CN108331900A - 一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法 - Google Patents

一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，包括如下步骤：(1)ρ(θ)为非圆主动轮节曲线曲率变化方程，其满足以下方程：(2)由曲率变化方程ρ(θ)，可以得到非圆主动齿轮节曲线的切线极坐标方程式：(3)与非圆主动齿轮共轭的非圆从动齿轮节曲线方程：(4)非圆从动齿轮弧长公式：本发明所述一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其非圆齿轮副节曲线设计更加灵活，并能够保证非圆齿轮主动节曲线保持凸性，利于非圆齿轮的加工，大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。

Description

一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法
技术领域
本发明涉及一种非圆齿轮副设计方法，具体涉及一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法。
背景技术
非圆齿轮传动综合了凸轮和圆齿轮的优点能够准确的实现两轴之间的非匀速比传动。在很多特殊的场合，非圆齿轮与连杆等机构的综合使用能够大大的简化机构的复杂程度，提高机构的作业性能。它具有传动效率高、运动平稳、工作可靠等优点，因此非圆齿轮机构已经在插秧机、包装机械、液压马达等众多的场合得到了运用，并且取得了良好的使用效果。
非圆齿轮的传动规律是由其节曲线的形状所决定，根据节曲线是否封闭，非圆齿轮可以分为封闭非圆齿轮和不封闭非圆齿轮。封闭非圆齿轮能够实现连续的传动，因此在实际中被大量的采用，其中最常用的就是椭圆曲线、偏心曲线构成的椭圆齿轮和偏心圆齿轮。在平面非圆齿轮设计制造中，非圆齿轮齿廓的设计制造是非常重要的一个部分。节曲线的形状与非圆齿轮的齿廓设计有着非常密切的关系。当节曲线出现严重的内凹现象时，非圆齿轮的齿廓是无法生成的。
发明内容
本发明的目的在于提供一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其非圆齿轮副节曲线设计更加灵活，并能够保证非圆齿轮主动节曲线保持凸性，利于非圆齿轮的加工，大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。
为了达到上述目的，本发明的技术方案是：
一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，包括如下步骤：
(1)ρ(θ)为非圆主动轮节曲线曲率变化方程，其满足以下方程：
式中：ρ(θ)为非圆主动齿轮节曲线曲率半径；
ρ(θ)以2π为周期的周期函数；
S为积分参数；
(2)由曲率变化方程ρ(θ)，可以得到非圆主动齿轮节曲线的切线极坐标方程式：
式中：p(θ)为切线极坐标下的节曲线向径，
θ为切线极坐标下节曲线的角度；
(3)与非圆主动齿轮共轭的非圆从动齿轮节曲线方程：
式中：为极坐标下的非圆从动齿轮节曲线的极径；
a为主动非圆齿轮与从动非圆齿轮之间的中心距；
为极坐标下的非圆主动齿轮节曲线的极径；
为非圆主动齿轮节曲线的极径对应的极角；
为非圆主动齿轮节曲线的极径对应的极角；
(4)非圆从动齿轮弧长公式：
式中：L为非圆从动齿轮节曲线周长；
当P(θ)＝-P(θ+π)时，可以求出L＝2πR。
所述步骤(1)中非圆主动齿轮节曲线为封闭的平面曲线；ρ(θ)是一个连续函数，且恒正以保证非圆主动齿轮节曲线外凸。
所述步骤(2)中在二维平面上，平面直角坐标与切线极坐标之间存在以下关系：
式中：P′(θ)为ρ(θ)的一阶导数；
对公式(5)进行求导，得到：
卵形曲线的弧长L是θ(0≤θ≤2π)的单调增函数，于是曲线的曲率半径ρ(θ)为：
上述(7)方程是以ρ(θ)为未知数的二阶线性微分方程，通过高等数学得出非圆主动齿轮节曲线方程式：
所述步骤(3)中将非圆主动齿轮节曲线的切线极坐标方程ρ(θ)结合公式(5)转化为直角坐标和极坐标：
式中：μ为非圆主动齿轮节曲线的极径与切线nm的夹角；
将公式(2)中的节曲线方程代入公式(5)和(8)或公式(5)和(9)中求得唯一的
由非圆从动齿轮节曲线封闭条件得：
从公式(10)求出主动非圆齿轮与从动非圆齿轮的中心距a；
非圆主动齿轮与非圆从动齿轮传动比为：
所述步骤(4)中对于一对非圆齿轮副，其非圆主动齿轮与非圆从动齿轮均为纯滚动，非圆主动齿轮的节曲线与非圆从动齿轮的节曲线相等，因此非圆从动齿轮节曲线的周长为：
由于卵形曲线P′(θ)也是以变化2π为周期的周期函数，从而得到：
还包括非圆从动齿轮的凹凸性判别：
在已知主动非圆齿轮节曲线曲率方程ρ(θ)的基础上，该非圆齿轮副从动轮节曲线上各点的曲率半径由欧拉-萨伐里公式求出：
由公式(12)可知非圆从动轮无内凹的条件是：
本发明的有益效果是：在切线极坐标的基础上，推导了非圆齿轮节曲线向径与曲率变化之间的关系，并给出了满足封闭非圆齿轮节曲线的曲率方程的条件，最终基于曲率方程给出了主动非圆齿轮的节曲线方程；
求解该齿轮副的从动轮非圆齿轮节曲线时，又将非圆主动轮节曲线转换成极坐标形式，并计算与其共轭的从动非圆齿轮节曲线；
然后，采用切线极坐标及对应的极坐标混合应用的形式进行该非圆齿轮副从动轮节曲线的凹凸性判断以及弧长计算，简化了计算过程；
由于在满足条件下主动非圆齿轮曲率方程可以自由给出，因此该非圆齿轮副节曲线设计更加灵活，并能够保证非圆齿轮主动节曲线保持凸性，利于非圆齿轮的加工，大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。
附图说明
图1是切线极坐标方程。
图2是基于曲率变化的非圆齿轮副。
图3是该齿轮副的传动比变化。
具体实施方式
实施例1
一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，包括如下步骤：
(1)假设非圆主动轮节曲线的曲率方程为：
ρ(θ)＝10+sin(2θ)+2cos(4θ) (14)；
将其代入公式(1)可得
公式(14)是以2π为其中一个周期的函数，并且连续可导，在[0,2π]上恒为正，因此，其能够作为非圆主动轮节曲线的曲率方程。
将公式(15)代入公式(2)，可以得到非圆主动轮节曲线的切线极坐标表示为：
根据上述公式(10)，可以得到中心距a＝19.997mm。
将公式(15)代入公式(13)，可知该非圆齿轮副非圆从动轮节曲线的曲率大于零，节曲线为凸性。
将公式(15)代入式(4)可得到该非圆从动轮的弧长为：
根据上面的参数，可得如图2所示的基于节曲线曲率变化设计的非圆齿轮副，进一步计算了该非圆齿轮副的传动比，如图3所示。
从图3中的传动比曲线可知该非圆齿轮能够实现多样的传动特性，在特殊传动场合下的传动要求比。
本例子这只是其中的一个曲率方程，通过改变曲率方程的表达，可得到无数种非圆齿轮的运动特性。
本实施例的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其非圆齿轮副节曲线设计更加灵活，并能够保证非圆齿轮主动节曲线保持凸性，利于非圆齿轮的加工，大大提高了非圆齿轮设计的灵活性。

Claims (6)

1.一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于包括如下步骤：
(1)ρ(θ)为非圆主动轮节曲线曲率变化方程，其满足以下方程：
式中：ρ(θ)为非圆主动齿轮节曲线曲率半径；
ρ(θ)以2π为周期的周期函数；
S为积分参数；
(2)由曲率变化方程ρ(θ)，可以得到非圆主动齿轮节曲线的切线极坐标方程式：
式中：p(θ)为切线极坐标下的节曲线向径，
θ为切线极坐标下节曲线的角度；
(3)与非圆主动齿轮共轭的非圆从动齿轮节曲线方程：
式中：为极坐标下的非圆从动齿轮节曲线的极径；
a为主动非圆齿轮与从动非圆齿轮之间的中心距；
为极坐标下的非圆主动齿轮节曲线的极径；
为非圆主动齿轮节曲线的极径对应的极角；
为非圆主动齿轮节曲线的极径对应的极角；
(4)非圆从动齿轮弧长公式：
式中：L为非圆从动齿轮节曲线周长。
2.根据权利要求1所述的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于：所述步骤(1)中非圆主动齿轮节曲线为封闭的平面曲线；ρ(θ)是一个连续函数，且恒正以保证非圆主动齿轮节曲线外凸。
3.根据权利要求1所述的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于：所述步骤(2)中在二维平面上，平面直角坐标与切线极坐标之间存在以下关系：
式中：P′(θ)为ρ(θ)的一阶导数；
对公式(5)进行求导，得到：
卵形曲线的弧长L是θ(0≤θ≤2π)的单调增函数，于是曲线的曲率半径ρ(θ)为：
上述(7)方程是以ρ(θ)为未知数的二阶线性微分方程，通过高等数学得出非圆主动齿轮节曲线方程式：
4.根据权利要求3所述的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于：所述步骤(3)中将非圆主动齿轮节曲线的切线极坐标方程p(θ)结合公式(5)转化为直角坐标和极坐标：
式中：μ为非圆主动齿轮节曲线的极径与切线nm的夹角；
将公式(2)中的节曲线方程代入公式(5)和(8)或公式(5)和(9)中求得唯一的
由非圆从动齿轮节曲线封闭条件得：
从公式(10)求出主动非圆齿轮与从动非圆齿轮的中心距a；
非圆主动齿轮与非圆从动齿轮传动比为：
5.根据权利要求1所述的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于：所述步骤(4)中对于一对非圆齿轮副，其非圆主动齿轮与非圆从动齿轮均为纯滚动，非圆主动齿轮的节曲线与非圆从动齿轮的节曲线相等，因此非圆从动齿轮节曲线的周长为：
由于卵形曲线P′(θ)也是以变化2π为周期的周期函数，从而得到：
6.根据权利要求1所述的一种基于曲率变化的非圆齿轮副设计方法，其特征在于：还包括非圆从动齿轮的凹凸性判别：
在已知主动非圆齿轮节曲线曲率方程ρ(θ)的基础上，该非圆齿轮副从动轮节曲线上各点的曲率半径由欧拉-萨伐里公式求出：
由公式(12)可知非圆从动轮无内凹的条件是：
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