CN105138748A - 面齿轮副的设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种面齿轮副的设计方法，所述面齿轮副的设计方法包括以下步骤：S1、建立笛卡尔直角坐标系S_f、S_q、S₂、S₁、S_s、S_p、S_m、S_h，S2、面齿轮副基本设计参数输入，S3、面齿轮的全齿面建模和S4、圆柱齿轮的全齿面建模。根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法，实现了面齿轮以及圆柱齿轮的全齿面的精确数学建模，用数学的语言描述了面齿轮的整体齿面、面齿轮的修形设计、圆柱齿轮整体齿面以及圆柱齿轮的修形设计。此外，根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法还提出了面齿轮的轮齿内径L₁、面齿轮的轮齿外径L₂的新设计准则，更加适用于工程实际设计。

Description

面齿轮副的设计方法

技术领域

本发明属于面齿轮设计、加工技术领域，特别涉及一种面齿轮副的设计方法。

背景技术

面齿轮副是指面齿轮及与之相啮合的圆柱齿轮所构成的齿轮副，面齿轮副可应用在航空传动系统中，其中面齿轮由于其齿面形状复杂，设计难度大。

相关技术中，面齿轮的设计以及加工方法中，对面齿轮副的建模为非全齿面建模，仅对面齿轮副渐开线部分进行了建模，未对面齿轮的齿根圆角、齿顶圆角、齿根平面、齿顶平面进行建模，且对于面齿轮副的修形方法，不能完全采用数学建模，因此存在对面齿轮副的建模不精确，不能精确描述面齿轮副的轮齿的全部细节特征以及修形，存在改进空间。

发明内容

本发明旨在至少在一定程度上解决相关技术中的技术问题之一。为此，本发明的一个目的在于提出一种面齿轮副的设计方法，该面齿轮副的设计方法实现了面齿轮全齿面的精确数学建模，用数学的语言描述了面齿轮整体齿面以及面齿轮的修形设计，且实现了与面齿轮相啮合的圆柱齿轮的全齿面精确数学建模，用数学的语言描述了圆柱齿轮整体齿面以及圆柱齿轮的修形设计。

所述面齿轮副包括相互啮合的面齿轮和圆柱齿轮，根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法包括以下步骤：

S1、建立笛卡尔直角坐标系S_f、S_q、S₂、S₁、S_s、S_p、S_m、S_h：其中，S_f为固定坐标系，S_q为面齿轮辅助坐标系，S₂为面齿轮副中的面齿轮所处的坐标系，S₁为面齿轮副中的圆柱齿轮所处的坐标系，S_p为圆柱齿轮辅助坐标系，S_s为虚拟产形齿轮所处的坐标系，虚拟产形齿轮用于形成面齿轮，虚拟产形齿轮的横截面表示在S_m的平面x_mO_my_m内，圆柱齿轮的横截面表示在S_h的平面x_hO_hy_h内，

S_f绕坐标轴O_fx_f转动角度γ_1-2得到S_q，S_q绕坐标轴O_qz_q转动角度φ₂得到S₂，S_f绕坐标轴O_fz_f转动角度φ_s得到S_s，S_f沿坐标轴O_fy_f平移|O_fO_p|的距离得到S_p，S_p绕坐标轴O_pz_p转动角度φ₁得到S₁，S_s与S_m的坐标轴z的方向相同，S_m可绕坐标轴O_sz_s转动且S_m的坐标原点O_m可沿坐标轴O_sz_s平动，S₁与S_h的坐标轴z的方向相同，S_h可绕坐标轴O₁z₁转动且S_h的坐标原点O_h可沿坐标轴O₁z₁平动，

O₂z₂为面齿轮的旋转轴，O₁z₁为圆柱齿轮的旋转轴，O₁z₁与O₂z₂之间的夹角为γ_1-2，φ₂为面齿轮的旋转角位移，φ_s表示虚拟产形齿轮的旋转角位移，φ₁表示圆柱齿轮的旋转角位移，S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度表示为ψ_m，S_h绕坐标轴O₁z₁转动的角度表示为ψ_h；

S2、面齿轮副基本设计参数输入：

面齿轮副的基本设计参数包括：圆柱齿轮的齿数N₁、虚拟产形齿轮的齿数N_s、面齿轮的齿数N₂、法向模数m_n、法向压力角α_n、螺旋角β、螺旋角方向、O₁z₁与O₂z₂之间的夹角γ_1-2、面齿轮的轮齿内径端齿顶高修形参数h_toe、面齿轮的轮齿外径端齿顶高修形参数h_heel、面齿轮的轮齿许用端面压力角最小值α_t,min、面齿轮的轮齿许用端面压力角最大值α_t,max、虚拟产形齿轮的齿根圆角半径系数虚拟产形齿轮的齿根圆角半径系数圆柱齿轮的齿根圆角半径系数圆柱齿轮的齿根圆角半径系数其中，L₁为面齿轮的轮齿内径、L₂为面齿轮的轮齿外径；

S3、面齿轮的全齿面建模，包括以下步骤：

S31、虚拟产形齿轮基础参数计算、虚拟产形齿轮的齿根圆半径的修形以及虚拟产形齿轮的齿根圆角半径的修形：

${\mathrm{\α}}_t=\arctan \frac{{\mathrm{tan\α}}_n}{cos\mathrm{\β}}---\left(1\right)$

h_as＝1.0×m_n(2)

h_fs＝1.25×m_n(3)

c_s＝0.25×m_n(4)

$r_{ps}=\frac{N_s{m}_n}{2\cos \mathrm{\β}}---\left(5\right)$

$r_{bs}=\frac{r_{ps}}{{\mathrm{cos\α}}_t}---\left(6\right)$

$r_{os}=\frac{1}{2}\left(\frac{N_s{m}_n}{cos\mathrm{\β}}+1.0m_n\×2\right)+0.25m_n---\left(7\right)$

$r_{rs}=\frac{h_{heel}-h_{toe}}{L_2-L_1}\×L+\left(r_{ps}-h_{fs}\right)+c_s+\frac{h_{toe}{L}_2-h_{heel}{L}_1}{L_2-L_1},L\∈\[L_1,L_2\]---\left(8\right)$

${\mathrm{\ρ}}_{fs}=\frac{{\mathrm{\ρ}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\ρ}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n}{L_2-L_1}\×L+\frac{L_2{\mathrm{\ρ}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\ρ}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\∈\[L_1,L_2\]---\left(9\right)$

${\mathrm{\ρ}}_m^{\left(2\right)}={\mathrm{\ρ}}_m^{\left(3\right)}\≤0.1\×m_n---\left(10\right)$

${\mathrm{\ρ}}_m^{\left(1\right)}={\mathrm{\ρ}}_m^{\left(4\right)}={\mathrm{\ρ}}_{fs}---\left(11\right)$

其中，α_t为端面压力角，h_as为虚拟产形齿轮的齿顶高，h_fs为虚拟产形齿轮的齿根高，c_s为虚拟产形齿轮的顶隙，r_ps为虚拟产形齿轮的节圆半径，r_bs为虚拟产形齿轮的基圆半径，r_os为虚拟产形齿轮的齿顶圆半径，tan为正切三角函数，arctan为反正切三角函数，cos为余弦三角函数，虚拟产形齿轮的每个单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的外轮廓包括依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段产形第二齿根圆段 为产形第一齿顶圆角段的半径、为产形第二齿顶圆角段的半径，为产形第一齿根圆角段的半径、为产形第二齿根圆角段的半径，L为表示面齿轮的半径的参变量；

S32、建立虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型，其中，虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面由第一向量函数r_m(u)表示，所述第一向量函数r_m(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段和产形第二齿根圆段虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型如下：

产形第一齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{rs}sin\left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(1\right)}+{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ r_{rs}\cos \left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(1\right)}+{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

产形第一齿根圆角段

产形第一渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}sin\left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(l\right)}\right)-r_{bs}{\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}cos\left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ r_{bs}\cos \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(l\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}\sin \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

产形第一齿顶圆角段

产形齿顶圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{os}{\mathrm{sin\ω}}_m^{\left(56\right)}\\ r_{os}{\mathrm{cos\ω}}_m^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(16\right)$

产形第二齿顶圆角段

产形第二渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{bs}\sin \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}\cos \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ r_{bs}\sin \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}\cos \left({\mathrm{\θ}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\η}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(18\right)$

产形第二齿根圆角段

产形第二齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{rs}\sin \left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(4\right)}\right)\\ r_{rs}\cos \left({\mathrm{\ω}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(4\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

上述式(12)-式(20)中：sin为正弦三角函数，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量,为变量,为常量，为变量，为常量，为变量，

x_m、y_m、z_m为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的齐次坐标表示方式，

${\mathrm{\η}}_m^{\left(l\right)}=\frac{\mathrm{\π}}{2N_s}+{\mathrm{tan\α}}_t-{\mathrm{\α}}_t,$

${\mathrm{\η}}_m^{\left(r\right)}=\frac{\mathrm{\π}}{2N_s}+{\mathrm{tan\α}}_t-{\mathrm{\α}}_t,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第一非线性方程组解得，所述第一非线性方程组为：

${\mathrm{\ω}}_m^{\left(1\right)}\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{N_s}-{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(1\right)}\],$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第二非线性方程组解得，所述第二非线性方程组为：

${\mathrm{\ω}}_m^{\left(10\right)}\∈\[0,\frac{\mathrm{\π}}{N_S}-{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(4\right)}\],$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第三非线性方程组解得，所述第三非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第四非线性方程组解得，所述第四非线性方程组为：

${\mathrm{\ω}}_m^{\left(56\right)}\∈\[-{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(2\right)},+{\mathrm{\ξ}}_m^{\left(3\right)}\];$

S33、建立虚拟产形齿轮的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面的数学模型，其中，虚拟产形齿轮的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面由第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)表示，所述第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)中，

L_m(θ_m)＝I+(1-cosθ_m)(C^s)²+C^ssinθ_m(21)，

式(21)中，

I为4×4单位矩阵， ${\mathrm{\θ}}_m=0,1\×\frac{2\mathrm{\π}}{N_s},2\×\frac{2\mathrm{\π}}{N_s},3\×\frac{2\mathrm{\π}}{N_s},...,(N_s-1)\×\frac{2\mathrm{\π}}{N_s},$

$C^s=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

S34、建立虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S_s中的数学模型，虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S_s中由第三向量函数r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，所述第三向量函数

r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$M_{sm}\left({\mathrm{\ψ}}_m\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\ψ}}_m& -{\mathrm{sin\ψ}}_m& 0& 0\\ {\mathrm{sin\ψ}}_m& {\mathrm{cos\ψ}}_m& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\ψ}}_m\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(22\right)$

式(22)中，

若螺旋角为右旋：则 ${\mathrm{\ψ}}_m=\left|\frac{L}{r_{ps}\cot \mathrm{\β}}\right|>0,L\∈\[L_1,L_2\],$

若螺旋角为左旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_m=-\left|\frac{L}{r_{ps}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|<0,L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;;$

S35、建立面齿轮的全齿面∑₂在S₂中的数学模型

S351、建立虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂的数学模型：

虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中由产形运动生成的曲面族由第四向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，在所述第四向量函数

r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$\begin{array}{c}{M}_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)M_{qf}{M}_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}---\left(23\right)$

式(23)中，

$M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],M_{qf}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

${\mathrm{\&phi;}}_s\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&psi;}}_m-\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}},-{\mathrm{\&psi;}}_m+\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}}\&rsqb;{\mathrm{\&phi;}}_2=-\frac{N_s}{N_2}{\mathrm{\&phi;}}_s,$ arccos表示反余弦三角函数；

S352、建立面齿轮的全齿面∑₂为虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中的数学模型：

面齿轮的全齿面∑₂为虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中由产形运动所生成的曲面族的包络，即面齿轮的全齿面∑₂在S₂的数学模型满足啮合方程，所述啮合方程为

$f(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s)=(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m})\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0---\left(24\right)$

即面齿轮的全齿面∑₂在坐标系S₂中的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)L_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(25\right)$

求解式(25)时，先求解：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

求解式(26)得到第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示面齿轮的单个齿槽，则面齿轮的全齿面∑₂在S₂中的数学模型还可表示为L₂(θ₂)r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，L₂(θ₂)r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))中，

L₂(θ₂)＝I+(1-cosθ₂)(C^s)²+C^ssinθ₂，

${\mathrm{\&theta;}}_2=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},...,(N_2-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2};$

S36、L₁和L₂的设计准则，其中L₁由α_t,min确定，L₂由α_t,max确定：

面齿轮的单个齿槽的曲面由所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示，且面齿轮的单个齿槽的曲面与面齿轮的节面相交，交线为两条空间曲线，即节线，该节线上任意一点由表示，该点的切线向量在S_f中表示为：

$M_{f2}\&times;\frac{\&part;r_2(u^{*},{\mathrm{\&psi;}}_m^{*},{\mathrm{\&phi;}}_s^{*})}{\&part;u^{*}}----\left(27\right)$

式(27)中，

$M_{f2}=M_{fq}{M}_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fq}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

该点的切线向量与坐标轴O_fy_f之间的夹角为锐角，该锐角即为该点处面齿轮的轮齿端面压力角α_t，L∈[L₁,L₂]，取该变量初始值为其中设定满足求取L₁、L₂精度要求的预定步长值，采用数值逼近法求解L₁、L₂，过程如下：

以预定步长值从初始值逐步减小，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≥α_t,min的L的最小值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,min对应的L的最小值，对于直齿面齿轮，此两最小值相等，取该值为L₁，对于斜齿面齿轮，此两最小值不相等，取其中较大者为L₁，

以预定步长值从初始值逐步增加，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≤α_t,max的L的最大值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,max对应的L的最大值，对于直齿面齿轮，此两最大值相等，取该值为L₂，对于斜齿面齿轮，此两最大值不相等，取其中较小者为L₂。

S4、圆柱齿轮的全齿面建模，包括以下步骤：

S41、圆柱齿轮基础参数计算：

h_a1＝1.0×m_n(28)，

h_f1＝1.25×m_n(29)，

c₁＝0.25×m_n(30)，

$r_{p1}=\frac{N_1{m}_n}{2cos\mathrm{\&beta;}}---\left(31\right),$

$r_{b1}=\frac{r_{p1}}{2{\mathrm{cos\&alpha;}}_t}---\left(32\right),$

${\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(2\right)}={\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(3\right)}\&le;0.25\&times;m_n---\left(33\right),$

其中，h_a1为圆柱齿轮的齿顶高，h_f1为圆柱齿轮的齿根高，c₁为圆柱齿轮的顶隙，r_p1为圆柱齿轮的节圆半径，r_b1为圆柱齿轮的基圆半径，圆柱齿轮的每个单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的外轮廓包括依次相连的圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段 为圆柱第一齿顶圆角段的半径，为圆柱第二齿顶圆角段的半径；

S42、圆柱齿轮的圆锥形修形

圆柱齿轮的节圆柱保持圆柱形不变，而将圆柱齿轮的齿顶圆半径r_a1、齿根圆半径r_r1、齿根圆角半径ρ_f1均进行相应的线性修形，对应于面齿轮的轮齿内径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ai表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_ri表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为对应于面齿轮的轮齿外径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ae表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_re表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为修形算法如下：

圆柱齿轮的齿顶圆半径r_a1的修形公式如下：

$r_{a1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}}{L_2-L_1}\&times;L+\left(r_{p1}+h_{a1}\right)+\frac{L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}-L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(34\right),$

圆柱齿轮的齿根圆半径r_r1的修形公式如下，

$r_{r1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{re}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{p1}-h_{f1})+\frac{L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}-L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{re}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(35\right),$

圆柱齿轮的齿根圆角半径ρ_f1的修形公式如下，

${\mathrm{\&rho;}}_{f1}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L1\right)m_n}{L_2-L_1}\&times;L+\frac{L_2{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(36\right),$

式(34)-式(36)中，b₁为圆柱齿轮的轮齿宽度，b₂为面齿轮的轮齿宽度，

为圆柱第一齿根圆角段的半径，为圆柱第二齿根圆角段的半径；

S43、圆柱齿轮的端面压力角α_t修形的数学描述

在面齿轮的半径L₁处端面压力角α_t的修形量以Δα_t1表示，在面齿轮的半径L₂处端面压力角α_t的修形量以Δα_t2表示，

α_t(L)＝a×(L)²+b×L+c(37)

式(37)中，

a、b、c为系数，

$a=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\left(L_1-L^{*}\right)-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\left(L_1-L_2\right)}{\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L^{*}\right)-\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L_2\right)},$

$b=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;}{\left(L_1-L_2\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-\left(L_1-L^{*}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;},$

$c={\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}-a\&times;{\left(L^{*}\right)}^2-b\&times;L^{*},$

${\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}=\arctan \frac{{\mathrm{tan\&alpha;}}_n}{cos\mathrm{\&beta;}},$

$L^{*}=\frac{r_{p2}}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}}+r_{ps}\&times;tan\left(\left|\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-{\mathrm{\&gamma;}}_{1-2}\right|\right),$

$r_{p2}=\frac{N_2}{N_1}{r}_{p1};$

S44、建立圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的数学模型，其中圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面由第六向量函数r_h(u)表示，所述第六向量函数r_h(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的数学模型如下：

圆柱第一齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(38\right),$

圆柱第一齿根圆角段

圆柱第一渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{b1}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)-r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(40\right),$

圆柱第一齿顶圆角段

圆柱齿顶圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{a1}{\mathrm{sin\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ r_{a1}{\mathrm{cos\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(42\right),$

圆柱第二齿顶圆角段

圆柱第二渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{b1}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(44\right),$

圆柱第二齿根圆角段

圆柱第二齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(46\right),$

式(38)-(46)中，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为常量，为变量，

x_h、y_h、z_h为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的齐次坐标表示方式，

${\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_1}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

${\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_1}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第五非线性方程组解得，所述第五非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第六非线性方程组解得，所述第六非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第七非线性方程组解得，所述第七非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第八非线性方程组解得，所述第八非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(2\right)},+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(3\right)}\&rsqb;;$

S45、建立圆柱齿轮的N₁个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面的数学模型，其中，圆柱齿轮的N₁个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面由第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)表示，所述第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)中，

L_h(θ_h)＝I+(1-cosθ_h)(C^s)²+C^ssinθ_h(47)，

式(47)中，

${\mathrm{\&theta;}}_h=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},...,(N_1-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1};$

S46、建立圆柱齿轮的全齿面Σ₁在S₁中的数学模型，圆柱齿轮的全齿面Σ₁在S₁中由第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)表示，所述第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)中，

$M_{1h}\left({\mathrm{\&psi;}}_h\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&psi;}}_h& -{\mathrm{sin\&psi;}}_h& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&psi;}}_h& {\mathrm{cos\&psi;}}_h& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\&psi;}}_h\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(48\right),$

式(48)中，

若螺旋角为右旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|>0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$

若螺旋角为左旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=-\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|<0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$ 其中cot表示余切三角函数。

根据本方面实施例的面齿轮副的设计方法，实现了面齿轮全齿面的精确数学建模，用数学的语言描述了面齿轮整体齿面以及面齿轮的修形设计，且实现了与面齿轮相啮合的圆柱齿轮的全齿面精确数学建模，用数学的语言描述了圆柱齿轮整体齿面以及圆柱齿轮的修形设计。

附图说明

图1(a)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S_f与S_q、S₂之间的位置关系示意图；

图1(b)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S_f与S₁、S₂之间的位置关系示意图；

图1(c)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S_f与S_s之间的位置关系示意图；

图1(d)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S_s与S_m之间的位置关系示意图；

图1(e)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S_f与S_p、S₁之间的位置关系示意图；

图1(f)为根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法中的坐标系S₁与S_h之间的位置关系示意图；

图2为面齿轮副在装配位置的结构示意图，且示出了面齿轮副的部分设计参数及基础参数，其中P表示面齿轮副的啮合节点；

图3为虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m中的横截面的示意图；

图4为虚拟产形齿轮的单个轮齿的齿根圆角处的细节部分在x_mO_my_m中的横截面的示意图；

图5为虚拟产形齿轮单个轮齿的齿顶圆角处的细节部分在x_mO_my_m中的横截面的示意图；

图6为推导的表达式的示意图；

图7为推导φ_s的表达式的示意图；

图8为面齿轮的齿顶高修形示意图；

图9为虚拟产形齿轮的齿根圆半径修形曲线；

图10为虚拟产形齿轮的齿根圆角半径修形曲线；

图11为虚拟产形齿轮的立体结构示意图；

图12为面齿轮的立体结构示意图；

图13为面齿轮与虚拟产形齿轮处于啮合状态的结构示意图；

图14为面齿轮副的圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面的示意图；

图15为面齿轮副的圆柱齿轮的单个轮齿的齿根圆角处的细节部分在x_hO_hy_h中的横截面的示意图；

图16为面齿轮副的圆柱齿轮的单个轮齿的齿顶圆角处的细节部分在x_hO_hy_h中的横截面的示意图；

图17为推导的表达式的示意图；

图18为面齿轮副的圆柱齿轮的圆锥形修形示意图；

图19为面齿轮副的圆柱齿轮的齿顶圆半径修形曲线；

图20为面齿轮副的圆柱齿轮的齿根圆半径修形曲线；

图21为面齿轮副的圆柱齿轮的齿根圆角半径修形曲线；

图22为面齿轮副的圆柱齿轮的端面压力角修形曲线；

图23为面齿轮副的圆柱齿轮的立体结构示意图；

图24为面齿轮副的一个具体实施例的立体结构示意图；

图25为当面齿轮的螺旋角右旋，N₂＝121，且圆柱齿轮的螺旋角左旋，N₁＝15，β＝15°，m_n＝2.75mm，α_n＝27.5°，N_s＝18时，面齿轮的轮齿的端面压力角随面齿轮的半径大小变化的曲线；

图26为当面齿轮的螺旋角右旋，N₂＝121，且圆柱齿轮的螺旋角左旋，N₁＝15，m_n＝2.75mm，α_n＝27.5°，N_s＝18时，面齿轮副的传动比以及螺旋角对于面齿轮的轮齿宽度的影响的示意图；

图27根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法的流程示意图。

附图标记：

20：面齿轮；21：面齿轮的轮齿；22：面齿轮的齿槽；23：面齿轮的实心式腹板；24：面齿轮的轮毂；25：面齿轮的连接花键；10：圆柱齿轮；11：圆柱齿轮的轮齿；12：圆柱齿轮的齿槽；30：虚拟产形齿轮；31：虚拟产形齿轮的轮齿；32：虚拟产形齿轮的齿槽。

具体实施方式

下面详细描述本发明的实施例，所述实施例的示例在附图中示出。下面通过参考附图描述的实施例是示例性的，旨在用于解释本发明，而不能理解为对本发明的限制。

下面结合附图与具体实施方式，对本发明作进一步详细说明：

如图24所示，面齿轮副包括相互啮合的面齿轮20和圆柱齿轮10，如图23所示，面齿轮副中的圆柱齿轮10包括面齿轮副中的圆柱齿轮10的轮齿11和面齿轮副中的圆柱齿轮10的齿槽12，可以理解的是，任意相邻两个轮齿11之间设有一个齿槽12。

如图12所示，面齿轮20包括面齿轮20的轮齿21和面齿轮20的齿槽22，可以理解的是，任意相邻两个轮齿21之间设有一个齿槽22。

虚拟产形齿轮30用于形成面齿轮20，如图13所示，面齿轮20与虚拟产形齿轮30相互啮合，如图11所示，虚拟产形齿轮30也为圆柱齿轮，虚拟产形齿轮30包括虚拟产形齿轮30的轮齿31和虚拟产形齿轮30的齿槽32，可以理解的是，任意相邻两个轮齿31之间设有一个齿槽32。虚拟产形齿轮30的齿数比面齿轮副中的圆柱齿轮10的齿数多1-3个。

下面参照图1-图27所示描述根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法，如图1-图27所示，根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法包括以下步骤：

S1、建立笛卡尔直角坐标系S_f、S_q、S₂、S₁、S_s、S_p、S_m、S_h：

其中，S_f为固定坐标系，S_q为面齿轮20辅助坐标系，S₂为面齿轮副中的面齿轮20所处的坐标系，S₁为面齿轮副中的圆柱齿轮10所处的坐标系，S_p为圆柱齿轮辅助坐标系，S_s为虚拟产形齿轮30所处的坐标系，虚拟产形齿轮30用于形成面齿轮20，虚拟产形齿轮30的横截面表示在S_m的平面x_mO_my_m内，圆柱齿轮10的横截面表示在S_h的平面x_hO_hy_h内。

可以理解的是，由于S_f、S_q、S₂、S₁、S_s、S_p、S_m、S_h均为笛卡尔坐标系，其中O_f、O_fx_f、O_fy_f、O_fz_f分别表示S_f的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O_q、O_qx_q、O_qy_q、O_qz_q分别表示S_q的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O₂、O₂x₂、O₂y₂、O₂z₂分别表示S₂的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O₁、O₁x₁、O₁y₁、O₁z₁分别表示S₁的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O_s、O_sx_s、O_sy_s、O_sz_s分别表示S_s的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O_p、O_px_p、O_py_p、O_pz_p分别表示S_p的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O_m、O_mx_m、O_my_m、O_mz_m分别表示S_m的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴，O_h、O_hx_h、O_hy_h、O_hz_h分别表示S_h的坐标原点、X轴、Y轴和Z轴。

面齿轮副的设计方法中，面齿轮20以及圆柱齿轮10的建模过程与设计过程中的数学描述和数学推导均基于上述定义的坐标系。

如图1(a)所示，S_f绕坐标轴O_fx_f转动角度γ_1-2得到S_q，S_q绕坐标轴O_qz_q转动角度φ₂得到S₂，如图1(c)所示，S_f绕坐标轴O_fz_f转动角度φ_s得到S_s，如图1(e)所示，S_f沿坐标轴O_fy_f平移|O_fO_p|的距离得到S_p，S_p绕坐标轴O_pz_p转动角度φ₁得到S₁，如图1(d)所示，S_s与S_m的坐标轴z的方向相同，S_m可绕坐标轴O_sz_s转动且S_m的坐标原点O_m可沿坐标轴O_sz_s平动，S_m相对S_s的运动即为由虚拟产形齿轮30的N_s个轮齿的数学模型形成虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s的过程，如图1(f)所示，S₁与S_h的坐标轴z的方向相同，S_h可绕坐标轴O₁z₁转动且S_h的坐标原点O_h可沿坐标轴O₁z₁平动，S_h相对S₁的运动即为圆柱齿轮的N₁个轮齿的数学模型形成圆柱齿轮10的全齿面Σ₁的过程；

O₂z₂为面齿轮20的旋转轴，其中如图1(b)所示，面齿轮20绕O₂z₂的旋转速度表示为ω₂，O₁z₁为圆柱齿轮10的旋转轴，其中如图1(b)所示，圆柱齿轮10绕O₁z₁的旋转速度表示为ω₁，O₁z₁与O₂z₂之间的夹角为γ_1-2，φ₂为面齿轮20的旋转角位移，φ_s表示虚拟产形齿轮30的旋转角位移，φ₁表示圆柱齿轮10的旋转角位移，S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度表示为ψ_m，S_h绕坐标轴O₁z₁转动的角度表示为ψ_h。

S2、面齿轮副基本设计参数输入：

面齿轮副的基本设计参数包括：圆柱齿轮10的齿数N₁、虚拟产形齿轮30的齿数N_s、面齿轮20的齿数N₂、法向模数m_n、法向压力角α_n、螺旋角β、螺旋角方向(例如，左旋或右旋)、O₁z₁与O₂z₂之间的夹角γ_1-2、面齿轮20的轮齿内径端齿顶高修形参数h_toe、面齿轮20的轮齿外径端齿顶高修形参数h_heel、面齿轮20的轮齿许用端面压力角最小值α_t,min、面齿轮20的轮齿许用端面压力角最大值α_t,max、虚拟产形齿轮30的齿根圆角半径系数虚拟产形齿轮30的齿根圆角半径系数圆柱齿轮10的齿根圆角半径系数圆柱齿轮10的齿根圆角半径系数其中，L₁为面齿轮20的轮齿内径、L₂为面齿轮20的轮齿外径。

当面齿轮20的螺旋角右旋，N₂＝121，且圆柱齿轮10的螺旋角左旋，N₁＝15，β＝15°，m_n＝2.75mm，α_n＝27.5°，N_s＝18时，面齿轮20的轮齿的端面压力角随面齿轮20的半径大小变化的曲线如图25所示，面齿轮20的轮齿内端端面压力角小，面齿轮20的轮齿外端端面压力角大，参照图25所示的曲线，根据实际设计需求，指定面齿轮20的轮齿许用端面压力角最小值α_t,min、面齿轮20的轮齿许用端面压力角最大值α_t,max。

S3、面齿轮20的全齿面建模，包括以下步骤：

S31、虚拟产形齿轮30基础参数计算、虚拟产形齿轮30的齿根圆半径的修形以及虚拟产形齿轮30的齿根圆角半径的修形：

虚拟产形齿轮30基础参数计算公式如下：

${\mathrm{\&alpha;}}_t=\arctan \frac{{\mathrm{tan\&alpha;}}_n}{cos\mathrm{\&beta;}}---\left(1\right)$

h_as＝1.0×m_n(2)

h_fs＝1.25×m_n(3)

c_s＝0.25×m_n(4)

$r_{ps}=\frac{N_s{m}_n}{2\cos \mathrm{\&beta;}}---\left(5\right)$

$r_{bs}=\frac{r_{ps}}{{\mathrm{cos\&alpha;}}_t}---\left(6\right)$

$r_{os}=\frac{1}{2}\left(\frac{N_s{m}_n}{cos\mathrm{\&beta;}}+1.0m_n\&times;2\right)+0.25m_n---\left(7\right)$

其中，α_t为端面压力角，h_as为虚拟产形齿轮30的齿顶高，h_fs为虚拟产形齿轮30的齿根高，c_s为虚拟产形齿轮30的顶隙，r_ps为虚拟产形齿轮30的节圆半径，r_bs为虚拟产形齿轮30的基圆半径，r_os为虚拟产形齿轮30的齿顶圆半径，tan为正切三角函数，arctan为反正切三角函数，cos为余弦三角函数。

在面齿轮副中的面齿轮20的设计和加工过程中，为了得到较均匀的齿顶厚度，对面齿轮20的齿顶高采用均匀线性修形，面齿轮20的齿顶高修形示意图如图8所示，具体修形算法如下，即在该面齿轮20的虚拟产形齿轮的数学模型中进行修正，该虚拟产形齿轮30的齿根圆半径修形公式如式(8)所示，其中，虚拟产形齿轮30的齿根圆半径修形曲线如图9所示，虚拟产形齿轮30的齿根圆角半径修形公式如式(9)所示，其中，虚拟产形齿轮30的齿根圆角半径修形曲线如图10所示，

$r_{rs}=\frac{h_{heel}-h_{toe}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{ps}-h_{fs})+c_s+\frac{h_{toe}{L}_2-h_{heel}{L}_1}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;---\left(8\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_{fs}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n}{L_2-L_1}\&times;L+\frac{L_2{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;---\left(9\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(2\right)}={\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(3\right)}\&le;0.1\&times;m_n---\left(10\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(1\right)}={\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(4\right)}={\mathrm{\&rho;}}_{fs}---\left(11\right)$

如图3-图5所示，虚拟产形齿轮30的每个单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的外轮廓包括依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段产形第二齿根圆段

其中，如图5所示，为产形第一齿顶圆角段的半径、为产形第二齿顶圆角段的半径，如图4所示，为产形第一齿根圆角段的半径、为产形第二齿根圆角段的半径，L为表示面齿轮20的半径的参变量。

在本发明的一个具体的实施例中，产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二齿根圆角段和产形第二齿根圆段均为圆弧，产形第一渐开线段和产形第二渐开线段均为渐开线，其中各段的端点 中的上角标括号内的数字表示各段端点的序号，下角标的字母表示该变量所在的坐标系，例如下角标为m则表示该变量在S_m内，下面的描述中，均采用上述表达方式。

S32、建立虚拟产形齿轮30的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型：

可以理解的是，面齿轮副中的面齿轮20的数学模型由虚拟产形齿轮30的数学模型推导得到，其中，虚拟产形齿轮30的单个轮齿31在x_mO_my_m的横截面由第一向量函数r_m(u)表示，所述第一向量函数r_m(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段和产形第二齿根圆段

虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型如下：

产形第一齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{rs}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ r_{rs}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

产形第一齿根圆角段

产形第一渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)-r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ r_{bs}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

产形第一齿顶圆角段

产形齿顶圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{os}{\mathrm{sin\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\\ r_{os}{\mathrm{cos\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(16\right)$

产形第二齿顶圆角段

产形第二渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{bs}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ r_{bs}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(18\right)$

产形第二齿根圆角段

产形第二齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{rs}sin({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)})\\ r_{rs}\cos ({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)})\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

上述式(12)-式(20)中：sin为正弦三角函数，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量,为变量,为常量，为变量，为常量，为变量，

x_m、y_m、z_m为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的齐次坐标表示方式，

其中的推导过程如图6所示，

其中的推导过程如图6所示，

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第一非线性方程组解得，所述第一非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_s}-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第二非线性方程组解得，所述第二非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_s}-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第三非线性方程组解得，所述第三非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第四非线性方程组解得，所述第四非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(2\right)},+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(3\right)}\&rsqb;.$

由此，得到了虚拟产形齿轮30的单个轮齿31在x_mO_my_m的横截面的数学模型，即第一向量函数r_m(u)。

S33、建立虚拟产形齿轮30的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面的数学模型，

由于虚拟产形齿轮30的单个轮齿31在x_mO_my_m中的横截面的数学模型由第一向量函数r_m(u)唯一表示，因此虚拟产形齿轮30的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面由第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)唯一表示，所述第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)中，

L_m(θ_m)＝I+(1-cosθ_m)(C^s)²+C^ssinθ_m(21)，

式(21)中，

I为4×4单位矩阵， ${\mathrm{\&theta;}}_m=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},...,(N_s-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},$

$C^s=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right].$

由此，得到了虚拟产形齿轮30的N_s个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型，即第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)。

S34、建立虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在S_s中的数学模型，虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在S_s中由第三向量函数r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，所述第三向量函数

r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&psi;}}_m& -{\mathrm{sin\&psi;}}_m& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&psi;}}_m& {\mathrm{cos\&psi;}}_m& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\&psi;}}_m\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(22\right)$

式(22)中，

若螺旋角为右旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_m=\left|\frac{L}{r_{ps}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|>0,L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;,$

若螺旋角为左旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_m=-\left|\frac{L}{r_{ps}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|<0,L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;.$

具体而言，S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度表示为ψ_m，S_m的坐标原点O_m可以沿坐标轴O_sz_s平动，S_m相对S_s的运动即为由虚拟产形齿轮N_s个轮齿的数学模型形成虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s的过程。

S35、面齿轮20的全齿面∑₂在坐标系S₂中的数学模型

S351、虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在坐标系S₂中由产形运动生成的曲面族由第四向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，在所述第四向量函数

r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$\begin{array}{c}{M}_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)M_{qf}{M}_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}---\left(23\right)$

式(23)中，

$M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],M_{qf}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

${\mathrm{\&phi;}}_s\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&psi;}}_m-\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}},-{\mathrm{\&psi;}}_m+\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}}\&rsqb;,$ 其中φ_s的推导过程如图7所示， ${\mathrm{\&phi;}}_2=-\frac{N_s}{N_2}{\mathrm{\&phi;}}_s,$ arccos表示反余弦三角函数。

S352、面齿轮20的全齿面∑₂为虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在S₂中由产形运动所生成的曲面族的包络，即面齿轮20的全齿面∑₂在S₂的数学模型满足啮合方程，所述啮合方程为

$f(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0---\left(24\right)$

即面齿轮20的全齿面∑₂在坐标系S₂中的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)L_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(25\right)$

求解式(25)时，先求解：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

求解式(26)得到第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示面齿轮20的单个齿槽22，则面齿轮20的全齿面∑₂在S₂中的数学模型还可表示为L₂(θ₂)r₂(u_,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，L₂(θ₂)r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))中，

L₂(θ₂)＝I+(1-cosθ₂)(C^s)²+C^ssinθ₂，

${\mathrm{\&theta;}}_2=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},...,(N_2-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2}.$

通过上述描述可知，虚拟产形齿轮30与面齿轮20相啮合，从而在建立了虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在S_s中的数学模型后，根据啮合原理，面齿轮20的全齿面∑₂在S₂的数学模型满足啮合方程，从而由虚拟产形齿轮30的全齿面Σ_s在S_s中的数学模型推导出了面齿轮20的全齿面∑₂在S₂中的数学模型。

S36、L₁和L₂的设计准则，其中L₁由α_t,min确定，L₂由α_t,max确定：

面齿轮20的单个齿槽22的曲面由所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示，且面齿轮20的单个齿槽22的曲面与的节面相交，交线为两条空间曲线，即节线，该节线上任意一点由表示，该点的切线向量在S_f中表示为：

$M_{f2}\&times;\frac{\&part;r_2(u^{*},{\mathrm{\&psi;}}_m^{*},{\mathrm{\&phi;}}_s^{*})}{\&part;u^{*}}---\left(27\right)$

式(27)中，

$M_{f2}=M_{fq}{M}_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fq}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

该点的切线向量与坐标轴O_fy_f之间的夹角为锐角，该锐角即为该点处面齿轮20的轮齿端面压力角α_t，L∈[L₁,L₂]，取该变量初始值为其中设定满足求取L₁、L₂精度要求的预定步长值，采用数值逼近法求解L₁、L₂，过程如下：

以预定步长值从初始值逐步减小，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≥α_t,min的L的最小值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,min对应的L的最小值，对于直齿面齿轮，此两最小值相等，取该值为L₁，对于斜齿面齿轮，此两最小值不相等，取其中较大者为L₁，

以预定步长值从初始值逐步增加，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≤α_t,max的L的最大值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,max对应的L的最大值，对于直齿面齿轮，此两最大值相等，取该值为L₂，对于斜齿面齿轮，此两最大值不相等，取其中较小者为L₂。

由此，L₁和L₂的取值更精确。

S4、圆柱齿轮10的全齿面建模，包括以下步骤：

S41、圆柱齿轮10基础参数计算：

h_a1＝1.0×m_n(28)，

h_f1＝1.25×m_n(29)，

c₁＝0.25×m_n(30)，

$r_{p1}=\frac{N_1{m}_n}{2cos\mathrm{\&beta;}}---\left(31\right),$

$r_{b1}=\frac{r_{p1}}{2{\mathrm{cos\&alpha;}}_t}---\left(32\right),$

${\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(2\right)}={\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(3\right)}\&le;0.25\&times;m_n---\left(33\right),$

其中，h_a1为圆柱齿轮10的齿顶高，h_f1为圆柱齿轮10的齿根高，c₁为圆柱齿轮10的顶隙，r_p1为圆柱齿轮10的节圆半径，r_b1为圆柱齿轮10的基圆半径。

如图14-图16所示，圆柱齿轮10的每个单个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面的外轮廓包括依次相连的圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段 为圆柱第一齿顶圆角段的半径，为圆柱第二齿顶圆角段的半径。

其中，圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二齿根圆角段和圆柱第二齿根圆段均为圆弧，圆柱第一渐开线段和圆柱第二渐开线段均为渐开线。

S42、圆柱齿轮10的圆锥形修形：

对圆柱齿轮10进行圆锥形修形，目的是为了减小圆柱齿轮10的齿顶与面齿轮20的齿跟圆角之间的相对滑动，面齿轮副的圆柱齿轮10的圆锥形修形示意图如图18所示，具体的圆锥形修形方法如下：

圆柱齿轮10的节圆柱保持圆柱形不变，而将圆柱齿轮10的齿顶圆半径r_a1、齿根圆半径r_r1、齿根圆角半径ρ_f1均进行相应的线性修形，对应于面齿轮20的轮齿内径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ai表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_ri表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为对应于面齿轮20的轮齿外径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ae表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_re表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为修形算法如下：

面齿轮副的圆柱齿轮10的齿顶圆半径修形曲线如图19所示，圆柱齿轮10的齿顶圆半径r_a1的修形公式如下，：

$r_{a1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{p1}+h_{a1})+\frac{L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}-L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(34\right),$

面齿轮副的圆柱齿轮10的齿根圆半径修形曲线如图20所示，圆柱齿轮10的齿根圆半径r_r1的修形公式如下，

$r_{r1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{re}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{p1}-h_{f1})+\frac{L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}-L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{re}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(35\right),$

面齿轮副的圆柱齿轮10的齿根圆角半径修形曲线如图21所示，圆柱齿轮10的齿根圆角半径ρ_f1的修形公式如下，

${\mathrm{\&rho;}}_{f1}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L1\right)m_n}{L_2-L_1}\&times;L+\frac{L_2{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(36\right),$

式(34)-式(36)中，b₁为圆柱齿轮10的轮齿宽度，b₂为面齿轮20的轮齿宽度，当面齿轮20的螺旋角右旋，N₂＝121，且圆柱齿轮10的螺旋角左旋，N₁＝15，m_n＝2.75mm，α_n＝27.5°，N_s＝18时，面齿轮副的传动比以及螺旋角对于面齿轮20的轮齿宽度的影响图26所示，对于面齿轮副传动而言，螺旋角越大，根据本发明的设计方法求得的面齿轮20的轮齿宽度b₂越小，传动比越大，根据本发明的设计方法求得的面齿轮20的轮齿宽度b₂越大。

为圆柱第一齿根圆角段的半径，为圆柱第二齿根圆角段的半径。

S43、圆柱齿轮10的端面压力角α_t修形的数学描述，对面齿轮副中的圆柱齿轮10的端面压力角α_t进行修形的目的是为了避免面齿轮20与圆柱齿轮10啮合过程中在轮齿两端出现边缘接触，面齿轮副的圆柱齿轮10的端面压力角修形曲线如图22所示，进行端面压力角α_t修形的具体方法为采用二次多项式形式的修形公式，具体修形方法如下：

在面齿轮20的半径L₁处端面压力角α_t的修形量以Δα_t1表示，在面齿轮20的半径L₂处端面压力角α_t的修形量以Δα_t2表示，

α_t(L)＝a×(L)²+b×L+c(37)

式(37)中，

a、b、c为系数，

$a=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\left(L_1-L^{*}\right)-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\left(L_1-L_2\right)}{\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L^{*}\right)-\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L_2\right)},$

$b=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;}{\left(L_1-L_2\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-\left(L_1-L^{*}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;},$

$c={\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}-a\&times;{\left(L^{*}\right)}^2-b\&times;L^{*},$

${\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}=\arctan \frac{{\mathrm{tan\&alpha;}}_n}{cos\mathrm{\&beta;}},$

$L^{*}=\frac{r_{p2}}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}}+r_{ps}\&times;tan\left(\left|\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-{\mathrm{\&gamma;}}_{1-2}\right|\right),$

$r_{p2}=\frac{N_2}{N_1}{r}_{p1}.$

S44、建立圆柱齿轮10的单个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面的数学模型，其中圆柱齿轮10的单个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面由第六向量函数r_h(u)表示，所述第六向量函数r_h(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的数学模型如下：

圆柱第一齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(38\right),$

圆柱第一齿根圆角段

圆柱第一渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{b1}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)-r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(40\right),$

圆柱第一齿顶圆角段

圆柱齿顶圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{a1}{\mathrm{sin\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ r_{a1}{\mathrm{cos\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(42\right),$

圆柱第二齿顶圆角段

圆柱第二渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{b1}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(44\right),$

圆柱第二齿根圆角段

圆柱第二齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(46\right),$

式(38)-(46)中，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为常量，为变量，

x_h、y_h、z_h为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的齐次坐标表示方式，

其中的推导过程如图17所示，

其中的推导过程如图17所示，

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第五非线性方程组解得，所述第五非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第六非线性方程组解得，所述第六非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第七非线性方程组解得，所述第七非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第八非线性方程组解得，所述第八非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(2\right)},+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(3\right)}\&rsqb;.$

由此，得到了圆柱齿轮10的单个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面的数学模型，即第六向量函数r_h(u)。

S45、圆柱齿轮10的N₁个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面的数学模型，由于圆柱齿轮10的单个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面的数学模型由第六向量函数r_h(u)唯一表示，则圆柱齿轮10的N₁个轮齿11在x_hO_hy_h中的横截面由第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)唯一表示，所述第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)中，

L_h(θ_h)＝I+(1-cosθ_h)(C^s)²+C^ssinθ_h(47)，

式(47)中，

${\mathrm{\&theta;}}_h=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},...,(N_1-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1}.$

由此，得到了圆柱齿轮10的N₁个轮齿11在x_hO_hy_h的横截面的数学模型，即第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)。

S46、建立圆柱齿轮10的全齿面Σ₁在S₁中的数学模型，圆柱齿轮10的全齿面Σ₁在S₁中由第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)表示，所述第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)中，

$M_{1h}\left({\mathrm{\&phi;}}_h\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&psi;}}_h& -{\mathrm{sin\&psi;}}_h& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&psi;}}_h& {\mathrm{cos\&psi;}}_h& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\&psi;}}_h\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(48\right),$

式(48)中，

若螺旋角为右旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|>0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$

若螺旋角为左旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=-\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|<0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$ 其中cot表示余切三角函数。

根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法，实现了面齿轮20的全齿面的精确数学建模，用数学的语言描述了面齿轮20的整体齿面以及面齿轮20的修形设计，实现了与面齿轮20相啮合的圆柱齿轮10的全齿面精确数学建模，用数学的语言描述了圆柱齿轮10整体齿面以及圆柱齿轮10的修形设计。此外，根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法还提出了面齿轮20的轮齿内径L₁、面齿轮20的轮齿外径L₂的新设计准则，更加适用于工程实际设计。

可以理解的是，加工面齿轮20的刀具可以与面齿轮20的虚拟产形齿轮的结构相同，当然当面齿轮20采用加工中心加工时，加工中心的刀具所走过的轨迹也可构成虚拟产形齿轮的轮廓。

根据本发明实施例的面齿轮副的设计方法，适用于直齿面齿轮，即与面齿轮20相啮合的圆柱齿轮为渐开线直齿轮；也适用于斜齿面齿轮，即与面齿轮相啮合的圆柱齿轮为渐开线斜齿轮；可以用于设计减速面齿轮副，即面齿轮20的齿数大于与之相啮合的圆柱齿轮10的齿数，圆柱齿轮10作为该面齿轮副的输入齿轮；也可以用于设计增速面齿轮副，即面齿轮20的齿数大于与之相啮合的圆柱齿轮10的齿数，面齿轮20作为该面齿轮副的输入齿轮；可以用于设计轮齿对称的面齿轮副，即，轮齿两侧面的压力角、齿根圆角半径、齿顶圆角半径可以设计成相等的值，也可以用于设计轮齿不对称的面齿轮副，即轮齿两侧面的压力角、齿根圆角半径、齿顶圆角半径可以设计成两侧不相等的值。

下面参图1-图27描述根据本发明的面齿轮副的设计方法的一些具体实施例，在一个可选的实施例中，面齿轮副用于直升机的主减速器，如图24所示，面齿轮副的(含与旋翼轴连接的渐开线花键)三维实体模型，圆柱齿轮10为主动齿轮，面齿轮20为从动齿轮，其中面齿轮20包括面齿轮20的轮齿21、面齿轮20的齿槽22、面齿轮20的实心式腹板23、面齿轮20的轮毂24和面齿轮20的连接花键25，可选地，该连接花键25为渐开线花键，且适于与直升机的旋翼轴连接。更为具体地，面齿轮副的主要参数如下表1所示：

表1：面齿轮副以及虚拟产形齿轮30的主要参数

当然，在另一个可选的实施例中，如图2所示的面齿轮副中，γ_1-2≠90°，面齿轮20的节面为一圆锥曲面，面齿轮20的L₁、L₂及变量L的度量始点为坐标原点O_s，度量方向为沿坐标轴O_sz_s的方向，虚拟产形齿轮30沿坐标轴O_sz_s旋转，面齿轮副中的圆柱齿轮10沿坐标轴O₁z₁旋转，且O_sO₁之间的距离等于r_ps-r_p1，优选地，圆柱齿轮10的齿宽b₁大于面齿轮20的齿宽b₂，即b₁>b₂。

在一些可选的实施例中，面齿轮副的γ_1-2＝90°，面齿轮20的节面为一平面，面齿轮20的L₁、L₂及变量L的度量始点为坐标原点O_s，度量方向为沿坐标轴O_sz_s的方向，虚拟产形齿轮30沿坐标轴O_sz_s旋转，面齿轮副中的圆柱齿轮10沿坐标轴O₁z₁旋转，且O_sO₁之间的距离等于r_ps-r_p1，优选地，圆柱齿轮10的齿宽b₁大于面齿轮20的齿宽b₂，即b₁>b₂。

以上内容是结合具体的优选实施方案对本发明所作的进一步说明，不能认定本发明的具体实施只局限于这些说明。对于本发明所述技术领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干简单推演或替换，都应当视为属于本发明的保护范围。

在本发明的描述中，需要理解的是，术语“厚度”、“内”、“外”、“周向”等指示的方位或位置关系为基于附图所示的方位或位置关系，仅是为了便于描述本发明和简化描述，而不是指示或暗示所指的装置或元件必须具有特定的方位、以特定的方位构造和操作，因此不能理解为对本发明的限制。在本发明的描述中，“多个”的含义是至少两个，例如两个，三个等，除非另有明确具体的限定。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，术语“安装”、“相连”、“连接”、“固定”等术语应做广义理解，例如，可以是固定连接，也可以是可拆卸连接，或成一体；可以是机械连接，也可以是电连接或彼此可通讯；可以是直接相连，也可以通过中间媒介间接相连，可以是两个元件内部的连通或两个元件的相互作用关系，除非另有明确的限定。对于本领域的普通技术人员而言，可以根据具体情况理解上述术语在本发明中的具体含义。

在本发明中，除非另有明确的规定和限定，第一特征在第二特征“上”或“下”可以是第一和第二特征直接接触，或第一和第二特征通过中间媒介间接接触。而且，第一特征在第二特征“之上”、“上方”和“上面”可是第一特征在第二特征正上方或斜上方，或仅仅表示第一特征水平高度高于第二特征。第一特征在第二特征“之下”、“下方”和“下面”可以是第一特征在第二特征正下方或斜下方，或仅仅表示第一特征水平高度小于第二特征。

在本说明书的描述中，参考术语“一个实施例”、“一些实施例”、“示例”、“具体示例”、或“一些示例”等的描述意指结合该实施例或示例描述的具体特征、结构、材料或者特点包含于本发明的至少一个实施例或示例中。在本说明书中，对上述术语的示意性表述不必须针对的是相同的实施例或示例。而且，描述的具体特征、结构、材料或者特点可以在任一个或多个实施例或示例中以合适的方式结合。此外，在不相互矛盾的情况下，本领域的技术人员可以将本说明书中描述的不同实施例或示例以及不同实施例或示例的特征进行结合和组合。

尽管上面已经示出和描述了本发明的实施例，可以理解的是，上述实施例是示例性的，不能理解为对本发明的限制，本领域的普通技术人员在本发明的范围内可以对上述实施例进行变化、修改、替换和变型。

Claims (1)

1.一种面齿轮副的设计方法，其特征在于，所述面齿轮副包括相互啮合的面齿轮和圆柱齿轮，所述面齿轮副的设计方法包括以下步骤：

S1、建立笛卡尔直角坐标系S_f、S_q、S₂、S₁、S_s、S_p、S_m、S_h：其中，S_f为固定坐标系，S_q为面齿轮辅助坐标系，S₂为面齿轮副中的面齿轮所处的坐标系，S₁为面齿轮副中的圆柱齿轮所处的坐标系，S_p为圆柱齿轮辅助坐标系，S_s为虚拟产形齿轮所处的坐标系，虚拟产形齿轮用于形成面齿轮，虚拟产形齿轮的横截面表示在S_m的平面x_mO_my_m内，圆柱齿轮的横截面表示在S_h的平面x_hO_hy_h内，

S_f绕坐标轴O_fx_f转动角度γ_1-2得到S_q，S_q绕坐标轴O_qz_q转动角度φ₂得到S₂，S_f绕坐标轴O_fz_f转动角度φ_s得到S_s，S_f沿坐标轴O_fy_f平移|O_fO_p|的距离得到S_p，S_p绕坐标轴O_pz_p转动角度φ₁得到S₁，S_s与S_m的坐标轴z的方向相同，S_m可绕坐标轴O_sz_s转动且S_m的坐标原点O_m可沿坐标轴O_sz_s平动，S₁与S_h的坐标轴z的方向相同，S_h可绕坐标轴O₁z₁转动且S_h的坐标原点O_h可沿坐标轴O₁z₁平动，

O₂z₂为面齿轮的旋转轴，O₁z₁为圆柱齿轮的旋转轴，O₁z₁与O₂z₂之间的夹角为γ_1-2，φ₂为面齿轮的旋转角位移，φ_s表示虚拟产形齿轮的旋转角位移，φ₁表示圆柱齿轮的旋转角位移，S_m绕坐标轴O_sz_s转动的角度表示为ψ_m，S_h绕坐标轴O₁z₁转动的角度表示为ψ_h；

S2、面齿轮副基本设计参数输入：

面齿轮副的基本设计参数包括：圆柱齿轮的齿数N₁、虚拟产形齿轮的齿数N_s、面齿轮的齿数N₂、法向模数m_n、法向压力角α_n、螺旋角β、螺旋角方向、O₁z₁与O₂z₂之间的夹角γ_1-2、面齿轮的轮齿内径端齿顶高修形参数h_toe、面齿轮的轮齿外径端齿顶高修形参数h_heel、面齿轮的轮齿许用端面压力角最小值α_t,min、面齿轮的轮齿许用端面压力角最大值α_t,max、虚拟产形齿轮的齿根圆角半径系数虚拟产形齿轮的齿根圆角半径系数圆柱齿轮的齿根圆角半径系数圆柱齿轮的齿根圆角半径系数其中，L₁为面齿轮的轮齿内径、L₂为面齿轮的轮齿外径；

S3、面齿轮的全齿面建模，包括以下步骤：

S31、虚拟产形齿轮基础参数计算、虚拟产形齿轮的齿根圆半径的修形以及虚拟产形齿轮的齿根圆角半径的修形：

${\mathrm{\&alpha;}}_t=\arctan \frac{{\mathrm{tan\&alpha;}}_n}{cos\mathrm{\&beta;}}---\left(1\right)$

h_as＝1.0×m_n(2)

h_fs＝1.25×m_n(3)

c_s＝0.25×m_n(4)

$r_{ps}=\frac{N_s{m}_n}{2\cos \mathrm{\&beta;}}---\left(5\right)$

$r_{bs}=\frac{r_{ps}}{{\mathrm{cos\&alpha;}}_t}---\left(6\right)$

$r_{os}=\frac{1}{2}\left(\frac{N_s{m}_n}{cos\mathrm{\&beta;}}+1.0m_n\&times;2\right)+0.25m_n---\left(7\right)$

$r_{rs}=\frac{h_{heel}-h_{toe}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{ps}-h_{fs})+c_s+\frac{h_{toe}{L}_2-h_{heel}{L}_1}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;---\left(8\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_{fs}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n}{L_2-L_1}\&times;L+\frac{L_2{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\&rho;}}_{fs}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1,L_2\&rsqb;---\left(9\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(2\right)}={\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(3\right)}\&le;0.1\&times;m_n---\left(10\right)$

${\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(1\right)}={\mathrm{\&rho;}}_m^{\left(4\right)}={\mathrm{\&rho;}}_{fs}---\left(11\right)$

其中，α_t为端面压力角，h_as为虚拟产形齿轮的齿顶高，h_fs为虚拟产形齿轮的齿根高，c_s为虚拟产形齿轮的顶隙，r_ps为虚拟产形齿轮的节圆半径，r_bs为虚拟产形齿轮的基圆半径，r_os为虚拟产形齿轮的齿顶圆半径，tan为正切三角函数，arctan为反正切三角函数，cos为余弦三角函数，虚拟产形齿轮的每个单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的外轮廓包括依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段产形第二齿根圆段 为产形第一齿顶圆角段的半径、为产形第二齿顶圆角段的半径，为产形第一齿根圆角段的半径、为产形第二齿根圆角段的半径，L为表示面齿轮的半径的参变量；

S32、建立虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型，其中，虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面由第一向量函数r_m(u)表示，所述第一向量函数r_m(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示依次相连的产形第一齿根圆段产形第一齿根圆角段产形第一渐开线段产形第一齿顶圆角段产形齿顶圆段产形第二齿顶圆角段产形第二渐开线段产形第二齿根圆角段和产形第二齿根圆段虚拟产形齿轮的单个轮齿在x_mO_my_m的横截面的数学模型如下：

产形第一齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{rs}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ r_{rs}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(12\right)$

产形第一齿根圆角段

产形第一渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{bs}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)-r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ r_{bs}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(14\right)$

产形第一齿顶圆角段

产形齿顶圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{os}{\mathrm{sin\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\\ r_{os}{\mathrm{cos\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(16\right)$

产形第二齿顶圆角段

产形第二渐开线段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{bs}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ r_{bs}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)+r_{bs}{\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_m^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(18\right)$

产形第二齿根圆角段

产形第二齿根圆段

$r_m\left(u\right)=r_m\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{\mathrm{rs}}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)}\right)\\ r_{\mathrm{rs}}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(20\right)$

上述式(12)-式(20)中：sin为正弦三角函数，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量,为变量,为常量，为变量，为常量，为变量，

x_m、y_m、z_m为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\\ z_m\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第一向量函数r_m(u)在S_m中的齐次坐标表示方式，

${\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(l\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_s}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

${\mathrm{\&eta;}}_m^{\left(r\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_s}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第一非线性方程组解得，所述第一非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(1\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_s}-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(1\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第二非线性方程组解得，所述第二非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(10\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_s}-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(4\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第三非线性方程组解得，所述第三非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第四非线性方程组解得，所述第四非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_m^{\left(56\right)}\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(2\right)},+{\mathrm{\&xi;}}_m^{\left(3\right)}\&rsqb;;$

S33、建立虚拟产形齿轮的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面的数学模型，其中，虚拟产形齿轮的N_s个轮齿在x_mO_my_m中的横截面由第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)表示，所述第二向量函数L_m(θ_m)r_m(u)中，

L_m(θ_m)＝I+(1-cosθ_m)(C^s)²+C^ssinθ_m(21)，

式(21)中，

I为4×4单位矩阵， ${\mathrm{\&theta;}}_m=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},...,(N_s-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_s},$

$C^s=\left[\begin{array}{cccc}0& -1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right];$

S34、建立虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S_s中的数学模型，虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S_s中由第三向量函数r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，所述第三向量函数

r_s(u,ψ_m)＝M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&psi;}}_m& -{\mathrm{sin\&psi;}}_m& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&psi;}}_m& {\mathrm{cos\&psi;}}_m& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\&psi;}}_m\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(22\right)$

式(22)中，

若螺旋角为右旋：则L∈[L₁,L₂]，

若螺旋角为左旋：则L∈[L₁,L₂]；

S35、建立面齿轮的全齿面∑₂在S₂中的数学模型

S351、建立虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂的数学模型：

虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中由产形运动生成的曲面族由第四向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)表示，在所述第四向量函数

r₂(u,ψ_m,φ_s)＝M_2s(φ_s)M_sm(ψ_m)L_m(θ_m)r_m(u)中，

$\begin{array}{c}{M}_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)M_{qf}{M}_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\\ \left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&phi;}}_s+{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{cos\&phi;}}_2{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}---\left(23\right)$

式(23)中，

$M_{2q}\left({\mathrm{\&phi;}}_2\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],M_{qf}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fs}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_s& -{\mathrm{sin\&phi;}}_s& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_s& {\mathrm{cos\&phi;}}_s& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

${\mathrm{\&phi;}}_s\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&psi;}}_m-\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}},-{\mathrm{\&psi;}}_m+\arccos \frac{r_{rs}}{r_{os}}\&rsqb;{\mathrm{\&phi;}}_2=-\frac{N_s}{N_2}{\mathrm{\&phi;}}_s,$ arccos表示反余弦三角函数；

S352、建立面齿轮的全齿面∑₂为虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中的数学模型：

面齿轮的全齿面∑₂为虚拟产形齿轮的全齿面Σ_s在S₂中由产形运动所生成的曲面族的包络，即面齿轮的全齿面∑₂在S₂的数学模型满足啮合方程，所述啮合方程为

$f(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s)=(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m})\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0---\left(24\right)$

即面齿轮的全齿面∑₂在坐标系S₂中的数学模型为：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)L_m\left({\mathrm{\&theta;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(25\right)$

求解式(25)时，先求解：

$\left\{\begin{array}{c}{r}_2\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=M_{2s}\left({\mathrm{\&phi;}}_s\right)M_{sm}\left({\mathrm{\&psi;}}_m\right)r_m\left(u\right)\\ f\left(u,{\mathrm{\&psi;}}_m,{\mathrm{\&phi;}}_s\right)=\left(\frac{\&part;r_2}{\&part;u}\&times;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&psi;}}_m}\right)\&CenterDot;\frac{\&part;r_2}{\&part;{\mathrm{\&phi;}}_s}=0\end{array}\right.---\left(26\right)$

求解式(26)得到第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示面齿轮的单个齿槽，则面齿轮的全齿面∑₂在S₂中的数学模型还可表示为L₂(θ₂)r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))，L₂(θ₂)r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))中，

L₂(θ₂)＝I+(1-cosθ₂)(C^s)²+C^ssinθ₂，

${\mathrm{\&theta;}}_2=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2},...,(N_2-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_2};$

S36、L₁和L₂的设计准则，其中L₁由α_t,min确定，L₂由α_t,max确定：

面齿轮的单个齿槽的曲面由所述第五向量函数r₂(u,ψ_m,φ_s(u,ψ_m))表示，且面齿轮的单个齿槽的曲面与面齿轮的节面相交，交线为两条空间曲线，即节线，该节线上任意一点由表示，该点的切线向量在S_f中表示为：

$M_{f2}\&times;\frac{\&part;r_2(u^{*},{\mathrm{\&psi;}}_m^{*},{\mathrm{\&phi;}}_s^{*})}{\&part;u^{*}}----\left(27\right)$

式(27)中，

$M_{f2}=M_{fq}{M}_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{sin\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{fq}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& -{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}& {\mathrm{cos\&gamma;}}_{1-2}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

$M_{q2}=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&phi;}}_2& -{\mathrm{sin\&phi;}}_2& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&phi;}}_2& {\mathrm{cos\&phi;}}_2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right],$

该点的切线向量与坐标轴O_fy_f之间的夹角为锐角，该锐角即为该点处面齿轮的轮齿端面压力角α_t，L∈[L₁,L₂]，取该变量初始值为其中设定满足求取L₁、L₂精度要求的预定步长值，采用数值逼近法求解L₁、L₂，过程如下：

以预定步长值从初始值逐步减小，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≥α_t,min的L的最小值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,min对应的L的最小值，对于直齿面齿轮，此两最小值相等，取该值为L₁，对于斜齿面齿轮，此两最小值不相等，取其中较大者为L₁，

以预定步长值从初始值逐步增加，依次求取各个L值所确定的横截面所对应的节线位置的端面压力角α_t，直至求出满足α_t≤α_t,max的L的最大值，针对轮齿两侧齿面或者齿槽两侧齿面分别求解，将得到两个与α_t,max对应的L的最大值，对于直齿面齿轮，此两最大值相等，取该值为L₂，对于斜齿面齿轮，此两最大值不相等，取其中较小者为L₂。

S4、圆柱齿轮的全齿面建模，包括以下步骤：

S41、圆柱齿轮基础参数计算：

h_a1＝1.0×m_n(28)，

h_f1＝1.25×m_n(29)，

c₁＝0.25×m_n(30)，

$r_{p1}=\frac{N_1{m}_n}{2cos\mathrm{\&beta;}}---\left(31\right),$

$r_{b1}=\frac{r_{p1}}{2{\mathrm{cos\&alpha;}}_t}---\left(32\right),$

${\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(2\right)}={\mathrm{\&rho;}}_h^{\left(3\right)}\&le;0.25\&times;m_n---\left(33\right),$

其中，h_a1为圆柱齿轮的齿顶高，h_f1为圆柱齿轮的齿根高，c₁为圆柱齿轮的顶隙，r_p1为圆柱齿轮的节圆半径，r_b1为圆柱齿轮的基圆半径，圆柱齿轮的每个单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的外轮廓包括依次相连的圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段 为圆柱第一齿顶圆角段的半径，为圆柱第二齿顶圆角段的半径；

S42、圆柱齿轮的圆锥形修形

圆柱齿轮的节圆柱保持圆柱形不变，而将圆柱齿轮的齿顶圆半径r_a1、齿根圆半径r_r1、齿根圆角半径ρ_f1均进行相应的线性修形，对应于面齿轮的轮齿内径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ai表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_ri表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为对应于面齿轮的轮齿外径端，齿顶圆半径r_a1的修形量以Δ_ae表示，齿根圆半径r_r1的修形量以Δ_re表示，齿根圆角半径ρ_f1的值为修形算法如下：

圆柱齿轮的齿顶圆半径r_a1的修形公式如下：

$r_{a1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{p1}+h_{a1})+\frac{L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{ae}-L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ai}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(34\right),$

圆柱齿轮的齿根圆半径r_r1的修形公式如下，

$r_{r1}=\frac{{\mathrm{\&Delta;}}_{re}-{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}}{L_2-L_1}\&times;L+(r_{p1}-h_{f1})+\frac{L_2{\mathrm{\&Delta;}}_{ri}-L_1{\mathrm{\&Delta;}}_{re}}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(35\right),$

圆柱齿轮的齿根圆角半径ρ_f1的修形公式如下，

${\mathrm{\&rho;}}_{f1}=\frac{{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n-{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L1\right)m_n}{L_2-L_1}\&times;L+\frac{L_2{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_1\right)m_n-L_1{\mathrm{\&rho;}}_{f1}^{*}\left(L_2\right)m_n}{L_2-L_1},L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;---\left(36\right),$

式(34)-式(36)中，b₁为圆柱齿轮的轮齿宽度，b₂为面齿轮的轮齿宽度，

为圆柱第一齿根圆角段的半径，为圆柱第二齿根圆角段的半径；

S43、圆柱齿轮的端面压力角α_t修形的数学描述

在面齿轮的半径L₁处端面压力角α_t的修形量以Δα_t1表示，在面齿轮的半径L₂处端面压力角α_t的修形量以Δα_t2表示，

α_t(L)＝a×(L)²+b×L+c(37)

式(37)中，

a、b、c为系数，

$a=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\left(L_1-L^{*}\right)-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\left(L_1-L_2\right)}{\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L^{*}\right)-\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;\left(L_1-L_2\right)},$

$b=\frac{\left({\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t2}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-{\mathrm{\&Delta;\&alpha;}}_{t1}\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;}{\left(L_1-L_2\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L^{*}\right)}^2\&rsqb;-\left(L_1-L^{*}\right)\&lsqb;{\left(L_1\right)}^2-{\left(L_2\right)}^2\&rsqb;},$

$c={\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}-a\&times;{\left(L^{*}\right)}^2-b\&times;L^{*},$

${\mathrm{\&alpha;}}_t^{*}=\arctan \frac{{\mathrm{tan\&alpha;}}_n}{cos\mathrm{\&beta;}},$

$L^{*}=\frac{r_{p2}}{{\mathrm{sin\&gamma;}}_{1-2}}+r_{ps}\&times;tan\left(\left|\frac{\mathrm{\&pi;}}{2}-{\mathrm{\&gamma;}}_{1-2}\right|\right),$

$r_{p2}=\frac{N_2}{N_1}{r}_{p1};$

S44、建立圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的数学模型，其中圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面由第六向量函数r_h(u)表示，所述第六向量函数r_h(u)连续可微且包括依次相连的多段，多段分别表示圆柱第一齿根圆段圆柱第一齿根圆角段圆柱第一渐开线段圆柱第一齿顶圆角段圆柱齿顶圆段圆柱第二齿顶圆角段圆柱第二渐开线段圆柱第二齿根圆角段圆柱第二齿根圆段圆柱齿轮的单个轮齿在x_hO_hy_h的横截面的数学模型如下：

圆柱第一齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(38\right),$

圆柱第一齿根圆角段

圆柱第一渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{b1}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)-r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(l\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(1\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(40\right),$

圆柱第一齿顶圆角段

圆柱齿顶圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{a1}{\mathrm{sin\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ r_{a1}{\mathrm{cos\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(42\right),$

圆柱第二齿顶圆角段

圆柱第二渐开线段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-r_{b1}sin\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}cos\left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ r_{b1}\cos \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)+r_{b1}{\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}\sin \left({\mathrm{\&theta;}}_h^{\left(r\right)}-{\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(44\right),$

圆柱第二齿根圆角段

圆柱第二齿根圆段

$r_h\left(u\right)=r_h\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\right)=\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{r}_{r1}sin\left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ r_{r1}\cos \left({\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\right)\\ 0\\ 1\end{array}\right]---\left(46\right),$

式(38)-(46)中，为常量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为变量，为常量，为变量，为变量，为常量，为变量，为常量，为变量，

x_h、y_h、z_h为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的分量，

$\left[\begin{array}{c}{x}_h\\ y_h\\ z_h\\ 1\end{array}\right]$ 为所述第六向量函数r_h(u)在S_h中的齐次坐标表示方式，

${\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(l\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_1}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

${\mathrm{\&eta;}}_h^{\left(r\right)}=\frac{\mathrm{\&pi;}}{2N_1}+{\mathrm{tan\&alpha;}}_t-{\mathrm{\&alpha;}}_t,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第五非线性方程组解得，所述第五非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(1\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(1\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最小值、由第六非线性方程组解得，所述第六非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(10\right)}\&Element;\&lsqb;0,\frac{\mathrm{\&pi;}}{N_1}-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(4\right)}\&rsqb;,$

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第七非线性方程组解得，所述第七非线性方程组为：

取值区间的最小值取0，

取值区间的最大值、取值区间的最大值、由第八非线性方程组解得，所述第八非线性方程组为：

${\mathrm{\&omega;}}_h^{\left(56\right)}\&Element;\&lsqb;-{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(2\right)},+{\mathrm{\&xi;}}_h^{\left(3\right)}\&rsqb;;$

S45、建立圆柱齿轮的N₁个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面的数学模型，其中，圆柱齿轮的N₁个轮齿在x_hO_hy_h中的横截面由第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)表示，所述第七向量函数L_h(θ_h)r_h(u)中，

L_h(θ_h)＝I+(1-cosθ_h)(C^s)²+C^ssinθ_h(47)，

式(47)中，

${\mathrm{\&theta;}}_h=0,1\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},2\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},3\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1},...,(N_1-1)\&times;\frac{2\mathrm{\&pi;}}{N_1};$

S46、建立圆柱齿轮的全齿面Σ₁在S₁中的数学模型，圆柱齿轮的全齿面Σ₁在S₁中由第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)表示，所述第八向量函数r₁(u,ψ_h)＝M_1h(ψ_h)L_h(θ_h)r_h(u)中，

$M_{1h}\left({\mathrm{\&psi;}}_h\right)=\left[\begin{array}{cccc}{\mathrm{cos\&psi;}}_h& -{\mathrm{sin\&psi;}}_h& 0& 0\\ {\mathrm{sin\&psi;}}_h& {\mathrm{cos\&psi;}}_h& 0& 0\\ 0& 0& 1& \left|{\mathrm{p\&psi;}}_h\right|\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]---\left(48\right),$

式(48)中，

若螺旋角为右旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|>0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$

若螺旋角为左旋：则 ${\mathrm{\&psi;}}_h=-\left|\frac{L}{r_{p1}\cot \mathrm{\&beta;}}\right|<0,L\&Element;\&lsqb;L_1-\frac{b_1-b_2}{2},L_2+\frac{b_1-b_2}{2}\&rsqb;,$ 其中cot表示余切三角函数。