CN107729626B - 一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法 - Google Patents

Abstract

一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法，首先建立了齿面概率点蚀平面分布模型，点蚀产生按照沿齿宽方向随机分布、沿齿高方向正态分布；其次，采用图像处理方法来获取啮合线长度变化；然后，建立啮合线长度变化值与压力角之间的一一对应关系；最后，综合考虑赫兹接触刚度、弯曲刚度、剪切刚度和轴向压缩刚度，精确计算齿轮时变啮合刚度，求解齿轮系统内部激励；本发明克服了传统点蚀模型与实际相差大、无法处理点蚀复杂分布等缺点，同时提高了模型计算精度，实现点蚀齿轮系统内部激励的精确计算，完成基于概率分布的齿轮点蚀模型建模。

Description

一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法

技术领域

本发明属于齿轮系统动态建模技术领域，具体涉及一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法。

背景技术

齿轮传动系统以其适用范围广、传动比准确、传动效率高、结构紧凑、可靠寿命长等诸多优点，被广泛应用于仪器、仪表、冶金、矿山等行业。然而，由于齿轮系统存在制造误差、安装误差，以及常常工作于过载、欠润滑等恶劣的工况下，导致齿面点蚀、剥落、磨损、齿根裂纹等机械故障频繁出现。作为一种常见的齿轮故障类型，齿面点蚀会导致齿轮啮合刚度减小；任其发展，将导致齿面剥落，甚至严重磨损，进而给整个传动链带来严重的安全隐患，造成严重的经济损失，甚至人员伤亡。

在齿轮系统的众多激励形式中，内部刚度激励是齿轮传动的重要激励形式，准确计算时变啮合刚度是齿轮系统动力学建模的首要任务，齿轮系统动力学模型的准确性直接影响时变啮合刚度计算的精度。点蚀发生位置的不确定性给齿轮时变啮合刚度的研究带来诸多不便，传统模型中，研究人员将点蚀进行简化，主要存在以下缺点：(1)点蚀位置与实际不符，点蚀通常集中在节线偏下的位置上，但在简化时，多将点蚀坑中心定位于节线上；(2)点蚀形状与实际不符，点蚀坑的形状是不规则的，传统模型多将点蚀坑形状简化为圆形、椭圆形和矩形；(3)点蚀数量与实际不符，为简化计算，采用面积大，数量少的点蚀坑来模拟点蚀。综上，已有模型与实际相差较远，必然导致齿轮时变啮合刚度计算结果不精确，造成计算所得结果与实际结果存在较大差异。

发明内容

为了克服上述现有技术的缺点，本发明的目的在于提供一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法，采用圆柱凹坑模拟点蚀，点蚀位置基于概率分布，还原点蚀分布对时变啮合刚度的影响，减小传统方法带来的计算误差，实现对点蚀齿轮时变啮合刚度的精确计算。

为了达到上述目的，本发明采取的技术方案为：

一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法，包括以下步骤：

1)建立齿面概率点蚀平面分布模型，点蚀故障在啮合齿面上的分布具有规律性：点蚀沿轮齿齿宽方向服从随机分布，沿轮齿齿高方向服从正态分布，正态分布的具体参数如下式所示，

σ＝h/6

μ＝r-σ/2

式中，μ为数学期望，即齿高方向点蚀分布的中心位置到齿轮中心的距离，σ为齿高方向正态分布标准差，h为发生点蚀的轮齿齿高，r为点蚀齿轮节圆半径，点蚀故障的严重程度由点蚀面积占齿面面积的比例决定，划分为正常、一级点蚀、二级点蚀、三级点蚀共4个等级，一级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例不超过3％，二级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为3％-15％，三级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为15％-50％，第i(i＝1,2,3)等级新产生的点蚀坑的数量n_i为：

式中，L为齿宽，P_i为第i等级点蚀面积占齿面面积的比例，r_i为第i等级点蚀圆柱凹坑的半径，综合齿面点蚀概率和各等级点蚀坑数量，得到各等级齿面概率点蚀平面分布模型，保存为不失真的位图；

2)依次读取步骤1)中各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像各像素点灰度值，灰度值grey≥128，此像素点不在点蚀区域内；grey<128，认为此像素点在点蚀区域内，分别读取各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像，获取点蚀引起的接触线长度减小值ΔL；

3)建立ΔL与啮合压力角α之间的联系，计算齿廓上与α相对应的啮合点对中间面投影与节圆投影之间的距离Δx₁，

式中，r_bp为主动轮基圆半径，α₂为半基圆齿厚角，m为齿轮模数，N_p为主动轮齿数，同样地，计算ΔL对应位置到节圆投影之间的距离Δx₂，Δx₂＝x-r

式中，x为ΔL的位置到圆心的距离，r为节圆半径，寻找与Δx₁最接近的Δx₂，则此Δx₂对应的ΔL与此Δx₁对应的α之间就建立了一一对应关系；

4)建立刚度求解方法，求解齿轮系统内部激励，齿轮时变啮合刚度包括：赫兹接触刚度k_h、弯曲刚度k_b、剪切刚度k_s、轴向压缩刚度k_a，齿轮时变啮合刚度计算公式如下：

式中，下标的1和2分别代表主动轮和从动轮，j＝1和j＝2分别代表参与啮合的第一对齿轮和第二对齿轮，其中，k_h，k_b，k_s，k_a的计算公式如下，

式中，r_b为基圆半径，r_r为齿根圆半径，α₁为啮合压力角，E为齿轮材料杨氏模量，RR为齿根过渡圆弧半径，x₁为过渡部分对中间面投影到圆心的距离，H为点蚀坑深度，υ为齿轮材料泊松比，由此，便得到了齿轮系统内部激励，求得齿轮时变啮合刚度，完成基于概率分布的齿轮点蚀模型建模。

本发明的有益效果为：

本发明考虑了实际中点蚀产生按照沿齿宽方向随机分布、沿齿高方向正态分布的特点，并采用概率函数进行模拟；提出了采用图像处理的方式来获取啮合线长度变化的方法，建立了啮合线长度变化值与积分变量之间的联系，摆脱了传统方法中对模拟点蚀区域必须进行分段的思想，大大简化计算过程；此外，综合考虑赫兹接触刚度、弯曲刚度、剪切刚度和轴向压缩刚度，实现了齿轮时变啮合刚度的精确计算，求解齿轮系统内部激励。因此，一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法克服了传统点蚀模型与实际相差大、无法处理点蚀复杂分布情况、计算方法复杂等缺点，提高了模型计算精度，实现点蚀齿轮系统内部激励的精确计算，完成基于概率分布的齿轮点蚀模型建模。

附图说明

图1为本发明方法的流程图。

图2为概率点蚀分布模型示意图。

图3为点蚀四个等级点蚀坑分布图，图(a)为正常齿面，图(b)为一级点蚀齿面，图(c)为二级点蚀齿面，图(d)为三级点蚀齿面。

图4为模型时变啮合刚度图，图(a)为四个等级对比图，图(b)为图(a)中单齿啮合区放大图，图(c)为图(a)中双齿啮合区放大图。

图5为点蚀四个等级的有限元模型图，图(a)为正常模型，图(b)为一级点蚀模型，图(c)为二级点蚀模型，图(d)为三级点蚀模型。

图6为有限元模型计算结果与计算结果对比图，图(a)为正常齿面有限元法与势能法计算所得刚度对比图，图(b)为一级点蚀齿面有限元法与势能法计算所得刚度对比图，图(c)为二级点蚀齿面有限元法与势能法计算所得刚度对比图，图(d)为三级点蚀齿面有限元法与势能法计算所得刚度对比图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明做进一步详细描述：

参照图1，一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法，包括以下步骤：

1)建立齿面概率点蚀平面分布模型，忽略齿轮加工和安装误差，如图2所示，点蚀故障在啮合齿面上的分布具有规律性：点蚀沿轮齿齿宽方向服从随机分布，沿轮齿齿高方向服从正态分布，正态分布的具体参数如下式所示，σ＝h/6

μ＝r-σ/2

式中，μ为数学期望，即齿高方向点蚀分布的中心位置到齿轮中心的距离，σ为齿高方向正态分布标准差，h为发生点蚀的轮齿齿高，r为点蚀齿轮节圆半径，点蚀故障的严重程度由点蚀面积占齿面面积的比例决定，划分为正常、一级点蚀、二级点蚀、三级点蚀共4个等级，一级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例不超过3％，二级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为3％-15％，三级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为15％-50％，第i(i＝1,2,3)等级新产生的点蚀坑的数量n_i为：

式中，L为齿宽，P_i为第i等级点蚀面积占齿面面积的比例，r_i为第i等级点蚀圆柱凹坑的半径，综合齿面点蚀概率和各等级点蚀坑数量，得到各等级齿面概率点蚀平面分布模型，如图3所示，保存为不失真的位图；

2)依次读取步骤1)中各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像各像素点灰度值，灰度值grey≥128，此像素点不在点蚀区域内；grey<128，认为此像素点在点蚀区域内，分别读取各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像，获取点蚀引起的接触线长度减小值ΔL；

3)建立ΔL与啮合压力角α之间的联系，计算齿廓上与α相对应的啮合点对中间面投影与节圆投影之间的距离Δx₁，

式中，r_bp为主动轮基圆半径，α₂为半基圆齿厚角，m为齿轮模数，N_p为主动轮齿数，同样地，计算ΔL对应位置到节圆投影之间的距离Δx₂，Δx₂＝x-r

式中，x为ΔL的位置到圆心的距离，r为节圆半径，寻找与Dx₁最接近的Δx₂，则此Δx₂对应的ΔL与此Δx₁对应的α之间就建立了一一对应关系；

4)建立刚度求解方法，求解齿轮系统内部激励，齿轮时变啮合刚度包括：赫兹接触刚度k_h，弯曲刚度k_b，剪切刚度k_s，轴向压缩刚度k_a，齿轮时变啮合刚度计算公式如下：

式中，下标的1和2分别代表主动轮和从动轮，j＝1和j＝2分别代表参与啮合的第一对齿轮和第二对齿轮，其中，k_h，k_b，k_s，k_a的计算公式如下，

式中，r_b为基圆半径，r_r为齿根圆半径，α₁为啮合压力角，E为齿轮材料杨氏模量，RR为齿根过渡圆弧半径，x₁为过渡部分对中间面投影到圆心的距离，H为点蚀坑深度，υ为齿轮材料泊松比，由此，便得到了齿轮系统内部激励，求得齿轮时变啮合刚度，如图4所示，完成基于概率分布的齿轮点蚀模型建模。

为了进一步证明该基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法的准确性，建立齿轮点蚀有限元模型求解齿轮内部激励，齿轮结构参数如表1所示。

表1：齿轮结构参数

结合各等级点蚀分布情况，利用Solidworks三维建模软件建立基于概率分布的齿轮点蚀模型，将基于概率分布的齿轮点蚀模型导入ANSYS软件进行有限元分析。采用ANSYS软件分析时，单元类型为Solid 185，为减少有限元分析计算量，建立基于概率分布的齿轮点蚀模型时，只建立基础部分和包括点蚀轮齿在内的三个轮齿，建立的基于概率分布的齿轮点蚀有限元模型如图5所示。

基于概率分布的齿轮点蚀有限元模型中，采用静力学分析。将每个啮合周期均分为20份，在每个位置上分别进行静力学分析计算，最终将多个点分别计算得到的啮合刚度进行拟合，得到齿轮时变啮合刚度。进行静力学分析时，主要工作有：网格划分，添加约束和载荷，计算求解。划分网格时，正常轮齿划分六面体扫略单元，由于故障轮齿点蚀坑的不规则性，将故障轮齿划分为四面体单元进行求解。约束条件有三：从动轮轮轴固定；主动轮轮轴施加圆柱约束，保留切向自由度；两齿面之间为接触约束。载荷施加在主动轮轮轴上，求解模型应力、应变以及位移，根据静变形分别计算每个角度对应的啮合刚度。四个等级下基于概率分布的齿轮点蚀有限元模型数值解与能量法解析解的对比如图6所示，从图中可以看出，能量法解析解与有限元模型数值解相吻合，验证了一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法的准确性。

以上内容是结合具体的优选实施方式对本发明所作的进一步详细说明，不能认定本发明的具体实施方式仅限于此，对于本发明所属技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单的推演或替换，都应当视为属于本发明由所提交的权利要求书确定专利保护范围。

Claims (1)

1.一种基于概率分布的齿轮点蚀模型建模方法，其特征在于，包括以下步骤：

1)建立齿面概率点蚀平面分布模型，点蚀故障在啮合齿面上的分布具有规律性：点蚀沿轮齿齿宽方向服从随机分布，沿轮齿齿高方向服从正态分布，正态分布的具体参数如下式所示，

σ＝h/6

μ＝r-σ/2

式中，μ为数学期望，即齿高方向点蚀分布的中心位置到齿轮中心的距离，σ为齿高方向正态分布标准差，h为发生点蚀的轮齿齿高，r为点蚀齿轮节圆半径，点蚀故障的严重程度由点蚀面积占齿面面积的比例决定，划分为正常、一级点蚀、二级点蚀、三级点蚀共4个等级，一级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例不超过3％，二级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为大于3％至小于等于15％，三级点蚀的点蚀面积占齿面面积的比例为大于15％至小于等于50％，当i＝1，2，3，第i等级新产生的点蚀坑的数量n_i为：

式中，L为齿宽，P_i为第i等级点蚀面积占齿面面积的比例，r_i为第i等级点蚀圆柱凹坑的半径，综合齿面点蚀概率和各等级点蚀坑数量，得到各等级齿面概率点蚀平面分布模型，保存为不失真的位图；

2)依次读取步骤1)中各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像各像素点灰度值，灰度值grey≥128，此像素点不在点蚀区域内；grey＜128，认为此像素点在点蚀区域内，分别读取各等级齿面概率点蚀平面分布模型图像，获取点蚀引起的接触线长度减小值ΔL；

3)建立ΔL与啮合压力角α之间的联系，计算齿廓上与α相对应的啮合点对中间面投影与节圆投影之间的距离Δx₁，

式中，r_bp为主动轮基圆半径，α₂为半基圆齿厚角，m为齿轮模数，N_p为主动轮齿数，同样地，计算ΔL对应位置到节圆投影之间的距离Δx₂，

Δx₂＝x-r

式中，x为ΔL的位置到圆心的距离，r为节圆半径，寻找与Δx₁最接近的Δx₂，则此Δx₂对应的ΔL与此Δx₁对应的α之间就建立了一一对应关系；

4)建立刚度求解方法，求解齿轮系统内部激励，齿轮时变啮合刚度包括：赫兹接触刚度k_h、弯曲刚度k_b、剪切刚度k_s、轴向压缩刚度k_a，齿轮时变啮合刚度k计算公式如下：

式中，下标的1和2分别代表主动轮和从动轮，k_h.j表示第j对齿轮的赫兹接触刚度，k_b1、k_a1和k_s1分别表示主动轮的弯曲刚度、轴向压缩刚度和剪切刚度，k_b2、k_a2和k_s2分别表示从动轮的弯曲刚度、轴向压缩刚度和剪切刚度，k_b1.j、k_a1.j和k_s1.j分别表示第j对齿轮中主动轮的弯曲刚度、轴向压缩刚度和剪切刚度，k_b2.j、k_a2.j和k_s2.j分别表示第j对齿轮中从动轮的弯曲刚度、轴向压缩刚度和剪切刚度，j＝1和j＝2分别代表参与啮合的第一对齿轮和第二对齿轮，其中，k_h，k_b，k_s，k_a的计算公式如下，

式中，r_b为基圆半径，r_r为齿根圆半径，-α₁为啮合压力角的积分下限值，E为齿轮材料杨氏模量，RR为齿根过渡圆弧半径，x₁为过渡部分对中间面投影到圆心的距离，H为点蚀坑深度，υ为齿轮材料泊松比，由此，便得到了齿轮系统内部激励，求得齿轮时变啮合刚度，完成基于概率分布的齿轮点蚀模型建模。

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