CN113673053B - 回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法 - Google Patents

回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，根据机械产品中非圆齿轮的实际设计要求，将不同的回转时间约束作为设计驱动条件，设计出满足不同回转时间约束的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线及其共轭的外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线。特别地，根据非圆齿轮的啮合原理，给出了两种计算与所述非圆主动齿轮节曲线共轭的非圆从动齿轮节曲线设计方法，可以保证非圆齿轮在多种实际设计要求中的应用。该发明公开可以保证所设计的非圆齿轮在传动的过程中具有最小转动惯量的同时，能够满足特定的回转时间要求，有助于提高非圆齿轮的设计质量和设计效率，对于机械产品或机械零部件的自动化设计与智能化设计具有重要的借鉴和指导意义。

Description

回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法
技术领域
本发明涉及非圆齿轮设计领域，具体涉及一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法。
背景技术
作为最重要的非匀速比传动机构之一，非圆齿轮传动机构具有结构紧凑、传动精度及效率高等优点，在自动化仪器仪表、轻工机械与智能装备等各类机械行业中得到了广泛的应用。随着现代工业技术与信息技术的高速发展，机械工业的智能化变革与发展越来越离不开非匀速比传动系统设计质量、设计水平和设计效率的提高，使得非圆齿轮设计的复杂性日益增加，增大了非圆齿轮几何设计变量的不确定性和设计缺陷出现的可能性。
这种设计变量的不确定性和设计缺陷出现的可能性，造成了非圆齿轮功能与设计约束的验证越来越复杂困难，降低了非圆齿轮的设计质量和设计效率，更近一步地会设计出具有缺陷的非圆齿轮机构，严重制约了非圆齿轮在机械产品中的应用，限制了智能装备朝着重载、轻型、智能化和自动化方向的发展。
发明内容
针对现有技术存在的不足，本发明的目的在于提供一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法。
为实现上述目的，本发明提供了如下技术方案：
一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其包括以下步骤：
1)建立基于非圆主动齿轮的角速度ω、回转的起止位置a(0，R(0))、b(θb，R(θb))及所使用的回转时间T的约束条件；
2)根据变分法，建立由回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型：
其中，R(θ)为非圆主动齿轮节曲线，θ为极角，θb为终止回转位置的向径ob对应的极角，M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长，ω为角速度，F(R(θ)，R'(θ))为被积函数，λ为待定的拉格朗日乘数；
3)根据步骤2)中建立的由回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型，获取回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件：
其中h1、h2、μa和μb为待定参数，θ(μa)和θ(μb)分别是参数μ等于μa和μb时所对应的极角，T为回转时间，
4)由非圆齿轮的啮合原理，获得与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)，
Ee和Ei分别为外啮合和内啮合非圆齿轮副的中心距；
5)基于非圆齿轮副的中心距Ee或Ei已知或非圆从动齿轮节曲线的最大回转角θe或θi的最大值θemax、θimax已知，求解步骤4)中的与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。
进一步的，步骤1)中，
由运动学和微分学原理可知，非圆主动齿轮以确定的角速度ω回转经过节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的回转时间dT和转动惯量dJ的表达式分别为
其中dM是非圆主动齿轮节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的质量且M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长，微弧长dS的微分表达式为
通过代入微弧长dS的微分表达式，并两边积分可得非圆主动齿轮回转经过节曲线R(θ)的回转时间T和转动惯量J
进一步的，步骤3)中，
确定满足被积函数F(R(θ)，R'(θ))的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分：
h为待定的积分常数；
将两者联立，并经过化简可得
将R′(θ)＝R(θ)tanμ，其中μ为待定参数，代入上式，可得非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程：
其中h1和h2为待定参数；
对非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程两边微分得到
并联立R′(θ)＝R(θ)tanμ，/>得到极角θ关于参数μ的微分：
对极角θ关于参数μ的微分两边进行积分，可得极角θ关于参数μ的参数方程：
其中，h3为待定的积分常数；
联立非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程与极角θ关于参数μ的参数方程，可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程：
其中μa和μb为待定参数；
在非圆主动齿轮节曲线R(θ)的起止回转位置a(0，r(0))、b(θb，r(θb))和回转时间T为已知时，可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件：
进一步的，步骤5)中，当非圆齿轮副的中心距Ee或Ei在实际应用场合中已经确定时，即当Ee或Ei已知时，只需将其值分别代入步骤4)中的表达式，可解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆齿轮节曲线Ri(θi)。
进一步的，步骤5)中，在非圆齿轮副的实际应用场合中，当要求非圆从动齿轮节曲线的最大回转角一定时，即θe或θi的最大值θemax、θimax已知时，通过或反解出与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆齿轮副的中心距Ee、Ei，在通过代入步骤4)中的表达式，可解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆齿轮节曲线Ri(θi)。
本发明的有益效果：
本发明根据机械产品中非圆齿轮的实际设计要求，将不同的回转时间约束作为设计驱动条件，设计出满足不同回转时间约束的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线及其共轭的外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线。
本发明根据非圆齿轮的啮合原理，给出了两种计算与所述非圆主动齿轮节曲线共轭的非圆从动齿轮节曲线设计方法，可以保证非圆齿轮在多种实际设计要求中的应用，扩大非圆齿轮的应用领域。
本发明公开的节曲线创新设计方法可以保证在设计出具有最小转动惯量(即具有高传动响应)非圆齿轮的同时，能够满足特定的回转时间要求，有助于提高非圆齿轮设计的质量和效率。。
附图说明
图1为本发明实施例中具有最小转动惯量特性的非圆主动齿轮节曲线设计原理图。
图2为本发明实施例中回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)及其共轭的非圆从动齿轮节曲线的设计过程。
图3为本发明实施例中求解外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)的两种设计计算方法流程图。
图4为本发明实施例中回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)。
图5a为本发明实施例中采用计算方法一解出的与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)。
图5b为本发明实施例中采用计算方法一解出的与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。
图6a为本发明实施例中采用计算方法二解出的与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)。
图6b为本发明实施例中采用计算方法二解出的与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。
具体实施方式
下面将结合本发明实施例中的附图，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，显然，所描述的实施例仅仅是本发明的一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有作出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例，都属于本发明保护的范围。
本发明提供了一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其包括以下步骤：
1)建立基于非圆主动齿轮的角速度ω、回转的起止位置a(0，R(0))、b(θb，R(θb))及所使用的回转时间T的约束条件；
图1为具有最小转动惯量特性的非圆主动齿轮节曲线设计原理图。图中，非圆主动齿轮节曲线R(θ)(θ∈[θa，θb])的初始回转位置的向径oa与固定坐标系Γ(o-xy)的ox轴重合(即其对应的极角θa＝0)，终止回转位置的向径ob对应的极角为θb(0＝θa<θb≤2π)，其中极角θ沿ox轴正向按逆时针方向进行测量，且其回转中心o与固定坐标系的原点o重合。
假设，非圆主动齿轮以确定的角速度ω回转经过节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的回转时间和转动惯量分别为dT和dJ，则由运动学和微分学原理可知，回转时间dT和转动惯量dJ的表达式分别为：
式中，dM是节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的质量且M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长。
将微弧长dS的微分表达式代入式(1)和式(2)可得：
对上式两边同时积分，可得非圆主动齿轮回转经过节曲线R(θ)的回转时间T和转动惯量J分别为：
2)由式(5)和式(6)可知，当非圆主动齿轮节曲线R(θ)的表达式不同时，非圆主动齿轮以确定的角速度ω回转经过节曲线R(θ)的回转时间T和转动惯量J也是不同的。因此，根据变分原理，建立如式(7)所示的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型：
其中，R(θ)为非圆主动齿轮节曲线，θ为极角，θb为终止回转位置的向径ob对应的极角，M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长，ω为角速度，F(R(θ)，R'(θ))为被积函数，λ为待定的拉格朗日乘数；
3)根据步骤2)中建立的由回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型，获取回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件。
由于式(7)可知被积函数F(R(θ)，R'(θ))的表达式中不显包含微分变量θ，所以满足式(7)的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分为：
式中，h为待定的积分常数。
将式(7)中F(R(θ)，R'(θ))的表达式代入式(8)并化简，可得：
假设：
式中，μ为待定参数。
将式(10)代入式(9)，可得非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程为：
式中，h1和h2为待定参数。
对上式左右两边同时微分，可得：
联立式(10)，可得极角θ关于参数μ的微分：
同时积分式(13)的两边，可得极角θ关于参数μ的参数方程为：
式中，h3为待定的积分常数。
假设:
式中，μa和μb为待定参数。
联立式(11)和式(14)，可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程为：
假设，非圆主动齿轮节曲线R(θ)的起止回转位置a(0，r(0))、b(θb，r(θb))和回转时间T为已知条件时，则可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件为：
4)更进一步地，由非圆齿轮的啮合原理，可得与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)的表达式为：
Ee和Ei分别为外啮合和内啮合非圆齿轮副的中心距；
5)基于非圆齿轮副的中心距Ee或Ei已知或非圆从动齿轮节曲线的最大回转角θe或θi的最大值θemax、θimax已知，求解步骤4)中的与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。
图2是回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)及其共轭的非圆从动齿轮节曲线的设计过程。图中，已知条件是非圆主动齿轮的角速度ω、以及回转经过节曲线R(θ)的回转时间约束T和回转的起止位置a(0，R(0))、b(θb，R(θb))。回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)中待定参数h1、h2、h3、μa和μb的值及节曲线R(θ)的参数方程可以通过式(16)和式(17)确定，而与主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)可由式(18)和式(19)确定。
图3是求解外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)的两种设计计算方法流程图。图中的两种设计计算方法是根据非圆齿轮副在机械产品中的实际应用场合，结合非圆齿轮的啮合原理给出的，具体计算方法如下所述。
计算方法一：当非圆齿轮副的中心距Ee或Ei在实际应用场合中已经确定时，即当Ee或Ei已知时，只需将其值分别代入式(18)或式(19)，可以解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)。
计算方法二：在非圆齿轮副的实际应用场合中，当要求非圆从动齿轮节曲线的最大回转角一定时，即θe或θi的最大值θemax、θimax已知时。此时，应首先依据式(20)或式(21)反解出与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆齿轮副中心距Ee、Ei的值；然后将Ee、Ei的值代入式(18)或式(19)，解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)。
图4是回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)。图中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)是根据表1中第1列给出的已知条件，利用式(16)和式(17)求解出的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)的参数方程及其设计参数均已在表1中所列出，并且表1中所有设计参数的单位均采用国际标准单位制。特别的，本发明所涉及的所有与设计参数相关的内容，如果没有额外的说明，其中所述设计参数的单位均采用国际标准单位制。
表1回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)的参数方程及其设计参数
图5a和图5b是采用计算方法一解出的分别与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)和内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。图中所述的非圆从动齿轮节曲线Re(θe)和非圆齿轮节曲线Ri(θi)是依据式(18)和式(19)进行设计计算的，其极坐标方程及设计参数已在表2中列出，其中中心距Ee或Ei的值由设计人员根据非圆齿轮副在机械产品中的实际应用情况优先给出。
表2采用计算方法一解出的与图4中所述非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合和内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)的极坐标方程及其设计参数
图6a和图6b是采用计算方法二解出的分别与图4中所述的非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)和内啮合非圆齿轮节曲线Ri(θi)。图中所述的非圆从动齿轮节曲线Re(θe)和Ri(θi)是依据式(20)和式(21)进行设计计算的，其极坐标方程及设计参数已在表3中列出，其中外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线的最大回转角θemax、θimax由设计人员根据非圆齿轮副在机械产品中的实际应用情况优先给出。
表3采用计算方法二解出的与图4中所述非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合和内啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)、Ri(θi)的极坐标方程及其设计参数
从以上计算实例中可以看出，本发明能够根据机械产品中非圆齿轮的实际设计要求，将不同的回转时间约束作为设计驱动条件，设计出满足不同回转时间约束的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线及其共轭的外啮合或内啮合非圆从动齿轮节曲线。该发明公开的节曲线创新设计方法可以保证在设计出具有最小转动惯量(即具有高传动响应)非圆齿轮的同时，能够满足特定的回转时间要求，有助于提高非圆齿轮设计的质量和效率，扩大非圆齿轮的应用领域。
实施例不应视为对本发明的限制，但任何基于本发明的精神所作的改进，都应在本发明的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其特征在于：其包括以下步骤：
1)建立基于非圆主动齿轮的角速度ω、回转的起止位置a(0，R(0))、b(θb，R(θb))及所使用的回转时间T的约束条件；
2)根据变分法，建立由回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型：
其中，R(θ)为非圆主动齿轮节曲线，θ为极角，θb为终止回转位置的向径ob对应的极角，M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长，ω为角速度，F(R(θ)，R'(θ))为被积函数，λ为待定的拉格朗日乘数；
3)根据步骤2)中建立的由回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线设计模型，获取回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件：
其中h1、h2、μa和μb为待定参数，θ(μa)和θ(μb)分别是参数μ等于μa和μb时所对应的极角，T为回转时间，
4)由非圆齿轮的啮合原理，获得与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)，
Ee和Ei分别为外啮合和内啮合非圆齿轮副的中心距；
5)基于非圆齿轮副的中心距Ee或Ei已知或非圆从动齿轮节曲线的最大回转角θe或θi的最大值θemax、θimax已知，求解步骤4)中的与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆从动齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆从动齿轮节曲线Ri(θi)。
2.根据权利要求1所述的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其特征在于：步骤1)中，
由运动学和微分学原理可知，非圆主动齿轮以确定的角速度ω回转经过节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的回转时间dT和转动惯量dJ的表达式分别为
其中dM是非圆主动齿轮节曲线R(θ)上一小段微弧长dS的质量且M和S分别是非圆主动齿轮节曲线R(θ)对应的总质量和总弧长，微弧长dS的微分表达式为/>
通过代入微弧长dS的微分表达式，并两边积分可得非圆主动齿轮回转经过节曲线R(θ)的回转时间T和转动惯量J
3.根据权利要求1所述的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其特征在于：步骤3)中，
确定满足被积函数F(R(θ)，R'(θ))的欧拉-拉格朗日方程的一阶积分：
h为待定的积分常数；
将两者联立，并经过化简可得
将其中μ为待定参数，代入上式，可得非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程：
其中h1和h2为待定参数；
对非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程两边微分得到
并联立R′(θ)＝R(θ)tanμ，/>得到极角θ关于参数μ的微分：
对极角θ关于参数μ的微分两边进行积分，可得极角θ关于参数μ的参数方程：
其中，h3为待定的积分常数；
联立非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程与极角θ关于参数μ的参数方程，可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)关于参数μ的参数方程：
其中μa和μb为待定参数；
在非圆主动齿轮节曲线R(θ)的起止回转位置a(0，r(0))、b(θb，r(θb))和回转时间T为已知时，可得回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆主动齿轮节曲线R(θ)满足的约束条件：
4.根据权利要求1所述的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其特征在于：步骤5)中，当非圆齿轮副的中心距Ee或Ei在实际应用场合中已经确定时，即当Ee或Ei已知时，只需将其值分别代入步骤4)中的表达式，可解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆齿轮节曲线Ri(θi)。
5.根据权利要求1所述的回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线设计方法，其特征在于：步骤5)中，在非圆齿轮副的实际应用场合中，当要求非圆从动齿轮节曲线的最大回转角一定时，即θe或θi的最大值θemax、θimax已知时，通过或反解出与非圆主动齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合或内啮合非圆齿轮副的中心距Ee、Ei，在通过代入步骤4)中的表达式，可解出与回转时间约束驱动的最小转动惯量非圆齿轮节曲线R(θ)共轭的外啮合非圆齿轮节曲线Re(θe)或内啮合非圆齿轮节曲线Ri(θi)。
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