CN110657986B - 齿轮双面啮合测量中测量力引入轮齿变形计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种齿轮双面啮合测量中测量力引入轮齿变形计算方法，属于精密测试技术与仪器领域。包括步骤：(1)双面啮合时测量力会使轮齿发生变形，从而使双啮中心距发生变化，进而影响双啮误差曲线。计算沿左右啮合线方向的由测量力引起的轮齿变形，将左右啮合线上的轮齿变形量按啮合相位叠加，从而得到测量力引起的双啮中心距变化量。(2)沿啮合线方向的变形量为测量力沿啮合线方向的分量除以啮合线上的齿轮刚度。(3)单条啮合线上的轮齿刚度为该啮合线上各个接触点刚度的迭加。(4)齿轮在一个接触点处的刚度由三部分组成：轮齿的弯曲刚度、剪切刚度和齿面的接触刚度。(5)弯曲和剪切刚度由悬臂梁模型计算，接触变形由赫兹公式计算。

Description

齿轮双面啮合测量中测量力引入轮齿变形计算方法

技术领域

本发明涉及精密测试技术与仪器领域，具体是一种双面啮合测量中测量力影响下的轮齿变形计算方法。

背景技术

齿轮作为核心机械基础件，其质量和性能决定了装备的性能和可靠性。齿轮产业已经成为机械通用基础件中规模最大的产业。齿轮广泛应用于汽车制造、航空航天、风电设备以及装备制造等领域。齿轮精度、质量直接影响装备的效率、噪声、运动精度和使用寿命。由于齿轮测量技术与齿轮加工技术相辅相成，因此，对齿轮的测量就显得尤为重要。

双面啮合测量以其反映信息好、仪器结构简单、操作维护方便、检验效率高、测量稳定、易于实现机械化和自动化、适合生产现场使用等优点，成为了现代齿轮生产中最终检验的主要测试方法之一。在齿轮工程领域中对齿轮的质量和数量的要求不断提高，齿轮生产现场对齿轮快速测量需求与日俱增，因此齿轮双啮综合测量是齿轮测量技术的发展的主要方向之一。

齿轮双面啮合测量仪通常由弹簧提供测量力，使产品齿轮和测量齿轮作双面啮合。对于小模数齿轮，轮齿厚度较小，在测量力作用下容易产生变形。尤其对于塑料齿轮，测量力对双面啮合测量结果影响较大。齿轮在测量力的作用下产生的变形所引入的误差将会对双面啮合测量仪的测量结果产生一定影响。

目前双面啮合测量仪的测量力多为根据经验给出的推荐值，而在现场的齿轮测量过程中，在不同测量力下，仪器往往会给出不同的测量结果，甚至会给出不同的精度评定等级。但是一般情况下仪器对于不同齿轮并没有给出不同的测量力标准，也没有对测量力引起的误差进行补偿。因此，分析测量力作用下的轮齿变形，以及轮齿变形对双面啮合测量的影响是双面啮合测量的一个重要问题。

本发明将围绕以下三个方面研究双面啮合下的轮齿变形：1) 双面啮合测量下的测量力模型；2)单对齿啮合刚度计算模型；3)双面啮合综合啮合刚度计算模型。

本发明通过推导单对齿啮合时的刚度来计算齿轮双面啮合时的齿轮综合刚度，将齿轮综合刚度代入双面啮合测量力模型来计算双面啮合测量时测量力引起的轮齿变形量。

发明内容

为解决背景技术中提出的问题，本发明提出了一种双面啮合测量时测量力引起的轮齿变形量计算方法。该方法通过推导单对齿啮合时的刚度来计算齿轮双面啮合时的齿轮综合刚度，将齿轮综合刚度代入双面啮合测量力模型来计算双面啮合测量时测量力引起的轮齿变形量。

本发明是采用如下理论推导实现的：

双面啮合测量齿轮与产品齿轮做紧密的无侧隙啮合需要给一定的径向压力以保证齿轮的紧密啮合。径向的压力会使轮齿发生变形，从而使双啮中心距发生变化，进而影响双啮误差曲线。计算沿左右啮合线方向的由测量力引起的轮齿变形，将左右啮合线上的轮齿变形量按啮合相位叠加，从而得到测量力引起的双啮中心距变化量。

双面啮合时轮齿沿径向的变形由轮齿沿左右啮合线方向的变形叠加得到。通过计算沿啮合线方向的由测量力引起的轮齿变形得到测量力引起的双啮中心距变化量。单条啮合线上的轮齿变形量等于弹簧力沿啮合线方向的分量除以轮齿在这条啮合线上的综合刚度。单条啮合线上的轮齿刚度为该啮合线上各个接触点刚度的叠加。

我们通过计算轮齿在给定力的作用下沿啮合线方向的变形量来求得一对齿在接触点处的刚度。轮齿沿啮合线方向的变形有三部分组成，轮齿的弯曲变形、剪切变形和齿面的接触变形。

把轮齿看做非均匀的悬臂梁来计算轮齿的变形。轮齿有效接触部分沿对称轴线被分成一系列长方形微元，每个微元由符号i表示，将每一个长方形微元看做一个均匀的悬臂梁，所以整个轮齿的变形量就是单个微元变形的叠加。使用悬臂梁模型可以计算轮齿的弯曲变形和剪切变形。

一对外齿轮的赫兹接触刚度沿着整个作用线线性化为一个常数，与接触位置无关，轮齿的接触变形可由赫兹公式计算。

齿轮在双面啮合期间在一条啮合线上有多对齿同时参与啮合，一对齿轮在啮合时同时有多对轮齿参与啮合，齿轮的啮合刚度是多对齿同时啮合刚度的叠加。齿轮啮合时单齿啮合时期和双齿啮合时期交替出现，在不同啮合时期轮齿的啮合点数不同，各个啮合点所处的位置也不同。齿轮的综合啮合刚度由双面啮合过程和单齿啮合刚度来确定。

啮合循环周期τ_m包含双齿啮合周期τ_d和单齿啮合周期τ_s，由于齿轮存在误差，啮合过程中还包含顶刃啮合阶段。

在各个啮合阶段将各接触点处的赫兹接触刚度、弯曲刚度和剪切刚度叠加得到轮齿综合刚度，轮齿综合刚度是齿轮转角的函数。因此可以得到轮齿变形量关于齿轮转角的函数。将左右啮合线方向的轮齿变形按啮合相位叠加再乘以换算系数1/2sinα，即得到双面啮合中中心距方向的轮齿变形量。

本发明的优势在于：

计算双面啮合测量中测量力引起的轮齿变形，即测量力引起的中心距变化，可以了解测量力对双面啮合测量结果的影响。

附图说明

图1测量力引起的齿轮变形误差计算模型

图2齿轮双面啮合沿啮合线方向变形

图3轮齿的悬臂梁模型

图4渐开线的极坐标和直角坐标

图5齿轮转角

图6轮齿接触变形

图7齿轮啮合周期

图8产品齿轮带有正基节偏差时的双面啮合过程

图9产品齿轮左右啮合线格子图

图10为单个轮齿的变形量关于齿轮转角的函数

图11为一对轮齿啮合的变形量关于齿轮转角的函数

图12为单个轮齿的刚度变化关于齿轮转角的函数

图13为一对轮齿啮合刚度关于齿轮转角的函数

图14为双面啮合时单侧齿面的啮合刚度

图15为双面啮合时单侧齿面的变形量

图16为双面啮合时齿轮在径向力作用下沿径向的总变形量关于齿轮转角的函数

具体实施方式

以下结合附图及推导公式对本发明做进一步说明。

如图1所示，F为作用在产品齿轮上的径向压力，在双面啮合中此压力由弹簧力提供，δ_L和δ_R分别为沿左右两条啮合线方向上的变形量，δ为齿轮在径向的变形量，δ与δ_L和δ_R的关系如下：

α’为啮合角，δ_L、δ_R为沿左右两条啮合线方向上的变形量。

轮齿沿啮合线方向的变形量与轮齿在啮合线方向上的受力和轮齿综合刚度有关，即：

F_L、F_R为径向力沿左右啮合线方向的分量，k_L、k_R为沿啮合线方向的综合刚度。

如图2所示，F_L、F_R为径向力沿左右啮合线方向的分量，其大小为：

F为双面啮合时弹簧力所提供的径向力，F_L、F_R为径向力沿左右啮合线方向的分量，α’为啮合角。

齿轮转到不同位置时一条啮合线上的接触点个数不同，齿轮在左右两条啮合线上的刚度k_L、k_R分别为左右啮合线上各个接触点处的刚度的叠加。在图2中，N1N2和N3N4分别为左右两条啮合线。当齿轮转至图中所示位置时，轮齿在左啮合线N1N2上的刚度k_L是N1N2 上两个接触点b和d两点的刚度叠加，沿右啮合线N3N4方向的刚度 k_R是N3N4上两个接触点a和c两点的刚度叠加。

k_R为齿轮沿右啮合线方向的综合刚度，k_i为右啮合线上各个接触点的刚度，j为右啮合线上接触点的个数。

将用解析法推导齿轮啮合刚度方程，当齿轮转到不同位置时齿轮的接触点不同，所以在不同位置轮齿的刚度也不同，因此目标是将啮合刚度方程表示为齿轮旋转角度的函数。首先需要推导在一对齿上的一个接触点处的啮合刚度方程，然后将一条啮合线上的各个接触点的刚度叠加从而得到轮齿在一条啮合线上的啮合刚度。

在一个接触点处轮齿的刚度为啮合的两个齿轮的刚度的叠加，因此一对轮齿在一个接触点处的刚度k_i为：

k_b1、k_b2为分别表示测量齿轮和产品齿轮的轮齿弯曲刚度，k_s1、 k_s2分别表示测量齿轮和产品齿轮的轮齿剪切刚度，k_h为轮齿齿面的接触刚度。

在一个齿轮上，轮齿在受力点处的刚度由三部分组成：轮齿的弯曲刚度、剪切刚度和赫兹接触刚度。三种刚度的计算如下：

δ_s为轮齿的弯曲变形量，δ_s为轮齿的剪切变形量，δ_h为轮齿齿面的接触变形量，F_i为作用在轮齿上的给定作用力。

通过材料力学的方法计算轮齿的弯曲和剪切变形，把轮齿看做非均匀的悬臂梁来计算轮齿的变形，如图3所示。轮齿有效接触部分沿对称轴线被分成一系列长方形微元，若将轮齿分为n个为微元，每个微元由符号i表示，将每一个长方形微元看做一个均匀的悬臂梁，所以整个轮齿的变形量就是n个微元变形的叠加。使用悬臂梁模型可以计算轮齿的弯曲变形和剪切变形。设微元宽度为σ_i，横截面积为A_i，惯性矩为Ii，li表示微元i与载荷作用点之间沿X轴方向的距离，l₀ 为基圆与载荷作用点之间沿X轴方向的距离，α_x为啮合角。

轮齿的弯曲变形量δ_b和剪切变形量δ_s由下式表示

其中n为轮齿分成的微元数，δ_b为弯曲变形，δ_s为剪切变形， F_i为沿啮合线方向的给定作用力，σ_i为微元部分宽度，

为微元两个侧面截面模量的均值，G为轮齿的剪切模量，

为微元两个侧面截面积的均值，li表示微元i与载荷作用点之间沿X轴方向的距离，μ为泊松比，E为弹性模量，α'_x为载荷方向与垂直方向的夹角。

上式中，

G＝E/2(1+μ)。

I_i为微元处的截面模量，齿轮在微元处的截面为矩形，因此截面模量为：

b为齿宽，h_i为微元处的齿厚，A_i为微元处的截面积，可由下式计算：

A_i＝bh_i (13)

式(10)α'_x为载荷方向与y轴的夹角，可由下式计算：

α'_x＝tanα_x-ε_B (14)

其中α'_x为载荷方向与y轴的夹角，α_x为啮合角，ε_B为齿廓与基圆交点和圆心连线与X轴的夹角。

将α'_x代入式(10)可得轮齿的弯曲变形δ_b与剪切变形δ_s关于受力点处啮合角α_x的函数，即δ_b(α_x)和δ_s(α_x)。齿轮转角

因此可以得到轮齿变形量关于齿轮

的函数，即

和

轮齿在啮合中，受力点从齿顶移动到齿根，如图5所示，受力点B2随齿轮转动移动到B1，α_x从0变到α_a，受力点从齿顶移动到齿根的过程中，齿轮转过的角度为

将

和

带入式(7)(8)中，可以得到轮齿的刚度也是齿轮转角

的函数，即

和

轮齿的弯曲刚度k_b为：

轮齿的剪切刚度为k_s为：

一对外齿轮的赫兹接触刚度k_h沿着整个作用线线性化为一个常数，与接触位置无关。齿面的接触变形如图6所示，一对轮齿在接触点处由于弹簧力的作用而产生接触变形，变形量可由赫兹公式进行计算，齿面接触变形为：

μ₁为测量齿轮的泊松比，μ₂为产品齿轮的泊松比，E₁为测量齿轮的弹性模量，E₂为产品齿轮的弹性模量。轮齿的接触刚度k_h为：

其中k_h轮齿的接触刚度，δ_h为轮齿的接触变形，F_i为沿啮合线方向的给定作用力。

通常齿轮在双面啮合期间在一条啮合线上有多对齿同时参与啮合，因此整个齿轮的啮合刚度是多对齿同时啮合刚度的合成。在不同啮合时期轮齿的啮合点数不同，各个啮合点所处的位置也不同。同时参与啮合的齿对数与一对齿轮的重合度有关，齿轮的重合度要大于 1才能保证连续的传动，一般齿轮的重合度大于1小于2。这里仅讨论重合度大于1且小于2的情况下，齿轮综合时变啮合刚度的合成。

图7表示一个齿轮轮齿的啮合循环周期，啮合循环周期τ_m包含双齿啮合周期τ_d和单齿啮合周期τ_s，可定义比例系数为：

λ＝τ_d/τ_m (19)

比例系数λ与齿轮对的重合度ε相关，关系如下

λ＝ε-1 (20)

有：0≤t≤λτ_m时，即从初始接触点到单齿接触最低点，为双齿啮合区；λτ_m≤t≤τ_m时，即从单齿接触最低点到单齿接触最高点，为单齿接触区；τ_m≤t≤(1+λ)τ_m时，即从单齿啮合最高点到最终接触点，为双齿啮合区。至此，一个轮齿完成从进入啮合到脱出啮合的啮合周期。

对于双面啮合的啮合过程如图8所示，齿轮1为测量齿轮，齿轮2为产品齿轮，齿轮2为从动轮，其在弹簧力F的作用下与齿轮1 做双面啮合。假设产品齿轮即齿轮2，左右齿面带有正基节偏差+Δf_pb，它与测量齿轮1的啮合过程如图8所示。

图8a中，齿轮2的齿2右齿面与齿轮1的齿3提前于啮合线外开始接触而作顶刃啮合，顶刃啮合阶段齿轮2的齿2的齿顶在齿轮 1的齿3齿面上进行刮行而非渐开线啮合，此过程也称作齿顶刮行或右顶刮。如图b中所示，直到两者的接触点转至啮合线上后两齿才开始渐开线啮合，此时，齿轮2的左右齿面均为双齿啮合区，在左右啮合线上各有两个接触点，齿轮对共有四个接触点。如图c所示，齿轮 2的齿1左齿面齿顶转至啮合线上，由于左齿面存在正的基节偏差 +Δf_pb，齿顶在并未退出啮合，而是在齿面上进行刮行，此过程称为左顶刮。直至转至图d位置左顶刮结束，齿轮2的齿1左齿面退出啮合，此时，齿轮2的左齿面进入单齿啮合区，右齿面为双面啮合区，左啮合线上有一个接触点，右啮合线上有两个接触点，齿轮对共有三个接触点。齿轮转至图e位置时，齿轮2的齿3的左齿面进入啮合，齿轮 2的左齿面进入双齿啮合区，左右啮合线上各有两个接触点，齿轮对共有四个接触点。转至图f位置时，齿轮2的齿1的右齿面将要退出啮合，右齿面进入单齿啮合区，左齿面仍为双齿啮合区，右啮合线上有一个接触点，左啮合线上有两个接触点，齿轮对共有三个接触点。齿轮转至图g位置时，齿轮2的齿3右齿面发生右顶刮，齿轮的双啮过程完成一个周期。

组合这些刚度分量以获得一对外齿轮的整体啮合刚度。对于一对接触比在1和2之间的正齿轮，交替地进行顶刃啮合、一对和两对齿啮合。外齿轮对的顶刃啮合、单齿对啮合和双齿对啮合持续时间表示为齿轮2的旋转角位移，顶刃啮合阶段齿轮2的转角为：

为齿轮2的转角，Δf_pb为齿轮2右齿面的基节偏差，r_a2为齿轮2齿顶圆半径，α_a2为齿轮2的齿顶圆压力角。由图7可知，齿轮2 在双齿啮合区的转角为：

为齿轮2在双齿啮合区的转角，ε为齿轮对的重合度，z₂为齿轮2齿数，p_b2为齿轮2的基圆齿距，r_b2为齿轮2的基圆半径。齿轮2在单齿啮合区的转角为：

为齿轮2在单齿啮合区的转角。取双齿啮合时的综合刚度为 k_d，单齿啮合时的综合刚度为k_s，顶刃啮合阶段的刚度为k_a，则齿轮在右啮合线上的总刚度为：

刚度k_R为齿轮转角的函数即

左啮合线上的刚度与右啮合线上的刚度相差一个相位角γ_ar，左啮线上的齿轮刚度表示为

γ_ar为右齿面的齿顶到左齿面齿根的间距角；左啮线上的齿轮刚度k_L为：

k_d为双齿啮合时的综合刚度，k_sg为单齿啮合时的综合刚度，k_a为顶刃啮合阶段的刚度。对于右齿面来说，单齿啮合区时的综合刚度 k_sg即为该接触点的刚度。

其中下标1和2分别代表测量齿轮和产品齿轮。即k_b1、k_b2为分别表示测量齿轮和产品齿轮的弯曲刚度，k_s1、k_s2分别表示测量齿轮和产品齿轮的剪切刚度，k_h为轮齿齿面接触刚度。

对于右齿面来说，顶刃啮合时的综合刚度为k_a为顶刃啮合时右齿面两个接触点刚度的叠加，但是顶刃啮合阶段齿轮2的齿顶在齿轮 1的齿面上刮行，所以是齿轮2的齿顶处的刚度与齿轮1齿面不同点处的刚度叠加，其表达式如下

k_a＝k_a1+k_a2 (27)

其中k_a1为第1个接触点处的刚度，k_a2为第2个接触点处的刚度，轮齿在第1个接触点处为顶刃啮合，即产品齿轮的齿顶在测量齿轮的齿面上刮行，所以k_a1为：

k_b1,1、k_s1,1为分别表示测量齿轮在第1个啮合点处的轮齿弯曲和刚度，，

分别表示产品齿轮在第1个啮合点处的轮齿剪切刚度，在这个阶段产品齿轮的齿顶在测量齿轮的齿面上刮行，即产品齿轮在该阶段始终是齿顶与测量齿轮接触，产品齿轮齿顶处的刚度即齿轮转角取

时的刚度，k_h1为在第1个啮合点处的轮齿齿面接触刚度。

第二个接触点出的刚度k_a2为：

k_b1，2、k_b2，2为分别表示测量齿轮和产品齿轮在第2个啮合点处的轮齿弯曲刚度，k_s1，2、k_s2，2分别表示测量齿轮和产品齿轮在第i个啮合点处的轮齿剪切刚度，k_h,2为在第2个啮合点处的轮齿齿面接触刚度。

双齿啮合时右齿面的综合刚度为k_d为双齿啮合时两个接触点刚度的叠加，其表达式如下：

k_d1和k_d2分别为第一个接触点和第二个接触点处的综合刚度，i 代表第i个啮合点，k_b1,i、k_b2,i为分别表示测量齿轮和产品齿轮在第i 个啮合点处的轮齿弯曲刚度，k_s1,i、k_s2,i分别表示测量齿轮和产品齿轮在第i个啮合点处的轮齿剪切刚度，k_h为在第i个啮合点处的轮齿齿面接触刚度。

将k_R代入式3便可求得双面啮合中右齿面沿啮合线方向的变形量δ_R，变形量是齿轮转角的函数

同样的可求得双面啮合时左齿面沿啮合线方向的变形量δ_L，左齿面变形量同样是齿轮转角的函数但与右齿面相差一个相位角γ_ar，左齿面的变形量可表示为

将δ_L和δ_R带入式(1)便可求得齿轮双面啮合时在弹簧力作用下的径向变形量关于齿轮转角的函数。

通过Matlab对上述双面啮合测量中测量力影响下的轮齿变形算法进行仿真。以模数为0.5mm的钢制齿轮在10N径向力作用下的变形为例，所用齿轮参数如下：

单个轮齿在齿轮转动时力的作用点从齿根移动到齿顶的过程中变形量逐渐变大，刚度逐渐减小。双面啮合时单侧齿面的啮合刚度为顶刃啮合阶段、双齿啮合阶段和单齿啮合阶段的刚度的叠加，双面啮合的径向变形量是左右齿面变形量按相位的叠加。

Claims (1)

1.齿轮双面啮合测量中测量力引入轮齿变形计算方法，其特征在于，步骤如下：

1)轮齿变形量由三部分组成：弯曲变形、剪切变形和接触变形；弯曲和剪切模型由悬臂梁模型计算，接触变形由赫兹公式计算；轮齿的弯曲变形量δ_b和剪切变形量δ_s由下式表示

其中n为轮齿分成的微元数，δ_b为弯曲变形，δ_s为剪切变形，F_i为沿啮合线方向的给定作用力，σ_i为微元部分宽度，

为微元两个侧面截面模量的均值，G为轮齿的剪切模量，

为微元两个侧面截面积的均值，μ为泊松比，E为弹性模量，α'_x为载荷方向与垂直方向的夹角，l_i表示微元i与载荷作用点之间沿X轴方向的距离；

轮齿的接触变形由赫兹公式计算；

δ_h为接触变形，μ₁为测量齿轮的泊松比，μ₂为产品齿轮的泊松比，E₁为测量齿轮的弹性模量，E₂为产品齿轮的弹性模量，b为齿宽；

2)轮齿的刚度由弯曲刚度、剪切刚度和接触刚度组成；轮齿的弯曲刚度k_b、剪切刚度k_s和接触刚度k_h分别为：

δ_b、δ_s和δ_h分别为轮齿的弯曲变形、剪切变形和接触变形，F_i为沿啮合线方向的给定作用力；

3)轮齿的单对齿啮合刚度是由参与啮合的测量齿轮和产品齿轮的刚度叠加；齿轮的单对齿啮合刚度k_i为：

k_b1、k_b2为分别表示测量齿轮和产品齿轮的轮齿弯曲刚度，k_s1、k_s2分别表示测量齿轮和产品齿轮的轮齿剪切刚度，k_h为轮齿齿面的接触刚度；

4)齿轮双面啮合时在一条啮合线上存在单齿啮合区、双齿啮合区和顶刃啮合区，单齿啮合区只有一对齿参与啮合，齿轮的啮合刚度等于单对齿啮合刚度；双齿啮合区和顶刃啮合区同时有两对齿参与啮合，齿轮的啮合刚度为两个啮合啮合点的刚度的叠加；

单齿啮合区齿轮啮合刚度为：

k_b1、k_b2为分别表示测量齿轮和产品齿轮的弯曲刚度，k_s1、k_s2分别表示测量齿轮和产品齿轮的剪切刚度，k_h为轮齿齿面接触刚度；

双齿啮合区齿轮啮合刚度为：

k_d1和k_d2分别为第一个啮合点和第二个啮合点处的单对齿刚度，i代表第i个啮合点，k_b1,i、k_b2,i为分别表示测量齿轮和产品齿轮在第i个啮合点处的轮齿弯曲刚度，k_s1,i、k_s2,i分别表示测量齿轮和产品齿轮在第i个啮合点处的轮齿剪切刚度，k_h,i为在第i个啮合点处的轮齿齿面接触刚度；

在顶刃啮合区齿轮啮合刚度为：

k_a＝k_a1+k_a2

其中k_a1为第1个啮合点处的刚度，即顶刮处的刚度，k_a2为第2个啮合点处的刚度；

k_b1,1、k_s1,1为分别表示测量齿轮在顶刮处的轮齿弯曲和刚度，

分别表示产品齿轮在顶刮处的轮齿剪切刚度，k_h1为在顶刮处的轮齿齿面接触刚度；

第二个啮合点出的刚度k_a2为：

k_b1，2、k_b2，2为分别表示测量齿轮和产品齿轮在第2个啮合点处的轮齿弯曲刚度，k_s1，2、k_s2，2分别表示测量齿轮和产品齿轮在第2个啮合点处的轮齿剪切刚度，k_h,2为在第2个啮合点处的轮齿齿面接触刚度；

因此齿轮在右啮合线上的刚度为：

刚度k_R为齿轮转角的函数即

左啮合线上的刚度与右啮合线上的刚度相差一个相位角γ_ar，左啮线上的齿轮刚度表示为

γ_ar为右齿面的齿顶到左齿面齿根的间距角；左啮线上的齿轮刚度k_L为：

5)由一条啮合线上的齿轮刚度求得齿轮沿该啮合线方向的变形量，沿左右啮合线方向的变形量分别为δ_L和δ_R：

F_L、F_R为径向力沿左右啮合线方向的分量，k_L、k_R为沿啮合线方向的综合刚度；

将左右啮合线上的轮齿变形量按啮合相位叠加，从而得到测量力引起的双啮中心距变化量δ：

其中α’为啮合角，δ_L、δ_R为沿左右两条啮合线方向上的变形量。

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