CN108167416B - 一种变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法 - Google Patents

一种变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法 Download PDF

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Abstract

本发明公开了一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，包括在渐开线变厚齿扇大端到小端等间距的各个径向截平面内，于齿扇基圆和齿顶圆平行于齿条长度方向的齿扇齿侧的切线之间，生成由平行于齿条长度方向的等间距直线构成的直线集；建立交点计算方程，设置齿扇转角步长，按照变比曲线计算各个齿条位移后，计算直线集中的直线和齿条固连运动时与齿扇齿廓线的交点，在同一直线与同一齿廓线的交点中，选取齿条长度方向的坐标值取得极值的点作为变比齿廓点初值；建立变比齿廓点求解数学模型，求解各个径向截平面内的变比齿廓点最优解；拟合变比齿廓点云，建立变比齿条实体模型。本发明避免了传统建模方法的诸多弊端，建模精度更高。

Description

一种变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法
技术领域
本发明属于机械传动技术领域，特别涉及一种变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法。
背景技术
汽车转向器决定的转向传动比，是影响汽车转向性能的重要因素。一般来讲，汽车高速直线行驶时，为了保证行驶稳定性，期望的转向传动比较大；汽车低速大转弯行驶时，为了使转向轻便快速，期望的转向传动比较小；不同行驶工况下，汽车转向的共性需求是“变化的传动比”。机械式变比转向器是在传统机械式定比转向器的基础上，改变转向齿条(齿轮)的齿廓形状，通过变比齿条(齿轮)与渐开线齿轮(齿条)的啮合实现变比转向，不改变转向器原有结构和控制方式，具有故障率低、维修简单、可靠性高等优点，应用前景广阔。
目前，转向器变比齿条(齿轮)的建模方法主要有布尔减运算法和啮合原理法。基于齿轮范成加工原理，采用布尔减运算法建立的变比齿条(齿轮)实体模型齿廓上有明显切割痕迹，为非连续曲面，建模精度很差；采用啮合原理求解变比齿条(齿轮)齿廓，当变比齿轮齿条副重合度大于1时，建立的啮合方程的解不唯一，真实的变比齿廓点难以辨别确定。
发明内容
本发明要解决的技术问题是，提供一种变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，该方法无设计原理性误差，可以实现变比齿条的精确建模。
为解决上述技术问题，本发明所采用的技术方案是：
一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，包括以下步骤：
S1：在变厚渐开线齿扇某一径向截平面内，于齿扇基圆和齿顶圆平行于变比齿条长度方向的齿扇齿侧的切线之间，生成由平行于变比齿条长度方向的直线构成的直线集，相邻两条直线等间距；
S2：从齿扇大端看向小端，变比齿条水平且齿扇位于齿条上方，所述截平面内齿扇截交线某个齿对称线垂直于齿条长度方向且此齿指向齿条的位置关系下，此齿对称线右侧的为右侧渐开线，此齿对称线左侧的为左侧渐开线，计算所述截平面内齿扇截交线各个齿右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和所述截平面内齿扇截交线对称线的夹角，此夹角小于180度；从齿扇大端看向小端，在所述截平面内，所述夹角对应的渐开线起点所在的所述夹角的一边绕基圆圆心顺时针逼近齿扇截交线对称线时，角度变大的所述夹角取负值，角度变小的所述夹角取正值；
S3：建立所述直线集中的直线和变比齿条固连运动时，与位于所述截平面内的齿扇渐开线的交点的计算方程；
S4：根据所述计算方程，等间距设置齿扇转角步长，在齿扇转角范围内，计算每一个齿扇转角下的变比齿条位移后，计算每一个变比齿条位移下所述直线集中的直线与所述截平面内齿扇渐开线的交点，保留所述直线集中的直线与齿扇齿顶圆和基圆之间的渐开线的交点；对于所述直线集中任意一条直线，在其与所述截平面内的齿扇齿顶圆和基圆之间的某一渐开线的所有交点中，选取在变比齿条长度方向的坐标值取得极值的交点，作为变比齿条齿廓点的初值点，最终得到所述截平面内的所有变比齿条齿廓点的初值点；
S5：建立变比齿条齿廓点求解模型；对于任一变比齿条齿廓点初值，根据所述交点计算方程，计算该初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角，在前后两个齿扇转角下计算用来确定该初值的直线与用来确定该初值的齿扇渐开线的交点对应的压力角与展角之和的值，以此来确定变比齿条齿廓点求解模型中压力角与展角之和的取值范围，然后求解上述模型，获得此变比齿条齿廓点的最优解；将所述直线集中各条直线所对应的各个变比齿条齿廓点的最优解作为所述截平面内的实际变比齿条齿廓点；
S6：从变厚渐开线齿扇大端到小端生成若干个等间距的径向截平面，在每一个径向截平面内重复步骤S1至S5，生成各个径向截平面内的实际变比齿条齿廓点，最终生成变比齿条齿廓点云，拟合齿廓点云，生成变比齿条齿廓实体，并设计齿扇齿顶与变比齿条齿根、齿扇齿根与变比齿条齿顶之间的顶隙，设计变比齿条齿根处的过渡曲线，最终建立变比齿条实体模型。
本技术方案有效的避免了其它汽车转向器变比齿条(齿轮)建模方法中存在的弊端：1)本技术方案首先计算生成变比齿条齿廓点云，然后通过曲面拟合的方式生成了连续且光滑的变比齿条齿廓曲面，有效避免了采用布尔减运算法建立的变比齿条齿廓有明显切割痕迹且为非连续曲面的弊端；2)本技术方案首先求解变比齿条齿廓点的初值点，然后通过建立的变比齿条齿廓点求解模型寻优求解得到齿廓点最优解，有效避免了采用啮合原理建立啮合方程求解变比齿条齿廓点时，啮合方程的解不唯一造成的真实齿廓点难以辨别筛选的弊端。
附图说明
图1是本发明具体实施方式中变厚齿扇齿条副的变比曲线图。
图2是本发明具体实施方式中齿扇大端径向截平面内齿扇转角为0度时的几何关系图。
图3是本发明具体实施方式中计算得到的变比齿条齿廓点云图。
图4是本发明具体实施方式中建立的变比齿条实体模型图。
图中：1，基圆；2，齿顶圆；3，齿根圆。
具体实施方式
在本发明的具体实施方式中，提供了一种循环球变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，包括以下步骤：
S1：在变厚渐开线齿扇某一径向截平面内，于齿扇基圆和齿顶圆平行于变比齿条长度方向的齿扇齿侧的切线之间，生成由平行于变比齿条长度方向的直线构成的直线集，相邻两条直线等间距。
直线集中的直线如公式(1)所示：
z′＝z′i，z′i∈[-Ra-Rb] i＝0，1，2，...，n (1)
其中，Rb为齿扇基圆半径；Ra为所述截平面内的齿顶圆半径。
S2：从齿扇大端看向小端，变比齿条水平且齿扇位于齿条上方，所述截平面内齿扇截交线某个齿对称线垂直于齿条长度方向且此齿指向齿条的位置关系下，此齿对称线右侧的该齿齿廓线所在的渐开线为右侧渐开线，此齿对称线左侧的该齿齿廓线所在的渐开线为左侧渐开线。
计算所述截平面内齿扇截交线各个齿右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和所述截平面内齿扇截交线对称线的夹角，此夹角小于180度；从齿扇大端看向小端，在所述截平面内，所述夹角对应的渐开线起点所在的所述夹角的一边绕基圆圆心顺时针逼近齿扇截交线对称线时，角度变大的所述夹角取负值，角度变小的所述夹角取正值。
S3：建立所述直线集中的直线和变比齿条固连运动时，与位于所述截平面内的齿扇渐开线的交点的计算方程，如公式(2)(3)所示：
其中，公式(2)(3)分别为所述直线集中的直线和变比齿条固连运动时，与所述截平面内齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线的交点的计算公式；为齿扇转角；κ为齿扇截交线各个齿标号；inv为所述截平面内交点处的渐开线压力角、展角；(x′，z′)为交点坐标，x′是变比齿条长度方向的坐标值，z'是变比齿条高度方向的坐标值；对于变比齿条位移s，以齿扇的转角为积分变量，通过对齿扇齿条副的变比曲线表达式积分计算得到；σκ、σ'κ分别为所述截平面内齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和该截平面内齿扇截交线对称线的夹角。
S4：等间距设置齿扇转角步长，在齿扇转角范围内，计算每一个齿扇转角下的变比齿条位移(上面已给出计算方法)。根据上述交点计算方程计算每一个变比齿条位移下上述直线集中的直线与所述截平面内渐开线(包括每个齿的右侧渐开线和左侧渐开线)的交点坐标。
由于渐开线的无限延长特性，本步骤在进行交点计算后，需要判断交点是否在所述截平面齿顶圆与基圆之间的渐开线上，为了叙述方便，定义在所述截平面齿顶圆与基圆之间的渐开线上的交点为有效交点，定义不在所述截平面齿顶圆与基圆之间的渐开线上的交点为无效交点。
有效交点满足此交点到所述截平面基圆圆心的距离大于基圆半径且小于所述截平面内的齿顶圆半径的几何关系。通过如下的公式(4)，判断交点是否为有效交点：
交点计算结束后保留有效交点，并舍弃无效交点。对于所述直线集中任意一条直线，在其与所述截平面内某一齿扇齿顶圆与基圆之间渐开线的所有有效交点中，选取在变比齿条长度方向的坐标值取得极值的点，作为变比齿条齿廓点的初值点。对每一条直线与每一条齿扇齿顶圆与基圆之间的渐开线的交点取初值点，最终得到所述截平面内的所有变比齿条齿廓点的初值点。
S5：建立变比齿条齿廓点求解模型。
对于任一变比齿条齿廓点初值点，其对应着一个齿扇转角以及作为该初值点来源的一条直线和一条渐开线，即用来确定该初值点的直线和渐开线。根据所述交点计算方程，计算该初值点所对应的齿扇转角的前个齿扇转角，在前个转角下计算该初值点所对应的直线与该初值点所对应的渐开线的交点对应的压力角与展角之和的值，计算该初值点所对应的齿扇转角的后个齿扇转角，在后个转角下计算该初值点所对应的直线与该初值点所对应的渐开线的交点对应的压力角与展角之和的值。通过前后两个齿扇转角下的交点对应的压力角与展角之和的值，来确定变比齿条齿廓点求解模型中压力角与展角之和的取值范围，然后求解上述模型，获得此变比齿条齿廓点的最优解。
变比齿条齿廓点求解模型如公式(5)(6)所示：
其中，公式(5)(6)分别为所述截平面内与齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线啮合的变比齿条齿廓点的计算公式，为变比齿条齿廓点初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角；为如前述变比齿条齿廓点初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角下的交点处的压力角与展角之和。
采用上述模型计算得到变比齿条齿廓点在变比齿条长度方向的坐标值x′，用前述作为变比齿条齿廓点初值来源的一条直线确定另一个坐标值z'，进而得到变比齿条齿廓点的坐标值(x′，z′)。
将所述线段集中各条直线与各条渐开线进行如上操作，所得到的所有变比齿条齿廓点的最优解作为所述截平面内的实际变比齿条齿廓点。
S6：从变厚渐开线齿扇大端到小端生成若干个等间距的径向截平面，在每一个径向截平面内重复步骤S1至S5，生成各个径向截平面内的实际变比齿条齿廓点，最终生成变比齿条齿廓点云。
拟合变比齿条齿廓点云，生成变比齿条齿廓实体，按照变比转向器变厚齿扇齿条副顶隙设计要求，设计齿扇齿顶与变比齿条齿根、齿扇齿根与变比齿条齿顶之间的顶隙，按照变比转向器变厚齿扇齿条副变比齿条齿根过渡曲线设计要求，设计变比齿条齿根处的过渡曲线，最终建立变比齿条实体模型。
该变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法进行了实际实验，设计用循环球变比转向器的变比曲线为：
其中，iz为转向器的传动比。
循环球变比转向器由两级传动副构成，其中螺杆螺母副的传动比为：is＝360/P。其中，is为螺杆螺母副的传动比，P为螺距，本实验中P＝15mm。
可得设计用循环球变比转向器中变厚齿扇齿条副的如图1所示的变比曲线为：
其中，i为变厚齿扇齿条副的传动比。
本实验中，首先以变厚渐开线齿扇的大端所在平面作为实验用的径向截平面。变厚渐开线齿扇为3齿设计，中间齿的设计参数与两侧齿不同，使得中间齿的齿厚更大。具体设计参数为：齿扇齿顶与变比齿条齿根之间的顶隙为C1＝2.2mm，齿扇齿根与变比齿条齿顶之间的顶隙为C2＝4mm，齿扇的锥角为δ＝5deg，齿宽B＝48mm，齿扇基圆1Rb＝30.2mm，齿扇大端齿根圆3半径为Rf＝27.3mm，齿扇大端齿顶圆2半径为Ra＝46mm，过齿扇基圆1柱轴线作中间齿的对称平面，大端中间齿渐开线起点到此平面的距离为9mm，大端两侧齿渐开线起点到此平面的距离分别为15.7mm、27.4mm，小端中间齿渐开线起点到此平面的距离为6.7mm，小端两侧齿渐开线起点到此平面的距离分别为17.7mm、26.4mm，距大端22mm的齿扇径向截平面上的中间齿渐开线起点到此平面的距离为8.1mm，距大端22mm的齿扇径向截平面上的两侧齿渐开线起点到此平面的距离分别为16.5mm、27mm。
本实验中，变厚齿扇齿条副齿扇大端径向截平面内齿扇转角为0度时的几何关系如图2所示，此几何关系下齿扇在大端径向截平面内的截交线的对称线与直线集中的直线垂直，变厚渐开线齿扇大端所在截平面内直线集中的直线的取值域为：[-46 -30.2]，单位为“mm”，相邻两直线的间距为0.4mm。生成的直线为：z’＝-45，z’＝-44.6，z’＝-44.2，z’＝-43.8，z’＝-43.4，z’＝-43，z’＝-42.6，z’＝-42.2，z’＝-41.8，z’＝-41.4，z’＝-41，z’＝-40.6，z’＝-40.2，z’＝-39.8，z’＝-39.4，z’＝-39，z’＝-38.6，z’＝-38.2，z’＝-37.8，z’＝-37.4，z’＝-37，z’＝-36.6，z’＝-36.2，z’＝-35.8，z’＝-35.4，z’＝-35，z’＝-34.6，z’＝-34.2，z’＝-33.8，z’＝-33.4，z’＝-33，z’＝-32.6，z’＝-32.2，z’＝-31.8，z’＝-31.4，z’＝-31。
本实验中，计算得到大端所在截平面各个齿的右侧及左侧渐开线起点与大端基圆1圆心连线和大端齿扇截交线对称线的夹角，中间齿右侧及左侧渐开线的此夹角分别为：σ0＝17.34deg、σ′0＝-17.34deg；两侧齿右侧及左侧渐开线的此夹角分别为：σ1＝-31.46deg、σ′1＝-65.39deg和σ2＝65.39deg、σ′2＝31.46deg。
本实验中，在变比曲线约束的变厚渐开线齿扇转角范围内，等间距设置的齿扇转角步长为
本实验中，按照前述的公式(2)(3)计算了齿扇大端所在截平面内直线集中的直线与各齿左右渐开线的交点，通过前述的公式(4)判断交点是否位于大端所在截平面内齿扇齿顶圆2与基圆1之间的渐开线上。
本实验中，在按照前述的步骤确定了变比齿条齿廓点求解模型中压力角与展角之和的取值范围后，采用LINGO软件求解数学模型，获得变比齿条齿廓点的最优解。
本实验中，计算得到的齿扇大端所在截平面内各个变比齿条齿廓点的坐标(x',z')如表1所示，单位为“mm”。
表1
(13.804,-31.000) (13.426,-31.400) (13.079,-31.800) (12.735,-32.200) (12.398,-32.600)
(12.066,-33.000) (11.734,-33.400) (11.404,-33.800) (11.079,-34.200) (10.757,-34.600)
(10.440,-35.000) (10.129,-35.400) (9.825,-35.800) (9.528,-36.200) (9.237,-36.600)
(8.951,-37.000) (8.673,-37.400) (8.404,-37.800) (8.143,-38.200) (7.893,-38.600)
(7.651,-39.000) (7.419,-39.400) (7.198,-39.800) (6.982,-40.200) (6.770,-40.600)
(6.562,-41.000) (6.355,-41.400) (6.146,-41.800) (5.937,-42.200) (5.728,-42.600)
(5.519,-43.000) (5.310,-43.400) (5.101,-43.800) (4.891,-44.200) (4.682,-44.600)
(4.473,-45.000)
(17.073,-31.000) (17.390,-31.400) (17.606,-31.800) (17.825,-32.200) (18.048,-32.600)
(18.277,-33.000) (18.512,-33.400) (18.751,-33.800) (18.995,-34.200) (19.241,-34.600)
(19.494,-35.000) (19.754,-35.400) (20.019,-35.800) (20.288,-36.200) (20.561,-36.600)
(20.838,-37.000) (21.120,-37.400) (21.407,-37.800) (21.699,-38.200) (21.994,-38.600)
(22.294,-39.000) (22.597,-39.400) (22.903,-39.800) (23.212,-40.200) (23.526,-40.600)
(23.843,-41.000) (24.163,-41.400) (24.488,-41.800) (24.815,-42.200) (25.145,-42.600)
(25.477,-43.000) (25.812,-43.400) (26.150,-43.800) (26.490,-44.200) (26.833,-44.600)
(27.177,-45.000)
在对齿扇大端所在截平面进行了如上操作后，本实验等间距生成变厚渐开线齿扇从大端到小端的多个截平面，相邻截平面间距为：Δl＝0.4mm。对除大端截平面之外的其他截平面也进行上述操作，在对其他截平面进行操作时，将齿扇大端参数改为各个截平面内的齿扇参数(各个截平面内的齿扇参数可以根据前述具体设计参数计算得出)。
本实验最终生成的变比齿条齿廓点云如图3所示。
本实验中，采用CATIA软件的曲面拟合模块，拟合变比齿条齿廓点云，生成变比齿条齿廓实体，按照变厚齿扇齿条副顶隙要求，设计了齿扇齿顶与变比齿条齿根、齿扇齿根与变比齿条齿顶之间的顶隙。
本实验中，采用CATIA软件绘制样条曲线，平滑连接大端所在截平面内的生成的变比齿廓线与变比齿条齿根线，设计变比齿条齿根处的过渡曲线，沿变比齿条齿宽方向拉伸后形成变比齿条齿根处的过渡曲面，最终建立变比齿条实体模型。
本实验建立的变比齿条实体模型如图4所示。
本发明不限于上述实施方式，例如直线集中各条直线的方程、相邻直线的间距以及相邻径向截平面的间距可以根据需要进行变化。

Claims (5)

1.一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，包括以下步骤：
S1：在变厚渐开线齿扇某一径向截平面内，于齿扇基圆和齿顶圆平行于变比齿条长度方向的齿扇齿侧的切线之间，生成由平行于变比齿条长度方向的直线构成的直线集，相邻两条直线等间距；
S2：从齿扇大端看向小端，变比齿条水平且齿扇位于齿条上方，所述截平面内齿扇截交线某个齿对称线垂直于齿条长度方向且此齿指向齿条的位置关系下，此齿对称线右侧的为右侧渐开线，此齿对称线左侧的为左侧渐开线，计算所述截平面内齿扇截交线各个齿右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和所述截平面内齿扇截交线对称线的夹角，此夹角小于180度；从齿扇大端看向小端，在所述截平面内，所述夹角对应的渐开线起点所在的所述夹角的一边绕基圆圆心顺时针逼近齿扇截交线对称线时，角度变大的所述夹角取负值，角度变小的所述夹角取正值；
S3：建立所述直线集中的直线和变比齿条固连运动时，与位于所述截平面内的齿扇渐开线的交点的计算方程；
S4：根据所述计算方程，等间距设置齿扇转角步长，在齿扇转角范围内，计算每一个齿扇转角下的变比齿条位移后，计算每一个变比齿条位移下所述直线集中的直线与所述截平面内齿扇渐开线的交点，保留所述直线集中的直线与齿扇齿顶圆和基圆之间的渐开线的交点；对于所述直线集中任意一条直线，在其与所述截平面内的齿扇齿顶圆和基圆之间的某一渐开线的所有交点中，选取在变比齿条长度方向的坐标值取得极值的交点，作为变比齿条齿廓点的初值点，最终得到所述截平面内的所有变比齿条齿廓点的初值点；
S5：建立变比齿条齿廓点求解模型；对于任一变比齿条齿廓点初值，根据所述交点计算方程，计算该初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角，在前后两个齿扇转角下计算用来确定该初值的直线与用来确定该初值的齿扇渐开线的交点对应的压力角与展角之和的值，以此来确定变比齿条齿廓点求解模型中压力角与展角之和的取值范围，然后求解上述模型，获得此变比齿条齿廓点的最优解；将所述直线集中各条直线所对应的各个变比齿条齿廓点的最优解作为所述截平面内的实际变比齿条齿廓点；
S6：从变厚渐开线齿扇大端到小端生成若干个等间距的径向截平面，在每一个径向截平面内重复步骤S1至S5，生成各个径向截平面内的实际变比齿条齿廓点，最终生成变比齿条齿廓点云，拟合齿廓点云，生成变比齿条齿廓实体，并设计齿扇齿顶与变比齿条齿根、齿扇齿根与变比齿条齿顶之间的顶隙，设计变比齿条齿根处的过渡曲线，最终建立变比齿条实体模型。
2.根据权利要求1所述的一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，其特征在于：步骤S1中，所述直线集中的直线如公式(1)所示：
z′＝z′i，z′i∈[-Ra-Rb] i＝0，1，2，...，n (1)
其中，z'为变比齿条高度方向的坐标值，z′i为取值域[-Ra-Rb]中的任一值，Rb为齿扇基圆半径；Ra为所述截平面内的齿顶圆半径。
3.根据权利要求1所述的一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，其特征在于：步骤S3中，所述交点计算方程如公式(2)(3)所示：
其中，公式(2)(3)分别为所述直线集中的直线和变比齿条固连运动时，与所述截平面内齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线的交点的计算公式；为齿扇转角；κ为齿扇截交线各个齿标号；inv为所述截平面内交点处的渐开线压力角、展角；(x′，z′)为交点坐标，x′是变比齿条长度方向的坐标值，z'是变比齿条高度方向的坐标值；对于变比齿条位移s，以齿扇的转角为积分变量，通过对齿扇齿条副的变比曲线表达式积分计算得到；σκ、σ'κ分别为所述截平面内齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和该截平面内齿扇截交线对称线的夹角。
4.根据权利要求1所述的一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，其特征在于：步骤S4中，通过如下的公式(4)判断交点是否位于所述截平面内齿扇齿顶圆与基圆之间的渐开线上：
其中，Rb为齿扇基圆半径，Ra为所述截平面内的齿顶圆半径，x'是变比齿条长度方向的坐标值，z'是变比齿条高度方向的坐标值。
5.根据权利要求1所述的一种变比转向器变厚齿扇齿条副中变比齿条的建模方法，其特征在于：步骤S5中，所述的变比齿条齿廓点求解模型如公式(5)(6)所示：
其中，公式(5)(6)分别为所述截平面内与齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线啮合的变比齿条齿廓点的计算公式，为变比齿条齿廓点初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角；为在变比齿条齿廓点初值所对应的齿扇转角的前后两个齿扇转角下，用来确定该初值的所述直线集中的直线与用来确定该初值的所述截平面内的渐开线的交点处的压力角与展角之和，Rb为齿扇基圆半径，Ra为所述截平面内的齿顶圆半径，为齿扇转角；κ为齿扇截交线各个齿标号；inv为所述截平面内交点处的渐开线压力角、展角；(x',z')为交点坐标，x'是变比齿条长度方向的坐标值，z'是变比齿条高度方向的坐标值；s为变比齿条位移，以齿扇的转角为积分变量，通过对齿扇齿条副的变比曲线表达式积分计算得到；σκ、σ'κ分别为所述截平面内齿扇截交线各个齿的右侧及左侧渐开线起点与该截平面内齿扇基圆圆心的连线和该截平面内齿扇截交线对称线的夹角。
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