JP3552234B2 - 歯車設計方法、歯車製造方法、およびその製造方法で製造された歯車 - Google Patents

Description

技術分野
本発明は歯車設計方法、歯車製造方法、およびその製造方法で製造された歯車に係り、特に、ギヤノイズが小さい歯車を短時間で簡単に設計、製造する技術に関するものである。
背景技術
歯車の歯面はインボリュート歯形を成しているのが理想であるが、熱処理などで誤差を有するのが普通で、このような歯面の誤差によってかみあい伝達誤差が生じ、ギヤノイズの原因となっている。また、歯車を配設する際の歯車軸にミスアライメントが存在すると、一方の歯車の歯の端縁が他方の歯車の歯面に当接する片当たり（稜かみあい）などにより比較的大きなかみあい伝達誤差を生じることがある。歯車軸のミスアライメントは、歯車箱の製造誤差や組付誤差などに起因するもので、歯車軸の軸線が傾斜する平行度誤差と、歯車軸がねじれの関係となる食い違い誤差とがある。なお、上記かみあい伝達誤差は、互いにかみあう一対の歯車の回転誤差で、例えば駆動側歯車を一定速度で回転させた場合の従動側歯車の進み遅れ量で表される。
これに対し、ギヤノイズが負荷に依存することから、負荷撓みを考慮したシミュレーションを行ったり、或いは実際に試作して種々の条件下で試験を行ったりすることにより、かみあい伝達誤差（ギヤノイズ）が小さい歯車諸元および修整歯面を選択するようにしているのが普通である。ところが、負荷がかみあい伝達誤差に与える影響のメカニズムが解明されていないため、その影響を正確に計算することができず、使用される全負荷領域においてシミュレーションを行ったり実際に試作して試験したりする必要があった。
また、誤差や修整のない歯面を前提としたかみあい率を用いて歯車を選定することが行われているが、歯面修整方法の相違などによってかみあい伝達誤差（ギヤノイズ）の大きさが異なるため、歯車諸元や修整歯面の設定に際しては、やはりシミュレーションを行ったり実際に試作して種々の条件下で試験を行ったりする必要があった。
しかしながら、このようにシミュレーションを行ったり実際に試作して試験したりする場合、膨大な計算時間や試作費用、評価工数などが必要であるとともに、最適解が得られる確率は検討数に依存するため、限られたケースの比較では必ずしも十分に満足できる歯車が得られなかった。
本発明は以上の事情を背景として為されたもので、その目的とするところは、ギヤノイズが小さい歯車を短時間で簡単に設計できるようにすることにある。
発明の開示
かかる目的を達成するために、本発明は、歯車の実かみあい率に基づいて、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする。
すなわち、実かみあい率がかみあい伝達誤差（ギヤノイズ）に与える影響を正確に計算できることが初めて分かったため、実かみあい率に基づいて歯車諸元や修整歯面、具体的には諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することにより、シミュレーションや試験などを行うことなくかみあい伝達誤差が小さい歯車を短時間で簡単に設計できるのである。
上記実かみあい率は、一対の歯の歯面が実際に接触する角度範囲θ_ｒを歯車の角ピッチθ_ｐで除した値θ_r/θ_ｐで表され、その実かみあい率θ_r/θ_ｐが1.0の無負荷の時のかみあい伝達誤差が一番大きいことが初めて分かったため、実かみあい率θ_r/θ_ｐが1.0の無負荷の時のかみあい伝達誤差をできるだけ小さくすれば、全負荷領域でかみあい伝達誤差を小さくすることができる。
また、本発明の別の手法は、歯車の有効かみあい率に基づいて、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする。
すなわち、有効かみあい率が負荷時のかみあい伝達誤差（ギヤノイズ）に影響を与えることが初めて分かったため、有効かみあい率に基づいて歯車諸元や修整歯面、具体的には諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することにより、シミュレーションや試験などを行うことなく負荷時のかみあい伝達誤差が小さい歯車を短時間で簡単に設計できるのである。
具体的には、有効かみあい率が高いほど負荷時のかみあい伝達誤差は小さくなるため、バイアスインのバイアス修整などにより有効かみあい率を高くすることが望ましい。また、有効かみあい率は、接触点の軌跡のうち歯先または歯幅端で稜かみあいとなる部分を除いた角度範囲θ_ｎを歯車の角ピッチθ_ｐで除した値θ_n/θ_ｐで表され、その有効かみあい率θ_n/θ_ｐが略2.4以上、更に好ましくは2.5程度以上となるようにすれば、負荷時のかみあい伝達誤差の上昇が防止され、ギヤノイズを効果的に低減できる。
また、好適には、諸元かみあい率の高い歯車諸元を選択し、歯面にバイアス修整を追加することで上記有効かみあい率θ_n/θ_ｐを高くしたり、無負荷の時のかみあい伝達誤差振幅が小さくなるとともに上記有効かみあい率θ_n/θ_ｐが高くなるように、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定したりすることが望ましい。
このような歯車設計方法により、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定し、その設定通りの諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、またはバイアス修整量が得られるように歯車を製造する歯車製造方法、或いはその製造方法に従って製造された歯車についても、実質的に上記と同様の効果が得られる。
【図面の簡単な説明】
図１は、３次元接線極座標で歯面を表現した図である。
図２は、歯形修整および歯すじ修整の定義を説明する図である。
図３は、複数の歯がかみあっている場合の各歯の分担荷重を説明する図である。
図４は、回転角θ_１において３対の歯がかみあう時の各歯対の撓み量δ、歯面修整量Ｓ、およびかみあい伝達誤差量ｅの関係を説明する図である。
図５は、負荷かみあい伝達誤差を算出する際の手順を説明するフローチャートである。
図６は、曲げ撓みを算出する際の撓み分布と近似式との関係を説明する図である。
図７は、相当平歯車のFEMモデルを説明する図である。
図８は、FEMによって求めた曲げ撓み分布の一例を説明する図である。
図９は、係数U_z,U_a,U_h,U_bと歯数ｚ、圧力角α、歯だけｈ、歯幅ｂとの関係の一例を示す図である。
図10は、近似式を使って歯先に集中荷重を作用させたときの曲げ撓み分布の計算結果の一例を示す図である。
図11は、接触楕円の一部が歯面からはみ出す稜かみあいの一例を説明する図である。
図12は、測定したかみあい伝達誤差をフーリエ解析して求めたかみあい１次成分,2次成分を、計算結果とともに示す図である。
図13は、図12の横軸を実かみあい率ε_ｒとした場合のグラフである。
図14は、図12、図13の実測値の元となるかみあい伝達荷重の実測の波形を示す図である。
図15は、負荷毎に計算したかみあい伝達荷重の波形と修整量Ｓの波形を重ねて示す図である。
図16は、かみあい１次成分,2次成分のかみあい伝達誤差振幅と実かみあい率ε_ｒとの関係を例示した図である。
図17は、接触点の軌跡上で稜かみあいとなる部分を除いた角度範囲θ_ｎを説明する図である。
図18は、有効かみあい率ε_ｎと諸元かみあい率ε_ｔとの関係を説明する図である。
図19は、有効かみあい率ε_ｎが異なる３種類の歯面修整を施した場合の接触点の軌跡を説明する図である。
図20は、表３に示すａ〜ｄの歯面修整を施した場合のかみあい伝達誤差振幅と実かみあい率ε_ｒとの関係を示す図である。
図21は、諸元が異なる複数の歯車対に関するかみあい伝達誤差振幅と実かみあい率ε_ｒとの関係を示す図である。
図22は、諸元が異なる別の歯車対に関するかみあい伝達誤差振幅と実かみあい率ε_ｒとの関係を示す図である。
図23は、表２のNo1の歯車対に表３のａの歯面修整を施した歯車対のかみあい伝達誤差波形の計算結果を示す図である。
図24は、有効かみあい率ε_ｎが異なる３種類の歯面修整を施した歯車対のかみあい伝達誤差波形の計算結果を示す図である。
図25は、図21および図22の歯車対を用いて所定の歯面修整を加えた場合の有効かみあい率ε_ｎと諸元かみあい率ε_ｔとの関係をまとめた図である。
図26は、バイアス修整による接触点の軌跡の変化を説明する図である。
図27は、表２のNo1の歯車対を例として求めたバイアス稜、ミスアライメントがある場合の歯形丸み量とクラウニング量の必要最小量、および有効かみあい率ε_ｎとの関係を示す図である。
図28は、表４のNo1の歯車を用い、歯形丸み量とクラウニング量を変えてかみあい伝達誤差のかみあい１次成分を計算した結果を示す図である。
図29は、表４のNo1の歯車に60μｍの圧力角誤差と10μｍの歯形丸みを与えた場合の接触点の軌跡とかみあい伝達誤差波形の計算結果を示す図である。
図30は、表４のNo1の歯車に60μｍのねじれ角誤差と10μｍのクラウニングを与えた場合の接触点の軌跡とかみあい伝達誤差波形の計算結果を示す図である。
図31は、圧力角誤差がある場合、ねじれ角誤差がある場合、ミスアライメントがない場合について、それぞれかみあい伝達誤差のかみあい１次と２次の周波数成分の変化を実かみあい率ε_ｒを横軸として示した図である。
図32は、ミスアライメントによりかみあい終了位置で接触点が歯先の歯幅端の点Enを通過する場合の軌跡を示す図である。
図33は、表４のNo1の歯車について、一定量の平行度誤差と食い違い誤差を与えて歯面修整量を最適化した場合の接触点の軌跡とかみあい伝達誤差波形の計算結果を示す図である。
図34は、図33の場合において、かみあい伝達誤差のかみあい１次成分とかみあい２次成分の負荷による変化を計算し、実かみあい率ε_ｒで修理した図である。
図35は、歯数と歯直角モジュールが同じで歯たけｈ、歯幅ｂ、圧力角α、ねじれ角βが異なる歯車について、同じ量の平行度誤差と食い違い誤差に対して修整歯面を最適化した場合の歯形丸み，クラウニングの係数d₀,c₀を規格化して示す図である。
図36は、稜かみあいにならないためのクラウニングの必要量と歯幅との関係を説明する図である。
図37は、ミスアライメント量が異なる場合のクラウニングの係数c₀と、それをねじれ角β＝27゜のもので基準化したものを示す図である。
図38は、角ピッチの異なる歯車のかみあい伝達誤差を比較して示す図である。
図39は、角ピッチとかみあい伝達誤差振幅との関係を説明する図である。
図40は、新しい歯車設計の流れを説明する図である。
図41は、図40の設計法により最適な歯車を得る過程の各段階でのかみあい伝達誤差の一例を示す図である。
発明を実施するための最良の形態
以下、本発明を図面を参照しつつ詳細に説明する。
《負荷かみあい伝達誤差の計算方法》
歯の弾性変形を無視すると、修整歯面を持つ歯車のかみあいは点接触となる。これを負荷時の接触楕円の中心と考え、接触点における歯対の曲げ撓み量δ_ｂ、近寄り撓み量δ_ｃ、歯面修整量Ｓの和として負荷かみあい伝達誤差量ｅを求める。式（１）は、一対の歯のかみあい伝達誤差量を表す。θ_M.φ_Ｍは接触点の座標を示し、P_njは分担荷重を示す。近寄り撓み量δ_ｃの計算にはヘルツの３次元接触の式を用い、曲げ撓み量δ_ｂは歯のFEM（有限要素法）に基づいて作成した近似式を使って求める。歯車の性能の評価にはかみあい伝達誤差量ｅの回転に伴う変化の振幅を用いる。
ｅ＝δ_ｂ（θ_M.φ_M.P_n1）＋δ_ｃ（θ_M.φ_M.P_nj）＋Ｓ（θ_M.φ_Ｍ） ・・（１）
〔基本座標〕
ヘリカルギヤの歯形は、歯すじ位置ごとに一定の割合で回転させて位相差を持たせたものと考えられるので、歯すじ位置を位相角で表すことにより、歯幅を考慮した３次元の接線極座標を構成することができる。位相角φを使って歯すじを表す座標系Ｏ−uvwを図１の（ａ）に示す。φは歯幅中央断面から各歯すじ位置の歯形までの距離ｗとリードL_cを使って式（２）で定義する。φは歯のねじれによる歯形の位相差を表すものであり、θは回転角（ころがり角）である。曲げ撓み計算には、図１（ｂ）に示すように相当平歯車の歯の座標系O_t−xyを使い、接触点の座標O_sによって両座標を対応させる。図１（ａ）のr_b0は歯車諸元の基礎円半径を表し、q_sは歯面修整量を考慮した接線長さを表す。
φ＝２πw/L_c ・・・（２）
〔修整歯面の定義〕
歯形修整と歯すじ修整を図２のように定義する。歯形修整は歯幅中央のピッチ点を基準として修整量を放物線で表した歯形丸みと、直線で表した圧力角誤差の加算で表現する。d₀を歯形丸みの係数、a₁を圧力角誤差の係数とし、d_iとa_1iをそれぞれの指示量とする。歯すじ修整におけるクラウニングとねじれ角誤差についても同様に係数c₀とa₂、指示量c_iとa_2iを用いて示す。圧力角誤差は歯先が厚くなる方向を正とし、ねじれ角誤差はねじれ角が大きくなる方向を正とする。また、従動側歯車のみ修整歯面とし、修整量を一方の歯車で代表するが、これによって一般性を損なうことはない。
〔接触面の座標〕
各歯すじ位置の歯形上での接触の条件を満たす点を求め、それ等の点のうち相手歯面との距離が最小となるものが接触点となる。回転角θのときの接触面の座標（θ_M,φ_Ｍ）はθの関数ｆとｇを使って式（３）、（４）により表せる。負荷時には、これを接触楕円の中心とする。なお、a_cは中心間距離、αは圧力角を表す。A_TM、A_FI、A_STは歯面修整のない場合からのずれ量を表す係数である。b₀は歯幅両端の歯形に互いに逆方向の圧力角修整を施すバイアス修整の係数である。

但し、

〔歯対の分担荷重〕
同時にかみあう歯対の歯面修整量と撓み量の関係から分担荷重の計算式を導出する。図３は、任意の回転角において３対の歯がかみあう例である。分担荷重P_njは各歯対の作用線上にあり、その方向は歯面修整量に依存して変化する。トルクの釣り合いから同時にｍ対の歯がかみあう場合の分担荷重と伝達荷重の関係は式（５）となる。ここで、r_bSjは瞬間基礎円半径を示し、図１の歯面修整量を考慮した接線長さq_Sから式（６）を使って求められる。
P_n1r_bS1＋P_n2r_bS2＋・・＋P_nmr_bSm＝P_nr_b0 ・・・（５）
r_bS＝dq_S/dθ ・・・（６）
回転角θ_１において３対の歯がかみあうとき、接触点における歯対の撓み量δ、歯面修整量Ｓ、かみあい伝達誤差量ｅは、図４の関係にある。図は、接触点における修整量Ｓを一対の歯のかみあい始めから終わりまでの範囲で計算し、３対の歯について角ピッチの間隔で示したものである。縦軸はかみあい伝達誤差量、横軸は回転角を示す。図４の変位量の関係より式（７）が得られる。
ｅ＝S₁＋δ_１＝S₂＋δ_２＝・・・＝S_m＋δ_ｍ ・・・（７）
曲げ撓みと近寄り撓みを合成した撓みの影響関数をK_jとすると、δ_ｊはK_jとP_njの積により求められるから、式（５）と式（７）より、ｊ番目の歯対の分担荷重P_njの式（８）が得られる。

〔計算の流れ〕
分担荷重とかみあい歯対の決定には、荷重に対する歯対の撓みの非線形性を考慮する必要がある。負荷かみあい伝達誤差の計算の流れを図５に示す。一対の歯の撓み量から同時にかみあう歯対を特定し、まず等分配した荷重を使って各歯対の撓みの影響関数を求める。式（８）により分担荷重を求め、それを使って撓みの影響関数と分担荷重を再計算する。このとき分担荷重が負の値となる場合が出てくるのでかみあう歯対を補正して再度分担荷重を求め、かみあい歯対と分担荷重を決定する。
〔近寄り撓みの計算法〕
近寄り撓みの計算にはヘルツの３次元接触の式を用いる。接触楕円の中心O_Sにおける修整歯面の曲率半径は以下の手順で求める。図１の座標系により修整歯面を表すと、接線長さq_Sと基礎円半径r_b0を使って式（９）、（10）となる。接線長さq_Sは誤差のない場合の長さｑに歯面修整量Ｓを加えることで式（11）より得られる。また、式（５）中の瞬間基礎円半径r_bSは式（12）になる。
ｘ(θ，φ)＝{ｕ(θ，φ)、ｖ(θ，φ)、ｗ(θ，φ)}・・・（９）

qs（θ，φ）＝ｑ（θ，φ）＋Ｓ（θ，φ） ・・・（11）
但し、

式（10）と式（11）を使って第１基礎量E,F,G、および第２基礎量L,M,Nを求め、O_Sにおける主曲率半径r,r'を式（13）により求める。

但し、

接触楕円上の荷重分布は、ヘルツの圧力分布に従うものとし、近寄り撓み量をヘルツの３次元接触の式（14）を用いて求める。なお、r_i,r_i'は主曲率半径、E_iは歯車材料の縦弾性係数、ν_ｉはポアソン比、Ｋ（ε）は第１種完全楕円積分、μはヘルツ定数を表す。また、駆動側、従動側をそれぞれ添字１と２で表す。

但し、

〔曲げ撓みの計算法〕
曲げ撓み量δ_ｂは曲げの影響関数K_biと分担荷重P_njを使って式（15）より求める。P_njはヘルツの圧力分布と仮定して式（16）を用いる。なお、x'−y'座標を接触楕円の軸方向にとり、2a_H、2b_Hを長軸と短軸の長さとする。また、K_b1は駆動側でK_b2は従動側である。

但し、

K_biは集中荷重が点（x,y）に負荷されたときの（ξ，η）における１歯の曲げ撓みの影響関数であり、x'−y'座標をｘ−ｙ座標に変換して用いる。式（15）は、座標（ξ，η）を接触楕円の中心としたときの歯対の曲げ撓み量を与える。K_biは、歯幅中央の歯先に荷重を負荷した場合の撓みＵ、荷重点直下の撓みの分布w₁と荷重点まわりの撓み分布w₂の積として式（17）で表す。撓み分布と近似式の関係を図６に示す。w₁は歯形方向の撓み量の関数Ｇと歯すじ方向の撓み量の関数Ｆの積で表し、w₂は歯すじと歯形の撓み分布を表す関数V_xとV_yの積により表す。ＧとＦは歯幅中央の歯先の撓みＵで規格化し、V_xとV_yは荷重点直下の撓み量で規格化したものである。負荷位置の座標を（x,y）とするとき、（ξ，η）における関数w₁、w₂は式（18）となる。
K_bi（x,y,ξ，η）＝Uw₁（ξ，η）w₂（x,y,ξ，η）・・・（17）

式（18）を構成する各関数の形とその係数はFEMにより求めた歯の撓みを使って決定した。FEMには図７に示す相当平歯車のモデルを使用した。歯たけを10分割、歯幅を20分割して３自由度のソリッド要素を用いた。基礎部は歯たけの６倍のブロックとし、上下面と背面を拘束するものとした。単位集中荷重を鉛直方向に作用させて歯の中央面上の撓みから近似式を作成し、撓み量の計算の際に歯面法線方向に換算する。
関数G,F,V_x,V_yの形状および係数は、約20種類の自動車用歯車を用いて決定した。各関数はｘまたはｙの関数として指数関数を基本とした式（19）で表す。なお、V_xについては、FEMの結果を踏まえてｘとｙの関数とした。

ここで、

図８は、歯数が40枚、歯直角モジュールが２、圧力角が20゜、歯たけと歯幅がそれぞれ4.9mmと22.5mmの歯車を用いてFEMによって曲げ撓みの分布を求めた例である。図８（ａ）は歯幅中央の歯形上の位置ｙを荷重点とした時の歯すじ方向の撓み分布を示し、図８（ｂ）は歯幅位置ｘの歯先を荷重点としたときの歯形方向の撓み分布を示す。x,yは歯幅と歯たけで規格化し、撓み量は荷重点直下の撓みで規格化した量である。図より歯すじ方向の分布はｙに依存して形状が変化し、歯形方向の分布に対するｘの影響は小さいことが分かる。他の歯車諸元でも同様の結果であったため、V_xはｘとｙの関数とし、V_yはｙのみの関数とした。
各関数の係数はFEM計算結果から歯幅中央付近の撓みの精度を重視して決定した。式（17）のＵおよび式（19）の係数C_iは歯車諸元の影響を表す係数の積で表す。Ｕを例にとると、歯数ｚ、歯たけｈ、歯幅ｂ、圧力角αの影響を表す係数U_z,U_h,U_b,U_a（便宜的にαの代わりにａを使用）、および歯数無限大の場合のU₀を用いて式（20）で表す。更に、係数U_z,U_h,U_b,U_aは、z,h,b,αを使った多項式によって表す。係数U_z,U_h,U_b,U_aと各歯車諸元は図９に示す関係となる。破線は基準とした諸元を示す。なお、図９（ｃ）のm_nは歯直角モジュールである。
Ｕ＝U₀U_z（ｚ）U_a（α）U_h（ｈ）U_b（ｂ） ・・・（20）
近似式を使って歯先に集中荷重を作用させたときの曲げ撓み分布を計算した例を図10に示す。実線が近似式による撓みを示し、破線はFEM結果を示す。図の矢印は負荷位置を示す。近似式を用いた結果には、歯幅端に近い部分においてFEM結果よりも小さくなる傾向がみられるが、かみあいが行われる歯幅中央部分では荷重点直下の撓み、およびその分布ともFEMとの対応はよい。
〔稜かみあいの扱い〕
歯先や歯幅端周辺でかみあう場合には、図11のように接触楕円の一部が歯面上にない状態が発生する。この場合には分担荷重P_njからΔＰを除く荷重によって歯対の撓みが発生したと考え、式（21）を用いるこによって撓みの影響関数K_jを補正する方法とした。これにより、歯先や歯幅端周辺での歯対の剛性の低下を表現する。
K_j＝δ_j/（P_nj−ΔＰ） ・・・（21）
《実験検証》
高剛性のケースを持つ１段減速機を用いてかみあい伝達誤差を測定し、計算結果と比較した。入出力軸端部のプーリを介して取り付けた錘りによって負荷をかけ、ゆっくり回転させて測定機の振動の影響を極力少なくした状態で測定した。測定は、表１のNo1とNo2に示す減速比（ギヤ比）１の歯車対について行った。歯ごとのばらつきを低減するため、歯面には浸炭焼入れ後にマーグ歯研を施してある。歯面の測定結果の平均値を図中（図12）に示す。このとき、各個別誤差の歯ごとの測定値の標準偏差は0.5μｍ以下であった。測定したかみあい伝達誤差をフーリエ解析し、かみあい１次成分、２次成分を計算結果とともに図12に示す。測定結果は数μradの範囲のばらつきを持つが、図はそのうちの略中央のものである。

実測にみられるように、両試験歯車ともかみあい１次成分は負荷とともに変化して極小値と極大値をとる。計算結果も同様の傾向を示し、定性的な対応がみられる。しかし、図に矢印で示すようにかみあい伝達誤差振幅が極小となる負荷量については実測と計算の差は無視できない。原因として、計算では歯車本体、歯車軸、更に軸受の撓みを無視していることが考えられる。実測では減速機の構成要素の撓みが含まれるために、計算よりも剛性が低くなり、図に見られるように極値が低負荷側に現れる。
《実かみあい率ε_ｒの定義》
実かみあい率ε_ｒは、一対の歯の歯面が実際に接触する角度範囲θ_ｒを角ピッチθ_ｐ（図15参照）で除したものとして定義する。添字1,2で示す駆動側歯車，従動側歯車について、式（22）で表せる。
ε_ｒ＝θ_r1/θ_p1＝θ_r2/θ_p2 ・・・（22）
以後、歯面修整に対応して従動側歯車について考える。実かみあい率ε_ｒは負荷によって変化するため、歯車諸元により決まる諸元かみあい率（全かみあい率）ε_ｔと区別する。
かみあい伝達誤差振幅の負荷による変化を実かみあい率ε_ｒで整理することにより、実測結果と計算結果に共通した特徴が明らかになる。図12の実測値を、実かみあい率ε_ｒについて整理したものを図13に示す。計算結果には滑らかでない部分があるが、負荷や角ピッチの刻みを小さくすることにより滑らかな曲線となる。実測の実かみあい率ε_ｒは、図14に示すかみあい伝達誤差の実測の波形より求めた。図は試験歯車No1の例で、かみあい歯数の変化によって現れる谷の位置が修整量Ｓの曲線上となるように、各負荷の測定結果を並べて示す。図の例に示すように、かみあい歯数の変化する位置からθ_ｒを求めて実かみあい率ε_ｒを算出した。なお、図中の負荷は実測の際の値であり、修整量Ｓの曲線は図４と同様にして求めた。図13の２種類の歯車の結果から、かみあい伝達誤差が極値となるときの実かみあい率ε_ｒは実測結果と計算結果ともに略同じ値となること、かみあい１次成分の場合、極小となるときの実かみあい率ε_ｒは1.6付近、極大となるときは2.1付近となることが分かる。計算の誤差振幅はやや大きくなる傾向にあるが、負荷域全般において実測値とよい対応を示す。かみあい２次成分についても同様に実測値と計算値の対応が確認できる。
《かみあい伝達誤差に及ぼす負荷の影響》
かみあい伝達誤差の波形、および振幅の両面より負荷の影響を考察する。
〔かみあい伝達誤差波形〕
試験歯車No2を例として、各回転角度位置において負荷毎に計算したかみあい伝達誤差の波形と、図４と同様にして求めた修整量Ｓの波形を重ねて図15に示す。無負荷のかみあいは修整量Ｓの波形のうち遅れ量の最も少ない歯対のものに沿って進み、実かみあい率ε_ｒは1.0となる。負荷時には歯対の撓みによって接触する角度範囲θ_ｒが増加し、実かみあい率ε_ｒも増加する。かみあい歯対の数は、修整量Ｓの波形と交わる位置において変化し、それに対応してかみあい伝達誤差の波形も変化する。図のａの例では、１対かみあいと２対かみあいの波形が交互に現れる。このときの誤差振幅は無負荷のものより小さい。図のｂの例のように１対かみあいと２対かみあいの波形が略同じ振幅となるとき、かみあい伝達誤差の振幅は極小となる。このときの実かみあい率ε_ｒの値は約1.6である。負荷が増加して実かみあい率ε_ｒが2.0となる場合には、かみあい歯数の数に変化がなく、かみあい伝達誤差の振幅は極大となる。実際には1.5,2.0からややずれた位置で極値をとるが、これはかみあい伝達誤差の波形が１対かみあいと２対かみあいの場合で異なることが原因である。これらの特徴は、更に高い負荷でかみあいが２対と３対の繰り返しとなる場合にも見られる。
〔かみあい伝達誤差振幅〕
歯車諸元と修整歯面の異なる歯車対を用いて、実かみあい率ε_ｒとかみあい伝達誤差の振幅との関係を考察する。歯だけの異なる表１のNo3、No4の歯車対、および諸元かみあい率の更に高いNo5の歯車対を用いてかみあい１次,2次成分を計算し、実かみあい率ε_ｒとの関係を図16に示す。No5の歯車対については、歯形丸み量とクラウニング量の異なる２例について検討した。図の白丸は極値の位置を示し、かみあい２次成分については極大値の例のみを示す。図より、かみあい伝達誤差の振幅と実かみあい率ε_ｒの関係には以下の特徴があることが分かる。
（ｉ）実かみあい率ε_ｒは、負荷によって1.0から諸元かみあい率ε_ｔの間で変化し、それに伴って誤差振幅も変化する。
（ii）かみあい１次成分が極大値と極小値を示すとき、実かみあい率ε_ｒの値はいずれの歯車対でも略同じ値となり、２および３付近で極大、1.6付近で極小となる。諸元かみあい率ε_ｔが高い場合には実かみあい率ε_ｒが2.7から2.8でも極小となる。無負荷の振幅を極大値のひとつと考えると、かみあい伝達誤差の１次成分は実かみあい率ε_ｒが整数となる付近で極大となり、中間の値で極小値が現れる性質を持つ。
（iii）かみあい２次成分の極大値は、かみあい１次の場合の半分の間隔で現れ、１次成分が極値となる位置に略対応して極大値が現れる。かみあい１次成分が極小となる位置ではかみあい２次成分が支配的になる。
（iv）かみあい１次、２次成分ともに無負荷の振幅が大きいと負荷域に現れる極大値も大きい。
（ｖ）各極大値は無負荷のものが最も大きく、実かみあい率ε_ｒが高い（大きい）位置に現れるものほど小さくなる。これは伝達荷重を複数歯対で分担することで各歯対のかみあい伝達誤差量が平均化されるためと考えられる。
（vi）したがって、無負荷の振幅が負荷かみあい伝達誤差振幅の極大値を代表するものとなる。
以上の特徴は、図13の実測の結果にも見られ、かみあい伝達誤差の一般的な性質であると考えられる。
本検討結果を踏まえると、実かみあい率ε_ｒが1.0の無負荷の時のかみあい伝達誤差振幅ができるだけ小さくなるように歯車諸元および修整歯面を設定することにより、シミュレーションや試験などを行うことなく全負荷領域でかみあい伝達誤差が小さい歯車を短時間で簡単に設計できる。
《有効かみあい率ε_ｎの定義》
かみあい伝達誤差は接触点の軌跡上で考えた誤差量であるから、かみあい率についても接触点の軌跡を用いて定義する。歯先や歯幅端で稜かみあい（片当たり）となる部分を除いた角度範囲θ_ｎを角ピッチθ_ｐで除して有効かみあい率ε_ｎと定義する。添字1,2で表す駆動側歯車，従動側歯車について式（23）で表す。
ε_ｎ＝θ_n1/θ_p1＝θ_n2/θ_p2 ・・・（23）
以後、実かみあい率ε_ｒと歯面修整に対応して従動側歯車について考える。
有効かみあい率ε_ｎは無負荷の接触点の軌跡を用いて求めるものであるから、歯車諸元と修整歯面より成る歯車対の幾何学形状のみに依存し、負荷によらない指標である。また、かみあい伝達誤差と歯車諸元を直接対応させることを目的として、諸元かみあい率ε_ｔに歯面修整の影響を考慮した指標である。かみあい伝達誤差に対応して角度により有効かみあい率ε_ｎを定式化する。図17は、接触点の軌跡と有効かみあい率ε_ｎとの関係を示すものである。図には軌跡の異なるａおよびa'の例が示してあり、接触点が点Stから点Enへ進行する場合について考える。
接触点歯面上に存在するかみあい区間を太い実線で示し、歯先や歯幅端で稜かみあい（片当たり）となる区間を破線で示してある。ａの軌跡を使って説明すると、点Ａと点Ｂはかみあい区間の変化点を示し、対応する回転角をθ_min,θ_maxとする。θ_min,θ_maxは、接触点が歯先，歯元，および歯幅端部に達する位置によりa,a'の例を含めて４つの組合せが存在する。θ_ｎは点Ａから点Ｂに至る角度範囲であり、式（24）により求められる。なお、角ピッチθ_ｐは、従動側の歯車の歯数z₂を使って式（25）で表せる。図のａの例では、点Stから点Enに対応する角度θ_s,θ_ｅを境界条件として式（26）、a'の例では位相角φ_max,φ_minを境界条件として式（27）を解くことによりθ_max,θ_minが得られ、角度範囲θ_ｎおよび有効かみあい率ε_ｎが求められる。以上の式は従動側の歯車が右ねじれの場合のものであるが、左ねじれの場合には位相角φの符号が変わるのみであり、計算方法は同じである。
θ_ｎ＝θ_max−θ_min ・・・（24）
θ_ｐ＝２π/2₂ ・・・（25）
ｆ（θ_min）＝θ_s,f（θ_max）＝θ_ｅ ・・・（26）
ｇ（θ_min'）＝φ_min,g（θ_max'）＝φ_max ・・・（27）
有効かみあい率ε_ｎの定義を諸元かみあい率ε_ｔと比較すると、作用平面上で図18のように示すことができる。有効かみあい率ε_ｎの定義では、図のａの例に示すかみあい開始点Stから点Ａ、および点Ｂから点Enの区間で示す稜かみあい部分を除いてかみあい長さをL_nとする。接触点の軌跡が歯面修整に依存するため、同じ歯車諸元でも有効かみあい率ε_ｎは歯面によって異なるものとなる。これに対して、諸元かみあい率ε_ｔの定義では誤差のない歯面を前提として点Stから点Enまでをかみあい長さL_tとする。図には正面かみあい率ε_ａと重なりかみあい率ε_ｂのかみあい長さL_a,L_bを示すが、何れも誤差のない歯面を前提としている。図のβ_ｂは基礎円筒上ねじれ角で、数式の中のP_bは法線ピッチである。このように有効かみあい率ε_ｎは接触点の軌跡に基づいて歯面修整の影響を考慮したものであり、歯車諸元の新しい指標である。
《ε_ｎとかみあい伝達誤差の関係》
有効かみあい率ε_ｎは歯車諸元とともに修整歯面にも依存するため、修整歯面と歯車諸元が有効かみあい率ε_ｎとかみあい伝達誤差振幅に及ぼす影響を個別に調べ、その関係を有効かみあい率ε_ｎとかみあい伝達誤差の波形の関係から考察する。
〔修整歯面の影響〕
図19は、表２のNo1の歯車対を用いて接触点の軌跡を計算したものである。歯面修整量とそれを用いて計算した有効かみあい率ε_ｎの値を表３に示し、そのうちa,b,cの場合について接触点の軌跡を示す。図19の（ａ），（ｂ），（ｃ）はそれぞれ表３の歯面修整a,b,cに対応する。図は誤差のない歯面を平面として歯面修整量を平面からの距離として表したもので、接触点の軌跡を一対の歯のかみあい開始点Stからかみあい終了点Enの範囲について示す。接触点の軌跡のうち実線は接触点が歯面上に存在する範囲、破線は稜かみあいの範囲を示す。点Ｃから点Ｄの区間は無負荷の際の一対の歯のかみあい範囲を示す。波形丸み量とクラウニング量は無負荷のかみあい伝達誤差の振幅が同じになるように設定してある。図19より、歯形丸み量が多く、クラウニング量が少ないｃの歯面の歯車対では、接触点の軌跡が歯すじ方向に長くなり、有効かみあい率ε_ｎが高く（大きく）なることが分かる。

図20は、図19の３つの歯車に表３のｄの歯車対を加えてかみあい伝達誤差を計算し、そのかみあい１次成分を示したものである。横軸は実かみあい率ε_ｒとし、実かみあい率ε_ｒが負荷とともに増加して有効かみあい率ε_ｎおよび諸元かみあい率ε_ｔと一致する点をそれぞれ白丸で示す。無負荷の振幅が同じになるように歯面修整量を設定したため、実かみあい率ε_ｒが低い領域での有意差はないが、実かみあい率ε_ｒが2.0を越える負荷域では有効かみあい率ε_ｎの高い歯車対程かみあい伝達誤差振幅が小さくなる。
このように、歯車諸元が同じ場合でも歯面修整によって接触点の軌跡が変わると有効かみあい率ε_ｎが異なり、負荷域のかみあい伝達誤差振幅も異なることが分かる。
〔歯車諸元の影響〕
図21および図22は、諸元の異なる歯車対を用いてかみあい伝達誤差のかみあい１次成分を計算したものである。歯車諸元の影響を比較するため、歯形丸みおよびクラウニングの係数d₀,c₀はすべて同じ値とし、圧力角誤差およびねじれ角誤差はないものとした。図21（ａ）は表２のNo1の歯車対（歯たけｈ＝5.6mm）と、歯たけｈのみを5.0mm、6.2mmとした歯車対を比較したものである。図より、かみあいで達誤差振幅は図20と同様に実かみあい率ε_ｒが2.0を越える領域で差が現れることが分かる。この差は、実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎに達する付近より顕著になるため、実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎと一致する負荷量が境界になっていると理解できる。また、誤差振幅は有効かみあい率ε_ｎの高い歯車ほど小さい。図21（ｂ）は、同じく表２のNo1の歯車対（圧力角α＝18゜）と、圧力角αのみを21゜、15゜とした歯車対を比較したものである。圧力角αの異なる歯車の場合にも、同様の傾向が確認できる。
図21（ａ），（ｂ）では、諸元かみあい率ε_ｔの高い歯車対は有効かみあい率ε_ｎも高くなっているため、諸元かみあい率ε_ｔと有効かみあい率ε_ｎは共にかみあい伝達誤差振幅の変化と対応している。しかし、図22では諸元かみあい率ε_ｔと誤差振幅は対応しない。図22（ａ）は、表２のNo1の歯車対（歯幅ｂ＝18mm）と、歯幅ｂのみを24mmとした歯車対を比較したものである。歯形丸みおよびクラウニングの係数d₀,c₀を同じにしているため、有効かみあい率ε_ｎは同じ値となっている。諸元かみあい率ε_ｔに15％程度の差があるにも拘らず、両歯車対のかみあい伝達誤差振幅に有意差は見られない。図22（ｂ）では、かみあい伝達誤差は有効かみあい率ε_ｎに対応し、諸元かみあい率ε_ｔには対応しない。図22（ｂ）は、表２のNo1の歯車対、および歯数とモジュールを固定してねじれ角を変えたNo2、No3の歯車対を比較したものである。負荷域では、諸元かみあい率ε_ｔが低いにも拘らず有効かみあい率ε_ｎの高い歯車ほど誤差振幅は小さくなる関係にある。図21（ａ）、図22（ａ）の歯だけｈ、歯幅ｂのみが異なる歯車対の比較では、歯面修整の係数を同じとしているため、実かみあい率ε_ｒが小さい領域の誤差振幅に有意差はない。この範囲の図に差が見られるのは、計算の際の負荷や角ピッチの刻みによるものである。なお、図21（ｂ）、図22（ｂ）の圧力角α、ねじれ角βが異なる歯車対では軸直角圧力角が異なり、基礎円が同じでないために、この領域の誤差振幅は一致しない。
有効かみあい率ε_ｎの値は、歯の撓みの計算精度に依存し、緻密に扱うことはできないが、実かみあい率ε_ｒが２を越える負荷域で誤差振幅の増加がないことを条件とすると限界値を見いだすことができる。図20,図21,図22を含む各種の歯車対の検討より、図に太い実線で示すように有効かみあい率ε_ｎが2.5程度の歯車対が略限界のものとなることが分かった。
〔ε_ｎとかみあい伝達誤差波形の関係〕
有効かみあい率ε_ｎとかみあい伝達誤差振幅との対応は誤差の波形により説明できる。図23は、表２のNo1の歯車対に表３のａの歯面修整を施した歯車対のかみあい伝達誤差波形の計算結果を示したものである。回転角を横軸とし、各角度位置で負荷ごとに計算したかみあい伝達誤差量の波形と歯面の修整量Ｓの波形を重ねて示したものである。負荷を増加させていく場合について考えると、負荷Ｔにより角度範囲θ_ｒは点C,点Ｄの範囲から点A,点Ｂの範囲に向かって増加し、それに対応してかみあい伝達誤差波形も変化する。この負荷域での波形は実かみあい率ε_ｒが指標となる。負荷T₁において角度範囲θ_ｒが角度範囲θ_ｎと一致し、実かみあい率ε_ｒと有効かみあい率ε_ｎとが等しくなると、図のT₂,T₃の例に示すように、それを越える負荷での波形は負荷T₁の場合と同じ周期で振幅のみが変化するものとなる。これは、同時にかみあう３対の歯のうち１対が稜かみあいとなることが原因である。例えば、回転角θ_１で示すかみあい位置では、３対の歯のうちｃの歯対が稜かみあいとなって分担荷重が小さく、主にa,bの歯対によってかみあい伝達誤差量e₁が決定される。そのため、かみあい伝達誤差の波形はａとｂの歯対が荷重を分担する負荷T₁の場合と同じ周期になる。この状態は図に影を付して示すように実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える範囲で発生し、この負荷域では有効かみあい率ε_ｎがかみあい伝達誤差波形の指標となる。この特徴は、歯車諸元や修整歯面の異なる歯車にも見られる。
かみあい伝達誤差の波形は、有効かみあい率ε_ｎの値によって図24の例のように変化する。図は、表２のNo1の歯車対に表３のb,d,cの歯面修整を施した歯車対について示したものである。各かみあい伝達誤差波形は、対応する同じ負荷で計算したものである。但し、負荷T₁は実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎと一致する負荷であり、歯車対ごとに異なる値である。同じ歯車諸元を用いた図23の結果を含め、有効かみあい率ε_ｎは図23の場合の2.07を最小として図24の（ａ），（ｂ），（ｃ）の順に大きい。実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎに達する負荷T₁の波形と負荷T₂,T₃の波形を比較すると、図23の場合には負荷が高くなるにつれて振幅が増加するのに対して図24（ａ）では増加幅が小さくなり、図24（ｂ）では殆ど変化しない。更に図24（ｃ）の負荷T₃の波形では誤差振幅が減少傾向を示す。
この結果を誤差波形の形状に着目して考える。図に影を付した範囲は各歯対が稜かみあいとなる範囲であり、この状態の歯対を除いた数は図の角度範囲θ_ａにおいて３対、θ_ｂにおいて２対である。θ_ａの範囲では伝達荷重を３対で分担するため、かみあい伝達誤差量が平均化されてなだらかな波形となり、負荷による変化も小さい。したがって、θ_ａが広いほど負荷T₁における振幅も負荷による変化も少ない。有効かみあい率ε_ｎが高いと、角度範囲θ_ａが広くなるため、誤差振幅と負荷による変化は少ないもとのとなる。
以上を要約すると、ある歯車対において負荷を増加させていく場合、かみあい伝達誤差波形は角度範囲θ_ｒとθ_ｎが一致する負荷、すなわち実かみあい率ε_ｒと有効かみあい率ε_ｎが一致する負荷を境に誤差波形の特徴が異なり、実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎよりも低い（小さい）範囲において実かみあい率ε_ｒに依存し、実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える領域では有効かみあい率ε_ｎに依存すること、有効かみあい率ε_ｎが高いほど誤差振幅と負荷による変化は少ないことが分かった。
修整歯面が同等である場合には、有効かみあい率ε_ｎは歯車諸元によって決まるから、以上の結果より歯車諸元がかみあい伝達誤差に影響を及ぼすのは実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える負荷域であり、軽負荷域での影響は少ないと言える。
《ε_ｎを指標とした歯車設計》
以上の結果を踏まえると、有効かみあい率ε_ｎを指標とすることにより負荷域のかみあい伝達誤差の小さい歯車諸元を選ぶことができる。しかし、有効かみあい率ε_ｎは歯面にも依存するため、修整歯面をどのように設定するかについて明らかにしておくことが必要である。特開平８−197332号公報には、無負荷のかみあい伝達誤差を指標として最適修整歯面を得る方法が示されており、その量は、軸にミスアライメントがある場合に歯先や歯幅端が稜かみあいにならないことを条件とした場合の必要最小量である。この方法で修整歯面を決定し、有効かみあい率ε_ｎを指標として歯車諸元を決定することにより負荷域のかみあい伝達誤差の小さい歯車を設計できる。
歯面修整量を必要最小量とした場合には、有効かみあい率ε_ｎと諸元かみあい率ε_ｔの間に大まかな対応があり、諸元かみあい率ε_ｔの高い歯車諸元を選ぶことにより有効かみあい率ε_ｎの高い歯車諸元とすることができる。図21と図22の歯車対を用い、ミスアライメントとして各0.01radの平行度誤差と食い違い誤差を与えて歯面修整量を決定したときの諸元かみあい率ε_ｔと有効かみあい率ε_ｎとの関係を図25に示す。図にはバイアス修整を施したものについても白丸で示す。図より、諸元かみあい率ε_ｔと有効かみあい率ε_ｎは全体の傾向が合うことが分かる。従来から諸元かみあい率ε_ｔの高い歯車により低振動化が実現されてきたのは、歯面を個別にチューニングした結果として有効かみあい率ε_ｎも高くなったためと考えることができる。但し、図のＡとＢのように諸元かみあい率ε_ｔが略同じでも有効かみあい率ε_ｎが異なるもの、Ｃのように有効かみあい率ε_ｎが低くなる場合があるため、詳細な設計では有効かみあい率ε_ｎを指標とすることが必要である。
歯車諸元によって有効かみあい率ε_ｎの高い歯車を得る方法は、減速機のスペースや歯車強度の制約を受ける場合が多く、必ずしも自由度の大きいものではない。このような場合には、歯面によって接触点の軌跡に補正を加える方法が考えられる。歯形丸みとクラウニングの量がミスアライメント量に応じて決まる場合でも、歯面にバイアス修整を追加すると接触点の軌跡が歯すじ方向に長くなり、有効かみあい率ε_ｎを高くすることができる。バイアス修整は、歯幅両端で逆方向の圧力角誤差を与えるものである。歯面と接触点の軌跡の関係を図26に示す。図には、バイアス修整のない場合、接触点の軌跡を対角方向に傾ける所謂バイアスインの場合、その逆方向に傾けるバイアスアウトの場合を示す。バイアス量は、歯幅両端での圧力角誤差量を加算して（b₁＋b₂）で表し、式（４）などに用いられているバイアス修整の係数b₀は歯すじに沿って変化するバイアス量を直線で表したときの傾きである。図を比較すると、バイアスインとすることにより接触点の軌跡が歯すじ方向に長くなり、その結果として有効かみあい率ε_ｎが高くなることが分かる。
修整歯面は、バイアス量を決めた後に歯形丸みとクラウニングの最適値を決定して得られる。表２のNo1の歯車対を例として求めたバイアス量、ミスアライメントがある場合の歯形丸み量とクラウニング量の必要最小量、および有効かみあい率ε_ｎとの関係を図27に示す。各0.01radの平行度誤差と食い違い誤差を与え、歯形丸み量とクラウニング量の必要最小量を求めて実線と破線で示し、そのときの有効かみあい率ε_ｎを太い実線で示す。バイアス量はバイアスインの場合を正の値とする。図より、バイアス修整のない場合には2.2程度であった有効かみあい率ε_ｎの値が、15μｍのバイアスインとすることにより約2.5となることが分かる。
これ等の結果から、歯車設計に関して以下の所見が得られた。
（ｉ）かみあい伝達誤差振幅は歯車諸元や歯面修整によらず実かみあい率ε_ｒが整数となる付近で極大となり、各極大値のうち無負荷のものが最も大きい。したがって、無負荷の誤差振幅の小さい歯車は負荷域のかみあい伝達誤差振幅も小さい。
（ii）実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える負荷域では、有効かみあい率ε_ｎが高いほど誤差振幅が小さく、歯車諸元と修整歯面の設定により有効かみあい率ε_ｎの高い歯車とすることができる。
したがって、無負荷のかみあい伝達誤差振幅と有効かみあい率ε_ｎを指標として歯車諸元と修整歯面を設定することにより、広い負荷域に亘ってかみあい伝達誤差振幅の小さい歯車を設計することができる。
結局、諸元かみあい率ε_ｔに歯面修整の影響を考慮して有効かみあい率ε_ｎを定義し、かみあい伝達誤差との関係を考察した結果、以下の結論が得られた。
（ｉ）負荷かみあい伝達誤差は実かみあい率ε_ｒと有効かみあい率ε_ｎの関係から二つの負荷領域に分けて考えることが必要である。
（ii）実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える負荷域では、有効かみあい率ε_ｎがかみあい伝達誤差振幅の指標となり、有効かみあい率ε_ｎが高いほどかみあい伝達誤差振幅が小さい。これにより、シミュレーションや試験などを行うことなくギヤノイズが小さい歯車を短時間で簡単に設計できる。特に、有効かみあい率ε_ｎが略2.4以上、更に好ましくは2.5程度以上となるようにすれば、負荷域のかみあい伝達誤差の上昇が防止され、ギヤノイズを効果的に低減できる。
（iii）実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎに達しない軽負荷ではかみあい伝達誤差は有効かみあい率ε_ｎに依存せず、歯面の影響が支配的である。
（iv）修整歯面が同等である場合には、有効かみあい率ε_ｎは歯車諸元によって決まるから、歯車諸元がかみあい伝達誤差に影響を及ぼすのは実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える負荷域であり、軽負荷域での影響は少ない。
（ｖ）諸元かみあい率ε_ｔの高い歯車諸元とし、歯面にバイアス修整を追加することにより、有効かみあい率ε_ｎの高い歯車とすることができる。
（vi）無負荷のかみあい伝達誤差振幅と有効かみあい率ε_ｎを用いることにより、広い負荷域に亘ってかみあい伝達誤差振幅の小さい歯車を設計することができる。
《かみあい伝達誤差に及ぼす歯面修整の影響》
特開平８−197332号公報には、歯を剛体と仮定した場合に歯面の修整量が少ないほどかみあい伝達誤差は小さくなることが開示されている。ここでは、歯の負荷撓みを考慮した場合について解析する。できるだけ歯車諸元の影響を受けないように諸元かみあい率ε_ｔの高い表４のNo1の歯車を用い、歯形丸み量とクラウニング量を変えてかみあい伝達誤差のかみあい１次成分を計算した結果を図28に示す。負荷の範囲と刻みはすべて同じとし、各負荷での実かみあい率ε_ｒを横軸として示す。その結果、歯形丸み量、クラウニング量が10μｍと6.3μｍの場合から分かるように、かみあい伝達誤差は実かみあい率ε_ｒが1.0となる無負荷の振幅を含めて各極大値は歯面修整量が少ないほど小さい。同じ諸元の歯車では、負荷撓みを考慮した場合にも歯面修整量が少ない程かみあい伝達誤差は小さくなることが分かる。歯形丸み量とクラウニング量が各１μｍの例のように誤差のない歯車に近い場合には、全般的にかみあい伝達誤差振幅は小さくなる。但し、同じ負荷では実かみあい率ε_ｒが高くなり諸元かみあい率ε_ｔを越えると振幅は増加する。実際には、歯車軸のミスアライメントが存在し、それを許容する一定量の歯面修整が必要である。そのような場合に、かみあい伝達誤差振幅を小さくするためには歯面修整量をできるだけ少なくすることが有効である。

《圧力角誤差とねじれ角誤差による片当たり》
歯車軸のミスアライメントにより一対の歯のかみあい区間で歯先または歯幅端での稜かみあいとなる片当たりが発生すると、かみあい伝達誤差は増加するが、ここでは歯の負荷撓みを考慮した場合の片当たりについて考察する。
表４のNo1の歯車に過大なミスアライメントを想定してそれぞれ60μｍの圧力角誤差、ねじれ角誤差を与え、片当たりを発生させた場合を例として考察する。歯面にはそれぞれ10μｍの歯形丸みとクラウニングを与えている。修整歯面上の接触点の軌跡とかみあい伝達誤差波形を計算した結果を図29、図30に示す。図29は圧力角誤差がある場合で、図30はねじれ角誤差がある場合である。接触点の軌跡は、図の点Ａから点Ｂの範囲が歯面上に存在し、これを越える範囲では歯先または歯幅端での稜かみあいとなる。かみあい伝達誤差波形は、圧力角誤差がある場合（図29）には無負荷において点Ｂを最高点としてのこぎり歯状となって振幅が増加し、負荷が増加すると稜かみあい区間での撓みが大きくなることによって誤差振幅が大きくなる。ねじれ角誤差がある場合（図30）には、圧力角誤差がある場合に比べて影響は少ない。これは、歯幅端でかみあう場合には歯形丸み量に相当する誤差がかみあい伝達誤差として現れ、圧力角誤差のある場合のようなのこぎり歯状の波形にはならないからである。
図31は、かみあい伝達誤差のかみあい１次と２次の周波数成分の変化を実かみあい率ε_ｒを横軸として示したものである。圧力角誤差がある場合には、かみあい１次成分、２次成分ともに全域で大きく、片当たりの影響が大きいことが分かる。ねじれ角誤差のある場合にも、振幅の増加は少ないもののかみあい伝達誤差は増加傾向となる。このように、特にかみあい区間で歯先稜かみあいとなって片当たりの状態になると、かみあい伝達誤差振幅の増加幅が大きく、歯幅端でのかみあいの影響も無視できないことから、負荷によらず片当たりを避ける歯面設定が必要であることが分かる。
《修整歯面の最適化》
歯面修整は、歯車減速機の歯車軸のミスアライメントによって稜かみあいが発生しない量とする必要があり、かみあい伝達誤差を小さくするためにはできるだけその量を少なくする必要がある。この結果を踏まえると、稜かみあいの発生しない必要最小量の修整を施した歯面が最適であると考えることができる。歯車対にミスアライメントを与えた時に、一対の歯のかみあい区間で接触点の軌跡が歯面上に存在することを条件として最適修整歯面が得られる。
図32は、ミスアライメントによりかみあい終了位置で接触点が歯先の歯幅端の点Enを通過する場合の軌跡である。かみあい終了位置で接触点O_Sが歯面上の点Enに一致する条件は式（28）となり、歯形丸みの係数d₀とクラウニングの係数c₀を未知数として式を解くことにより、最適歯面修整量が得られる。かみあい開始側についても、式（29）から同様の手順で係数d₀,c₀が得られる、式（28）と式（29）で得られたd₀,c₀の大きい値が最適修整歯面の係数となる。
ｆ（θ_ｅ＋φ_max）＝θ_e,g（θ_ｅ＋φ_max）＝φ_max・・・（28）
ｆ（θ_ｓ＋φ_min）＝θ_s,g（θ_ｓ＋φ_min）＝φ_min・・・（28）
表４のNo1の歯車について、一定量の平行度誤差と食い違い誤差を与えて歯面修整量を最適化した例を図33に示す。接触点の軌跡はかみあい終了位置で歯先の歯幅端を通り、無負荷のかみあい伝達誤差波形はかみあい区間で稜かみあいとなることがなく振幅の増加はない。負荷時の振幅の増加も少ない。図34は、このときのかみあい伝達誤差のかみあい１次とかみあい２次成分の負荷による変化を計算し、実かみあい率ε_ｒで整理したものである。平行度誤差と食い違い誤差がそれぞれ最大量の３分の１、３分の２の場合を併せて示す。平行度誤差と食い違い誤差が最大の場合は、実かみあい率ε_ｒが２付近に現れる極大値の増加量が大きいが、３分の１、３分の２の場合はかみあい１次、２次ともに低く抑えられていることが分かる。
《歯車諸元の最適化》
実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越える負荷領域では、歯車諸元と修整歯面から決まる有効かみあい率ε_ｎがかみあい伝達誤差の指標となる。更に、歯面修整量は歯車諸元とミスアライメント量に対して最適化するため、最適歯面修整量がより少なくなる歯車諸元を選ぶことにより、かみあい伝達誤差の小さい歯車が得られる。また、角ピッチはかみあい伝達誤差振幅を決定づける要因となるため、その影響についても考察し、歯車諸元の最適化のための指針を得る。
〔最適歯面修整量に及ぼす歯車諸元の影響〕
最適歯面修整量と歯たけｈ、歯幅ｂ、圧力角α、ねじれ角βの関係を調べ、最適歯面修整量が小さくなる歯車諸元について考察する。歯数と歯直角モジュールが同じで歯たけｈ、歯幅ｂ、圧力角α、ねじれ角βの異なる歯車について、同じ量の平行度誤差と食い違い誤差に対して修整歯面を最適化した場合の歯形丸み，クラウニングの係数d₀,c₀を規格化して図35に示す。係数が小さいほど歯面はなだらかとなり、かみあい伝達誤差振幅は小さい。結果より、歯たけｈは5mm以上とすると歯形丸みの最適値は小さくなる。この場合にはモジュールの約2.5倍にあたることから、歯たけｈは標準歯車よりもやや高歯とするのが有利である。歯幅ｂは大きいほどクラウニングの最適値が小さくなる。歯たけh,歯幅ｂと稜かみあいにならないための歯形丸み，クラウニングの必要量の関係は、図36に示す歯すじ修整のモデルを使って説明できる。接触位置A,Bでの傾きが等しいので、放物線の傾きより式（30）が成立し、それを変形して係数c₂は式（31）で表せる。定義より、φ_１＜φ_２であるから、c₂＜c₁となり、歯幅ｂの広い場合のほうがクラウニングの係数が小さくなる。
2c₁φ_１＝2c₂φ_２ ・・・（30）
c₂＝c₁（φ₁/φ_２） ・・・（31）
図35に戻って、圧力角αは主に歯形丸みに影響し、圧力角αが小さい方が小さく設定できることが分かる。ねじれ角βは、特にクラウニングに対してねじれ角βが大きいほど係数を小さく設定でき、20゜程度を越えるとあまり差がなくなる。図37は、ミスアライメント量が異なる場合のクラウニングの係数の最適値を示す。平行度誤差と食い違い誤差をそれぞれ0.015rad、0.01rad、0.005radとして計算した係数c₀と、これをねじれ角β＝27゜のもので基準化したものを示す。異なるミスアライメント量に対してもねじれ角が係数に及ぼす影響は同様な傾向を示すことが分かる。このように歯面修整量を少なくできる歯車諸元が明らかになった。また、それは従来の諸元かみあい率ε_ｔを高める歯車諸元と一致するものであることが分かった。
以上では、歯面修整係数の大きさを比較して説明したが、各諸元の値の組合せは無負荷のかみあい伝達誤差振幅を比較することで検討する。ミスアライメントのない場合の一対の歯の無負荷のかみあい伝達誤差振幅を表すと式（32）となり、式（33）がかみあい伝達誤差波形の全振幅（ｐ−ｐ値）の式となる。この式により最もかみあい伝達誤差振幅の小さい歯車諸元の組合せを選択し、歯車諸元を最適化する。
ΔＥ（θ）＝α_２θ^２ ・・・（32）

但し、

〔角ピッチの影響〕
かみあい伝達誤差振幅は歯面修整量とともに角ピッチの影響を受ける。角ピッチの異なる表４のNo1とNo2の歯車のかみあい伝達誤差を図38に示す。No1の歯車はNo2の歯車に対してピッチ径を変えずにモジュール（歯直角モジュールm_n）を小さくして歯数（ｚ）を増やし、角ピッチを小さくしたものである。図より角ピッチの小さい歯車は全般的にかみあい伝達誤差振幅が小さいことが分かる。これは、図39の模式図に示すように、角ピッチが小さくなることにより誤差波形の交点までの距離がE1からE2に減少するためである。それに伴って負荷領域の極大値も減少し、略全域でかみあい伝達誤差振幅が小さくなる。このように角ピッチを小さくすることは、かみあい伝達誤差振幅の低減に有効な手段であり、歯車強度が成立する範囲でできるだけ小モジュールで歯数の多い諸元とすることが望ましい。負荷との関係については、図39に示す実かみあい率ε_ｒ＝1.5となる場合の例のように、撓み量がδ_１からδ_２に減少するため角ピッチの小さい歯車の場合には軽負荷で実かみあい率ε_ｒが高くなる。
《新しい歯車設計の手順》
最適歯面修整量の計算、かみあい伝達誤差振幅と有効かみあい率ε_ｎの計算を従来の歯車諸元設計に追加し、歯車諸元設計段階で歯面修整量を決定できる新しい設計法を示す。設計条件、設計変数、計算結果と評価指標の関係を図40に示す。設計条件として、減速機の変速比i,中央距離a,最大外径D_max,最大歯幅b_max,軸受の許容荷重より決まる最大ねじれ角β_maxに加えて、平行度誤差と食い違い誤差の最大量λ_maxとγ_maxを与える。設計変数として歯数z,歯直角モジュールm_t,歯たけh,圧力角α，歯幅b,ねじれ角βを選び、λ_maxとγ_maxより歯形丸み量とクラウニング量の最適値d_min,c_minを計算する。設計指標として無負荷のかみあい伝達誤差振幅T.E.,有効かみあい率ε_ｎを最適修整歯面を使って計算し、応力指標とともに条件を満たす歯車諸元の組合せを選ぶ。有効かみあい率ε_ｎが低い場合は歯車諸元を変更する方法以外にバイアス修整を追加する方法がある。最適歯面修整量，かみあい伝達誤差振幅，有効かみあい率は式によって得られ、各指標を使って最適な歯車諸元と修整歯面を得ることができる。
従来の歯車設計では歯車諸元と修整歯面を別個に検討する必要があるから、できるだけ多くの歯車諸元と修整歯面についてかみあい伝達誤差を計算して比較する必要がある。修整歯面の決定方法も明らかでないため、最適な歯車諸元と修整歯面を得るにはたいへん時間のかかる作業となっている。新しい設計法では歯車諸元設計の段階で修整歯面を同時に決定でき、歯車設計の品質を向上させるだけでなく、開発時間の大幅な短縮となる。
新しい設計法により最適な歯車を得る過程の各段階でのかみあい伝達誤差を図41に示す。表４のNo2の歯車の歯形丸み量とクラウニング量を各10μｍとしたものを基本としてＡで示す。Ｂは平行度誤差と食い違い誤差を各0.01radとして修整歯面を最適化した例で、軽負荷域のかみあい伝達誤差振幅を低減できるが、有効かみあい率ε_ｎが低いために実かみあい率ε_ｒが有効かみあい率ε_ｎを越えるｂの負荷域でのかみあい伝達誤差振幅は増加することが分かる。Ｃは歯たけを5.6mmから6.2mmに増やし、圧力角を18゜から16゜に減少させて歯面を最適化した例で、歯形丸みとクラウニングの最適値が減少したことによりかみあい伝達誤差は小さくなる。同時に有効かみあい率ε_ｎは2.4を超え、ｂ領域のかみあい伝達誤差も減少する。さらにＤで示すように歯数を増やして最適修整歯面としたものでは、全負荷領域でかみあい伝達誤差が小さくなることが分かる。なお、実かみあい率ε_ｒが諸元かみあい率ε_ｔに近づくような高負荷では、かみあい伝達誤差振幅は増加するが、歯車騒音が比較的軽負荷で顕著になり易いことを考えると、一般的には問題ない。
《歯面の製造ばらつきの影響》
無負荷のかみあい伝達誤差と歯ごとの歯面誤差のばらつきの関係について研究が為されている。かみあい伝達誤差波形は歯面のばらつきにより変化し、側帯波を含むかみあい次数以外の成分が現れる。しかし、稜かみあいのない正常なかみあいを前提にかみあい１次成分に着目するのであれば、ばらつきを考慮したかみあい伝達誤差振幅は全歯の平均の歯面を使って計算した値を超えることがないことが分かっている。これは無負荷の場合とかみあい伝達誤差振幅が極大値となる実かみあい率ε_ｒが整数の場合に言えることである。本発明者等の歯車設計法では、実かみあい率ε_ｒが整数となる付近で現れるかみあい伝達誤差振幅の極大値に注目し、そのなかでも最大の値をとる無負荷の振幅に着目しているため、全歯の歯面の平均値を使って検討することにより誤りを生じることはない。
《結論》
最適歯面修整量、かみあい伝達誤差振幅、有効かみあい率ε_ｎの計算を従来の歯車諸元設計に追加し、歯車諸元設計段階で歯面修整量を決定できる新しい設計法を提案した。新しい設計法では歯車諸元設計の段階で修整歯面を同時に決定でき、歯車設計の品質を向上させるだけでなく開発時間の大幅な短縮となる。さらに歯車設計の指針として以下の結論が得られた。
（ｉ）ミスアライメントにより歯面が稜かみあいとなるとかみあい伝達誤差振幅は全負荷域で大幅に増加する。
（ii）公差上限のミスアライメント量に対して稜かみあいのない歯面修整量を設定すると、最適修整歯面が得られる。
（iii）歯たけ，歯幅，ねじれ角の大きい歯車、および圧力角の小さい歯車では、歯面修整量の最適値が小さくなり、かみあい伝達誤差振幅が小さくなる。
（iv）歯たけは歯直角モジュールの2.5倍以上、ねじれ角は20゜以上とするとかみあい伝達誤差振幅を効果的に減少させることができる。
（ｖ）強度の許容範囲で小モジュールとし、歯数を増やして角ピッチを小さくすると全負荷域でかみあい伝達誤差振幅を効果的に減少させることができる。
以上、本発明を図面を参照しつつ詳細に説明したが、本発明は他の態様で実施することもできる。
例えば、実際の歯車の歯面形状などからかみあい伝達誤差振幅を算出して実かみあい率ε_ｒで整理することにより、試験などを行うことなくギヤノイズなどの性能評価を行うこともできる。実際の歯車の歯面形状などから有効かみあい率ε_ｎを算出することにより、試験などを行うことなくギヤノイズなどの性能評価を行うこともできる。
また、実かみあい率ε_ｒが角度範囲θ_ｒおよび角ピッチθ_ｐを用いて定義されていたが、ピッチ円上の長さ寸法で定義しても実質的に同じであるなど、実かみあい率の定義の仕方は趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更され得る。
有効かみあい率ε_ｎについても、角度範囲θ_ｎおよび角ピッチθ_ｐを用いて定義されていたが、ピッチ円上の長さ寸法で定義しても実質的に同じであるなど、有効かみあい率の定義の仕方は趣旨を逸脱しない範囲で適宜変更され得る。
その他一々例示はしないが、本発明は当業者の知識に基づいて種々の変更，改良を加えた態様で実施することができる。
産業上の利用可能性
以上のように、本発明は、ギヤノイズが小さい歯車を短時間で簡単に設計したり製造したりする場合、或いはその歯車を用いる種々の産業分野で好適に利用され得る。

Claims (9)

1. 一対の歯の歯面が実際に接触する角度範囲θ_ｒを歯車の角ピッチθ_ｐで除した値θ_r/θ_ｐを実かみあい率とし、該実かみあい率θ_r/θ_ｐが1.0となる無負荷の時のかみあい伝達誤差振幅が小さくなるように、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする歯車設計方法。
2. 接触点の軌跡のうち歯先または歯幅端で稜かみあいとなる部分を除いた角度範囲θ_ｎを歯車の角ピッチθ_ｐで除した値θ_n/θ_ｐを有効かみあい率とし、該有効かみあい率θ_n/θ_ｐに基づいて、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする歯車設計方法。
3. 前記有効かみあい率θ_n/θ_ｐが高くなるように、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする請求項２に記載の歯車設計方法。
4. 前記有効かみあい率θ_n/θ_ｐを高くするために、歯面にバイアスインのバイアス修整を施すことを特徴とする請求項３に記載の歯車設計方法。
5. 前記有効かみあい率θ_n/θ_ｐが略2.4以上となるように、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする請求項３に記載の歯車設計方法。
6. 諸元かみあい率の高い歯車諸元を選択し、歯面にバイアス修整を追加することで前記有効かみあい率θ_n/θ_ｐを高くすることを特徴とする請求項３に記載の歯車設計方法。
7. 無負荷の時のかみあい伝達誤差振幅が小さくなるとともに前記有効かみあい率θ_n/θ_ｐが高くなるように、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定することを特徴とする請求項３に記載の歯車設計方法。
8. 請求項１乃至７の何れか１項に記載の設計方法に従って、諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、およびバイアス修整量の少なくとも一つを設定し、その設定通りの諸元かみあい率、歯形丸み量、クラウニング量、またはバイアス修整量が得られるように歯車を製造することを特徴とする歯車製造方法。
9. 請求項８に記載の製造方法に従って製造されたことを特徴とする歯車。

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