CN102094938A - 一种椭圆锥齿轮副 - Google Patents

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CN102094938A
CN102094938A CN2011100519575A CN201110051957A CN102094938A CN 102094938 A CN102094938 A CN 102094938A CN 2011100519575 A CN2011100519575 A CN 2011100519575A CN 201110051957 A CN201110051957 A CN 201110051957A CN 102094938 A CN102094938 A CN 102094938A
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夏继强
石侃
耿春明
王春洁
邢春香
满庆丰
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Abstract

一种椭圆锥齿轮副，椭圆锥齿轮与球面的交线为节曲线，节曲线为球面上任意一点到球面上固定两点间大圆弧的距离之和等于常数的点的轨迹。节锥面、齿顶锥、齿底锥与球面交线在球面上存在等距关系。建立空间极坐标系并定义一个球面和一个广义锥面。在球面上，根据球面三角形边的余弦定理，计算主动轮节曲线方程和从动轮节曲线方程。然后计算齿顶锥方程及齿根锥方程。利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓的精确参数方程。本发明主要适用于椭圆锥齿轮，具有可获得椭圆锥齿轮的节曲线及齿廓等精确的几何参数、能保证齿轮副能正确地按求得的节曲线传动等优点。

Description

一种椭圆锥齿轮副
技术领域
本发明涉及一种可以做相交轴变速比传动的椭圆锥齿轮副。
背景技术
椭圆锥齿轮能做相交轴的变速比转动，从而代替普通非圆齿轮加上其它连杆机构实现同样的功能，具有结构紧凑、传动精确平稳的特点。椭圆锥齿轮的设计过程主要由两个步骤组成：第一是确定齿轮的节曲线；第二是确定齿轮的其它几何参数，特别是齿轮的齿廓，以保证齿轮副能正确地按求得的节曲线传动。
申请号为89100102的发明专利提供了一种高性能变传动比差速器，以圆锥齿轮为基础，通过对圆锥齿轮齿廓的修改实现传动比以周节为周期的小幅度变动或波动，存在以下两个问题：一是传动比的变化范围太小，不足以克服打滑的影响；二是传动比的变化周期太短，易产生脉动与冲击。贾巨民、高波、乔永卫等在2003年11月9日出版的《汽车工程》中发表了名为“越野汽车变传动比差速器的研究”的文章，提出一种非圆锥齿轮的研究方法，利用微分几何理论将球面节曲线近似展成平面节曲线，然后在平面节曲线的基础上，借助平面啮合原理进行非圆锥齿轮传动的齿形、重合度、根切、压力角等有关内容的研究。但“越野汽车变传动比差速器的研究”一文中并没有对这种研究方法的近似程度进行评估，因此其精确程度及其在设计、制造方面的应用前景可能大打折扣。重庆大学的林超等人对卵形锥齿轮及椭圆锥齿轮的传动性能进行了研究，并发表了相关专利，但并没有对齿廓的形成进行研究。
发明内容
本发明是为避免上述已有技术中存在的不足之处，提供一种椭圆锥齿轮副，以实现椭圆锥齿轮的制造，获得椭圆锥齿轮的精确的几何参数，保证加工出的齿轮副能正确地按求得的节曲线传动。
本发明为解决技术问题采用以下技术方案，一种椭圆锥齿轮副，其特征是基于如下原理：椭圆锥齿轮与球面的交线为节曲线，节曲线为球面上任意一点到球面上固定两点间大圆弧的距离之和等于常数的点的轨迹。节锥面、齿顶锥、齿根锥与球面交线在球面上存在等距关系。所述椭圆锥齿轮副实现步骤为：
(1)建立空间极坐标系，确定一个球面，并通过极角和周角确定一个广义锥面；
(2)在球面上，根据球面三角形边的余弦定理，计算主动轮节曲线方程；
(3)根据一对共轭椭圆锥齿轮啮合时两节锥面作纯滚动的原理，计算从动轮节曲线方程；
(4)根据所述主动轮节曲线方程和所述从动轮节曲线方程，计算齿顶锥方程及齿根锥方程；
(5)利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓的精确参数方程，从而得到椭圆锥齿轮齿廓参数，根据此参数即可制造出椭圆锥齿轮副。
所述步骤(1)中确定球面和广义锥面的方法为：
在空间极坐标系中，Γ是以坐标原点为球心，R为半径的球OR上的任意曲线。设
Figure BDA0000048838570000022
为Γ上任意一点，记作
Figure BDA0000048838570000023
R为球面半径(为方便讨论，设R＝1)；极角为A点矢径
Figure BDA0000048838570000025
与Z轴正向所夹的角；周角θ为
Figure BDA0000048838570000026
在XY平面上的投影与X轴的夹角。在球面上通过极角
Figure BDA0000048838570000027
和周角θ描述广义锥面，即：
Figure BDA0000048838570000028
Figure BDA0000048838570000029
椭圆锥齿轮副的共轭齿廓分布在与锥顶同心的球面上。因此，对椭圆锥齿轮节锥面或齿面的讨论可以转变成对节锥面或齿面与球面的交线，即节曲线或齿廓的讨论。
计算主动轮节曲线方程的方法为：
球面曲线上任意一点P，它到球面上任意两点(C、D两点)的距离之和即大圆弧长度之和为常数。本发明中设在单位球中，
Figure BDA00000488385700000210
长度之和为
Figure BDA00000488385700000211
焦距
Figure BDA00000488385700000212
Figure BDA00000488385700000213
所对的圆心角为
Figure BDA00000488385700000214
Figure BDA00000488385700000215
与
Figure BDA00000488385700000216
夹角为θ1。
在球面VPCD中，根据球面三角形边的余弦定理，得主动轮节曲线方程：
Figure BDA00000488385700000217
计算从动轮节曲线方程的方法为：
假设一对共轭的椭圆锥齿轮节曲线在P点啮合。设P点到主、从动轮旋转轴的距离之和为常数
Figure BDA00000488385700000218
这样可以保证这对椭圆锥齿轮的两节锥面作无滑动的纯滚动，故其节曲线1和2在瞬时回转点P处相对速度为零，即vP1＝vP2；主、从动轮的角速度分别为ω1、ω2；又因为
Figure BDA00000488385700000219
Figure BDA00000488385700000220
得传动比：
Figure BDA00000488385700000221
得从动轮节曲线方程为：
Figure BDA0000048838570000031
计算齿顶锥方程及齿根锥方程的方法为：
在球面VAPB中，根据球面三角形余弦定理，得齿顶锥参数方程：
Figure BDA0000048838570000032
在球面VAPC中，根据球面三角形余弦定理，得齿根锥参数方程：
Figure BDA0000048838570000033
Z轴与球面OR交于点A，1、2、3分别表示齿根线、节曲线和齿顶线。
Figure BDA0000048838570000034
是节曲线在P点的法弧。过点A分别作大圆弧
Figure BDA0000048838570000035
和
Figure BDA0000048838570000036
过点C、P和B，β、
Figure BDA0000048838570000037
和γ分别是它们所对应的圆心角。ζ是大圆弧和
Figure BDA0000048838570000039
在P点切线的夹角，也称为
Figure BDA00000488385700000310
和
Figure BDA00000488385700000311
间的夹角。ξ是
Figure BDA00000488385700000312
和
Figure BDA00000488385700000313
间的夹角。δ是节曲线在P点的切线方位角且
Figure BDA00000488385700000314
当
Figure BDA00000488385700000315
时，
Figure BDA00000488385700000316
且
Figure BDA00000488385700000317
当
Figure BDA00000488385700000318
时，
Figure BDA00000488385700000319
且
Figure BDA00000488385700000320
αa为齿顶角且
Figure BDA00000488385700000321
αf为齿根角且
Figure BDA00000488385700000322
Figure BDA00000488385700000323
为齿顶系数且
Figure BDA00000488385700000324
c*为顶隙系数且c*＝0.25；αm是模角，定义为相邻齿的同一侧齿面在节锥面截取的锥面部分展开的扇形所对应的中心角的度数除以π；Δθγ是
Figure BDA00000488385700000325
和
Figure BDA00000488385700000326
间的夹角，称作节曲线和齿顶曲线在等距点处的相对周角；Δθβ是
Figure BDA00000488385700000327
和
Figure BDA00000488385700000328
间的夹角，也称作节曲线和齿根曲线在等距点处的相对周角。
利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓方程的方法为：
在初始状态下，圆锥齿轮刀具的齿廓与节曲线的交点为D，圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮的节曲线在N点啮合，椭圆锥齿轮的齿廓与节曲线交点为D，D点与N点重合。
由渐开线齿廓的性质，可知：
其中，ε为与
Figure BDA00000488385700000331
的夹角，得
Figure BDA00000488385700000332
由球面三角形余弦定理，得
Figure BDA0000048838570000041
与
Figure BDA0000048838570000042
的夹角θN：
Figure BDA0000048838570000043
在单位球OR的球面上将椭圆锥齿轮的齿廓分为右上齿廓、右下齿廓、左下齿廓、左上齿廓来分段分析。将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的右齿廓称为右上齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的右齿廓称为右下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的左齿廓称为左下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的左齿廓称为左上齿廓。
圆锥齿轮刀具的节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做逆时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右上齿廓。此时，旋转角度为θ3，椭圆锥齿轮旋转角度为θ4。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA0000048838570000044
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA0000048838570000045
两齿轮节曲线作纯滚动，由球面曲线距离公式，得：
Figure BDA0000048838570000046
根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure BDA0000048838570000048
为N点的极角，θN1为
Figure BDA0000048838570000049
与的夹角，ε1为
Figure BDA00000488385700000411
与
Figure BDA00000488385700000412
的夹角，且
Figure BDA00000488385700000413
设
Figure BDA00000488385700000414
对应圆心角为α1，
Figure BDA00000488385700000415
和的夹角为σ1，在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000417
Figure BDA00000488385700000418
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure BDA0000048838570000052
代表右上齿廓极角，θru代表右上齿廓周角，
Figure BDA0000048838570000053
为椭圆锥齿轮节曲线方程。
至此，得出右上齿廓。
圆锥齿轮刀具节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做顺时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右下齿廓。此时，旋转角度为θ5，椭圆锥齿轮旋转角度为θ6。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与非圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA0000048838570000054
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA0000048838570000055
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000056
其中，
Figure BDA0000048838570000057
为N点的极角，θN2为
Figure BDA0000048838570000058
与
Figure BDA0000048838570000059
的夹角，ε2为
Figure BDA00000488385700000510
与的夹角，且
Figure BDA00000488385700000512
设对应圆心角为α2，和
Figure BDA00000488385700000515
的夹角为σ2。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000516
Figure BDA00000488385700000517
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000518
其中，
Figure BDA00000488385700000519
代表右下齿廓极角，θrl代表右下齿廓周角，
Figure BDA00000488385700000520
为非圆锥齿轮节曲线方程。至此，得出右下齿廓。
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过
Figure BDA00000488385700000521
长度后(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，继续逆时针旋转θ7角得到椭圆锥齿轮的左下齿廓。此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ8。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA0000048838570000061
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA0000048838570000062
Figure BDA0000048838570000063
根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure BDA0000048838570000065
为N点的极角，θN3为
Figure BDA0000048838570000066
与的夹角，ε3为
Figure BDA0000048838570000068
与的夹角，且
Figure BDA00000488385700000610
设
Figure BDA00000488385700000611
对应圆心角为α3，
Figure BDA00000488385700000612
和
Figure BDA00000488385700000613
的夹角为σ3。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000614
Figure BDA00000488385700000615
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure BDA00000488385700000617
代表左下齿廓极角，θll代表左下齿廓周角，
Figure BDA00000488385700000618
为椭圆锥齿轮节曲线方程。至此，得出左下齿廓。
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过
Figure BDA00000488385700000619
长度(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，得到非圆锥齿轮的左上齿廓。此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ10。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与非圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA00000488385700000620
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA00000488385700000621
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000622
其中，
Figure BDA0000048838570000071
为N点的极角，θN4为
Figure BDA0000048838570000072
与
Figure BDA0000048838570000073
的夹角，ε4为
Figure BDA0000048838570000074
与
Figure BDA0000048838570000075
的夹角，且
Figure BDA0000048838570000076
设
Figure BDA0000048838570000077
对应圆心角为α4，
Figure BDA0000048838570000078
和
Figure BDA0000048838570000079
的夹角为σ4。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000710
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700000712
其中，
Figure BDA00000488385700000713
代表左上齿廓极角，θlu代表左上齿廓周角，为椭圆锥齿轮节曲线方程。
至此，得出左上齿廓。
综上，得出椭圆锥齿轮副完整的齿廓模型。
本发明与现有技术相比的优点在于：本发明中提出了基于如下原理进行椭圆锥齿轮副的设计：椭圆锥齿轮与球面的交线即节曲线，节曲线为球面上任意一点到球面上固定两点间大圆弧的距离之和(大圆弧所对应的圆心角度数)等于常数的点的轨迹；节锥面、齿顶锥、齿根锥与球面交线在球面上存在等距关系；一对共轭的椭圆锥齿轮在球面上是共锥顶的，因此，对节锥面、齿顶锥、齿根锥的研究可以转化为它们与球面的交线即节曲线、齿顶线、齿根线的研究上；利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮的齿廓方程。本发明椭圆锥齿轮副，可获得齿轮的节曲线方程、齿顶锥方程、齿根锥方程及精确的齿廓方程。具有步骤简单、可获得椭圆锥齿轮的精确的几何参数、能保证制造出的齿轮副能正确地按求得的节曲线传动等优点。
附图说明
图1为本发明的球面曲线坐标系；
图2为本发明的节曲线示意图；
图3为本发明的椭圆锥齿轮的节曲线的相互啮合关系；
图4为本发明的δ＜π/2时的齿顶锥、齿根锥的特征图；
图5为本发明的δ＞π/2时的齿顶锥、齿根锥的特征图；
图6为本发明的圆锥齿轮刀具初始位置图；
图7为本发明的右上齿廓示意图；
图8为本发明的右下齿廓示意图；
图9为本发明的左下齿廓示意图；
图10为本发明的左上齿廓示意图；
图11为本发明的三维造型图；
图12为本发明的三维啮合效果图。
具体实施方式
以下通过具体实施方式，并结合附图对本发明作进一步说明。
本发明的一种椭圆锥齿轮副，基于如下原理：椭圆锥齿轮与球面的交线为节曲线；节曲线为球面上任意一点到球面上固定两点间大圆弧的距离之和等于常数的点的轨迹；节锥面、齿顶锥、齿根锥与球面交线在球面上存在等距关系。椭圆锥齿轮副的设计步骤为：
(1)建立空间极坐标系，确定一个球面，并通过极角和周角确定一个广义锥面；
(2)在球面上，根据球面三角形边的余弦定理，计算主动轮节曲线方程；
(3)根据一对共轭椭圆锥齿轮啮合时两节锥面作纯滚动的原理，计算从动轮节曲线方程；
(4)根据所述主动轮节曲线方程和所述从动轮节曲线方程，计算齿顶锥方程及齿根锥方程；
(5)利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓的精确参数方程，从而得到椭圆锥齿轮齿廓参数，根据此参数即可制造出椭圆锥齿轮。
所述步骤(1)中确定球面和广义锥面的方法为：
在空间极坐标系中，Γ是以坐标原点为球心，R为半径的球OR上的任意曲线，如图1所示。设为Γ上任意一点，记作
Figure BDA0000048838570000082
R为球面半径(为方便讨论，设R＝1)；极角为A点矢径
Figure BDA0000048838570000084
与Z轴正向所夹的角；周角θ为
Figure BDA0000048838570000085
在XY平面上的投影与X轴的夹角。在球面上通过极角
Figure BDA0000048838570000086
和周角θ描述广义锥面，即：
Figure BDA0000048838570000087
Figure BDA0000048838570000088
椭圆锥齿轮副的共轭齿廓分布在与锥顶同心的球面上。因此，对椭圆锥齿轮节锥面或齿面的讨论可以转变成对节锥面或齿面与球面的交线，即节曲线或齿廓的讨论。
计算主动轮节曲线方程的方法为：
球面曲线上任意一点P，它到球面上任意两点(C、D两点)的距离之和即大圆弧长度之和为常数。本发明中设在单位球中，
Figure BDA0000048838570000091
与
Figure BDA0000048838570000092
长度之和为
Figure BDA0000048838570000093
焦距
Figure BDA0000048838570000094
Figure BDA0000048838570000095
所对的圆心角为
Figure BDA0000048838570000096
Figure BDA0000048838570000097
与
Figure BDA0000048838570000098
夹角为θ1，如图2所示。
在球面VPCD中，根据球面三角形边的余弦定理，得主动轮节曲线方程：
Figure BDA0000048838570000099
计算从动轮节曲线方程的方法为：
假设一对共轭的椭圆锥齿轮节曲线在P点啮合，如图3所示。设P点到主、从动轮旋转轴的距离之和为常数
Figure BDA00000488385700000910
这样可以保证这对椭圆锥齿轮的两节锥面作无滑动的纯滚动，故其节曲线1和2在瞬时回转点P处相对速度为零，即vP1＝vP2；主、从动轮的角速度分别为ω1、ω2；又因为
Figure BDA00000488385700000911
Figure BDA00000488385700000912
得传动比：
Figure BDA00000488385700000913
得从动轮节曲线方程为：
Figure BDA00000488385700000914
计算齿顶锥方程及齿根锥方程的方法为：
在球面VAPB中，根据球面三角形余弦定理，得齿顶锥参数方程：
Figure BDA00000488385700000915
在球面VAPC中，根据球面三角形余弦定理，得齿根锥参数方程：
Figure BDA00000488385700000916
Z轴与球面OR交于点A，1、2、3分别表示齿根线、节曲线和齿顶线。
Figure BDA00000488385700000917
是节曲线在P点的法弧。过点A分别作大圆弧和过点C、P和B，β、
Figure BDA00000488385700000920
和γ分别是它们所对应的圆心角。ζ是大圆弧
Figure BDA00000488385700000921
和
Figure BDA00000488385700000922
在P点切线的夹角，也称为
Figure BDA00000488385700000923
和间的夹角。ξ是
Figure BDA00000488385700000925
和间的夹角。δ是节曲线在P点的切线方位角且
Figure BDA0000048838570000102
当
Figure BDA0000048838570000103
时，
Figure BDA0000048838570000104
且
Figure BDA0000048838570000105
如图4所示；当时，
Figure BDA0000048838570000107
且如图5所示；αa为齿顶角且
Figure BDA0000048838570000109
αf为齿根角且
Figure BDA00000488385700001011
为齿顶系数且
Figure BDA00000488385700001012
c*为顶隙系数且c*＝0.25；αm是模角，定义为相邻齿的同一侧齿面在节锥面截取的锥面部分展开的扇形所对应的中心角的度数除以π；Δθγ是和
Figure BDA00000488385700001014
间的夹角，称作节曲线和齿顶曲线在等距点处的相对周角；Δθβ是和
Figure BDA00000488385700001016
间的夹角，也称作节曲线和齿根曲线在等距点处的相对周角。
利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓方程的方法为：
如图6所示，在初始状态下，圆锥齿轮刀具的齿廓与节曲线的交点为D，圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮的节曲线在N点啮合，椭圆锥齿轮的齿廓与节曲线交点为D，D点与N点重合。
由渐开线齿廓的性质，可知：
Figure BDA00000488385700001017
其中，ε为
Figure BDA00000488385700001018
与
Figure BDA00000488385700001019
的夹角，得
由球面三角形余弦定理，得
Figure BDA00000488385700001021
与
Figure BDA00000488385700001022
的夹角θN：
Figure BDA00000488385700001023
在单位球OR的球面上将椭圆锥齿轮的齿廓分为右上齿廓、右下齿廓、左下齿廓、左上齿廓来分段分析。将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的右齿廓称为右上齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的右齿廓称为右下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的左齿廓称为左下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的左齿廓称为左上齿廓。
圆锥齿轮刀具的节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做逆时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右上齿廓，如图7所示。此时，旋转角度为θ3，椭圆锥齿轮旋转角度为θ4。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA00000488385700001024
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA00000488385700001025
两齿轮节曲线作纯滚动，由球面曲线距离公式，得：
Figure BDA0000048838570000111
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000112
其中，
Figure BDA0000048838570000113
为N点的极角，θN1为
Figure BDA0000048838570000114
与
Figure BDA0000048838570000115
的夹角，ε1为与
Figure BDA0000048838570000117
的夹角，且
设
Figure BDA0000048838570000119
对应圆心角为α1，
Figure BDA00000488385700001110
和
Figure BDA00000488385700001111
的夹角为σ1。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001112
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001114
其中，
Figure BDA00000488385700001115
代表右上齿廓极角，θru代表右上齿廓周角，
Figure BDA00000488385700001116
为椭圆锥齿轮节曲线方程。
至此，得出右上齿廓。
圆锥齿轮刀具节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做顺时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右下齿廓，如图8所示。此时，旋转角度为θ5，椭圆锥齿轮旋转角度为θ6。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与非圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA00000488385700001117
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA00000488385700001118
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001119
其中，
Figure BDA00000488385700001120
为N点的极角，θN2为
Figure BDA00000488385700001121
与的夹角，ε2为
Figure BDA00000488385700001123
与
Figure BDA00000488385700001124
的夹角，且
Figure BDA0000048838570000121
设
Figure BDA0000048838570000122
对应圆心角为α2，
Figure BDA0000048838570000123
和
Figure BDA0000048838570000124
的夹角为σ2。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000125
Figure BDA0000048838570000126
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000127
其中，
Figure BDA0000048838570000128
代表右下齿廓极角，θrl代表右下齿廓周角，
Figure BDA0000048838570000129
为非圆锥齿轮节曲线方程。至此，得出右下齿廓。
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过
Figure BDA00000488385700001210
长度后(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，继续逆时针旋转θ7角得到椭圆锥齿轮的左下齿廓，如图9所示。此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ8。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA00000488385700001211
为公共法弧。通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001213
其中，为N点的极角，θN3为
Figure BDA00000488385700001215
与的夹角，ε3为与
Figure BDA00000488385700001218
的夹角，且
Figure BDA00000488385700001219
设
Figure BDA00000488385700001220
对应圆心角为α3，
Figure BDA00000488385700001221
和
Figure BDA00000488385700001222
的夹角为σ3。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001223
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000132
其中，
Figure BDA0000048838570000133
代表左下齿廓极角，θll代表左下齿廓周角，
Figure BDA0000048838570000134
为椭圆锥齿轮节曲线方程。至此，得出左下齿廓。
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过
Figure BDA0000048838570000135
长度(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，得到非圆锥齿轮的左上齿廓，如图10所示。此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ10。原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与非圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点。两齿廓在N点啮合，
Figure BDA0000048838570000136
为公共法弧，通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure BDA0000048838570000137
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA0000048838570000138
其中，
Figure BDA0000048838570000139
为N点的极角，θN4为与
Figure BDA00000488385700001311
的夹角，ε4为
Figure BDA00000488385700001312
与的夹角，且
Figure BDA00000488385700001314
设
Figure BDA00000488385700001315
对应圆心角为α4，
Figure BDA00000488385700001316
和
Figure BDA00000488385700001317
的夹角为σ4。在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure BDA00000488385700001318
Figure BDA00000488385700001319
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure BDA00000488385700001321
代表左上齿廓极角，θlu代表左上齿廓周角，
Figure BDA00000488385700001322
为椭圆锥齿轮节曲线方程。
至此，得出左上齿廓。
综上，得出椭圆锥齿轮副完整的齿廓模型，即可制造出椭圆锥齿轮。
利用圆锥齿轮刀具包络得到的椭圆锥齿轮的三维造型如图11所示。一对啮合椭圆锥齿轮副如图12所示。

Claims (6)

1.一种椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述椭圆锥齿轮副实现如下：
(1)建立空间极坐标系，确定一个球面，并通过极角和周角确定一个广义锥面；
(2)在球面上，根据球面三角形边的余弦定理，计算主动轮节曲线方程；
(3)根据一对共轭椭圆锥齿轮啮合时两节锥面作纯滚动的原理，计算从动轮节曲线方程；
(4)根据所述主动轮节曲线方程和所述从动轮节曲线方程，计算齿顶锥方程及齿根锥方程；
(5)利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓的精确参数方程，从而得到椭圆锥齿轮齿廓参数，根据此参数即可制造出椭圆锥齿轮副。
2.根据权利要求1所述的椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述步骤(1)中确定广义锥面的方法为：
在空间极坐标系中，Γ是以坐标原点为球心，R为半径的球OR上的任意曲线，设
Figure FDA0000048838560000011
Figure FDA0000048838560000012
为Γ上任意一点，记作
Figure FDA0000048838560000013
其中R为球面半径(为方便讨论，设R＝1)；极角
Figure FDA0000048838560000014
为A点矢径
Figure FDA0000048838560000015
与Z轴正向所夹的角；周角θ为
Figure FDA0000048838560000016
在XY平面上的投影与X轴的夹角；在球面上通过极角
Figure FDA0000048838560000017
和周角θ确定广义锥面，即：
Figure FDA0000048838560000018
Figure FDA0000048838560000019
3.根据权利要求1所述的椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述步骤(2)中计算主动轮节曲线方程的方法为：
球面曲线上任意一点P，它到球面上任意C、D两点的距离之和，即大圆弧长度之和为常数；设与
Figure FDA00000488385600000111
长度之和为
Figure FDA00000488385600000112
焦距
Figure FDA00000488385600000113
Figure FDA00000488385600000114
所对的圆心角为
Figure FDA00000488385600000115
Figure FDA00000488385600000116
与
Figure FDA00000488385600000117
夹角为θ1；在球面VPCD中，根据球面三角形边的余弦定理，得主动轮节曲线方程：
4.根据权利要求1所述的椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述步骤(3)中计算从动轮节曲线方程的方法为：
假设一对共轭的椭圆锥齿轮节曲线在P点啮合，设P点到主、从动轮旋转轴的距离之和为常数
Figure FDA00000488385600000119
这样保证这对椭圆锥齿轮的两节锥面作无滑动的纯滚动，故其节曲线1和2在瞬时回转点P处相对速度为零，即vP1＝vP2；主、从动轮角速度分别为ω1、ω2；与
Figure FDA0000048838560000022
的夹角为θ1；
Figure FDA0000048838560000023
与
Figure FDA0000048838560000024
的夹角为θ2；
Figure FDA0000048838560000025
所对的圆心角分别为又因为
Figure FDA0000048838560000027
Figure FDA0000048838560000028
得传动比：
Figure FDA0000048838560000029
得从动轮节曲线方程为：
Figure FDA00000488385600000210
5.根据权利要求1所述的椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述步骤(4)中计算齿顶锥方程及齿根锥方程的方法为：
在球面VAPB中，根据球面三角形余弦定理，得齿顶锥参数方程：
Figure FDA00000488385600000211
在球面VAPC中，根据球面三角形余弦定理，得齿根锥参数方程：
Figure FDA00000488385600000212
Z轴与球面OR交于点A，1、2、3分别表示齿根线、节曲线和齿顶线；
Figure FDA00000488385600000213
是节曲线在P点的法弧；过点A分别作大圆弧和
Figure FDA00000488385600000215
过点C、P和B，β、
Figure FDA00000488385600000216
和γ分别是它们所对应的圆心角；ζ是大圆弧
Figure FDA00000488385600000217
和
Figure FDA00000488385600000218
在P点切线的夹角，也称为
Figure FDA00000488385600000219
和
Figure FDA00000488385600000220
间的夹角；ξ是
Figure FDA00000488385600000221
和
Figure FDA00000488385600000222
间的夹角；δ是节曲线在P点的切线方位角且
Figure FDA00000488385600000223
当
Figure FDA00000488385600000224
时，
Figure FDA00000488385600000225
且
Figure FDA00000488385600000226
当
Figure FDA00000488385600000227
时，
Figure FDA00000488385600000228
且
Figure FDA00000488385600000229
αa为齿顶角且
Figure FDA00000488385600000230
αf为齿根角且
Figure FDA00000488385600000231
Figure FDA00000488385600000232
为齿顶系数且
Figure FDA00000488385600000233
c*为顶隙系数且c*＝0.25；αm是模角，定义为相邻齿的同一侧齿面在节锥面截取的锥面部分展开的扇形所对应的中心角的度数除以π；Δθγ是
Figure FDA00000488385600000234
和
Figure FDA00000488385600000235
间的夹角，称作节曲线和齿顶曲线在等距点处的相对周角；Δθβ是
Figure FDA00000488385600000236
和
Figure FDA00000488385600000237
间的夹角，也称作节曲线和齿根曲线在等距点处的相对周角。
6.根据权利要求1所述的椭圆锥齿轮副，其特征在于：所述步骤(5)中利用圆锥齿轮刀具包络得出椭圆锥齿轮齿廓方程的方法为：
在初始状态下，圆锥齿轮刀具的齿廓与节曲线的交点为D，圆锥齿轮的节曲线与椭圆锥齿轮的节曲线在N点啮合，椭圆锥齿轮的齿廓与节曲线交点为D，D点与N点重合；
由渐开线齿廓的性质，可知：
Figure FDA0000048838560000031
其中，ε为
Figure FDA0000048838560000032
与
Figure FDA0000048838560000033
的夹角，得
Figure FDA0000048838560000034
由球面三角形余弦定理，得与
Figure FDA0000048838560000036
的夹角θN：
Figure FDA0000048838560000037
在单位球OR的球面上将椭圆锥齿轮的齿廓分为右上齿廓、右下齿廓、左下齿廓、左上齿廓来分段分析；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的右齿廓称为右上齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的右齿廓称为右下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以下的左齿廓称为左下齿廓；将从点A往Z轴负方向看时位于齿轮节锥面以上的左齿廓称为左上齿廓；
圆锥齿轮刀具的节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做逆时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右上齿廓；此时，旋转角度为θ3，椭圆锥齿轮旋转角度为θ4；原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点；两齿廓在N点啮合，
Figure FDA0000048838560000038
为公共法弧；通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure FDA0000048838560000039
两齿轮节曲线作纯滚动，由球面曲线距离公式，得：
Figure FDA00000488385600000310
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000311
其中，
Figure FDA00000488385600000312
为N点的极角，θN1为
Figure FDA00000488385600000313
与
Figure FDA00000488385600000314
的夹角，ε1为
Figure FDA00000488385600000315
与
Figure FDA00000488385600000316
的夹角，且
Figure FDA0000048838560000041
设
Figure FDA0000048838560000042
对应圆心角为α1，和
Figure FDA0000048838560000044
的夹角为σ1；在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA0000048838560000045
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure FDA0000048838560000048
代表右上齿廓极角，θru代表右上齿廓周角，
Figure FDA0000048838560000049
为椭圆锥齿轮节曲线方程；
至此，得出右上齿廓；
圆锥齿轮刀具节曲线沿椭圆锥齿轮节曲线做顺时针方向纯滚动，得到椭圆锥齿轮的右下齿廓；此时，旋转角度为θ5，椭圆锥齿轮旋转角度为θ6；原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与非圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点；两齿廓在N点啮合，
Figure FDA00000488385600000410
为公共法弧；通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure FDA00000488385600000411
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000412
其中，
Figure FDA00000488385600000413
为N点的极角，θN2为
Figure FDA00000488385600000414
与
Figure FDA00000488385600000415
的夹角，ε2为
Figure FDA00000488385600000416
与
Figure FDA00000488385600000417
的夹角，且
设
Figure FDA00000488385600000419
对应圆心角为α2，和
Figure FDA00000488385600000421
的夹角为σ2；在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000422
Figure FDA00000488385600000423
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA0000048838560000051
其中，
Figure FDA0000048838560000052
代表右下齿廓极角，θrl代表右下齿廓周角，
Figure FDA0000048838560000053
为非圆锥齿轮节曲线方程；至此，得出右下齿廓；
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过
Figure FDA0000048838560000054
长度后(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，继续逆时针旋转θ7角得到椭圆锥齿轮的左下齿廓；此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ8，原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点；两齿廓在N点啮合，
Figure FDA0000048838560000055
为公共法弧；通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure FDA0000048838560000056
Figure FDA0000048838560000057
根据球面三角形余弦定理，得：
其中，
Figure FDA0000048838560000059
为N点的极角，θN3为
Figure FDA00000488385600000510
与
Figure FDA00000488385600000511
的夹角，ε3为与的夹角，且
Figure FDA00000488385600000514
设
Figure FDA00000488385600000515
对应圆心角为α3，
Figure FDA00000488385600000516
和
Figure FDA00000488385600000517
的夹角为σ3；在球面三角形VDO1N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000518
Figure FDA00000488385600000519
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000520
其中，
Figure FDA00000488385600000521
代表左下齿廓极角，θll代表左下齿廓周角，
Figure FDA00000488385600000522
为椭圆锥齿轮节曲线方程；至此，得出左下齿廓；
圆锥齿轮刀具沿椭圆锥齿轮节曲线逆时针滚过长度(p为圆锥齿轮刀具的齿距)，得到椭圆锥齿轮的左上齿廓；此时，椭圆锥齿轮旋转角度为θ10，原来在初始状态下在D点啮合的在圆锥齿轮刀具的节曲线与椭圆锥齿轮节曲线上的点分别运动到D1与D2点；两齿廓在N点啮合，为公共法弧；通过O2和啮合点D、N分别作大圆弧
Figure FDA0000048838560000063
根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA0000048838560000064
其中，
Figure FDA0000048838560000065
为N点的极角，θN4为与
Figure FDA0000048838560000067
的夹角，ε4为
Figure FDA0000048838560000068
与
Figure FDA0000048838560000069
的夹角，且
Figure FDA00000488385600000610
设
Figure FDA00000488385600000611
对应圆心角为α4，
Figure FDA00000488385600000612
和
Figure FDA00000488385600000613
的夹角为σ4；根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000614
Figure FDA00000488385600000615
在球面三角形VDO2N中，根据球面三角形余弦定理，得：
Figure FDA00000488385600000616
其中，
Figure FDA00000488385600000617
代表左上齿廓极角，θlu代表左上齿廓周角，
Figure FDA00000488385600000618
为椭圆锥齿轮节曲线方程；至此，得出左上齿廓；
综上，得出椭圆锥齿轮完整的齿廓模型。
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