CN109214093B - N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种N叶非圆齿轮凹尖点节曲线设计缺陷的修复方法，该修复方法以过修复节曲线的给定回转时间为约束条件，通过对N叶非圆齿轮传动中节曲线凹尖点特性的分析，基于变分原理设计了一种具有最小平均动能特性的平面曲线，并利用该平面曲线代替含有凹尖点的微小邻域内的非圆齿轮节曲线，实现了N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复，克服了现有N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷修复方法中存在的不足，满足了N叶非圆齿轮副的高平稳性传动要求。

Description

N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法

技术领域

本发明属于非圆齿轮传动技术领域，涉及一种非圆齿轮节曲线设计缺陷的修复方法，特别是涉及一种N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复方法。

背景技术

非圆齿轮副是用来传递两轴间非匀速运动的。它的节曲线形状是按运动要求专门设计的，和其他能得到非匀速传动的机构(如凸轮、连杆等)相比，具有传动平稳、结构紧凑、运动精度高、传动功率大及传动效率高等优点。非圆齿轮的节曲线主要分为开式节曲线和封闭节曲线两大类：开式节曲线的非圆齿轮副是用于实现两轴间具有一定规律的变速连续摆动或变速间歇运动；封闭节曲线的非圆齿轮副是用于实现两轴间具有一定规律的单向变速连续回转运动。

在N叶非圆齿轮封闭节曲线的设计过程中，各单叶节曲线的外凸并不能保证其组成的N叶非圆齿轮封闭节曲线具有外凸性，其各单叶节曲线之间的衔接点往往存在着凹尖点。节曲线具有凹尖点的N叶非圆齿轮的齿廓难以设计与计算且不能用滚刀方式对其齿廓进行加工，严重制约了N叶非圆齿轮的工程应用。

现有的N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法主要有直线修复、样条插值修复和圆弧修复三种：①直线修复是用一条切线和凹尖点附近的节曲线相切，形成的两个切点分别位于凹尖点的左右两边，通过切线上两个切点之间的部分直线替换该N叶非圆齿轮节曲线上两个切点之间且包含凹尖点的部分节曲线，形成的节曲线为修复后的N叶非圆齿轮节曲线；②样条插值修复是通过选取密切圆上两个切点之间且靠近凹尖点的部分圆弧上的点作为插值点，实现了凹尖点设计缺陷的修复；③圆弧修复是在插齿刀在加工具有节曲线凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮时，插齿刀的节圆和该N叶非圆齿轮的节曲线在凹尖点的两边各有一个切点，通过插齿刀节圆上两个切点之间且靠近凹尖点的部分圆弧替换该N叶非圆齿轮节曲线上两个切点之间且包含凹尖点的部分节曲线，形成的节曲线为修复后的N叶非圆齿轮节曲线。

但是，现有修复方法中的直线修复使得N叶非圆齿轮副传动精度变化较大，严重影响了N叶非圆齿轮副的传动性能；样条插值和圆弧修复后的N叶非圆齿轮副传动精度的高低主要取决于插值点和插齿刀的选取，并没有提出一种合理的方法对凹尖点设计缺陷的修复效果进行评判。而在文献《Study on the pitch curve with minimal rotary inertiafor the noncircular gears》和《Classification identification and modificationof the pitch curve with nondifferentiable points for N-lobed noncirculargear》中，作者张鑫和范守文利用变分原理分别提出了一种具有最小转动惯量特性的非圆齿轮节曲线设计方法和一种N叶非圆齿轮节曲线间断点设计缺陷的最速回转修复方法，表明了变分原理在非圆齿轮节曲线的设计及缺陷修复方面具有重要的应用价值。

发明内容

为解决现有技术中存在的问题，本发明的目的是基于非圆齿轮传动原理与变分原理，提供一种N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法；该修复方法以过修复节曲线的给定回转时间为约束条件，通过设计一种具有最小平均动能特性的平面曲线来代替含有凹尖点的微小邻域内的节曲线，实现了N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的有效修复，克服了现有N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷修复方法中存在的不足，满足了N叶非圆齿轮副的高平稳性传动要求。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案是：一种N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法，包括以下步骤：

步骤一、通过绕回转中心旋转具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮的节曲线得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线r(θ)；

步骤二、根据非圆齿轮节曲线的值恒大于零，得到凹尖点处的微小邻域内满足回转时间的约束条件；

步骤三、基于变分原理，并根据步骤二中满足回转时间的约束条件，得到具有最小平均动能特性的平面曲线r_m1(θ)，r_m1(θ)即为凹尖点处的修复节曲线；

步骤四、将修复节曲线r_m1(θ)代替非圆齿轮凹尖点处微小邻域内的节曲线，得到无凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线R(θ)；

步骤五、根据非圆齿轮的啮合原理，导出与步骤四中节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)，实现N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复。

优选地，所述步骤一具体如下：

固定坐标系o-xy与回转中心o刚性连接，假设平面中一条任意曲线r₁(θ)(θ∈[0，2π/N])是N叶非圆齿轮中的单叶节曲线，极角θ以x轴正向按照逆时针方向进行测量，则通过绕回转中心旋转该节曲线即可得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线:

式中，N为非圆齿轮的叶数，k＝1，2，...，N。

进一步地，所述步骤二具体如下：

从微分几何可知，曲线的向径与其切线的正方向夹角μ由下式计算，其中，切线的正方向与极角θ的计量方向一致：

则可得到极角θ＝2π/N的凹尖点处的夹角μ₁和μ₂为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，因此，在极角θ＝2π/N的凹尖点的微小Δ邻域内，有如下约束条件：

更进一步地，所述步骤三具体如下：

假设极角θ＝2π/N的凹尖点处的修复节曲线r_m1(θ)能够被用于替换极角θ＝2π/N的凹尖点微小邻域内两端的部分节曲线，修复节曲线r_m1(θ)与节曲线r₁(θ)和r₂(θ)相切，且切点处对应的极角分别为θ_a1和θ_b1；

为了保证修复节曲线r_m1(θ)在给定的回转时间约束条件下具有最小的平均动能，修复节曲线r_m1(θ)必须满足以下表达式：

式中，E_min是指N叶非圆齿轮在给定的回转时间T的条件下通过修复节曲线r_m1(θ)的最小平均动能，M和ω分别是指该非圆齿轮的质量和角速度；

由上式可知，该最小平均动能修复模型是一种具有积分约束的变分问题，根据变分原理，为了得到满足上式的修复节曲线r_m1(θ)，建立相应的辅助泛函如下：

式中，λ是指拉格朗日常数；

为了使平均动能达到最小值E_min，H必须满足欧拉-拉格朗日方程，由于该修复模型中的H(r_m1，r'_m1)不显包含参数θ，所以H的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分满足以下条件：

式中，

表示H对r_m1′(θ)的一阶偏导；h为积分常数；

将式(6)中H的表达式代入式(7)，可得：

假设：

式中，α是指待定参数；

将上式代入式(8)，可得：

式中，f₁和f₂是指待定参数，其表达式为：

同时积分式(12)的两边，可得极角θ的参数方程为：

假设:

式中，α_a1和α_b1是指待定参数；

联立式(5)中的约束条件和式(9)，可得待定参数α_a1和α_b1的取值范围为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，式(10)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(17)的一阶导数为：

联立式(17)，待定参数f₁和f₂需满足以下条件：

同时，由于极角θ关于参数α(α∈[α_a1,α_b1])是单调递增的，式(12)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(20)的一阶导数为：

联立式(20)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

并且，只有当修复节曲线r_m1(θ)是内凹的，其才能够在很小的误差范围内用于修复极角θ＝2π/N的凹尖点，即其曲率半径ρ应该满足下列表达式：

为了使得式(23)恒成立，可得如下表达式：

联立式(16)，可得式(24)的一阶导数为：

联立式(24)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

联立式(19)和式(22)，可得待定参数f₁和f₂的约束条件：

联立式(10)，式(14)和式(16)，可得具有给定回转时间约束的最小平均动能修复节曲线r_m1(θ)及其约束条件分别如式(28)～式(30)所示：

或

再进一步地，所述步骤四具体如下：

将式(28)～式(30)代入式(1)，可得修复后的无凹尖点设计缺陷的非圆齿轮节曲线R(θ)为：

再进一步地，所述步骤五具体如下：

根据非圆齿轮的啮合原理，与修复后的节曲线R(θ)共轭的外啮合和内啮合非圆齿轮节曲线分别为：

式中，a是指共轭的外啮合非圆齿轮副节曲线的中心距。

本发明的有益效果是：本发明通过设计一种具有最小平均动能特性的平面曲线来代替含有凹尖点的微小邻域内的节曲线，实现N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复；在该修复过程中，通过对给定回转时间与修复精度之间关系的分析，得到了修复精度随着给定回转时间的逐渐减小而越来越高的特性，给出了修复精度与给定回转时间之间的对应关系图；并根据修复精度与给定回转时间之间的特性和对应关系图，使得在节曲线凹尖点设计缺陷的修复过程中，能够通过选择恰当的回转时间约束有效地提高修复后N叶非圆齿轮副的传动平稳性。

附图说明

图1为本发明实施例的流程框图；

图2为本发明实施例中具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线；

图3为本发明实施例中具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线的修复模型；

图4为本发明实施例中具有凹尖点设计缺陷的非圆齿轮节曲线的最小平均动能修复算法流程框图；

图5a为本发明实施例中具有凹尖点设计缺陷的主动非圆齿轮节曲线r(θ)；

图5b为本发明实施例中与图5a中主动非圆齿轮共轭的外啮合被动非圆齿轮节曲线r_e(θ_e)；

图6为本发明实施例的图5a和图5b中具有节曲线凹尖点设计缺陷的外啮合非圆齿轮副的传动比函数i(θ)；

图7a为本发明实施例中修复后的主动非圆齿轮节曲线R(θ)；

图7b为本发明实施例中与图7a中修复后的主动非圆齿轮共轭的外啮合被动非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)；

图8a为本发明实施例中Δθ与给定回转时间T之间的关系示意图；

图8b为具有凹尖点设计缺陷的非圆齿轮节曲线修复后传动比的变化情况示意图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的实施例进行详细说明。

如图1所示，一种N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法，包括以下步骤：

步骤一、通过绕回转中心旋转具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮的节曲线得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线r(θ)：

图2为具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线。图2中，固定坐标系o-xy与回转中心o刚性连接，假设平面中一条任意曲线r₁(θ)(θ∈[0，2π/N])是N叶非圆齿轮中的单叶节曲线，极角θ以x轴正向按照逆时针方向进行测量，则通过绕回转中心旋转该节曲线即可得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线:

式中，N为非圆齿轮的叶数，k＝1，2，...，N。

步骤二、根据非圆齿轮节曲线的值恒大于零，得到凹尖点处的微小邻域内满足回转时间的约束条件：

假设点c₁、c₂、...，c_N是该N叶非圆齿轮节曲线中存在的凹尖点，由于这些凹尖点也具有回转周期2π/N，为了简化计算，我们仅仅研究凹尖点c₁(θ＝2π/N)处的特性。从微分几何可知，曲线的向径与其切线的正方向夹角μ由下式计算(切线的正方向与极角θ的计量方向一致)：

如图2所示，得到凹尖点c₁(θ＝2π/N)处的夹角μ₁和μ₂为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，因此，在凹尖点c₁(θ＝2π/N)的Δ邻域内，有如下约束条件：

步骤三、基于变分原理，并根据步骤二中满足回转时间的约束条件，得到具有最小平均动能特性的平面曲线r_m1(θ)，r_m1(θ)即为凹尖点处的修复节曲线：

图3为具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线的修复模型。图3中，假设修复节曲线r_m1(θ)能够被用于替换极角θ＝2π/N的凹尖点c₁的微小邻域内部分节曲线a₁c₁和c₁b₁，a₁和b₁是修复节曲线r_m1(θ)与节曲线r₁(θ)和r₂(θ)分别相切的点，其对应的极角为θ_a1和θ_b1。为了保证修复节曲线在给定的回转时间约束条件下具有最小的平均动能，修复节曲线r_m1(θ)必须满足以下表达式：

式中，E_min是指非圆齿轮在给定的回转时间T的条件下通过修复节曲线r_m1(θ)的最小平均动能，M和ω分别是指该非圆齿轮的质量和角速度。

由上式可知，该最小平均动能修复模型是一种具有积分约束的变分问题。根据变分原理，为了得到满足上式的修复节曲线r_m1(θ)，建立相应的辅助泛函如下：

式中，λ是指拉格朗日乘数。

为了使平均动能达到最小值E_min，H必须满足欧拉-拉格朗日方程。由于该修复模型中的H(r_m1，r'_m1)不显包含参数θ，所以H的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分满足以下条件：

式中，

表示H对r_m1′(θ)的一阶偏导；h为积分常数。

将式(6)中H的表达式代入式(7)，可得：

假设：

式中，α是指待定参数。

将上式代入式(8)，可得：

式中，f₁和f₂是指待定参数，其表达式为：

同时积分式(12)的两边，可得极角θ的参数方程为：

假设:

式中，α_a1和α_b1是指待定参数。

联立式(5)中的约束条件和式(9)，可得待定参数α_a1和α_b1的取值范围为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，式(10)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(17)的一阶导数为：

联立式(17)，待定参数f₁和f₂需满足以下条件：

同时，由于极角θ关于参数α(α∈[α_a1,α_b1])是单调递增的，式(12)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(20)的一阶导数为：

联立式(20)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

如图3所示，只有当修复节曲线r_m1(θ)是内凹的，其才能够在很小的误差范围内用于修复凹尖点c₁，即其曲率半径ρ应该满足下列表达式：

为了使得式(23)恒成立，可得如下表达式：

联立式(16)，可得式(24)的一阶导数为：

联立式(24)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

联立式(19)和式(22)，可得待定参数f₁和f₂的约束条件：

联立式(10)，式(14)和式(16)，可得具有给定回转时间约束的最小平均动能修复模型及其约束条件分别如式(28)～式(30)所示。

或

步骤四、将修复节曲线r_m1(θ)代替非圆齿轮凹尖点处微小邻域内的节曲线，得到无凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线R(θ)；

联立式(1)，可得修复后的节曲线R(θ)为：

步骤五、根据非圆齿轮的啮合原理，导出与步骤四中节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)，实现N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复。

此外，根据非圆齿轮的啮合原理，与修复后的节曲线R(θ)共轭的外啮合和内啮合非圆齿轮节曲线分别为：

式中，a是指共轭的外啮合非圆齿轮副节曲线的中心距。

具体的，图4为具有凹尖点设计缺陷的非圆齿轮节曲线的最小平均动能修复算法流程图。图4中，r(θ)(θ∈[0,2π])是满足特定传动比函数的具有凹尖点设计缺陷的主动非圆齿轮节曲线。而修复后的节曲线R(θ)及其待定参数f₁，f₂，f₃，θ_a1，θ_b1，α_a1和α_b1可以通过式(28)～(31)获得，且可通过式(32)求出与其共轭的外啮合非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)。

图5a和图5b为具有凹尖点设计缺陷的主动非圆齿轮节曲线r(θ)及其共轭的外啮合被动非圆齿轮节曲线r_e(θ_e)。图中，具有凹尖点设计缺陷的主动非圆齿轮节曲线r(θ)的极坐标表达式为：

图6为图5a和图5b中具有节曲线凹尖点设计缺陷的外啮合非圆齿轮副的传动比函数i(θ)；图6中，传动比函数i(θ)的表达式为：

其中，11.3391为齿轮副的中心距；

图7a和图7b为修复后的主动非圆齿轮节曲线R(θ)及其共轭的外啮合被动非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)。图中，R(θ)是通过给定回转时间约束的最小平均动能修复算法得到的修复后主动非圆齿轮节曲线，其极坐标表达式如式(35)所示；而R_e(θ_e)是与该主动非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线，其相关设计参数如表1所示。

表1最小平均动能修复的待定参数及修复后的共轭外啮合被动非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)

图8a和图8b为Δθ与给定回转时间T之间的关系及修复后传动比的变化情况。从图中可以看出随着给定回转时间T的逐渐减小，Δθ越来越小，修复后传动比越接近于原始的传动比。因此，在实际工程应用中，可以通过选择恰当的回转时间约束，以保证传动精度要求。

以上所述实施例仅表达了本发明的具体实施方式，其描述较为具体和详细，但并不能因此而理解为对本发明专利范围的限制。应当指出的是，对于本领域的普通技术人员来说，在不脱离本发明构思的前提下，还可以做出若干变形和改进，这些都属于本发明的保护范围。

Claims (1)

1.一种N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的修复方法，其特征在于，包括以下步骤：

步骤一、通过绕回转中心旋转具有凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮的节曲线得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线r(θ)；所述步骤一具体如下：

固定坐标系o-xy与回转中心o刚性连接，假设平面中一条任意曲线r₁(θ)是N叶非圆齿轮中的单叶节曲线,其中θ∈[0，2π/N],极角θ以x轴正向按照逆时针方向进行测量，则通过绕回转中心旋转该节曲线即可得到满足周转约束的N叶非圆齿轮节曲线:

式中，N为非圆齿轮的叶数，k＝1，2，...，N；步骤二、根据非圆齿轮节曲线的值恒大于零，得到凹尖点处的微小邻域内满足回转时间的约束条件；所述步骤二具体如下：

从微分几何可知，曲线的向径与其切线的正方向夹角μ由下式计算，其中，切线的正方向与极角θ的计量方向一致：

则可得到极角θ＝2π/N的凹尖点处的夹角μ₁和μ₂为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，因此，在极角θ＝2π/N的凹尖点的微小Δ邻域内，有如下约束条件：

步骤三、基于变分原理，并根据步骤二中满足回转时间的约束条件，得到具有最小平均动能特性的平面曲线r_m1(θ)，r_m1(θ)即为凹尖点处的修复节曲线；所述步骤三具体如下：

假设极角θ＝2π/N的凹尖点处的修复节曲线r_m1(θ)能够被用于替换极角θ＝2π/N的凹尖点微小邻域内两端的部分节曲线，修复节曲线r_m1(θ)与节曲线r₁(θ)和r₂(θ)相切，且切点处对应的极角分别为θ_a1和θ_b1；

为了保证修复节曲线r_m1(θ)在给定的回转时间约束条件下具有最小的平均动能，修复节曲线r_m1(θ)必须满足以下表达式：

式中，E_min是指N叶非圆齿轮在给定的回转时间T的条件下通过修复节曲线r_m1(θ)的最小平均动能，M和ω分别是指该非圆齿轮的质量和角速度；

由上式可知，该最小平均动能修复模型是一种具有积分约束的变分问题，根据变分原理，为了得到满足上式的修复节曲线r_m1(θ)，建立相应的辅助泛函如下：

式中，λ是指拉格朗日常数；

为了使平均动能达到最小值E_min，H必须满足欧拉-拉格朗日方程，由于该修复模型中的H(r_m1，r'_m1)不显包含参数θ，所以H的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分满足以下条件：

式中，

表示H对r_m1′(θ)的一阶偏导；h为积分常数；

将式(6)中H的表达式代入式(7)，可得：

假设：

式中，α是指待定参数；

将上式代入式(8)，可得：

式中，f₁和f₂是指待定参数，其表达式为：

同时积分式(12)的两边，可得极角θ的参数方程为：

假设:

式中，α_a1和α_b1是指待定参数；

联立式(5)中的约束条件和式(9)，可得待定参数α_a1和α_b1的取值范围为：

由于非圆齿轮节曲线的值恒大于零，式(10)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(17)的一阶导数为：

联立式(17)，待定参数f₁和f₂需满足以下条件：

同时，由于极角θ关于参数α是单调递增的，其中α∈[α_a1,α_b1]，式(12)必须满足下列表达式：

联立式(16)，可得式(20)的一阶导数为：

联立式(20)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

并且，只有当修复节曲线r_m1(θ)是内凹的，其才能够在很小的误差范围内用于修复极角θ＝2π/N的凹尖点，即其曲率半径ρ应该满足下列表达式：

为了使得式(23)恒成立，可得如下表达式：

联立式(16)，可得式(24)的一阶导数为：

联立式(24)，待定参数f₁和f₂还需满足以下条件：

联立式(19)和式(22)，可得待定参数f₁和f₂的约束条件：

联立式(10)，式(14)和式(16)，可得具有给定回转时间约束的最小平均动能修复节曲线r_m1(θ)及其约束条件分别如式(28)～式(30)所示：

或

步骤四、将修复节曲线r_m1(θ)代替非圆齿轮凹尖点处微小邻域内的节曲线，得到无凹尖点设计缺陷的N叶非圆齿轮节曲线R(θ)；所述步骤四具体如下：

将式(28)～式(30)代入式(1)，可得修复后的无凹尖点设计缺陷的非圆齿轮节曲线R(θ)为：

步骤五、根据非圆齿轮的啮合原理，导出与步骤四中节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线R_e(θ_e)，实现N叶非圆齿轮节曲线凹尖点设计缺陷的最小平均动能修复；所述步骤五具体如下：

根据非圆齿轮的啮合原理，与修复后的节曲线R(θ)共轭的外啮合和内啮合非圆齿轮节曲线分别为：

式中，a是指共轭的外啮合非圆齿轮副节曲线的中心距。

Images