CN105181327A - 一种裂纹轮齿啮合刚度计算的方法 - Google Patents

Abstract

一种裂纹轮齿啮合刚度计算的方法，利用SolidWorks建立精确的齿轮模型，再利用有限元求解裂纹轮齿的应力分布。沿着轮齿的应力分布较大的区域画出曲线，以曲线为边界，定义轮齿出现裂纹时的有效厚度。将新方法定义的有效厚度加入到裂纹轮齿啮合刚度的计算中，并整合故障及无故障轮齿的刚度，求解整个啮合周期的刚度变化图形。本方法用曲线定义轮齿对有效厚度，替代了应用广泛的直线。对比直线方法下计算的啮合刚度，本方法显示了更高的精度，证明了本方法计算啮合刚度时的准确性。

Description

一种裂纹轮齿啮合刚度计算的方法

技术领域

本发明涉及一种裂纹轮齿啮合刚度计算新方法，特别是一种结合有限元的，计算裂纹轮齿时变啮合刚度精确高效的方法。

背景技术

直齿圆柱齿轮作为机械传动中是一个非常重要的部件，广泛应用于各种机械中。然而在啮合过程中轮齿啮合点处的压力角不断地变化，参与啮合的齿数不恒定，导致轮齿的啮合刚度不断地变化，再加上由于生产设备和技术水平产生的制造误差，这就引起了轮齿啮合时的振动、冲击，和噪声，如果有裂纹出现，振动会更加明显。基于此，国内外学者致力于更加准确的计算轮齿啮合的刚度，使其更接近实际的啮合情况，这样可以使轮齿动力学建模更加真实可信，有助于对生产设备进行基于振动的信号检测与故障诊断。所以必须要深入研究齿轮的啮合刚度，找出最接近实际的啮合刚度的计算方法。

现在学者研究轮齿啮合刚度的变化主要有数值计算法，实验法和有限元法。能量法速度快但精度不高，实验法较准确但需要大量的时间和较好的实验条件。基于Ansys的有限元法较为普遍和接近实际，但也需要相对较长的时间。基于此，现有学者计算啮合刚度的思路为：提高和改进能量法，并与Ansys得到的仿真结果相对比，找到一种与Ansys计算误差最小的方法。当轮齿齿根出现裂纹时，普遍的计算有效齿轮厚度的方法为，用一根起始于裂纹根部平行于轮齿中线的一条直线，可以称之为‘直线影响线’；而当这种直线方法计算的啮合刚度与有限元对比时，出现了比较大的误差；鉴于此，利用有限元法观察轮齿根部出现裂纹时，观察轮齿应力的分布情况，以应力较大的区域部分为边界划线，进而计算轮齿的有效厚度，此时画出的线可以称之为‘曲线影响线’。根据新的计算轮齿的有效厚度的方法，采用能量法推导出新的轮齿时变啮合刚度。本方法对故障诊断及轮齿故障机理的研究有重要意义。

发明内容

本发明为了高效率的求解准确的裂纹齿轮副时变啮合刚度，提出了一种修正能量法的裂纹齿轮啮合刚度计算新方法，采用此方法计算裂纹齿轮时变啮合刚度计算高效，并且保证了啮合刚度的准确性。

为实现上述目的，本发明的技术方案如下：

一种裂纹轮齿啮合刚度计算的方法，该方法包括以下具体步骤：

1)求解裂纹轮齿的应力分布情况：

利用SolidWorks建立裂纹轮齿单齿模型并导入Ansys中。模拟轮齿啮合实际情况，求解裂纹轮齿的应力分布。

2)计算轮齿有效厚度

以应力较大的分布区域为边界，画出裂纹影响曲线，计算曲线裂纹影响方程。

3)裂纹轮齿故障部位的啮合刚度计算：

在数学模型中加入用Ansys求解的轮齿有效厚度曲线方程，根据弹性力学原理将有效厚度曲线的影响加入到啮合杆刚度的计算中。

4)裂纹齿轮完整啮合刚度计算：

整合基于有限元及能量法计算的裂纹轮齿的啮合刚度，和能量法计算的无故障轮齿的啮合刚度，根据轮齿几何参数及角度变化即可得出裂纹齿轮随着角度变化的时变啮合刚度。

所述步骤1)中，有限元法求解裂纹轮齿的应力分布情况：用Solidworks软件建立轮齿单齿模型，通过拉伸切除在轮齿根部建立裂纹，进而将模型导入到Ansys中。采用静力学分析，在材料选项里选择结构钢，密度为7850kg/m³，将齿轮内圈以施加固定约束的方式模拟轮齿和轴的配合。通过在啮合线方向施加啮合力模拟真实的啮合情况。进而划分网格，求解轮齿的应力分布情况。

所述步骤2)中，以应力较大的分布区域为边界，画出裂纹影响曲线，称之为‘曲线影响线’。根据抛物线的基本方程及抛物线的形状和位置，即可解出抛物线的实际方程。

所述步骤3)中，裂纹轮齿故障部位的啮合刚度计算：

由轮齿的啮合力F_m产生的弯矩，剪切力和压缩力会使轮齿产生赫兹能、径向压缩势能，剪切势能和弯曲势能，分别表示为U_h、U_a，U_s和U_b，通过势能和刚度的关系，就可以求得新的裂纹轮齿啮合刚度，考虑轮齿的基体刚度，利用轮齿的势能与刚度的关系，即可推导出各势能对应各刚度的积分公式，求解积分就可以求解出正常齿轮的总体啮合刚度。具体方法如下：

$U_b=\frac{{F_m}^2}{2k_b}={\∫}_0^d\frac{{\[F_b(d-x)+M\]}^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx$

$U_s=\frac{{F_m}^2}{2k_s}={\∫}_0^d\frac{1.2{F_b}^2}{2{\mathrm{GA}}_x}dx$

$U_a=\frac{{F_m}^2}{2k_a}={\∫}_0^d\frac{{F_a}^2}{2{\mathrm{EA}}_x}dx$

改变正常啮合刚度中的由于裂纹产生变化的参数，即可得到裂纹轮齿故障部位的啮合刚度。

所述步骤4)中，裂纹齿轮完整啮合刚度计算：

根据推导的正常及受裂纹影响的啮合刚度，将啮合刚度与轮齿的旋转角度一一对应，整合出一个啮合周期的整体刚度图形。

本发明的有益效果是：利用有限元应力分析方法，得到应力分布图，提出了裂纹曲线影响线来计算轮齿的有效厚度，进而求解出更加精确的啮合刚度，相对于普遍应用的直线影响线更加精确。整合裂纹部分和正常部分的啮合刚度，既可以求得更加准确的一个旋转周期内整体的啮合刚度。该方法为精确求解齿轮时变啮合刚度提供了及其有重要的方法，为齿轮故障机理和故障诊断中的动力学建模提供了更加可靠的理论基础。

附图说明

图1是本发明的工作流程图；

图2是本发明画出的不同裂纹深度裂纹直线和曲线影响线示意图；

图3是啮合刚度求解时各个参数示意图

图4是本发明利用曲线影响线和Ansys计算的不同裂纹深度啮合刚度结果的比较；

图5是本发明利用直线影响线和Ansys计算的不同裂纹深度啮合刚度结果的比较；

图6是本发明整合的曲线影响线下一个转动周期的啮合刚度图形；

具体实施方式

下面具体结合附图与实例对本发明作进一步的说明。

如图1所示，是本发明的一种裂纹齿轮啮合刚度计算新方法的工作流程图。具体实施过程如下：

(1)利用SolidWorks建立裂纹轮齿单齿模型并导入Ansys中。模拟轮齿啮合实际情况，求解裂纹轮齿的应力分布：为减小工作量，采用SolidWorks齿轮插件Geartrax2013来自动生成高精度齿轮，然后对齿轮进行裁切，只保留一个齿，并且在齿轮根部设置与轮齿中线成70度的裂纹，转换格式，导入到Ansys中；划分网格，使小齿轮内圈固定，并施加模拟啮合力F，求解轮齿的应力分布情况。

(2)以应力较大的分布区域为边界，画出裂纹影响曲线，根据应力分布情况画出求解后的抛物线。根据抛物线的基本方程及抛物线的形状和位置，即可解除抛物线的实际方程：

将齿轮模型在Solidworks中分别量出裂纹根部的坐标设为A(x_A,y_A)，轮齿顶点的坐标设为K(x_K,y_K)，现在来确定B点的坐标:

从轮齿顶点引一条平行于轮齿中线的直线L，且L为于应力区域的左边，从左到又移动L。当L到达L’位置时，L’便与应力边缘产生一个交点，这个交点便是B(x_B,y_B)，坐标具体数值可由Solidworks直接测量。

设从A到K的方程为:

h_x＝ax²+bx+c

这里的h_x代表轮齿由于裂纹存在，在啮合刚度计算中的有效厚度；字母a，b和c代表求解抛物线时的未知常数项。则将A(x_A,y_A)，B(x_B,y_B)和K(x_K,y_K)三点坐标代入h_x即可求出曲线的方程。图2画出了不同深度的曲线裂纹影响线示意图。

(3)考虑到组成轮齿整体啮合刚度的有弯曲(k_b)、剪切(k_s)，径向压缩(k_a)和赫兹刚度(k_h)，它们与各自对应的势能有如下关系式：

$U_b=\frac{{F_m}^2}{2k_b}={\∫}_0^d\frac{{\[F_b(d-x)+M\]}^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx$

$U_s=\frac{{F_m}^2}{2k_s}={\∫}_0^d\frac{1.2{F_b}^2}{2{\mathrm{GA}}_x}dx$

$U_a=\frac{{F_m}^2}{2k_a}={\∫}_0^d\frac{{F_a}^2}{2{\mathrm{EA}}_x}dx$

如图3所示，F_b为啮合力的竖直分量，F_a为啮合力的水平分量，d为啮合点到齿根的距离，M为F_a产生的弯矩，A_x为轮齿横截面积，I_x为轮齿的惯性矩。根据齿轮运转原理与齿廓的几何尺寸，考虑裂纹对轮齿各个部分刚度的影响，采用数学积分可以得到各个刚度的表达式：

$\frac{1}{k_b}={\∫}_{-a_1}^{a_2}\frac{12{\{1+{\mathrm{cosa}}_1\[(a_2-a)\sin a-\cos a\]\}}^2(a2-a)\cos a}{EL{\[{\mathrm{ax}}^2+bx+c+\sin a+(a_2-a)\cos a\]}^3}da$

$\frac{1}{k_s}={\∫}_{-a_1}^{a_2}\frac{2.4(1+v)(a_2-a){\mathrm{cosacos}}^2{a}_1}{EL\[{\mathrm{ax}}^2+bx+c+\sin a+(a_2-a)\cos a\]}da$

$\frac{1}{k_s}={\∫}_{-a_1}^{a_2}\frac{\left(a_2-a\right){\mathrm{cosasin}}^2{a}_1}{2EL\[\sin a+\left(a_2-a\right)\cos a\]}da$

$k_h=\frac{\mathrm{\π}EL}{4(1-{\mathrm{\ν}}^2)}$

x＝r_b[cosa-(a₂-a)sina-cosa₂]

其中E为弹性模量，L为齿宽，ν为泊松比，各个角度的意义如图3所示。

轮齿的基体刚度可以表示为：

$\frac{1}{k_f}=\frac{{\cos }^2{\mathrm{\α}}_1}{EL}\{L^{*}{\left(\frac{u_f}{s_f}\right)}^2+M^{*}(\frac{u_f}{s_f})+P^{*}(1+Q^{*}{\tan }^2{\mathrm{\α}}_1)\}$

其中u_f为啮合力作用点到齿根的竖直距离，s_f为齿根弧长。

公式中的系数L*，M*，P*和Q*表示为：

$\left[\begin{array}{c}L*\\ M*\\ P*\\ Q*\end{array}\right]=\frac{A}{{\mathrm{\θ}}_f^2}+{\mathrm{Bh}}_f^2+\frac{{\mathrm{Ch}}_f^2}{{\mathrm{\θ}}_f^2}+\frac{D}{{\mathrm{\θ}}_f}+{\mathrm{Eh}}_f^2+F$

表1列出了A，B，C，D，E和F的值。

其中h_f＝r_f/r_int

θ_f为齿根半角，r_f为齿根圆半径，r_int为轴孔半径。

则一对齿轮总的啮合刚度：

$\frac{1}{k_t}=\frac{1}{k_h}+\frac{1}{k_{b1}}+\frac{1}{k_{s1}}+\frac{1}{k_{a1}}+\frac{1}{k_{f1}}+\frac{1}{k_{b2}}+\frac{1}{k_{s2}}+\frac{1}{k_{a2}}+\frac{1}{k_{f2}}$

表1轮体刚度求解时各个参数的取值

上式中，下标1，2分别表示大小齿轮。根据刚度和轮齿转动角度的关系，即可得到故障区域的轮齿啮合刚度图形。如图4所示为曲线影响线下啮合刚度的图形和有限元计算的啮合刚度的对比。为了更好的说明本发明啮合刚度的准确性，在图5中画出了采用直线影响线下的啮合刚度和有限元的对比。图4，图5的对比可以证明提出的曲线影响线对于计算啮合刚度来说是准确的。

(4)根据推导的正常及受裂纹影响的啮合刚度，将啮合刚度与轮齿的旋转角度一一对应，就可以整合出一个啮合周期的整体刚度图形，如图6。图6表示一个啮合周期内，正常及在曲线影响线下，不同裂纹深度的啮合刚度图形。

本发明根据裂纹轮齿的应力分布，画出了裂纹对轮齿啮合刚度的影响线，提高了齿轮受裂纹影响部位啮合刚度的计算，达到了准确计算啮合刚度的目的。

Claims (1)

1.一种裂纹轮齿啮合刚度计算的方法，其特征在于：该方法包括以下具体步骤：

1)求解裂纹轮齿的应力分布情况：

利用SolidWorks建立裂纹轮齿单齿模型并导入Ansys中；模拟轮齿啮合实际情况，求解裂纹轮齿的应力分布；

2)计算轮齿有效厚度

以应力较大的分布区域为边界，画出裂纹影响曲线，计算曲线裂纹影响方程；

3)裂纹轮齿故障部位的啮合刚度计算：

在数学模型中加入用Ansys求解的轮齿有效厚度曲线方程，根据弹性力学原理将有效厚度曲线的影响加入到啮合杆刚度的计算中；

4)裂纹齿轮完整啮合刚度计算：

整合基于有限元及能量法计算的裂纹轮齿的啮合刚度，和能量法计算的无故障轮齿的啮合刚度，根据轮齿几何参数及角度变化即可得出裂纹齿轮随着角度变化的时变啮合刚度；

所述步骤1)中，有限元法求解裂纹轮齿的应力分布情况：用Solidworks软件建立轮齿单齿模型，通过拉伸切除在轮齿根部建立裂纹，进而将模型导入到Ansys中；采用静力学分析，在材料选项里选择结构钢，密度为7850kg/m³，将齿轮内圈以施加固定约束的方式模拟轮齿和轴的配合；通过在啮合线方向施加啮合力模拟真实的啮合情况；进而划分网格，求解轮齿的应力分布情况；

所述步骤2)中，以应力较大的分布区域为边界，画出裂纹影响曲线，称之为‘曲线影响线’；根据抛物线的基本方程及抛物线的形状和位置，即可解出抛物线的实际方程；

所述步骤3)中，裂纹轮齿故障部位的啮合刚度计算：

由轮齿的啮合力F_m产生的弯矩，剪切力和压缩力会使轮齿产生赫兹能、径向压缩势能，剪切势能和弯曲势能，分别表示为U_h、U_a，U_s和U_b，通过势能和刚度的关系，就可以求得新的裂纹轮齿啮合刚度，考虑轮齿的基体刚度，利用轮齿的势能与刚度的关系，即可推导出各势能对应各刚度的积分公式，求解积分就可以求解出正常齿轮的总体啮合刚度；具体方法如下：

$U_b=\frac{{F_m}^2}{2k_b}={\∫}_0^d\frac{{\[F_b(d-x)+M\]}^2}{2{\mathrm{EI}}_x}dx$

$U_s=\frac{{F_m}^2}{2k_s}={\∫}_0^d\frac{1.2{F_b}^2}{2{\mathrm{GA}}_x}dx$

$U_a=\frac{{F_m}^2}{2k_a}={\∫}_0^d\frac{{F_a}^2}{2{\mathrm{EA}}_x}dx$

改变正常啮合刚度中的由于裂纹产生变化的参数，即可得到裂纹轮齿故障部位的啮合刚度；

所述步骤4)中，裂纹齿轮完整啮合刚度计算：

根据推导的正常及受裂纹影响的啮合刚度，将啮合刚度与轮齿的旋转角度一一对应，整合出一个啮合周期的整体刚度图形。