CN109376455A - 一种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，在齿面接触分析的基础上提出，并分别考虑了单齿啮合和双齿啮合状态下的齿面接触变形，完成了整个啮合周期的齿面接触变形计算。本发明提出的齿面变形解析计算中，载荷是对齿面变形影响较大的一个重要因素。在双齿啮合条件下，齿面上所受的接触力要小于单齿啮合条件下的齿面接触力；双齿啮合条件下的齿面变形要小于单齿啮合条件下的齿面变形。因为在双齿啮合时，由于有两对齿同时参与啮合，共同分担齿轮所受的载荷，齿面上的接触力会小于单齿啮合时齿面的接触力，导致双齿啮合条件下的齿面变形小于单齿啮合条件下的齿面变形。为高性能齿轮传动和齿轮产品的设计提供参考和思路。

Description

一种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法

技术领域

本发明属于弧齿锥齿轮设计领域，具体涉及一种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法。

背景技术

弧齿锥齿轮由于具有承载能力大、传动平稳、传动噪声低、传动比大、重合度高等特点，成为航空航天、汽车、工程机械等领域中动力传递过程中的关键部件。

而齿面接触变形作为齿面接触分析结果的评判标准之一，对齿面接触分析(TCA)，尤其是加载齿面接触分析(LTCA)有着很重要的影响。

在高速重载的运行工况下，齿面接触变形是不得不考虑的关键因素。它能直接影响齿面的接触性能如齿面接触力，接触应力，齿面接触印痕，传动误差等。

关于齿面接触变形的计算与分析，大多数都是采用有限元方法求解计算，存在人为的网格划分精度问题，导致求解过程存在很大的不确定性和误差；

发明内容

本发明的目的在于提供一种能保证求解过程确定性，从而避免求解误差的弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法。

本发明提供的这种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，将大轮和小轮之间的啮合看作时两个弹性体之间的接触，包括以下步骤：

一、单齿啮合状态下的变形计算

(1)根据刀盘方程R_p(θ₁,φ₁)和刀盘单位法矢n_p(θ₁,φ₁)，通过坐标变换，将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下，得到轮坯坐标系下的齿面方程R₁(θ₁,φ₁)和齿面法矢n₁(θ₁,φ₁)；

(2)将轮坯坐标系下的齿面方程变换到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢；

(3)根据啮合坐标系下的齿面方程R_m1(θ₁,φ₁)和齿面法矢n_m1(θ₁,φ₁)求解齿面的第一基本齐式(E₁，F₁，G₁)和第二基本齐式(L₁，M₁，N₁)；

(4)根据齿面第一基本齐式和第二基本齐式，求解齿面主曲率δk1和δk₂；

(5)根据齿轮所受的弯矩计算齿面上所受的力F；

(6)根据接触力学原理，根据求解的齿面上所受的力F，求解接触椭圆的长半轴a；

(7)根据求解的齿面所受的力F、接触椭圆的长半轴a计算出两齿轮啮合时齿面的变形量w。

二、双齿啮合状态下的变形计算

依据单齿啮合状态下的计算方法，通过TCA求解所需参数，建立误差相等和力平衡条件求解两个齿面接触力，根据双齿啮合时由两对齿共同承载分担事假的扭矩负载，最后计算双齿啮合条件下的两个齿面变形量。

单齿啮合状态下的变形计算具体如下：

根据齿面接触分析(TCA)得到齿面接触点在各自坐标系的坐标R₁＝[x₁,y₁,z₁]，R₂＝[x₂,y₂,z₂]以及点矢r_i(i＝1，小轮；i＝2，大轮)和法矢n_i(i＝1,2)；

设定与切齿机床刚性固接的机床坐标系Sg，与轮坯刚性固接的轮坏坐标系S1，与摇台刚性固接的坐标系St；

设定Σ₁和Σ₂为即将啮合的两齿面；A₁和A₂为即将进入啮合的两齿面接触点；h为两齿面进入啮合前的初始间隙；P为从动轮齿面所受的载荷；u_z1为齿面Σ₁上任意一点z₁由于啮合受载产生的位移；u_z2为齿面Σ₂上任意一点z₂由于啮合受载产生的位移；P为从动轮齿面所受的载荷；δ₁为齿面Σ₁上接触点K受载产生的变形；δ₂为齿面Σ₂上接触点K受载产生的变形；a为两齿面接触形成的接触椭圆的长半轴；A为两齿面接触形成的接触区域的边界尺寸；δ_z为两齿面啮合时，由于受载荷作用产生的齿面变形；

两齿面之间的变形δ_z可表示为：

从机床坐标系到轮坯坐标系的坐标变换矩阵为

其中，φ₁＝m_cφ_c1，m_c为切削滚比，φ₁为小轮转角，φ_c1为摇台转角；ΔX_B1，γ_m1，ΔE_m1，ΔX_D2，S_r1，q₁均为机床调整参数，均可通过机床调整卡得到。

为了后续的法矢计算，将转换矩阵去掉最后一行和最后一列得到它的子矩阵：

从轮坯坐标系到啮合坐标系的变换矩阵为：

式中，旋转角度旋转位移(Δl)₁＝((Δl_X)₁,(Δl_Y)₁,(Δl_Z)₁)；

它对应的子矩阵为：

经过整个坐标变换后，得出：

小轮的齿面方程为R_m1(θ₁,φ₁)＝(M_t-f)₁×M_1p·R_p(θ₁,φ₁)

小轮的齿面法矢为N_m1(θ₁,φ₁)＝(L_t-f)₁×L_1p·np(θ₁,φ₁)

根据小轮的齿面方程，求得齿面上的两条切线如下：

将TCA计算的各个接触时刻接触点(θ₁，φ₁)值代入以下各式可求得齿面的第一和第二基本齐式。

第一基本齐式：

第二基本齐式：

将求得齿面的第一和第二基本齐式代入以下方程可解得齿面的主曲率δk₁和δk₂；

L₁du+M₁dθ＝δk_1,2(E₁du+F₁dθ)

M₁du+N₁dθ＝δk_1,2(F₁du+G₁dθ)

齿面上所受的力：

式中，M是齿轮所受的弯矩；r_k是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离；α是刀具齿形角；β_k是齿面接触点K的螺旋角；由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：

接触点K位置的螺旋角可有以下公式求出：

式中，r₀为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距。R₀为外锥距；B为齿宽。

同理，对于大轮而言，求解过程和方法是一样的；

至此，两轮齿面的主曲率δk₁和δk₂，两齿面上的接触力F都可以分别求出，作为齿面变形求解的基础；

根据接触力学原理，两齿面接触所形成的接触区域为椭圆形，其中接触点K是接触椭圆的中心，所受的力F沿着齿面的法线方向；则接触椭圆的长半轴和短半轴都可以通过公式计算：

长半轴：短半轴：b＝λa

其中，E₁、E₂分别为小、大轮的弹性模量；u₁、u₂分别为小大轮的泊松比；E^*是综合弹性模量；λ是方程δk₂J₁(λ)-δk₁J₂(λ)＝0的根；ξ为通用加工参数刀转角；

综合以上求解的F、E^*、a、J₀可以求得两齿轮啮合时的齿面变形w：

双齿啮合状态下的变形计算具体如下：

确定其中接触的一个齿对0的啮合接触状态和坐标变换矩阵，建立TCA方程组，求解在该点接触时的齿面的主曲率δk0，接触点螺旋角β₀，接触点到旋转轴线的距离rk0，传动误差STE0，其中δk0、β₀和rk0的求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同。

式中，φ_c0实为齿对0中从动轮的实际转角；φ_c0实为齿对0中主动轮的理论转角；Z₁，Z₂分别为主动轮和从动轮的齿数。

将齿对0通过坐标变换使其绕轴线旋转一个齿的角度后得到齿对1，重新确定齿对1的啮合接触状态和坐标变换矩阵，重新建立该齿对的TCA方程组，求解在齿对1上接触时的齿面主曲率δk₁，接触点螺旋角β₁，接触点到旋转轴线的距离rk1，传动误差STE1，其中δk1、β₀和rk1的求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同。

式中，φ_c1实为齿对1中从动轮的实际转角；φ_c1实为齿对1中主动轮的理论转角；Z₁，Z₂分别为主动轮和从动轮的齿数。

根据传动误差STE0与STE1相等以及两对齿共同承载分担扭矩载荷M来建立方程组，求解两对齿接触时，各对齿上接触点的接触力F₀和F₁。

STE0(F₀)＝STE1(F₁)

F₀rk₀cosαcosβ₀+F₁rk₁cosαcosβ₁＝M

根据求解的齿面接触力F₀和F₁，计算两齿对接触椭圆的长半轴a₀，a₁和短半轴b₀，b₁，以及两个齿面上的齿面变形w₀和w₁：

参数δk0、β₀和rk0；δk1、β₀和rk1；a₀、a₁；b₀、b₁及J₁的求解参照单齿啮合状态下的求解方法。

本发明将大轮和小轮之间的啮合看作时两个弹性体之间的接触，分别考虑了单齿啮合和双齿啮合状态下的齿面接触变形，完成了整个啮合周期的齿面接触变形计算，计算过程中不存在人为因素的影响。也就是说本发明是在齿面接触分析的基础上提出的关于加载齿面接触分析的齿面变形的精确计算方法，避免了现有技术对齿面接触变形的计算与分析采用有限元方法而带来的人为因素影响，能保证求解过程的确定性，从而避免求解误差。

附图说明

图1为本发明单齿啮合下将要进入啮合的两齿面示意图。

图2为单齿啮合下已经进入啮合的两齿面示意图。

图3为单齿啮合下齿面主曲率的求解流程图。

图4为本发明双齿啮合下的齿面变形计算流程图。

图5为本发明一个算例在单齿啮合时的接触力图。

图6为本算例在双齿啮合时的接触力图。

具体实施方式

本发明公开的这种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，在齿面接触分析的基础上提出，并分别考虑了单齿啮合和双齿啮合状态下的齿面接触变形，完成了整个啮合周期的齿面接触变形计算。具体如下：

一、关于单齿啮合下的齿面变形计算

根据齿面接触分析(TCA)得到齿面接触点在各自坐标系的坐标R₁＝[x₁,y₁,z₁],R₂＝[x₂,y₂,z₂]以及点矢r_i(i＝1，小轮；i＝2，大轮)和法矢n_i(i＝1,2)。大轮与小轮之间的啮合可以看作是两个弹性体之间的接触，图1中给出了将要进入啮合的两齿面；图2中给出了已经进入啮合的两齿面。

图1中，Σ₁和Σ₂为即将啮合的两齿面；A₁和A₂为即将进入啮合的两齿面接触点；h为两齿面进入啮合前的初始间隙；P为从动轮齿面所受的载荷。

图2中，Σ₁和Σ₂为已经进入啮合的两齿面；u_z1为齿面Σ₁上任意一点z₁由于啮合受载产生的位移；u_z2为齿面Σ₂上任意一点z₂由于啮合受载产生的位移；P为从动轮齿面所受的载荷；δ₁为齿面Σ₁上接触点K受载产生的变形；δ₂为齿面Σ₂上接触点K受载产生的变形；a为两齿面接触形成的接触椭圆的长半轴；A为两齿面接触形成的接触区域的边界尺寸；δ_z为两齿面啮合时，由于受载荷作用产生的齿面变形。两齿面之间的变形δ_z可表示为：

其中，δk₁和δk₂为小轮齿面接触点的主曲率，可以通过公式计算。如图3所示，具体计算流程如下：

根据刀盘方程R_p(θ₁,φ₁)，刀盘单位法矢n_p(θ₁,φ₁)，通过坐标变换将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下，得到轮坯坐标系下的齿面方程R₁(θ₁，φ₁)和齿面法向矢量n₁(θ₁，φ₁)。

为了实现啮合过程，需再将轮坯坐标系下的齿面方程变换到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下的齿面方程R_m1(θ₁，φ₁)和齿面法矢n_m1(θ₁，φ₁)。

根据啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢求解齿面的第一基本齐式(E₁，F₁，G₁)和第二基本齐式(L₁，M₁，N₁)。

根据求得的齿面的第一和第二基本齐式，求解两个基本方程可得齿面的主曲率δk₁和δk₂。

图3给出了单齿啮合状态下齿面主曲率的求解流程。

从机床坐标系到轮坯坐标系的坐标变换矩阵为：

它对应的子矩阵为

从轮坯坐标系到啮合坐标系的变换矩阵为：

式中，旋转角度旋转位移(Δl)₁＝((Δl_X)₁,(Δl_Y)₁,(Δl_Z)₁)。

它对应的子矩阵为：

经过整个坐标变换后，小轮的齿面方程和齿面法矢可表示为：

R_m1(θ₁,φ₁)＝(M_t-f)₁×M_1p·R_p(θ₁,φ₁) (6)

N_m1(θ₁,φ₁)＝(L_t-f)₁×L_1p·n_p(θ₁,φ₁) (7)

由齿面方程可求得齿面上的两条切线：

将TCA计算的各个接触时刻接触点(θ₁，φ₁)值代入以下各式可求得齿面的第一和第二基本齐式。

第一基本齐式：

第二基本齐式：

将求得的齿面的第一和第二基本齐式代入方程可解得齿面的主曲率δk₁和δk₂。

根据齿轮所受的弯矩可计算齿面上所受的力：

式中，M是齿轮所受的弯矩；r_k是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离，可由公式计算；a是刀具齿形角；β_k是齿面接触点K的螺旋角。由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：

接触点K位置的螺旋角可由公式求出：

式中，r₀为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距。R₀为外锥距；B为齿宽。

同理，对于大轮而言，求解过程和方法是一样的。

至此，两轮齿面的主曲率δk₁和δk₂，两齿面上的接触力F都可以分别求出，作为齿面变形求解的基础。

根据接触力学原理，两齿面接触所形成的接触区域为椭圆形，其中接触点K是接触椭圆的中心，所受的力F沿着齿面的法线方向。则接触椭圆的长半轴和短半轴都可以通过公式计算：

长半轴：

短半轴：b＝λa (19)

其中，E₁、E₂分别为小大轮的弹性模量；u₁、u₂分别为小大轮的泊松比；E^*是综合弹性模量。λ是下列方程的根。

δk₂J₁(λ)-δk₁J₂(λ)＝0 (24)

综合以上求解的F、E^*、a、J₀可以求得两齿轮啮合时齿面的变形w。

二、关于双齿啮合下的变形计算

齿轮啮合时会存在双齿啮合区，双齿啮合时齿面变形的计算方法与原理同单齿啮合时的大致一样，不同的只是双齿啮合时是由两对齿共同承载分担施加的扭矩负载。双齿啮合时由于两个齿面同时啮合接触，存在两个接触点。其计算流程如图4所示。

具体为：

先确定其中接触的一个齿对0的啮合接触状态和坐标变换矩阵，建立TCA方程组，求解在该点接触时的齿面的主曲率δk₀，接触点螺旋角β₀，接触点到旋转轴线的距离rk₀，传动误差STE0等参数。

然后将该齿对通过坐标变换使其绕轴线旋转一个齿的角度后得到齿对1，重新确定齿对1的啮合接触状态和坐标变换矩阵，重新建立该齿对的TCA方程组，求解在齿对1上接触时的齿面主曲率δk₁，接触点螺旋角β₁，接触点到旋转轴线的距离rk₁，传动误差STE1等参数。

根据传动误差STE0与STE1相等以及两对齿共同承载分担扭矩载荷M来建立方程组，求解两对齿接触时，各对齿上接触点的接触力F₀和F₁。

根据求解的接触力F₀和F₁，通过公式计算接触椭圆的长半轴a₀,a₁和短半轴b₀,b₁，以及两个齿面上的齿面变形w₀和w₁。

求解双齿接触情况下的齿面主曲率，接触点螺旋角，接触点到旋转轴线的距离等参数的方法可以参看单齿接触情况下的求解方法。通过齿面接触分析(TCA)求得δk₀，β₀，rk₀，STE0，δk₁，β₁，rk₁，STE1等参数后，建立传动误差相等和力平衡条件可以求得双齿接触条件下的齿面接触力F₀和F₁。

STE0(F₀)＝STE1(F₁) (26)

F₀rk₀cosαcosβ₀+F₁rk₁cosαcosβ₁＝M (27)

根据齿面接触力F₀和F₁，计算双齿啮合接触条件下的齿面变形w₀和w₁：

三、算例

下面以一对高速重载航空用弧齿锥齿轮为例，运用提出的数值计算方法计算弧齿锥齿轮在单齿啮合和双齿啮合状态下的齿面变形量，为弧齿锥齿轮的设计提供有意义的参考。

表1给出了端面铣削弧齿锥齿轮的齿面设计基本参数；

表2给出了弧齿锥齿轮大轮机床调整卡加工参数；

表3给出了弧齿锥齿轮小轮机床调整卡加工参数。

在齿轮传动过程中，大轮凸面和小轮凹面发生接触，这两个齿面的参数将被用来进行齿面变形的计算。其中，大轮所受的扭矩M为257.693N.mm。

表4给出了两齿轮在单齿啮合受载情况下的齿面接触点产生的变形量。

表5给出了两齿轮在双齿(齿对0和齿对1)啮合受载情况下的齿面接触点产生的变形量。

图5给出了在单齿啮合情况下的齿轮接触点上的法向接触力；

图6给出了在双齿啮合情况下的齿轮接触点上的法向接触力。

表1弧齿锥齿轮齿面设计基本参数

表2弧齿锥齿轮大轮调整卡参数

表3弧齿锥齿轮小轮调整卡参数

表4单对齿面受载时齿面接触点的变形量

表5两对齿面受载时齿面接触点的变形量

在本文提出的齿面变形解析计算中，载荷是对齿面变形影响较大的一个重要因素，对比计算结果，可以知道：在双齿啮合条件下，齿面上所受的接触力要小于单齿啮合条件下的齿面接触力；双齿啮合条件下的齿面变形要小于单齿啮合条件下的齿面变形。主要原因在于：在双齿啮合时，由于有两对齿同时参与啮合，共同分担齿轮所受的载荷，齿面上的接触力会小于单齿啮合时齿面的接触力；从而导致双齿啮合条件下的齿面变形小于单齿啮合条件下的齿面变形。这也刚好证实了载荷是一个对齿面变形有很大影响的因素。因此，该数值计算方法可为高性能齿轮传动和齿轮产品的设计提供参考和思路。

Claims (3)

1.一种弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，将大轮和小轮之间的啮合看作时两个弹性体之间的接触，包括以下步骤：

一、单齿啮合状态下的变形计算

(1)根据刀盘方程R_p(θ₁,φ₁)和刀盘单位法矢n_p(θ₁,φ₁)，通过坐标变换，将机床固定坐标系下的刀盘方程变换到轮坯坐标系下，得到轮坯坐标系下的齿面方程R₁(θ₁,φ₁)和齿面法矢n₁(θ₁,φ₁)；

(2)将轮坯坐标系下的齿面方程变换到啮合坐标系下，得到啮合坐标系下的齿面方程和齿面法矢；

(3)根据啮合坐标系下的齿面方程R_m1(θ₁,φ₁)和齿面法矢n_m1(θ₁,φ₁)求解齿面的第一基本齐式(E₁，F₁，G₁)和第二基本齐式(L₁，M₁，N₁)；

(4)根据齿面第一基本齐式和第二基本齐式，求解齿面主曲率δk1和δk₂；

(5)根据齿轮所受的弯矩计算齿面上所受的力F；

(6)根据接触力学原理，根据求解的齿面上所受的力F，求解接触椭圆的长半轴a；

(7)根据求解的齿面所受的力F、接触椭圆的长半轴a计算出两齿轮啮合时齿面的变形量w；

二、双齿啮合状态下的变形计算

依据单齿啮合状态下的计算方法，通过TCA求解所需参数，建立误差相等和力平衡条件求解两个齿面接触力，根据双齿啮合时由两对齿共同承载分担事假的扭矩负载，最后计算双齿啮合条件下的两个齿面变形量。

2.如权利要求1所述的弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，其特征在于，单齿啮合状态下的变形计算具体如下：

根据齿面接触分析(TCA)得到齿面接触点在各自坐标系的坐标R₁＝[x₁,y₁,z₁]，R₂＝[x₂,y₂,z₂]以及点矢r_i(i＝1，小轮；i＝2，大轮)和法矢n_i(i＝1,2)；

设定与切齿机床刚性固接的机床坐标系Sg，与轮坯刚性固接的轮坏坐标系S1，与摇台刚性固接的坐标系St；

设定Σ₁和Σ₂为即将啮合的两齿面；A₁和A₂为即将进入啮合的两齿面接触点；h为两齿面进入啮合前的初始间隙；P为从动轮齿面所受的载荷；u_z1为齿面Σ₁上任意一点z₁由于啮合受载产生的位移；u_z2为齿面Σ₂上任意一点z₂由于啮合受载产生的位移；P为从动轮齿面所受的载荷；δ₁为齿面Σ₁上接触点K受载产生的变形；δ₂为齿面Σ₂上接触点K受载产生的变形；a为两齿面接触形成的接触椭圆的长半轴；A为两齿面接触形成的接触区域的边界尺寸；δ_z为两齿面啮合时，由于受载荷作用产生的齿面变形；

两齿面之间的变形δ_z可表示为：

从机床坐标系到轮坯坐标系的坐标变换矩阵为

其中，φ₁＝m_cφ_c1，m_c为切削滚比，φ₁为小轮转角，φ_c1为摇台转角；γ_m1，ΔE_m1，ΔX_D2，ΔX_B1，S_r1，q₁均为机床调整参数，均可通过机床调整卡得到；

为了后续的法矢计算，将转换矩阵去掉最后一行和最后一列得到它的子矩阵：

从轮坯坐标系到啮合坐标系的变换矩阵为：

式中，旋转角度旋转位移(Δl)₁＝((Δl_X)₁,(Δl_Y)₁,(Δl_Z)₁)；

它对应的子矩阵为：

经过整个坐标变换后，得出：

小轮的齿面方程为R_m1(θ₁,φ₁)＝(M_t-f)₁×M_1p·R_p(θ₁,φ₁)

小轮的齿面法矢为N_m1(θ₁,φ₁)＝(L_t-f)₁×L_1p·n_p(θ₁,φ₁)

根据小轮的齿面方程，求得齿面上的两条切线如下：

将TCA计算的各个接触时刻接触点(θ₁，φ₁)值代入以下各式可求得齿面的第一和第二基本齐式；

第一基本齐式：

第二基本齐式：

将求得齿面的第一和第二基本齐式代入以下方程可解得齿面的主曲率δk₁和δk₂；

L₁du+M₁dθ＝δk_1,2(E₁du+F₁dθ)

M₁du+N₁dθ＝δk_1,2(F₁du+G₁dθ)

齿面上所受的力：

式中，M是齿轮所受的弯矩；r_k是齿面接触点K到齿轮旋转轴之间的距离；α是刀具齿形角；β_k是齿面接触点K的螺旋角；由于小轮的旋转轴为z轴，可得齿面接触点K到z轴的距离为：

接触点K位置的螺旋角可有以下公式求出：

式中，r₀为刀盘半径；R′为接触点K处的锥距；β为名义螺旋角；R为中点锥距；R₀为外锥距；B为齿宽；

同理，对于大轮而言，求解过程和方法是一样的；

至此，两轮齿面的主曲率δk₁和δk₂，两齿面上的接触力F都可以分别求出，作为齿面变形求解的基础；

根据接触力学原理，两齿面接触所形成的接触区域为椭圆形，其中接触点K是接触椭圆的中心，所受的力F沿着齿面的法线方向；则接触椭圆的长半轴和短半轴都可以通过公式计算：

长半轴：短半轴：b＝λa

其中，E₁、E₂分别为小、大轮的弹性模量；u₁、u₂分别为小大轮的泊松比；E^*是综合弹性模量；λ是方程δk₂J₁(λ)-δk₁J₂(λ)＝0的根；ξ为通用加工参数刀转角；

综合以上求解的F、E^*、a、J₀可以求得两齿轮啮合时的齿面变形w：

3.如权利要求2所述的弧齿锥齿轮载荷弹性接触变形数值计算方法，其特征在于，双齿啮合状态下的变形计算具体如下：

确定其中接触的一个齿对0的啮合接触状态和坐标变换矩阵，建立TCA方程组，求解在该点接触时的齿面的主曲率δk0，接触点螺旋角β₀，接触点到旋转轴线的距离rk0，传动误差STE0，其中δk0、β₀和rk0的求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同；

式中，φ_c0实为齿对0中从动轮的实际转角；φ_c0理为齿对0中主动轮的理论转角；Z₁，Z₂分别为主动轮和从动轮的齿数；

将齿对0通过坐标变换使其绕轴线旋转一个齿的角度后得到齿对1，重新确定齿对1的啮合接触状态和坐标变换矩阵，重新建立该齿对的TCA方程组，求解在齿对1上接触时的齿面主曲率δk₁，接触点螺旋角β₁，接触点到旋转轴线的距离rk1，传动误差STE1，其中δk1、β₁和rk1的求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同求解方法与单齿啮合状态下的变形计算相同；

式中，φ_c1实为齿对1中从动轮的实际转角；φ_c1理为齿对1中主动轮的理论转角；Z₁，Z₂分别为主动轮和从动轮的齿数；

根据传动误差STE0与STE1相等以及两对齿共同承载分担扭矩载荷M来建立方程组，求解两对齿接触时，各对齿上接触点的接触力F₀和F₁；

STE0(F₀)＝STE1(F₁)

F₀rk₀cosαcosβ₀+F₁rk₁cosαcosβ₁＝M

根据求解的齿面接触力F₀和F₁，计算两齿对接触椭圆的长半轴a₀，a₁和短半轴b₀，b₁，以及两个齿面上的齿面变形w₀和w₁：

参数δk0、β₀和rk0；δk1、β₀和rk1；a₀、a₁；b₀、b₁及J₁的求解参照单齿啮合状态下的求解方法。