CN110059287B - 考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法，它是在基于轮齿刚度和基体刚度计算的基础上，通过轮齿接近距离和分离距离的确定，建立内啮合齿轮副时变啮合刚度解析模型，根据齿圈的几何计算啮合刚度；该内啮合齿轮副啮合刚度计算方法包括以下步骤：步骤1计算轮齿刚度；步骤2计算基体刚度；步骤3计算轮齿分离距离与接近距离；步骤4计算内啮合齿轮副时变啮合刚度。本发明的计算方法考虑了行星齿轮副齿圈变形和延长啮合的影响，提出改进的渐开线齿廓行星齿轮啮合刚度解析模型，具有相当的计算精度，同时也能保证计算效率和有效性。

Description

考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法

技术领域

本发明属于机械动力学技术领域，涉及内啮合齿轮副啮合刚度的计算模型，具体涉及一种考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法。

背景技术

时变啮合刚度是齿轮系统主要的内部激励，是进行动力学建模及分析的基础。行星齿轮传动系统一般包含两种齿轮啮合类型，即太阳轮与行星轮的外啮合传动和行星轮与内齿圈的内啮合传动。由于内啮合齿轮副的重合度一般较高，因此内啮合传动更容易出现延长啮合现象。又由于行星齿轮的齿圈具有较大的柔性，因此在计算内啮合齿轮副的啮合刚度时也不应将其忽视。

内啮合齿轮副啮合刚度的计算方法一般分为解析方法和有限元方法。传统的解析方法不能考虑齿圈柔性和延长啮合效应，但是计算效率较高。而有限元方法能考虑齿圈柔性和延长啮合效应，但是计算效率很低。

发明内容

本发明的目的是：提出一种考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法，该计算方法考虑齿圈柔性和延长啮合效应，具有相当的计算精度，同时也能保证计算效率。

本发明的技术解决方案是：它是在基于轮齿刚度和基体刚度计算的基础上，通过轮齿接近距离和分离距离的确定，建立内啮合齿轮副时变啮合刚度解析模型，根据齿圈的几何参数计算啮合刚度。

更进一步的，该内啮合齿轮副啮合刚度计算方法包括以下步骤：步骤1计算轮齿刚度；步骤2计算基体刚度；步骤3计算轮齿分离距离与接近距离；步骤4计算内啮合齿轮副时变啮合刚度。

本发明的优点是：计算因素考虑全面，解析模型设立准确，计算精度高，计算效率快。

附图说明

图1为本发明的内齿轮轮齿悬臂梁模型。

图2为本发明的外-内啮合齿轮副啮合示意图。

图3为本发明的内齿轮基体变形几何参数图。

图4为本发明的两轮齿之间分离距离S_a和S_r计算示意图。

图5为本发明的内啮合齿轮副时变啮合刚度计算方法框图。

图6为本发明的行星轮-齿圈啮合齿轮副有限元模型示意图。

图7为本发明的通过两种方法获得的啮合刚度对比图。

图8为本发明的主体思路流程图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例进一步说明本发明的技术解决方案，但不能理解为是对技术方案的限制。

实施例：依以下步骤计算内啮合齿轮副的啮合刚度

步骤1计算轮齿刚度：内齿轮轮齿悬臂梁模型如图1所示，内啮合齿轮副的接触刚度k_h通过文献[1]所示方法计算；基于能量法，通过弹性力学及材料力学变形能的两种表示方式来计算齿轮轮齿弯曲、剪切和轴向压缩刚度[2]：

式中：F_a＝Fsinβ，F_b＝Fcosβ，h是啮合点和轮齿中心线之间的距离，d为啮合点和齿根之间的水平距离，I_x、A_x为渐开线上任意位置x处的截面惯性矩和横截面积；

计算轮齿部分的刚度：

式中：如图1所示，h、h_x、d、x、I_x和A_x均表示为角位移β的函数；根据渐开线的性质：

h＝r_b[sinβ₁-(β₁-β₂)cosβ]，

h_x＝r_b[sinβ-(β-β₂)cosβ]，

A_x＝2h_xL，

其中，r_b、r_f和L分别为齿轮副的基圆半径、齿根圆半径和齿宽，

为齿根圆上齿角的一半，β₂＝π/2z₂-tanα₀+α₀为齿顶圆上齿角的一半，φ＝β₂+tan(arccos(r_b/r_f))；z₁和z₂分别为主动轮和从动轮的齿数；

内啮合齿轮副啮合起始点处的啮合压力角

(如图2所示)表示为：

式中：K为渐开线延长线与基圆的交点；根据渐开线的性质，B点处的渐开线展角∠BO₂K＝tan∠FO₂B-∠FO₂B，代入上式得：

其中：θ₂为内齿轮角位移，θ₁为外齿轮角位移；

根据公式(4～5)计算轮齿刚度k_t1，k_t2：

步骤2计算基体刚度：文献[3]推导了外啮合齿轮的基体刚度计算公式，而内啮合齿轮副中齿圈基体刚度解析计算公式是：

式中：系数L^*、M^*、P^*和Q^*通过多项式函数来确定，其表达式为：

式中：X^*代表系数L^*、M^*、P^*和Q^*，A、B、C、D、E和F的值见文献[3]，L为齿宽，u_f、S_f、θ_f和h_f＝r_f/r_int详见图3；其中S_f＝2r_f/θ_f、

为无量纲的刀具圆角半径，u_f＝r_f-r_b/cosβ；其他参数计算方法与外齿轮相同[3]；

步骤3计算轮齿分离距离与接近距离：通过图4所示几何关系计算轮齿分离距离S_a(即将进入啮合时)和S_r(即将退出啮合时)，图中r_a、r_b和r分别表示齿轮齿顶圆半径、基圆半径和分度圆半径，α表示啮合角，脚标1和2分别表示主动轮和从动轮；首先假设从动轮固定不动，根据图4(a)所示几何关系，两轮齿间分离距离表示为：

S_a1＝Λ₁r_b1 (16)

其中：Λ₁＝θ₁+β₁-α₁+δ₁，θ₁r₁＝θ₂r₂，δ₁＝invδ₁-invγ₁，

假设主动轮固定不动，根据图4(b)几何关系，两轮齿间分离距离又表示为：

S_a2＝Λ₂r_b2 (17)

其中：

δ₁＝arccos(r_b1/MO₁)，γ₁＝arccos(r_b1/AO₁)，α₁'＝arcsin(r_a2 sin(β₂+θ₂+Λ₂)/MO₁)，∠MO₁A'＝invδ₁-invγ₁＝α₁'-θ₁-β₁；

由于齿轮轮齿间的分离距离随齿轮转角发生变化，假设主动轮或者从动轮固定不动势必会造成计算误差；因此，为了减小这种假设所造成的误差，S_a取S_a1和S_a2的平均值，即：

类似地，对于即将退出啮合的两轮齿在啮合线方向上的距离S_r也采用同样的方法计算；假设主动轮固定不动，根据图4(c)几何关系，两轮齿间分离距离表示为：

S_r1＝Λ₁r_b1 (19)

其中：Λ₁＝θ₁+β₁-α₁+δ₁，θ₁r₁＝θ₂r₂，δ₁＝invγ₁-invδ₁，

假设从动轮固定不动，根据图4(d)几何关系，两轮齿间分离距离又表示为：

S_r2＝Λ₂r_b2 (20)

其中：

δ₁＝arccos(r_b2/MO₂)，γ₁＝arccos(r_b1/AO₁)，α₁'＝arcsin(r_a1 sin(β₂+θ₂+Λ₂)/MO₂)，∠MO₁A'＝invγ₁-invδ₁＝α₁'-θ₁-β₁；

因此，将要退出啮合的两轮齿在啮合线方向上的距离S_r取S_r1和S_r2的平均值，即：

步骤4计算内啮合齿轮副时变啮合刚度：在得到轮齿刚度、基体刚度和轮齿分离距离和接近距离之后，便利用与外啮合齿轮类似的思路计算内啮合齿轮副的时变啮合刚度[4]；具体实施路径见图5所示的流程图，具体计算公式如下：

单对齿轮齿刚度为：

其中：kⁱ _h为第i对轮齿的接触刚度；下标j代表接触位置；轮齿刚度为：

其中：q代表啮合齿对数；内啮合齿轮副啮合刚度为：

模型验证：通过有限元方法验证行星轮-内齿圈啮合刚度解析模型的有效性，行星齿轮参数如表1所示；基于平面应力假设，在ANSYS软件中建立行星齿轮副二维结构模型，采用平面单元Plane183划分网格，接触单元Conta172、目标单元Targe169创建接触对，将齿轮的内孔和几何中心建立刚性区，且完全约束从动轮的中心点，主动轮的中心只保留转动自由度；同时，为了保证计算结果精度和计算效率，只对参与啮合的轮齿进行局部细化；行星轮-齿圈有限元模型如图6所示，图中对4个参与啮合的轮齿的网格进行局部细化，并建立接触对；

表1行星齿轮副基本参数

本解析方法与有限元方法获得的不同扭矩状况下时变啮合刚度对比如图7所示，从图中可以看出，两种方法获得的啮合刚度曲线趋势相同且数值误差较小，解析方法考虑延长啮合后，能够很好的反映轮齿啮合在单双齿交替处的光滑过渡，像有限元方法一样，更为真实的反映实际啮合情况，且相比有限元方法，计算效率得到了极大提高；利用本解析方法和有限元方法计算一个啮合周期时变啮合刚度的时间分别为1分钟和2小时；表2列出了两种方法计算时变啮合刚度的误差对比，从中可以直观地看出，本解析方法与有限元方法计算得到的时变啮合刚度在单齿区的最大误差为6.5％，在双齿区的最大误差为5.6％，从而验证了所提出的解析方法的有效性。

表2不同扭矩下内啮合齿轮副的啮合刚度误差

注：k_A和k_B分别表示图7中A、B两点对应的时变啮合刚度。

参考文献

[1]Sun Y N,Ma H,Huangfu Y F,et al.A revised time-varying meshstiffness model of spur gear pairs with tooth modifications[J].Mechanism andMachine Theory,2018,129:261-278.

[2]Liang X H,Zuo M J,Pandey M.Analytically evaluating the influenceof crack on the mesh stiffness of a planetary gear set[J].Mechanism andMachine Theory,2014,76:20-38.

[3]Sainsot P,Velex P,Duverger O.Contribution of gear body to toothdeflections—a new bidimensional analytical formula[J].Journal of MechanicalDesign,2004,126(4):748-752.

[4]Ma H,Zeng J,Feng R J,et al.An improved analytical method for meshstiffness calculation of spur gears with tip relief[J].Mechanism and MachineTheory,2016,98:64-80.

Claims (1)

1.考虑延长啮合和齿圈柔性的内啮合齿轮副啮合刚度计算方法，其特征是：在基于轮齿刚度和基体刚度计算的基础上，通过轮齿接近距离和分离距离的确定，建立内啮合齿轮副时变啮合刚度解析模型，根据齿圈的几何参数计算啮合刚度；该内啮合齿轮副啮合刚度计算方法包括以下步骤：步骤1计算轮齿刚度；步骤2计算基体刚度；步骤3计算轮齿分离距离与接近距离；步骤4计算内啮合齿轮副时变啮合刚度；

该内啮合齿轮副啮合刚度计算方法包括以下具体步骤：

步骤1计算轮齿刚度：基于能量法，通过弹性力学及材料力学变形能的两种表示方式来计算齿轮轮齿弯曲、剪切和轴向压缩刚度：

式中：F_a＝Fsinβ，F_b＝Fcosβ，h是啮合点和轮齿中心线之间的距离，d为啮合点和齿根之间的水平距离，I_x、A_x为渐开线上任意位置x处的截面惯性矩和横截面积；

计算轮齿部分的刚度：

式中：h、h_x、d、x、I_x和A_x均表示为角位移β的函数；根据渐开线的性质：

其中，r_b、r_f和L分别为齿轮副的基圆半径、齿根圆半径和齿宽，

为齿根圆上齿角的一半，β₂＝π/2z₂-tanα₀+α₀为齿顶圆上齿角的一半，φ＝β₂+tan(arccos(r_b/r_f))；z₁和z₂分别为主动轮和从动轮的齿数；

内啮合齿轮副啮合起始点处的啮合压力角

表示为：

式中：K为渐开线延长线与基圆的交点；根据渐开线的性质，B点处的渐开线展角∠BO₂K＝tan∠FO₂B-∠FO₂B，代入上式得：

其中：θ₂为内齿轮角位移，θ₁为外齿轮角位移；

根据公式(4～5)计算轮齿刚度k_t1，k_t2：

步骤2计算基体刚度：内啮合齿轮副中齿圈基体刚度解析计算公式是：

式中：系数L^*、M^*、P^*和Q^*通过多项式函数来确定，其表达式为：

式中：X^*代表系数L^*、M^*、P^*和Q^*，A、B、C、D、E和F的值，L为齿宽，u_f、S_f、θ_f和h_f＝r_f/r_int；其中S_f＝2r_f/θ_f、

为无量纲的刀具圆角半径，u_f＝r_f-r_b/cosβ；其他参数计算方法与外齿轮相同；

步骤3计算轮齿分离距离与接近距离：通过几何关系计算即将进入啮合时的轮齿分离距离S_a和即将退出啮合时的S_r，r_a、r_b和r分别表示齿轮齿顶圆半径、基圆半径和分度圆半径，α表示啮合角，脚标1和2分别表示主动轮和从动轮；首先假设从动轮固定不动，根据所示几何关系，两轮齿间分离距离表示为：

S_a1＝Λ₁r_b1 (16)

其中：Λ₁＝θ₁+β₁-α₁+δ₁，θ₁r₁＝θ₂r₂，δ₁＝invδ₁-invγ₁，

假设主动轮固定不动，根据几何关系，两轮齿间分离距离又表示为：

S_a2＝Λ₂r_b2 (17)

其中：

δ₁＝arccos(r_b1/MO₁)，γ₁＝arccos(r_b1/AO₁)，α₁'＝arcsin(r_a2sin(β₂+θ₂+Λ₂)/MO₁)，∠MO₁A'＝invδ₁-invγ₁＝α₁'-θ₁-β₁；

由于齿轮轮齿间的分离距离随齿轮转角发生变化，假设主动轮或者从动轮固定不动势必会造成计算误差；因此，为了减小这种假设所造成的误差，S_a取S_a1和S_a2的平均值，即：

类似地，对于即将退出啮合的两轮齿在啮合线方向上的距离S_r也采用同样的方法计算；假设主动轮固定不动，根据几何关系，两轮齿间分离距离表示为：

S_r1＝Λ₁r_b1 (19)

其中：Λ₁＝θ₁+β₁-α₁+δ₁，θ₁r₁＝θ₂r₂，δ₁＝invγ₁-invδ₁，

假设从动轮固定不动，根据几何关系，两轮齿间分离距离又表示为：

S_r2＝Λ₂r_b2 (20)

其中：

δ₁＝arccos(r_b2/MO₂)，γ₁＝arccos(r_b1/AO₁)，α₁'＝arcsin(r_a1sin(β₂+θ₂+Λ₂)/MO₂)，∠MO₁A'＝invγ₁-invδ₁＝α₁'-θ₁-β₁；

因此，将要退出啮合的两轮齿在啮合线方向上的距离S_r取S_r1和S_r2的平均值，即：

步骤4计算内啮合齿轮副时变啮合刚度：在得到轮齿刚度、基体刚度和轮齿分离距离和接近距离之后，便利用与外啮合齿轮类似的思路计算内啮合齿轮副的时变啮合刚度；具体计算公式如下：

单对齿轮齿刚度为：

其中：kⁱ _h为第i对轮齿的接触刚度；下标j代表接触位置；轮齿刚度为：

其中：q代表啮合齿对数；内啮合齿轮副啮合刚度为：

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