CN112836319B - 一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，包括：将齿轮沿齿宽方向分解为多个独立的切片齿，基于每个切片齿的动态响应建立切片齿动态传递误差计算公式，求解多个所述切片齿的时变啮合刚度；基于切片齿动态传递误差计算公式与时变啮合刚度计算切片齿时变啮合力并考虑每个切片齿啮合力相对齿轮质心产生的力矩，从而建立齿轮系统动力学方程；将当前待仿真齿轮系统参数代入齿轮系统动力学方程得到齿轮系统的动力学响应。本发明充分考虑沿齿宽方向非均匀裂纹对应的切片齿在啮合过程中产生的啮合力对于系统动力学的作用效应，相对于传统分析方法，本发明提出的分析方法能够更精确反映出在局部非均匀故障激励下齿轮传动系统的动力学特性。

Description

一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法

技术领域

本发明涉及机械动力学技术领域，特别涉及一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法。

背景技术

齿轮传动系统主要作用是传递动力和运动，因其具有传动比稳定、传递功率大、传动比稳定、承载能力高、使用寿命长等优点而被广泛运用于轨道交通、船舶、航天等各个领域的复杂机械装备中，是最常见的一种机械传动方式。齿轮在啮合过程中，由于参与啮合的齿对数呈现周期性交替变化的特性而使齿轮传动的综合啮合刚度呈现时变周期性。传递误差主要由制造误差、装配误差、齿廓缺陷和齿廓修形等齿轮几何参数，以及载荷作用下齿轮沿啮合线的弹性变形组成，齿轮的时变啮合刚度和传递误差是齿轮传动系统的两种主要激励。由于齿轮传动系统的复杂运行状态，以及受到传动系统内部动态激励与外部载荷激励的动态相互作用、过载、润滑不当、操作不当等其他因素的影响，齿轮齿根承受周期性的交变应力，容易产生疲劳损伤，引起局部裂纹的产生，严重影响齿轮传动系统的动态性能和服役寿命，同时齿轮裂纹的产生，会影响复杂机电装备运行的安全性与平稳性。因此，齿轮传动系统动力学的相关研究对保障机电装备运行性能及安全具有重大意义和工程应用价值。然而，现有的齿轮传动系统动力学模型对于非均匀齿根裂纹故障动力学仿真分析时，几乎都事先计算获得齿根裂纹的总体齿轮啮合刚度，然后将获得的时变啮合刚度曲线作为动态激励代入系统动力学模型进行求解分析。这些传统方法用于非均匀或非贯穿的齿根裂纹故障动力学分析时，忽略了非均匀齿根裂纹影响下沿齿宽方向的齿轮切片在啮合过程中会产生不同的动态传递误差、且采用总体齿轮啮合刚度未表征出单个切片齿沿齿宽方向啮合刚度，从而无法模拟出不均匀分布轮齿啮合力的真实动态响应、难以真实模拟出非均匀齿根裂纹分布引起的齿轮传动系统振动特征。

例如，申请号为2017106248080的中国专利，其公开了一种考虑基体刚度修正的剥落斜齿轮副的啮合特性分析方法，其通过势能法并引入有限元基体刚度修正系数来计算单片剥落直齿轮的时变啮合刚度，再求得每个切片齿的时变啮合刚度修正系数后，通过加权来得到齿轮整体刚度，从而得到更为准确的齿轮啮合力。该申请建立了切片齿模型，并采用有限元的方法求解得到了切片齿的时变啮合刚度，但其在得到了每个切片齿的时变啮合刚度后，是通过加权来得到齿轮整体刚度，而利用相应加权刚度直接计算加权啮合力计算整个齿轮的动力学方程，所得齿轮动力学方程与单个切片齿的动态响应并不明显，其也存在未考虑齿根裂纹影响下的切片齿的动态传递误差，无法准确模拟出不同深度裂纹对应的切片齿上的动态啮合力作用效应。

发明内容

本发明的目的在于克服现有技术中齿轮动力学方程与单个切片齿的动态响应并不明显、无法准确模拟出不同深度裂纹对应的切片齿上的啮合力作用效应的缺陷，提供一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，充分考虑不同深度裂纹对应的切片齿上的啮合力作用效应对于系统动力学的影响，更精确反映出在局部非均匀故障激励下齿轮传动系统的动力学特性，为齿轮故障诊断提供更为准确的理论指导。

为了实现上述发明目的，本发明提供了以下技术方案：

一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，包括：

步骤1：将齿轮沿齿宽方向分解为多个独立的切片齿，基于每个所述切片齿的角位移建立切片齿动态传递误差计算公式；

以及，基于变截面悬臂梁理论建立裂纹参数作用下的切片齿时变啮合刚度计算公式；

基于所述切片齿动态传递误差计算公式与齿根裂纹影响下的切片齿时变啮合刚度计算公式求解切片齿的动态啮合力；并根据所述切片齿的动态啮合力建立基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程；

步骤2：对当前待仿真齿轮的使用状况进行评估，根据评估结果设定当前待仿真齿轮的裂纹参数，采集当前待仿真齿轮的设计参数，并将所述设计参数与裂纹参数代入所述基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程中，求解得到当前待仿真齿轮的动力学响应。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述设计参数包括：齿轮模数、齿轮齿数、齿轮压力角、齿宽、弹性模量、泊松比、齿顶高系数、顶隙系数；

所述裂纹参数，包括：裂纹长度、裂纹深度、裂纹交角。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述根据多个所述切片齿的动态啮合力建立齿轮系统动力学方程，包括：

步骤101，基于所述切片齿的动态啮合力以及每个所述切片齿质心到整个齿轮质心的距离求解每个切片齿的动态啮合力相对于齿轮质心产生的非平衡力矩；

步骤102，基于多个所述切片齿的动态啮合力相对于齿轮质心产生的非平衡力矩，齿轮啮合力和轴承支承力来建立所述基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述切片齿动态传递误差计算公式为：

δ_i＝-R_bgβ_gy-R_bpβ_py-[(Z_g-L_iβ_gx)-(Z_p-L_iβ_px)]cosα_r-[(X_p+L_iβ_pz)-(X_g+L_iβ_gz)]sinα_r-err_i

其中，δ_i为第i个切片齿的动态传递误差，R_bg\R_bp为大\小齿轮基圆半径(m)；β_g\β_p为大\小齿轮角位移(rad)，下标x\y\z分别表示绕该方向的转动；Z_g\Z_p为大\小齿轮质心垂向位移(m)；X_g\X_p为大\小齿轮质心纵向位移(m)；err_i表示第i个切片齿装配制造误差和齿廓修形；L_i表示切片齿质心与整个齿轮质心的距离(m)。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述基于不同裂纹深度切片齿相对于齿轮质心产生的侧滚和摇头振动的动力学方程为：

其中，N_z(k,1)表示左侧轴承内外圈垂向接触力；N_z(k,2)表示右侧轴承内外圈垂向接触力；N_x(k,2)表示右侧轴承内外圈纵向接触力；N_x(k,1)表示左侧轴承内外圈纵向接触力；J_x\J_z为侧滚和摇头的转动惯量；ns为切片齿数量；k＝1\k＝2分别表示大\小齿轮。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述基于变截面悬臂梁理论建立裂纹参数作用下的切片齿时变啮合刚度计算公式，包括：

利用势能原理分别计算裂纹参数作用下的切片齿弯曲刚度、切片齿剪切刚度和切片齿轴向压缩刚度；

基于变截面悬臂梁模型求解裂纹参数作用下的切片齿轮体变形在啮合线上的等效刚度；

根据赫兹接触理论得到的切片齿赫兹接触刚度；

基于所述切片齿弯曲刚度、切片齿剪切刚度和切片齿轴向压缩刚度、齿根裂纹影响下的切片齿轮体变形在啮合线上的等效刚度、切片齿的赫兹接触刚度得到所述切片齿时变啮合刚度计算公式。

优选的，上述考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法中，所述步骤2中，采用数值积分法求解得到当前待仿真齿轮的动力学响应。

与现有技术相比，本发明的有益效果：通过将齿轮分解为多个独立的切片齿，并对单个切片齿的动态传递误差和齿根裂纹影响下的切片齿时变啮合刚度进行求解，根据切片齿的动态传递误差与时变啮合刚度得到每个切片齿的动态啮合力，再根据每个切片齿动态啮合力相对齿轮质心产生的非均匀力矩建立相应的齿轮传动系统动力学方程；本发明通过切片齿的动态传递误差与时变啮合刚度充分表征齿根裂纹影响下的切片齿动态啮合力，从而能够考虑不同深度裂纹对应的切片齿上的啮合力作用效应对于系统动力学的影响，不同深度裂纹切片齿在啮合时将产生不同大小的啮合力，会相对齿轮质心产生非平衡力矩，对传动系统产生侧滚和摇头振动，使左右两端支承轴承产生差异性振动，相对于传统分析方法，本发明提出的分析方法能够更精确反映出在局部非均匀故障激励下齿轮传动系统的动力学特性，为齿轮故障诊断提供更为准确的理论指导。

附图说明：

图1为本发明示例性实施例的齿轮传动系统示意图。

图2a为本发明示例性实施例的齿轮啮合力示意图。

图2b为本发明示例性实施例的齿轮轴承支承示意图。

图3a为本发明示例性实施例的非均匀分布齿根裂纹模型示意图1。

图3b为本发明示例性实施例的非均匀分布齿根裂纹模型示意图2。

图4a为本发明示例性实施例的齿轮纵向支承轴承振动加速度时域图。

图4b为传统方法得到的齿轮纵向支承轴承振动加速度时域图。

图5a为本发明示例性实施例的齿轮垂向支承轴承振动加速度时域图。

图5b为传统方法得到的齿轮垂向支承轴承振动加速度时域图。

具体实施方式

下面结合试验例及具体实施方式对本发明作进一步的详细描述。但不应将此理解为本发明上述主题的范围仅限于以下的实施例，凡基于本发明内容所实现的技术均属于本发明的范围。

实施例1

图1示出了本发明示例性实施例的非均匀分布齿根裂纹激励下齿轮传动系统的动力学模型，在此模型中，纵、横、垂、侧滚、点头和摇头自由度的规定正方向如图1所示；轴承的质量M_b集中于物体的质心，大\小齿轮分别和轴视为一个整体，其质量M_g\M_p和转动惯量J_g\J_p均集中于齿轮的质心，齿轮啮合、轴承内外圈接触、轴承外圈与轴承座接触均等效为弹簧-阻尼单元，不考虑轴承内部滚动体自转与公转及其与保持架和内外圈的动态相互作用，并假设每个切片齿的啮合力在切片齿的质心所在截面。通过对小齿轮施加驱动力矩，大小齿轮通过啮合作用将力矩传递至大齿轮从而驱动整个传动系统的运动，切片齿轮的啮合和轴承的支承示意图如图2所示。

现有研究对于齿轮时变啮合刚度的计算中，主要包括材料力学法、弹性力学法、数值法和有限元法等，从而获得了用于齿轮时变啮合刚度计算的Weber-Banaschck公式和石川(Ishikawa)公式。本发明主要采用变截面悬臂梁模型，根据材料力学中的梁变形理论，基于势能原理、赫兹接触理论和轮体基础变形引起的啮合线上等效刚度来计算裂纹参数作用下的齿轮的时变啮合刚度。基于预设的裂纹参数对切片齿轮轮体变形引起的啮合线上等效刚度计算模型中多个参数进行修正，采用论文《“Improved analytical methods forcalculation of gear tooth fillet-foundation stiffness withtooth root crack”，Zaigang Chen等，Engineering Failure Analysis，Volume82，December 2017；第72～82页》所提到的裂纹参数修正方法对多个参数进行修正。

1、计算切片齿轮时变啮合刚度和时变啮合力

利用势能原理分别计算切片齿轮齿弯曲刚度K_b、剪切刚度K_s和轴向压缩刚度K_a：

式中，E和G分别为材料的弹性模量和剪切模量，其中

ν为泊松比，I_x与A_x分别代表距啮合力作用点x处截面的惯性矩与横截面面积，其他变量具体含义如图3所示。

在实际求解中，采用论文中的方法基于裂纹参数对I_x与A_x进行取值、从而可以求解得到裂纹参数作用下的切片齿轮齿弯曲刚度K_b、剪切刚度K_s和轴向压缩刚度K_a。

根据赫兹接触理论得到的切片齿赫兹接触刚度为：

考虑到裂纹参数作用下的切片齿轮体变形引起的啮合线上等效刚度为：

切片齿轮时变单齿啮合刚度为：

因此，切片齿轮的啮合刚度为:

其中，K表示切片齿单齿啮合刚度，n表示同时参与啮合的齿对数，

表示参与啮合齿对的相对齿廓误差函数，F_mi表示施加在啮合线上的力。

2、非均匀分布齿根裂纹对啮合力影响

由于齿轮齿根裂纹深度沿齿宽方向非均匀分布，不同深度的齿根裂纹使对应切片齿的啮合刚度不一样，因此会产生沿齿宽方向不一样的啮合力，在非对称啮合力作用下齿轮会产生侧滚和摇头振动，会对沿齿宽方向的每个切片齿在垂\纵方向的振动响应产生不同的影响；切片齿的不同振动响应会影响到切片齿在啮合时的动态传递误差，反过来又会对不同切片齿的啮合力产生不同的影响，产生动态相互作用。

切片齿轮啮合时动态传递误差δ_i为：

式中，R_bg\R_bp为大\小齿轮基圆半径(m)；β_g\β_p为大\小齿轮角位移(rad)，下标x\y\z分别表示绕该方向的转动；Z_g\Z_p为大\小齿轮质心垂向位移(m)；X_g\X_p为大\小齿轮质心纵向位移(m)；err表示齿轮的装配制造误差和齿廓修形(为设定值)；Li表示切片齿质心与整个齿轮质心的距离(m)；i表示第i个切片齿。

沿齿宽方向切片齿轮啮合力为：

式中，K_mi为切片齿的啮合刚度，C_mi为切片齿的啮合阻尼。

在已有的研究对于齿轮时变啮合刚度的计算，主要包括材料力学法、弹性力学法、数值法和有限元法等。齿轮的时变啮合刚度主要包括弯曲刚度K_b、剪切刚度K_s、轴向压缩刚度K_a、赫兹接触刚度K_h和轮体基础变形引起的啮合线上等效刚度K_f。

3、非均匀分布啮合力对系统的动力学响应

在传统方法的基础上考虑非均匀分布齿根裂纹产生沿齿宽方向的非均匀啮合力，非均匀啮合力会对整个齿轮质心产生侧滚和摇头的非平衡力矩从而进一步影响侧滚和摇头自由度的动力学方程。

非均匀啮合力产生的侧滚非平衡力矩：

非均匀啮合力产生的摇头非平衡力矩：

轴承内外圈纵向接触力：

轴承内外圈垂向接触力：

大\小齿轮的侧滚和摇头动力学方程为：

式中，K_b\C_b为轴承支承刚度(N/m)和阻尼(N·s/m)；X_kb为大\小齿轮所在轴支承轴承质心纵向位移(m)，Z_kb为轴承质心垂向位移(m)；J_x\J_z为侧滚和摇头的转动惯量；ns为切片齿数量；k＝1\k＝2分别表示大/小齿轮；j＝1\j＝2分别表示左\右侧轴承。

齿轮传动系统的动力学方程可以表述成如下矩阵形式：

式中，M\C\K分别表示传动系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵；

分别表示加速度\速度\位移矩阵。该系统包含了齿轮时变啮合刚度非线性因素，可以采用数值积分方法进行求解。

经典的数值积分方法有两种：隐式法和显式法。隐式法有常用的newmark-β法、Houbolt法、Wilson-θ法、Hiber-Hughes的α法和β-θ配置法以及Park法等；显式法有常用的四阶Runge-Kutta法、中心差分法和新型快速显示积分方法(翟方法)等。

实施例2：

齿轮传动系统中当前待仿真齿轮的设计参数如表1所示：

表1齿轮设计参数

进一步的，对当前待仿真齿轮的使用状况(包括齿轮的使用年限、应用环境等：使用年限短的齿轮裂纹深度取较小值、齿轮工作环境复杂、环境振动大的裂纹深度和长度会取较大值)进行评估，根据评估结果设定当前待仿真齿轮的裂纹参数(包括：裂纹长度、裂纹深度、裂纹交角)，采集当前待仿真齿轮的设计参数，并将所述设计参数与裂纹参数代入所述基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程中，求解得到当前待仿真齿轮的动力学响应。在本实例中，有关的裂纹参数为：裂纹深度从9mm沿齿宽方向递减至8.1mm，裂纹长度扩展至齿宽一半处，裂纹交角为70°。

本发明采用翟方法进行动力学方程的数值求解，具体的数值积分格式如下：

式中，Δt为时间积分步长，下标n-1/n/n+1分别代表积分时刻为：上一步t＝(n-1)Δt/当前步t＝nΔt/下一步t＝(n+1)Δt；其中，ψ和

是控制积分方法特性的独立参数，在求解过程中，通常取值为0.5可以满足数值积分的稳定性和准确性。

图3所示为非均匀裂纹的悬臂梁模型和沿齿宽方向非均匀分布示意图。根据所建立考虑非均匀齿根裂纹故障动力学仿真分析方法，牵引力矩T_p＝1500Nm，将小齿轮左右轴承的振动特性与传统扭转振动模型分析方法(即考虑切片齿的时变啮合刚度、再计算获得齿根裂纹的总体齿轮啮合刚度，然后将获得的整体时变啮合刚度曲线作为动态激励代入系统动力学模型进行求解分析的方法)的匀速工况进行对比，图4、图5为分析结果。如图4和图5所示为支承轴承振动加速度时域图。本发明提供的仿真分析方法能够更准确的反映非均匀分布齿根裂纹动力学响应特性。图示为一个周期的时域图，从图中可以看出，改进方法计算出的时域响应能够更好的反映齿轮裂纹故障的脉冲影响，两个脉冲故障之间的时间间隔刚好等于小齿轮转动周期，纵向加速度的脉冲幅值约为0.4m/s²，垂向加速度的脉冲幅值约为1.1m/s²；且左侧轴承振动加速度反映的脉冲故障要比右侧轴承的更明显。除去脉冲故障响应，改进方法计算得到的时域响应幅值要比传统方法的大，改进方法得到的纵向振动加速度最大值约为0.3m/s²，传统方法得到的纵向加速度最大值约为0.2m/s²；改进方法的垂向振动加速度最大值约为0.8m/s²，而传统方法得到的垂向加速度最大值约为0.55m/s²。且由以上对比可以看出，轴承垂向振动加速度的幅值要比纵向加速度得到的要大，这是由于垂向的重力作用。

由此可见，本发明提出考虑非均匀分布齿根裂纹故障动力学仿真分析方法，能够更好的反映出齿轮局部非均匀非贯穿裂纹的动力学响应，除了本发明考虑的非均匀齿根裂纹故障以外，还可以适用于非均匀分布的其他形式齿轮故障，比如：剥落、磨损、点蚀、断齿等，可以利用改进的非均匀齿轮故障动力学仿真方法为齿轮动力学故障的诊断与监测提供一定的理论基础。

以上所述，仅为本发明具体实施方式的详细说明，而非对本发明的限制。相关技术领域的技术人员在不脱离本发明的原则和范围的情况下，做出的各种替换、变型以及改进均应包含在本发明的保护范围之内。

Claims (6)

1.一种考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，包括：

步骤1：将齿轮沿齿宽方向分解为多个独立的切片齿，基于每个所述切片齿的角位移建立切片齿动态传递误差计算公式；

以及，基于变截面悬臂梁理论建立裂纹参数作用下的切片齿时变啮合刚度计算公式；

基于所述切片齿动态传递误差计算公式与齿根裂纹影响下的切片齿时变啮合刚度计算公式求解切片齿的动态啮合力；并根据所述切片齿的动态啮合力建立基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程；

其中，所述切片齿动态传递误差计算公式为：

δ_i＝-R_bgβ_gy-R_bpβ_py-[(Z_g-L_iβ_gx)-(Z_p-L_iβ_px)]cosα_r-[(X_p+L_iβ_pz)-(X_g+L_iβ_gz)]sinα_r-err_i

其中，δ_i为第i个切片齿的动态传递误差，R_bg\R_bp为大\小齿轮基圆半径，单位为：m；β_g\β_p为大\小齿轮角位移，单位为：rad，下标x\y\z分别表示绕该方向的转动；Z_g\Z_p为大\小齿轮质心垂向位移，单位为：m；X_g\X_p为大/小齿轮质心纵向位移，单位为：m；err_i表示第i个切片齿装配制造误差和齿廓修形；L_i表示切片齿质心与整个齿轮质心的距离，单位为：m；

步骤2：对当前待仿真齿轮的使用状况进行评估，根据评估结果设定当前待仿真齿轮的裂纹参数，采集当前待仿真齿轮的设计参数，并将所述设计参数与裂纹参数代入所述基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程中，求解得到当前待仿真齿轮的动力学响应。

2.根据权利要求1所述的考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，所述设计参数包括：齿轮模数、齿轮齿数、齿轮压力角、齿宽、弹性模量、泊松比、齿顶高系数、顶隙系数；

所述裂纹参数，包括：裂纹长度、裂纹深度、裂纹交角。

3.根据权利要求1所述的考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，所述根据多个所述切片齿的动态啮合力建立齿轮系统动力学方程，包括：

步骤101，基于所述切片齿的动态啮合力以及每个所述切片齿质心到整个齿轮质心的距离求解每个切片齿的动态啮合力相对于齿轮质心产生的非平衡力矩；

步骤102，基于多个所述切片齿的动态啮合力相对于齿轮质心产生的非平衡力矩，齿轮啮合力和轴承支承力来建立所述基于切片齿的齿轮传动系统动力学方程。

4.根据权利要求1所述的考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，所述基于不同裂纹深度切片齿相对于齿轮质心产生的侧滚和摇头振动的动力学方程为：

其中，N_z(k,1)表示左侧轴承内外圈垂向接触力；N_z(k,2)表示右侧轴承内外圈垂向接触力；N_x(k,2)表示右侧轴承内外圈纵向接触力；N_x(k,1)表示左侧轴承内外圈纵向接触力；J_x\J_z为侧滚和摇头的转动惯量；ns为切片齿数量；k＝1\k＝2分别表示大\小齿轮；

为非均匀啮合力产生的侧滚非平衡力矩；

为非均匀啮合力产生的摇头非平衡力矩。

5.根据权利要求1-4任一所述的考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，所述基于变截面悬臂梁理论建立裂纹参数作用下的切片齿时变啮合刚度计算公式，包括：

利用势能原理分别计算裂纹参数作用下的切片齿弯曲刚度、切片齿剪切刚度和切片齿轴向压缩刚度；

基于变截面悬臂梁模型求解裂纹参数作用下的切片齿轮体变形在啮合线上的等效刚度；

根据赫兹接触理论得到的切片齿赫兹接触刚度；

基于所述切片齿弯曲刚度、切片齿剪切刚度和切片齿轴向压缩刚度、齿根裂纹影响下的切片齿轮体变形在啮合线上的等效刚度、切片齿的赫兹接触刚度得到所述切片齿时变啮合刚度计算公式。

6.根据权利要求1所述的考虑非均匀分布齿根裂纹故障的仿真方法，其特征在于，所述步骤2中，采用数值积分法求解得到当前待仿真齿轮的动力学响应。

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