CN116756871A - 一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法 - Google Patents
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Abstract
本发明提供了一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，包括以下步骤：步骤1：求解新型齿轮齿廓；步骤2：计算新型齿轮根切临界值；步骤3：推导新型齿轮齿条刀具方程；步骤4：设计新型齿轮曲线型啮合线；步骤5：建立新型齿轮参数化三维有限元网格模型；步骤6：分析新型齿轮误差敏感性。应用本技术方案设计的新型齿轮与渐开线齿轮相比，承载能力有显著提升。
Description
技术领域
本发明涉及齿轮齿形设计技术领域，特别是一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法。
背景技术
行星齿轮系是大量机械设备的关键基本部件，广泛应用于冶金、石油、煤矿、风能、航空、船舶、机车等重要领域。目前行星齿轮系的齿型形状主要是渐开线型，传动比恒定，加工方便。然而随着工业技术的快速发展，渐开线齿轮接触强度低、滑动摩擦力大等问题逐渐暴露出来。齿廓决定了齿轮传动性能，因此需要基于不同的齿廓设计新型齿轮来满足现代工业高承载行星齿轮系的需求。
发明内容
有鉴于此，本发明的目的在于提供一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，设计的新型齿轮与渐开线齿轮相比，承载能力有显著提升。
为实现上述目的，本发明采用如下技术方案：一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，包括以下步骤：
步骤1：求解新型齿轮齿廓；步骤2：计算新型齿轮根切临界值；步骤3：推导新型齿轮齿条刀具方程；步骤4：设计新型齿轮曲线型啮合线；步骤5：建立新型齿轮参数化三维有限元网格；步骤6：分析新型齿轮误差敏感性。
在一较佳的实施例中，所述步骤1具体为：建立固定坐标系Sf，其坐标系原点位于节点；建立动坐标系S1和S2，其坐标系原点分别位于第一齿轮以及第二齿轮的圆心；在齿轮传动中，随着齿轮的旋转，接触点在固定坐标系Sf中形成的轨迹线即为啮合线，而齿轮Si(i＝1,2)坐标系中的轨迹线就是满足预设啮合线的共轭轮廓；预设啮合线的位置矢量在Sf中表示为：
其中：xf和yf分别为预设啮合线位置矢量在固定坐标系Sf下的X、Y轴坐标分量
将在固定坐标系Sf中表示的位置矢量分别表示在动坐标系Si(i＝1,2)中即可得到预设啮合线对应的共轭齿廓位置矢量:
其中：
Φ1,Φ2分别为第一齿轮和第二齿轮的啮合转角；r1,r2分别为第一齿轮和第二齿轮的节圆半径；ut为预设啮合线的参数；[L]i,f为坐标系Sf到Si(i＝1,2)的坐标变换矩阵；两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心Of；因此在坐标系Sf下，啮合点的单位法向量表示为:
将单位法向量表示在动坐标系S1中:
两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定与相对速度方向垂直，由此：
f1为啮合方程，表示两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定与相对速度方向垂直；是动坐标系S1下的单位法向量；x′f,y′f分别是xf和yf关于ut的一阶导函数；
整理啮合方程得到第一齿轮转角与啮合线参数ut如下关系：
根据第一齿轮和第二齿轮的传动比关系可得到第二齿轮转角与啮合线参数ut如下关系：
在一较佳的实施例中，所述步骤2具体为：新型齿轮根切临界值可由齿面接触点滑动速度为零推导得到：
为第一齿轮接触点的相对速度矢量；整理方程得到第一齿轮根切的临界值：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
r1为第一齿轮节圆半径；同理，第二齿轮根切临界值为：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r2＝0
r2为第二齿轮节圆半径。
在一较佳的实施例中，所述步骤3具体为：曲线P1P2是预设的曲线型啮合线，坐标系Sc1与齿条刀具固连，坐标轴Xc1与齿条刀具的节线重合，在初始位置时，动坐标系Sc1与固定坐标系Sf重合，齿条齿廓与啮合线相交于点D0；随着齿条刀具的移动，在某一时刻，刀具与啮合线相交于点D；
根据齿轮啮合理论，点D处的切线一定垂直于直线OfD，由此可得：
xc1和yc1分别为固定坐标系Sc1下齿条刀具方程X轴和Y轴的坐标分量；
由此得到用于加工第一齿轮的齿条刀具方程：
其中：α为预设抛物线参数，Δ为积分常数，由齿条刀具的初始位置决定；
得到加工第一齿轮的齿条刀具方程；根据Camus定理，一对在齿形上能够相互嵌合的齿刀，按共轭运动原理加工出的内外齿轮能够相互啮合，因此可使用与加工第一齿轮的齿条刀相嵌合的插齿刀加工第二齿轮，这样就得到要求的内啮合齿轮对。
在一较佳的实施例中，所述步骤4具体为：位于第二象限的抛物线型啮合线在坐标系Sf下，位置矢量可用下式表示：
p1为位于第二象限的预设抛物线型啮合线焦距；
在三角形OfMF中，有如下几何关系：
由此得到参数α与ut的关系：
由此得到抛物线型啮合线在第二象限的方程：
其中：
同样的方法可得到位于第四象限的抛物线型啮合线方程：
p2是位于第四象限的预设抛物线型啮合线焦距
其中：
r是与第一齿轮啮合的太阳轮即第三齿轮节圆半径
将上面得到的啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
可得到根切临界值：
根据齿轮啮合理论，重合度要大于1才能保证传动的平稳；当动点M位于第二象限的啮合线上，β应大于1/4轮齿对应的角度，因此β应满足：
在三角形O1MF中，有如下几何关系：
由此得到：
由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：
同理将上面各式代入步骤2推导的根切关系式，等式左边恒不为零，因此第二齿轮不会发生根切。
在一较佳的实施例中，所述步骤5具体为：使用MATLAB编写齿轮加工的仿真程序；首先根据齿轮啮合理论得到齿廓上从开始啮合到退出啮合的所有瞬时切削点坐标，然后通过旋转投影变换得到单个轮齿端面双侧齿廓的节点坐标，最后将所有计算出的节点坐标文件导入ABAQUS可实现新型齿轮的快速3D建模；
齿廓修形齿面由未修形齿面和齿廓修形量叠加构成，齿顶和齿根的修形曲线都为二次曲线，y4为齿顶最大修形量，y5为齿根最大修形量，修形长度为整个齿高；沿齿高方向的修形量取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量的叠加就能得到齿廓修形齿面；将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS就实现新型齿轮齿廓修形快速三维建模；
齿向修形齿面由未修形齿面和修形量叠加构成；修形曲线由两段二次曲线和一段直线构成，y1和y2为最大修形量，y3为齿向不修形长度；点P(x,y)是齿面网格上的一个点，点P(x,y)的修形量δF取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量δF的叠加就能得到齿向修形齿面；将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS实现新型齿轮齿向修形快速三维建模。
在一较佳的实施例中，所述步骤6具体为：在齿轮的坐标系中加入安装误差Δγ来分析它对新型齿轮性能的影响；Sp为不包含安装误差的第一齿轮固连坐标系，SF为包含安装误差的第一齿轮固连坐标系；从坐标系SF到Sp的旋转变换矩阵如下：
与现有技术相比，本发明具有以下有益效果：本发明提供了一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，并利用承载接触分析技术对新型齿轮开展了计入齿廓修形、齿向修形、安装误差的啮合特性分析。首先选取两段分别位于第二象限和第四象限的抛物线组成新型齿轮的曲线型啮合线。其次利用微分几何知识和齿轮啮合理论，设计了曲线型啮合线的新型齿轮的齿廓。再次，建立了新型齿轮的三维模型，并对齿廓修形和齿向修形下的啮合性能进行了深入的研究，同时研究了新型齿轮对安装误差的敏感性。最后，通过与渐开线齿轮对比表明，新型齿轮比渐开线齿轮具有更高的承载能力和更低的误差灵敏性。
附图说明
图1为本发明优选实施例的内啮合齿轮坐标系；
图2为本发明优选实施例的带太阳轮的内啮合齿轮坐标系；
图3为本发明优选实施例的基于曲线型啮合线推导齿条刀具齿廓；
图4为本发明优选实施例的第二象限的抛物线型啮合线；
图5为本发明优选实施例的第四象限的抛物线型啮合线；
图6为本发明优选实施例的齿轮原始齿面网格；
图7为本发明优选实施例的齿轮齿廓修形齿面网格；
图8为本发明优选实施例的齿轮齿向修形齿面网格；
图9为本发明优选实施例的包含安装误差Δγ的齿轮坐标系；
图10为本发明优选实施例的不同参数下的曲线型啮合线；
图11为本发明优选实施例的抛物线参数k1对新型齿轮齿廓的影响；
图12为本发明优选实施例的抛物线参数k2对新型齿轮齿廓的影响；
图13为本发明优选实施例的相同齿廓修形量下的新型齿轮与渐开线齿轮接触应力对比；
图14为本发明优选实施例的相同齿廓修形量下新型齿轮与渐开线齿轮弯曲压应力对比；
图15为本发明优选实施例的相同齿廓修形量下新型齿轮与渐开线齿轮弯曲拉应力对比；
图16为本发明优选实施例的不同齿廓修形量下新型齿轮接触应力对比；
图17为本发明优选实施例的不同齿廓修形量下新型齿轮弯曲压应力对比；
图18为本发明优选实施例的不同齿廓修形量下新型齿轮弯曲拉应力对比；
图19为本发明优选实施例的齿宽方向部分修形下新型齿轮接触应力对比；
图20为本发明优选实施例的齿宽方向完全修形下新型齿轮接触应力对比；
图21为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮接触应力对比；
图22为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮弯曲压应力对比；
图23为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮弯曲拉应力对比；
图24为本发明优选实施例的齿廓修形下新型齿轮在不同安装误差下的接触应力；
图25为本发明优选实施例的齿廓修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲压应力；
图26为本发明优选实施例的齿廓修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲拉应力；
图27为本发明优选实施例的齿廓修形下渐开线齿轮在不同安装误差下的接触应力；
图28为本发明优选实施例的齿廓修形下渐开线齿轮在不同安装误差下的弯曲压应力；
图29为本发明优选实施例的齿廓修形下渐开线齿轮在不同安装误差下的弯曲拉应力；
图30为本发明优选实施例的未齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的齿宽方向应力分布；
图31为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的齿宽方向应力分布；
图32为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的接触应力；
图33为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲压应力；
图34为本发明优选实施例的齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲拉应力；
图35为本发明优选实施例的未齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的接触应力；
图36为本发明优选实施例的未齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲压应力；
图37为本发明优选实施例的未齿向修形下新型齿轮在不同安装误差下的弯曲拉应力。
具体实施方式
下面结合附图及实施例对本发明做进一步说明。
应该指出，以下详细说明都是例示性的，旨在对本申请提供进一步的说明。除非另有指明，本文使用的所有技术和科学术语具有与本申请所属技术领域的普通技术人员通常理解的相同含义。
需要注意的是，这里所使用的术语仅是为了描述具体实施方式，而非意图限制根据本申请的示例性实施方式；如在这里所使用的，除非上下文另外明确指出，否则单数形式也意图包括复数形式，此外，还应当理解的是，当在本说明书中使用术语“包含”和/或“包括”时，其指明存在特征、步骤、操作、器件、组件和/或它们的组合。
一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，参考图1至37，包括以下步骤：
步骤1：求解新型齿轮齿廓
如图1所示，建立固定坐标系Sf，其坐标系原点位于节点；建立动坐标系S1和S2，其坐标系原点分别位于齿轮1、齿轮2圆心；在齿轮传动中，随着齿轮的旋转，接触点在固定坐标系Sf中形成的轨迹线即为啮合线，而齿轮Si(i＝1,2)坐标系中的轨迹线就是满足预设啮合线的共轭轮廓。
预设啮合线的位置矢量在坐标系Sf中可用下式表示：
将在固定坐标系Sf中表示的位置矢量分别表示在动坐标系Si(i＝1,2)中即可得到共轭齿廓的位置矢量:
其中：
ut为预设啮合线的参数；[L]i,f为坐标系Sf到Si(i＝1,2)的坐标变换矩阵；
两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心Of；因此在Sf下，啮合点的单位法向量可表示为:
将单位法向量表示在动坐标系S1中:
两个共轭齿廓在接触点位置的公法线与相对速度方向垂直：
整理啮合方程可以得到齿轮1转角与预设的啮合线参数ut之间有如下关系：
根据两齿轮传动比关系可以得到齿轮2角位移与预设啮合线参数ut之间的关系：
步骤2：计算新型齿轮根切临界值
在齿轮加工过程中如果发生根切，齿根厚度会变薄，重合度会下降，齿轮的承载能力下降，影响传动的平稳性。因此在齿轮设计中应该检查是否会发生根切。
根据齿轮啮合理论，当奇异点处的滑动速度为零时会发生根切，因此根切条件可以用下式表示：
整理方程可得齿轮1根切的临界值：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
同样的方法可得齿轮2根切临界值：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r2＝0
步骤3：推导新型齿轮齿条刀具方程
为了实现新型齿轮的加工，需要推导出刀具方程。
如下图2，曲线P1P2是预设的啮合线，坐标系Sc1与齿条刀具固连，坐标轴Xc1与齿条刀具的节线重合，在初始位置时，动坐标系Sc1与固定坐标系Sf重合。齿条齿廓与啮合线相交于点D0。随着齿条刀具的移动，在某一时刻，刀具与啮合线相交于点D；
根据齿轮啮合理论，齿条刀具齿廓点D处的切线必垂直于线段OfD，由此可得：
由此得到用于加工齿轮1的齿条刀具方程：
其中：
Δ为积分常数，由齿条刀具的初始位置决定
利用以上的方法，可得到加工外齿轮的齿条刀具方程。根据Camus定理，一对在齿形上能够相互嵌合的齿刀，按共轭运动原理加工出的内外齿轮能够相互啮合，因此可使用与外齿轮齿条刀相嵌合的插齿刀加工内齿轮，这样就得到要求的内啮合齿轮对。
步骤4：设计新型齿轮曲线型啮合线
如图3所示，外齿轮的齿廓设计需要引入与其啮合的太阳轮(齿轮3)，其节圆半径为r。如图4所示，位于第二象限的抛物线型啮合线顶点位于Of(0,0)，焦点位于F(0,p1/2)，t为抛物线参数，r1为齿轮1节圆半径。
可用下式表示坐标系Sf下的预设啮合线的位置矢量：
在三角形OfMF中，有如下几何关系：
推导上面各式可得参数α与ut如下几何关系：
第二象限的抛物线型啮合线方程：
其中：
同理第四象限的啮合线方程：
其中：
r是与齿轮1啮合的太阳轮(齿轮3)节圆半径
将啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
得到根切临界条件：
根据齿轮啮合理论，重合度要大于1才能保证传动的平稳。当动点M位于第二象限的啮合线上，β应大于1/4轮齿对应的角度，因此β应满足：
在三角形O1MF中，有如下几何关系：
由此得到：/>
由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：
同理不产生根切k2需满足的条件：
步骤5：建立新型齿轮参数化三维有限元网格
使用MATLAB编写齿轮加工的仿真程序。首先根据齿轮啮合理论得到齿廓上从开始啮合到退出啮合的所有瞬时切削点坐标，然后通过旋转投影变换得到单个轮齿端面双侧齿廓的节点坐标，最后将所有计算出的节点坐标文件导入ABAQUS可实现新型齿轮的快速3D建模，图6为未经过修形的原始齿轮。
如图7所示，齿廓修形齿面由未修形齿面和齿廓修形量叠加构成，齿顶和齿根的修形曲线都为二次曲线，y4为齿顶最大修形量，y5为齿根最大修形量，修形长度为整个齿高。沿齿高方向的修形量取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量的叠加就能得到齿廓修形齿面。将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS就实现了新型齿轮齿廓修形快速三维建模。
如图8所示，齿向修形齿面由未修形齿面和修形量叠加构成。修形曲线由两段二次曲线和一段直线构成，y1和y2为最大修形量，y3为齿向不修形长度。点P(x,y)是齿面网格上的一个点，点P(x,y)的修形量δF取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量δF的叠加就能得到齿向修形齿面。将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS就实现了新型齿轮齿向修形快速三维建模。
步骤6：误差敏感性分析
在齿轮的坐标系中加入安装误差Δγ来分析它对新型齿轮性能的影响。Sp为不包含安装误差的外齿轮固连坐标系，SF为包含安装误差的外齿轮固连坐标系；从坐标系SF到Sp的旋转变换矩阵如下：
使用下表1参数来设计新型齿轮。所选齿轮材料的杨氏模量为2.01×105Mpa，泊松比为0.29。在齿轮啮合中不考虑摩擦的影响。对齿轮1施加大小为134Nm的转矩。
表1齿轮副设计参数
为验证提出的曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法的有效性，现以曲线型啮合线的内啮合齿轮传动为例说明所提出的设计方法。采用有限元法计算新型齿轮传动的接触应力和弯曲应力，并与渐开线齿轮进行比较。
齿轮的设计参数如下表2所示。所选齿轮材料的杨氏模量为2.01×105MPa，泊松比为0.29。不考虑两接触齿面间摩擦的影响。对齿轮1施加大小为134Nm的转矩。
表2齿轮副设计参数
步骤一：新型齿轮的齿廓设计
选取不会发生根切的k1和k2值，图10分别给出了其对应的曲线型啮合线。
图11展示了参数k1对新型齿轮齿廓的影响规律。如图所示，位于第二象限的啮合线决定了齿轮1的齿根齿廓和齿轮2的齿顶齿廓。系数k1增大时，齿轮1的齿根厚度减小，而齿轮2的齿顶厚度增大。
图12展示了参数k2对新型齿轮齿廓的影响规律。如图所示，位于第四象限的啮合线决定了齿轮1的齿顶齿廓和齿轮2的齿根齿廓。系数k2增大时，齿轮1的齿顶厚度增大，而齿轮2的齿根厚度减小。
步骤二：新型齿轮的齿廓修形
在齿轮的啮合过程中，由于轮齿的受力变形及各种安装制造误差，将会使主动轮的法向节距不等于从动轮的法向节距，从而在轮齿啮入和啮出时产生冲击，引起应力的突变，这将不利于齿轮的传动。齿廓修形通过人为地切除齿顶或齿根部分材料，达到消除干涉的作用，进而改善齿轮的啮合性能。对于内啮合齿轮而言，为了降低加工难度，选择在外齿轮上同时进行齿顶修形和齿根修形。
如图7所示，y4为齿顶最大修形量，y5为齿根最大修形量。
图13-15展示了新型齿轮与渐开线齿轮在相同齿廓修形量下的应力对比。从图中可以看出，新型齿轮的接触应力和弯曲应力远小于同参数下的渐开线齿轮；渐开线齿轮的最大接触应力和弯曲应力均出现在节点附近，而新型齿轮的最大弯曲应力出现在轮齿即将退出啮合的位置。
表3给出了相同齿廓修形量下新型齿轮和渐开线齿轮的最大应力值对比。可以看出，与渐开线齿轮相比，新型齿轮最大接触应力降低了14.42％，最大弯曲压应力降低了29.41％，最大弯曲拉应力降低了15.09％。
表3新型齿轮和渐开线齿轮最大应力对比(MPa)
为了进一步研究不同齿廓修形量对新型齿轮接触应力及弯曲应力的影响，图16-18给出了不同齿廓修形量下新型齿轮的应力对比，可以看出新型齿轮的最大接触应力和最大弯曲应力均出现在即将退出啮合处，通过齿廓修形能够减小齿轮即将退出啮合时的应力集中，改善齿轮的啮合性能，齿廓修形量取值越大，应力集中的改善效果越明显。
步骤三：新型齿轮的齿向修形
众所周知，实际工况下齿轮的制造和装配误差是不可避免的。齿向修形被证明是减小误差影响最经济有效的措施。下面系统地分析了齿向修形对新型齿轮性能的影响，齿向修形仅在外齿轮上进行。
图8给出了齿向修形相关参数，其中y1和y2是齿宽方向末端的最大修形量，y3是齿宽方向的不修形长度。
图19-20分别给出了齿向修形参数取y3＝8mm和y3＝0时新型齿轮在节圆处啮合时齿宽方向的载荷分配图。可以看出齿轮不修形时，边缘效应导致齿宽两端处接触应力增大，而齿轮经过修形后，载荷集中在齿宽中间位置，这将有利于齿轮的传动。同时可看出随着最大修形量的增加，载荷集中程度也会增加，这可能会导致应力集中，甚至降低齿轮的承载能力。因此在实际应用中，应当合理地选取修形参数。
为了进一步研究齿向修形对新型齿轮承载能力的影响，图21-23给出了不同齿向修形量下的应力对比。从图中可以看出接触应力随着修形量的增大而增大，其最大值出现在即将退出啮合的位置。弯曲压应力和弯曲拉应力的变化趋势基本相同，它们的值都随着修形量的增大而增大，最大值出现在即将退出啮合的位置。从表4可以看出，当y3＝8mm，y1和y2从6μm增加到12μm，最大接触应力增加了4.52％,弯曲压应力和弯曲拉应力分别增加了3.45％、7.41％。
表4新型齿轮不同齿向修形量下的最大应力(MPa)
步骤四：新型齿轮误差敏感性分析
在实际工况下，装配误差和制造误差是不可避免的，因此接下来将分析修形对新型齿轮误差敏感性的影响，并与渐开线齿轮进行对比。
图24-26给出了新型齿轮齿廓修形后在不同安装误差下的应力对比，齿廓修形量取y4＝y5＝10μm，作为对比，图27-29给出了相同齿廓修形量下渐开线齿轮在不同安装误差下的应力对比。从表5可以看出，当安装误差为0′时，与渐开线齿轮相比新型齿轮最大接触应力、最大弯曲压应力、最大弯曲拉应力分别降低了18.55％、27.54％、7.84％；当安装误差为1′时，降幅分别为10.09％、25.81％、8.45％；当安装误差为2′时，降幅分别为20.77％、24.58％、8.89％；当安装误差为3′时，降幅分别为25.80％、23.57％、7.55％。由此可以看出取相同的齿廓修形量，新型齿轮在不同的安装误差下最大应力均低于渐开线齿轮，与渐开线齿轮相比新型齿轮有着更大的承载能力。
图30-31分别给出了新型齿轮齿向修形前后安装误差对齿宽方向载荷分配的影响，齿向修形参数取y1＝y2＝6μm y3＝8mm。从图30可以看出，当齿轮不修形时，随着安装误差的增大，载荷迅速从齿宽一端移动到另一端，这将不利于齿轮的传动，对比修形后的载荷分布图31，可以看出齿向修形能明显改善安装误差带来的齿面载荷分布不匀现象。
图32-37给出了新型齿轮齿向修形前后，不同安装误差下的应力对比图，其中齿向修形参数取y1＝y2＝6μm y3＝8mm。从表6可以看出，当安装误差为1′时，经过齿向修形后新型齿轮最大接触应力、最大弯曲压应力、最大弯曲拉应力分别降低了14.42％、10.94％、9.82％；当安装误差为2′时，降幅分别为13.68％、11.43％、9.78％；当安装误差为3′时，降幅分别为11.71％、10.00％、8.45％。由此可以看出齿向修形能够有效减小安装误差导致的应力集中，从而提高新型齿轮的承载能力。
表5相同齿廓修形量下新型齿轮和渐开线齿轮不同安装误差下的最大应力对比(MPa)
表6新型齿轮齿向修形前后不同安装误差下的最大应力对比(MPa)
由上述数据可以看出：
(1)曲线型啮合线决定了新型齿轮的齿廓，通过调整啮合线参数可以控制齿廓的形状。
(2)新型齿轮承载能力要优于渐开线齿轮，对误差敏感性也优于渐开线齿轮。在相同的齿廓修形条件下，新型齿轮的最大接触应力与渐开线齿轮相比下降幅度可达14.42％；在安装误差为3′时，新型齿轮的最大接触应力与渐开线齿轮相比下降幅度可达25.80％。
本发明的设计优势在该实例中得以体现。
Claims (7)
1.一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，包括以下步骤：
步骤1：求解新型齿轮齿廓；步骤2：计算新型齿轮根切临界值；步骤3：推导新型齿轮齿条刀具方程；步骤4：设计新型齿轮曲线型啮合线；步骤5：建立新型齿轮参数化三维有限元网格；步骤6：分析新型齿轮误差敏感性。
2.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤1具体为：建立固定坐标系Sf，其坐标系原点位于节点；建立动坐标系S1和S2，其坐标系原点分别位于第一齿轮以及第二齿轮的圆心；在齿轮传动中，随着齿轮的旋转，接触点在固定坐标系Sf中形成的轨迹线即为啮合线，而齿轮Si(i＝1,2)坐标系中的轨迹线就是满足预设啮合线的共轭轮廓；预设啮合线的位置矢量在Sf中表示为：
其中：xf和yf分别为预设啮合线位置矢量在固定坐标系Sf下的X、Y轴坐标分量
将在固定坐标系Sf中表示的位置矢量分别表示在动坐标系Si(i＝1,2)中即可得到预设啮合线对应的共轭齿廓位置矢量:
其中：
Φ1,Φ2分别为第一齿轮和第二齿轮的啮合转角；r1,r2分别为第一齿轮和第二齿轮的节圆半径；ut为预设啮合线的参数；[L]i,f为坐标系Sf到Si(i＝1,2)的坐标变换矩阵；两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定通过瞬心Of；因此在坐标系Sf下，啮合点的单位法向量表示为:
将单位法向量表示在动坐标系S1中:
两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定与相对速度方向垂直，由此：
f1为啮合方程，表示两个共轭齿轮在啮合点处的公法线一定与相对速度方向垂直；是动坐标系S1下的单位法向量；x′f,y′f分别是xf和yf关于ut的一阶导函数；
整理啮合方程得到第一齿轮转角与啮合线参数ut如下关系：
根据第一齿轮和第二齿轮的传动比关系可得到第二齿轮转角与啮合线参数ut如下关系：
3.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤2具体为：新型齿轮根切临界值可由齿面接触点滑动速度为零推导得到：
为第一齿轮接触点的相对速度矢量；整理方程得到第一齿轮根切的临界值：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
r1为第一齿轮节圆半径；同理，第二齿轮根切临界值为：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r2＝0
r2为第二齿轮节圆半径。
4.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤3具体为：曲线P1P2是预设的曲线型啮合线，坐标系Sc1与齿条刀具固连，坐标轴Xc1与齿条刀具的节线重合，在初始位置时，动坐标系Sc1与固定坐标系Sf重合，齿条齿廓与啮合线相交于点D0；随着齿条刀具的移动，在某一时刻，刀具与啮合线相交于点D；
根据齿轮啮合理论，点D处的切线一定垂直于直线OfD，由此可得：
xc1和yc1分别为固定坐标系Sc1下齿条刀具方程X轴和Y轴的坐标分量；
由此得到用于加工第一齿轮的齿条刀具方程：
其中：α为预设抛物线参数，Δ为积分常数，由齿条刀具的初始位置决定；
得到加工第一齿轮的齿条刀具方程；根据Camus定理，一对在齿形上能够相互嵌合的齿刀，按共轭运动原理加工出的内外齿轮能够相互啮合，因此可使用与加工第一齿轮的齿条刀相嵌合的插齿刀加工第二齿轮，这样就得到要求的内啮合齿轮对。
5.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤4具体为：位于第二象限的抛物线型啮合线在坐标系Sf下，位置矢量可用下式表示：
p1为位于第二象限的预设抛物线型啮合线焦距；
在三角形OfMF中，有如下几何关系：
由此得到参数α与ut的关系：
由此得到抛物线型啮合线在第二象限的方程：
其中：
同样的方法可得到位于第四象限的抛物线型啮合线方程：
p2是位于第四象限的预设抛物线型啮合线焦距
其中：
r是与第一齿轮啮合的太阳轮即第三齿轮节圆半径
将上面得到的啮合线方程代入步骤2推导的根切关系式：
xf(ut)x′f(ut)+yf(ut)y′f(ut)-y′f(ut)r1＝0
可得到根切临界值：
根据齿轮啮合理论，重合度要大于1才能保证传动的平稳；当动点M位于第二象限的啮合线上，β应大于1/4轮齿对应的角度，因此β应满足：
在三角形O1MF中，有如下几何关系：
由此得到：
由以上推导得到不产生根切k1需满足的条件：
同理将上面各式代入步骤2推导的根切关系式，等式左边恒不为零，因此第二齿轮不会发生根切。
6.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤5具体为：使用MATLAB编写齿轮加工的仿真程序；首先根据齿轮啮合理论得到齿廓上从开始啮合到退出啮合的所有瞬时切削点坐标，然后通过旋转投影变换得到单个轮齿端面双侧齿廓的节点坐标，最后将所有计算出的节点坐标文件导入ABAQUS可实现新型齿轮的快速3D建模；
齿廓修形齿面由未修形齿面和齿廓修形量叠加构成，齿顶和齿根的修形曲线都为二次曲线，y4为齿顶最大修形量，y5为齿根最大修形量，修形长度为整个齿高；沿齿高方向的修形量取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量的叠加就能得到齿廓修形齿面；将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS就实现新型齿轮齿廓修形快速三维建模；
齿向修形齿面由未修形齿面和修形量叠加构成；修形曲线由两段二次曲线和一段直线构成，y1和y2为最大修形量，y3为齿向不修形长度；点P(x,y)是齿面网格上的一个点，点P(x,y)的修形量δF取决于修形曲线，通过原始齿面与修形量δF的叠加就能得到齿向修形齿面；将修形后的齿面节点坐标文件导入ABAQUS实现新型齿轮齿向修形快速三维建模。
7.根据权利要求1所述的一种曲线型啮合线内啮合圆柱齿轮的设计方法，其特征在于，所述步骤6具体为：在齿轮的坐标系中加入安装误差Δγ来分析它对新型齿轮性能的影响；Sp为不包含安装误差的第一齿轮固连坐标系，SF为包含安装误差的第一齿轮固连坐标系；从坐标系SF到Sp的旋转变换矩阵如下：
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