CN109241683A - 一种斜齿轮自由齿面设计方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种斜齿轮自由齿面设计方法。根据齿轮副的基本参数，从齿条刀具面推导出齿轮副理论齿面的位置矢量和法向矢量。在轮齿的旋转投影面上沿齿廓、齿向方向分别取N1、N2个控制点，确定其修形位置和修形量，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和对应的修形量，沿着理论齿面的法矢方向进行叠加，实现斜齿轮副修形齿面的自由设计。借助二阶连续双三次NURBS曲面拟合齿面离散点的坐标，生成了高精度的数字化齿面。建立数字化齿面轮齿接触分析模型，获得啮合印痕和传动误差曲线，分析齿轮副传动啮合性能。

Description

一种斜齿轮自由齿面设计方法

技术领域

本发明属于齿轮传动技术领域，特别涉及一种斜齿轮自由齿面设计方法。

背景技术

齿轮传动是机械装备的重要构件之一，其设计方法和制造技术在一定程度上代表了一个国家的制造业水平。齿轮传动动力学的发展已经有上百年的历史，齿轮振动和以减振为目标的齿面修形在齿轮设计和制造技术中始终占有重要地位，但随着工业发展，齿轮转速越来越高、载荷越来越大，齿轮减振降噪和修形技术虽然不断有所进展，但还是远远不能满足要求。例如高速航空齿轮，其动力学设计始终放在首位。因此，进一步研究齿轮修形和减振降噪技术仍然具有非常重要的现实意义。

齿面修形技术围绕着修形长度、修形量和修形曲线来研究，现有的齿轮修形方法主要有齿廓修形、齿向修形、三维修形，以及对角修形和高阶传动误差修形等。轮齿接触分析是对轻载状况下齿轮副啮合过程进行数值仿真的一种重要分析方法，分析获得的接触区域的大小、形状、位置和传动误差等衡量齿轮副传动质量的重要综合性技术指标，判断修形后的齿轮副啮合性能是否满足设计要求。目前，齿面修形设计存在如下的问题：针对不同的修形方式，需要分别设计和推导修形齿面模型，建立轮齿接触分析模型，才能获得修形齿面的啮合性能。这个过程涉及到大量复杂公式的推导，一般技术人员无法掌握，缺乏通用性。

发明内容

发明目的为了提高斜齿轮修形设计的效率和效果，本发明提供了一种斜齿轮自由齿面设计方法，并进行轮齿接触分析。设计者仅需输入齿面控制点的位置和修形量，通过修形曲面的NURBS拟合和数字化齿面轮齿接触分析，即获得修形齿轮副的接触印痕和传动误差。

为了实现上述目的，本发明采用的技术方案是：

一种斜齿轮自由齿面设计方法，包括以下步骤：

(1)根据齿轮副的基本参数，借助齐次坐标变换和空间啮合理论，从齿条刀具面推导出斜齿轮理论齿面的位置矢量和法向矢量；

(2)在轮齿旋转投影面的工作齿面范围内，沿齿廓、齿向方向分别取N1、N2个控制点，确定其修形位置和修形量，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面；

(3)借助二阶连续的双三次NURBS曲面拟合齿面离散点的坐标，生成数字化齿面；

(4)建立数字化齿面轮齿接触分析模型，获得齿面印痕和传动误差曲线。

作为本发明的进一步改进，步骤(1)具体步骤如下：

采用假想齿条刀具面Σ_t展成加工齿轮的理论齿面Σ_p，齿条刀具向左移动r_pφ的同时被加工齿轮转动φ，r_p为被加工齿轮的分度圆半径；轮齿理论工作齿面的位置矢量和法向矢量分别为

式中，u_t为齿条刀切削点的位置，l_t为齿条刀沿齿向方向的长度，a_m为齿槽宽一半；x_n为变位系数，远离节线时为正，靠近齿轮中心线时为负；α_n为法向压力角，β为螺旋角。

齿轮加工转角

作为本发明的进一步改进，步骤(2)具体步骤如下：

轮齿旋转投影面的横坐标h＝z，纵坐标为将代入到位置矢量R_t中即获得工作齿面和过渡曲面的交界线；按照设计要求，分别在齿廓和齿向方向各取N1、N2个控制点，其坐标和修形量分别为(h_ij,v_ij)，δ(h_ij,v_ij)(i＝1,2,...,N1；j＝1,2,...,N2)，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面，其表达式为：

R_m(h,v)＝R_t(u_t,l_t)+δ(h,v)N_t(u_t,l_t)

式中，坐标分量x,y,z分别为理论齿面位置矢量R_t的三个分量；已知控制点的位置参数，联立理论齿面的表达式，借助拟牛顿方法，先求出理论齿面的坐标，再根据修形齿面的表达式，获得修形齿面的齿面坐标。

作为本发明的进一步改进，步骤(3)具体步骤如下：

先根据型值点沿u或v向计算各条NURBS曲线的控制顶点，然后再以求得的控制顶点为型值点沿v或u向计算控制多边形网格顶点，即NURBS曲面的控制顶点及相应的权因子；沿u向和沿v向的B样条基函数的幂次k＝3、l＝3，从而得到二阶连续的双三次NURBS曲面的显式表达式，

式中：m为u向控制顶点个数；n为v向控制顶点个数；V_i,j为曲面的控制顶点；W_i,j为V_i,j的权因子；B_i,3为沿u向的3次B样条基函数；B_j,3为沿v向的3次B样条基函数；B_i,3(u)和B_j,3(v)分别为3次和3次B样条基函数，其定义为：

其中，约定0/0＝0，k表示B样条的幂次，t_i(i＝0,1,…,m)为节点，下标i为B样条基函数的序号，(u,v)∈[0,1]。

作为本发明的进一步改进，步骤(4)具体步骤如下：

小轮和大轮齿面的数字化表达式R₁＝R₁(u₁,v₁)和R₂＝R₂(u₂,v₂)；其中，u₁,v₁为小轮齿面参数且0≤u₁≤1,0≤v₁≤1；u₂,v₂为大轮齿面参数且0≤u₂≤1,0≤v₂≤1；小轮和大轮的数字化齿面法矢为：

和

其中，和分别为小轮数字化齿面R₁＝R₁(u₁,v₁)沿着u向和v向的偏导数；同样，和分别为小轮数字化齿面R₂＝R₂(u₂,v₂)沿着u向和v向偏导数。

有益效果

本发明根据齿轮副的基本参数，从齿条刀具面推导出齿轮副理论齿面的位置矢量和法向矢量。在轮齿的旋转投影面上，沿齿廓、齿向方向分别取N1、N2个控制点，确定其修形位置和修形量，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和对应的修形量，沿着理论齿面的法矢方向进行叠加，实现斜齿轮副修形齿面的自由设计。借助二阶连续双三次NURBS曲面拟合齿面离散点的坐标，生成了高精度的数字化齿面。建立数字化齿面轮齿接触分析模型，获得啮合印痕和传动误差曲线，分析齿轮副传动啮合性能。本发明根据设计要求来确定修形位置和修形量，生成修形齿面并采用高精度的NURBS进行拟合，最大拟合误差小于20微米。通过数字化齿面轮齿接触分析，判断齿面的修形效果。该方法避免了推导修形齿面的复杂过程，从设计到分析都非常便捷，具有极大的通用性和灵活性。

附图说明

图1是本发明的一种斜齿轮自由齿面设计方法流程图；

图2是本发明的齿面展成原理；

图3是本发明的齿面控制点；

图4是本发明的小轮齿面偏差；

图5是本发明的大轮齿面偏差；

图6是本发明的齿轮副啮合坐标系；

图7是本发明的数字化齿面啮合印痕；

图8是本发明的数字化齿面传动误差。

具体实施方式

如图1所示，本发明一种斜齿轮自由齿面设计方法，包括以下步骤：

(1)根据齿轮副的基本参数，借助齐次坐标变换和空间啮合理论，从齿条刀具面推导出齿轮理论齿面的位置矢量和法向矢量。

(2)在轮齿旋转投影面的工作齿面范围内，沿齿廓、齿向方向分别取N1、N2个控制点，确定其修形位置和修形量，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面。

(3)借助二阶连续的双三次NURBS曲面拟合齿面离散点的坐标，生成高精度的数字化齿面。

(4)建立数字化齿面轮齿接触分析模型，获得齿面印痕和传动误差曲线。

以下结合实施例对本方面的方法进行详细的说明：

步骤(1)：小轮齿数T₁＝22、大轮齿数T₂＝59、模数m_n＝2.0mm、压力角α_n＝20°、螺旋角β＝30°、小轮变位系数x_n1＝0.2578、大轮变位系数x_n2＝-0.51，齿顶高系数h_an＝1.2，齿根高系数h_fn＝1.6,小轮齿宽B₁＝33mm，大轮齿宽B₂＝31.5mm，刀顶圆角半径r₀＝0.7mm。采用假想齿条刀具面Σ_t展成加工齿轮的理论齿面Σ_p，两者之间的展成关系如图2所示，齿条刀具向左移动r_pφ的同时被加工齿轮转动φ，r_p为被加工齿轮的分度圆半径。轮齿理论工作齿面的位置矢量和法向矢量分别为

式中，u_t为齿条刀切削点的位置，l_t为齿条刀沿齿向方向的长度，a_m为齿槽宽一半；x_n为变位系数，远离节线时为正，靠近齿轮中心线时为负；α_n为法向压力角，β为螺旋角。

齿轮加工转角

步骤(2)：图3为轮齿的旋转投影面，旋转投影面的横坐标为h＝z，纵坐标为将代入到位置矢量R_t中即获得工作齿面和过渡曲面的交界线。按照设计要求，分别在齿廓和齿向方向各取5个控制点，其坐标和修形量分别为(h_ij,v_ij)，δ(h_ij,v_ij)(i＝1,2,...,5；j＝1,2,...,5)。将25个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面，其表达式为

R_m(h,v)＝R_t(u_t,l_t)+δ(h,v)N_t(u_t,l_t)

式中，坐标分量x,y,z分别为理论齿面位置矢量R_t的三个分量。已知控制点的位置参数，联立理论齿面的表达式，借助拟牛顿方法，先求出理论齿面的坐标，再根据修形齿面的表达式，获得修形齿面的齿面坐标。

图3为齿面修形控制点在轮齿旋转投影面上的示意图。对于小轮，在齿廓方向上选取5个控制点，其位置和修形量分别为：第1个控制点(3.5089mm，0.01mm)，第2个控制点(7.508mm，0.005mm)，第3个控制点(9.5210mm，0)，第4个控制点(11.8247mm，0.005mm)，第5个控制点(15.8247mm，0.01mm)；在齿向方向上，同样选取5个控制点，其位置和修形量分别为：第1个控制点(-16.5mm，0.01mm)，第2个控制点(-12.5mm，0.005mm)，第3个控制点(0，0)，第4个控制点(12.5mm，0.005mm)，第5个控制点(16.5mm，0.01mm)，从齿廓和齿向双向各取5个控制点，则能够表达出齿面的25个控制点，并且根据实际的工作条件以及设计要求能够改变控制点的位置和修形量，从而达到自由齿面设计的目的。

同样对于大轮，在齿廓方向上选取5个控制点，其位置和修形量分别为：第1个控制点(15.3376mm，0.012mm)，第2个控制点(19.3376mm，0.005mm)，第3个控制点(25.5337mm，0)，第4个控制点(27.0842mm，0.005mm)，第5个控制点(29.0842mm，0.012mm)；在齿向方向上，同样选取5个控制点，其位置和修形量分别为：第1个控制点(-15.75mm，0.01mm)，第2个控制点(-11.75mm，0.006mm)，第3个控制点(0，0)，第4个控制点(11.75mm，0.004mm)，第5个控制点(15.75mm，0.01mm)，从齿廓和齿向双向各取5个控制点，则能够表达出齿面的25个控制点，并且根据实际的工作条件以及设计要求能够改变控制点的位置和修形量，从而达到自由齿面设计的目的。

步骤(3)：先根据型值点沿u(或v)向计算各条NURBS曲线的控制顶点，然后再以求得的控制顶点为型值点沿v(或u)向计算控制多边形网格顶点，即NURBS曲面的控制顶点及相应的权因子。沿u向和沿v向的B样条基函数的幂次k＝3、l＝3，从而得到二阶连续的双三次NURBS曲面的显式表达式，

式中：m为u向控制顶点个数；n为v向控制顶点个数；V_i,j为曲面的控制顶点；W_i,j为V_i,j的权因子；B_i,3(u)为沿u向的3次B样条基函数,B_j,3(v)为沿v向的3次B样条基函数，其定义为

其中，约定0/0＝0，k表示B样条的幂次，t_i(i＝0,1,…,m)为节点，下标i为B样条基函数的序号。(u,v)∈[0,1]。

图4和图5分别为小轮和大轮的修形齿面与经过NURBS拟合曲面的偏差，从图中看出边界上控制点的误差较大，而靠近轮齿中部误差较校，小轮最大误差不大于20微米，大轮最大误差不大于15微米，说明NURBS拟合后齿面能够达到较高的精度。

具体步骤(4)：小轮和大轮齿面的数字化表达式R₁＝R₁(u₁,v₁)和

R₂＝R₂(u₂,v₂)；其中，u₁,v₁为小轮齿面参数且0≤u₁≤1,0≤v₁≤1；u₂,v₂为大轮齿面参数且0≤u₂≤1,0≤v₂≤1。小轮和大轮的数字化齿面法矢为：

和

其中，和分别为小轮数字化齿面R₁＝R₁(u₁,v₁)沿着u向和v向的偏导数；同样，和分别为小轮数字化齿面R₂＝R₂(u₂,v₂)沿着u向和v向偏导数。

图6为斜齿轮数字化齿面几何接触分析的啮合坐标系。数字齿面∑₁和∑₂在固定坐标系S_f中连续接触相切，齿面的位置矢量和法向矢量应分别相等。坐标系S₁和S₂分别是小轮和大轮的数字化齿面动坐标系，S_h为大轮的参考坐标系，中心距E₁₂＝r_p1+r_p2，r_p1和r_p2分别为小轮和大轮的分度圆半径。

将数字化齿面Σ₁和Σ₂的位置矢量和单位法矢表示在坐标系S_f中

式中，和分别为齿面Σ₁和齿面Σ₂的啮合转角；M_f1为坐标系S₁到坐标系S_f的齐次坐标变换矩阵，M_f2＝M_fhM_h2为坐标系S₂到坐标系S_h的齐次坐标变换矩阵，L_h1和L_h2分别为M_h1和M_h2矩阵去掉最后一行和最后一列的矩阵。

数字化齿面Σ₁和Σ₂在固定坐标系S_f中连续接触相切，得到数字化齿面轮齿接触分析基本方程为

第一个矢量方程包含3个标量方程，是两齿面在M点接触所满足的条件，第二个矢量方程是在M点相切所满足的条件，但因仅有2个方程是独立的，因此共有5个独立的标量方程，方程组中含有六个未知数u₁,v₁,u₂,v₂,但仅有5个独立的标量方程。

求解方程组就得到两数字化齿面的一个啮合点，然后以一定的步长改变小轮啮合转角的值，继续求解，直至求出的接触点超出齿面的有效边界。齿面瞬时啮合点就构成了接触迹线，同时也能得到数字化齿面的传动误差。

其中，分别是小轮和大轮的初始啮合转角，分别为小轮和大轮的实际转角。为啮合过程中大轮实际转角滞后小轮实际转角的传动误差。

图7为斜齿轮副自由曲面的啮合印痕，接触迹线基本上沿着齿向方向，啮合线长度与修形量的大小有关。图8为该齿轮副的几何传动误差，近似为抛物线型，能够自动吸收由安装误差引起的线性误差，具有较好的啮合性能。

以上所述的内容仅为说明本发明的技术思想，不能以此限定本发明的保护范围，凡是未脱离本发明提出的技术思想，在技术方案基础上所做的任何改动，均落入本发明权利要求书的保护范围之内。

Claims (5)

1.一种斜齿轮自由齿面设计方法，其特征在于，包括以下步骤：

(1)根据齿轮副的基本参数，借助齐次坐标变换和空间啮合理论，从齿条刀具面推导出斜齿轮理论齿面的位置矢量和法向矢量；

(2)在轮齿旋转投影面的工作齿面范围内，沿齿廓、齿向方向分别取N1、N2个控制点，确定其修形位置和修形量，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面；

(3)借助二阶连续的双三次NURBS曲面拟合齿面离散点的坐标，生成数字化齿面；

(4)建立数字化齿面轮齿接触分析模型，获得齿面印痕和传动误差曲线。

2.根据权利要求1所述的一种斜齿轮自由齿面设计方法，其特征在于，步骤(1)具体步骤如下：

采用假想齿条刀具面Σ_t展成加工齿轮的理论齿面Σ_p，齿条刀具向左移动r_pφ的同时被加工齿轮转动φ，r_p为被加工齿轮的分度圆半径；轮齿理论工作齿面的位置矢量和法向矢量分别为

式中，u_t为齿条刀切削点的位置，l_t为齿条刀沿齿向方向的长度，a_m为齿槽宽一半；x_n为变位系数，远离节线时为正，靠近齿轮中心线时为负；α_n为法向压力角，β为螺旋角；

齿轮加工转角

3.根据权利要求2所述的一种斜齿轮自由齿面设计方法，其特征在于，步骤(2)具体步骤如下：

轮齿旋转投影面的横坐标h＝z，纵坐标为将代入到位置矢量R_t中即获得工作齿面和过渡曲面的交界线；按照设计要求，分别在齿廓和齿向方向各取N1、N2个控制点，其坐标和修形量分别为(h_ij,v_ij)，δ(h_ij,v_ij)(i＝1,2,...,N1；j＝1,2,...,N2)，将N1×N2个控制点的理论位置矢量和修形量沿着理论法矢方向进行叠加，获得修形齿面，其表达式为：

R_m(h,v)＝R_t(u_t,l_t)+δ(h,v)N_t(u_t,l_t)

式中，坐标分量x,y,z分别为理论齿面位置矢量R_t的三个分量；已知控制点的位置参数，联立理论齿面的表达式，借助拟牛顿方法，先求出理论齿面的坐标，再根据修形齿面的表达式，获得修形齿面的齿面坐标。

4.根据权利要求3所述的一种斜齿轮自由齿面设计方法，其特征在于，步骤(3)具体步骤如下：

先根据型值点沿u或v向计算各条NURBS曲线的控制顶点，然后再以求得的控制顶点为型值点沿v或u向计算控制多边形网格顶点，即NURBS曲面的控制顶点及相应的权因子；沿u向和沿v向的B样条基函数的幂次k＝3、l＝3，从而得到二阶连续的双三次NURBS曲面的显式表达式，

式中：m为u向控制顶点个数；n为v向控制顶点个数；V_i,j为曲面的控制顶点；W_i,j为V_i,j的权因子；B_i,3(u)为沿u向的3次B样条基函数，B_j,3(v)为沿v向的3次B样条基函数，其定义为：

其中，约定0/0＝0，k表示B样条的幂次，t_i(i＝0,1,…,m)为节点，下标i为B样条基函数的序号，(u,v)∈[0,1]。

5.根据权利要求4所述的一种斜齿轮自由齿面设计方法，其特征在于，步骤(4)具体步骤如下：

小轮和大轮齿面的数字化表达式R₁＝R₁(u₁,v₁)和R₂＝R₂(u₂,v₂)；其中，u₁,v₁为小轮齿面参数且0≤u₁≤1,0≤v₁≤1；u₂,v₂为大轮齿面参数且0≤u₂≤1,0≤v₂≤1；小轮和大轮的数字化齿面法矢为：

和

其中，和分别为小轮数字化齿面R₁＝R₁(u₁,v₁)沿着u向和v向的偏导数；同样，和分别为小轮数字化齿面R₂＝R₂(u₂,v₂)沿着u向和v向偏导数。