CN109783840B - 一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法。该方法包括以下步骤：S1、基于势能法分别计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副中内齿轮、外齿轮的单齿啮合刚度；S2、由几何关系分别将内外齿轮单齿啮合刚度转变为关于外齿轮角位移的函数；S3、通过齿轮角位移判断出齿轮对啮合所处阶段是单啮合还是双啮合，并基于刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度值。本发明一方面可弥补现阶段齿轮在内啮合下时变刚度计算方法的空缺，另一方面在发挥解析法高精度优势的基础上结合齿轮几何信息可简化求解提高计算效率。

Description

一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法

技术领域

本发明属于机械动力学技术领域，具体涉及到一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，可用于包含有内啮合齿轮副的齿轮传动系统的动态性能分析。

背景技术

齿轮传动是机械传动领域中运用最为广泛的传动形式之一，具体的运动副包含有外啮合齿轮副、内啮合齿轮副以及齿轮齿条副。受接触齿对数和轮齿接触位置的影响，齿轮啮合刚度是随时间变化的周期函数，进而成为造成齿轮传动系统振动的主要激励源之一。因此，准确有效的齿轮时变啮合刚度计算方法对于全面研究齿轮传动系统的动态特性是必不可少的。

从齿轮啮合刚度的研究对象上来看，现有的公开资料包括有圆柱直齿轮、斜齿轮以及出现故障的直齿、斜齿的啮合刚度计算，但都是研究齿轮外啮合时的情况，缺少齿轮内啮合状态下啮合刚度的计算研究。内啮合齿轮副也是一种常见运动副，比如行星轮系中行星轮与内齿圈的啮合，其无论是齿轮轮廓上还是在运动方式上都与外啮合齿轮副有所不同。

从齿轮啮合刚度的研究方法上来看，现有的研究方法包括有有限元法、石川公式法以及解析法。有限元法需要对每个啮合齿轮进行建模、设定接触关系，建模过程复杂且计算效率不高，同时计算结果准确性还受网格质量的影响。石川公式法是将齿轮等效为一个梯形和矩形组成的悬臂梁，计算简单但精确度不够。解析法通过将轮齿等效为悬臂梁，应用材料力学得到齿轮渐开线未进行任何修改下的解析方程，计算精度比较高但现有方法大多是基于啮合刚度单点计算，时变啮合刚度计算时还需要事先知道每一个点的信息(啮合点至悬臂梁距离或者啮合角)，这些信息需要另行求取，同时本质上对不同轮齿而言是重复而且耗时的，不够简单方便。

发明内容

本发明的目的在于提供一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，该方法一方面可弥补现阶段齿轮在内啮合下时变刚度计算方法的空缺，另一方面在发挥解析法高精度优势结合齿轮几何信息可简化求解提高计算效率。

本发明的目的可以通过采取如下技术方案达到：

一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，包括以下步骤：

S1、基于势能法分别计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副中内齿轮、外齿轮的单齿啮合刚度；

S2、由几何关系分别将内外齿轮单齿啮合刚度转变为关于外齿轮角位移的函数；

S3、通过齿轮角位移判断出齿轮对啮合所处阶段是单啮合还是双啮合，并基于刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度值。

进一步地，所述的步骤S1包括：

S11、将内外齿轮轮齿等效为悬臂梁，基于内齿轮齿顶圆和基圆直径、外齿轮齿根圆和基圆直径大小关系判断悬臂梁轮廓形状，其中各直径表达式为：

D_a＝mz_in-2(ha^*-x_in+Δy)m

D_b＝mz_incosα₀

d_f＝mz_out-2(ha^*+c^*-x_out)m

d_b＝mz_outcosα₀

其中，D_a为内齿轮的齿顶圆直径，D_b为内齿轮的基圆直径，d_f为外齿轮的齿根圆直径，d_b为外齿轮的基圆直径，m为模数，z_out为外齿轮齿数，ha^*为外齿轮的齿根高系数，c^*为顶隙系数，x_out为外齿轮的变位系数，z_in为内齿轮齿数，x_in为内齿轮的变位系数，Δy为轮齿中心距变位系数，α₀为变位后啮合角；

S12、根据材料力学中受力平衡和能量守恒原理，分别推导出直齿圆柱齿轮内齿轮单齿的弯曲刚度k_inb、剪切刚度k_ins以及轴向压缩刚度k_ina、外齿轮单齿的弯曲刚度k_outb、剪切刚度k_outs以及轴向压缩刚度k_outa计算公式：

其中，d_in为啮合点至内齿轮悬臂梁固定端距离，d_out为啮合点至外齿轮悬臂梁固定端距离，h_in为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，h_out为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，

分别为距离悬臂梁固定端x_in处内齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，β₁为啮合点处内齿轮啮合角，

分别为距离悬臂梁固定端x_out处外齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，α₁为啮合点处外齿轮啮合角，E为齿轮材料弹性模量，G为齿轮材料剪切模量，

其中，

为内齿轮距离悬臂梁固定端x_in处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_in为内齿轮的齿宽，

为外齿轮距离悬臂梁固定端x_out处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_out为外齿轮的齿宽。

进一步地，所述的步骤S2包括：

S21、利用齿轮渐开线的几何特性，将步骤S1推导公式涉及到的距离尺寸转化为角度函数，进一步将内外齿单齿啮合刚度分别转变为关于内外齿啮合角β₁、α₁的函数：

h_in＝R_b(sinβ₁-(β₁-β₃)cosβ₁)

d_in＝R_b(cosφ-cosβ₁+(φ-β₃)sinφ-(β₁-β₃)sinβ₁)

x_in＝R_b(cosφ-cosβ+(φ-β₃)sinφ-(β-β₃)sinβ)

dx_in＝R_b(β₃-β)cosβdβ

h_out＝r_b((α₁+α₂)cosα₁-sinα₁)

d_out＝r_bcosα₁+r_b(α₁+α₂)sinα₁-r_rcosα₃

x_out＝r_b(cosα+αsinα-α₂sinα)-r_rcosα₃

dx_out＝r_b(α-α₂)cosαdα

其中，φ为内齿轮齿根圆处啮合角，β₃为内齿轮基圆圆弧对应圆心半角，β为内齿轮齿廓上任意一点啮合角，α₂为外齿轮基圆圆弧对应圆心半角，α₃为外齿轮齿根圆圆弧对应圆心半角，α为外齿轮齿廓上任意一点啮合角，R_b为内齿轮基圆半径，r_b为外齿轮基圆半径，r_f为外齿轮齿根圆半径；

内齿轮单齿啮合刚度关于内啮合角β₁的表达式、外齿轮单齿啮合刚度关于外啮合角α₁的表达式：

其中，υ为泊松比，α₀为分度圆压力角；

S22、利用齿轮间角度关系以及内外齿角位移关系，将内外齿啮合角β₁、α₁都转变为关于外齿轮角位移θ的函数，从而进一步将内外齿单齿啮合刚度都转变为关于外齿角位移θ函数：

内外齿啮合角β₁、α₁关于外齿角位移θ的函数关系为：

a＝z_in-2(ha^*-x_in+Δy)

进一步地，所述的步骤S3包括：

S31、通过将外齿轮角位移对单齿所对应圆心角取余与单双啮合区域临界角对比，确定齿轮对啮合所处阶段：

外齿轮角位移对单齿所对应圆心角取余的关系式：

θ₁＝mod(θ,θ₀)

其中，mod表示取余，j可以为b、s、a表示弯曲、剪切以及压缩，θ₁表示外齿角位移相对于第一个齿啮合过程中的转角，θ为外齿轮实际角位移，θ₀为外齿轮单齿所所对应圆心角：

单双啮合区域临界角的计算公式为：

其中，ε为内啮合齿轮副啮合重合度，计算公式如下：

S32、根据刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度：

当内啮合副处于单齿啮合时，内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

当内啮合副处于双齿啮合时，内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

其中，k_h为轮齿接触而具备的赫兹接触刚度，计算公式如下：

其中，min(L_in,L_out)表示为内齿轮和外齿轮齿宽中的最小值。

本发明相对于现有技术具有如下的有益效果：

(1)该方法根据材料力学中悬臂梁变形能理论，推导出了内外齿轮单齿啮合刚度的计算公式。在求得内外齿轮啮合刚度后，采用刚度串并联理论求解直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度，弥补了现阶段齿轮在内啮合下时变刚度计算方法的空缺。

(2)该方法结合齿轮的几何信息，将齿轮时变啮合刚度转变为外齿轮角位移的函数，避免单点计算而需另行求取单点相关信息，使得求解变得简单方便。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中所需要使用的附图作简单地介绍。附图构成本申请的一部分，但仅是作为体现发明概念的非限制性示例，并非用于做出任何限制。

图1是本发明方法实施的流程步骤图；

图2是直齿圆柱齿轮外齿轮示意图；

图3是直齿圆柱齿轮内齿轮示意图；

图4是直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副示意图；

图5是直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度曲线；

具体实施方式

为了更加清楚解释本发明，以下以实施例结合附图进行详细说明。

图1是本发明中公开的一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度计算方法流程图，结合图1，本发明具体实施方式的步骤为：

步骤S1，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副中内外齿轮单齿啮合刚度，具体包括：

步骤S11，将内外齿轮轮齿等效为悬臂梁，基于内齿轮齿顶圆和基圆直径、外齿轮齿根圆和基圆直径大小关系判断悬臂梁轮廓形状；

齿轮轮齿啮合时，齿轮本体的变形远小于轮齿，轮齿视为弹性体，齿轮本体视为刚体，从而将齿轮轮齿等效为悬臂梁，固定端设定在齿根圆所在垂直于齿面截面上。分别计算出内齿轮齿顶圆和基圆直径大小，外齿轮齿根圆和基圆直径大小，确定各自等价悬臂梁轮廓形状。内齿轮齿顶圆和基圆直径的表达式为：

外齿轮齿根圆和基圆直径的表达式为：

其中，D_a为内齿轮的齿顶圆直径，D_b为内齿轮的基圆直径，d_f为外齿轮的齿根圆直径，d_b为外齿轮的基圆直径，m为模数，z_out为外齿轮齿数，ha^*为外齿轮的齿根高系数，c^*为顶隙系数，x_out为外齿轮的变位系数，z_in为内齿轮齿数，x_in为内齿轮的变位系数，Δy为轮齿中心距变位系数，α₀为变位后啮合角；

对于外齿轮而言，齿根圆大于基圆时，等价悬臂梁轮廓形状只为渐开线，齿根圆小于基圆时，从固定端到齿根圆为过渡曲线(可近似为直线)，其余轮廓形状为渐开线，对于内齿轮而言，齿顶圆大于基圆时，等价悬臂梁轮廓形状只为渐开线；

步骤S12，根据材料力学中受力平衡和能量守恒原理，推导出直齿圆柱齿轮内齿轮单齿的弯曲刚度k_inb、剪切刚度k_ins以及轴向压缩刚度k_ina计算公式，外齿轮单齿的弯曲刚度k_outb、剪切刚度k_outs以及轴向压缩刚度k_outa计算公式。

图3所示为内齿轮示意图，齿面啮合力F通过正交分解为圆周力F_x和径向力F_y，轮齿在圆周力作用下会发生弯曲变形和剪切变形而具备弯曲能U_b、剪切能U_s，在径向力作用下会发生径向压缩变形而具备压缩能U_a；

基于受力平衡原理，得到轮齿截面弯矩M、切向力F_s、轴向力F_a，基于能量守恒原理，得到轮齿的弯曲能U_b、剪切能U_s和压缩能U_a，再综合这些公式最终推导出内齿轮单齿的弯曲刚度、剪切刚度和压缩刚度,此时各刚度都是关于啮合点至悬臂梁固定端的距离d的函数：

对上式进行整合，可得内齿轮弯曲刚度、剪切刚度和压缩刚度表达式：

其中，d_in为啮合点至内齿轮悬臂梁固定端距离，h_in为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，F为啮合点处啮合力，作用方向沿啮合线方向，E为齿轮材料弹性模量，G为齿轮材料剪切模量，

分别为距离悬臂梁固定端x_in处内齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，β₁为啮合点处内齿轮啮合角。

类似的，推导出外齿轮单齿的弯曲刚度k_outb、剪切刚度k_outs和轴向压缩刚度k_outa：

其中，

为外齿轮单齿的弯曲刚度，

为外齿轮单齿的剪切刚度，

为外齿轮单齿的压缩刚度，d_out为啮合点至外齿轮悬臂梁固定端距离，h_out为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，

分别为距离悬臂梁固定端x_out处外齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，α₁为啮合点处外齿轮啮合角；

所述步骤S12中，距离悬臂梁固定端x_in处内齿轮轮齿截面惯性矩

和截面面积

以及距离悬臂梁固定端x_out处外齿轮轮齿截面惯性矩

和截面面积

表达式为表达式为：

其中，

为内齿轮距离悬臂梁固定端x_in处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_in为内齿轮的齿宽，

为外齿轮距离悬臂梁固定端x_out处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_out为外齿轮的齿宽。

步骤S2，由几何关系分别将内外齿轮单齿啮合刚度转变为齿轮角位移函数，具体包括：

S21、利用齿轮渐开线的几何特性，将步骤S1推导公式涉及到的距离尺寸转化为角度函数，进一步将内外齿单齿啮合刚度分别转变为关于内外齿啮合角β₁、α₁的函数。

通过几何关系计算，将啮合点至内齿轮轮齿中心面距离h_in、内齿轮齿廓上任意一点至轮齿中心面距离h_xin、啮合点至内齿轮悬臂梁固定端距离d_in以及内齿轮齿廓上任意一点至悬臂梁固定端距离x_in，转变为关于角度(内齿轮啮合角β₁、齿根圆处啮合角φ、基圆圆弧对应圆心半角β₃以及齿廓上任意一点啮合角β)的函数，其中β₁是时变的，β₃以及φ都是常量。将啮合点至外齿轮轮齿中心面距离h_out、外齿轮齿廓上任意一点至轮齿中心面距离h_xout、啮合点至外齿轮悬臂梁固定端距离d_out以及齿廓上任意一点至悬臂梁固定端距离x_out，都转变为关于角度(外齿轮：啮合角α₁、基圆圆弧对应圆心半角α₂、齿根圆圆弧对应圆心半角α₃以及齿廓上任意一点啮合角α)的函数，其中α₁为时变的，α₂和α₃是常量；

参考图2，H点为内齿轮上啮合点，对应啮合力作用线与基圆相切于A点，K点为距离悬臂梁固定端x_in的齿廓上一点，对应啮合力作用线与基圆相切于B点，D点为齿根圆与齿廓交点，对应啮合力作用线与基圆相切于C点，N点为内齿轮齿廓渐开线延伸段与基圆交点。R_b为内齿轮基圆半径，步骤S11中可判断处本例下内齿轮的等价悬臂梁轮廓形状为渐开线，借助渐开线几何特性有以下关系：

经过计算得到h_in、h_xin、d_in、x_in以及其导数dx_in关于角度的表达式：

将公式(8)带入公式(4)进一步简化，内齿单齿啮合刚度转化为啮合角β₁的函数：

式中υ为泊松比；

参考图2，B点为外齿轮上啮合点，对应啮合力作用线与基圆相切于A点，C点为距离悬臂梁固定端x_out的齿廓上一点，对应啮合力作用线与基圆相切于E点，N点为齿根圆与齿廓的交点，M点是基圆与齿廓的交点。r_b为外齿轮基圆半径，r_f为外齿轮齿根圆半径。步骤S11中可判断处本例下外齿轮的等价悬臂梁轮廓形状分为了两部分，基圆至齿根圆为近似直线，其余为渐开线，借助渐开线几何特性有以下关系：

经过计算得到h_out、h_xout、d_out、x_out以及其导数dx_out关于角度的表达式：

将公式(11)带入公式(5)进一步简化，外齿单齿啮合刚度转化为啮合角α₁的函数：

式中α₀为分度圆压力角；

S22、利用齿轮间角度关系以及内外齿角位移关系，将内外齿啮合角β₁、α₁都转变为关于外齿角位移θ的函数，从而进一步将内外齿单齿啮合刚度都转变为关于外齿角位移θ函数。

图4所示为直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副示意图，B点为啮合点同时也是外齿轮的起始啮合点，对应啮合力作用线与内外齿轮基圆分别相切于N点、A点，O₁、O₂分别为外齿轮和内齿轮中心点，借助图上几何特性有以下关系：

对于内齿轮：

式中O₂N为内齿轮基圆半径，O₂B为内齿轮齿顶圆半径；

单独内齿参与啮合时，啮合点处啮合角β₁与外齿轮角位移的关系为：

将式(13)带入式(14)可得到啮合角β₁和外齿角位移θ关系：

当外齿轮角位移θ确定时，带入上式可得到啮合角β₁，进一步得到内齿轮啮合刚度值，内齿轮啮合刚度转变成关于关于外齿角位移θ函数。

对于外齿轮：

式中O₁A为外齿轮基圆半径，O₂B为内齿轮齿顶圆半径，O₁O₂为内外齿轮中心距，O₂N为内齿轮基圆半径，α′为变位后啮合角；

单独外齿参与啮合时，啮合点处啮合角α₁与外齿轮角位移的关系为：

α₁＝α°+θ (17)

将式(16)带入式(17)可得到啮合角α₁和外齿角位移θ关系：

当外齿轮角位移θ确定时，带入上式可得到啮合角α₁，进一步得到外齿轮啮合刚度值，外齿轮啮合刚度转变成关于关于外齿角位移θ函数。

S3、通过齿轮角位移判断出齿轮对啮合所处阶段是单啮合还是双啮合，并基于刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度值，具体包括：

S31、通过将外齿轮角位移对外齿轮单齿所对应圆心角取余与单双啮合区域临界角对比，确定齿轮对啮合所处阶段。

整个齿轮啮合过程可看成第一个齿啮合过程的重复，通过将外齿角位移对外齿轮单齿所对应圆心角取余，将实时啮合阶段与第一个齿啮合过程相对应，内外齿轮各项啮合实时刚度与对应时刻啮合刚度相同：

式中mod表示取余，j可以为b、s、a表示弯曲、剪切以及压缩，θ₁表示外齿角位移相对于第一个齿啮合过程中的转角，θ为外齿轮实际角位移，θ₀为外齿轮单齿所对应圆心角。

单双啮合区域临界角可表示为：

式中ε为内啮合齿轮副啮合重合度，具体值可通过下列式子求得：

将θ₁与单双啮合区域临界角θ′比较确定齿轮啮合所处区域：

若θ₁≥θ′，齿轮啮合处于双齿啮合区；

若θ₁＜θ′，齿轮啮合处于单齿啮合区；

S32、根据刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度。

轮齿啮合过程中，外齿轮轮齿和内齿轮轮齿会在接触力作用下产生相应的接触变形，相应的刚度为赫兹接触刚度k_h：

式中min(L_in,L_out)表示为内齿轮和外齿轮齿宽中的最小值；

当内啮合副处于单齿啮合时，整个齿轮副的啮合刚度看成是内齿轮单齿各项啮合刚度、外齿轮单齿各项啮合刚度以及单齿接触刚度的串联，单齿啮合时内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

当内啮合副处于双齿啮合时，第二个啮合齿对相当于在第一个啮合齿对基础上再旋转了

此时整个啮合副的啮合刚度可以看成是先是各个齿对中内齿轮单齿各项啮合刚度、外齿轮单齿各项啮合刚度以及单齿接触刚度的串联，在此基础上再是两个齿对刚度的并联，双齿啮合时内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

在一实施例中，所述直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副齿轮参数如表1所示：

确定内外齿轮参数后利用上述所述方法，通过matlab编程计算求得的直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度如图5所示。

综上，本发明所述的一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度计算方法，该方法有以下优点：

(1)该方法根据材料力学中悬臂梁变形能理论，推导出了内外齿轮单齿啮合刚度的计算公式。在求得内外齿轮啮合刚度后，采用刚度串并联理论求解直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度，弥补了现阶段齿轮在内啮合下时变刚度计算方法的空缺。

(2)该方法在发挥解析法高精度优势的基础上结合齿轮的几何信息，将齿轮时变啮合刚度转变为外齿轮角位移的函数，避免单点计算而需另行求取单点相关信息，使得求解变得简单方便。

本发明的上述实施例仅仅是为清楚地说明本发明所作的举例，而并非是对本发明的实施方式的限定。对于所属领域的普通技术人员来说，在上述说明的基础上还可以做出其它不同形式的变化或变动。这里无需也无法对所有的实施方式予以穷举。凡在本发明的精神和原则之内所作的任何修改、等同替换和改进等，均应包含在本发明权利要求的保护范围之内。

Claims (3)

1.一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，其特征在于，包括以下步骤：

S1、基于势能法分别计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副中内齿轮、外齿轮的单齿啮合刚度；包括：

S11、将内外齿轮轮齿等效为悬臂梁，基于内齿轮齿顶圆和基圆直径、外齿轮齿根圆和基圆直径大小关系判断悬臂梁轮廓形状，其中各直径表达式为：

D_a＝mz_in-2(ha^*-x_in+Δy)m

D_b＝mz_incosα₀

d_f＝mz_out-2(ha^*+c^*-x_out)m

d_b＝mz_outcosα₀

其中，D_a为内齿轮的齿顶圆直径，D_b为内齿轮的基圆直径，d_f为外齿轮的齿根圆直径，d_b为外齿轮的基圆直径，m为模数，z_out为外齿轮齿数，ha^*为外齿轮的齿根高系数，c^*为顶隙系数，x_out为外齿轮的变位系数，z_in为内齿轮齿数，x_in为内齿轮的变位系数，Δy为轮齿中心距变位系数，α₀为变位后啮合角；

S12、根据材料力学中受力平衡和能量守恒原理，分别推导出直齿圆柱齿轮内齿轮单齿的弯曲刚度k_inb、剪切刚度k_ins以及轴向压缩刚度k_ina、外齿轮单齿的弯曲刚度k_outb、剪切刚度k_outs以及轴向压缩刚度k_outa计算公式：

其中，d_in为啮合点至内齿轮悬臂梁固定端距离，d_out为啮合点至外齿轮悬臂梁固定端距离，h_in为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，h_out为啮合点到内齿轮轮齿中心面距离，I_inx、A_inx分别为距离悬臂梁固定端x_in处内齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，β₁为啮合点处内齿轮啮合角，I_outx、A_outx分别为距离悬臂梁固定端x_out处外齿轮轮齿截面惯性矩以及截面面积，α₁为啮合点处外齿轮啮合角，E为齿轮材料弹性模量，G为齿轮材料剪切模量，

A_inx＝2h_inxL_in

A_outx＝2h_outxL_out

其中，h_inx为内齿轮距离悬臂梁固定端x_in处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_in为内齿轮的齿宽，h_outx为外齿轮距离悬臂梁固定端x_out处齿廓上的点至轮齿中心面的距离，L_out为外齿轮的齿宽；

S2、由几何关系分别将内外齿轮单齿啮合刚度转变为关于外齿轮角位移的函数；

S3、通过齿轮角位移判断出齿轮对啮合所处阶段是单啮合还是双啮合，并基于刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度值。

2.根据权利要求1所述的一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，其特征在于，所述的步骤S2包括：

S21、利用齿轮渐开线的几何特性，将步骤S1推导公式涉及到的距离尺寸转化为角度函数，进一步将内外齿单齿啮合刚度分别转变为关于内外齿啮合角β₁、α₁的函数：

h_in＝R_b(sinβ₁-(β₁-β₃)cosβ₁)

d_in＝R_b(cosφ-cosβ₁+(φ-β₃)sinφ-(β₁-β₃)sinβ₁)

x_in＝R_b(cosφ-cosβ+(φ-β₃)sinφ-(β-β₃)sinβ)

dx_in＝R_b(β₃-β)cosβdβ

h_out＝r_b((α₁+α₂)cosα₁-sinα₁)

d_out＝r_bcosα₁+r_b(α₁+α₂)sinα₁-r_rcosα₃

x_out＝r_b(cosα+αsinα-α₂sinα)-r_rcosα₃

dx_out＝r_b(α-α₂)cosαdα

其中，φ为内齿轮齿根圆处啮合角，β₃为内齿轮基圆圆弧对应圆心半角，β为内齿轮齿廓上任意一点啮合角，α₂为外齿轮基圆圆弧对应圆心半角，α₃为外齿轮齿根圆圆弧对应圆心半角，α为外齿轮齿廓上任意一点啮合角，R_b为内齿轮基圆半径，r_b为外齿轮基圆半径，r_f为外齿轮齿根圆半径；

内齿轮单齿啮合刚度关于内啮合角β₁的表达式、外齿轮单齿啮合刚度关于外啮合角α₁的表达式：

其中，υ为泊松比，α₀为分度圆压力角；

S22、利用齿轮间角度关系以及内外齿角位移关系，将内外齿啮合角β₁、α₁都转变为关于外齿轮角位移θ的函数，从而进一步将内外齿单齿啮合刚度都转变为关于外齿角位移θ函数：

内外齿啮合角β₁、α₁关于外齿角位移θ的函数关系为：

a＝z_in-2(ha^*-x_in+Δy)

3.根据权利要求2所述的一种直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度的计算方法，其特征在于，所述的步骤S3包括：

S31、通过将外齿轮角位移对单齿所对应圆心角取余与单双啮合区域临界角对比，确定齿轮对啮合所处阶段：

外齿轮角位移对单齿所对应圆心角取余的关系式：

θ₁＝mod(θ,θ₀)

其中，mod表示取余，j可以为b、s、a表示弯曲、剪切以及压缩，θ₁表示外齿角位移相对于第一个齿啮合过程中的转角，θ为外齿轮实际角位移，θ₀为外齿轮单齿所对应圆心角：

单双啮合区域临界角的计算公式为：

其中，ε为内啮合齿轮副啮合重合度，计算公式如下：

S32、根据刚度串并联理论，计算直齿圆柱齿轮内啮合齿轮副时变啮合刚度：

当内啮合副处于单齿啮合时，内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

当内啮合副处于双齿啮合时，内啮合齿轮副啮合刚度表达式为：

其中，k_h为轮齿接触而具备的赫兹接触刚度，计算公式如下：

其中，min(L_in,L_out)表示为内齿轮和外齿轮齿宽中的最小值。

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