计算齿轮啮合刚度计算式为：
式中，ki(t)为t时刻第i对轮齿啮合刚度大小。
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